浅析二项分布与泊松分布之间的关系
二项分布与泊松分布的近似关系
让实验者在计算机上学会:
1）二项分布与泊松分布相关的概率分布列、分布函数的命令；
2）学会滚动条的制作并能用滚动条对不同的n和p进行滚动控制，实现对二项分布与泊松分布近似关系的动态演示并对结果进行总结分析。
实验原理与数学模型：
二项分布分布和泊松分布都是中亚哟的离散分布，在实际生活中有广泛应用。若X服从参数为n和p的二项分布X~B（n,p）,则p(X=K)=
3、在Excel界面中先选取数据所在的单元格区域$C$2:$c$52,在依次单击【插入】/【柱状图】，选取【簇壮柱形图】，确定后得到柱形图，再对柱形图做一定修饰。
实验结果与实验总结(体会)：
老师，我做实验的时候都不截图的，然后听班上的同学说要截图的，所以我下次实验课一定会截图保存弄到实验报告里面的。
数学实验报告
实验序号：3 日期：2016 年 4 月 6 日
班级
14D姓名学号Fra bibliotek1443201000
实验
名称
二项分布与泊松分布的近似关系
问题的背景：
二项分布与泊松分布都是重要的离散型分布在实际中均有广泛应用。泊松定理告诉我们，当n很大，p很小时，可以用泊松分布近似求解二项分布。本实验就是要通过实际计算、作图和比较等方法对上述结果在不同参数组合情形下给出直观、动态的展示。
一般来说，大量重复事件中稀有事件出现的频数X均服从或近似服从泊松分布。
实验所用软件及版本：Excel 2010
主要内容(要点):
先设置对试验次数n的滚动条
获得随机变量
利用函数BINOMDIST计算二项分布相应的概率值
利用Excel中的【图表向导】绘制出二项分布柱形图
实验过程：（含解决方法和基本步骤，主要程序清单及异常情况记录等）
二项分布、泊松分布的关系
二项分布、泊松分布的关系二项分布和泊松分布是概率论中两个重要的离散概率分布。
它们在实际问题中经常被用来描述随机事件的发生情况，尤其是在计算事件发生次数的概率时。
本文将从概念定义、特点、应用场景等方面介绍二项分布和泊松分布的关系。
一、概念定义1. 二项分布：简单来说，二项分布是指在n次独立重复试验中，成功事件发生的次数服从的概率分布。
其中，每次试验只有两个可能的结果，成功和失败，成功事件发生的概率为p，失败事件发生的概率为1-p。
这些独立重复试验的结果是互相独立的，且每次试验的成功概率不变。
2. 泊松分布：泊松分布是指在一定时间或空间范围内，某事件发生的次数服从的概率分布。
泊松分布的特点是事件发生的概率是相等的，且事件之间是独立的。
泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间内事件发生的平均次数。
二、特点对比1. 参数不同：二项分布的参数是试验次数n和成功概率p，而泊松分布的参数是事件发生的平均次数λ。
2. 取值范围不同：二项分布的取值范围是0到n，表示成功事件发生的次数；泊松分布的取值范围是0到无穷大，表示事件发生的次数。
3. 分布形态不同：二项分布呈现出明显的对称性，随着试验次数的增加，其形态逐渐趋于正态分布；泊松分布呈现出右偏的形态，随着参数λ的增大，其形态逐渐趋于对称。
三、关系解释1. 二项分布是泊松分布的一个特例：当试验次数n趋于无穷大，成功概率p趋于0，使得λ=np保持不变时，二项分布近似于泊松分布。
这是因为在大量独立重复试验中，每次试验成功的概率很小，但整体成功的次数还是有一定规律可循的，符合泊松分布的特点。
2. 泊松分布是二项分布的极限情况：当试验次数n趋于无穷大，成功概率p趋于0，使得λ=np保持不变时，二项分布近似于泊松分布。
这是因为泊松分布是用来描述单位时间或单位空间内事件发生次数的概率，当试验次数趋于无穷大时，单位时间或单位空间内事件发生次数也趋于无穷大，符合泊松分布的特点。
四、应用场景1. 二项分布的应用场景：二项分布常用于描述离散的二元事件，比如抛硬币的结果、赌博中的输赢、商品的合格率等。
泊松分布和二项分布的区别
泊松分布和二项分布的区别泊松分布和二项分布是概率论中的两个常见分布。
虽然它们都与事件发生的次数有关，但它们有着不同的特点和应用场景。
1. 定义泊松分布是一种描述在给定时间或空间内事件发生次数的概率分布，它假设事件的发生是随机且独立的，并且平均发生率是恒定的。
泊松分布通常用于描述一个系统中某个事件在一段时间内发生的次数，如一个工厂在一天内生产的产品数量。
二项分布是一种描述在一定次数的试验中，成功次数的概率分布。
它假设每次试验的结果是二元的（成功或失败），且每次试验的成功率是恒定的。
二项分布通常用于描述在一定次数的试验中，成功的概率以及成功的次数，如在一个班级的考试中，某个学生答对的题目数。
2. 参数泊松分布只有一个参数λ，它表示发生率或期望值。
二项分布有两个参数n和p，其中n表示试验次数，p表示每次试验中成功的概率。
3. 概率密度函数泊松分布的概率密度函数为P(X=k)=e^(-λ) * λ^k / k!，其中X表示事件发生的次数，k表示实际发生的次数。
二项分布的概率密度函数为P(X=k)=C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示从n个试验中选出k个成功的组合数，p表示每次试验成功的概率，1-p表示每次试验失败的概率。
4. 特点泊松分布的特点是，它适用于事件发生率低，但发生次数较多的情况。
例如，某一地区每年雷击的次数、一条街道上每小时经过的汽车数等。
二项分布的特点是，它适用于事件发生率较高，但试验次数较少的情况。
例如，一次考试中，某个学生答对的题目数、一件产品的合格率等。
5. 应用泊松分布的应用场景包括，人口出生率、电话接通率、网络流量等。
在工业生产中，泊松分布也经常用于描述故障发生的次数，以便制定维修计划。
二项分布的应用场景包括，硬币翻转、骰子掷出某个点数的次数、样本调查等。
在质量控制中，二项分布也经常用于描述一个批次中次品的数量，以便决定是否接受或拒绝这个批次。
由二项分布推导泊松分布
由二项分布推导泊松分布
泊松分布的概率分布函数为：
泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
泊松分布的期望和方差均为λ。
泊松分布是最重要的离散分布之一，当随机变量X表示在一定的时间或空间内出现的事件个数时，它往往服从泊松分布。
例如，在一定时间内某交通路口所发生的事故个数，是一个典型的例子。
泊松分布的产生机制可以通过如下例子来解释。
为方便记，设所观察的这段时间为[0,1),取一个很大的自然数n，把时间段[0,1)分为等长的n段：
我们做如下两个假定：
1. 在每段内，恰发生一个事故的概率，近似的与这段时间的长成正比，可设为。
当n很大，很小时，在这么短暂的一段时间内，要发生两次或者更多次事故是不可能的。
因此在这段时间内不发生事故的概率为。
2. 各段是否发生事故是独立的把在[0,1)时段内发生的事故数X视作在n 个划分之后的小时段内有事故的时段数，则按照上述两个假定，X应服从二
项分布。
于是，我们有
注意到当取极限时，我们有
因此
从上述推导可以看出：泊松分布可作为二项分布的极限而得到。
一般的说，若,其中n很大，p很小，因而不太大时，X的分布接近于泊松分布。
这个事实有时可将较难计算的二项分布转化为泊松分布去计算。
二项分布与泊松分布的应用
二项分布与泊松分布的应用二项分布与泊松分布是概率论中常见的两种分布，它们在实际生活中有着广泛的应用。
本文将分别介绍二项分布与泊松分布的概念及特点，并结合实际案例探讨它们在不同领域的具体应用。
一、二项分布二项分布是离散型概率分布的一种，描述了在一系列独立重复的同类试验中成功次数的概率分布。
在每次试验中，事件发生的概率保持不变且相互独立。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n表示试验的次数，k表示成功的次数，p表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示组合数。
二项分布的应用非常广泛，例如在工业生产中，可以用来描述产品合格率；在医学实验中，可以用来描述药物疗效；在市场营销中，可以用来描述广告点击率等。
二、泊松分布泊松分布是描述单位时间（或单位面积、单位体积）内随机事件发生次数的概率分布。
泊松分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ表示单位时间（或单位面积、单位体积）内事件平均发生率，k表示事件发生的次数。
泊松分布常用于描述稀有事件在一定时间内发生的概率，例如在电话交换机中描述单位时间内收到的电话数、在保险业描述车辆事故发生的次数等。
三、二项分布与泊松分布的应用案例1. 电商平台广告点击率预测假设某电商平台在进行广告投放时，希望预测用户点击广告的概率。
可以利用二项分布来描述每次广告曝光后用户点击的概率，通过统计多次广告曝光和点击的数据，估计用户点击广告的整体概率。
2. 交通拥堵预测城市交通拥堵是一个复杂的问题，可以利用泊松分布来描述车辆在单位时间内通过某一路段的数量。
通过分析历史数据，可以预测未来某一时段交通流量的波动情况，从而采取相应的交通管理措施。
3. 医院急诊就诊量预测医院急诊就诊量的波动较大，可以利用泊松分布来描述单位时间内的就诊人数。
通过建立泊松分布模型，医院可以合理安排医护人员的工作时间，提高急诊服务的效率。
二项分布到泊松分布的推导
二项分布到泊松分布的推导二项分布和泊松分布是概率论中常见的两种离散分布。
二项分布描述了在一系列相互独立的重复试验中，成功的次数的概率分布。
而泊松分布则描述了在一个固定时间段内，事件发生的次数的概率分布。
在某些情况下，当试验次数很大，但成功的概率很小的时候，二项分布可以近似为泊松分布。
本文将从二项分布出发，推导出泊松分布。
我们先来回顾一下二项分布的定义和性质。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n表示试验的次数，k表示成功的次数，p表示每次试验中成功的概率，C(n,k)表示组合数。
接下来，我们假设当试验次数n趋向于无穷大，而每次试验成功的概率p趋向于0，同时n*p保持不变。
我们来推导一下当n趋于无穷大时，二项分布可以近似为泊松分布。
我们将二项分布的概率质量函数进行简化：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)= n! / (k! * (n-k)!) * p^k * (1-p)^(n-k)接下来，我们对n!进行近似处理。
根据斯特林公式，当n趋于无穷大时，n!可以近似表示为：n! ≈ √(2πn) * (n/e)^n将这个近似式代入二项分布的概率质量函数中，得到：P(X=k) ≈ √(2πn) * (n/e)^n * (1/√(2πk) * (k/e)^k * (1/√(2π(n-k)) * ((n-k)/e)^(n-k)) * p^k * (1-p)^(n-k)我们可以将这个式子进一步简化。
首先，我们将√(2πn)和√(2πk)和√(2π(n-k))合并在一起，得到一个常数A：P(X=k) ≈ A * (n/e)^n * (k/e)^k * ((n-k)/e)^(n-k) * p^k * (1-p)^(n-k)接下来，我们将 (n/e)^n * (k/e)^k * ((n-k)/e)^(n-k)进行合并，得到一个常数B：P(X=k) ≈ A * B * p^k * (1-p)^(n-k)我们可以看到，A和B都是与n和k无关的常数。
二项分布与泊松分布的应用
在物理学中，泊松分布 也被用于描述放射性衰 变的期望值，例如式为：DX = λ
方差可以用来衡量随机事件的波 动程度
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方差的计算需要考虑随机事件的 概率和频率
在泊松分布中，方差与期望值λ相 等
适用场景的对比
计算成功次数
定义：二项分布是描述在n次独立 重复的伯努利试验中成功次数的 概率分布。
公式：X~B(n,p)，其中X表示成 功次数，n表示试验次数，p表示 每次试验成功的概率。
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应用场景：例如，在n次抛硬币试 验中，计算正面朝上的次数。
泊松分布与二项分布的关系：当n 很大，p很小，且np=λ（λ为常 数）时，二项分布近似于泊松分 布。
泊松分布的应用范 围广泛，包括物理 学、生物学、医学 、经济学等领域。
在实际应用中，泊 松分布可以通过数 学公式和概率图来 描述随机事件的概 率分布情况。
计算随机事件的概率
泊松分布适用于 描述单位时间内 随机事件的概率 分布情况
泊松分布的参数 λ表示单位时间 内随机事件的平 均发生率
通过泊松分布， 可以计算出随机 事件发生的具体 概率
注意事项：当n很大或者p很小时，二项分布可能会呈现出泊松分布的特性
与泊松分布的关系：当n充分大且p充分小时，二项分布近似于泊松分布
描述随机事件的概率模型
泊松分布适用于在 一定时间内随机事 件的概率分布，如 单位时间内随机事 件发生的次数。
泊松分布在二项分 布的基础上，考虑 了随机事件的独立 性和成功概率，从 而更准确地描述随 机事件。
二项分布与泊松分布在参数取值范围上也有所不 同，二项分布的参数p取值范围为0<p<1，而泊 松分布的参数λ可以取任意正值。
浅析二项分布与泊松分布之间的关系
学年论文题目：浅析二项分布与泊松分布之间的关系学生：学号：院（系）：理学院专业：信息与计算科学指导教师：安晓钢2013 年11月25日浅析二项分布与泊松分布之间的关系信息121班; 指导教师：安晓钢（陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021）摘 要：泊松分布刻画了稀有事件在一段时间内发生次数这一随机变量的分布，如电话交换台单位时间内接到的呼唤次数等。
二项分布是n 个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布。
它们有着密切的关系。
泊松分布是二项分布的特例。
某现象的发生率很小，而样本例数n 很大时，则二项分布接近于泊松分布，即：如果试验次数n 很大，二项分布的概率p 很小，且乘积np =λ比较适中，则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。
事实上，二项分布可以看作泊松分布在离散时间上的对应物，是二项分布的特例。
通过分析二项分布和泊松分布之间的关系，使学生对概率分布理论的理解更为深刻，能够将学到的理论知识应用在实际生活中，从而提高自己的综合素质。
关 键 词：二项分布， 泊松分布， 近似The Application of Asignment PoblemABSTRACT: Poisson distribution is used to depict the distribution of rare events that a random variable frequency over a period of time, such as a telephone exchange in unit time received the call number. The two distribution is n independent / discrete probability distributions of number of successful non trials. They have a close relationship. Poisson distribution is two distribution case. The incidence of the phenomenon is very small, and the number of sample n is large, then the two distribution is close to the Poisson distribution, i.e.: if the test number n is large, the two probability distribution P is small, and the product of lambda = N P is moderate, the probability of the event can be used to force the Poisson distribution near. In fact, the two distribution can be seen as the counterpart of Poisson distribution in discrete time, are the two distribution case. Through the analysis of the relationship between two binomial distribution and Poisson distribution, enables the student to the theory of probability distribution for more profound understanding will be able to learn the application of theoretical knowledge in real life, so as to improve their comprehensive quality.KEY WORDS : Two distribution, Poisson distribution, Approximate1、问题重述：泊松分布刻画了稀有事件在一段时间内发生次数这一随机变量的分布，如电话交换台单位时间内接到的呼唤次数，某公共汽车站在单位时间内来站乘车的乘客数，宇宙中单位体积内星球的个数，耕地上单位面积内杂草的数目等。
二项分布与泊松分布
µ Ê Æ Â
100 50 0 0 2 4
µ Ê Æ Â
6 8 10 Æ Ë ä û
100 50 0
n=20
0
3
6
9
12
Æ Ë ä û
n=30
二项分布总体不同样本例数时的抽样分布
二、二项分布的应用
(一 )、总体率的估计
有点值估计和区间估计。 1 查表法 ： 当n较小，如n≤50时，特别是 p 很接近于0或1时，可由附表6百分率的置 信区间表直接查出。P709 or p817 例：某地对13名输卵管结扎的育龄妇女经 壶腹部吻合术后，观察其受孕情况，发现 有6人受孕，据此估计该吻合术妇女的受 孕的95%可信区间 此例：n=13，x=6 查表得95%CI为：19%～75%。
（五） 群检验
1-Qm=X/n 从而Q=√P=1-Q第四节 泊松分布(Poisson distribution)
一、Poisson分布 (一)泊松分布的概念
泊松分布（旧译普哇松分布 ）是离散型随机变量的另 一重要分布，最早由S.D.Poisson于1837年提出。 定义：若离散型随机变量x的取值为非负整数，且相 应的概率函数为： X x 0,1,2,......
0.000006 0.000138 0.001447 0.009002 0.036757 0.102919 0.200121 0.266828 0.233474 0.121061 0.028248
如果甲乙两药疗效无差别，按甲药的治愈率(70%)用 乙药治疗10人应治愈7人，实际治愈9人，相差2人。 双侧检验，计算相差±2人及2人以上的总概率，即 x≥9和x≤5的概率之和： ΣP=0.000006+0.000138+0.001447+0.009002+0.036757 +0.102919+0.121061+0.028248=0.299577 或：ΣP=1-(0.200121+0.266828+0.233474)=0.299577
二项分布与泊松分布
二项分布的应用
2 正态近似法：应用条件：np及n(1−p)均≥5
p±uαsp
例：在某地随机抽取329人，做HBsAg检验，得阳性 率为8.81%，求阳性率95%置信区间。 已知：p=8.81%，n=329，故：
s p p ( 1 p ) /n 0 .0( 1 8 0 .0 8) 8 /3 1 8 2 0 .0 1 9 1 1 .5 % 5 6 6
第一节 二项分布和总体率的估计
一、二项分布 （一）二项分布的概念
在生命科学研究中，经常会遇到一些事物， 其结果可分为两个彼此对立的类型，如一个病 人的死亡与存活、动物的雌与雄、微生物培养 的阳性与阴性等，这些都可以根据某种性状的 出现与否而分为非此即彼的对立事件。这种非 此即彼事件构成的总体，就称为二项总体 （binomial population）。
二、二项分布的应用
(一 )、总体率的估计
1 查表法：附表6百分率的置信区间表直接
列出了X≤n/2的部分。其余部分可以查nx的阴性部分的QL~QU再相减得 PLand pU PL=1-QL 1-QU 例：某地调查50名儿童蛔虫感染情况，发现有10人大便
中有蛔虫卵，问儿童蛔虫感染率的95%置信区间是多少？
1份混合样本中含有k份阳性的概率为当k0时p0是说混合样品中没有1阳性样品的原始概率反映的是混合样品阴性的概率当收集的样本数量很大时全部检验费时费力可以用群检验的方法进行解决若每个标本的阳性概率为则其阴性概率为q1便是某个群m个标本均为阴性的概率一个群为阴性的群的概率而1q就为一个群阳性的概率
二项分布与泊松分布
第一节 二项分布和总体率的估计
二项分布(binomial distribution) 就是对这种只具有两种互斥结果的离散型 随机变量的规律性进行描述的一种概率分 布。由于这一种分布规律是由瑞士学者贝 努里(Bernoulli)首先发现的，又称贝努里 分布。
浅析二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系
二项展开式的各项系数.这种概率模型也被称为伯努利概
型。X服从参数为n, p的二项分布，记为X一b (n, p)。
由二项分布的定义知.随机变量X是n重伯努利试验中事
件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p。二项
分布的数学期望和方差分别是EX = np，DX=np(l一月。
实际中n'a100，pS0.1，np<_10时(见文献[21)，二项
分布可用参数为兄=np的泊松分布来近似，即
C pk (1一PT‘二
ak
，.一一几
—匕
k!
只要查一查标准正态分布函数表4o容易得到尸{。‘X<b}
的相当精确的值。原则上(1)式和(2)式适用于任何给定的p和
充分大的n。不过，当p较大或较小时近似效果较差，应用
试验中事件出现的概率p很小)’，当伯努利试验的次数n很大
时，事件发生的频数的分布。实际表明，在一般情况下，当
p<0.1时，这种近似是很好的，甚至n不必很大都可以，这
点从比较二项分布与泊松分布的概率分布表也可以看出。例
如，当p = 0.01时，甚至”=2时，这种近似程度已经很好
了。表1说明了这一情况，其中np = 0.02。
较好。
表2是用泊松分布与正态分布去近似二项分布b (n, p)
的比较，其中，二2500，p一0.02，np二50,了而万=
了49=7。可见，在数值上三者是大致相等的。
由定理3易知，泊松分布X一二(刃当A-+树的极限分
布是正态分布N(A, a.)。
为了进一步讨论泊松分布和正态分布的分布函数之间的近
第2.4二项分布与泊松分布
泊松定理的证明
证：令
λn = npn
当k=0时，有
λn n −λ b ( 0; n , p n ) = (1 − ) → e , n
这是因为
( lim (1 + x ) = e )
x→0 1 x
n→∞
当k ≥ 1时，有
n ( n − 1) L ( n − k + 1) k n−k b(k ; n, pn ) = p n (1 − p n ) k! λn n−k n ( n − 1) L ( n − k + 1) λ k n = (1 − ) k k! n n k k −1 λn n 1 λn n−k = (1 − ) L (1 − )(1 − ) k! n n n n k −1 λk 1 λn n λn k n n = (1 − ) L (1 − )(1 − ) /(1 − ) k! n n n n n k λ −λ → e n→∞ k!
P1' ( t ) = λ [e − λ t − P1 ( t )]
求解此线性微分方程 P1 ( t ) = λkte − λ t (λ t ) − λ t e , k = 0,1, 2,L 依次类推可以得到 Pk ( t ) = k! 因此电话呼叫次数服从泊松分布
作业 习题二 38、41、43
1 由定理所给条件可得f ( nx ) = ( f ( x ) ) , 当x = 时， n
n
1 x f (1) = f ( ) , 令f (1) = a ≥ 0(因为f ( x ) = f ( ) ≥ 0), n 2
n
2
1 m m 1 则f ( )＝a n , 类似的f ( )＝a n ,由连续性或单调性结合 n n 对所有的有理数成立，则对所以的无理数亦有f ( x ) = a x .
二项分布泊松分布和正态分布的关系
二项分布泊松分布和正态分布的关系1. 介绍在概率论中，二项分布、泊松分布和正态分布是三个基础的离散和连续概率分布。
它们分别适用于不同的情形，但却存在着相互关联。
2. 二项分布二项分布是一种抽样概型中应用最广泛的概率分布，主要用于描述有限次试验中成功的概率。
例如，抛硬币的结果就可以采用二项分布描述。
由于抽样次数有限，而且每次试验的结果只有成功和失败两种可能，因此二项分布是一种离散概率分布。
二项分布的均值和方差分别为np和np(1-p)，其中n为试验次数，p为每次试验成功的概率。
3. 泊松分布泊松分布是一种描述单位时间内某事件发生次数的概率分布，例如一天内发生车祸的次数、一小时内接到的电话个数等等。
在这种场合下，试验次数并不固定，而是发生的次数。
泊松分布是一种离散分布，均值和方差都等于λ，λ表示单位时间内事件发生的平均次数。
4. 正态分布正态分布（高斯分布）是一种连续分布，是自然界和社会现象中非常常见的一种分布，例如身高、智力分数等等。
这种分布的概率密度函数呈钟形曲线，分布均值、方差决定了曲线的中心位置和形态。
5. 三者之间的关系三者之间的关系非常密切，可以相互转化。
当二项分布中n很大（例如n>100）时，二项分布可以被近似为正态分布。
这是由于二项分布满足中心极限定理，即当实验次数充分大时（n足够大），无论p取何值，总体样本的均值近似于正态分布。
而当泊松分布的参数λ充分大时，也可以近似为正态分布。
这种情况下，均值和方差都应该比较大，这种现象被称为拉普拉斯近似。
因此，正态分布可被视为二项分布和泊松分布的极限分布，而二项分布和泊松分布则是正态分布的离散版本。
6. 总结二项分布、泊松分布和正态分布是概率论中的基础概率分布，它们之间存在着密切的关系。
二项分布主要用于描述有限次试验中成功的概率；泊松分布主要用于描述单位时间内某事件发生的次数；而正态分布则用于描述身高、智力分数等连续型变量的分布情况。
当实验次数充分大或是参数充分大时，这三种分布可以相互近似，其适用范围也逐渐扩大。
二项分布与泊松分布的关系
二项分布与泊松分布的关系二项分布与泊松分布是概率论中两种重要的离散概率分布。
它们在描述随机事件发生的次数或概率方面有着密切的联系和区别。
本文将从二项分布和泊松分布的定义、特点、应用以及二者之间的关系等方面展开讨论。
## 一、二项分布的定义与特点### 1. 二项分布的定义二项分布是指在一次独立重复试验中，每次试验只有两种可能的结果，且这两种结果发生的概率相同，记为p和q（q=1-p）。
若事件A发生的概率为p，事件A不发生的概率为q，则n次试验中事件A发生k次的概率可以用二项分布来描述。
### 2. 二项分布的特点- 二项分布的概率质量函数为$P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$，其中$C_n^k$表示组合数。
- 二项分布的期望为$E(X) = np$，方差为$Var(X) = npq$。
- 当n趋向于无穷大，p趋向于0，但np保持为一个常数时，二项分布逼近于泊松分布。
## 二、泊松分布的定义与特点### 1. 泊松分布的定义泊松分布是描述单位时间（或单位面积、单位体积）内随机事件发生次数的概率分布。
泊松分布适用于事件发生的次数很多，但每次事件发生的概率很小的情况。
### 2. 泊松分布的特点- 泊松分布的概率质量函数为$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^k}{k!}$，其中$\lambda$为单位时间（或单位面积、单位体积）内事件的平均发生率。
- 泊松分布的期望和方差均为$\lambda$。
## 三、二项分布与泊松分布的关系### 1. 二项分布逼近于泊松分布当n趋向于无穷大，p趋向于0，但np保持为一个常数时，二项分布逼近于泊松分布。
这是因为在这种情况下，二项分布中的n很大，每次试验成功的概率p很小，但总体事件发生的次数np保持不变，符合泊松分布的特征。
### 2. 二项分布转化为泊松分布当二项分布中的n很大，p很小，且事件发生的次数k较小时，可以通过将二项分布转化为泊松分布来简化计算。
二项分布 高斯分布 泊松分布相互转换
二项分布高斯分布泊松分布相互转换在我看来，二项分布、高斯分布以及泊松分布是统计学中非常重要的概念。
它们之间的相互转换不仅有助于我更深刻地理解这些分布的特性，还能够帮助我更好地理解概率和统计的基本原理。
一、二项分布二项分布是指在n次独立重复的伯努利试验中，成功次数的概率分布。
具体来说，假设每次伯努利试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，那么进行n次试验后成功的次数X的概率分布就是二项分布。
二项分布具有一些非常重要的性质，比如其期望值为np，方差为np(1-p)等等。
当n趋向于无穷大时，二项分布可以逼近高斯分布。
二、高斯分布高斯分布，又称正态分布，是一种非常重要的连续概率分布。
在统计学和自然科学中，高斯分布经常被用来描述各种现象，比如测量误差、人口身高、测试成绩等等。
高斯分布的概率密度函数是一个关于均值μ和标准差σ的函数，其曲线呈钟型，左右对称，具有良好的数学性质。
由中心极限定理可知，大量独立同分布随机变量的和近似服从高斯分布。
三、泊松分布泊松分布是一种描述事件在一定时间或空间范围内发生的次数的概率分布。
泊松分布常常用于描述单位时间内随机事件发生的次数，比如单位时间内通信方式呼叫的次数、交通事故的发生次数等等。
泊松分布的参数λ表示单位时间内（或单位空间内）事件发生的平均次数。
泊松分布具有一些重要的性质，比如其期望值和方差均为λ。
从二项分布到高斯分布的转换：当进行一系列的伯努利试验时，如果试验次数n足够大，成功概率p足够小，那么二项分布可以逼近为高斯分布。
具体来说，当n趋向于无穷大时，二项分布的期望值np和方差np(1-p)保持不变，此时可以用高斯分布来近似描述二项分布的分布情况。
从二项分布到泊松分布的转换：当进行一系列的伯努利试验时，如果试验次数n趋向于无穷大，成功概率p趋向于0，并且np趋向于一个常数λ，那么二项分布可以逼近为泊松分布。
泊松分布是一种描述稀有事件发生次数的分布，因此当试验次数很大，但成功概率很小，并且事件发生的期望次数为常数时，可以用泊松分布来近似描述二项分布的分布情况。
二项分布和泊松分布的剖析
概率是 ｔ 的高阶无穷小。则 Ｘ 的概率函数为：
ｋ
Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝
! Ｋ！
－!
ｅ ，ｋ＝０，１，２，．．．
其 中 Ｅ（ Ｘ） ＝!．!＞０，称 Ｘ 服 从 泊 松 分 布 Ｐ（!）， 这 里 的
条件下文中称为泊松条件。一般随机过程著作中使用母
函数工具推导泊松分布的概率函数 。
（ 三） 对定义的剖析
泊松分布和二项分布都是对应于 “一 定 范 围 内 事 件
我 们 看 一 个 实 例： 二 战 期 间 伦 敦 南 部 的 ５７６ 个 小 区
的公式近似计算二项分布的概率。
域 被 ５３５ 枚 Ｖ－ １ 飞 弹 击 中， 计 算 随 机 的 一 个 小 区 域 恰 好
（ 二） 启发式数学表述
被击中 ２ 次的概率。
前面泊松分布的概率函数从一个满足泊松条件的计
一般都不假思索， 设为随机的一个小区域被击中的
Ａ 发生的次数”的问题， 二项分布指的“一 定 范 围 ”是 次 贝
努 里 试 验 。 泊 松 分 布 中 的 “时 间 段 ”的 概 念 引 申 为 空 间
（用体积 度 量）， 区 域（用 面 积 度 量）等， 泊 松 分 布 中 的 “一 定
范围”指的是诸如体积面积长度重量时间的范围， 下文中
称为区间， 故一般教材中这样表述： 在一定条件下， 单位
二项分布的理论概率 泊松分布的理论概率 二项分布的理论频数 泊松分布的理论频数 实际频数 二项分布的百分比误差 泊松分布的百分比误差
０．３９４７０
０．３９５０２
２２７．３５
２２７．５３
２２９
０．００７２６７
０．００６４５５
０．３６７２４
０．３６６９０
二项式分布和泊松分布
二项式分布和泊松分布二项式分布和泊松分布是概率论和统计学中常见的两种分布模型。
它们在实际问题的建模和分析中具有广泛的应用。
本文将分别介绍二项式分布和泊松分布的定义、特点以及应用，并通过实例来说明它们的实际意义。
一、二项式分布二项式分布是一种离散型概率分布，描述了一系列独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
其中，伯努利试验是一种只有两种可能结果的随机试验，成功和失败。
二项式分布的参数包括试验次数n和成功概率p。
二项式分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，X表示成功次数，k表示成功的次数，C(n, k)表示组合数，p 表示每次试验成功的概率，1-p表示每次试验失败的概率。
二项式分布的特点是：概率质量函数是离散的，且呈现出对称性；概率密度函数的形状由参数n和p决定；当n很大时，二项式分布可以近似为正态分布。
二项式分布在实际中的应用非常广泛。
例如，在制造业中，可以使用二项式分布来描述产品的合格率；在市场调研中，可以使用二项式分布来分析客户购买某个产品的概率；在投资领域，可以使用二项式分布来模拟股票价格的涨跌。
二、泊松分布泊松分布是一种离散型概率分布，描述了单位时间或空间内随机事件发生的次数的概率分布。
泊松分布的参数是平均发生率λ。
泊松分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!其中，X表示事件发生的次数，k表示事件发生的次数，e是自然对数的底。
泊松分布的特点是：概率质量函数是离散的；泊松分布是无记忆的，即过去的事件发生与否对未来事件发生的概率没有影响；当事件发生率λ很小时，泊松分布可以近似为二项式分布。
泊松分布在实际中的应用非常广泛。
例如，在保险业中，可以使用泊松分布来估计某个地区在一段时间内发生车祸的次数；在电信网络中，可以使用泊松分布来描述信号的到达率；在人口统计学中，可以使用泊松分布来估计某地区在一年内出生人数的分布。
统计学中的二项分布与泊松分布的比较
统计学中的二项分布与泊松分布的比较统计学中的二项分布和泊松分布是常见的概率分布模型，用于描述随机试验中的离散随机变量。
本文将比较二项分布和泊松分布在概率分布特性、应用领域以及数学推导等方面的异同点。
一、概率分布特性比较二项分布是指在重复且独立的伯努利试验中，成功和失败的次数满足概率分布的情况。
该分布由两个参数决定：试验成功的概率p和试验次数n。
其概率质量函数为P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)为组合数。
二项分布的期望值为E(X) = np，方差为Var(X) =np(1-p)。
泊松分布是一种描述单位时间内随机事件发生次数的概率分布。
该分布由一个参数λ决定，表示单位时间内事件的平均发生率。
泊松分布的概率质量函数为P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中e为自然对数的基数。
泊松分布的期望值和方差等于参数λ。
二、应用领域比较二项分布主要应用于伯努利试验相关的场景，如二分类问题、投资决策等。
例如，我们可以使用二项分布模型来估计某广告点击率的置信区间，从而评估广告效果的可靠性。
此外，二项分布还可用于质量控制，检验产品是否符合一定的质量标准。
泊松分布常用于事件发生次数比较稀少的情况，如电话呼叫中心的呼叫次数、事故发生率等。
举个例子，我们可以利用泊松分布模型来估计某一时间段内到达某网站的访问次数，从而合理安排服务器的负载和资源配置。
三、数学推导比较二项分布的推导比较直观，可以通过多项式展开或动态规划的方法得到概率分布函数。
另外，二项分布还有一些特殊性质，如二项分布的和仍然是二项分布。
泊松分布的推导较为独特，可以通过取极限和级数展开得到。
泊松分布有着较为特殊的性质，如无记忆性，即过去的事件发生情况对于未来的事件发生概率没有影响。
四、总结在统计学中，二项分布和泊松分布都是重要的离散概率分布模型。
二项分布适用于试验次数有限、成功概率确定的场景，泊松分布适用于时间或空间单位内事件发生次数稀少的情况。
二项分布与泊松分布区别和联系
（一）总体率区间估计（参见p42）
1. 查表法 对于n ≤ 50的小样本资料，根据n与X，直接查附表7。 2. 正态分布法
当 n 较大、 和 1-p 均不太小， p 如满足 np 和 n(1-p) 均大于 5 时， 可假定样本率 p 的分布近似服从正态分 布，由此来估计总体率的 1 − α 置信区间。计算公式：
表 7-1 死 亡 数 存 活 数
3 只 白 鼠 各 种 试 验 结 果 及 其 发 生 概 率
试 验 结 果 甲 生 乙 生 丙 生 试 验 结 果 的 概 率
X取 值 概 率
X
0 1
3− X
3 2
P( X ) = ( 3 )π k (1 − π ) 3− k k P( X = 0) = ( 3 )π 0 (1 − π ) 3 0
四、二项分布的概率计算
例 7-2 如 果 例 7-1 中 的 π =0.4， 则 3 只白鼠中死亡白鼠数 X 服从以 n=3、 π =0.4 的 二 项 分 布 ， 即 X～ B(3,0.4)， P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= X 各取值的概率：
=CRITBINOM(3,0.4,0.217) =BINOMDIST(1,3,0.4,0)
S p1 − p2 X1 + X 2 X1 + X 2 1 1 = (1 − )( + ) n1 + n2 n1 + n2 n1 n2
例 7-7
为 研 究 A 、 B 两 地 学 生 的 肺 吸 虫 感 染 率 是 否 相 同 ，某 研 究
者 随 机 抽 取 8 0 名 A 地 学 生 和 8 5 名 B 地 学 生 ，查 得 感 染 人 数 A 地 2 3 ， B 地 13。 请 作 统 计 推 断 。 本 例 n1 = 8 0 ， n1 p1 = 2 3 ， n1 (1 − p1 ) = 5 7 ； n2 = 8 5 ， n 2 p 2 = 1 3 ， n 2 (1 − p 2 ) = 7 2 ， 可认为两地学生的肺吸虫感染样本率近似正态分布，故可用 Z 检验。 记 A 地 学 生 肺 吸 虫 感 染 率 为 π1 ， B 地 学 生 肺 吸 虫 感 染 率 为 π 2 ： π1 = π 2