几类简单的几何体

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简单几何体的定义及性质(7)(1)

高考专题：简单几何体的定义及性质一．多面体的定义及性质：棱柱的侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱正方体:各棱长都相等的长方体。

的底面和截面叫做棱台的下底面和上底面，其它各面叫做棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱，上、下底面之间的距离叫做棱台的高。

由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。

二．旋转体的定义及性质。

1、圆柱是由矩形绕其一边旋转得到，圆锥是由直角三角形绕其直角边旋转得到，圆台是由直角梯形绕其直角腰旋转得到，球是由半圆绕其直径旋转得到.2.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，圆台同圆柱和圆锥一样也有轴、底面、侧面和母线3、圆柱的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是圆；圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆和圆心；圆台的正视图和侧视图都是等腰梯形，俯视图是两个同心圆；球的三视图都是圆.【考点训练】1．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH 的表面积为T ，则S T 等于（） A ． B ． C ． D ． 2. 对于四面体ABCD ，下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）。

91944131○1相对棱AB 与CD 所在的直线异面； ○2由顶点A 作四面体的高，其垂足是BCD 的三条高线的交点； ○3若分别作ABC 和ABD 的边AB 上的高，则这两条高所在直线异面； ○4分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点; ○5最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。

3.下列命题中，正确的是（）A.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱。

B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥。

C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体。

D.底面是正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱。

4. 下列命题中，正确的是（）A.直角三角形绕其一边所在直线旋转一周得到的旋转体是圆锥。

小学数学竞赛第六讲简单几何体的表面积与体积的计算

第六讲简单几何体的表面积与体积的计算一、四种常见几何体的平面展开图1.正方体沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这一展开图是由六个全等的正方形组成的，见图6—1。

图6─l只是正方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。

2.长方体沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。

这一展开图是六个两两彼此全等的长方形组成的，见图6—2。

图6—2只是长方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。

3.（直）圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面的交线将圆柱剪开铺平，就得到圆柱体的平面展开图。

它由一个长方形和两个全等的圆组成，这个长方形的长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱体的高。

这个长方形又叫圆柱的侧面展开图。

图6—3就是圆柱的平面展开图。

4.（直）圆锥体沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。

它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。

具体图形见图6—4。

二、四种常见几何体表面积与体积公式1.长方体长方体的表面积=2×（a×b+b×c+c×a）长方体的体积=a×b×c（这里a、b、c分别表示长方体的长、宽、高）。

2.正方体正方体的表面积=6×a2正方体的体积=a3（这里a为正方体的棱长）。

3.圆柱体圆柱体的侧面积=2πRh圆柱体的全面积=2πRh+2πR2=2πR（h+R）圆柱体的体积=πR2h（这里R表示圆柱体底面圆的半径，h表示圆柱的高）。

4.圆锥体圆锥体的侧面积=πRl圆锥体的全面积=πRl+πR2母线长与高）。

三、例题选讲例1 图6—5中的几何体是一个正方体，图6—6是这个正方体的一个平面展开图，图6—7（a）、（b）、（c）也是这个正方体的平面展开图，但每一展开图上都有四个面上的图案没画出来，请你给补上。

空间立体几何知识点归纳

第一章空间几何体知识点归纳1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。

简单组合体的构成形式：⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。

1、空间几何体的三视图和直观图投影：中心投影平行投影（1）定义：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。

（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.3、斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上）②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''x O y ∠=450（或1350），注意它们确定的平面表示水平平面；③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘轴，且长度变为原来的一半；4、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面 ⑶圆台侧面积：()S r R l π=+侧面⑷体积公式：h S V ⋅=柱体；h S V ⋅=31锥体； ()13V h S S =+下台体上⑸球的表面积和体积：32344R V R S ππ==球球，.一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。

第二章点、直线、平面之间的位置关系及其论证1,,A l B ll A B ααα∈∈⎧⇒⊂⎨∈∈⎩ 公理1的作用：判断直线是否在平面内2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

5.2视图第1课时简单几何体的三种视图(教案)

其次，我发现学生们在绘制圆柱和圆锥的视图时存在一定难度。这说明这些部分是教学的难点，我需要在今后的课程中加强对此类问题的讲解和练习，以便帮助学生更好地掌握。
此外，小组讨论环节让学生们充分参与到了课堂中，他们积极发表观点，交流想法，这有助于提高他们的合作能力和沟通能力。在今后的教学中，我会继续采用这种形式，鼓励学生们多思考、多讨论，发挥他们的主观能动性。
五、教学反思
在今天这节课中，我们探讨了简单几何体的三种视图，我发现学生们对这一概念表现出很大的兴趣。他们通过观察和动手操作，逐渐理解了正视图、左视图和俯视图之间的关系。在讲授过程中，我注意到几个关键点：
首先，通过引入日常生活中的例子，学生们能够更直观地理解视图的概念，这有助于他们建立起抽象知识与现实世界间的联系。在今后的教学中，我应继续寻找更多贴近生活的实例，让学生感受到数学的实用性和趣味性。
2.教学难点
-空间想象能力的培养：学生需要具备将二维视图与三维几何体相互转换的能力，这对空间想象力有一定要求。
-视图的绘制技巧：学生需要掌握如何将三维几何体准确地转化为二维视图，特别是在处理圆柱和圆锥的视图时，需要注意圆的投影和边缘线的表示。
-实际问题中的应用：学生需要将所学知识应用到实际问题中，如根据视图来估计几何体的尺寸或形状，这对学生的理解和应用能力是一个挑战。
然而，我也注意到，在讨论过程中，部分学生表现较为内向，不太愿意主动参与。为了提高这部分学生的积极性，我会在课后找他们单独交流，了解他们的想法，鼓励他们大胆表达自己。
在实践活动方面，学生们对实验操作表现出很高的热情，但也有一部分学生在操作过程中遇到了困难。针对这一情况，我将在今后的教学中加强对学生的个别指导，确保他们能够顺利完成实验。
4.运用三种视图解决实际问题，培养空间想象力和思维能力。

新步步高北师大数学文大一轮复习文档：第八章立体几何 81

1．简单几何体的结构特征 (1)旋转体①圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到． ②圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到．③圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到． ④球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到． (2)多面体①棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形． ②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形． ③棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形． 2．直观图画直观图常用斜二测画法，其规则是：(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy .画直观图时，它们分别对应x ′轴和y ′轴，两轴交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，它们确定的平面表示水平平面；(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段在直观图中分别画成平行于x ′轴和y ′轴的线段； (3)已知图形中平行于x 轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的12.3．三视图(1)主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等，前后对应．(2)在三视图中，需要画出所有的轮廓线，其中，视线所见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线．(3)同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．(4)清楚简单组合体是由哪几个基本几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置． 4．常用结论(1)常见旋转体的三视图①球的三视图都是半径相等的圆．②水平放置的圆锥的主视图和左视图均为全等的等腰三角形． ③水平放置的圆台的主视图和左视图均为全等的等腰梯形． ④水平放置的圆柱的主视图和左视图均为全等的矩形． (2)斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变，与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变.“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不改变，与x ，z 轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( × ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × )(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．( × ) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( × ) (5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．( × ) (6)菱形的直观图仍是菱形．( × )1．下列说法正确的是( )A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．正方形的直观图是正方形D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行答案 D解析由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变．2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱的长度等于()A.34B.41C．5 2 D．215答案 C解析由题意知该几何体是三棱锥，底面是直角边长分别为3,4的直角三角形，高为5，其最长棱长为32＋42＋52＝5 2.3．某空间几何体的主视图是三角形，则该几何体不可能是()A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱答案 A解析由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其主视图为三角形，而圆柱的主视图不可能为三角形，故选A.4．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A．48 cm3B．98 cm3C．88 cm3D．78 cm3答案 B解析由三视图可知，该几何体是如图所示长方体去掉一个三棱锥，故几何体的体积是6×3×6－13×12×3×5×4＝98.故选B.5.正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是________．答案6 16a2解析画出坐标系x′O′y′，作出△OAB的直观图O′A′B′(如图)．D′为O′A′的中点．易知D′B′＝12DB(D为OA的中点)，∴S△O′A′B′＝12×22S△OAB＝24×34a2＝616a2.题型一简单几何体的结构特征例1(1)给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3(2)下列结论：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；⑤用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是球．其中正确结论的序号是________．(3)设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．答案(1)A(2)③⑤(3)①④解析(1)①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；③不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．图1图2(2)这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥，①错；这条腰若不是垂直于两底的腰，则得到的不是圆台，②错；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面是显然成立的，③正确；如果用不平行于圆锥底面的平面截圆锥，则得到的不是圆锥和圆台，④错；只有球满足任意截面都是圆面，⑤正确．(3)命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的；命题④由棱台的定义知是正确的．思维升华(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体．其中正确命题的序号是________．答案②③④解析①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体AC1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形．题型二简单几何体的三视图命题点1由空间几何体的三视图还原出几何体的形状例2若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()答案 D解析A，B的主视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，故选D.命题点2由空间几何体的直观图判断三视图例3一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()答案 B解析该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的投影距左右两边距离相等，因此选B.命题点3由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图例4如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的左视图和俯视图，则该锥体的主视图可能是()答案 A解析由俯视图和左视图可知原几何体是四棱锥，底面是长方形，内侧的侧面垂直于底面，所以主视图为A.思维升华三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意主视图、左视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱(2)如图是一几何体的直观图、主视图和俯视图，该几何体的左视图为()答案(1)B(2)B解析(1)由题中三视图可知该几何体的直观图如图所示，则这个几何体是三棱柱，故选B.(2)由直观图和主视图、俯视图可知，该几何体的左视图应为面P AD，且EC投影在面P AD上，故B正确．题型三简单几何体的直观图例5(1)右图是水平放置的某个三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点且A′D′∥y′轴，A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么()A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AD，最短的是AC(2)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()答案(1)C(2)A解析(1)A′D′∥y′轴，根据斜二测画法规则，在原图形中应有AD⊥BC，又AD为BC边上的中线，所以△ABC为等腰三角形．AD为BC边上的高，则有AB，AC相等且最长，AD 最短．(2)由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2 2.思维升华用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是()A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形答案 C解析如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2 cm.∴OC＝OD2＋CD2＝(42)2＋22＝6(cm)，∴OA＝OC，∴四边形OABC是菱形．10．三视图识图中的易误辨析典例将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的左视图为()易错分析(1)不能正确把握投影方向、角度致误；(2)不能正确确定点、线的投影位置；(3)不能正确应用实虚线区分可见线与非可见线．解析左视图中能够看到线段AD1，应画为实线，而看不到B1C，应画为虚线．由于AD1与B1C不平行，投影为相交线，故应选B.答案 B温馨提醒(1)因对三视图的原理认识不到位，区分不清选项A和B，而易误选A；(2)因对三视图的画法要求不明而误选C或D.在画三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画，被遮住的部分的轮廓线用虚线画；(3)解答此类问题时，还易出现画三视图时对个别视图表达不准而不能画出所要求的视图，在复习时要明确三视图的含义，掌握“长对正、宽相等、高平齐”的要求．[方法与技巧]1．三视图的画法特征“长对正、宽相等，高平齐”，即主视图和左视图一样高，主视图和俯视图一样长，左视图和俯视图一样宽．2．对于简单几何体的组合体，在画其三视图时首先应分清它是由哪些简单几何体组成的，然后再画其三视图．3．由三视图还原几何体时，要遵循以下三步：(1)看视图，明关系；(2)分部分，想整体；(3)综合起来，定整体．[失误与防范]画三视图应注意的问题(1)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．(2)确定主视、左视、俯视的方向，观察同一物体方向不同，所画的三视图也不同．A组专项基础训练(时间：40分钟)1．下列结论正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线答案 D解析A错误，如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；B错误，如图2，若△ABC不是直角三角形，或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥；C错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥．易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾．2．如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)()A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤答案 B解析主视图应该是相邻两边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此主视图是①；左视图应该是相邻两边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此左视图是②；俯视图应该是相邻两边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③，故选B. 3．(2015·北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A．1 B. 2 C. 3 D．2答案 C解析四棱锥的直观图如图所示，PC⊥平面ABCD，PC＝1，底面四边形ABCD为正方形且边长为1，最长棱长P A＝12＋12＋12＝ 3.4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()A．6 2 B．4 2C．6 D．4答案 C解析如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A－BCD，最长的棱为AD＝(42)2＋22＝6，选C.5．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为()答案 B解析由已知中几何体的直观图，我们可得左视图首先应该是一个正方形，故D不正确；中间的棱在左视图中表现为一条对角线，故C不正确；而对角线的方向应该从左上到右下，故A不正确．6．某几何体的主视图和左视图均为如图1所示的图形，则在图2的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是()A．①③B．①④C．②④D．①②③④答案 A解析由主视图和左视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故①③正确．7．若一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为________．答案 4解析观察三视图，可得直观图如图所示．该三棱锥A－BCD的底面BCD是直角三角形，AB⊥平面BCD，CD⊥BC，侧面ABC，ABD是直角三角形；由CD⊥BC，CD⊥AB，知CD⊥平面ABC，CD⊥AC，侧面ACD也是直角三角形．8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的主视图与左视图的面积的比值为________．答案 1解析如题图所示，设正方体的棱长为a ，则三棱锥P －ABC 的主视图与左视图都是三角形，且面积都是12a 2，故面积的比值为1.9．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥A －BCD 的主视图与俯视图如图所示，则其左视图的面积为________．答案 14解析由主视图与俯视图可得三棱锥A －BCD 的一个侧面与底面垂直，其左视图是直角三角形，且直角边长均为22，所以左视图的面积为S ＝12×22×22＝14. 10．如图是一个几何体的主视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其左视图，并求该平面图形(左视图)的面积．解 (1)由该几何体的主视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥． (2)该几何体的左视图如图：其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC ＝3a ，AD 是正六棱锥的高，则AD ＝3a ，所以该平面图形(左视图)的面积为S ＝12×3a ×3a ＝32a 2. B 组专项能力提升(时间：25分钟)11．若某一几何体的主视图与左视图均为边长是1的正方形，且其体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )答案 C解析若俯视图为A ，则该几何体为正方体，其体积为1，不满足条件．若俯视图为B ，则该几何体为圆柱，其体积为π(12)2×1＝π4，不满足条件．若俯视图为C ，则该几何体为三棱柱，其体积为12×1×1×1＝12，满足条件．若俯视图为D ，则该几何体为圆柱的14，体积为14π×1＝π4，不满足条件． 12．已知△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，那么原△ABC 的面积为___________________________________________．答案62a 2 解析如图，过C ′作y ′轴的平行线C ′D ′，与x ′轴交于点D ′. 则C ′D ′＝32a sin 45°＝62a .又C ′D ′是原△ABC 的高CD 的直观图，所以CD ＝6a . 故S △ABC ＝12AB ·CD ＝62a 2.13.如图所示，点O 为正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的中心，点E 为平面B ′BCC ′的中心，点F 为B ′C ′的中点，则空间四边形D ′OEF 在该正方体的各个面上的投影可能是下图中的________(填出所有可能的序号)．答案 ①②③解析空间四边形D ′OEF 在平面DCC ′D ′上的投影是①，在平面BCC ′B ′上的投影是②，在平面ABCD 上的投影是③，故填①②③. 14．某几何体的三视图如图所示．(1)判断该几何体是什么几何体？ (2)画出该几何体的直观图．解 (1)该几何体是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体．(2)直观图如图所示．15．如图的三个图中，上面是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的主视图和左视图如下(单位：cm)．(1)在主视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积．解 (1)如图．(2)所求多面体体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13×(12×2×2)×2＝2843(cm 3)．。

简单几何体的表面积和体积

(3)台体的侧面积台体的侧面积棱台的上底面、 ①正棱台：设正n棱台的上底面、下底面周正棱台：设正棱台的上底面长分别为c′、c，斜高为，则正棱台的侧面积长分别为、，斜高为h′，则正n棱台的侧面积 1 ＋公式S 公式正棱台侧＝ 2 (c＋c′)h′ . 圆台：如果圆台的上、 ②圆台：如果圆台的上、下底面半径分别为r′、r，母线长为，则S圆台侧＝ πl(r′＋r) ．、，母线长为l，＋表面积＝侧面积＋底面积．注：表面积＝侧面积＋底面积．
基础知识梳理
(3)锥体圆锥和棱锥的体积锥体(圆锥和棱锥锥体圆锥和棱锥)的体积
1 V锥体＝ Sh. 3
1 其中V圆锥＝ 3 πr2h ，r为底面半径．其中为底面半径．为底面半径
基础知识梳理
(4)台体的体积公式台体的体积公式 V台＝h(S＋＋．＋＋S′)．＋＋为台体的高，和分别为上下注：h为台体的高，S′和S分别为上下为台体的高两个底面的面积．两个底面的面积． 1 ＋其中V 其中圆台＝ 3 πh(r2＋rr′＋r′2) ．为台体的高，、分别为上分别为上、注：h为台体的高，r′、r分别为上、为台体的高下两底的半径．下两底的半径． (5)球的体积球的体积 4 3 V球＝ 3 πR .
课堂互动讲练
跟踪训练
(2)由(1)知 AB⊥BD.∵CD∥AB，由知 ⊥ ∵ ∥ ， ∴CD⊥BD，从而 DE⊥BD. ⊥ ， ⊥ 在 Rt△DBE 中，∵DB＝2 3， △ ＝， DE＝DC＝AB＝2，＝＝＝， 1 ∴S△DBE＝2DBDE＝2 3. ＝又∵AB⊥平面 EBD，BE平面 ⊥ ， EBD，∴AB⊥BE. ， ⊥ ∵BE＝BC＝AD＝4，∴S△ABE＝＝＝＝， 1 ABBE＝4. ＝ 2

简单几何体的三视图讲解[1]

利用投影关系
根据已知的两个视图，利用投影关系，可以推断出第三个视图的基本形状和尺寸。例如，如果已知主视图和左视图，可以通过它们的高度和宽度推断出俯视图的基本形状。
注意细节和遮挡关系
在补画第三视图时，需要注意细节和遮挡关系。例如，当几何体中存在凹槽或凸起时，需要在第三视图中相应地表示出来。同时，还需要注意不同部分之间的遮挡关系，以确保补画出的第三视图准确无误。
。
圆锥体的俯视图是一个圆面，同样需要按照正投影法将其绘制成
椭圆。
在绘制过程中，要注意圆锥体的高和底面直径的比例关系，以及
锥尖的位置和方向。
球体三视图简化表示方法
球体的三视图都是圆面，但由于投影角度的不同，圆面的大小和形状也会有所不同。
在简化表示时，可以将球体的三视图都绘制成相同的圆面，但需要注明是简化表示。
三视图概念及作用
三视图定义
三视图是指通过三个相互垂直的投影面（正面、水平面和侧面）将三维物体投影后得到的三个二维图形（主视图、俯视图和左视图）。
三视图作用
三视图能够准确、完整地表达三维物体的形状、结构和大小等几何信息，是工程制图中最基本的表达方式之一。通过观察和分析三视图，可以想象出三维物体的立体形状，为物体的设计、制造和检测提供依据。
几何体性质
几何体具有体积、表面积等属性，不同几何体之间可能存在相似或全等的性质。
常见简单几何体介绍
立方体
立方体有六个面，且每个面都是正方形，具有相等的边长。
球体
球体是一个连续曲面立体，由一个面围成，且这个面是曲面。
圆柱体
圆柱体由两个平行且相等的圆形底面和一个侧面围成，侧面是一个曲面。
相贯线和截交线绘制要点
相贯线

苏科版数学七年级上册第四章4.1几何图形

第四章几何图形初步4.1 几何图形4.1.1 立体图形与平面图形第1课时认识立体图形与平面图形学习目标：1. 能从简单实物的外形中抽象出几何图形，并了解立体图形与平面图形的区别.2. 会判断一个图形是立体图形还是平面图形，能准确识别简单几何体.重点：识别简单的几何图形，培养几何直觉.难点：从实物中得出几何图形，理解立体图形与平面图形的区别与联系.一、知识链接1.说一说你知道的平面图形和立体图形，它们能让你联想到日常生活中的哪些实物？2. 你认为立体图形和平面图形有什么区别和联系？一、要点探究探究点1：几何图形合作探究：观察这个纸盒，从中可以看出哪些你熟悉的图形?探究点2：立体图形观察与思考：说一说下面这些几何图形有什么共同特点？从整体上看，它的形状是；看不同的侧面，得到的是或；看棱得到的是；看顶点得到的是.认识棱柱与棱锥：思考：(1) 棱锥与棱柱的区别是什么？(2) 圆锥与圆柱的区别是什么？议一议根据已有的数学经验，我们能否把它们进行分类？你的标准是什么？要点归纳针对训练1. 图中实物的形状对应哪些立体图形？把相应的实物与图形用线连接起来.2. 观察小茗的房间，说说你能看到哪些立体图形.探究点3：平面图形观察与思考：说一说下面这些几何图形又有什么共同特点？画一画用两个圆、两个三角形和两条直线为条件，画出一个独特且具有意义的图形，并命名.针对训练下面各图中包含哪些简单的平面图形？请再举出一些平面图形的例子.二、课堂小结简单几何图形的分类：1.下列图形不是立体图形的是( )A. 球B. 圆柱C. 圆锥D. 圆2.长方体属于( )A. 棱锥B. 棱柱C. 圆柱D. 以上都不对3. 下列几何体中属于棱锥的是( )A. ①⑤①B. ①C. ①⑤⑥D. ⑤⑥4. 月球、西瓜、易拉罐、篮球、热水瓶胆、书本等物体中，形状类似圆柱的有( )A. 1个B. 2个几何图形立体图形平面图形C. 3个D. 4个5. 观察下列图形，在括号内填上相应名称.6. 图中的各立体图形的表面包含哪些平面图形？试指出这些平面图形在立体图形中的位置.参考答案自主学习一、知识链接1.平面图形：圆、三角形、正方形、长方形、梯形等；立体图形：球、圆锥、正方体、长方体、圆柱等.联想到的实物：罐头、足球或篮球的外形、魔方、谷堆、茶杯等.2.区别：平面图形各点都在一个平面内，立体图形各点不都在一个平面；联系：都是图形.立体图形可由平面图形旋转而得到.课堂探究一、要点探究长方体正方形长方形线段点观察与思考这些几何图形的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形.议一议①由柱体、锥体和球体划分；②由围成几何体的面是曲的还是平的划分.【针对训练】1.观察与思考这些几何图形的各部分都在同一平面内，它们是平面图形.画一画【针对训练】长方形、圆形、三角形…当堂检测1.D2.B3.B4.B5.圆柱圆锥四棱锥六棱柱三棱柱四棱柱球圆台6.答案略.第四章几何图形初步4.1 几何图形4.1.1 立体图形与平面图形1.第2课时从不同的方向看立体图形和立体图形的展开图学习目标：1. 了解立体图形与平面图形之间的联系.2. 能画出简单立体图形从不同方向看得到的平面图形.3. 了解研究立体图形的方法，体会一个立体图形按照不同方式展开可得到不同的平面展开图.4. 通过展开与折叠了解棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、长方体、正方体的表面展开图或根据展开图判断立体图形.重点：了解立体图形从不同方向看能够得到平面图形，了解基本几何体与其展开图的关系，体会一个立体图形可以有多种展开图.难点：会画简单立体图形从不同方向看得到的平面图形，能够画出简单立体图形的展开图，或根据展开图判断立体图形.二、要点探究探究点1：从不同的方向看立体图形合作探究：画出正方体、长方体、圆柱体、圆锥、四棱锥、三棱柱从正面、左面、上面看得到的平面图形．例1下图是一个由9个正方体组成的立体图形，分别从正面、左面、上面观察这个图形，各能得到什么平面图形？针对训练图中的几何体从正面看得到的平面图形是____，从左面看得到的平面图形是____，从上面看得到的平面图形是____．探究点2：立体图形的展开图合作探究：将一个正方体的表面沿某些棱剪开,能展成哪些平面图形？思考：正方体展开图可以分为几种？这些展开图有没有什么规律？哪些展开图可以分为一类，为什么？要点归纳：1.巧记正方体的展开图口诀：正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁，十一类图记分明；一四一呈6种，二三一有3种，二二二与三三各1种；对面相隔不相连，识图巧排“凹”和“田”.2.一个正方体的展开图中，在同一直线上的相邻的三个小正方形中，首尾两个小正方形是立体图形中相对的两个面.针对训练1. 下列图形中，不是正方体表面展开图的是( )2. “坚”在下，“就”在后，“胜”和“利”在哪里？3. 下面图形是一些多面体的表面展开图,?4. 下列立体图形的平面展开图是什么?二、课堂小结常见几何体的展开图：1.下图所示的从正面、上面看到的图形对应的是( )2.下图是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板，则下列物体中既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞的是( )3. 下图是从由一些相同的小正方体构成的几何体的正面、左面、上面看得到的三个平面图形，这个几何体中小正方体的个数是( ) A．4个B．5个C．6个D．7个4. 下列三幅平面图中，不是三棱柱的表面展开图的是( )5. 如图是一个立方体纸盒的展开图，使展开图沿虚线折叠成正方体后相对面上的两个数互为相反数，则a= ，b= ，c= .参考答案课堂探究一、要点探究合作探究画图略.解：【针对训练】合作探究思考可分为4种.一四一有6种，二三一有3种，二二二与三三各1种.图1~6属于“一四一”型；图7、8、9属于“二三一”型；图10属于“二二二”型；图11属于“三三”型.【针对训练】1.C2. 解：“胜”在上，“利”在前.3.解：长方体三棱柱三棱柱四棱锥4.解：展开图分别为：当堂检测 1.B 2.B 3.B 4.B 5.-2 -7 1从正面看从左面看从上面看。

第二节简单几何体的表面积和体积(知识梳理)

第二节简单几何体的表面积和体积复习目标学法指导1.柱、锥、台体的表面积和体积公式.2.球的表面积和体积公式.3.一些简单组合体表面积和体积的计算.4.柱、锥、台体之间关系.(发展要求)1.搞清楚几何体的表面积包括侧面积和底面积.2.求侧面积时,往往需要研究侧面展开图.3.会分解简单组合体为常见的柱、锥、台,进一步求出面积、体积.4.所有公式均不要求记忆.空间几何体的表面积和体积公式如下表面积体积S表=S侧+2S底表面积即空间几何体暴露在外的所有面的面积之和棱柱的底面积为S,高为h,V=S·hV柱=S·hS=S′V台=13(S′+S S +S)h S表=S侧+S底棱锥的底面积为S,高为h,V=13S ·h S ′=0 V 锥=13S ·hS 表=S 侧+ S 上底+S 下底棱台的上、下底面面积分别为S ′,S,高为h, V=13(S ′+ S S+S)h圆柱的底面半径和母线长分别为r,lS 表=2πr 2+2πrl 圆柱的高为h,V=πr 2h圆锥的底面半径和母线长分别为r,l S 表=πr 2+πrl 圆锥的高为h,V=13πr 2h圆台的上、下底面半径和母线长分圆台的高为h,V=13π(r ′2+别为r,r′,l,S表=π(r′2+r2+r′l+rl)r′r+r2)h球球半径为R,S球=4πR2V球=43πR31.概念理解(1)表面积应为侧面积和底面积的和,要注意组合体中哪些部分暴露或遮挡.(2)求空间几何体体积的常用方法①公式法:直接根据相关的体积公式计算.②等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易,或是求出一些体积比等.③割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算体积的几何体.2.求面积或体积中相关联的结论几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,①正方体的外接球,则3②正方体的内切球,则2R=a;③球与正方体的各棱相切,则2(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=222a b c ++.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.1.圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么圆柱的侧面积是( A )(A)4πS (B)2πS (C)πS (D)23πS 解析:由πr 2=S 得圆柱的底面半径是πS , 故侧面展开图的边长为2π·πS =2πS,所以圆柱的侧面积是4πS.故选A.2.正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为2,侧棱长为3,D为BC 的中点,则三棱锥A-B 1DC 1的体积为 . 解析:如图,在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中, 因为AD ⊥BC,AD ⊥BB 1, BB 1∩BC=B,所以AD ⊥平面B 1DC 1. 所以11A B DC V-=1113B DC S ∆·AD=13×12×233=1. 答案:13.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为 cm 3,表面积为 cm 2.解析:由三视图可得该几何体为二分之一圆锥, 圆锥的底面半径为1,高为2,所以可得该几何体的体积为12×13×π×12×2=π3, 该几何体的表面积为12×π×12+12π×114++12×2×2=)51π2+2.答案: π3)51π2+24.已知正四棱锥O-ABCD 32,3,则以O 为球心,OA 为半径的球的表面积是 . 解析:设O 到底面的距离为h,则13×3×32,解得32()()2233+62262h ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭6故球的表面积为4π×62=24π.答案:24π5.(2019·浙江宁波模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形,侧视图为直角三角形,则该三棱锥的表面积为,该三棱锥的外接球体积为.解析:由三视图得几何体的直观图如图.所以S表=2×12×2×2+12×3512×3 1153如图,作DE⊥DB,以D为原点,DB所在直线为x轴,DE所在直线为y 轴,DA所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,则3设球心坐标为(x,y,z),因为(x-2)2+y2+z2=x2+y2+z2,①x2+y2+(z-2)2=x2+y2+z2,②(x+1)23)2+z2=x2+y2+z2,③所以x=1,y=3,z=1,所以球心的坐标是(1,3,1), 所以球的半径是()222131++=5.所以球的体积是43π×(5)3=2053π.答案:4+15+32053π考点一几何体的表面积[例1] (1)(2018·金丽衢十二校联考)某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图都是腰长为2的等腰直角三角形,俯视图是边长为2的正方形,则此四面体的最大面的面积是( )(A)2 23(D)4(2)(2019·湖州模拟)某几何体的三视图如图所示,其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧,则该几何体的表面积为( )(A)4π3(B)5π3(C)4π3(D)5π3(3)若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π,则其母线与轴的夹角的大小为;(4)四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形,若四棱锥S-ABCD的体积取值范围为4383],则该四棱锥外接球表面积的取值范围是.解析:(1)因为几何体为一个四面体,六条棱长分别为2223所以四面体的四个面的面积分别为12×2×2=2,12×2×2212×2×221 2×22sin π33因此四面体的最大面的面积是3.故选C.(2)由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体,三棱柱的两个侧面面积之和为2×4×2=16,两个底面面积之和为2×12×2×3=23;半圆柱的侧面积为π×4=4π,两个底面面积之和为2×12×π×12=π,所以几何体的表面积为5π+16+23,故选D.(3)设圆锥底面半径为r,母线长为l,母线与轴夹角为θ, 则=22π122rl r l r⋅-2π,r l=3,即sin θ=3,θ=π3. 解析:(4)四棱锥S-ABCD 中,可得AD ⊥SA,AD ⊥AB ⇒AD ⊥平面SAB ⇒平面SAB ⊥平面ABCD,过S 作SO ⊥AB 于O,则SO ⊥平面ABCD, 设∠SAB=θ, 故S ABCDV-=13S 四边形ABCD ·SO=83sin θ, 所以sin θ∈[3,1]⇒θ∈[π3,2π3]⇒-12≤cos θ≤12, 在△SAB 中,SA=AB=2, 则有SB=221cos θ-,所以△SAB 的外接圆半径r=2sin SBθ=21cos θ-,将该四棱锥补成一个以SAB 为一个底面的直三棱柱,得外接球的半径R=21r +⇒S=4πR2=4π(21cos θ++1), 所以S ∈[28π3,20π]. 答案:(1)C (2)D (3)π3答案:(4)[28π3,20π] (1)已知几何体的三视图求其表面积,一般是先根据三视图判断空间几何体的形状,再根据题目所给数据与几何体的表面积公式,求其表面积.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积应注意重合部分的处理.(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展开成平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.1.(2019·浙江十校联盟)如图所示,已知某几何体的三视图及其尺寸(单位:cm),则该几何体的表面积为( C )(A)15π cm2(B)21π cm2(C)24π cm2(D)33π cm2解析:由三视图可知,则该几何体是一个圆锥,圆锥的底面半径为3,母线长为5,故该几何体的表面积为S表=πr2+πrl=π×32+π×3×5=24π(cm2).故选C.2.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( A )(A)81π4(B)16π(C)9π(D)27π4解析:易知球心在正四棱锥的高上,设球的半径为R,则(4-R)2+(2)2=R2, 解得R=94,所以球的表面积为4π×(94)2=814π.故选A.考点二几何体的体积[例2] (1)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )(A)12cm3(B)1 cm3(C)16 cm3 (D)13cm3(2)(2018·天津卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD 外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H, M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为.解析:(1)由题意,根据给定的三视图可知,该几何体表示一个底面为腰长为1的等腰直角三角形,高为1的三棱锥, 如图所示,所以该三棱锥的体积为V=13×12×1×1×1=16(cm 3),故选C.解析:(2)依题意,易知四棱锥M-EFGH 是一个正四棱锥,且底面边长为2,高为12. 故M EFGHV=13×(2)2×12=112. 答案:(1)C 答案:(2)112(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,则可直接利用公式进行求解,其中,等积转换法多用来求三棱锥的体积.(2)若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体,再利用公式求解.(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( D )(A)60 (B)30 (C)20 (D)10解析:如图,把三棱锥A-BCD 放到长方体中,长方体的长、宽、高分别为5,3,4,△BCD 为直角三角形,直角边分别为5和3,三棱锥A-BCD 的高为4,故该三棱锥的体积V=13×12×5×3×4=10.故选D.考点三与面积、体积相关的综合问题[例3] (1)若一个正四面体的表面积为S 1,其内切球的表面积为S 2,则12S S = ;(2)将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,点A,B,C,D 折叠后对应点为A ′,B ′,C ′,D ′,使B ′D ′=a,则三棱锥D ′-A ′B ′C ′的体积为 .解析:(1)设正四面体棱长为a,则正四面体的表面积为 S 1=43a 23a2,正四面体的高2233a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭6a,由13r ·S 1=1332·h 知r=146a. 因此内切球的表面积为S 2=4πr 2=2π6a,则12S S 2236a a 63.解析:(2)如图所示,正方形ABCD 及折叠后的直观图.易知在直观图中,A ′B ′=B ′C ′=C ′D ′=D ′A ′=a, 且A ′D ′⊥D ′C ′,A ′B ′⊥B ′C ′, 取A ′C ′的中点E,连接D ′E,B ′E, 则D ′E ⊥A ′C ′,D ′E=EB ′=2a,所以D ′E ⊥EB ′,所以D ′E ⊥平面A ′B ′C ′. D ′E 即为三棱锥D ′-A ′B ′C ′的高. 故D A B C V''''-=13S △A ′B ′C ′·D ′E =13×12×a ×a ×2a=2a 3.答案:(1)63 答案:(2)2a 3(1)①解决与球有关问题的关键是球心及球的半径,在球中球心与截面圆圆心的连线、截面圆圆心与截面圆周上一点、该点与球心的连线构成一个直角三角形.②解决多面体(或旋转体)的外接球、内切球问题的关键是确定球心在多面体(或旋转体)中的位置,找到球半径(或直径)与几何体相关元素之间的关系.有时将多面体补形为正(长)方体再求解.(2)求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开,转化为求平面上两点间的最短距离.1.已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB=3,AC=4,AB ⊥AC,AA 1=12,则球O 的半径为( C ) (A)3172 (B)210(C)132(D)310解析:如图,由球心作平面ABC 的垂线, 则垂足为BC 的中点M.又AM=12BC=52,OM=12AA 1=6, 所以球O 的半径 R=OA=22562⎛⎫+ ⎪⎝⎭=132. 故选C.2.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 ,体积是 .解析:本题考查空间几何体的三视图、体积和表面积的计算.由三视图得该几何体为底面是以上底为1,下底为3,高为3的直角梯形,高为3的直四棱柱,则其表面积为2×3×1+32+3×3+1×3+3×3+3×13=33+313,体积为3×3×1+32=18.答案:33+31318考点四易错辨析[例4] (2019·浙江绍兴模拟)如图是由半球和圆柱组合而成的几何体的三视图,则该几何体的体积为( )(A)5π3 (B)8π3(C)10π3(D)12+2π3解析:由题得,几何体是水平放置的一个圆柱和半个球,所以该几何体的体积为V=43π×13×12+π×12×2=83π,故选B.正确解决此类问题应注意确认几何体的形状时,要紧扣三视图,不能凭感觉去确定.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为4,且底面是边长为2的正三角形,用一平面截此棱柱,与侧棱AA1,BB1,CC1分别交于三点M,N,Q,若△MNQ 为直角三角形,则该直角三角形斜边长的最小值为( C ) 2(B)3 3(D)4解析:如图,不妨设N在B处,AM=h,CQ=m,则有MB2=h2+4,BQ2=m2+4,MQ2=(h-m)2+4,由MB2=BQ2+MQ2,得m2-hm+2=0.则Δ=h2-8≥0,即h2≥8,所以该直角三角形的斜边MB≥23.故选C.类型一几何体的表面积1.如图是一个封闭几何体的三视图,则该几何体的表面积为( C )(A)7π cm2(B)8π cm2(C)9π cm2(D)11π cm2解析:依题意,题中的几何体是从一个圆柱中挖去一个半球后所剩余的部分,其中圆柱的底面半径是1 cm、高是 3 cm,球的半径是1 cm,因此该几何体表面积等于12×(4π×12)+π×12+2π×1×3=9π(cm2).故选C.2.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( B )(A)28+65(B)30+65(C)56+125(D)60+125解析:根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图如图,此几何体为一个底面为直角三角形,高为4的三棱锥,因此表面积为S=12×(2+3)×4+12×4×5+12×4×(2+3)+12×5415 5故选B.类型二几何体的体积3.某几何体的三视图如图所示,它的体积为( C )(A)72π(B)48π(C)30π(D)24π解析:由三视图知该几何体是由一个半球和一个圆锥构成的组合体,所以其体积为V=12×43π×33+13π×32×4=30π.故选C.4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( D )(A)π2(B)1+π2(C)1+π(D)2+π解析:由三视图可得,该几何体是一个长方体和半个圆柱的组合体,则该几何体的体积为V=12×2+12×π×12×2=2+π,故选D.5.(2018·全国Ⅲ卷)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为3则三棱锥D-ABC体积的最大值为( B )3333解析:由等边△ABC的面积为3323,所以AB=6,所以等边△ABC的外接圆的半径为r=33AB=23.设球的半径为R,球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d,则d=22R r-=1612-=2.所以三棱锥D-ABC高的最大值为2+4=6,所以三棱锥D-ABC体积的最大值为13×93×6=183.故选B.6.(2019·名校协作体模拟)某几何体的三视图(单位:mm)如图所示,则它的体积是cm3,表面积是cm2.解析:由三视图得该几何体底面是一个以上底为2,下底为4,高为3的直角梯形,高为33的四棱锥,则其体积为13×33×2+42×3=93(cm3),表面积为1 2×3×33+2+42×3+12×3×2+12×3×4+12×5×33=(18+63)(cm2).答案:93(18+63)7.(2018·江苏卷)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.解析:由题意知所给的几何体是棱长均为2的八面体,它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的,正四棱锥的高为1,所以这个八面体的体积为2V 正四棱锥=2×13×(2)2×1=43.答案:43类型三面积、体积综合问题8.(2018·浙江绍兴质量调测)已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( A )(A)83 (B)8 (C)203(D)6 解析:如图所示,在棱长为2的正方体中,题中的三视图对应的几何体为四棱锥P-ADC 1B 1,其中P 为棱A 1D 1的中点,则该几何体的体积11P ADC B V -=211P DB C V -=211D PB C V-=2×13×11PB C S∆×DD 1=83. 故选A.9.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=3,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥S-ABC的体积为( C )(A)33(B)23(C)3 (D)1解析:由题意知,如图所示,在棱锥S-ABC中,△SAC,△SBC都是有一个角为30°的直角三角形,且3,SC=4,所以3作BD⊥3×3)2×3. SC于D点,连接AD,易证SC⊥平面ABD,因此V=13故选C.。

圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征课件

【解析】 (1)几何体①是由圆锥和圆台组合而成的．可旋转如下图(a)180°得到几何体①.
(2)几何体②是由一个圆台，从上而下挖去一个圆锥而得到，且圆锥的顶点恰为圆台底面圆的圆心．
可旋转如下图(b)360°得到几何体②.
(3)几何体③是由一个四棱锥与一个四棱柱组合而成，且四棱锥的底面与四棱柱底面相同．
该截面所成的角是 60°，则该截面的面积是( )
A．π
B．2π
C．3π D．2 3π
解析：因为 OA 与该截面所成的角是 60°，所以截面圆半径 r
＝12OA＝1，故截面的面积 S＝π. 答案：A
3．正方形 ABCD 绕对角线 AC 所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________．
解析：由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体．答案：两个同底的圆锥组合体
类型三旋转体的侧面展开图 [例 3]
如图，底面半径为 1，高为 2 的圆柱，在 A 点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由 A 点爬到 B 点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？
【解析】
把圆柱的侧面沿 AB 剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接 AB′，则 AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．
到什么位置，不垂直于轴的边都叫作圆柱侧
面的母线
图中圆柱表示为圆柱 O′O
圆锥
轴：旋转轴叫作圆锥的
轴；底面：垂直于轴的
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转
体叫作圆锥
边旋转而成的圆面叫作圆锥的底面；侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫作圆锥的侧面；母线：无论旋转到什么位置，不垂
【解析】 (1)不正确，因为当直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体就不是圆锥，而是两个同底圆锥的组合体；

中职数学基础模块7.1.1 简单几何体-多面体课件

多面体的分类棱柱一般地，我们把有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，这样的多面体叫作棱柱.
知识导入知识探究例题讲解课堂练习知识总结
思考以下哪些多面体是棱柱？
知识导入知识探究例题讲解课堂练习知识总结
棱柱的分类按底面的形状分类底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱
第七单元空间几何体
7.1.1 多面体
知识导入知识探究例题讲解课堂练习知识总结
引入
柏拉图多面体柏拉图多面体并不是由柏拉图所
发明，但是却是由柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名，由于它们具有高度的对称性及次序感，因而通常被称为柏拉图多面体，也称为正多面体。
你知道什么是多面体吗？
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分别叫作三棱柱、四棱柱、五棱柱……
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棱柱的命名
通常分别顺次写出两个底面各个顶点的字
母，中间用一条短横线隔开
例，该四棱柱可以记作棱柱ABCD-A‘B’C‘D’
例，该六棱柱可以记作棱柱ABCDEF-A‘B’C‘D’E‘F’
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(1)正棱锥的底面是正多边形； (2)正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形； (3)正棱锥的侧棱长都相等，斜高长也相等；
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例1 对于四棱锥P-ABCD，判断下列说法是否正确. （1）如果底面ABCD是正方形，那么它是正四棱锥；（2）如果过顶点P向底面作垂线，垂足是底面对角线的交点O，那么这个棱锥是正四棱锥. 解：（1）不正确.
（2）不正确.

1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征

(二)棱柱,棱锥,棱台棱柱,棱锥,
1.棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四 .棱柱:有两个面互相平行, 边形, 边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行, 平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱.
顶点侧面底面
用表示底面各顶点表示棱柱. 用表示底面各顶点表示棱柱.
侧棱按底面多边形的边数分为三棱柱,四棱柱,五棱柱… 按底面多边形的边数分为三棱柱,四棱柱,五棱柱
3.棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 底面与截面之间的部分叫做棱台. 底面与截面之间的部分叫做棱台.
上底面
棱台用表示底面各顶点的字母表示. 母表示.
按底面多边形的边数为三棱台, 数为三棱台,四棱五棱台…. 台,五棱台
下底面
棱柱,棱锥, 棱柱,棱锥,棱台的结构特征比较
上底面
下底面Biblioteka 棱台和圆台统称为台体. 棱台和圆台统称为台体. 台体
球的结构特征
球:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆以半圆的直径所在的直线为旋转轴, 面旋转一周形成的几何体叫做球体球体. 面旋转一周形成的几何体叫做球体.
球心
A
直径
O
C
大圆
B
圆柱,圆锥,圆台, 圆柱,圆锥,圆台,球的结构特征比较
问题2 与其他多面体相比,图片中的多面体问题2:与其他多面体相比,图片中的多面体(14), , (15)有什么样的共同特征? 有什么样的共同特征? 有什么样的共同特征
思考:长方体被截去一部分, 思考:长方体被截去一部分,剩下的部分是棱柱吗? 是棱柱吗?
A D E H G C F B
2.棱锥:有一个面是多边形,其余各面都 .棱锥:有一个面是多边形, 是有一个公共顶点的三角形, 是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥.

知识讲解_空间几何体的结构_提高(1)

空间几何体的结构【学习目标】1．利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球的结构特征；2．认识由柱、锥、台、球组成的几何组合体的结构特征；3．能用上述结构特征描绘现实生活中简单物体的结构．【要点梳理】【高清课堂：空间几何体的结构394899 棱柱的结构特征】要点一：棱柱的结构特征1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面．2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……3、棱柱的表示方法：①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为1111ABCD A B C D -、11111ABCDE A B C D E -、111111ABCDEF A B C D E F -；②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱1A C 或棱柱1D B 等；五棱柱可表示为棱柱1AC 、棱柱1AD 等；六棱柱可表示为棱柱1AC 、棱柱1AD 、棱柱1AE 等．4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行.要点诠释：有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱．如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱．判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱．【高清课堂：空间几何体的结构394899 棱锥的结构特征】要点二：棱锥的结构特征1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……；3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥S ABCD ．要点诠释：棱锥有两个本质特征：（1）有一个面是多边形；（2）其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可．【高清课堂：空间几何体的结构394899 旋转体的结构特征】要点三：圆柱的结构特征1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线．2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱/OO要点诠释：（1）用一个平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个与底面全等的圆面．（2）经过圆柱的轴的截面是一个矩形，其两条邻边分别是圆柱的母线和底面直径，经过圆柱的轴的截面通常叫做轴截面．（3）圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴．要点四：圆锥的结构特征1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线．2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥SO ．要点诠释：（1）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面．（2）经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线． SS D DC C B B A A ECB A S（3）圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线．【高清课堂：空间几何体的结构394899 棱台的结构特征】要点五：棱台和圆台的结构特征１、定义：用一个平行于棱锥(圆锥)底面的平面去截棱锥(圆锥)，底面和截面之间的部分叫做棱台(圆台)；原棱锥(圆锥)的底面和截面分别叫做棱台(圆台)的下底面和上底面；原棱锥(圆锥)的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台(圆台)的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴.2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台1111ABCD A B C D -；3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台OO '；要点诠释：（1）棱台必须是由棱锥用平行于底面的平面截得的几何体．所以，棱台可还原为棱锥，即延长棱台的所有侧棱，它们必相交于同一点．（2）棱台的上、下底面是相似的多边形，它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高之比的平方．（3）圆台可以看做由圆锥截得，也可以看做是由直角梯形绕其直角边旋转而成.（4）圆台的上、下底面的面积比等于截去的小圆锥的高与原圆锥的高之比的平方．要点六：球的结构特征1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球.半圆的半径叫做球的半径.半圆的圆心叫做球心.半圆的直径叫做球的直径.2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O.要点诠释：（1）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．如果截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径．（2）若半径为R 的球的一个截面圆半径为r ，球心与截面圆的圆心的距离为d ，则有22d R r =-．要点七：特殊的棱柱、棱锥、棱台特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体；特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体；特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台；注：简单几何体的分类如下表：要点八：简单组合体的结构特征1、组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体；2、常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合.①多面体与多面体的组合体由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体．如下图（1）是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三棱台的组合体．②多面体与旋转体的组合体由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥组合而成的．③旋转体与旋转体的组合体由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体．如图（1）是由一个球体和一个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的．要点九：几何体中的计算问题几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧：(1)在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有关证明及运算往往与两者相关．(2)正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中．另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来．(3)研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，易找到所需有关元素之间的位置、数量关系．(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一．(5)圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决．(6)关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化“空间”为平面．【经典例题】类型一：简单几何体的结构特征例1．判断下列说法是否正确．（1）棱柱的各个侧面都是平行四边形；（2）一个n（n≥3）棱柱共有2n个顶点；（3）棱柱的两个底面是全等的多边形；（4）如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形．【答案】（1）（2）（3）正确，（4）不正确．【解析】（1）由棱柱的定义可知，棱柱的各侧棱互相平行，同一个侧面内两条底边也互相平行，所以各侧面都是平行四边形．（2）一个n棱柱的底面是一个n边形，因此每个底面都有n个项点，两个底面的顶点数之和即为棱柱的顶点数，即2n个．（3）因为棱柱同一个侧面内的两条底边平行且相等，所以棱柱的两个底面的对应边平行且相等，故棱柱的两个底面全等．（4）如果棱柱有一个侧面是矩形，只能保证侧棱垂直于该侧面的底边，但其余侧面的侧棱与相应底边不一定垂直，因此其余侧面不一定是矩形．故（1）（2）（3）正确，（4）不正确．【总结升华】解决这类与棱柱、棱锥、棱台有关的命题真假判定的问题，其关键在于准确把握它们的结构特征，也就是要以棱柱、棱锥、棱台概念的本质内涵为依据，以具体实物和图形为模型来进行判定．举一反三：【变式1】如下图中所示几何体中是棱柱有（）A ．1B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C例2．有下面五个命题：（1）侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；（2）侧棱都相等的棱锥是正棱锥；（3）底面是正方形的棱锥是正四棱锥；（4）正四面体就是正四棱锥；（5）顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是底面多边形的外心的棱锥必是正棱锥．其中正确命题的个数是（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】本题主要考查正棱锥的概念，关键看是否满足定义中的两个条件．命题（1）中的“各侧面都是全等的等腰三角形”并不能保证底面是正多边形，也不能保证顶点在底面上的射影是底面的中心，故不是正棱锥，如下图（1）中的三棱锥S-ABC ，可令SA=SB=BC=Ac=3，SC=AB=1，则此三棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形，但它不是正三棱锥；命题（2）中的“侧棱都相等”并不能保证底面是正多边形，如下图（2）中的三棱锥P-DEF ，可令PD=PE=PF=1，2DE DF ==，EF=1，三条侧棱都相等，但它不是正三棱锥；命题（3）中的“底面是正方形的棱锥”，其顶点在底面上的射影不一定是底面的中心，如下图（3），从正方体中截取一个四棱锥D 1-ABCD ，底面是正方形，但它不是正四棱锥；命题（4）中的“正四面体”是正三棱锥．三棱锥中共有4个面，所以三棱锥也叫四面体．四个面都是全等的正三角形的正三棱锥也叫正四面体；命题（5）中的“顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是外心”，说明了底面是一个正多边形，符合正棱锥的定义．举一反三：【变式1】如果一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥．这种说法是否正确？如果正确说明理由；如果不正确，举出反例．【答案】不正确【解析】如图所示的几何体由两个底面相等的四棱锥组合而成，它有一个面是四边形，其余各面都是三角形，但是该几何体不是棱锥．例3．判断下图所示的几何体是不是台体？为什么？【解析】三个图都不是台体．（1）AA 1，DD 1交于一点，而BB 1，CC 1交于另一点，此图不能还原成锥体，故不是台体：（2）中面ABCD 与面A 1B 1C 1D 1不平行，故也不是台体；（3）中应⊙O 与⊙O 1不平行，故也不是台体．【总结升华】判断一个几何体是否为台体，必须紧扣台体的两个本质特征：（1）由锥体截得的；（2）截面平行于锥体的底面．即棱台的两底面平行，且侧棱必须相交于同一点；圆台的两底面平行，且两底面圆心的连线与两底面垂直．举一反三：【变式1】判断如下图所示的几何体是不是台体？为什么？【答案】①②③都不是台体．【解析】因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是台体；虽然②是由棱锥所截，但截面不和底面平行，故不是台体．只有用平行于锥体底面的平面去截锥体，底面与截面之间的部分才是台体．④是一个台体，因为它是用平行于圆锥SO 底面的平面截圆锥SO 而得的．类型二：几何体中的基本计算例4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm 2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．【答案】14 cm ，142cm ，7 cm 和21 cm ．【解析】圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm 和3x cm ，延长1AA 交1OO 的延长线于点S ．在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，则∠SAO ＝45°．∴SO ＝AO ＝3x cm ，12OO x cm =．∴1(62)23922x x x +⋅=，解得x ＝7，∴圆台的高114OO cm =，母线长12142l OO cm ==，底面半径分别为7 cm 和21 cm ．【总结升华】对于这类旋转体的有关计算问题，其关键在于作出它们的轴截面（即过旋转铀的截面），再把它们转化为平面几何问题即可．举一反三：【变式1】已知圆台的上、下底面积之比为1：9，圆台的高为10，求截得圆台的圆锥的高．【答案】15【解析】设圆锥的高为h ，上、下底半径为,r R ．则1013r h R h -==，解得15h =．类型三、简单几何体的组合体例5．（1）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如下图所示，则截面可能的图形是（）A．①③B．②④C．①②③D．②③④（2）如右图所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切，求两球半径之和．【答案】（1）C；（2）332-．【解析】（1）当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④．（2）此题的关键在于作截面．球不可能与边AB、CD相切，一个球在正方体内，一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如右图所示的截面图．球心O1和O2在AC上，过O1、O2分别作AD、BC的垂线交于E、F两点．设小球半径为r，大球半径为R．则由AB=1，3AC=，得13AO r=，23CO R=，∴3()3r R r R+++=．∴333231R r-+==+．【总结升华】作适当的截面是解决球与其他几何体形成的组合体问题的关键．举一反三：【变式1】圆锥底面半径为1cm，高为2cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.【答案】22【解析】过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF，正方体对角面11CDD C，如图所示.设正方体棱长为x，则111,2CC x C D x==.作SO⊥EF于O，则2SO=，OE=1，∵△ECC1∽△EOS，∴11CC ECSO EO=，即21212x-=.∴ 2()2x cm =，即内接正方体棱长为2.2cm 【总结升华】此题也可以利用△SCD ∽△SEF 而求.两个几何体相接、相切的问题，关键在于发现一些截面之间的图形关系.常常是通过分析几个轴截面组合的平面图形中的一些相似，利用相似比列出方程而求.注意截面图形中各线段长度的计算.类型四、简单几何体的表面展开与折叠问题例6．长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1（如图）中，AB=3，BC=4，A 1A=5，现有一甲壳虫从A 出发沿长方体表面爬行到C ．来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值．【答案】74 【解析】把长方体的部分面展开，如右图所示．对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC 1的长分别为90、74、80，由此可见乙是最短线路，所以甲壳虫可以先在长方形ABB 1A 1内由A 到E ，再在长方形BCC 1B 1内由E 到C 1，也可以先在长方形AA 1D 1D 内由A 到F ，再在长方形DCC 1D 1内到F 到C 1，其最短路程为74．【总结升华】在几何体表面求最短路径问题，就是要“化折为直”，因此需要把几何体表面展开，本题注意要分三种情况讨论．举一反三：【变式1】如图，在底面半径为1，高为2的圆柱上A 点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A 点爬到B 点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？【答案】221π+ 【解析】把圆柱的侧面沿AB 剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB ′，则AB ′即为蚂蚁爬行的最短距离．∵ 2AB AB '==，AA '为底面圆的周长，且212AA ππ'=⨯=，∴ 22224(2)21AB A B AA ππ''''=+=+=+，即蚂蚁爬行的最短距离为221π+．例7．根据下图所给的平面图形，画出立体图形．【解析】将各平面图形折起后形成的空间图形如下图所示．【总结升华】平面图形的折叠问题实质上是多面体的表面展开问题的逆向问题（即逆向过程）．这两类问题都是立体几何中的基本问题，我们必须熟练掌握折叠与展开这两个基本功，并能准确地画出折叠和展开前后的平面图形和立体图形，找到这两个图形之间的构成关系．举一反三：【变式1】（2016春吉林期末）如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是（）A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（1）（4）【答案】B【解析】（1）图还原后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面；（2）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；（3）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；（4）图还原后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面；综上，可得还原成正方体后，其中两个完全一样的是（2）（3），故选：B ．。

七年级数学上册第四章几何图形初步教案

第四章几何图形初步4．1几何图形4．1.1立体图形与平面图形第1课时认识几何图形【教学目标】1．通过观察生活中的大量图片或实物，体验、感受、认识以生活中的事物为原型的几何图形，认识一些简单几何体(长方体、正方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等)的基本特性，能识别这些几何体．2．知道什么是立体图形和平面图形，能够认识立体图形和平面图形．一、自主预习阅读教材P114～116，完成下列内容．1．几何图形包括平面图形和立体图形．2．有些几何图形(如线段、角、三角形、长方形、圆等)的各部分都在同一平面内，这样的几何图形叫做平面图形．3．有些几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)的各部分不都在同一平面内，这样的几何图形叫做立体图形．二、例题精讲知识点1认识平面图形例1(教材P115“思考”)图中实物的形状对应哪些立体图形？把相应的实物与图形用线连起来．解：答案见图中连线．【跟踪训练1】(《名校课堂》4.1.1第1课时习题)请写出图中的立体图形的名称．(1)(2)(3)(4)(1)圆柱；(2)三棱柱；(3)三棱锥；(4)圆锥．知识点2认识平面图形例2(教材P116“思考”) 如图，下列各图中包含哪些简单平面图形？请再举出一些平面图形的例子．解：第①个图形包含长方形、五角星；第②个图形包含圆；第③个图形包含正方形、长方形、三角形、圆；第④个图形包含正方形、三角形；第⑤个图形包含长方形、正方形、三角形；第⑥个图形包含圆、长方形、正方形、梯形.举例：【跟踪训练2】(《名校课堂》4.1.1第1课时习题)下图中包含哪些简单的平面图形？解：图中包含圆、正方形、长方形、三角形、平行四边形．三、巩固训练1．下面几种几何图形中，属于平面图形的是(A)①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；⑥圆柱．A．①②④B．①②③C．①②⑥D．④⑤⑥2．下面的几何体中，属于棱柱的有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图是一座房子的平面图，组成这幅图的几何图形有(C)A．三角形、长方形B．三角形、正方形、长方形C．三角形、正方形、长方形、梯形D．正方形、长方形、梯形第3题图第4题图4.如图所示，电镀螺杆呈现出了两个几何体的组合，则这两个几何体分别是圆柱体，六棱柱．5．观察图中的立体图形，分别写出它们的名称．,球),圆锥),正方体),圆柱体),长方体) 四、课堂小结1．知道常见的立体图形，平面图形．2．生活中很多图案都由简单的几何图形构成，我们也有能力设计美观、有意义的图案．第2课时展开、折叠与从不同方向观察立体图形【教学目标】1．能够识别常见立体图形从不同方向看到的图形并能够正确的画出它们．2．能够识别常见立体图形的平面展开图．一、自主预习阅读教材P117～118，思完成列内容．1．从三个方向看立体图形包括哪三种？解：从三个方向看立体图形：从正面看，从左面看，从上面看．2．什么是立体图形的展开图？解：将立体图形的表面适当剪开，展开成平面图形，这样的平面图形为立体图形的展开图．二、例题精讲知识点1从不同方向观察立体图形例1(教材P117“探究”)如图是一个由9个正方体组成的立体图形，分别从正面、左面、上面观察这个图形，各能得到什么平面图形？解：从正面看从左面看从上面看【跟踪训练1】(《名校课堂》4.1.1第2课时习题)下列基本几何体中，从正面、上面、左面观察都是相同图形的是(C)A．圆柱B．三棱柱C．球D．长方体知识点2立体图形的展开与折叠例2(教材P118“探究”)你还记得长方体和圆柱的展开图吗？下图是一些立体图形的展开图，用它们能围成什么样的立体图形？把它们画在一张硬纸片上，剪下来，折叠、粘贴，看看得到的图形和你想象的是否相同．解：第一个图形能围成正方体；第二个图形能围成圆柱(含上、下底面)；第三个图形能围成三棱柱(含上、下底面)；第四个图形能围成圆锥(含底面)；第五个图形能围成四棱柱(或长方体)．【跟踪训练2】(《名校课堂》4.1.1第2课时习题)下列图形中，不可以作为一个正方体的展开图的是(C)A B C D三、巩固训练1．如图是书桌上放的一本书，则从上面看得到的平面图形是(A)A B C D2．在下面的四个几何体中，从左面和正面看得到的图形不相同的几何体是(B)A B C D3．下面形状的四张纸板，按图中线经过折叠可以围成一个三棱柱的是(C)A B C D4．一个正方体的每个面都有一个汉字，其展开图如图所示，那么在该正方体中，和“值”字相对的字是(A)A．记B．观C．心D．间5．请分别指出与图中表面展开图相应的立体图形的名称．(1)(2)(3)(4)解：(1)三棱柱．(2)圆柱．(3)四棱锥．(4)圆锥．四、课堂小结1．知道常见立体图形从三个方向看得到的图形．2．学会简单几何体(如棱柱、正方体等)的平面展开图，知道按不同的方式展开会得到不同的展开图．3．学会动手实践，与同学合作．4．不是所有立体图形都有平面展开图．4．1.2点、线、面、体【教学目标】1.了解几何体、平面和曲面的意义，能正确判定围成几何体的面是平面还是曲面．2．了解几何图形构成的基本元素是点、线、面、体及其关系，能正确判定由点、线、面、体经过运动变化形成的简单的几何图形．3．激发学生对数学的好奇心和求知欲，体验数学活动中小组合作的重要性．一、自主预习阅读教材P119～120，完成下列问题．1．几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素．2．体是由面组成，面与面相交成线，线与线相交成点．3．点没有大小之分，线没有粗细之分．二、例题精讲知识点1点、线、面、体例1(《名校课堂》4.1.2习题)如图所示的是一个棱柱，请问：(1)这个棱柱由几个面围成？各面的交线有几条？它们是直的还是曲的？(2)这个棱柱的底面和侧面各是什么形状？(3)该棱柱有几个顶点？解：(1)这个棱柱由5个面围成，各面的交线有9条，它们是直的．(2)棱柱的底面是三角形，侧面是长方形．(3)有6个顶点．【跟踪训练1】给出下列结论：①圆柱由3个面围成，这3个面都是平的；②圆锥由2个面围成，这2个面中，1个面是平的，1个面是曲的；③球仅由1个面围成，这个面是曲的；④长方体由6个面围成，这6个面都是平的．其中正确的是(B)A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④知识点2由平面图形旋转而成的立体图形例2(教材P120练习T2)如图，上面的平面图形绕轴旋转一周，可以得出下面的立体图形，把有对应关系的平面图形与立体图形连接起来．解：答案见图中连线．【跟踪训练2】下列图形绕着它的一边所在的直线旋转一周，能得到圆柱的是(B)A．三角形B．长方形C．五边形D．半圆三、巩固训练1．笔尖在纸上写字说明点动成线；车轮旋转时看起来像个圆面，这说明线动成面；一枚硬币在光滑的桌面上快速旋转形成一个球，这说明面动成体．2．如图的几何体有4个面，6条棱，4个顶点．3．围成下面这些立体图形的各个面中，哪些面是平的，哪些面是曲的？解：球的表面、圆柱和圆锥的侧面都是曲面．其余的面都是平面．4．用第一行的平面图形绕轴旋转一周，便得到第二行中的某个几何体，用线连一连．解：如图．四、课堂小结1．多姿多彩的图形是由点、线、面、体组成．点是构成图形的基本元素．2．点无大小，线有直线和曲线，面有平面和曲面．3．体由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点．4．点动成线，线动成面，面动成体．4．2直线、射线、线段第1课时直线、射线、线段【教学目标】1.能在现实情境中，经历画图的数学活动过程，理解并掌握直线的性质，能用几何语言描述直线性质．2．会用字母表示直线、射线、线段，会根据语言描述画出图形．掌握三者的联系和区别．3．培养学生的基本画图能力．一、自主预习阅读教材P125～126，回忆直线、射线、线段的一些基本概念和基本知识，并认真总结下列问题，体会直线的公理．1．直线、射线、线段的联系与区别．图形表示方法端点个数延伸方向线段线段AB或线段a 两个不向任何一方延伸射线射线AB或射线a 一个向一方无限延伸直线直线AB或直线a 0 向两方无限延伸2.直线公理：两点确定一条直线．【点拨】(1)表示线段、射线、直线的时候，都要在字母前注明“线段”“射线”“直线”．(2)用两个大写字母表示直线或线段时，两个字母可以交换位置，表示射线的两个大写字母不能交换位置，必须把端点字母放在前面．二、例题精讲例1(教材P126练习T2)按下列语句画出图形：(1)直线EF经过点C;(2)点A在直线l外；(3)经过点O的三条线段a，b，c;(4)线段AB，CD相交于点B.解：(1)如图所示：(2)如图所示：(3)如图所示：(4)如图所示：【跟踪训练】(《名校课堂》4.2第1课时习题)下列表示方法正确的是(B)①②③④A．①②B．②④C．③④D．①④三、巩固训练1．下列语句：①点a在直线l上；②直线的一半就是射线；③延长直线AB到C；④射线OA与射线AO是同一条射线.其中正确的语句有(A)A．0句B．1句C．2句 D.3句2．如图给出的直线、射线、线段，根据各自的性质，能相交的是(D)A B C D3．下列事实可以用“经过两点有且只有一条直线”来说明的是(B)A．从王庄到李庄走直线最近B．在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼睛在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标C．向远方延伸的铁路给我们一条直线的印象D．数轴是一条特殊的直线4．线段有2个端点，射线有1个端点，直线没有端点．5．如图，图中共有6条线段，8条射线．6.平面上有三点A、B、C，①连接其中任意两点，共可得线段3条；②经过任意两点画直线，共可得到直线1条或3条．7．如图，已知平面上四点A、B、C、D.(1)画直线AB；(2)画射线AD；(3)直线AB、CD相交于点E；(4)连接AC、BD相交于点F.解：略四、课堂小结1．掌握直线、射线、线段的表示方法．2．理解直线、射线、线段的联系和区别． 3．知道直线的性质．4．经过两点有一条直线，并且只有一条直线．第2课时比较线段的长短及线段的性质【教学目标】1.掌握线段比较的两种方法，会表示线段的和差．2．理解线段中点的意义及表示方法，理解两点的距离的意义． 3．会运用“两点之间，线段最短”的性质解决生活中的实际问题．一、自主预习阅读教材P126～129，完成下列内容．1．在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图． 2．点M 把线段AB 分成相等的两条线段AM 与MB ，点M 叫做线段AB 的中点． 3．两点的所有连线中，线段最短，简单说成：两点之间，线段最短． 4．连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．二、例题精讲知识点1 线段的中点及等分点例1 (《名校课堂》4.2第2课时习题)如图，点C 是线段AB 上的点，点D 是线段BC 的中点．(1)若AB ＝10，AC ＝6，求CD 的长； (2)若AC ＝30，BD ＝10，求AB 的长．解：(1)因为点D 是线段BC 的中点，所以CD ＝12BC.因为AB ＝10，AC ＝6，所以BC ＝AB －AC ＝10－6＝4. 所以CD ＝12BC ＝2.(2)因为点D 是线段BC 的中点，所以BC ＝2BD. 因为BD ＝10，所以BC ＝2×10＝20. 因为AB ＝AC ＋BC ，所以AB ＝30＋20＝50.【跟踪训练1】如图，在直线上顺次取A ，B ，C 三点，使AB ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，如果O 是线段AC 的中点，求线段OB 的长度．解：因为AB ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，所以AC ＝AB ＋BC ＝7 cm. 因为点O 是线段AC 的中点，所以OC ＝12AC ＝3.5 cm.所以OB ＝OC －BC ＝3.5－3＝0.5(cm)．知识点2 线段的性质例2 如图，这是A 、B 两地之间的公路，在公路工程改造计划时，为使A 、B 两地行程最短，应如何设计线路？在图中画出，并说明你的理由．解：如图所示，连接AB.理由：两点的所有连线中，线段最短．【跟踪训练2】如图，平面上有A 、B 、C 、D 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你画出蓄水池P 的位置，使它与4个村庄的距离之和最小．解：连接AC 、BD 的交点即为P 点的位置，如图．三、巩固训练1．下列说法正确的是(D)A ．连接两点的线段就叫做两点间的距离B ．在所有连接两点的线中直线一定最短C ．线段AB 就是表示点A 到点B 的距离D ．线段AB 的长度是点A 到点B 的距离 2．如图，下列关系式中与图不符合的式子是(C)A ．AD －CD ＝AB ＋BC B ．AC －BC ＝AD －BD C ．AC －BC ＝AC ＋BD D ．AD －AC ＝BD －BC3．为比较两条线段AB 与CD 的大小，小明将点A 与点C 重合使两条线段在一条直线上，点B 在CD 的延长线上，则(B)A．AB＜CD B．AB＞CDC．AB＝CD D．以上都有可能4．如图，从A到B有4条路径，最短的路径是③，理由是(D)A．因为③是直的B．两点确定一条直线C．两点间距离的定义D．两点之间线段最短5．已知线段AB＝6，若C为AB的中点，则AC＝3．6．若线段AB＝5 cm，BC＝2 cm，且A，B，C三点在同一条直线上，则点C可能在AB上，也可能在AB的延长线上，则AC的长等于3__cm或7__cm．7．如图，已知线段a和b，且a＞b，用直尺和圆规作一条线段，使它等于2a＋b.解：图略．8．已知，如图，AB＝16 cm，C是AB上一点，且AC＝10 cm，D是AC的中点，E是BC的中点，求线段DE 的长．解：因为D是AC的中点，AC＝10 cm，所以DC＝12AC＝5 cm.又因为AB＝16 cm，所以BC＝AB－AC＝6 cm.因为E是BC的中点，所以CE＝12BC＝3 cm.所以DE＝DC＋CE＝8 cm.四、课堂小结线段⎩⎪⎨⎪⎧线段的大小比较⎩⎪⎨⎪⎧度量法叠合法线段的中点线段的性质：两点之间，线段最短4．3角4．3.1角【教学目标】1.理解角的两种定义，识别角的符号．2．知道角的几种表示方法，并能够正确表示．3．掌握角的度量单位及度、分、秒的进位制，能够熟练的进行转换．一、自主预习阅读教材P132，知道角的定义、角的表示方法、周角、平角，完成下列内容．1．角是由两条具有公共端点的射线组成的图形，角也可以看作一条射线绕端点旋转而形成的图形．2．如果一个角的终边旋转到与始边成一条直线时，所成的角叫做平角．继续旋转，当终边旋转到与始边重合时，所成的角叫做周角．3．角的表示方法：角用“∠”表示，读做“角”．(1)用三个大写字母表示；(2)用表示角的顶点的字母表示；(3)用一个数字或一个希腊字母(α、β、γ、θ)表示．(4)度、分、秒是角的基本度量单位：1°的角等分成60份就是1′的角；1′的角等分成60份就是1″的角．角度制：1°＝60′，1′＝(160)°，1′＝60″，1″＝(160)′，1°＝3__600″．【点拨】度、分、秒是60进制的．二、例题精讲知识点1角的定义和表示方法例1(《名校课堂》4.3.1习题)如图，∠1，∠2表示的角可分别用大写字母表示为∠ABC，∠BCN；∠A也可表示为∠BAC，还可以表示为∠MAN．【跟踪训练1】如图，能用∠1，∠ACB ，∠C三种方法表示同一个角的是(C)A B C D知识点2角的度量例2(教材P134练习T2)(1)35°等于多少分？等于多少秒？(2)38°15′和38.15°相等吗？如不相等，哪一个大？解：(1)35°＝35×60＝2 100×60＝126 000秒．(2)38.15°＝38.15×60＝2 289分．38°15′＝38×60＋15＝2 295分．所以38°15′＞38.15°.【跟踪训练2】已知∠1＝27°18′，∠2＝27.18°，∠3＝27.3°，则下列说法正确的是(A)A．∠1＝∠3 B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2 D．∠2＝∠3三、巩固训练1．下列关于角的说法正确的个数是(A)①角是由两条射线组成的图形；②角的边越长，角越大；③在角一边的延长线上取一点D；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．A．1 B．2 C.3 D．42．若∠A＝20°20′，∠B＝20.20°，∠C ＝20.5°，则下面的结论正确的是(D)A．∠A＝∠B B.∠A＝∠CC．∠C＝∠B D.∠A，∠B，∠C两两不等3．如图，能用一个字母表示的角有∠B，用三个大写字母表示∠1为∠MCB，∠2为∠AMC.第3题图第4题图4．如图，A，O，D三点在一条直线上，写出图中小于平角的角：∠AOC，∠AOE，∠COE，∠COD，∠EOD．5．如图是一个时钟的钟面，下午1点30分，时钟的分针与时针所夹的角等于135°.(1)以B 为顶点的角有几个？把它们表示出来； (2)指出以射线BA 为边的角；(3)以D 为顶点，DC 为一边的锐角有几个？分别表示出来．解：(1)以B 为顶点的角有3个，分别是∠ABD 、∠ABC 、∠DBC. (2)以射线BA 为边的角有2个，分别是∠ABD 和∠ABC. (3)以D 为顶点，DC 为一边的锐角有1个，是∠CDE.7．如图，在∠AOB 的内部，从顶点O 引出1条射线，此图中共有几个角？如果引出2条？引出3条呢？依此规律，引出n 条可得到多少个角？解：从顶点O 引出1条射线，图中共有3个角；引出2条射线，图中共有6个角；引出3条射线，图中共有10个角；引出n 条射线，可得到（n ＋1）（n ＋2）2个角．四、课堂小结角⎩⎪⎨⎪⎧角的概念角的表示方法角的度量与换算4．3.2 角的比较与运算【教学目标】1．会用量角器度量角，并会比较两个角的大小． 2．会根据图形判断角的和差倍分． 3．记住角平分线的定义．一、自主预习阅读教材P134～136，完成下列内容．1．比较两个角的大小，我们可以用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小，也可以把它们叠合在一起比较它们的大小，这两种方法分别叫度量法和叠合法．2．角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．如：如图，若OB 是∠AOC 的平分线，则∠AOC ＝2∠AOB ＝2∠BOC ，∠AOB ＝∠BOC ＝12∠AOC ．二、例题精讲知识点1 角的大小比较例1 (教材补充例题)如图，点A ，O ，B 在一条直线上，OD 平分∠AOB ，回答下列问题：(1)试比较∠AOB 、∠AOD 、∠AOE 、∠AOC 的大小； (2)找出图中的三个等量关系．解：(1)因为点A ，O ，B 在一条直线上，所以∠AOB 是平角．因为OD 平分∠AOB ，所以∠AOD ＝12∠AOB ＝90°.由图知∠AOC 是钝角、∠AOD 是直角、∠AOE 是锐角，所以∠AOB ＞∠AOC ＞∠AOD ＞∠AOE. (2)等量关系有：∠COE ＝∠EOD ＋∠COD ， ∠AOB ＝2∠AOD ＝∠AOE ＋∠BOE ， ∠DOB ＝∠COD ＋∠BOC. 【点拨】角的大小比较的方法：(1)如果已知角是锐角、直角、周角、平角、钝角，就可以直接由它们之间的关系比较大小； (2)可以通过量角器量角度来比较大小；(3)可以根据各角在同一图中的位置关系比较角的大小．【跟踪训练1】在∠AOB 的内部任取一点C ，作射线OC ，则一定存在(A) A ．∠AOB ＞∠AOC B ．∠AOB ＜∠BOC C ．∠BOC ＞∠AOC D ．∠AOC ＞∠BOC 知识点2 角度的运算例2 计算： (1)90°－36°12′15″ (2)32°17′53″＋42°42′7″ (3)25°12′35″×5;(4)53°÷6.解：(1)90°－36°12′15″＝53°47′45″. (2)32°17′53″＋42°42′7″＝74°59′60″＝75°.(3)25°12′35″×5＝125°60′175″＝126°2′55″. (4)53°÷6＝8°50′.【点拨】度、分、秒的运算方法：(1)在进行角度的加法运算时，先算秒，再算分，最后算度，满60″时，把60″化为1′，满60′时，把60′化为1°； (2)进行角度的减法时，不够减，借1°化为60′，借1′化为60″；(3)关于度、分、秒的乘法运算，把度、分、秒分别乘乘数，满60″时，把60″化为1′，满60′时，把60′化为1°； (4)关于度、分、秒的除法运算，把度的余数化成分或把分的余数化为秒后再进行除法运算. 知识点3 与角平分线有关的计算例3 如图，OC 是∠AOD 的平分线，OE 是∠DOB 的平分线． (1)如果∠AOB ＝130°，那么∠COE 是多少度？(2)在(1)的条件下，如果∠COD ＝20°，那么∠BOE 是多少度？解：(1)因为OC 是∠AOD 的平分线，所以∠COD ＝12∠AOD.因为OE 是∠BOD 的平分线，所以∠DOE ＝12∠BOD.所以∠COD ＋∠DOE ＝12∠AOD ＋12∠BOD ＝12(∠AOD ＋∠BOD)．因为∠COD ＋∠DOE ＝∠COE ，∠AOD ＋∠BOD ＝∠AOB ，所以∠COE ＝12∠AOB.因为∠AOB ＝130ﾟ，所以∠COE ＝65°.(2)因为∠COE ＝65°，∠COD ＝20°，所以∠DOE ＝∠COE －∠COD ＝45°. 又因为OE 平分∠DOB ，所以∠BOE ＝∠DOE ＝45°. 【跟踪训练2】如图所示，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，则∠MON 等于135°．三、巩固训练1．射线OC在∠AOB内部，下列四个选项不能判定OC是∠AOB的平分线的是(C)A．∠AOB＝2∠AOC B．∠AOC＝12∠AOBC．∠AOC＋∠BOC＝∠AOB D．∠AOC＝∠BOC2．如图，在横线上填上适当的角：(1)∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝∠AOD－∠AOB；(2)∠AOB＝∠AOC－∠COB＝∠AOD－∠BOD；(3)∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝∠AOD－∠COD－∠AOB.第2题图第3题图3．如图，若OC平分∠AOB，∠AOB＝60°，则∠1＝30°.4.已知∠AOB＝80°，∠AOC＝40°，则∠BOC的度数为120°或40°．5．计算：(1)15°37′＋42°51′；(2)90°－68°17′50″；(3)5°26′×3; (4)178°53′÷5.解：(1)原式＝58°28′.(2)原式＝21°42′10″.(3)原式＝16°18′.(4)原式＝35°46′36″.6．如图，已知O是直线CD上的点，OA平分∠BOC，∠AOC＝35°，求∠BOD的度数．解：因为O是直线CD上的点，OA平分∠BOC，∠AOC＝35°，所以∠BOC＝2∠AOC＝70°.所以∠BOD＝180°－∠BOC＝110°.四、课堂小结角的大小比较和运算⎩⎪⎨⎪⎧角的大小比较⎩⎪⎨⎪⎧度量法叠合法角的运算角平分线4．3.3 余角和补角【教学目标】1．了解两个角互余或互补的意义．2．掌握同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等． 3．理解方位角的概念，会用角描述方向，解决实际问题．一、自主预习阅读教材P137～138，完成下列内容．1．一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．几何语言表示为：如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1与∠2互为余角．2．一般地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．几何语言表示为：如果∠1＋∠2＝180°，那么∠1与∠2互为补角． 3．性质：等角(同角)的余角相等，等角(同角)的补角相等． 4．判断题：(1)90度的角叫余角，180度的角叫补角．(×)(2)若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互为余角．(×) (3)如果一个角有补角，那么这个角一定是钝角．(×) (4)互补的两个角不可能相等．(×) (5)钝角没有余角，但一定有补角．(√)(6)互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余．(×) (7)如果∠A ＝25°，∠B ＝75°，那么∠A 与∠B 互为余角．(×) (8)如果∠A ＝x°，∠B ＝(90－x)°，那么∠A 与∠B 互余．(√) 二、例题精讲知识点1 余角、补角例1 如图，点O 在直线AB 上，OD 平分∠COA ，OE 平分∠COB.(1)∠COB＋∠AOC＝180°，∠EOD＝90°；(2)图中互余的角有4对，互补的角有5对．【跟踪训练】1．若∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，则∠1＝∠3.理由是同角的补角相等．2．已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角的度数．解：设这个角是x，则这个角的补角为180°－x，余角为90°－x，所以3(90°－x)＝180°－x，整理，得2x＝90°，解得x＝45°，即这个角的度数为45°.知识点2方位角例2如图1，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上．同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.仿照表示灯塔A方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线．图1图2画法：以点O为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边OB落在东与北之间．射线OB 的方向就是北偏东40°(图2)，即客轮B所在的方向．请你在图2上画出表示货轮C和海岛D方向的射线．解：略．【跟踪训练】3．(《名校课堂》习题)如图，根据点A，B，C，D，E在图中的位置填空．(1)射线OA 表示东北方向； (2)射线OB 表示北偏西30°；(3)射线OC 表示南偏西60°；(4)射线OD 表示正南方向；(5)射线OE 表示南偏东50°．三、巩固训练1．若∠1＝40°，则∠1的余角的度数是(C)A ．20°B ．40°C ．50°D ．60°2．在灯塔O 处观测到轮船A 位于北偏西54°的方向，同时轮船B 在南偏东15°的方向，那么∠AOB 的大小为(C)A ．69°B ．111°C ．141°D ．159° 3．下列结论正确的个数为(C)①互余且相等的两个角是45°；②锐角的补角是钝角；③锐角没有余角，钝角没有补角；④两个钝角不可能互补．A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC.若∠BOC ＝70°，∠AOC ＝50°.(1)求出∠AOB 及其补角的度数；(2)请求出∠DOC 和∠AOE 的度数，并判断∠DOE 与∠AOB 是否互补，并说明理由．解：(1)∠AOB ＝∠BOC ＋∠AOC ＝70°＋50°＝120°，其补角为180°－∠AOB ＝180°－120°＝60°.(2)∠DOC ＝12∠BOC ＝35°，∠AOE ＝12∠AOC ＝25°.∠DOE 与∠AOB 互补．理由：∠DOE ＝∠DOC ＋∠COE ＝35°＋25°＝60°，∠DOE ＋∠AOB ＝60°＋120°＝180°，故∠DOE 与∠AOB 互补．四、课堂小结1．余角、补角的概念：(1)和为90°的两个角互为余角；(2)和为180°的两个角互为补角．2．余角、补角的性质：(1)等角(同角)的余角相等；(2)等角(同角)的补角相等．。

1.1 认识生活中的立体图形(教学课件)(含导入视频)-2024-2025学年七数学上备课备考系列

棱是指棱柱中相邻基点之间的连线，侧棱是指不在底面上的棱.
试一试
你能说出下面棱柱的有哪些特征吗?
1.棱柱的上下底面都是多边形，它们的形状和大小完全相同； 2.侧面由若干个长方形组成，其数量和底面的边数相同； 3.所有侧棱的长度都相等.
填一填
请试着完成下列表格：
棱柱三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱 n棱柱
情景导入
新知探究
1.立体图形的认识
小颖的书房
棱锥
棱柱
看一看哪些物体的形状与你在小学学过的几何体类似？
想一想
1.图中哪些物体的形状与长方体、正方体类似？ 2.哪些物体的形状与圆柱、圆锥类似？
想一想
图中哪些物体的形状与笔筒形状类似？
定义:与图中笔筒形状类似的几何体称为棱柱.
课堂反馈
认识生活中常见几何体． 1.生活中的下列用品类似于哪种几何体？请连一连．骰子书本螺母铅锤乒乓球电池
圆柱圆锥正方体长方体棱柱球【思路分析】联系生活中实物的形状特征，与几何体进行比较，具有相同特性(从点、线、面方面判断)的就是相应的几何体．
【规范解答】
课堂反馈
几何体的分类． 2.下列简单几何体中，属于棱柱的个数是( C )
练一练
1.将图中的图形按要求分类：
（1）若按柱、锥、球划分；（2）若按组成面的曲或平划分.
练一练
解：（1）柱：①③④⑤⑦；椎：②；球：⑥.
（2）曲面：②⑥⑦；平面：①③④⑤.
尝试思考
下面物体可以近似地看成由一些常见几何体组合而成，你能找出其中常见的几何体吗？你还能举出其他组合几何体的例子吗？
分层练习-拓展
10．如图所示的长方体木箱，其长、宽、高分别是 5cm 和 4cm 和 3cm，有一只昆虫从箱子的顶点 A 出发，沿棱爬行，若每条棱都不得重复爬过，则昆虫回到 A 时最多爬行多远？

生活中的几何体

生活中的几何体
生活中的几何体无处不在，它们以各种形状和大小出现在我们的周围。

从最简
单的圆形、方形到复杂的立方体、圆锥体，几何体在我们的生活中扮演着重要的角色。

首先，让我们来看看圆形。

它是最简单的几何体之一，但它的应用却非常广泛。

从我们日常使用的餐具、家具到各种机械设备，圆形都能够被找到。

它的完美的对称性和稳定性使得它成为了很多产品设计中不可或缺的一部分。

其次，方形也是我们生活中常见的几何体之一。

从建筑物的墙壁、地板到书桌、柜子，方形都能够被找到。

它的稳定性和易于堆叠的特点使得它成为了很多建筑和家具设计中的重要元素。

除了这些常见的几何体，立方体、圆锥体等复杂的几何体也在我们的生活中发
挥着重要的作用。

比如，立方体常常被用来设计各种盒子和容器，而圆锥体则被用来设计各种锥形物品，比如圆锥形的灯罩和漏斗等。

总的来说，生活中的几何体无处不在，它们不仅为我们的生活提供了便利，同
时也丰富了我们的生活。

因此，我们应该更加关注和重视这些看似简单的几何体，因为它们承载着我们生活中的无数可能性。

1.1简单几何体

1.1 简单几何体
学习目标： 1.认识简单旋转体、简单多面体的结构特征. 2.掌握简单几何体的分类.
自学指导：请认真看课本P3-P5练习前的内容，注意以下几个方面： 1.什么叫做旋转体，多面体？请举出实例. 2.圆柱、圆锥、圆台的概念，以及相同点与不同点有哪些？ 3.棱柱、棱锥、棱台的概念及结构特征分别是什么？ 8分钟后检测，比谁能用本节知识做对检测题。
3.下列多面体都是棱锥吗？如何在名称上区分这些棱锥？写出棱锥结构特征。
（ 1）（ 2）
（ 3）
顶点
侧面
底面Biblioteka 侧棱棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体叫做棱锥.
思考5：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面的形状关系如何？
相似多边形
C1
D1 E1 A1 C A B
C
B1 B A
C1
B1 D1 A1
A1
C1
B1 C
D E
（ 2）
D
A
（ 1）
B
（ 3）
棱柱定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱。
顶点侧面
侧棱
两底面是平行的多边形, 各侧面都是平行四边形
底面
作业：《金版新学案》P3-P5
（ 2）（ 1）（ 3）
简单几何体：简单旋转体（球、圆柱、圆锥、圆台）简单多面体轴（棱柱、棱锥、棱台）圆柱旋转轴：矩形的一边所在的直线圆锥的旋转轴：直角三角形的一条直角边所在的直线圆台的旋转轴：直角梯形垂直与底边的腰所在直线
2.下列多面体哪些是棱柱？如何在名称上区分这些棱柱？并写出棱柱的结构特征（从底面、侧面、棱所具有的性质出发）

8.1.2圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征课件(人教版)

O
B
圆锥SO
基本立体图形
圆台的相关概念
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之
间部分叫做圆台.
S
★ 圆台的轴：
轴
圆锥的轴（SO）；
★ 圆台的底面：
底
圆锥的底面和截面；（圆面O与圆面O′）面
A′
O′
B′
★ 圆台的侧面：
A
圆锥的侧面在底面和截面之间的部分；母线
★ 圆台的母线：
圆锥的母线在底面和截面之间的部分；（AA′、BB′）
图形360°得到几何体②;
基本立体图形
思考： (1)与圆柱底面平行的平面截圆柱所得截面的形状为_________；
圆柱的轴截面(过圆柱的轴的截面) 的形状为_________；
基本立体图形
思考： (2)圆锥的轴截面的形状为_________；
过圆锥的顶点的截面的形状为_________；
基本立体图形
基本立体图形
【练习】描述下列组合体的结构特征
【解析】图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．
基本立体图形
【例2】如图，将直角梯形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体组成的？【解析】画出形成的几何体如图所示.
8.1 基本立体图形
基本立体图形
复习回顾
1.空间几何体
空间几何体：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么这些由物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。多面体：由若干平面多边形围成的几何体叫做多面体,围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.