例谈充要条件的证明问题

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第二节 充分条件与必要条件、全称量词和存在量词

第二节 充分条件与必要条件、全称量词和存在量词
命题,当其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假.
3-1 已知命题p:∃x0∈R,log2( 3x+0 1)≤0,则 ( B ) A.p是假命题;¬p:∀x∈R,log2(3x+1)≤0 B.p是假命题;¬p:∀x∈R,log2(3x+1)>0 C.p是真命题;¬p:∀x∈R,log2(3x+1)≤0 D.p是真命题;¬p:∀x∈R,log(3x+1)>0
x 1
A.∃x0<0,
x0 x0
≤0
1
C.∀x>0, x ≤0
x 1
B.∃x0>0,0≤x0≤1 D.∀x<0,0≤x≤1
考点突破
(2)命题“∃x0∈R,1<f(x0)≤2”的否定形式是 ( D ) A.∀x∈R,1<f(x)≤2 B.∃x0∈R,1<f(x0)≤2 C.∃x0∈R, f(x0)≤1或f(x0)>2 D.∀x∈R, f(x)≤1或f(x)>2
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命题方向三 根据命题的真假求参数
典例5 已知命题“∃x0∈R,2 x02+(a-1)x0+ 12≤0”是假命题,则实数a的取
值范围是 ( B ) A.(-∞,-1) B.(-1,3) C.(-3,+∞) D.(-3,1)
答案 B 原命的否定为∀x∈R,2x2+(a-1)x+ 1>0,由题意知,其为真命题,
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2-1 使“a>0,b>0”成立的一个必要不充分条件是 ( A ) A.a+b>0 B.a-b>0
C.ab>1 D. a >1
b
答案 A 由a>0,b>0⇒a+b>0,反之不成立,而由a>0,b>0不能推出a-b>0,

浅谈判断充分、必要条件的方法

浅谈判断充分、必要条件的方法

浅谈判断充分、必要条件的方法王红明(江苏省泰州市姜堰区罗塘高级中学㊀225500)摘㊀要:充要条件是高中数学中极其重要的一个概念.条件充要性的判定问题是高考常考题型ꎬ综合性较强ꎬ也易于和其他知识相结合从而增加题目难度.本文精选几种简洁高效的解题方法予以说明ꎬ帮助大家熟悉基本知识ꎬ掌握基本解题技巧.关键词:充要条件ꎻ定义ꎻ传递中图分类号:G632㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:1008-0333(2020)31-0068-02收稿日期:2020-08-05作者简介:王红明(1981.1-)ꎬ男ꎬ江苏省泰州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀解决判断充分㊁必要条件这类问题ꎬ需熟练掌握充要条件的概念ꎬ准确理解其含义ꎬ结合题设条件分清条件与结论的关系ꎬ结合正确高效的解题方法ꎬ最终得出正确结果.㊀下面主要对如何准确高效判断条件的充要性作一归纳整理ꎬ希望可以有所帮助.㊀㊀一㊁定义法按照课本上面的定义ꎬ有如下基本结论:1.若p⇒qꎬ则p是q的充分条件ꎻ2.若q⇒pꎬ则p是q的必要条件ꎻ3.若p⇒qꎬq⇒/pꎬ则p是q的充分不必要条件ꎻ4.若p⇒/qꎬq⇒pꎬ则p是q的必要不充分条件ꎻ5.若p⇒qꎬq⇒pꎬ则p是q的充要条件ꎻ6.若p⇒/qꎬq⇒/pꎬ则p是q的既不充分也不必要条件.㊀例1㊀设集合M=xlog2x>1{}ꎬP=x3x<27{}ꎬ问xɪM或xɪP 是 xɪPɘM 的什么条件.解析㊀先解得集合M=xx>2{}ꎬP=xx<3{}ꎬ条件p:xɪM或xɪPꎬ即PɣM=Rꎬ结论q:xɪPɘMꎬ而PɘM=x2<x<3{}.显然xɪPɘM⇒xɪM或xɪPꎬ反之则不然.所以 xɪM或xɪP 是 xɪPɘM 的必要不充分条件.㊀点评㊀从命题的角度判断条件的充要性ꎬ应先把题目写成命题的形式ꎬ并对条件和结论进行明确或者求解ꎬ然后按照定义ꎬ直接判断.练习1㊀试判断 m=3 是 直线(m-1)x+2my+1=0与直线(m+3)x-(m-1)y+3=0相互垂直 的什么条件.解析㊀ȵ直线(m-1)x+2my+1=0与直线(m+3)x-(m-1)y+3=0互相垂直ꎬʑ(m-1)(m+3)+2m[-(m-1)]=0ꎬ解得m=3或m=1.ʑ m=3 是 直线(m-1)x+2my+1=0与直线(m+3)x-(m-1)y+3=0互相垂直 的充分不必要条件.㊀㊀二㊁集合法一般地ꎬ若p以集合A的形式出现ꎬq以集合B的形式出现ꎬ有如下基本结论:1.若A⊆Bꎬ则p是q的充分条件ꎻ2.若A⊇Bꎬ则p是q的必要条件ꎻ3.若A⫋Bꎬ则p是q的充分不必要条件ꎻ4.若B⫋Aꎬ则q是p的必要不充分条件ꎻ5.若A=Bꎬ则p是q的充要条件ꎻ6.若A⊈Bꎬ且A⊉Bꎬ则p是q的既不充分也不必要条件.例2㊀已知p:x-1()x+4()ȡ0ꎬq:x+4x-1ȡ0ꎬ则p是q成立的什么条件?86解析㊀设命题p㊁q分别对应集合M㊁Nꎬ解得M=-ɕꎬ-4(]ɣ1ꎬ+ɕ[)ꎬN=-ɕꎬ-4(]ɣ1ꎬ+ɕ()ꎬ显然N⫋Mꎬ所以p是q的必要不充分条件.点评㊀用集合的观点来判断条件的充要性ꎬ体现数形结合的思想ꎬ方便高效.练习2㊀请问命题p: 函数f(x)=x3+2x2+mx+1在R上单调增 是命题q: 不等式mȡ8xx2+9对任意的正数x恒成立 的什么条件?解析㊀设命题p㊁q分别对应集合M㊁Nꎬ函数f(x)=x3+2x2+mx+1在R上单调增⇔导函数fᶄ(x)=3x2+4x+mȡ0恒成立⇔Δ=16-12mɤ0⇔mɪ43ꎬ+ɕ[öø÷ꎬ即M=43ꎬ+ɕ[öø÷.不等式mȡ8xx2+9对任意的正数x恒成立⇔mȡ8xx2+9æèçöø÷max=8x+9xæèççöø÷÷maxȵx+9xȡ2x9x=6ꎬʑmȡ43ꎬ即N=43ꎬ+ɕ[öø÷.显然M=Nꎬʑp是q的充要条件.㊀㊀三㊁传递法1.若p是q的充分条件ꎬq是r的充分条件ꎬ则p是r的充分条件ꎻ2.若p是q的必要条件ꎬq是r的必要条件ꎬ则p是r的必要条件ꎻ3.若p是q的充要条件ꎬq是r的充要条件ꎬ则p是r的充要条件.例3㊀若甲是乙的必要不充分条件ꎬ丙是乙的充要条件ꎬ试判断丙是甲的什么条件.解析㊀ȵ甲是乙的必要不充分条件ꎬʑ甲⇒/乙ꎬ乙⇒甲ꎬ又ȵ丙是乙的充要条件ꎬ即丙⇔乙ꎬʑ丙⇒甲ꎬ甲⇒/丙ꎬʑ丙是甲的充分不必要条件.点评㊀对于看上去较复杂的关系ꎬ常用⇒㊁⇐㊁⇒/等符号进行传递ꎬ画出它们的综合结构图ꎬ可降低解题难度ꎬ直观快捷形象.练习3㊀已知p是r的充分不必要条件ꎬs是r的必要条件ꎬq是s的必要条件ꎬ那么p是q的什么条件?解析㊀依题意有:p⇒rꎬr⇒sꎬs⇒qꎬʑp⇒r⇒s⇒q.又ȵr⇒/qꎬʑq⇒/p.ʑp是q的充分不必要条件.㊀㊀四㊁等价命题法由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性ꎬ因而ꎬ当判断原命题真假比较困难时ꎬ可转化为判断它的逆否命题的真假ꎬ这就是常说的 正难则反 .例4㊀设p:x-1-2<1ꎬq:x-2x2+x-2>0ꎬ试判断¬p是¬q的什么条件.解析㊀设命题p㊁q分别对应集合P㊁Qꎬ则P=x-2<x<0ꎬ或2<x<4{}ꎬQ=x-2<x<1ꎬ或x>2{}.ȵP⊄Qꎬʑq是p的必要不充分条件ꎬʑ¬p是¬q的必要不充分条件.点评㊀由于原命题与逆否命题等价ꎬ逆命题与否命题等价ꎬ因此ꎬ对于那些带有否定性的命题ꎬ可先转化为它的等价命题ꎬ再进行判断ꎬ体现等价转化的思想ꎬ培养思维的灵活性.练习4㊀已知条件p:x+yʂ-2ꎬ条件q:xꎬy不都为-1ꎬ试判断p是q的什么条件.解析㊀直接判断比较困难ꎬ考虑采用原命题与逆否命题同真假的方法.等价的逆否命题为 若xꎬy都为-1ꎬ则x+y=-2 ꎬ显然成立ꎬʑp是q的充分而不必要条件.总之ꎬ条件充要性的判定是高中课程中很重要的知识ꎬ高考经常进行考查ꎬ我们在备考时一定要熟练掌握四种基本判断方法:定义法㊁集合法㊁传递法㊁等价命题法.同时由于条件充要性的判定在出题时很容易与其他知识进行交汇考查ꎬ所以我们有必要夯实基础ꎬ适当增加训练量ꎬ以到达稳步拿分的理想状态.㊀㊀参考文献:[1]黄中.充要条件经典题型解析[J].中学生数理化(高二版)ꎬ2010(10):15.[2]吴纲华.高中数学 充要条件 教学三误区[J].中学数学教学参考ꎬ2015(18):41.[3]杨鲜枝ꎬ张生. 充要条件 教学设计[J].中国数学教育ꎬ2019(12):3-6.[责任编辑:李㊀璟]96。

中点弦存在的充要条件及其方程

中点弦存在的充要条件及其方程
2 坐标满足条件 y0 < 2 px0 ) .
两式相减, 并整理可得 2 ( x1 + x2 ) ( x1 - x2 ) = ( y1 + y2 ) ( y1 - y2 ) . x1 ≠ x2 . 由对称性可知, ʑ kl = y1 - y2 2 ( x1 + x2 ) = = 1. x1 - x2 y1 + y2
y0 ) ( 其中 x0 , y0 不全为 0 ) , 点 P ( x0 , 如果 P ( x0 , x2 y2 0 0 y0 ) 在双曲线的内部( 即其坐标满足 2 - 2 > a b 1) , y0 ) 为中点的弦存在 . 这一点 那么以 P ( x0 , 与椭圆 、 抛 物 线 一 样, 我 们 没 有 疑 问, 但如果 P ( x0 , y0 ) 在双曲线的外部( 即其坐标满足 - x a
2 0 2
y = k ( x - x0 ) + y0 , 2 2 消去 y 得 x - y = 1, 2 a2 b
( b2 - a2 k2 ) x2 + 2 a2 k( kx0 - y0 ) x - a2 ( k2 x2 0
2 - 2 kx0 y0 + y2 0 + b ) = 0,
x = x0 , 同样可表示为 x y x0 x y0 y = + . 2 + 2 a b a b 结论 2 对于抛物线 y = 2 px( p > 0 ) 及
2 2 0 2 2 0 2
y0 ) , y0 ) 为中点的弦存在的 点 P ( x0 , 以 P ( x0 , y0 ) 在抛物线的内部( 即其 充要条件是 P ( x0 ,
2
高中数学教与学
命题 2 y0 ) ( 其中 x0 , y0 不 如果点 P ( x0 , x2 y2 - = 1( a > 0, b > 0) 的 a2 b2

要求出长方形的面积,就必须要知道它的长与宽吗?

要求出长方形的面积,就必须要知道它的长与宽吗?

要求出长方形的面积,就必须要知道它的长与宽吗?------谈“充分”、“必要”与“充要”条件朱乐平大家都知道,长方形面积等于长乘宽,用字母可以表示为S=ab。

笔者在听课中发现,有一些老师在引导学生经历、发现这个长方形面积公式之后,提醒学生说:“根据公式S=ab,大家要注意,如果我们要求出一个长方形的面积,那么就必须要知道它的长与宽。

”这样的表达其实是错误的。

如果我们能弄清四种命题的关系以及“充分条件”、“必要条件”和“充要条件”的含义,就能找到错误的原因。

每个几何命题从结构上分析,由两部分组成,即条件部分与结论部分,它表明条件与结论之间的某种因果关系,形式上可以表达为:“如果……(条件),那么……(结论)”。

用A表示条件,B表示结论,就可以写成:A B用“如果……(条件),那么……(结论)”,这种形式,对长方形的长与宽和面积之间的关系进行表达,可以有以下一些表达方式:(1)如果已知一个长方形的长与宽,那么就可以求出(或确定)这个长方形的面积;(2)如果已知一个长方形的面积,那么就可以求出(或确定)这个长方形的长与宽;(3)如果不知道一个长方形的长与宽,那么就不能求出(或确定)这个长方形的面积;(4)如果不知道长方形的面积,那么就不能求出(或确定)这个长方形的长与宽。

在上面表达的这些命题中,有肯定语气的命题和否定语气的命题。

一个肯定语气的命题,以否定语气叙述时就得到了另一个命题;再把这两个命题的条件和结论交换位置又可以得到两个不同的命题。

所以命题有四种形式,即原命题、逆命题、否命题、逆否命题。

上面列举的四个命题(1)-(4)依次可称为原命题、逆命题、否命题和逆否命题。

如果不管命题的具体内容,只从它的结构形式来研究,以上四种命题可以简单表示为:原命题:如果有A ,那么有B ,或。

A B逆命题:如果有B ,那么有A ,或。

B A 否命题:如果没有A ,那么没有B ,或。

A B逆否命题:如果没有B,那么没有A,或B A。

专题一:全等三角形中的开放探究型问题例谈

专题一:全等三角形中的开放探究型问题例谈

2011-11-6专题一:全等三角形中的开放探究型问题例谈探究型问题是近年中考的热点之一,它的最大特征是条件或结论具有一定的开放性.这类题目既考查了同学们的“双基”水平,以及对原有知识的掌握程度,又培养了创新能力.与全等三角形有关的探究题型没有明确的结论或条件,需要通过观察、联想、分析、比较、归纳、概括、猜想等来发现解题条件或结论. (一)结论开放型 例题1 如图所示,,请你添加一个条件: ,使OC =OD .例题2 如图所示,AB //CD .(1)用尺规作图法作∠ACD 的平分线CP ,CP 交AB 于点E (保留作图痕迹,不写作法);(2)在(1)中作出的线段CE 上取一点F ,连接AF .要使△ACF ≌△AEF ,还需要添加一个什么条件?请你写出这个条件(只要给出一种情况即可;图中不再添加字母和线段;不要求证明).(二)方法开放型例题3 已知,如图所示,AD 与BC 相交于点O ,∠CAB =∠DBA ,AC =BD .求证: (1)∠C =∠D ;(2)△AOC ≌△BOD . (三)条件开放型例题4 如图所示,在△AFD 和△BEC 中,点A 、E 、F 、C 在同一直线上,有下面四个论断:①AD =BC ;②AE =CF ;③∠B =∠D ;④AD ∥BC .请用其中三个作为条件,余下一个作为结论,编一道数学题,并写出解答过程. (四)探究规律型例题5 CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线,CA =CB .E 、F 分别是直线CD 上两点,且 ∠BEC =∠CF A =.如图所示.(1)若直线CD 经过∠BCA 的内部,且E 、F 在射线CD 上,请解决下面两个问题: (ⅰ)如图①所示,若∠BCA =90°,=90°,则BE CF ;EF |BE -AF |(填“>”“<”或“=”);(ⅱ)如图②所示,若0°<∠BCA <180°,请添加一个关于α与∠BCA 关系的条件 ,使(ⅰ)中的两个结论仍然成立,并证明这两个结论成立; (2)如图③所示,若直线CD 经过∠BCA 的外部,∠BCA ,请提出EF 、BE 、AF 三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).2011-11-6【强化练习】 1.如图,已知AB =AD ,∠BAE =∠DAC ,要使△ABC ≌△ADE ,可补充的条件是 (写出一个即可).2.如图,点P 在∠AOB 的平分线上,若使△AOP ≌△BOP ,则需要添加的一个条件是 .(只写一个即可,不添加辅助线) 3.如图所示,已知AB =AD ,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是( ) A .CB =CD B .∠BAC =∠DAC C .∠BCA =∠DCA D .∠B =∠D =90° 4.如图,∠C =∠D =90°,若要依据“HL ”证明△ABC ≌△BAD ,应添加条件 ,若要依据“AAS ”证明△ABC ≌△BAD ,应添加条件 .5.如图,在△ABC 中,E 、F 分别是AB 、AC 上的点,①AD 平分∠BAC ;②DE ⊥AB ,DF ⊥AC ;③AD ⊥EF ,以其中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题,即:①②→③;①③→②;②③→①.(1)试判断上述三个命题是否正确(直接作答); (2)请证明你认为正确的命题.6.如图,△ABC 的边BC 在直线l 上,AC ⊥BC ,且AC =BC ;△EFP 的边FP 也在直线l 上,边EF 与边AC 重合,且EF =FP .(1)在图(1)中,请你通过观察、测量、猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系;(2)将△EFP 沿直线l 向左平移到图(2)的位置时,EP 交AC 于点Q ,连接AP 、BQ ,猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系,请你证明你的猜想;(3)将△EFP 沿直线l 向左平移到图(3)的位置时,EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ,连接AP 、BQ .你认为(2)中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.。

高考数学复习点拨 谈谈“充要条件”问题的证明

高考数学复习点拨 谈谈“充要条件”问题的证明

1 / 1谈谈“充要条件”问题的证明在期末复习时,出现这样一道练习题: 已知y x ,都是非零实数,且y x >,求证:yx 11<的充要条件是0>xy . 学生在证明过程中暴露出许多意想不到的错误,总结一下大概有这么三个问题:(1)解题很不规范,因为有关充要条件的证明通常要分两个方面(最好标明①必要性.②充分性)来书写过程,最后还应该有一个“综上所述”来肯定一下所证的问题.然而有不少学生没有这样分步表达,而是眉毛胡子一把抓,凌乱不堪.(2)这道题本身就可看作是不等式的一个性质,有些学生用这性质来证这个性质,出现循环论证,以致过程太简洁,只写了几个式子.(3)有些学生试图想通过等价性来证明问题,然而也由于心有想而没说出或说不出,没有使用“⇔”符号来叙述证题过程,而只证了一个方面就结束了.出现上面这些问题的原因是:书上没有相关例题示范,教师在课堂上也很少讲(不是没讲过,而是讲得少)相关例题.此处为弥补证明“充要条件”这一不足,特举几例细说之.上面练习题的解答:证明:(1)必要性.由y x 11< 得 011<-y x 即 0<-xyxy 又由y x >得0<-x y , 所以 0>xy . (2)充分性.由0>xy 及y x >得xyyxy x > 即y x 11<.综上所述:yx 11<的充要条件是0>xy . 评注:(1)要证明命题的条件是充要的,必须要证两个方面,即既证明原命题成立,也证它的逆命题成立,证明原命题成立即证明条件的充分性,证明逆命题成立即证明条件的必要性.(2) 区分“充分性”与“必要性”的方法:利用“A的充要条件是B”与“A的充分(不必要)条件是B”中“B是A的充分条件”的一致性,可以断定:由B证出A是“充分性”,通俗地说“后推出前”是“充分性”.(3) 如果分不清两方面中哪方面是充分性还是必要性,那么不写出“充分性”与“必要性”等文字也可以,但要标注(1),(2).当然如果采用“⇔”符号来叙述证题过程,就不好再分两个方面了.(4)对于充要条件,要熟悉它的同义词语:“当且仅当”, “等价于”, “…反之也成立”“需且只需”“原命题成立,逆命题也成立” , 立几中的“确定”等等。

例谈“充要条件”在解题中的作用

例谈“充要条件”在解题中的作用

例谈“充要条件”在解题中的作用沅江一中 彭德芳“充要条件”有许多用途,活用它可以解决有些无法解决的问题,且对提高解题速度和准确性具有很强的实用性.下面列举实例说明“充要条件”在解题中的功能.一、1.函数)(x f y =为奇函数的充要条件是)(x f y =的图象关于原点对称; 2.函数)(x f y =为偶函数的充要条件是)(x f y =的图象关于y 轴对称.例1.已知函数.22lg)(31xx x x x x f xx +⋅-⋅=(1)求证:函数)(x f 的图象关于y 轴对称;(2)设函数)0)(()()(≠--+=a a x f a x f x F ,证明:函数)(x F 的图象关于原点对称.分析:由上面充要条件得(1)与(2)的证明中满足分别为偶函数与奇函数即可. 证明:(1)显然0≠x .当0>x 时,;012122222>+-=+⋅-⋅=+⋅-⋅x x xx x x x x x x x x xx 当0<x 时, .021122222>-+=+⋅-+⋅=+⋅-⋅xx x x x x x x x x x x xx ∴函数定义域为0≠x ,且R x ∈. .)(),()(01lg 22)(22)(lg 22lg)(22)(lg)()()(31313131为偶函数x f x f x f x xx xx x x x x x xx x x x x x x x x x f x f xx x x x x x x ∴=-∴=-=+⋅-⋅⋅-+⋅---⋅--=+⋅-⋅--+⋅---⋅--=------∴由充要条件得:)(x f 的图象关于y 轴对称.(2))]([)]([)()()(a x f a x f a x f a x f x F +----=---+-=-))(()()(a x x F a x f a x f ±≠-=+--=)(x F 函数∴为奇函数,由充要条件得: 函数)(x F 的图象关于原点对称.二、函数)(x f y =定义域内的任意x 满足)()(x m f x m f -=+恒成立的充要条件是:函数)(x f y =的图象关于直线m x =对称.例2.设二次函数)(x f 满足),2()2(x f x f --=-且图象在y 轴上的截距为1,在x 轴截得的线段长为22,求)(x f 的解析式. 解:由充要条件得)(x f y =的图象关于直线2-=x 对称.又)0,22(),0,22()(,2221+---=∴=-轴的交点为与x x f y x x 故可设)22)(22()(-+++=x x a x f1221)(.21,1)0(2++=∴=∴=x x x f a f . 三、对于无穷等比数列{}n a ,qa S S n n -==∞→11lim的充要条件是:公比q 应满足10<<q .例3.无穷等比数列{}n a 各项和等于3,各项平方组成的数列{}2n a 的各项和等于29,求数列{}3n a 各项和. 解:设数列{}n a 的公比为q ,依题意知10<<q.∴由充要条件得:12123,1912,a q a q⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩第 3 页 共6页得.31,21==q a ∴由充要条件得:数列{}3n a 各项和为313108.113a S q ==- 四、已知121212,()()0x x x x x x x x x <<<--<则充要条件是;例4.(高考题)设二次函数方程),0()(2>++=a c bx ax x f )(x f -x=0的两个根满足.1021ax x <<<(1)当),0(1x x ∈时,证明:;)(1x x f x <<(2)略. 证明: 由等价条件得[][]0)()()(11<-⋅-⇔<<x x f x x f x x f x .依题意))(()(21x x x x a x x f --=-[][][][]11)()()()(x x x x f x x f x x f x x f -+-⋅-=-⋅-∴[])1)(()()())(())((2221212121ax x x x x x a x x x x x x a x x x x a +---=-+----=0)1(1,0,10222121>>-+=+-<-∴<<<x x ax a x x x x a x x ∴有[][]0)()(1<-⋅-x x f x x f 成立,于是.)(1x x f x << 五、关于x 的方程b a c x b x a ,(cos sin =+不同时为零)有解的充要条件是:.222c b a ≥+例5.求函数2cos sin 1cos 3++=x x x y 的值域.解:将函数整理成关于x 的方程y x y x y 21cos )3(sin --=-+.∴由充要条件得:.045)21()3(2222≤-+⇔--≥-+y y y y y.2415≤≤2415+y 所以例6.设)si n (,23)c o s (c o s c o s ,,0βαβαβαπβα+=+-+<<求且的值.解:变形已知等式得βαβαβcos 23sin sin cos )cos 1(-=+-, 由充要条件有:0)21(cos )cos 23(sin )cos 1(2222≤-⇒-≥+-ββββ,.2332sin )sin(.3:;3,021cos ==+==<<=πβαπαπβπββ故同理可得所以且从而有六、复数z 为实数的充要条件是:_z z =.例7.设βα.是实系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的二根.已知α是虚数,且βα2是实数,求βα的值.解:βα, 为实系数一元二次方程的两个虚根,,,____βααββα≠==∴且由充要条件得1)()(3222____22___2=⇒=⇒=⇒=βαβααββαβαβαβα. ,2321±-=∴βα即为所求的值. 七、两个非零复数21z z 与满足),0(21R i z z ∈≠=λλλ的充要条件是:其对应的向量.21→→⊥OZ OZ例8.已知ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 对应的复数分别是1z 、2z 、3z ,若,3411312i z z z z +=--证明:ABC ∆是直角三角形.第 5 页 共6页证明:由i z z z z 3411312+=--反解出,432313i z z z z -=--由充要条件得:→→∴⊥.CB CA ABC ∆是直角三角形.八、两个复数21z z =的充要条件是:它们的实部与实部相等,虚部与虚部相等.例9.若复数),()3(13,3221R y x i y y z xi x z ∈-+-=+-=的模相等,且,2arg21π=z z 求x 与y 的值. i i z z z zz z z z =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∴==2sin 2cos ,2arg:21212121πππ且解 ,.21i z z =∴ 由充要条件得)3()13(32y i y xi x ---=+-,.,,23123113332的值即为所求y x y x y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=- 九、由一点S 引不共面的三条射线SA 、SB 、SC ,设21,θθ=∠=∠BSC ASB ,θ=∠ASC ,其中θθθ,,21均为锐角,则平面ASB ⊥平面BSC 的充要条件是cos θ=21cos cos θθ⋅(由课本总习题的第三题变形而来).例10.把长宽各为4与3的长方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角,求B和D 间的距离.C解:如图,二面角B-AC-D 是直二角,故有平面BAC ⊥平面DAC.在平面BAC 内作BE ⊥AC,在平面DAC 内作DF ⊥AC ,则有AE=CF.又.516,59,,222=-===⋅+=AE AC CE AE AB AE AC BC AB AC 从而得得.53cos ,54cos 21====∴CD CF BC CE θθ 根据充要条件得:.2512cos cos cos 12=⋅=∠θθBCD .5337,25337251234234cos 2:,22222=∴=⋅⋅⋅-+=∠⋅-+=∆BD BCD CD BC CD BC BD ABC 由余弦定理得中在十、以),((),,(2211y x B y x A 为某园直径端点的充要条件是:其园方程为))((21x x x x --0))((21=--+y y y y .例11.求直线0153=-+y x 和直线05=--y kx 与两坐标轴所围成四边形的外接园方程.解:因为园内接四边形对角互补,而两坐标轴交成直角,所以两条直线也垂直,从而3=k . 在053=--y x 中令0=y 得)0,35(A ; 在0153=-+y x 中令0=x 得)5,0(B .显然AB 是园的直径,由上充要条件得:园方程为0)5()35(=-+-y y x x ,即 园方程为.053522=--+y x y x。

浅谈多元函数可微的充要条件

浅谈多元函数可微的充要条件

浅谈多元函数可微的充要条件一元函数可微与可导是等价的,且。

那么多元函数在某一点处可微与它在该点处的偏导数具有怎样关系呢?,本文以二元函数来简述这个问题,即二元函数在点处可微与它在该点处的偏导数之间的关系。

1 可微的必要条件定理1:如果函数在点处可微,则在该点处函数的两个偏导数一定存在,且有:。

证明:由假设函数在点处可微,可知存在两个与无关的常数A、B,使函数的改变量可表示为:其中即令,这时,于是上式两边同时除以,再取当的极限得,同理可得即所以例1:讨论函数在原点存在两个偏导数,但是函数在原点不可微。

解:函数在原点处偏导数存在,即:但是,它在原点不可微,事实上,反之,如果它在原点可微,则必有:特别地,取,有:于是即不是高阶无穷小(当时),这与可微的定义矛盾,于是,函数在原点不可微。

2 可微的充分条件定理2:如果函数的偏导数在点的某个邻域内连续,则函数在点处可微。

证明:由假设,函数的偏导数在点的某个邻域内存在,设点为该邻域内任一点,得: 在第一括号内的表达式,由于不变,因而可以看作是的一元函数的增量,应用拉格朗日中值定理,得:又依假设,在点处连续,得:即于是(1)为的函数,而且,当时,有。

同理可证,第二个括号(2)为的函数,而且,当时,有。

由(1)(2)两式可知,在连续下,有(3)又因为≤≤而且随着令,于是(3)式也可表示为其中是当时的无穷小。

故函数在点处可微。

例2:讨论函数在点处可微,但是它的偏导数在该点处不连续。

解:因为同理但是,当时,直接由函数的表达式可得令,得:不存在,同样可知也不存在。

由此可知函数在点的两个偏导数存在,但不连续。

另一方面,由于:故函数在点处是可微的。

3 充分必要条件定理3:设函数在点的某个邻域U内有定义,则函数在点可微的充分必要条件是点的两个偏导数都存在,且:其中证明:必要性,因为函数在点可微,所以存在和,且:其中当。

由函数在点可微性的假设,得:又故充分性因为和存在,且又由于:其中当,故有由二元函数在一点可微的定义可知,函数在点可微。

1先探寻充分条件再证其为必要条件

1先探寻充分条件再证其为必要条件

先探寻充分条件再证其为必要条件──例谈一类不等式恒成立参数取值范围问题的统一解法增大字体作者:佚名来源:本站整理发布时间:2018-09-25 10:34:21减小字体笔者在研究有关函数不等式恒成立求参数取值范围的问题时,发现其中一类问题倍受命题者特别是全国卷命题人的青睐,在06年到10 年这五年高考中就有四年对这类问题进行考查并且是作为压轴题进行考查。

这类问题不能用常用方法转化为最值问题或函数取值范围问题来解,因为这类问题往往受知识限制无法求出最值或取值范围。

因而解决这类问题必需另辟蹊径,不能一条路走到黑,否则将无功而返,要求解法突破常规,问题解决具有挑战性和探索性,对考生能力方面的要求较高。

笔者通过解题实践找到了一个高中学生能理解、易接受可操作的一种解法:先探寻充分条件,再证其为必要条件。

例1<湖北稳派教育新课改革2018年5月高二年级摸底考试理科数学第21题)已知函数在的最小值;<Ⅱ)若函数。

<Ⅰ)当时,求恒的取值范围;<Ⅲ)当时,不等式上为单调函数,求实数区间的取值范围。

成立,求实数本题第三问就是不等式恒成立求参数取值范围的问题,本问难度较大与下文中的几道高考题不仅难度相当,而且解法惊人相似同出一辙<相对笔者解法而言)。

先看第三问命题组给出的参考答案。

恒成立,即解法1<参考答案)恒成立。

恒成立,即时,不等式显然成立。

当,于是,所以当,所以时,的最小值。

设,即求时恒成立。

令在的图象两点在,且,则,即实数的取值,故上,又,所以,故。

范围是点评本解法需要过两道难关,第一关是“开局关”,通过构造、联想、数形结合,将问题转化为函数的斜率的取值范围问题;第二关是“收局关”,数形结合将两点的斜率与图象上两点导数的几何意义沟通,从而将求斜率的取值范围问题转化为导数的取值范围问题。

下面请看笔者给出的解法。

恒成立,即时,不等式解法2<先探寻充分条件,再证其为必要条件)当恒成立,也就是恒成立。

高考数学复习点拨 例谈充要条件的证明问题

高考数学复习点拨 例谈充要条件的证明问题

例谈充要条件的证明问题充要条件是本章的一个重要内容,也是高考及其他考试的一个热点。

证明p 是q 的充要条件,,即要证明命题“p q ⇒”为真,又要证明命题“q p ⇒”为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性。

以下两例,供参考。

例1 已知数列{}n a 的前n 项和为(0n n S aq b a =+≠,q 是不等于0和1的常数),求证数列{}n a 为等比数列的充要条件是0a b +=。

分析:证明充分性就是证明条件能推出结论,证明必要性则是证明结论能推出条件。

证明:(1)先证充分性。

∵0a b +=,∴n n n S aq b aq a =+=-。

∵1n n n a S S -=-1()()n n aq a aq a -=---1(1)(1)n a q q n -=->, ∴11(1)(1)nn n n a a q q a a q q+--=-(1)q n =>, 又∵1a aq a =-,22a aq aq =-, ∴221a aq aq q a aq a-==-。

故数列{}n a 是公比为q 的等比数列。

(2)再证必要性∵数列{}n a 为等比数列, ∴1(1)1n n a q S q -=-1111n a a q q q=---。

∵n n S aq b =+, ∴11a a q =--,11a b q=-。

∴0a b +=。

综上所述,数列{}n a 为等比数列的充要条件是0a b +=。

评注:证明充要条件,首先要找到条件和结论,如本题“证明数列{}n a 为等比数列的充要条件是0a b +=”说的很明白,条件是0a b +=,结论是数列{}n a 为等比数列。

充分性和必要性要逐一证明,并有必要的文字说明。

例2已知0ab ≠,求证:1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++--=。

分析:本题中0ab ≠是大前提,证明充要条件,即证明既是充分条件又是必要条件,必须证明必要性与充分性都成立。

新教材必修第一册《1.4充分条件与必要条件》

新教材必修第一册《1.4充分条件与必要条件》

(2)集合法 对于集合 A={x|x 满足条件 p},B={x|x 满足条件 q},具体情 况如下: 若 A⊆B,则 p 是 q 的充分条件; 若 A⊇B,则 p 是 q 的必要条件; 若 A=B,则 p 是 q 的充要条件; 若 A B,则 p 是 q 的充分不必要条件;
若 A B,则 p 是 q 的必要不充分条件.
由条件关系求参数的值(范围)的步骤 (1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系. (2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解.
1.已知 p:-4<x-a<4,q:(x-2)(x-3)<0,若 q 是 p 的充 分条件,则 a 的取值范围为________. 解析:化简 p:a-4<x<a+4,q:2<x<3, 由于 q 是 p 的充分条件, 故有aa-+44≤≥23,,解得-1≤a≤6. 答案:-1≤a≤6
“x>a”是“x>|a|”的必要不充分条件,故选 B.
3.“x<2”是“x-1 2<0”的(
)
A.充要条件 C.充分不必要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析:选 A.由x-1 2<0 得 x-2<0 得 x<2,即“x<2”是“x-1 2<0”
的充要条件,故选 A.
充分条件、必要条件、充要条件的应用 已知 p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.
■名师点拨 (1)p 是 q 的充要条件意味着“p 成立,则 q 一定成立;p 不成立, 则 q 一定不成立”. (2)要判断 p 是不是 q 的充要条件,需要进行两次判断:一是看 p 能否推出 q,二是看 q 能否推出 p.若 p 能推出 q,q 也能推出 p,就可以说 p 是 q 的充要条件,否则,就不能说 p 是 q 的充要 条件.

例谈用变量分离证明充要条件

例谈用变量分离证明充要条件
1 , 区 问 ( , ] , ( :b , ( … = 时 在 0 1 上 g ) 一1 『 ) I 2 又 ) , 对 任 意 ∈( , ] I( :0 故 0 1 ,f )I 1的 ≤
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学 生 数 列 的转 化 及 拆 添 项 、 缩 等 方 法 证 明 不 等 式 放 的能 力 , 相 当 难 度 , 如 果 “ 果 索 因 ” 凭 着 “ 有 但 执 , 数 感 ” 追 寻 o b 表 达 式 所 留下 的 蛛 丝 马 迹 , 不 , ・ 的 也 难发现解决 问题 的切入 口 , 需将 通项放 缩成 等 比 只
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例谈“两边夹定理”的应用

例谈“两边夹定理”的应用

例谈“两边夹定理”的应用一证明,,(0)2O AOB x x π∠=<<设单位圆圆心角.ADO ∆作单位圆的切线,得,OAB x 扇形的圆心角为,OAB BC ∆的高为sin ,,tan ,x BC x AB x AD ===于是有弧△AOB 的面积<圆扇形AOB 的面积<△AOD 的面积 即12sin x <12x 12tan x <,sin cos 1xx x<< 0sin lim 1x xx+→= 二2008年全国联赛11题设()f x 是定义在R 上的函数,若(0)2008f = ,且对任意x ∈R ,满足(2)()32x f x f x +-≤⋅,(6)()632x f x f x +-≥⋅,则)2008(f =令()()2x g x f x =-,则 2(2)()(2)()2232320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≤⋅-⋅=,6(6)()(6)()226326320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≥⋅-⋅=,即(2)(),(6)()g x g x g x g x +≤+≥,故()(6)(4)(2)()g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤, 得()g x 是周期为2的周期函数,所以200820082008(2008)(2008)2(0)222007f g g =+=+=+三2008年江苏省高考题.设函数13)(3+-=x ax x f (R x ∈)若对于任意]1,1[-∈x ,都有0)(≥x f 成立,则实数a 的值为 。

由于此题中含有参数a ,我们直接研究)(x f 单调性较为困难,可以先缩小a 的范围,由⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⇒≥≥≥-420)0(0)1(0)1(a f f f ,从而0≠x 时,即为3213x x a -≥恒成立,可以求出]1,1[-∈x 时,3213x x -的最大值为4,此时21=x ,∴4≥a ,从而a 只能等于4。

ab为充要条件的公式表达

ab为充要条件的公式表达

充要条件是指当且仅当某个条件满足时,另一个条件也必定满足。

在数学中,可以使用等价性来表示充要条件。

对于命题 A 和B,如果 A 充要条件为B,可以表示为:
A ⟺ B
其中"⟺" 表示双向箭头,表示两个条件互相推导。

如果要根据具体的条件来表达 A 和 B 的充要条件,可以使用等式或逻辑符号进行表示。

以下是一些常见的例子:
1. 等式:
- A = B
- A - B = 0
2. 含有逻辑运算符的表达式:
- A ∧B = B ∧A (A和B互相等价)
- A ∨B = B ∨A (A和B互相等价)
- A → B = ¬ A ∨B (A蕴含B,或者说B是A的一个充要条件)
- A ↔ B = (A → B) ∧(B → A) (A和B互相充要条件)
注意,具体的充要条件的表达式取决于具体的条件 A 和B。

以上是一些常见的例子,你可以根据特定的情况选择合适的表达式来表示充要条件。

浅谈充分条件、必要条件题型的解题方法

浅谈充分条件、必要条件题型的解题方法

解题篇创新题追根溯源高考数学2020年11月申醪墩理化!"#$%件’()%件*型,—*方/■珠海市北京师范大学(珠海)附属高级中学李建波充分条件、必要条件是“常用逻辑用语”中的重点及难点,充分条件、必要条件题型在咼考中也是咼频率考点。

因此本文例析五种常见的解题方法来处理此类题目,希望对同学们的备考能有所帮助#一、定义法,一般地,用P和g表不两个命题,若p/q,则p是g的充分条件;若g/:,则p 是g的必要条件;若p0q,则p与q互为充要条件。

”定义法就是借助这种推导关系来判断充分必要条件的。

!!(2020年高考北京卷)已知a, 0#R,则“存在6#)使得a=6-+(―1)$”是“sin a&sin$"的()#A.充分不必要条件B必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:(1)当存在6#)使得a=6-+ (―1)$时:若6为偶数,则sin a&sin(6-+$)& sin$&若6为奇数,贝U sin a&sin(6-—$)& sin0(6——1)—+———$1=sin(———$)=sin$#(2)当s i n a&s i n$时,a=$+2(—或a+$=—+2(—,(#),即a=6—+(—1)6•$(6&2()或a=6—+(—1)$(6&2(+1),亦即存在6#)使得a=6—+(—1)$#综上可知,“存在6#)使得a=6—+ (—1)$”是"sin a=s in$”的充要条件#,虽评:与三角、向量有关的充6条件的判断,在分清条件和结论的基础上,必须坚持“双向推理”的原则,关键是先看由条件能否推出结论,再看由结论能否推出条件#能推出一定6说明原因,推不出一定6举出反例,只有这样才能避免出错#二、集合法或图形法两个命题成立的元素组成的集合(或图形)分别用p和g来表示,如果p i g,我们称p是g的充分条件;如果p2g,称p是g的必要条件;如果p=g,称p是g的充要条件。

商务谈判技巧的应用及案例分析

商务谈判技巧的应用及案例分析

商务谈判技巧的应用及案例分析商务谈判技巧的应用及案例分析篇一:商务谈判策略与技巧案例试举一例说明商务谈判策略与技巧的参照上面的示例形式作答答(1、背景):日本一家大型技术公司参加美国在中东的某一项工厂设备的招标。

日本认为自己比竞争对手更具有优势,经过双方的谈判,美国代表希望日本公司的报价还应该再减少5%。

(2、细节展现):在谈判中,日本代表故意答非所问的说已经将规格明细表按照美国方面的要求重新写了,美国方面一看不对,急忙说明,他们不是要求日本方面修改规格明细表,而是??,日本人则说:“你的再加点”。

便不在作声。

美国人沉不住气便说:“这规格明细表??” 于是双方变围绕这规格明细表谈判,降价的事被放到了一边。

过了一个多小时,日本要求结束谈判变问美国方面:“你们希望减价多少?”美国方面说:“规格明细表不要改动,希望你们能减价5%”日本方面说:“你得再加点。

然后继续不作声。

”美国方面在沉默后说:“那就是2.5%。

”日本人仍是不作声。

美国方面则说:“2%。

”日本人说:“你得再加点。

”这样,经过谈判,日本人没有降价而只是做了一些额外的工作,交易成功,美国方面得到了希望的利益,而日本方面几乎没有做让步。

(3、案例分析)在这次谈判中,日本人巧妙的运用了老虎钳策略——永远不要让对方知道你已经心满意足了。

就是不开口,逼迫美国人一次次的提高,这样做的结果是几乎不做什么让步,而得到了这次的招标。

篇二:商务谈判策略与技巧案例从谈判心理的角度试举一例商务谈判策略与技巧的案例对照上面的示例作答一、背景:日本向中国某公司购买电石,就购买电石的价格进行谈判二、细节展现:曰本某公司向中国某公司购买电石.此时.是他们间交易的第五个年头,年谈价时,曰方压中方30万美元/吨,今年又要压20美元/吨,即从410美元压到390美元/吨。

据日方讲,他已拿到多家报价,有430美元/吨,有370美元/吨,也有390美元/吨。

据中方了解,370美元/吨是个体户报的价,430美元/吨是生产能力较小的工厂供的货,供货厂的厂长与中方公司的代表共4人组成了谈判小组,由中方公司代表为主谈。

浅谈充分条件与必要条件

浅谈充分条件与必要条件

课程篇充分条件与必要条件在整个高中的教学中起着非常重要的作用。

表现在2016年的考纲上明确指出要理解充分条件与必要条件的意义。

因此学好充分条件与必要条件对整个高中的学习都是至关重要的。

一、充分条件与必要条件的有关概念1.充分条件与必要条件一般地,“若p ,则q ”为真命题,是指由p 通过推理可以得出q ,记作:p ⇒q 。

并且说p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件说明:①这里所谓“充分”,即要使q 成立,只要有p 成立就足够了;所谓“必要”,即q 是p 成立的必不可少的条件。

②通常:若p ⇒q ,且p ,则称p 是q 的充分不必要条件;若q ,且q ⇒p ,则称p 是必要不充分条件。

③“p 是q 的充分条件”与“p 是q 的充分不必要条件”是不一样的,因为前者中的p 是否为q 的必要条件并不确定;“p 是q 的必要条件”与“p 是q 的必要不充分条件”不一样,因为前者中的p 是否为q 的充分条件并不确定。

④“p 是q充分条件”指的是“q ”,“p 是q 的不必要条件”可认为:“p ”。

⑤若p 是充分条件,q 是r 的充分条件,则p 是r 的充分条件。

若p 是q 的必要条件,q 是r 的必要条件,则p 是r 的必要太难。

这说明它们具有传递性。

2.充要条件一般地,如果既有p ⇒q ,又有q ⇒p ,就记作p ⇔q ,此时,我们说p 是q 的充分不必要条件,简称充要条件。

显然,如果p 是q 的充要条件,那么q 也是p 的充要条件。

说明:①概括地说,如果p ⇔q ,那么p 与q 互为充要条件。

②若q ,且p ,则称p 是q 的既不充分也不必要条件。

二、充分条件与必要条件的判断方法1.定义法:直用定义进行判断若p ⇒q ,且p ,则p 是q 的充分不必要条件。

若q,且q ⇒p ,则p 是q 的必要不充分条件。

若p ⇔q ,则p 是q 的充要条件。

若q ,且p ,则p 是q 的既不充分也不必要条件。

注意:①充要条件的叙述常用“当且仅当”“必须且只需”等语句表示。

试谈充分条件和必要条件

试谈充分条件和必要条件

试谈充分条件和必要条件摘要:充分条件、必要条件与充要条件是数学中的重要知识,对这些知识的学习和掌握将对数学学习起到重要作用。

关键词:充分条件;必要条件;充要条件;判断;证明作者简介:叶建军,任职于江西省弋阳县教体局教学研究室。

充分条件、必要条件与充要条件,是中学数学中的重要概念,同时因其抽象而又成为学生难于理解的内容。

数学是人类文明的重要组成部分,它对科学技术发展和社会进步起着积极的推动作用。

在科学技术日益发达的今天,条件判断能力越来越重要。

在计算机编程及数据控制中,往往用到条件判断能力。

高中学生作为向高一级学府输送的后备力量,培养其具备良好的条件判断能力,是摆在我们数学教师面前的一项艰巨而重要的任务。

充分条件、必要条件、充要条件揭示了命题与结论之间的相互依存关系,在历年高考中,都是考试的必备内容。

弄清这些概念,对我们加深对一个命题成立条件的理解和提高推理论证能力都是很有帮助的。

正确地理解和判断充分或必要条件是教学中必须要解决的问题。

下面试谈一下:一、概念充分条件:如果p成立,可推出q成立,即p q,那么就说p是q的充分条件,如果原命题成立,但它的逆命题不成立,那么我们就说原命题的条件是充分的但不必要,即原命题的条件是它结论的充分非必要条件。

如:在命题“两三角形全等,则这两个三角形面积相等”中,两个三角形全等,是这两个三角形面积相等的充分非必要条件。

必要条件:如果q成立,可推出p成立,即q p,那么就说q是p的必要条件,如果原命题不成立,但它的逆命题成立,那么我们就说原命题的条件是必要但不充分的,即原命题的条件是它结论的必要非充分条件。

如:在命题“两条对角线相等的四边形是等腰梯形”中,两条对角线相等,是等腰梯形的必要非充分条件。

充要条件:如果一个命题的条件既是它结论的充分条件,又是它结论的必要条件,那么我们说这个命题的条件是它结论的充要条件,即p q。

如:命题甲:△ABC的一个内角为60度,命题乙:△ABC的三个内角的度数成等差数列。

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例谈充要条件的证明问题
充要条件是本章的一个重要内容,也是高考及其他考试的一个热点。

证明p 是q 的充要条件,,即要证明命题“p q ⇒”为真,又要证明命题“q p ⇒”为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性。

以下两例,供参考。

例1 已知数列{}n a 的前n 项和为(0n n
S aq b a =+≠,q 是不等于0和1的常数),求证数列{}n a 为等比数列的充要条件是0a b +=。

分析:证明充分性就是证明条件能推出结论,证明必要性则是证明结论能推出条件。

证明:(1)先证充分性。

∵0a b +=,
∴n n n
S aq b aq a =+=-。

∵1n n n a S S -=-1()()
n n aq a aq a -=---1(1)(1)n a q q n -=->, ∴11
(1)(1)n
n n n a a q q a a q q +--=-(1)q n =>,
又∵1a aq a =-,22a aq aq =-, ∴221
a aq aq q a aq a -==-。

故数列{}n a 是公比为q 的等比数列。

(2)再证必要性
∵数列{}n a 为等比数列, ∴1(1)1n n a q S q -=-1111n a a q q q =---。

∵n
n S aq b =+, ∴11a a q =--,11a b q =-。

∴0a b +=。

综上所述,数列{}n a 为等比数列的充要条件是0a b +=。

评注:证明充要条件,首先要找到条件和结论,如本题“证明数列{}n a 为等比数列的充要条件是0a b +=”说的很明白,条件是0a b +=,结论是数列{}n a 为等比数列。

充分性和必要性要逐一证明,并有必要的文字说明。

例2 已知0ab ≠,求证:1a b +=的充要条件是3322
0a b ab a b ++--=。

分析:本题中0ab ≠是大前提,证明充要条件,即证明既是充分条件又是必要条件,必须证明必要性与充分性都成立。

证明:先证必要性:∵1a b +=,即1b a =-,
∴33223322(1)(1)(1)a b ab a b a a a a a a ++--=+-+----
323222133120a a a a a a a a a =+-+-+---+-=,
∴必要性成立。

再证充分性: ∵
33220a b ab a b ++--=, 即2222()()()0a b a ab b a ab b +-+--+=,

22(1)()0a b a ab b +--+=。

又∵0ab ≠,∴0a ≠且0b ≠,从而220a ab b -+≠, ∴10a b +-=,即1a b +=,
∴充分性也成立。

故0ab ≠时,1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++--=。

评注:证明充要条件时,要分清充分性是证明怎样的一个式子成立,必要性又是证明怎样的一个式子成立。

例 3 已知方程
22(21)0x k x k +-+=,求使方程有两个大于1的根的充要条件。

分析:求充要条件,则推理的各步应是可逆的,
0∆≥是有实根的充要条件。

解析:设方程的两根为1x 、2x ,使1x 、2x 都大于1
的充要条件是
22121
2(21)40(1)(1)0(1)(1)0k k x x x x ⎧--≥⎪-+->⎨⎪-->⎩,即1212121()20
()10k x x x x x x ≤⎧⎪+->⎨⎪-++>⎩。

由韦达定理得214(21)20(21)10k k k k ⎧≤⎪⎪--->⎨⎪+-+>⎪⎩,解得2k
<-。

故所求的充要条件为2k <-。

评注:“11x >,21x >122x x ⇒+>,121x x >”,但反过
来,“122x x +>,121x x >11x ⇒>/,21x >”,例如取11x =,
23x =有122x x +>,且121x x >,但没有保证两个根都大于1,1212021x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪>⎩仅是两根都大于
1的必要条件,
而不是充分条件。

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