等比数列导学案
等比数列(优秀导学案)
§6.3 等比数列 考试要求 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系． 知识梳理1．等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ab .2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (m ，n ∈N *)．(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列(m 为偶数且q ＝－1除外)．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .(5)若⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1，则等比数列{a n }递增． 若⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1，则等比数列{a n }递减． 常用结论1．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 也是等比数列． 2．等比数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝cq n ，这里c ≠0，q ≠0.3．等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠1,0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列的公比q 是一个常数，它可以是任意实数．( × )(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( × )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a .( × ) (4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × )教材改编题1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12，则公比q 等于( ) A ．－12 B ．－2 C ．2 D ．±12答案 D解析 设等比数列的公比为q ，∵{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12， ∴a 4＝a 2q 2，∴q 2＝a 4a 2＝14， ∴q ＝±12. 2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，则a 6＋a 8＝______. 答案 5解析 ∵{a n }是等比数列，且a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，∴a 26＋2a 6a 8＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝25.又∵a n >0，∴a 6＋a 8＝5.3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________． 答案 1,3,9或9,3,1解析 设这三个数为a q ，a ，aq ， 则⎩⎨⎧ a ＋a q ＋aq ＝13，a ·a q ·aq ＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，q ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝3， ∴这三个数为1,3,9或9,3,1.题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)(2020·全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S n a n等于( )A ．2n －1B ．2－21－n C ．2－2n －1D ．21－n －1 答案 B解析 方法一 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝2412＝2. 由a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12a 1＝12，得a 1＝1.所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n －1， 所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n . 方法二 设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3q 2－a 3＝12，①a 4q 2－a 4＝24， ② ②①得a 4a 3＝q ＝2.将q ＝2代入①，解得a 3＝4.所以a 1＝a 3q 2＝1，下同方法一． (2)(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________.答案 1213解析 设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5，所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝13×(1－35)1－3＝1213.教师备选1．已知数列{a n }为等比数列，a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，则a 4＝________.答案 54或24解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·q ＝6，6a 1＋a 1·q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝3，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝3，a 4＝a 1·q 3＝2×33＝54或a 4＝3×23＝3×8＝24.2．已知数列{a n }为等比数列，其前n 项和为S n ，若a 2a 6＝－2a 7，S 3＝－6，则a 6等于() A ．－2或32 B ．－2或64C ．2或－32D ．2或－64答案 B解析 ∵数列{a n }为等比数列，a 2a 6＝－2a 7＝a 1a 7，解得a 1＝－2，设数列的公比为q ，S 3＝－6＝－2－2q －2q 2，解得q ＝－2或q ＝1，当q ＝－2时，则a 6＝(－2)6＝64，当q ＝1时，则a 6＝－2.思维升华 (1)等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q. 跟踪训练1 (1)(2020·全国Ⅱ)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析 a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，令m ＝1，则a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ，∴{a n }是以a 1＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列，∴a n ＝2×2n －1＝2n .又∵a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，∴2k ＋1(1－210)1－2＝215－25， 即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4.(2)(2020·新高考全国Ⅱ)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8.①求{a n }的通项公式；②求a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1.解 ①设{a n }的公比为q (q >1)．由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32(舍去)． 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ，n ∈N *.②由于(－1)n －1a n a n ＋1＝(－1)n －1×2n ×2n ＋1 ＝(－1)n －122n ＋1，故a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n －1·22n ＋1＝23[1－(－22)n ]1－(－22)＝85－(－1)n 22n ＋35. 题型二 等比数列的判定与证明例2 已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，设b n ＝a n n. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由；(3)求{a n }的通项公式．解 (1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n . 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4.将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12.从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列，由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a n n，即b n ＋1＝2b n ， 又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1. 教师备选已知各项都为正数的数列{a n }满足a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n .(1)证明：数列{a n ＋a n ＋1}为等比数列；(2)若a 1＝12，a 2＝32，求{a n }的通项公式．(1)证明 a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，所以a n ＋2＋a n ＋1＝3(a n ＋1＋a n )，因为{a n }中各项均为正数，所以a n ＋1＋a n >0，所以a n ＋2＋a n ＋1a n ＋1＋a n＝3， 所以数列{a n ＋a n ＋1}是公比为3的等比数列．(2)解 由题意知a n ＋a n ＋1＝(a 1＋a 2)3n －1＝2×3n －1，因为a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，所以a n ＋2－3a n ＋1＝－(a n ＋1－3a n )，a 2＝3a 1，所以a 2－3a 1＝0，所以a n ＋1－3a n ＝0，故a n ＋1＝3a n ，所以4a n ＝2×3n －1，a n ＝12×3n －1. 思维升华 等比数列的三种常用判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (3)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．跟踪训练2 S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0.(1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)易知q ≠1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 3＝9a 1q ，a 1(1－q 3)1－q ＝13，q >0，解得a 1＝1，q ＝3，∴a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n －12. (2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列，∵S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13，∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12， 此时S n ＋12＝12×3n ， 则S n ＋1＋12S n ＋12＝12×3n ＋112×3n ＝3， 故存在常数λ＝12，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列． 题型三 等比数列的性质例3 (1)若等比数列{a n }中的a 5，a 2 019是方程x 2－4x ＋3＝0的两个根，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2 023等于( )A.2 0243B ．1 011 C.2 0232D ．1 012答案 C解析 由题意得a 5a 2 019＝3，根据等比数列性质知，a 1a 2 023＝a 2a 2 022＝…＝a 1 011a 1 013＝a 1 012a 1 012＝3，于是a 1 012＝123，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2 023＝log 3(a 1a 2a 3…a 2 023) 11011232023=l 3·og 3.2⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于( )A ．40B ．60C ．32D ．50答案 B解析 数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，∴S 12＝4＋8＋16＋32＝60.教师备选1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝__________. 答案 73解析 设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠－1，由等比数列前n 项和的性质可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3， 又由已知得S 6＝3S 3，∴S 9－S 6＝4S 3，∴S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73. 2．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.答案 2解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80， 解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. 思维升华 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．跟踪训练3 (1)(2022·安康模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝7，则S 40等于( )A ．5B ．10C ．15D ．－20答案 C解析 易知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…成等比数列．设{a n }的公比为q ，则S 20－S 10S 10＝q 10>0，故S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…均大于0. 故(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)，即(S 20－1)2＝1·(7－S 20)⇒S 220－S 20－6＝0.因为S 20>0，所以S 20＝3.又(S 30－S 20)2＝(S 20－S 10)(S 40－S 30)，所以(7－3)2＝(3－1)(S 40－7)，故S 40＝15.(2)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝4，a 1a 2·…·a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16 答案 A解析 ∵a 1a 2…a 8＝16，∴a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 8＋⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a 7＋⎝⎛⎭⎫1a 3＋1a 6＋⎝⎛⎭⎫1a 4＋1a 5 ＝12(a 1＋a 8)＋12(a 2＋a 7)＋12(a 3＋a 6)＋12(a 4＋a 5)＝12(a 1＋a 2＋…＋a 8)＝2. 课时精练1．(2022·合肥市第六中学模拟)若等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝1，a 4＋a 5＝8，则a 7等于( )A.643 B ．－643C.323 D ．－323答案 A解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＋a 5a 1＋a 2＝q 3＝8，所以q ＝2，又a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝1，所以a 1＝13，所以a 7＝a 1×q 6＝13×26＝643.2．已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( )A ．2B ．4 C.92 D ．6答案 B解析 根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24，∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2.又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4.3．(2022·开封模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为() A.13 B ．－13 C.19 D ．－19答案 B解析 由等比数列前n 项和的性质知，S n ＝32n －1＋r ＝13×9n ＋r ，∴r ＝－13. 4．(2022·天津北辰区模拟)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天走的路程为( )A ．6里B ．12里C ．24里D ．48里答案 C解析 由题意可知，该人所走路程形成等比数列{a n }，其中q ＝12， 因为S 6＝a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378， 解得a 1＝192，所以a 4＝a 1·q 3＝192×18＝24. 5．(多选)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是( )A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列 答案 AD解析 对于A ，由a n a n ＋1a n －1a n＝q 2(n ≥2)知数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列； 对于B ，当q ＝－1时，数列{a n ＋a n ＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C ，当q ＝1时，数列{a n －a n ＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D ，1a n ＋11a n＝a n a n ＋1＝1q， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列．6．(多选)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，则有( )A ．S n ＝3n －1B ．{S n }为等比数列C ．a n ＝2·3n －1D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2 答案 ABD解析 由题意，数列{a n }的前n 项和满足a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，当n ≥2时，a n ＝2S n －1，两式相减，可得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n ，可得a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n＝3(n ≥2)， 又a 1＝1，则a 2＝2S 1＝2a 1＝2，所以a 2a 1＝2， 所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2. 当n ≥2时，S n ＝a n ＋12＝2·3n －12＝3n －1， 又S 1＝a 1＝1，适合上式，所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n －1，又S n ＋1S n ＝3n 3n －1＝3， 所以数列{S n }为首项为1，公比为3的等比数列，综上可得选项ABD 是正确的．7．(2022·嘉兴联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a 1＝________. 答案 1解析 由于S 3＝7，S 6＝63知公比q ≠1，又S 6＝S 3＋q 3S 3，得63＝7＋7q 3.∴q 3＝8，q ＝2.由S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－8)1－2＝7， 得a 1＝1.8．已知{a n }是等比数列，且a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 7＝________；若公比q ＝13，则a 4＝________. 答案 3 81解析 由{a n }是等比数列，得a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，故a 7＝3，a 4＝a 7q 3＝81. 9．(2022·徐州模拟)已知等差数列{a n }的公差为2，其前n 项和S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *.(1)求实数p 的值及数列{a n }的通项公式；(2)在等比数列{b n }中，b 3＝a 1，b 4＝a 2＋4，若{b n }的前n 项和为T n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16为等比数列．(1)解 S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝na 1＋n (n －1) ＝n 2＋(a 1－1)n ，又S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *，所以p ＝1，a 1－1＝2，即a 1＝3，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.(2)证明 因为b 3＝a 1＝3，b 4＝a 2＋4＝9，所以q ＝3，所以b n ＝b 3·q n －3＝3n －2，所以b 1＝13， 所以T n ＝13(1－3n )1－3＝3n －16， 所以T n ＋16＝3n 6， 又T 1＋16＝12，所以T n ＋16T n －1＋16＝3n 63n －16＝3(n ≥2)， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16是以12为首项，3为公比的等比数列． 10．(2022·威海模拟)记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋1.设b n ＝a n ＋1－2a n .(1)求证：数列{b n }为等比数列；(2)设c n ＝|b n －100|，T n 为数列{c n }的前n 项和．求T 10.(1)证明 由S n ＋1＝4a n ＋1，得S n ＝4a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，两式相减得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)，所以a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)，所以b n b n －1＝a n ＋1－2a n a n －2a n －1＝2(a n －2a n －1)a n －2a n －1 ＝2(n ≥2)，又a 1＝1，S 2＝4a 1＋1，故a 2＝4，a 2－2a 1＝2＝b 1≠0，所以数列{b n }为首项与公比均为2的等比数列．(2)解 由(1)可得b n ＝2·2n －1＝2n ，所以c n ＝|2n －100|＝⎩⎪⎨⎪⎧100－2n ，n ≤6，2n －100，n >6， 所以T 10＝600－(21＋22＋…＋26)＋27＋28＋29＋210－400＝200－2(1－26)1－2＋27＋28＋29＋210 ＝200＋2＋28＋29＋210＝1 994.11．(多选)(2022·滨州模拟)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)，则下列结论正确的是( )A ．数列{a n ＋1＋a n }为等比数列B ．数列{a n ＋1－2a n }为等比数列C ．a n ＝2n ＋1＋(－1)n 3D ．S 20＝23(410－1) 答案 ABD解析 因为a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)，所以a n ＋a n －1＝2a n －1＋2a n －2＝2(a n －1＋a n －2)，又a 1＋a 2＝2≠0，所以{a n ＋a n ＋1}是等比数列，A 正确；同理a n －2a n －1＝a n －1＋2a n －2－2a n －1＝－a n －1＋2a n －2＝－(a n －1－2a n －2)，而a 2－2a 1＝－1， 所以{a n ＋1－2a n }是等比数列，B 正确；若a n ＝2n ＋1＋(－1)n 3，则a 2＝23＋(－1)23＝3， 但a 2＝1≠3，C 错误；由A 知{a n ＋a n －1}是等比数列，且公比为2，因此数列a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，…仍然是等比数列，公比为4，所以S 20＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＝2(1－410)1－4＝23(410－1)，D 正确． 12．(多选)(2022·黄冈模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0.则下列结论正确的是( ) A ．0<q <1B ．a 7·a 9>1C ．S n 的最大值为S 9D ．T n 的最大值为T 7 答案 AD解析 ∵a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0， ∴a 7>1,0<a 8<1，∴0<q <1，故A 正确；a 7a 9＝a 28<1，故B 错误；∵a 1>1,0<q <1，∴数列为各项为正的递减数列，∴S n 无最大值，故C 错误；又a 7>1,0<a 8<1，∴T 7是数列{T n }中的最大项，故D 正确．13．(2022·衡阳八中模拟)设T n 为正项等比数列{a n }(公比q ≠1)前n 项的积，若T 2 015＝T 2 021，则log 3a 2 019log 3a 2 021＝________. 答案 15解析 由题意得，T 2 015＝T 2 021＝T 2 015·a 2 016a 2 017a 2 018a 2 019a 2 020a 2 021，所以a 2 016a 2 017a 2 018a 2 019a 2 020a 2 021＝1，根据等比数列的性质，可得a 2 016a 2 021＝a 2 017a 2 020＝a 2 018a 2 019＝1，设等比数列的公比为q ，所以a 2 016a 2 021＝(a 2 021)2q 5＝1⇒a 2 021＝52,q a 2 018a 2 019＝(a 2 019)2q ＝1⇒a 2 019＝12,q 所以log 3a 2 019log 3a 2 021＝123523log 1.5log q q= 14.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，……，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．答案 132解析 由题意，得正方形的边长构成以22为首项,22为公比的等比数列，现已知共含有1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n －1＝1 023，所以n ＝10，所以最小正方形的边长为⎝⎛⎭⎫2210＝132.15．(多选)在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是( )A ．k 不可能为0B ．等差数列一定是“等差比数列”C ．等比数列一定是“等差比数列”D ．“等差比数列”中可以有无数项为0答案 AD解析 对于A ，k 不可能为0，正确；对于B ，当a n ＝1时，{a n }为等差数列，但不是“等差比数列”，错误； 对于C ，当等比数列的公比q ＝1时，a n ＋1－a n ＝0，分式无意义，所以{a n }不是“等差比数列”，错误；对于D ，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确．16．已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，数列{a n b n }的前n项和为(2n －1)·3n ＋12. (1)分别求出数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值． 解 (1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0， 所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3， 所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(2n －1)·3n ＋12， 所以a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝(2n －3)·3n －1＋12(n ≥2)， 两式相减，得a n b n ＝2n ·3n －1(n ≥2)， 因为a n ＝2·3n －1，所以b n ＝n (n ≥2)，当n ＝1时，由a 1b 1＝2及a 1＝2，得b 1＝1(符合上式)，所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列，所以S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝34⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n <34. 因为∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，所以m ≥34，即实数m 的最小值为34.。
(完整版)等比数列前n项和公式的性质导学案
等比数列前n 项和的性质导学案知识目标：掌握等比数列前n 项和的性质，灵活的应用等比数列前n 项和公式的性质解决问题。
方法与过程：通过自主探究的方式，培养学生团队精神，勇于探索的精神。
教学过程：复习:1、 等比数列前n 项和公式:（1） （2）2.数学思想：课前练习：1.数列()项和的前n a a a a n 132............,,,1-aa A n--11. B a a n --+111 C a a n ---111 D.以上答案都不对。
2.求和()())(.......212n a a a n -++-+- 新课探究：探究一：性质1。
数列{}n a 的前n 项和A Aq S n n -=()1,0,0≠≠≠q q A 探究{}n a 是否为等比数列。
例题1：若等比数列{}n a 的前n 项和,4a S n n +=求a 的值。
变式：若等比数列{}n a 的前n 项和13-=n n S +a 2，求a 的值。
探究二：我们知道，等差数列有这样的性质：数列{}n a 是等差数列，则K K K K K S S S S S 232,,--................也成等差数列；则新的等差数列的首项是K S ,公差为d k 2。
那么，在等比数列中，也有类似的性质吗？等比数列前n 项和的性质二：数列{}n a 是等比数列，则K K K K K S S S S S 232,,--...............是否也构成成等比数列； 则新的等比数列的首项是K S ,公比（ ）例题2 ：已知等比数列{}n a 中，前10项和10S ＝10，前20项和20S ＝30，求30S 变式训练：1. 等比数列{}n a 10S ＝20，20S =80，求30S ＝？.2.等比数列{}n a 336=S S ，求?69=S S 3、任意等比数列{}n a ，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项 和分别为 X 、Y 、Z ，则下列等式中恒成立的是（ ）Y Z X A 2.=+ .B )()(X Z Z Z Y Y -=-C.XZ Y =2D.)()(X Z X X Y Y -=- 探究三：性质三:等比数列{}n a 共有n 2项，则=奇偶S S 4.数列{}n a 的公比为31，60........9931=+++a a a ，求{}n a 的前100项的和？ 5、已知一个等比数列{}n a 其首项是1，项数是偶数，所有奇数项和是85，所有偶数项和是170，求此数列的项数？小结：。
(完整版)等比数列前n项和导学案
2.5等比数列前n项和一.学习目标1、经历等比数列的前n项和公式推导的探索过程，探究特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想；2、结合公式推导的过程，准确记忆公式，同时归纳出公式应用中的易错点，会用和公式解决有关等比数列的一些简单问题。
二.知识回顾1. 等比数列的定义公式：2. 等比数列的通项公式：3. 等比数列的角标性质：a n 14. 若已知数列｛a n｝中，a i=4, 2 0则a n= _________a n5. 若已知数列｛a n｝中，a3=4,a7=9，则a5= _________三.新知学习1. 情景引入穷人向老板借钱，老板答应，不过提出了条件：在30天中，我第一天借给你1万元，第二天借给你2万元，以后每天借给你的钱都比前一天多1万；但借钱第一天你还给我1分，第二天还给我2分，以后每天还的钱数都是前一天的2倍，30天后互不相欠如何。
问穷人能答应老板条件吗？穷人借的钱:穷人还的钱;2. 公式推导（小组合作探究）已知等比数列｛a n｝的首项是a i,公比是q,项数为n,求它的前n项和S n等比数列前n项和公式：当_________ ■寸，Sn= ____________________________当_________ 时，Sn= ______________________________ 非常数项｛a n｝是等比数列3. 课堂精炼例1•求解下列各题111(1)求等比数列-丄，-,前8项和2 4 81 1⑵已知等比数列佝｝中，a1 8,q 2，a n刁，求〈⑶已知a 0,求1 a a2a n例2.欣赏诗词，解答问题“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增,共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”四．通过本节课的学习，你有什么收获？五．作业布置1. 教材P58 练习12. 探究题求和：S n 1 2 2 22 3 23 4 24 n 2n。
等比数列的概念导学案
§2.4.1等比数列的概念及通项公式【学习目标】1. 理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质；2. 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；3. 体会等比数列与指数函数的关系。
【重点难点】重点：等比数列定义及通项公式；难点：利用所给条件求解等比数列的通项公式。
【自主探究】一、等比数列的定义①1，2，4，8，16，… ②1，21，41，81，161，… ③1，20，220，320，420… 探究1：观察三个数列，归纳这三个数列的共同特征。
等比数列：一般地，如果一个数列从 第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示()0≠q 。
【课堂互动】观察并判断下列数列是否是等比数列:(1) 1，3，9，27，81，…() 161,81,41,212 (3) 5，5，5，5，5，5，…(4) 1，-1，1，-1，1，…(5) 1，0，1，0，1，…(6) 0，0，0，0，0，…()()0,,,,,17432≠x x x x x思考1：对于等比数列有哪些注意的地方。
二、等比数列的通项公式探索2：类比等差数列通项公式的得到过程，小组讨论得出等比数列的通项公式及推导过程。
探究3：在等差数列{}n a 中，()()*,,N m n d m n a a m n ∈-+=，试问在等比数列{}n a 中，如果知道m a 和q ，如何求n a ？请写出表达式。
思考2：等比数列的通项公式类似于我们学过的什么类型的函数？其图像什么样？三、等比中项与等差中项的概念类比，如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称这个数G 称为a 与b 的等比中项 。
想一想，这时a 、b 的符号有什么特点？你能用a 与b 表示G 吗？【典型例题】例1：一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的第1项与第2项。
《等比数列》导学案
§2.4 《等比数列》导学案【学习目标】〖知识目标〗1.正确认识和理解等比数列的定义，明确等比数列中公比的概念，探索并掌握等比数列的通项公式.2.懂得将生活中的实例抽象为等比数列模型来解决生活中的实际问题.〖能力目标〗1．通过发现几个具体简单的数列的等比关系，类比于之前的等差数列概念的推导过程，归纳出等比数列的概念，探索出等比数列的通项公式.2．培养学生严密的思维习惯，通过对等比数列的研究，采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学，发挥学生的主体作用，并进一步培养学生善于思考、解决问题的能力.〖情感目标〗1．感受等比数列丰富的现实背景，培养学生勇于探索，实事求是的科学态度.2．进一步激发学生主动参与学习，感受数学文化，激发学生的学习欲望．〖教学重点〗等比数列的定义和通项公式．〖教学难点〗等比数列与指数函数的关系．【学习过程】一．探求新知〖探究一〗：阅读教材48、49页的具体实例①～④，并把各自对应的数列补充完整：①1, 2， 4，，…②1，，，，…③1，，，，…④10000×1.0198，，，，观察这几个数列：对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于；对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都等于；对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的比都等于；对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的比都等于。
共同特点：。
1、等比数列定义：一般地，如果一个数列 叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示．等价数学表达式为：思考讨论：1.等比数列中的项能否为零?2.等比数列的公比q 能否为零?3.常数列是否是等比数列？4.既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？如果存在，你能举出例子吗？2、等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使得a, G , b 成 ，那么G 叫做a 与b 的等比中项。
想一想： 1、G 与a 、b,之间的关系 2、a 、b 的符号有什么特点？3、等比数列通项公式：〖探究二〗：类比等差数列通项公式的推导过程，完成等比数列通项公式的推导： （法一）归纳法等差数列：21314123a a da a da a d =+=+=+L L，由此归纳等差数列的通项公式可得．1(1)n a a n d =+-（法二）累加法2132431n n a a d a a d a a d a a d-ì-=ïïïï-=ïïï-=íïïïïïï-=ïîL L 相加得1(1)n a a n d =+-等比数列：21a a q =〖探究三〗：等比数列与指数函数的关系分别在下面的直角坐标系中，画出通项公式为12-=n n a 的数列的图象和函数12y -=x 的图像．通过画图象并观察图象，我们可以发现：等比数列{}n a 的通项公式11-⋅=n n q a a 的图像是分布在)1q 0(1≠>=且q q qa y n 的图像上的一些 。
等比数列第一课时导学案
2.3 等比数列导学案(1)学习目标:1 .理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列; 2 ..掌握等比数列的通项公式并能简单应用;重点：等比数列和等差中项的概念及等比数列通项公式的推导和应用 难点：等比数列通项公式的推导及应用。
一、温故知新什么叫等差数列？通项公式是什么?什么叫等差中项？二、探求新知1、研究下面三个数列并回答问题①1、2、4、8…；②1、-1、1、-1…③1、21-、41、81-…问题1：上面数列都是等差数列吗？问题2：以上数列后项与前项的比有何特点？2、等比数列的定义一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 都等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示。
3、等比数列的通项公式的推导过程 设等比数列{}n a ，的公比为q 方法1：（归纳法）,11a a =12a a = ，123a q a a == ，134a q a a == ，……11a q a a n n ==-方法2：（累乘法）根据等比数列的定义，可以得到=12a a ，=23a a ，=34a a，…，=-1n n a a .以上共有 等式，把以上 个等式左右两边分别相乘得=••••-1342312n n a a a a a a a a ，即=1a a n，即得到等比数列的通项公式。
4、等比数列的通项公式 =n a三、通过预习掌握的知识点1、等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1-n na a =q （q ≠0） 1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） 2 隐含：任一项00≠≠q a n 且 3q= 1时，{a n }为常数。
等比数列的定义及性质 导学案
比一比看谁表现最好！拼一拼力争人人过关！
启明中学高效课堂 高二 数学学科导学案
班级： 姓名： 日期: 课题： 等比数列的定义及性质 编号： 小组： 评价：
编制人： 李鹏 审核人： 代成学
学习目标：
1、掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；
2、通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。
使用说明：
1、认真研读教材2521P P -内容，完成下面学内容；
2、参照手头资料探讨等比数列的性质，能够灵活运用等比数列的性质。
定向导学*互动展示
12。
《等比数列》 导学案
《等比数列》导学案一、学习目标1、理解等比数列的定义，能够根据定义判断一个数列是否为等比数列。
2、掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决相关问题。
3、了解等比中项的概念，会求两个数的等比中项。
4、能运用等比数列的性质解决一些简单的计算和证明问题。
二、学习重难点1、重点（1）等比数列的定义和通项公式。
（2）等比中项的概念及应用。
（3）等比数列性质的应用。
2、难点（1）通项公式的推导及应用。
（2）灵活运用等比数列的性质解决问题。
三、知识链接1、数列的定义：按照一定次序排列的一列数称为数列。
2、等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
四、学习过程（一）等比数列的定义观察下列数列：（1）1，2，4，8，16，…（2）5，25，125，625，…（3）－2，－4，－8，－16，…思考：这些数列有什么共同特点？定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。
用数学语言表示为：＼（＼frac{a_{n}｝｛a_{n 1}｝＝q\）（n≥2，n∈N）注意：1、公比 q 不能为 0。
2、等比数列的每一项都不为 0。
例 1：判断下列数列是否为等比数列，如果是，求出公比。
（1）1，－1，1，－1，1，…（2）0，1，2，4，8，…（3）＼（a\），＼（a\），＼（a\），＼（a\），… （＼（a\neq0\））解：（1）是等比数列，公比\（q ＝－1\）。
（2）不是等比数列，因为数列中有 0 。
（3）是等比数列，公比\（q ＝ 1\）。
（二）等比数列的通项公式设等比数列\（＼｛ a_{n}＼｝＼）的首项为\（a_{1}＼），公比为\（q\），则其通项公式为：＼（a_{n} ＝ a_{1}q^｛n 1}＼）推导过程：＼（a_{2} ＝ a_{1}q\）＼（a_{3} ＝ a_{2}q ＝ a_{1}q^｛2}＼）＼（a_{4} ＝ a_{3}q ＝ a_{1}q^｛3}＼）……＼（a_{n} ＝ a_{n 1}q ＝ a_{1}q^｛n 1}＼）例2：已知等比数列\（＼｛a_{n}＼｝＼）的首项\（a_{1} ＝2\），公比\（q ＝ 3\），求\（a_{5}＼）。
等比数列导学案
等比数列班级： 姓名： 小组：【教学目标】 1、理解等比数列的概念2、掌握等比数列的通项公式的推导3、了解并掌握等比中项的性质并且能够熟练的运用解决问题4、利用等比数列的相关性质解决问题 【研学流程】 一、【学】通项公式：11-=n n q a a m n m n q a a -=等比中项： 1、若c b a 、、三个数成等差，则：2b ac =2、若项数m 、p 、q 满足q p m +=2，则：2m p q a a a =3、若项数q p n m 、、、满足q p n m +=+ ，则 m n p q a a a a = 二【交】交流以下问题： 1、什么叫做等比数列2、如何推导等比数列的通项公式3、等比中项的运用 三【展】1、能够推导出等比数列的通项公式，并运用通项公式解决问题2、掌握了等比中项的性质，并且能够解决相应的练习题 四【导】1、创设情境、引入课题 观察细胞的分裂：细胞分裂个数可组成下面的数列： 1,2,4,8,观察这个数列可以得到：从第二项起，每一项与前一项之比都等于2.定义：一个数列从第2项起，每一项与前一项之比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，一般用q 表示()0≠q . 2、等比数列的通向公式已知等比数列{}n a 的首先为1a ，公比为()0≠q q .21a q a = 32aq a =q a a n n=-1左边相乘112231a a a a a a a a n n n =⋅⋅⋅=- 右边相乘1-=n q 所以，左边=右边()011≠=-q q a a n n （通向公式）思考：已知等比数列{}n a 中，公比为()0≠q q ，第m 项为m a ，推导n a 与m a 之间的关系. {}n a 是公比为q 的等比数列 ∴11-=n n q a a 11-=m m q a a ∴m n mnq a a -= 即：m n m n q a a -= 例1、已知等比数列{}n a 中，123=a ，184=a ，求21,a a . 解：设等比数列{}n a 的公比为q , 123=a ,184=a∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==23316181213121q a q a q a∴82331612=⨯==q a a ∴这个数列中3161=a ，82=a 例2、已知各项都为正数的等比数列{}n a 中，83=a ，325=a ，求{}n a 的通项公式.解法一：设等比数列的首相为1a ，公比为()0>q q , 83=a ，325=a∴⎪⎩⎪⎨⎧==3284121q a q a ⇒ ⎩⎨⎧==221q a ∴n n n n q a a 222111=⨯==--解法二：设等比数列的首相为1a ，公比为()0>q q , 83=a ，325=a ，m n m n q a a -= ∴235q a a = ⇒ 2832q ⋅= 2=q∴n n n n q a a 228333=⨯==--思考：已知等比数列{}n a 中，83=a ，325=a ，求{}n a 的通项公式. 3、等比中项①若c b a 、、成等比，则： ac b =2②若项数q p m 、、满足q p m +=2，则： q p m a a a ⋅=2③若项数q p n m 、、、满足q p n m +=+ ，则： qp n m a a a a ⋅=⋅已知等比数列{}n a 的通项公式()*-∈=N n a n n 12 则：1， 2，4， 8，16，32，64，128，256 ， 1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a ， 7a ， 8a ，9a ，① 2，8,32是公比为4的等比数列.则：6432282=⨯=②③项数6473829152+=+=+=+=⨯则：6473829125a a a a a a a a a ⋅=⋅=⋅=⋅=25632864412822561162=⨯=⨯=⨯=⨯=例3、已知公比为()1≠q q 等比数列{}n a ，其中11-=a ，若54321a a a a a a m ⋅⋅⋅⋅=，则=m . 解： {}n a 是等比数列∴()()10515215354321qa qa a a a a a a a m ===⋅⋅⋅⋅=()11101101-==⋅-=m q a q a q ∴101=-m 11=m五、【用】1、在等比数列{}n a 中，22=a ，415=a ，则公比=q 。
等比数列公开课导学案
§2.4等比数列（1）1．理解和掌握等比数列的定义；2.理解和掌握等比数列的通项公式及推导过程方法；3.体会等比数列与指数函数的关系.等差数列的通项公式n a = ，变式 ， 。
复习2：等差数列的单调性复习3：等差数列的通项公式推导方法是什么？与函数的关系如何？图像呢？二、新课导学 创设情景，探索新知 ※ 学习探究创设情景：见课件探究1：阅读课本的4个背景实例，找出规律，写出4个实例所得到的数列。
新知1：根据等比数列的规律，你能给出等比数列的定义吗？1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起， 一项与它的 一项的 等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示（q ≠0），即：1n n a a -= （q ≠0）或 （数学符号表示） 探究2：⑴上述例子的公比分别是什么？⑵你能举一些在生活中的等比数列吗？等比小于0的呢？课堂练习：给出以下几组数列，哪些是等比数列？.由此你得到什么？①－2，1，4，7，10，13，16，19，…②8，16，32，64，128，256，…③1，1，1，1，1，1，1，…④243，81，27，9，3，1，…⑤31，29，27，25，23，21，19，…⑥1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…⑦1，－10，100，－1000，10000，－100000，…⑧0，0，0，0，0，0，0，⑨0，1，2，4，8，…⑩1，x ，,432,,x x x … ※合作讨论1：（1）等比数列中有为0的项吗？（2）公比为1的等比数列是什么数列？（3）常数列都是等比数列吗？（4）有没有既是等差数列又是等比数列的数列？我的总结：新知2：等比数列的通项公式及推导过程方法在学习等差数列时我们能够用公差d ，项数n 及首项1a 表示数列的任一项，也就是它的通项公式n a ，那么在等比数列中，要表示该数列通项公式，需要确定几个条件？探究3：想想等差数列通项公式的推导过程，你能动手推导一下等比数列的通项公式吗？法一：法二：21a a = ； 3211()a a q a q q a === ；24311()a a q a q q a === ； … …∴ 11n n a a q a -==⋅ 等式成立的条件所以, 等比数列的通项公式是等比数列中任意两项n a 与m a 的关系是：新知3：等比数列的通项公式与指数函数的关系※合作讨论2：阅读课本50页探究（2），（3）你发现了什么？等比数列与指数函数的关系：※ 知识拓展 等比数列的单调性在等比数列{}n a 中，⑴ 当10a >，q >1时，数列{}n a 是递增数列；⑵ 当10a <，01q <<，数列{}n a 是递增数列；⑶ 当10a >，01q <<时，数列{}n a 是递减数列；⑷ 当10a <，q >1时，数列{}n a 是递减数列；⑸ 当0q <时，数列{}n a 是摆动数列；⑹ 当1q =时，数列{}n a 是常数列.三、例题讲解 巩固提升，深化理解 ※ 典型例题例1：某种放射性物质持续变化为其他物质，若每经过一年，剩留的这种物质是原来的 84%，则这种物质的半衰期为多少？（精确到1年）※ 动手试试 当堂检测（1） 一个等比数列的第9项是49，公比是－13，求它的第1项； （2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项.课本例3：一个等比数列的第3项和第四项分别是12和18，求它的第1项和第2项。
等比数列导学案
等比数列导学案1. 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公差通常用字母q 表示.（0≠q ）2.等比中项：由三个数a ，G ，b 组成的等比数列可以看成最简单的等比数列.这时，A 叫做a 与b 的等比中项，且ab ±=G3.若等比数列{}n a 的首项是1a ，公差为q ，通项公式：11-=n n q a a即时小测：1.已知等比数列1,2a ,9,…,则该等比数列的公比为( )A.3或-3B.3或31 C.3 D.313.在等比数列{}n a 中,321,21,211===n a q a ,则项数n 为( ) A.3 B.4 C.5 D.66. 在1和256中间插入3个数,使这5个数成等比数列,则公比q 的值为________.练习：1. 2+和2-的等比中项是( )A.1B.-1C.±1D.22.在等比数列{a n}中,已知首项为,末项为,公比为,则此等比数列的项数是( )A.3B.4C.5D.63在数列{a n}中,a1=2,且对任意正整数n,3a n+1-a n=0,则a n=______4等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( )A.-24B.0C.12D.245已知为等差数列,公差为1,且a5是a3与a11的等比中项,则a1=________.6.(2015·浙江高考)已知是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1=______,d=______.7.(2016·苏州高二检测)已知各项均为正数的等比数列{a n}中,a2=4,a4=16.(1)求公比q.(2)若a3,a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项,求数列{b n}的通项公式.例8：已知数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1, a n+1=S n(n=1,2,3,…).求数列{a n}的通项公式。
等比数列导学学案
,,,a思考：在等比数列中，各项的符号与公比，那么各项的符号与,n a 它的前n a ，公比为项和是.1n a -++1n a -++ 〔.项和n S 与通项等比数列综合练习一、选择题1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，那么3132310log log log a a a +++＝A ．12B ．10C ．8D ．2＋3log 52.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=⋅a a a a ，那么=1020a a 〔 〕 A.32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 3.等比数列{}n a 中，121264a a a =，那么46a a 的值为〔 〕A ．16B ．24C ．48D ．1284.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中a 1=2，a 5=8，那么a 3的值为〔 〕A. －4B.4C. ±4D. 55.设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，假设63S S =3 ，那么69SS = A ． 2 B. 73 C. 83D. 36.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设242S S =，那么公比为〔 〕A.1B.1或－1C.21或21- D.2或－2 7.等比数列{a n }的公比为2，前4项的和是1，那么前8项的和为A ．15B ．17C ．19D ．218.等比数列{}n a 的首项为8，n S 是其前n 项的和，某同学经计算得S 2=20，S 3=36，S 4=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，那么该数为〔A 、 S 1B 、S 2C 、 S 3D 、 S 49.数列{}n a 的前n 项和n n S aq =(0a ≠,1q ≠,q 为非零常数),那么数列{}n a 为( )A.等差数列B.等比数列C.既不是等比数列也不是等差数列D.既是等差数列又是等比数列 10.某人为了观看2021年奥运会，从2001年起每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，假设年利率为p 且保持不变，并且每年到期的存款及利息均自动转为新一年定期，到2021年将所有的存款和利息全部取回，那么可取回的钱的总数〔元〕为〔 〕． A a(1+p)7 Ba(1+p)8 C)]1()1[(7p p pa+-+ D)1()1[(8p p pa+-+] 二、填空题11.假设各项均为正数的等比数列{}n a 满足23123a a a =-，那么公比q =． 12.1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，那么=+221b a a ______． 13.等比数列{n a }的公比0q >, 2a =1，216n n n a a a +++=，那么{n a }的前4项和4S =_____14.等比数列{}n a 的前n 项和n S =22-+⋅a a n，那么n a =_______.三、解答题15.设二次方程2110()n n a x a x n N *+-+=∈有两个实根α和β，且满足6263ααββ-+=．〔1〕试用n a 表示1n a +；〔2〕求证：2{}3n a -是等比数列； 〔3〕当176a =时，求数列{}n a 的通项公式．16.数列{}n a 满足：111,1,22,nn n a n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数，且*22,n n b a n N =-∈ 〔Ⅰ〕求234,,a a a ；〔Ⅱ〕求证数列{}n b 为等比数列并求其通项公式； 〔Ⅲ〕求和2462n nT a a a a =+++17.在等比数列{}n a 中，,11>a 公比0>q ，设n n a b 2log =，且.0,6531531==++b b b b b b〔1〕求证：数列{}n b 是等差数列；〔2〕求数列{}n b 的前n 项和n S 及数列{}n a 的通项公式； 〔3〕试比拟n a 与n S 的大小.18.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，231,,S S S 成等差数列.〔1〕求{}n a 的公比q ； 〔2〕假设331=-a a ，求n S .等差等比数列求和习题一、选择题.. .word..。
高中数学《等比数列》导学案
第二章 数列2.4等比数列一、学习目标1.理解等比数列的定义，会用定义判断等比数列2.掌握等比数列的通项公式并能应用3.掌握等比中项的定义，并能够应用等比中项解决问题4.能够综合运用等比数列的性质和通项公式解决等比数列中的计算问题【重点、难点】重点：等比数列的概念以及通项公式难点：等比数列通项公式以及等比中项的认识和应用，等比数列的性质二、学习过程【导入新课】1．等比数列的定义定义：从第 项起，每一项与它的 的比等于 ，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示。
2.等比数列的通项公式a n =_______ 。
3.等比中项若______成等比数列,称G 为a,b 的等比中项且4. 等比数列项的运算性质 数列{a n }是等比数列 ，若m+n=p+q(m,n,p,q ∈N *) 则a n a m =____【典型例题】例1.(1)等比数列1,5,25,125，…的通项公式为_______.(2)等比数列 …的公比为________. (3)在等比数列{a n }中，已知a n =4n －3，则a 1=________，q=________.(4)3与6的等比中项为________.例2.在等比数列{a n }中，(1)若a 4＝27，q ＝－3，求a 7.(2)若a 2＝18，a 4＝8，求a 1和q.(3)若a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，求a 3.例3.等比数列的性质(1)等比数列{a n }中，a 4=3,a 6=12,a 2·a 8=______.(2)等比数列{a n }中，a 5a 7a 9=27，则a 7=_______.【变式拓展】 1.已知{a n }是等比数列，a 2=2,a 5=14，则公比q=( ) A.-12 B.-2 C.2 D.122.在等比数列{a n }中，已知a 1=1，a 4=8，则a 6=( )A.16B.16或-16C.32D.32或-323.若等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，则这个数列的项数为( ) A. 3B. 4C. 5D. 6111,,,10100 1 000－－－三、总结反思1.推导等比数列通项公式的常见方法(1)迭代法：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，由等比数列的定义得，a n =a n －1q=a n －2q 2=a n －3q 3=…=a 2q n －2=a 1q n －1.(2)归纳法：a 2=a 1q ，a 3=a 2q=a 1q 2，a 4=a 3q=a 1q 3，…，a n =a n －1q=a 1q n －1.(3)累乘法：=q ·q ·q ·…·q ，即 故a n =a 1q n －1 2.理解等比数列通项公式应注意的三点(1)由等比数列的首项和公比可以写出其通项公式.(2)根据等比数列的通项公式，已知四个量a 1,n,q,a n 中的三个，就可以求出第四个.(3)由等比数列的通项公式可验证某数是否为等比数列的项.四、随堂检测1.已知a 是1，2的等差中项,b 是－1，－16的等比中项，则ab=( )A.6B.-6C.±6D.±122.1的等比中项是( )A.±2B.2C.-2D.43.在等比数列{a n }中，若a n =2n ，则a 7与a 9的等比中项为（ ）A.a 8B.-a 8C.±a 8D.前3个选项都不对4.设a 1=2，数列{a n +1}是以3为公比的等比数列，则a 4=__________.5.已知数列{a n }的通项公式a n =2n －6(n ∈N *).(1)求a 2，a 5.(2)若a 2 ，a 5分别是等比数列{b n }的第1项和第2项，求数列{b n }的通项公式b n .6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =n a 13-(n ∈N *). (1)求a 1,a 2.(2)求证：数列{a n }是等比数列.324n 123n 1a a a a a a a a ⋯－n 1n 1a q a =－，。
等比数列的性质导学案
第二章 数列2.4.2等比数列的性质基本知识点：1、等比数列的项与序号的关系以及性质两项关系：(,)n m n m a a q m n N -*=∈多项关系：(,,,)m n p q m n p q N *+=+∈ 则m n p q a a a a ⋅=⋅ 2、等比数列的判定（1）定义法：1n n a q a +=（q 为常数且不为零）⇔{}n a 为等比数列；（2）等比中项法：212n n n a a a ++=⋅（n N *∈且0n a ≠）⇔{}n a 为等比数列；（3）通项公式法：11n na a q -=（10a ≠且0q ≠）⇔{}n a 为等比数列；温故知新：1、等比数列}{n a 中，24a ＝6a -5a ，则公比是( )(A)0 (B)1或2 (C)-1或2 (D)－1或-22、若等比数列的首项为1，末项为512，公比为2，则这个数列的项数为____.3、若22是b -1，b +1的等比中项，则b =________.4、等比数列}{n a 中，已知2a =3,5a =24，求8a 的值.课后检测：1.在等比数列}{n a 中，若a 4＝-8，公比q =2，则a 8＝( )(A)128 (B)-128 (C)64 (D)-642.等差数列}{n a 的公差为1，若a 1，a 2，a 4成等比数列，则a 3＝( )(A)1 (B)2 (C)-3 (D)33.在等比数列}{n a 中，若a 3＝3，a 7=6，则a 11＝______.4.设等比数列}{n a 中，a 3是a 1,a 2的等差中项，则数列的公比为______.5.在83和272之间插入三个数,使这五个数成等比数列,求插入的这三个数的 乘积.能力提高：已知数列}{n a 为等差数列且公差d ≠0，}{n a 的部分项组成下列数列：a 1k ,a 2k ,…,a n k 恰为等比数列,其中k 1=1,k 2=5,k 3=17,求k n .参考答案：2.4.2课后检测：1．B 2．D 3．12 4.12-或1 5. 216 能力提高：由题意有2132k k k a a a =,即25117a a a =,∴(a 1+4d)2=a 1(a 1+16d)⇒ a 1=2d 或d=0(舍去）, ∴a 5=a 1+4d=6d ⇒等比数列的公比21k 5k 1a a q 3a a ===. 由于n k a 是等差数列的第k n 项，又是等比数列的第n 项，故()n 1n 1k 1n k a a k 1d a q -=+-=,⇒n 1n k 231-=⋅-.。
等比数列(一)导学案
课题：等比数列（一）导学案课型：新授课连山高级中学高二数学备课组一、【学习目标】1．通过实例，理解等比数列的概念并会应用．2．掌握等比中项的概念并会应用．3．探索并掌握等比数列的通项公式．二、【重点难点】重点： 1.等比数列概念及等比中项的理解与掌握； 2.等比数列的通项公式的推导及应用．难点：等比数列通项公式的推导及应用。
三、【学法指导】1．要善于通过实例的观察、分析、归纳，提炼等比数列的概念．2．学习等比数列时，要注意与等差数列进行类比，掌握两个数列的联系与区别．四、学习过程学案A ：课前预习案—知己知彼百战不殆【设疑导学】——问题是数学的心脏。
问题1：（1）某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……一个这样的细胞分裂n次，得到一个怎样的数列？（2）《庄子》：一尺之锤，日取其半，万世不竭。
若把一尺之锤看成单位“1”，那么日取其半得到一个怎样的数列？通过这两个数列，你观察到他们具有什么共同特征？问题2：你能通过对公比q的不同取值的讨论，对等比数列进行分类吗？（提示：按q的正负、q与1的大小比较、q能否为0讨论。
）问题3：类比等差中项，等比中项的取值有何特点？【类比探究】问题4：如果等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，你能用归纳的方法给出数列{a n}的通项公式吗？思考：除了利用归纳法，你还有其它的方法推导等比数列的通项公式吗？【典型例题】例1、一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项例2、在等比数列{a n }中，（1）已知a 1＝3，q ＝－2，求a 6；（2）已知a 3＝20，a 6＝160，求a n.例3、三个数成等比，这三个数的和是13，这三个数的积是27，求这三个数。
【当堂达标】 1.下面有四个结论：（1）由第一项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列； （2）常数列b,b,…b 一定为等比数列；（3）等比数列{ a n }中，若公比q=1，则此数列各项相等； （4）等比数列中，各项与公比都不能为零。
等比数列导学案设计
课题等比数列（一课时）课型新课媒体用具PPT 日期学习目标：1．通过实例，理解等比数列的概念并会应用2．掌握等比中项的概念并会应用3．理解等比数列的通项公式及推导重点：等比数列的定义及通项公式难点：灵活应用定义式及通项公式解决相关问题过程学习内容师生活动及设计意图一、二、复习引入：等差数列的定义：na－1-na=d ，（n≥2，n∈N+）观察：请同学们仔细观察一下，看看数列①、②、③、有什么共同特征？①1，2，4，8，16， (1)12，14，18，116，…③1，20，220，320，420，…新知探究1、等比数列的概念：一般的，，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母q表示。
符号表示：引例中的三个等比数列的通项公式分别是？猜想，等比数列的通项公式？2.等比数列的通项公式的推导:1）累乘法：2）归纳法：3、等比中项：若bGa,,成等比数列，则bGa,,的关系？G叫做a与b的，此时a与b（填同号或异号）。
学生观察找出共同特点/3通过类比法学生归纳等比数列定义思考？1）定义中的关键句？2）公比能否为0？3）公比为1时？4）常数列？是等差数列还是等比数列组内合作探究等比数列通项公式过程学习内容师生活动及设计意图三、四、五、六、跟踪练习（抢答）1. 已知下列数列是等比数列，请在括号内填上适当的数：①（），3,27；②2，（），8；③1，（），（），881．3、下列数列是否为等比数列，如果是，公比是多少？（1）1,1,1,1,1；2）8,4,2,1,0；（3）161,81,41,21,1--（4）432,,,xxxx4、求出下列等比数列中的未知项：（1）8,,2a；（2）21,,,4cb-5、判断正误：①1，2，4，8，16是等比数列；②数列Λ,81,41,21,1是公比为2的等比数列；③若cbba=，则cba,,成等比数列；④若()*1Nnnaann∈=+，则数列{}n a成等比数列；合作学习例1、一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项例2、三个数成等比，这三个数的和是7，这三个数的积是8，求这三个数。
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编号：gswhsxbx5----008文华高中高一数学必修5§2.4《等比数列(1)》导学案编制人：戴道亮审核人：高一数学组编制时间：2014年3月15日学习目标1.能记住等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质；2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；3.体会等比数列与指数函数的关系.重点难点重点是等比数列的定义，通项公式。
难点是灵活运用等比数列的通项公式。
学习方法类比法情感态度与价值观通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的精神，严谨的科学态度，体会探究过程中的主体作用及探索问题的方法，经历解决问题的全过程。
学习过程一、知识点回顾1.等差数列的定义？2．等差数列的通项公式n a = ，等差数列的性质有：二、新课导学观察：① 1，2，4，8，16，…② 1，12，14，18，116，…（一尺之棰，日取其半，万世不竭。
）③ 1，20，220，320，420，…思考以上三个数列有什么共同特征？三．知识要点1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起， 一项与它的 一项的 等于常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母表示（q ≠0），即：1nn a a -= （q ≠0）2. 等比数列的通项公式：21a a = ； 3211()a a q a q q a === ；24311()a a q a q q a === ； … …∴ 11n n a a q a -==⋅ 等式成立的条件3. 等比数列中任意两项n a 与m a 的关系是（推广式）：四．例题探究例1 、（1） 一个等比数列的第9项是49，公比是－13，求它的第1项；（2）一个等比数列的第3项是12，第4项是18，求它的第1项与第2项.小结：关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式11n n a a q -=. 要证明一个数列是等比数列，只需证明对于任意正整数n ，1n na a +是一个不为0的常数就行了.例2. 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84％. 这种物质的半衰期为多长(精确到1年)?（P50）五．学习小结1. 等比数列定义；2. 等比数列的通项公式和任意两项n a 与m a 的关系.六．知识拓展在等比数列{}n a 中，⑴ 当10a >，q >1时，数列{}n a 是递增数列；⑵ 当10a <，01q <<，数列{}n a 是递增数列； ⑶ 当10a >，01q <<时，数列{}n a 是递减数列； ⑷ 当10a <，q >1时，数列{}n a 是递减数列； ⑸ 当0q <时，数列{}n a 是摆动数列； ⑹ 当1q =时，数列{}n a 是常数列.（每日一题）一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q =（ ）.A.B.C.D.本节课我最大的收获是： .我存在的疑惑有：文华高中高一数学必修5《等比数列 (1)》节节过关达标检测班级：------------ 组名：------------ 学生姓名：------------1. 在{}n a 为等比数列，112a =，224a =，则3a =（ ）.A. 36B. 48C. 60D. 722. 等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，这个数列的项数n ＝（ ）.A. 3B. 4C. 5D. 63. 已知数列a ，a （1－a ），2(1)a a -，…是等比数列，则实数a 的取值范围是（ ）. A. a ≠1 B. a ≠0且a ≠1 C. a ≠0 D. a ≠0或a ≠14. 设1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，公比为2，则123422a a a a ++＝ .5. 在等比数列{}n a 中，4652a a a =-，则公比q ＝ .6.在等比数列{}n a 中， ⑴ 427a =，q ＝－3，求7a ；⑵ 218a =，48a =，求1a 和q ；⑶ 44a =，76a =，求9a ；⑷ 514215,6a a a a -=-=，求3a .7.已知数列{n a }中，lg 35n a n =+ ，试用定义证明数列{n a }是等比数列.编号：gswhsxbx5----009文华高中高一数学必修5§2.4《等比数列 (2)》导学案编制人：戴道亮 审核人：高一数学组 编制时间：2014年3月17日学习目标1.记住等比数列的定义及通项公式，等比中项概念。
2.会运用等比数列的有关性质。
3.会判断一个数列是否成等比数列。
重点难点重点是等比数列的通项公式及等比中项的概念。
难点是灵活运用等比数列的有关性质。
学习方法类比法情感态度与价值观通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的精神，严谨的科学态度，体会探究过程中的主体作用及探索问题的方法，经历解决问题的全过程。
学习过程一、知识点回顾1：等比数列的通项公式n a = = .公比q 满足的条件是2：等比数列有何性质？二、知识要点1：等比中项定义如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称这个数G 称为a与b的等比中项. 即G = （a ，b 同号）.不妨一试：数4和6的等比中项是 .问题探究：1.在等比数列{n a }中，2537a a a =是否成立呢？2.211(1)nn n a a a n -+=>是否成立？你据此能得到什么结论？3.2(0)nn k n k a a a n k -+=>>是否成立？你又能得到什么结论？2：等比数列的性质在等比数列中，若m +n =p +q ，则m n p k a a a a =.不妨一试：在等比数列{}n a ，已知19105,100a a a ==，那么18a = .三．例题探究例1已知{},{}n n a b 是项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格，从中你能得出什么结论?证明你的结论.变式探究：项数相同等比数列{n a }与{n b }，数列{nna b }也一定是等比数列吗？证明你的结论.小结：两个等比数列的积和商仍然是等比数列.例2在等比数列{n a }中，已知47512a a =-g ，且38124a a +=，公比为整数，求10a .不妨一试：在等比数列{n a }中，已知7125a a =g ，则891011a a a a =g g g .四．学习小结1. 等比中项定义；2. 等比数列的性质.五．知识拓展公比为q 的等比数列{}n a 具有如下基本性质：1. 数列{||}n a ，2{}n a ，{}(0)n ca c ≠，*{}()nm a m N ∈，{}k n a 等，也为等比数列，公比分别为2||,,,,m k q q q q q . 若数列{}n b 为等比数列，则{}n n a b g ，{}n n ab 也等比.2. 若*m N ∈，则n m n m a a q -=g . 当m =1时，便得到等比数列的通项公式.3. 若m n k l +=+，*,,,m n k l N ∈，则m n k l a a a a =g g .4. 若{}n a 各项为正，c >0，则{log }c n a 是一个以1log c a 为首项，log c q 为公差的等差数列. 若{}n b 是以d 为公差的等差数列，则{}n b c 是以1b c 为首项，d c 为公比的等比数列. 当一个数列既是等差数列又是等比数列时，这个数列是非零的常数列.（每日一题） 在7和56之间插入a 、b ，使7、a 、b 、56成等比数列，若插入c 、d ，使7、c 、d 、56成等差数列，求a ＋b ＋c ＋d 的值.本节课我最大的收获是： .我存在的疑惑有：文华高中高一数学必修5《等比数列 (2)》节节过关达标检测班级：------------ 组名：------------ 学生姓名：------------1. 在{}n a 为等比数列中，0n a >，224355216a a a a a ++=，那么35a a +=（ ）. A. ±4 B. 4 C. 2 D. 82. 若－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)＝（ ）.A ．8B ．－8C ．±8D ．983. 若正数a ，b ，c 依次成公比大于1的等比数列，则当x >1时，log a x ，log b x ，log c x （ ） A.依次成等差数列 B.各项的倒数依次成等差数列C.依次成等比数列D.各项的倒数依次成等比数列4. 一个直角三角形三边成等比数列，则（ ）. A. 三边之比为3：4：5 B. 三边之比为13C.D.5. 在两数1，16之间插入三个数，使它们成为等比数列，则中间数等于 .6. 在各项都为正数的等比数列{}n a 中，569a a =g ， 则log 31a + log 32a +…+ log 310a = .7. 在{}n a 为等比数列中，1964a a =g ，3720a a +=，求11a 的值.8. 已知等差数列{}n a 的公差d ≠0，且1a ，3a ，9a 成等比数列，求1392410a a a a a a ++++.编号：gswhsxbx5----010文华高中高一数学必修5§2.5《等比数列的前n 项和(1)》导学案编制人：戴道亮 审核人：高一数学组 编制时间：2014年3月19日学习目标1.记住等比数列的前n 项和公式。
2.会推导等比数列的前n 项和公式。
3.会运用类比法学习等比数列前n 项和有关性质。
重点难点重点是等比数列的前n 项和公式。
难点是灵活运用等比数列的前n 项和有关性质。
学习方法类比法情感态度与价值观通过对等比数列前n 项和错位相减法的推导，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的精神，严谨的科学态度，体会探究过程中的主体作用及探索问题的方法，经历解决问题的全过程。
学习过程一.知识点回顾1：什么是数列前n 项和？等差数列的数列前n 项和公式是什么？2：已知等比数列中，33a =，681a =，求910,a a .二、知识要点探究任务： 等比数列的前n 项和故事：“国王对国际象棋的发明者的奖励”等比数列的前n 项和公式设等比数列123,,,n a a a a L L 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++L ，公比为q ≠0，公式的推导方法一：则22111111n n n n S a a q a q a q a q qS --⎧=++++⎪⎨=⎪⎩L(1)n q S ∴-=当1q ≠时，n S = ①或n S = ②当q =1时，n S =公式的推导方法二：由等比数列的定义，32121n n a a aq a a a -====L ，有231121n n n n na a a S a q a a a S a -+++-==+++-L L ，即 1n n nS a q S a -=-.∴ 1(1)n n q S a a q -=-（结论同上）公式的推导方法三：n S =123n a a a a +++L＝11231()n a q a a a a -++++L＝11n a qS -+＝1()n n a q S a +-.∴ 1(1)n n q S a a q -=-（结论同上）不妨一试：求等比数列12，14，18，…的前8项的和.三．例题探究例1已知a 1=27，a 9=1243，q <0，求这个等比数列前5项的和.不妨一试：13a =，548a =. 求此等比数列的前5项和.例2某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?不妨一试. 等比数列中，33139,.22a S a q ==,求及四．学习小结1. 等比数列的前n 项和公式；2. 等比数列的前n 项和公式的推导方法；3. “知三求二”问题，即：已知等比数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.五．知识拓展1. 若1q ≠-，*m N ∈，则232,,,m m m m m S S S S S --⋅⋅⋅构成新的等比数列，公比为m q .2. 若三个数成等比数列，且已知积时，可设这三个数为,,aa aq q. 若四个同符号的数成等比数列，可设这四个数为33,,,a aaq aq q q .3. 证明等比数列的方法有：（1）定义法：1n na q a +=； （2）中项法：212n n n a a a ++=g .4. 数列的前n 项和构成一个新的数列，可用递推公式111(1)n n n S a S S a n -=⎧⎨=+>⎩表示.（每日一题） 一个球从100m 高出处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的一半再落下，当它第10次着地时，共经过的路程是多少？（精确到1m ）本节课我最大的收获是： .我存在的疑惑有：文华高中高一数学必修5《等比数列的前n 项和(1)》节节过关达标检测班级：------------ 组名：------------ 学生姓名：------------1. 数列1，a ，2a ，3a ，…，1n a -，…的前n 项和为（ ）.A. 11n a a --B. 111n a a +--C. 211n a a +--D. 以上都不对2. 等比数列中，已知1220a a +=，3440a a +=，则56a a +=（ ）. A. 30 B. 60 C. 80 D. 1603. 设{}n a 是由正数组成的等比数列，公比为2，且30123302a a a a ⋅⋅⋅=，那么36930a a a a ⋅⋅⋅=（ ）.A. 102B. 202C. 1D. 6024. 等比数列的各项都是正数，若1581,16a a ==，则它的前5项和为 .5. 等比数列的前n 项和3n n S a =+，则a ＝ .6. 等比数列中，已知1441,64,.a a q S =-=求及7. 在等比数列{}n a 中，162533,32a a a a +==g ，求6S .编号：gswhsxbx5----011文华高中高一数学必修5§2.5《等比数列的前n 项和(2)》导学案编制人：戴道亮 审核人：高一数学组 编制时间：2014年3月21日学习目标1.记住等比数列的前n 项和公式。