陈宏芳原子物理答案第二章

u′ =
m0 u ′ 2m0 u 2u ′ ′ p = ，另一粒子动量大小为 ，因而 p 0 ，方 = = 1 2 2 2 2 2 1 − u 2 c2 1+ u c 1 − u′ c 1 + u 2 c2 = m0 c 2 ． 2 2 2 2 1− u c 1 − u′ c
m0 c 2
′= 向平行于相对速度，能量为 E1′ = m0 c 2 ， E2
亦可根据四元动量的洛仑兹变换，由实验室系（ S 系）中的动量和能量求得 相对其中之一静止的参照系（ S′ 系）中的相应量．由四元矢量的统一变换得：
′= px
px − vE c 2
1 − v2 c2
′ ′ ， p′ y = p y ， pz = pz ， E =
E − vpx 1 − v2 c2
．选粒子相对运动方向为 x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ m0 u m0 u 轴方向， 则 v = −u ． 实验室系中，p1 = ⎜ − ,0,0 ⎟ ， p2 = ⎜ ,0,0 ⎟ ， ⎜ 1 − u 2 c2 ⎟ ⎜ 1 − u 2 c2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
E1 = E2 =
⎛ 2m0 u ⎞ ′ =⎜ ，变换后， p1′ = ( 0,0,0 ) ， p2 ,0,0 ⎟ ， E1′ = m0 c 2 ， 2 2 1− u c ⎝ 1− u c ⎠
结合式(3)和(4)，得
(4)
1 1− u c
2 2
= 2−
1 4 ，当 θ = π 时， u 取极大， umax = c ． 2 − cosθ 5
运动镜面以速率 v 趋近光源． 求相对光源静止的观察者测得的垂直镜面的反 2-3． 射光与入射光的频率比． 解：设光的发射频率（光源系中测得的入射光频率）为 ω0 ． 镜面既是入射光的接收器，又是反射光的波源，入射光接收频率即反射光发 射频率。入射时，光源以速率 v 趋近镜面（接收器） ，由多普勒公式得入射光接 收频率 ω1 =
2v ．反射光由像发出，被观察者接收，由多普勒公式得反射光接 1 + v2 c2
收频率 ω 2 =
ω 1+ v c 1 + v′ c 1+ v c ． ω0 = ω 0 ．同样得到 2 = ω0 1 − v c 1 − v′ c 1− v c
p1 − p1′ = me u
1 − u 2 c2 ， 1 − u 2 c2 ．
(1) (2)
p1′c = p1c + me c 2 − me c 2
由(2)式得
p1′ = me c 2 − 1 1 − u 2 c 2 ．
将(1)式两边平方，得
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)
(3)
p1′2 − 2me cp1′ cosθ + me2 c 2 = me2u 2 (1 − u 2 c 2 ) ．
2-1．两个静止质量皆为 m0 的粒子以相同速率 u 相向飞行．求实验室系和相对其 中之一静止的参照系中测得的两粒子的动量和能量． 解：实验室参照系中，两粒子动量方向相反，大小为 p1 = p2 = m0 u 能量为 E1 = E2 = m0 c 2
1 − u 2 c2 ，
1 − u 2 c2 ．
相对其中之一静止的参照系中，根据相对论速度变换，得到另一粒子速率为
m0 c 2
2
2
′= E2
1 + u 2 c2 m0 c 2 ． 2 2 1− u c
2-2．静止电子偶湮灭后产生两个光子，其中之一与另一静止电子碰撞．求该电
子能获得的最大速度． 解：设电子偶湮灭后生成的光子动量为 p1 和 p2 ，则能量为 p1c 和 p2 c ．由守恒定 律 p1 + p2 = 0 ， p1c + p2 c = 2me c 2 可得 p1 = p2 = me c ． 设光子与静止电子碰撞前后的动量为 p1 和 p1′ ，其夹角为 θ ，碰后电子获得 速度 u ．过程动量能量守恒：
1+ v c ω 0 ；反射时，镜面（光源）以速率 v 趋近观察者，由多普勒 1− v c 1+ v c ω1 ．结合上述两式，可得反射光与入射光的 1− v c
公式得反射光接收频率 ω 2 =
频率比为
ω2 1 + v c ． = ω0 1 − v c
亦可将光源在镜面中的像视为反射光的等效波源．相对镜面，光源和像以相 同速率 v 相向运动；相对观察者，光源静止，而像的速度可由相对论速度变换求 得： v′ =