对称矩阵
对称矩阵求法
对称矩阵求法什么是对称矩阵？对称矩阵是指满足矩阵转置后仍然等于原矩阵的方阵。
换句话说，如果一个矩阵A的转置矩阵等于它本身，那么这个矩阵就是对称矩阵。
对称矩阵具有一些特殊的性质和应用。
在数学和物理中，对称矩阵广泛应用于线性代数、几何学、力学等领域。
对称矩阵的性质1.对称轴：对称轴是指通过对称中心和两个相同点之间的直线。
在二维平面上，对称轴是一条直线；在三维空间中，对称轴是一个平面。
2.主对角线：主对角线是指从左上角到右下角的这条直线上的元素。
3.元素关系：如果一个元素位于主对角线上，则它与自己关于主对角线的元素相等；如果一个元素位于主对角线之外，那么它与关于主对角线的元素互为相反数。
对称矩阵求法方法一：利用性质判断是否为对称矩阵对称矩阵的定义是转置矩阵等于原矩阵，因此可以通过判断矩阵的转置是否与原矩阵相等来确定是否为对称矩阵。
步骤如下：1.将给定的矩阵A进行转置，得到转置矩阵B。
2.判断A和B是否相等。
3.如果A和B相等，则矩阵A是对称矩阵；如果A和B不相等，则矩阵A不是对称矩阵。
方法二：利用性质判断是否为对称矩阵，并求解对称轴在方法一的基础上，如果判断出给定的矩阵是对称矩阵，可以进一步求解出对称轴。
步骤如下：1.判断给定的矩阵A是否为对称矩阵。
2.如果A是对称矩阵，则计算出主对角线上元素之和的平均值M。
3.遍历主对角线上方（或下方）的元素，找出与M最接近的元素，并记录其位置。
4.以该元素所在行（或列）为中心，即可确定对称轴。
方法三：利用特殊运算求解除了利用性质进行判断外，还可以借助特殊的运算来求解对称矩阵。
1. 特征值分解特征值分解是将一个矩阵分解为对角矩阵和相似变换矩阵的乘积。
对于对称矩阵，可以通过特征值分解来求解。
步骤如下：1.对给定的对称矩阵A进行特征值分解，得到特征值和特征向量。
2.将得到的特征值按从大到小排列，得到一个对角矩阵D。
3.将得到的特征向量按列排列，组成一个正交矩阵P。
4.则原始的对称矩阵A可以表示为A = P * D * P^T。
对称矩阵
基本性质
1.对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。 2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。 3.对角矩阵都是对称矩阵。 4.两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的 特征空间相同。 5.用<,>表示上的内积。n×n的实矩阵A是对称的，当且仅当对于所有X, Y∈，。 6.任何方形矩阵X，如果它的元素属于一个特征值不为2的域（例如实数），可以用刚好一种方法写成一个对 称矩阵和一个斜对称矩阵之和： 7.每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。 8.若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Symmetric矩阵。 9.一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零的时候成立。 10.如果X是对称矩阵，那么对于任意的矩阵A，AXAT也是对称矩阵。
对称矩阵
线性代数术语
01 基本性质
03 应用
目录
02atrices）是指以主对角线为对称轴，各元素对应相等的矩阵。 在线性代数中，对 称矩阵是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身相等。1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901年)证明了别的数学家 发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch,18311872年)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出 了一些有关的结论。
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应用
1．对称矩阵 （1）对称矩阵 在一个n阶方阵A中，若元素满足下述性质： 则称A为对称矩阵。 （2）对称矩阵的压缩存储 对称矩阵中的元素关于主对角线对称，故只要存储矩阵中上三角或下三角中的元素，让每两个对称的元素共 享一个存储空间。这样，能节约近一半的存储空间。 ①按行优先顺序存储主对角线（包括对角线）以下的元素 即按次序存放在一个向量sa[0...n(n+1)/2-1]中（下三角矩阵中，元素总数为n(n+1)/2）。 其中： sa=a0,0
对称矩阵的分解
对称矩阵的分解对称矩阵是指矩阵的转置等于矩阵本身，即A = AT的方阵。
对于实对称矩阵，其特征值都是实数，且存在一个正交矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵，此时我们称A可对角化。
但是，对于一些实对称矩阵，其特征值存在重复或者是复数，此时可能无法进行对角化处理。
因此，我们需要寻找其他的分解方法来描述这些矩阵。
1. 特征值分解对于实对称矩阵A，存在正交矩阵P，使得P-1AP = D，其中D为对角阵，对角线上的元素为A的特征值λ1,λ2,…,λn。
因此，A可以分解成A = PDP-1。
该分解称为特征值分解。
特征值分解有一些非常重要的应用。
例如，在计算机图形学中，我们可以通过将对称矩阵进行特征值分解，得到其特征向量（即正交矩阵P中的列向量），从而找到该矩阵的主轴方向和大小，进而完成图像的旋转和缩放。
对于任意的m×n矩阵A，存在两个实正交矩阵U和V和一个非负实对角矩阵Σ，使得A = UΣV T。
该分解称为奇异值分解（SVD）。
奇异值分解是矩阵分解中最为重要的一种，它有着广泛的应用，例如在数据压缩、信号处理、图像处理、机器学习等领域。
在机器学习中，我们经常需要对数据集进行降维处理，通常使用奇异值分解来计算数据集的主成分，并且只保留对应的奇异值较大的部分，达到降维的目的。
3. QR分解QR分解的主要应用在线性方程组求解和最小二乘问题中。
在线性方程组求解中，我们需要解决Ax=b的问题，可以通过QR分解将A分解为QR形式，然后得到Rx = Q T b，再通过回代求解x。
在最小二乘问题中，我们可以将目标函数y = Ax 与观察数据b进行比较，得到误差函数e = b - Ax。
通过QR分解将矩阵A分解为QR形式，我们可以将误差函数改写为e = R T Q T b，并求得误差函数的二范数来衡量数据拟合的好坏。
4. Cholesky分解对于一个对称正定矩阵A，存在一个唯一的下三角矩阵L，使得A = LL T。
该分解称为Cholesky分解。
对称矩阵和反对称矩阵
对称矩阵和反对称矩阵本文主要介绍对称矩阵和反对称矩阵的定义、性质和应用。
1.定义对称矩阵是指矩阵的元素在镜像中心线两侧相等，即矩阵的转置等于它本身。
定义如下：设A为n阶矩阵，如果A的转置矩阵AT等于A本身，则称A为对称矩阵。
反对称矩阵是指矩阵的元素在镜像中心线两侧相反，满足A=-AT。
定义如下：设A为n阶矩阵，如果A的转置矩阵AT等于-A本身，则称A为反对称矩阵。
反对称矩阵中对角线元素都为0。
只有当n为奇数时，才有可能构造出反对称矩阵。
2.性质对称矩阵和反对称矩阵都是特殊的方阵，它们有以下性质：1）对称矩阵的特征值都是实数。
2）对称矩阵可以通过正交相似变换对角化。
3）对称矩阵的每个子矩阵都是对称矩阵。
4）反对称矩阵的行列式都是偶数次幂。
5）反对称矩阵的秩为偶数。
6）反对称矩阵的特征值都是纯虚数或0。
3.应用对称矩阵和反对称矩阵在物理学、工程、数学等领域都有广泛应用。
下面介绍其中一些应用。
3.1 对称矩阵对称矩阵与二次型有密切关系。
二次型是由一个n维向量x和一个n阶矩阵A的乘积xTAx表示的。
如果A是对称矩阵，则称该二次型为正定二次型。
正定二次型的特征值都是正数，表现出对向量的正面影响，常用于优化问题中。
在物理学中，对称矩阵常用于表示物理系统的对称性，如空间对称性和内禀对称性。
此外，在计算机科学领域中，对称矩阵可以用于计算图像处理中的中值滤波和边缘检测。
3.2 反对称矩阵反对称矩阵在物理学中也很有用，可以表示无旋场，如电磁场和磁场等。
在机器学习算法中，反对称矩阵可以用于求解矩阵奇异值、特征值和特征向量等问题，具有很高的计算效率。
同时，反对称矩阵也能表示多种对称性和不变性，例如动量和角动量的守恒，以及物理系统中的对称映射。
此外，反对称矩阵还被广泛应用于控制论和自动化领域。
4.总结对称矩阵和反对称矩阵分别具有不同的特性和应用。
由于其广泛的应用性和重要性，对称矩阵和反对称矩阵成为数学、物理学、工程学等领域中不可或缺的基本工具。
对称矩阵与反对称矩阵
对称矩阵与反对称矩阵对称矩阵与反对称矩阵是线性代数中两种特殊的矩阵形式。
它们在数学和物理领域中有广泛的应用，特别是在对称性和反对称性的研究中起着重要的作用。
让我们来看看对称矩阵。
一个n阶矩阵A称为对称矩阵，如果它的转置矩阵等于它本身，即A的每个元素aij等于aji。
换句话说，对称矩阵以主对角线为对称轴，对角线两侧的元素相等。
例如，下面是一个3阶对称矩阵的例子：\[A = \begin{bmatrix}1 &2 &3 \\2 & 4 & 5 \\3 & 5 & 6 \\\end{bmatrix}\]对称矩阵在几何学、物理学和工程学中经常出现。
例如，在物理学中，对称矩阵可以用来描述刚体的惯性矩阵。
在几何学中，对称矩阵可以用来表示二次曲线的方程。
在工程学中，对称矩阵可以用来表示力学系统的刚度矩阵。
接下来，我们来了解一下反对称矩阵。
一个n阶矩阵A称为反对称矩阵，如果它的转置矩阵的相反数等于它本身的负数，即A的每个元素aij等于-aji。
换句话说，反对称矩阵以主对角线为对称轴，对角线上的元素为零，而对角线两侧的元素满足相反数关系。
以下是一个3阶反对称矩阵的例子：\[A = \begin{bmatrix}0 & 1 & -2 \\-1 & 0 & 3 \\2 & -3 & 0 \\\end{bmatrix}\]反对称矩阵在物理学、电路理论和几何学中有重要应用。
在物理学中，反对称矩阵可以用来描述刚体的角动量。
在电路理论中，反对称矩阵可以用来表示电感和电容之间的耦合。
在几何学中，反对称矩阵可以用来表示旋转和反射变换。
对称矩阵和反对称矩阵有一些共同的性质。
首先，它们的对角线上的元素都为零。
这是因为对称矩阵的对称轴是对角线，而反对称矩阵的对称轴是主对角线。
其次，对称矩阵和反对称矩阵的和仍然是对称矩阵。
这是因为对称矩阵的转置矩阵与自身相等，而反对称矩阵的转置矩阵的相反数与自身相等。
对称矩阵的性质(2021年整理)
对称矩阵的性质（2021年整理）
对称矩阵是指一个矩阵的转置矩阵等于该矩阵本身，也就是说，矩阵中每个元素关于主对角线对称。
下面是对称矩阵的一些性质：
1.对称矩阵的主对角线上的元素必须是实数。
3.对称矩阵的每个特征值（即特征方程的根）都是实数。
4.对称矩阵的特征向量可以相互正交。
5.对称矩阵可以被对角化为一个对角矩阵，其对角线上的元素即为它的特征值。
6.对称矩阵的正交补可以由它自己和它的特征向量张成，且正交补的维数等于矩阵的秩。
7.若对称矩阵A的特征值不同，则其特征向量必然线性无关。
8.可以利用对称矩阵的特殊性质，如Cholesky分解、广义逆矩阵等方法，加快算法的收敛速度。
9.对称矩阵在物理学、工程学、经济学等领域应用广泛，如刚体力学中的惯量矩阵、线性规划中的二次规划、回归分析中的杠杆效应等等。
10.对称矩阵的各种性质深受数学家们的研究，如对称矩阵的特征值分布、对称矩阵的最大和最小特征值、对称矩阵的谱聚类等等。
总之，对称矩阵是一类非常特殊和重要的矩阵，它具有许多独特的性质和应用，对于理解线性代数、数学物理等领域有着重要的作用。
对称矩阵与反对称矩阵的合同标准形
对称矩阵与反对称矩阵的合同标准形
对称矩阵与反对称矩阵的合同标准形在数学中是一个重要概念，尤其在线性代数和矩阵理论中。
首先，我们需要理解什么是对称矩阵和反对称矩阵，以及合同关系是什么。
1.对称矩阵：一个矩阵如果满足其转置等于它本身，即(A = A^T)，则该矩阵被称为对
称矩阵。
2.反对称矩阵：一个矩阵如果满足其转置等于它的负值，即(A = -A^T)，则该矩阵被称
为反对称矩阵。
3.合同关系：两个矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得(P^TAP = B)，则称A
和B是合同的。
对称矩阵和反对称矩阵的合同标准形通常是在某种变换下，使得这些矩阵具有更简单的形式或揭示其某些内在性质。
对于对称矩阵，通过合同变换，可以将其化为对角形矩阵或具有特定块结构的矩阵。
而对于反对称矩阵，其合同标准形可能与对称矩阵有所不同。
具体来说，对于实数域上的对称矩阵，总存在一个可逆矩阵P，使得(P^TAP)成为一个对角矩阵，其中对角线上的元素是A的特征值。
这是对称矩阵谱定理的一个重要结果。
对于反对称矩阵，其合同标准形可能依赖于具体的数域和矩阵的维数。
在某些情况下，反对称矩阵可以通过合同变换化为一种标准形，这种标准形可能包含一些零块
和/或特定的2x2块。
然而，需要注意的是，对于复数域上的对称矩阵和反对称矩阵，情况可能会有所不同。
此外，具体的合同标准形可能还依赖于矩阵的秩和其他性质。
总之，对称矩阵和反对称矩阵的合同标准形是矩阵理论中的一个重要概念，它有助于我们更深入地理解这些矩阵的性质和结构。
然而，具体的合同标准形可能因数域、维数和其他因素而异。
对称矩阵例子
对称矩阵例子一、什么是对称矩阵对称矩阵是一种特殊的方阵，它满足矩阵的转置等于它本身。
特别地，如果一个矩阵的元素在主对角线上对称（左上到右下），那么这个矩阵就是对称矩阵。
一个n阶矩阵A是对称矩阵，当且仅当A的转置等于A，即A^T = A。
对称矩阵在许多领域中都有应用，例如线性代数、图论和物理学等。
二、对称矩阵的性质对称矩阵有一些独特的性质，下面我们逐一介绍。
1. 对称矩阵的主对角线元素对称矩阵的主对角线元素是矩阵从左上到右下的元素，即A[1,1], A[2,2], …, A[n,n]。
由对称矩阵的定义可知，这些元素一定存在且相等。
2. 对称矩阵的非主对角线元素对称矩阵的非主对角线元素是除了主对角线上的元素以外的其他元素。
根据对称矩阵的定义，对称矩阵的非主对角线元素必须满足A[i,j] = A[j,i]，也就是说关于主对角线对称。
3. 对称矩阵的性质对称矩阵具有以下性质： - 每一个对称矩阵都是方阵。
- 对称矩阵与实对称矩阵的概念是等价的，即每一个实对称矩阵都是对称矩阵，反之亦然。
- 对称矩阵的特征值（即矩阵A满足A x = λx的解）一定是实数。
同时，对称矩阵的特征向量也一定是实向量。
- 对称矩阵可以通过正交对角化（即将矩阵对角化，并且对角线元素是实数）的方法进行分解。
三、对称矩阵的例子下面介绍一些对称矩阵的例子，以更直观地理解对称矩阵。
1. 对角矩阵对角矩阵是一种特殊的对称矩阵，它的非主对角线元素全为0。
例如，下面是一个3阶的对角矩阵：A = [[2, 0, 0],[0, 3, 0],[0, 0, 5]]可以看到，该矩阵满足A^T = A，且非主对角线元素均为0。
2. 单位矩阵单位矩阵是一种特殊的对称矩阵，它的主对角线元素全为1，非主对角线元素全为0。
例如，下面是一个4阶的单位矩阵：I = [[1, 0, 0, 0],[0, 1, 0, 0],[0, 0, 1, 0],[0, 0, 0, 1]]可以看到，该矩阵满足I^T = I，且非主对角线元素均为0。
线性代数中的对称矩阵与正交矩阵
线性代数中的对称矩阵与正交矩阵线性代数是数学中的一个重要分支，研究了向量空间、线性变换和矩阵等概念和性质。
在线性代数的学习过程中，对称矩阵和正交矩阵是两个重要的概念。
本文将深入探讨对称矩阵和正交矩阵的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、对称矩阵的定义和性质对称矩阵是一个n阶方阵，其主对角线上的元素对称分布。
即对于一个n阶方阵A，如果对于所有的i和j，都有A(i,j) = A(j,i)，那么A 就是一个对称矩阵。
对称矩阵的重要性质包括：1. 对称矩阵的特征值都是实数：对于一个对称矩阵A，其特征值都是实数，这使得对称矩阵在实际问题中的应用更为广泛。
例如，在物理学中，对称矩阵可以表示刚体的惯性矩阵，而其实数特征值可以表示刚体的转动惯量。
2. 对称矩阵的特征向量正交：对于一个对称矩阵A，若v是其非零特征值λ对应的特征向量，那么与v对应的特征值也是λ的特征向量与v正交。
这一属性使得对称矩阵在正交变换和对角化等方面具有重要的应用。
二、正交矩阵的定义和性质正交矩阵是一个n阶方阵，其列向量两两正交且模长为1。
换句话说，对于一个n阶方阵Q，如果满足Q^TQ = QQ^T = I，其中Q^T是Q的转置矩阵，I是单位矩阵，那么Q就是一个正交矩阵。
正交矩阵的重要性质包括：1. 正交矩阵的行和列都是单位向量：正交矩阵的行和列向量都是单位向量，这意味着正交矩阵保持了向量的模长不变，并保持了向量之间的正交性。
2. 正交矩阵的逆等于其转置：对于一个正交矩阵Q，Q的逆矩阵等于其转置矩阵。
即Q^(-1) = Q^T。
这一属性使得正交矩阵在求逆和解线性方程组等方面具有重要的应用。
三、对称矩阵与正交矩阵的关系对称矩阵与正交矩阵之间存在着一定的关系。
具体来说，如果A是一个n阶对称矩阵，那么必存在一个正交矩阵Q，使得Q^TAQ = D，其中D是一个对角矩阵。
这个对角矩阵的对角线上的元素就是A的特征值。
这个关系被称为对称矩阵的正交对角化定理，它表明对称矩阵可以通过正交相似变换对角化。
对称矩阵定义
对称矩阵定义矩阵是线性代数中的重要概念，它是由数学元素构成的矩形阵列。
对称矩阵是一种特殊的矩阵，它在对角线两侧的元素相等，即$a_{ij}=a_{ji}$。
在本文中，我们将探讨对称矩阵的定义、性质以及应用。
一、对称矩阵的定义对称矩阵是指矩阵$A$满足$A=A^T$，其中$A^T$表示$A$的转置矩阵。
对称矩阵的元素$a_{ij}$和$a_{ji}$相等，即$a_{ij}=a_{ji}$，因此对称矩阵是关于其对角线对称的。
二、对称矩阵的性质1. 对称矩阵的特征值是实数对称矩阵的特征值是指矩阵$A$满足$Ax=lambda x$的解$lambda$。
对称矩阵的特征值是实数，这是因为对称矩阵可以通过正交相似变换转化为对角矩阵，而对角矩阵的特征值是实数。
2. 对称矩阵的特征向量可以正交化对称矩阵的特征向量可以通过Gram-Schmidt正交化得到一组正交的特征向量。
这是因为对称矩阵的特征向量对应不同的特征值，而不同特征值的特征向量是线性无关的，因此可以通过Gram-Schmidt正交化得到一组正交的特征向量。
3. 对称矩阵是半正定的对称矩阵是半正定的，当且仅当其所有特征值都非负。
这是因为对称矩阵可以通过正交相似变换转化为对角矩阵，而对角矩阵每个元素都非负。
4. 对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵。
这是因为对称矩阵可以通过正交相似变换转化为对角矩阵，而对角矩阵的逆矩阵也是对角矩阵。
三、对称矩阵的应用对称矩阵在各个领域都有广泛的应用，例如：1. 物理学对称矩阵在物理学中有许多应用，例如在量子力学中，哈密顿矩阵是对称矩阵，它的特征值和特征向量描述了量子系统的能量和波函数。
2. 图像处理对称矩阵在图像处理中有许多应用，例如在图像压缩中，可以通过对称矩阵的特征值和特征向量进行特征提取，从而实现图像压缩。
3. 机器学习对称矩阵在机器学习中有许多应用，例如在核方法中，可以通过对称矩阵的特征值和特征向量进行核函数的构造，从而实现非线性分类。
线性代数中的对称矩阵及其对角化
线性代数中的对称矩阵及其对角化在线性代数的领域中，矩阵是一项非常关键的概念。
而对称矩阵更是其中的重要角色之一。
它们不仅具有对称性，还有着很多独特的性质和应用。
本文将从对称矩阵的定义开始，逐步深入探讨该类矩阵的多种性质及其对角化方法。
一、对称矩阵的定义对称矩阵是指一个矩阵 A，满足 A 的转置矩阵等于其本身，即A = A^T。
其中，A^T 表示 A 的转置矩阵，即将 A 中的行列交换。
例如，若 A = [1,2;2,3]，则 A^T = [1,2;2,3]。
这种对称性不仅易于计算，而且在实际应用中也很常见。
二、对称矩阵的性质1. 对称矩阵是实矩阵：由对称矩阵的定义可知，对称矩阵 A 的每一个元素都与其转置后的对应元素相等。
因此，对称矩阵的元素都是实数，即对称矩阵是实矩阵。
2. 对称矩阵的特征值都是实数：对于一个对称矩阵 A，其特征值λ 和特征向量 x 满足Ax = λx。
由于 A 是实矩阵，则 x 也必须为实向量。
于是，特征方程式det(A-λI) = 0的解λ 必须是实数。
这一性质在矩阵的谱分解及特征值问题中起到了关键作用。
3. 对称矩阵的特征向量具有正交性：假设 A 是一个 n×n 的对称矩阵，其特征向量分别为x1,x2,…,xn，对应特征值为λ1,λ2,…,λn。
则对于任意i ≠ j，有 x^T_i x_j = 0。
也就是说，对称矩阵的特征向量构成的集合是一个正交基，对于正交矩阵 P，满足 P^T=P^-1，则矩阵 P 内所有的特征向量组成的矩阵 P^-1 A P 即为对称矩阵 A的对角化形式。
三、对称矩阵的对角化对角化是将一个矩阵变为对角矩阵的过程。
对于一个 n×n 的对称矩阵 A，在其特征向量组成的正交基{x1,x2,…,xn} 中，可表示x = a1x1 + a2x2 + … + anxn其中，a1,a2,…,an 是实数。
于是有A x = λ x，即A (a1x1 + a2x2 + … + anxn) = λ (a1x1 + a2x2 + … + anxn)用 A 对上式的每一项做左乘运算，则有A aixi = λ aixi (i=1,2,…,n)即x1,x2,…,xn 分别是 A 的特征向量，λ1,λ2,…,λn 为对应的特征值。
对称矩阵
摘要......................................................................................................... 错误！未定义书签。
关键词......................................................................................................... 错误！未定义书签。
Abstract..................................................................................................... 错误！未定义书签。
Keywords ................................................................................................. 错误！未定义书签。
前言.............................................................................................................. 错误！未定义书签。
1.对称矩阵的基本性质..................................................................... 错误！未定义书签。
1.1对称矩阵的定义........................................................................ 错误！未定义书签。
1.2对称矩阵的基本性质及简单证明……………………………………………错误！未定义书签。
对称矩阵
对称矩阵对称矩阵元素以对角线为对称轴对应相等的矩阵。
1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901年)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。
后来，克莱伯施(A.Clebsch,1831-1872年)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。
泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。
目录特性矩阵的转置和对称矩阵数据结构中的对称矩阵编辑本段特性C++数组应用之特殊矩阵的压缩存储[1]1.对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。
2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。
3.对角矩阵都是对称矩阵。
两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。
两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。
用<,>表示Rn上的内积。
的实矩阵A是对称的，当且仅当对于所有，。
任何方形矩阵X，如果它的元素属于一个特征值不为2的域（例如实数），可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和：X=1/2(X+XT)+1/2(X-XT) 每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。
若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Hermite矩阵。
一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零。
如果X是对称矩阵,那么AXA T也是对称矩阵.n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V（R）的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。
所谓对称变换，即对任意α、β∈V，都有（σ（α），β）=（α，σ（β））。
投影变换和镜像变换都是对称变换。
编辑本段矩阵的转置和对称矩阵把一个m×n矩阵的行,列互换得到的n×m矩阵,称为A的转置矩阵,记为A'或AT。
(其中T为上标)【矩阵转置的运算律】(即性质):1.(A')'=A2.(A+B)'=A'+B'3.(kA)'=kA'(k为实数)4.(AB)'=B'A'若矩阵A满足条件A=A',则称A为对称矩阵，由定义知对称矩阵一定是方阵,而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等.即aij=aji,对任意i,j都成立。
几阶对称矩阵有哪些特性？
几阶对称矩阵有哪些特性？一、定义及概述对称矩阵是线性代数中重要的概念，它具有许多特殊的性质和特征。
在数学和物理学等学科中，对称矩阵的概念被广泛应用于各种问题的解决中。
对称矩阵是指其转置等于其自身的方阵。
本文将介绍几阶对称矩阵的特性，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
二、对称矩阵的性质1. 秩与特征值：对称矩阵的秩等于它的非零特征值的个数。
这一性质使得我们可以通过计算特征值来确定对称矩阵的秩，从而进一步研究矩阵的性质。
2. 对角化：任何对称矩阵都可以对角化，即可以表示为一个对角矩阵和一个相似矩阵的乘积。
这使得对称矩阵的运算更加简化，也方便了我们对其进行进一步的分析和计算。
3. 正定性：对称矩阵的正定性是一个重要的概念。
一个对称矩阵被称为正定矩阵，如果它的所有特征值均为正数。
正定矩阵具有许多良好的性质，例如它是可逆的，对称矩阵的主对角线元素都大于零等。
4. 实对称矩阵和复对称矩阵：根据矩阵的元素的性质，对称矩阵可以分为实对称矩阵和复对称矩阵。
实对称矩阵的所有元素都是实数，而复对称矩阵的元素则可以是复数。
这一区分使得对称矩阵的应用更加广泛。
5. 对称矩阵的性质和成果：对称矩阵是矩阵论中的重要研究对象，它具有丰富的性质和特征，广泛应用于数学、物理学、工程学等领域。
对称矩阵的研究成果丰富，为解决实际问题提供了重要的工具和思路。
三、对称矩阵的应用1. 物理学中的应用：对称矩阵在物理学中有着广泛的应用，例如描述力学系统的动力学问题、量子力学中描述能级的问题等。
对称矩阵的特性使得它在这些问题的求解中起到了关键作用。
2. 图像处理中的应用：图像处理中，对称矩阵被广泛应用于特征提取、图像匹配、图像变形等领域。
对称矩阵能够有效地描述图像的结构和特征，为图像处理提供了强大的数学工具。
3. 金融学中的应用：在金融学中，对称矩阵被广泛应用于资产组合的分析和风险管理中。
通过对称矩阵的特征值和特征向量的计算，可以帮助投资者在进行资产配置和风险控制时做出科学的决策。
对称矩阵判断方法
对称矩阵判断方法对称矩阵是数学和计算机科学中常见的一种矩阵，它具有一些特殊的性质和应用。
在实际应用中，我们需要判断一个矩阵是否为对称矩阵，本文介绍了几种常用的对称矩阵判断方法。
下面是本店铺为大家精心编写的4篇《对称矩阵判断方法》，供大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《对称矩阵判断方法》篇1一、对称矩阵的定义对称矩阵是指一个矩阵 A 的转置矩阵 A"与自身相等，即 A" = A。
其中，A"表示 A 的转置矩阵，即 A"的第 i 行第 j 列元素等于 A 的第 j 行第 i 列元素。
对称矩阵可以是实数矩阵，也可以是复数矩阵。
二、对称矩阵的判断方法1. 利用矩阵乘法利用矩阵乘法可以快速判断一个矩阵是否为对称矩阵。
具体方法如下：设矩阵 A 为m×n 矩阵，则 A"为n×m 矩阵。
将 A 和 A"相乘，即 AA"，如果结果为 0 矩阵，则 A 为对称矩阵；否则，A 不是对称矩阵。
2. 利用特征值对称矩阵的特征值是实数，而且特征值可以是正数、负数或零。
因此，可以通过计算矩阵 A 的特征值来判断 A 是否为对称矩阵。
具体方法如下：设矩阵 A 为n×n 矩阵，计算 A 的特征值。
如果 A 的特征值都是实数，并且其中没有负数，则 A 为对称矩阵；否则，A 不是对称矩阵。
3. 利用行列式对称矩阵的行列式是一个正数，因此可以通过计算矩阵 A 的行列式来判断 A 是否为对称矩阵。
具体方法如下：设矩阵 A 为n×n 矩阵，计算 A 的行列式。
如果 A 的行列式大于 0，则 A 为对称矩阵；否则，A 不是对称矩阵。
4. 利用对角线元素对称矩阵的对角线元素相等，因此可以通过观察矩阵 A 的对角线元素来判断 A 是否为对称矩阵。
具体方法如下：设矩阵 A 为n×n 矩阵，观察 A 的对角线元素。
如果 A 的对角线元素相等，则 A 为对称矩阵；否则，A 不是对称矩阵。
对称矩阵
ij ji ,
i , j 1,2,n,
所以A为对称矩阵．
§6 对称矩阵的标准形
2）（引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是 它的不变子空间． 证明：设 是对称变换，W为 的不变子空间． 要证 ( ) W , 即证 ( ) W . 对 W ,
§6 对称矩阵的标准形
有 即
( , ) ( , ),
( , ) ( , ).
( , ) 0
又 ,
即 , 正交．
２．
(定理7)对 A R
nn
, A A, 总有正交矩阵T，使
T AT T 1 AT diag(1 , 2 ,, n ).
所以 W 是 W 上的对称变换． 由归纳假设知
W
有n－1 个特征向量 2 , 3 ,, n
构成 W 的一组标准正交基．
§6 对称矩阵的标准形
从而 1 , 2 , 3 ,, n 就是 R n 的一组标准正交基，
又都是 R n 的特征向量． 即结论成立．
3．实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤
标准正交基下是相互确定的： ① 实对称矩阵可确定一个对称变换． 事实上，设 A R
nn
, A A,
1 , 2 ,..., n 为V的
一组标准正交基． 定义V的线性变换 ：
( 1 ,... n ) ( 1 ,... n ) A
则 即为V的对称变换．
§6 对称矩阵的标准形
n n i , ( j ) i , akj k akj ( i , k ) k 1 k 1
aij ( i , i ) aij
对称矩阵和投影矩阵
对称矩阵和投影矩阵是两个不同的概念，它们各自具有独特的性质和应用。
对称矩阵是指一个矩阵经过转置后与原矩阵相等的矩阵。
也就是说，如果有一个矩阵A，那么A和它的转置矩阵A'相等，则称A为对称矩阵。
对称矩阵的一个重要性质是它的特征值都是实数。
此外，对于任何对称矩阵，都可以找到一组标准正交矩阵，使得该对称矩阵可以表示为该标准正交矩阵的乘积。
对称矩阵在许多领域都有应用，例如在量子力学和统计力学中，对称矩阵用来描述系统的哈密顿量。
投影矩阵是指一个矩阵将一个向量映射到另一个向量的线性变换。
具体来说，如果有一个矩阵P和一个向量x，那么P将x映射到P和x的点积与P的行列式值的商乘以P的转置矩阵和x的点积等于x的转置矩阵和P的乘积。
投影矩阵的一个重要性质是它是正交的，也就是说它的转置矩阵等于它的逆矩阵。
投影矩阵在许多领域都有应用，例如在图像处理中用来进行图像的旋转和缩放等操作。
总之，对称矩阵和投影矩阵是两个不同的概念，它们各自具有独特的性质和应用。
对称矩阵主要用来描述系统的哈密顿量等物理量，而投影矩阵则主要用于图像处理等领域中的线性变换操作。
对称矩阵的条件
对称矩阵的条件
1. 嘿，你知道对称矩阵的条件之一是它的元素关于主对角线对称吗？就像照镜子一样，这边有个 3，那边对应位置也得是 3 呀！比如矩阵[1 2; 2 3]，多明显呀！
2. 哇塞，对称矩阵的条件还包括转置后和原来矩阵相等哦！这就好比一个图形旋转 180 度后还是它自己，神奇吧！像[2 5; 5 8]就是这样的例子呢！
3. 嘿呀，对称矩阵得满足行和列之间有某种特殊的平衡呢！就好像拔河比赛两边力量得差不多呀！比如[3 4; 4 6]这个矩阵。
4. 哎呀，对称矩阵的元素分布得有规律呀，不能乱来！这就跟排兵布阵一样，得有秩序呀！像[4 7; 7 9]不就是嘛！
5. 嘿，你想想，对称矩阵的条件是不是就像搭积木要对齐一样重要呀！如果不对齐那可就歪了呀！[5 8; 8 11]就是个好例子。
6. 哇哦，对称矩阵的条件真的很关键呢！这就好像走路得走稳一样，不然就会摔跤呀！比如[6 9; 9 12]。
7. 嘿，对称矩阵的条件是不是有点像音乐的节奏，得有规律才好听呀！像[7 10; 10 13]就是按节奏来的呢！
8. 哎呀呀，对称矩阵的要求可不少呢，这就跟做好一件事得面面俱到一样！[8 11; 11 14]就是例子呀。
9. 嘿，对称矩阵的条件其实不难理解呀，就跟拼图要拼对位置一样嘛！看看[9 12; 12 15]就知道啦。
10. 哇，对称矩阵的这些条件真的是让矩阵变得很特别呢！就好像一个人有自己独特的性格一样！像[10 13; 13 16]就是具有这种特别的矩阵呀！
我的观点结论就是：对称矩阵的条件虽然有好几个，但只要理解了，就会发现其实很有趣也不难掌握呀！。
对称矩阵的简写形式
对称矩阵的简写形式
对称矩阵是线性代数中一个重要的概念，它具有许多特殊的性质和应用。
在本文档中，我们将探讨对称矩阵的简写形式及其相关知识。
对称矩阵是一种特殊的方阵，满足矩阵的主对角线上的元素对称，即a_ij=a_ji。
简单来说，就是这个矩阵关于其主对角线对称。
对称矩阵在实际问题中的应用非常广泛。
在表示对称矩阵时，我们通常使用简洁的形式。
一个n阶对称矩阵只需要n(n+1)/2个独立的元素来表示，因为对称矩阵的非对角线元素是成对出现的。
我们可以使用一个一维数组来存储这些独立的元素，减少内存空间的占用。
对称矩阵有许多重要的性质。
首先，对称矩阵的特征值都是实数。
其次，对称矩阵具有相似对角化的性质，即任意一个对称矩阵都可以通过一个正交矩阵相似变换为对角矩阵。
最后，对称矩阵的特征向量是两两正交的，即它们对应的特征值不同的特征向量是正交的。
对称矩阵在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用。
在物理学中，对称矩阵可以用来描述物理系统的对称性。
在工程学中，对称矩阵可以用来描述物体的刚度矩阵，从而计算物体在外力作用下的变形。
在经济学中，对称矩阵可以用来描述不同经济指标之间的相关性。
总的来说，对称矩阵在数学和实际问题中都具有重要意义。
它的简写形式可以减少存储空间的使用，并且具有许多特殊的性质。
在应用中，我们需要灵活运用对称矩阵的理论和方法，以解决实际问题。
对称矩阵实验报告
一、实验目的1. 了解对称矩阵的概念及其性质。
2. 掌握对称矩阵的运算方法。
3. 熟悉MATLAB软件在求解对称矩阵问题中的应用。
二、实验原理对称矩阵是指矩阵的转置矩阵与原矩阵相等，即A^T = A。
对称矩阵在数学、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
本实验通过MATLAB软件对对称矩阵进行操作，验证其性质，并求解相关数学问题。
三、实验仪器1. 计算机一台，安装MATLAB软件。
2. 对称矩阵数据。
四、实验内容及步骤1. 对称矩阵的概念及性质（1）定义：对于n阶矩阵A，如果满足A^T = A，则称A为对称矩阵。
（2）性质：① 对称矩阵的主对角线上的元素均为实数。
② 对称矩阵的行列式为实数。
③ 对称矩阵的逆矩阵仍为对称矩阵。
2. 对称矩阵的运算（1）矩阵加法：两个对称矩阵相加，其结果仍为对称矩阵。
（2）矩阵乘法：两个对称矩阵相乘，其结果仍为对称矩阵。
（3）矩阵乘以标量：对称矩阵乘以一个实数，其结果仍为对称矩阵。
（4）求逆矩阵：对称矩阵的逆矩阵仍为对称矩阵。
3. 实验步骤（1）创建对称矩阵在MATLAB中，创建对称矩阵可以使用以下代码：A = [4, 1, 2; 1, 3, 4; 2, 4, 5];（2）验证对称矩阵的性质① 验证主对角线上的元素均为实数disp(A);② 验证行列式为实数disp(det(A));③ 验证逆矩阵仍为对称矩阵A_inv = inv(A);disp(A_inv);（3）进行对称矩阵的运算① 矩阵加法B = [1, 2, 3; 2, 4, 5; 3, 5, 6];C = A + B;disp(C);② 矩阵乘法D = A B;disp(D);③ 矩阵乘以标量E = 2 A;disp(E);④ 求逆矩阵F = inv(A);disp(F);五、实验结果与分析1. 验证对称矩阵的性质通过实验，我们验证了以下性质：（1）主对角线上的元素均为实数；（2）行列式为实数；（3）逆矩阵仍为对称矩阵。
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i 0 , 1 i n .
（2） （3）由于 i 0 , 1 i n .可以取 D1 diag ( 1 , 2 , , n ) ，我们注意到 每个 i 0 且 ( i )2 = i ，因而 D1 0 . 令 P =Q D1Q ，则 P 0 .并且满足
T T T
ai xi ，则 f ( A) ai Ai 也是一
i 0 i 0
n
n
矩阵的定义（左右都可逆）易知（5）成立； （6）的证明只需注意到对于任意一个 m n 阶 矩阵 A 都满足： rankA rank ( AA ) rank ( A A) （此结论证明参见[5]、[6]） ；至于（7）
T T
x T Ax + y T A1 y 2 x T y
等号成立等价于 x A y ，即 y Ax . 性质 12 设矩阵 A 是 n 阶对称矩阵,则 rankA n 当且仅当存在 n 阶实方阵 Q ，使得
1
AQ + Q T A 正定对称阵.
证明：一方面，设 rankA n .则矩阵 A 可逆，取 Q =A ，则 AQ + Q A 2 I 是正定
-4-
对称矩阵及其性质
可见 AQ + Q A 不是正定阵，与前提矛盾，命题得证.（文献[2]）
T
性质 13
实对称矩阵 A 的特征值都是实数.
证明：利用对称矩阵（也就是 Hermite 方阵）的正交相似易知：
Q T AQ D diag (1 , 2 , , n )
其中 Q 是正交阵，并且 1 , 2 , , n 就是矩阵 A 的全体特征值.
T 1
实对称阵. 另一方面，反设 rankA n ，则存在非零的实列向量 x 使得 Ax = 0 . 对任意 n 阶实方 阵 Q ，根据 A 的对称性,有
x T ( AQ + Q T A) x x T AQx + x T Q T Ax ( x T Q T Ax )T ( x T Q T Ax ) 0+0 0
其中，每个 Si P1 ( di Eii ) P 与对称矩阵 di Eii 相合，因而是对称矩阵，且
T
rankSi rank (d i Eii ) 1
这就证明了 A 是 r 个秩等于 1 的对称矩阵 Si 之和. 性质 5 实对称矩阵 A 正定当且仅当存在可逆矩阵 P 使得 A P P .
T T
QR 分解 P =QR ，其中 Q 为 n n 阶正交矩阵， R 为正线上三角阵，由 Schmidt 正交化过
程知 R 唯一，故有 A P P (QR ) QR R R ，取 L R 即可. （更多证明见文献[8]、
T T T
T
[9]、[10]） 性质 7
n 阶实对称矩阵 A 半正定当且仅当存在矩阵 P mn ，使得 A P T P ，并且
（1） A 正定； （2） A 的特征值全部大于 0 （3）存在正定实对称方阵 P 使得 A P .
2
证明：同性质 14，我们有 Q AQ D diag ( 1 , 2 , , n )
T
（1） （2）: A 正定 D 正定 二次型 X DX 1 x1 2 x2 n xn 正定
要求 m rankA .
-3-
对称矩阵及其性质
提示：此性质的证明见文献[2]. 性质 8 性质 9 实对称矩阵 A 正定，那么 det( A) 0 . 任意数域上的对称矩阵 A 都相合于对角阵 D diag ( a1 , , an ) ，特别地，是
对称矩阵正交相似（相合）于对角阵 D diag (1 , , n ) ， i ( A) ， ( A) 就是矩阵 A 的谱——所有 A 的特征值组成的集合. 提示：此结论的证明见文献[5] 性 质 10 设矩阵 A 是实对称矩阵，如果存在两个 n 维实向量 x ， y 使得
A 是 Hermite 方阵 D 是 Hermite 方阵
D H diag (1 , 2 , , n ) D diag (1 , 2 , , n ) k k , 1 k n 1 , 2 , , n 都是实数.
性质 14 设 A 是实对称矩阵，则下列命题等价：
D P T AP 是对角矩阵. 其中的对角元素可以按照任意指定的顺序排列.
提示：对矩阵 A 的阶数 n 用数学归纳法证明此结论.（参见[2]） 性质 3 设矩阵 A 是实数域 F 上的 n 阶对称矩阵，则存在 n 阶实可逆方阵 P ，使得
P T AP diag ( I ( p ) , I ( q ) , 0( n p q ) )
T
性质 6 （正定阵的 Cholesky 分解或者三角分解）设 n n 阶正定矩阵 A ，则存在唯一 的具有正对角线元素的下三角阵 L ，使得 A = LL . 提示：性质 6 只是性质 5 的特殊形式，但 Cholesky 分解在概率论中应用更加广泛，关 于 Cholesky 分解在“矩阵微商与矩阵分解”中已有说明，这里给出一个更为简便的证明： 事实上， 对于正定矩阵 A ， 易知存在可逆方阵 P 使得 A P P . 对于可逆方阵 P 进行
T T
-1-
对称矩阵及其性质
（7）对于一个对称矩阵 A ， Ind ( A) 1 . （8）如果 A 是对称矩阵，对于一个多项式 f ( x) 个对称矩阵. （9）任一对称方阵都可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和，并且表示方法唯 一. 这里我们只对结论（4） 、 （6） 、 （7）的证明进行提示， （1） 、 （2） 、 （3） 、 （5） 、 （8） （9） 直接根据对称矩阵的定义或者其他三个的结论即可得到. 事实上，对于（4） ， ( AB ) B A BA = AB 当且仅当 AB = BA . 那么根据可逆
x T Ax 0 y T Ay ，则存在 z 0 ，使得 z T Az 0 .
性质 11 设实对称矩阵 A . 则对任意的 n 维实列向量 x ， y ，则
n
( x T Ax ) ( y T A1 y ) 2 x T y 中等号成立的充要条件是 y Ax .
证明：由 A 的正定性知道：
对称矩阵及其性经常遇到求两个随机向量之间的方差—协方差矩阵的问题， 如果这两个随机向量维数相同， 这正好得到一个是对称矩阵， 因此深入了解实对称阵的各种 性质是很有必要的. 本文将对实对称阵的概念、实对称阵的一些结论、常见的实对称阵进行 总结，必要的时候会做一些证明.
第一部分、对称矩阵及其常用的性质
本次作业的内容主要总结线性代数中最常见的一种矩阵——对称矩阵 . 介于高等概率 统计这门课程的性质，我们主要针对实数空间上面的矩阵（如果不做说明，本文所涉及到的 所有矩阵都是实矩阵） ， 至于更加普遍的复数空间上面的复矩阵问题， 有兴趣可以参考文献[1] 的相关内容.
( x A1 y )T A( x A1 y ) 0
得到
x T Ax y T A1 Ax x T AA1 y y T A1 AA1 y x T Ax + y T A1 y y T x x T y 0
注意到 Euclid 空间上内积的可交换性，即 y x x y ，因而
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对称矩阵及其性质
其中 p q rankA ， diag ( I ( p ) , I ( q ) , 0( n p q ) ) 成为是对称矩阵相合的规范形. 提示：利用性质 2，在利用矩阵相抵（等价）的结论即可 性质 4 矩阵之和. 事实上，设矩阵 A 是实对称矩阵，且 rankA r ，则存在可逆方阵 P 将 A 相合到标准 形： 设矩阵 A 是实对称矩阵，且 rankA r ，则 A 可以表示成 r 个秩等于 1 的对称
T
P 2 Q T D12Q Q T DQ A .
（3） （1） P 0 因而 P 可逆. 且 P 为对称阵，因此 A P P P 0 .
2 T
性质 15
设 A 是实对称矩阵，则下列命题等价：
（1） A 半正定； （2） A 的特征值全部大于或等于 0 （3）存在半正定实对称方阵 P ，满足 rankA rankP 并且使得 A P .
P T AP D diag (1 , 2 , , n )
1 , 2 , , n 是矩阵 A 的全体特征值， P 的第 i 列 Pi 是属于特征值 i 的特征向量，满足 APi i Pi . 由
2 2 2 D 2 diag (1 , 2 , , n ) ( P T AP )2 P T A2 P P T IP I
T
（2）对于一个对称矩阵 A ，如果满足 A 0 ，那么 A 0 ；
2
（3）设 A ， B 都是实对称阵，那么 A B ， kA 都是对称矩阵，其中 k 是标量； （4）设 A ， B 都是实对称阵，那么 AB 对称当且仅当 A ， B 可交换； （5）对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵； （6）对于一个对称矩阵 A ， rankA rank ( AA ) rank ( A A) ；
做矩阵 A 的指标，记作 Ind ( A) ，即
Ind ( A) min k : rankAk 1 rankAk .
若 A 非奇异（可逆） Ind ( A) 0 .若 A 奇异（不可逆） Ind ( A) 1 .（文献[3]、[4]） 关于对称矩阵以及矩阵指标的定义，我们很容易得到下面的几个结论： （1）对于 m n 阶矩阵 A ， AA 是对称方阵；
2
提示：证明方法和性质 14 类似，这里略去.
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对称矩阵及其性质
性质 16
设 A 是 n 阶实对称矩阵，且 A I ，则存在正交矩阵 Q 使得