2-6距离的计算课件(北师大版选修2-1)

【训练 3】 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 4，M、N、E、F 分别为 A1D1、A1B1、C1D1、B1C1 的中点，求平面 AMN 与平面 EFBD 间的距离．
解 如图所示，建立空间直角坐标系 D-xyz，则 A(4，0，0)， M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4， 4)，N(4，2，4)， → → 从而EF＝(2，2，0)，MN＝(2，2，0)， → → AM＝(－2，0，4)，BF＝(－2，0，4)， → → → → ∴EF＝MN，AM＝BF， 又∵EF∩BF＝F，AM∩MN＝M ∴EF∥MN，AM∥BF， ∴平面 AMN∥平面 EFBD.
(2)点到平面的距离的求法：如图，BO⊥平面 α， 垂足为 O，则点 B 到平面 α 的距离就是线段 BO 的长度． → → 若 AB 是平面 α 的任意一条斜线段． 则在 Rt△BOA 中， |＝|BA |BO → → |BA·BO| |cos∠ABO＝ ，如果令平面 α 的法向量为 n，考虑到法 → |BO| → → |AB·n| 向量的方向，可以得到 B 点到平面 α 的距离为|BO|＝ |n| . 因此要求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成：①求出 该平面的一个法向量；
→ BC·n |－12| 12 61 为：d＝ |n| ＝ ＝ 61 .(12 分) 61
【题后反思】 七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化， 如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间 的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离．而且 我们在求解时往往又转化为空间向量的处理方法．
②找出从该点出发与平面的任一条斜线段对应的向量；③求出 法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值，再除以法向量 n 的模，即可求出点到平面的距离．由于 ＝n0 可以视为平面的 |n| 单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量 与从该点出发的平面的斜线段对应的向量的数量积的绝对值， → 即 d＝|AB·n0|.
→ P(0，0，2)、F(1，0，0)、B(2，2，0)、E(0，1，1)，FP＝(－1， → → → 1→ 1→ 0，2)，FB＝(1，2，0)，DE＝(0，1，1)，∴DE＝2FP＋2FB， 又∵DE 不在平面 PFB 内，∴DE∥平面 PFB.
(2)解
∵DE∥平面 PFB，∴E 到平面 PFB 的距离等于 D 到平
(3)线面距离、面面距离均可转化为点面距离，用求点面距离的 方法进行求解． (4)两异面直线距离的求法：如图所示，设 l1，l2 是两条异面直 线，n 是 l1，l2 的公垂线段 AB 的方向向量，又 C，D 分别是 l1， → → |CD·n| l2 上的任意一点，则 l1 与 l2 之间的距离 d＝|AB|＝ . |n|
＝
3．点到平面的距离 一点到它在一个平面内的 正射影 的距离叫做这一点到这个平 面的距离，如图所示，设 n 是平面 α 的法向量，AB 是平面 α → |AB·n| 的一条斜线，则点 B 到平面 α 的距离 d＝ ．若 n0 是平 |n| → 面 α 的单位法向量，则 d＝ |AB·n0| ．
4．异面直线的距离 (1)和两条异面直线都 垂直相交 的直线叫做两条异面直线的公 垂线．任意两条异面直线有且只有 一条 公垂线． (2)两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条 异面直线的公垂线段， 两条异面直线的公垂线段的 长度 叫做两 条异面直线的距离．
误区警示 因在求平面法向量时对横坐标 x 赋值时选取了 x＝0 而出错 【示例】 已知点 A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c)(abc≠0)， 求平面 ABC 的一个法向量．
求平面的法向量的步骤是： (1)设出平面的法向量为 n＝(x，y，z)； (2)找出(求出)平面的两个不共线的向量的坐标 a＝(a1，a2，a3)， b＝(b1，b2，b3)； (3)根据法向量的定义建立关于 x，y，z
题型三 线面、面面距离 【例 3】 (12 分)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB＝4，BC＝3， CC1＝2. (1)求证：直线 CD1∥平面 A1BC1； (2)求直线 CD1 与平面 A1BC1 间的距离． 审题指导 本题是一道线面距离问题， 我们将其转化为点面距离 进行求解，所以实质上还是点面距离的问题，对于点面距离的 求解方法必须要熟练掌握．
n·a＝0， 的方程组 n· b＝0；
(4)解方程组，取其中的一个解作为法向量，由于一个平面的法 向量有无数多个，故可在方程组解中取一个最简单的作为平面 的法向量．
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§6 距离的计算
【课标要求】 1．掌握向量长度计算公式． 2． 会用向量方法求两点间的距离、 点到直线的距离和点到平面 的距离． 【核心扫描】 1． 理解立体几何中点到直线的距离和点到平面的距离的基本概 念．(重点) 2．各种距离的求解和计算方法．(重点、难点) 3．处理距离问题时，平面法向量的求解易出错．(疑点)
角度作出这个距离有很大的困难， 利用向量方法求解较为容易．
【训练 2】 四棱锥 PABCD 中， 四边形 ABCD 为正方形， PD⊥ 平面 ABCD，PD＝DA＝2，F、E 分别为 AD、PC 的中点． (1)证明：DE∥平面 PFB； (2)求点 E 到平面 PFB 的距离．
(1)证明
以 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
(2)设平面 A1BC1 的法向量为 n＝(x，y，z)，则 1 → n· 1＝0， －4y＋2z＝0， y＝2z， BA 即 ∴ → n· ＝0， －3x＋2z＝0. x＝2z. BC1 3 取 z＝6，则 x＝4，y＝3，∴n＝(4，3，6)，(8 分) → 则BC·n＝(－3，0，0)· (4，3，6)＝－12，|n|＝ 61. 所以点 C 到平面 A1BC1 的距离即直线 CD1 到平面 A1BC1 的距离
设点 A1 到直线 BD 的距离为 d.
所以 d＝
规律方法
本题(1)利用基本定义直接求解距离， (2)利用向量方
法求解，通过训练熟练掌握向量公式法求解．
【训练 1】 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，点 E 是 A1B1 的中点，则点 A 到直线 BE 的距离是( )．
6 5 4 5 2 5 5 A. B. C. D. 5 5 5 5
→ ∴A1B＝(－1，1，－ 3)， A1C＝(－1，0，－ 3)， → B1A1＝(1，－1，0)． 设平面 A1BC 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，
x＝－ 3， → －x＋y－ 3z＝0， n· 1B＝0， A 则 ⇒ ⇒y＝0， －x－ 3z＝0 → n· C＝0 z＝1. A1 即 n＝(－ 3，0，1)， → |n· 1B1| A 3 所以，点 B1 到平面 A1BC 的距离 d＝ ＝ . |n| 2 规律方法 本题是一个基本的点面距离的求解问题，要从几何
题型一 点到直线的距离 【例 1】 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，已知 AB＝3， BC＝4，AA1＝5，求点 A1 到下列直线的距离． (1)直线 AC； (2)直线 BD. [思路探索] (1)AA1 即为所求；(2)建系，利用向量坐标计算，确 定直线 BD 的一个方向向量，代入公式求解．
解析
→ 如图所示，BA＝(2，0，0)．
→ BE＝(1，0，2)， → → |BA·BE| 2 ∴cos θ＝ ＝ ， → → 2 5 |BA||BE| → → BA·BE 2 5 ＝ 5 . → |BE| 4 ∴sin θ＝ 1－cos θ＝ ， 20
2
A 到直线 BE 的距离 d＝ ＝ 答案 4 4 5 4－ ＝ . 5 5 B
题型二 点到平面的距离 【例 2】 直三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 AA1＝ 3，底面△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，求点 B1 到平面 A1BC 的距离．
[思路探索]
解 如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如 下：A(1，0Biblioteka Baidu0)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，A1(1，0， 3)，B1(0， 1, 3)，C1(0，0， 3)．
解
(1)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，显然 AA1⊥AC，
所以 AA1＝5 即为所求点 A1 到直线 AC 的距离． (2)如图建立空间直角坐标系，则有 B(4，3，0)，A1(4，0，5)． → → DA1· DB 16 → → DB＝(4，3，0)，DA1＝(4，0，5)， ＝5， → |DB|
【解题流程】
[规范解答] (1)建系如图， 则 C(0，4，0)，D1(0，0，2)，B(3，4，0)， A1(3，0，2)，C1(0，4，2)， → → 所以CD1＝(0，－4，2)，BA1＝(0，－4，2)， → → BC1＝(－3，0，2)，BC＝(－3，0，0)．(3 分) → → (1)∵CD1＝BA1，∴CD1∥BA1，又因为 CD1 BA1 平面 A1BC1， 所以 CD1∥平面 A1BC1.(6 分) 平面 A1BC1，
：空间距离有几种形式，它们之间有何关系？ 提示 空间距离有 6 种形式，它们分别是点点距、点线距、点
面距、线线距、线面距和面面距．它们一般都可以转化为点点 距、点线距、点面距，其中点点距、点线距最终都可用空间向 量的模来求解，而点面距则可由平面的法向量来求解．
名师点睛 用向量的方法求空间中的距离 (1)点到直线的距离的求法：已知空间一点 P，直线 l 过点 A， → |PA·n| 与直线 l 垂直的一个向量为 n， 则点 P 到直线 l 的距离为 . |n|
面 PEB 的距离． 设平面 PFB 的一个法向量 n＝(x，y，z)， → n· ＝0， x＋2y＝0， FB 则 ⇒ 令 x＝2，得 y＝－1， －x＋2z＝0， → n· ＝0 FP → z＝1.∴n＝(2，－1，1)，FD＝(－1，0，0)， → |FD·n| 2 6 ∴D 到平面 PFB 的距离为 d＝ |n| ＝ ＝ 3 . 6 6 ∴点 E 到平面 PFB 的距离为 . 3
设 n＝(x，y，z)是平面 AMN 的法向量， → x＝2z， n· ＝2x＋2y＝0， MN 从而 解得 y＝－2z. → n· ＝－2x＋4z＝0. AM → 取 z＝1，得 n＝(2，－2，1)，由于AB＝(0，4，0)， → －8 n· AB 8 → 所以AB在 n 上的投影为 ＝ ＝－3. |n| 4＋4＋1 → |n· | 8 AB ∴两平行平面间的距离 d＝ ＝ . 3 |n|
自学导引 1．两点间的距离的求法 设 a＝(a1，a2，a3)，则|a|＝ B(x2，y2，z2)，则 dAB＝|AB| ＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（z1－z2）2． a2＋a2＋a2 ，若 A(x1，y1，z1)， 1 2 3
2．点到直线的距离 (1)定义：因为直线和直线外一点确定一个平面， 所以空间点 A 到直线 l 的距离问题就是空间中某 一个平面内的点到直线的距离，即过点 A 在该平 面内做垂直于 l 的直线，垂足为 A′，则 AA′ 即为点 A 到直线 l 的距离． (2)计算公式：d＝ →2 → 2 |PA| －|PA·0| )． s → 2 → s 2 |PA| －PA· |s|