小升初数学培优讲义全46讲—第45讲 蝴蝶模型与相似模型

第45讲 蝴蝶模型与相似模型

1、考察范围：①多边形面积计算公式；②图形的折叠与对称；③几何模型与面积计算结合。

2、考察重点：能灵活运用和差法、转换法、割补法和等积变换及相应几何模型解面积问题。

3、命题趋势：主要以转换法、割补法和等积变换模型来进行考察的题型比较多，并要求结合多边形的面积公式来计算结果。

1、公式

边长边长正方形⨯=S 宽长长方形⨯=S

高底平行四边形⨯=S 2÷⨯+=高下底）（上底梯形S 高底底高高底三角形三角形三角形÷⨯=⇒÷⨯=⇒÷⨯=222S S S

2、方法

①和差法：通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和与差来求面积。

②割补法：将不规则图形割补拼接成规则图形，利用规则图形的面积公式计算。 ③转换法：通过平移、旋转、对称等方法将不规则图形转化成面积相等的规则图形。 ④等积变换模型：相等面积或等体积之间的图形变形。 ⑤蝴蝶定理（蝴蝶模型）：

任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：

①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++

蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

考点解读

知识梳理

S 4

S 3

S 2

S 1

O

D

C

B

A B C

⑥相似模型：

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型

G

F E A

B

C

D

A

B C

D

E

F G

①

AD AE DE AF

AB AC BC AG

===

； ②AC

AB AE AD AG AF S S ABC ADE ⨯⨯==∆∆2

2 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小

怎改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．

【例1】如图，DE 平行于BC ，且AD=2，AB=5，AE=4，求AC 的长？

A E

D C

B

典例剖析

（4）S 2=S 4

1、如图已知DE 平行于BC ，且BO:EO=3:2，那么AD:AB= ？

【例2】 如图，已知DE 平行于BC ，且AD:DB=2:3，那么S △ADE :S △ECB = 。

【变式练习】

1、如图，已知△ABC 中，DE 平行于BC ，若AD:DB=2:3，且S 梯形DBCE

比S △ADE 大8.5cm 2

，求△

ABC 的面积？

【例3】 如图，S 2=2，S 3=4，求梯形的面积？

A

D E B

C

E

A

D

B

C

E A D B

C

S 1 S 2

S 3

S 4

1、如图，如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已知△AOB与△BOC 的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是多少平方厘米？

【例4】如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为_____平方厘米。

【变式练习】

1、如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是5平方厘米，△CED的面积是10平方厘米。问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？

【例5】如图，正方形ABCD面积为1，M是AD边上的中点，求图中阴影部分

的面积。

G C

B A

1、如图，已知E 是CD 的中点，阴影部分的面积是1，求正方形ABCD 的面积是多少？

【例6】如图，在长方形ABCD 中，AB=6厘米，BC=8厘米，四边形EFGH 的面积是3平方厘米，求阴影部分的面积？

【变式练习】

1、如图所示，矩形ABCD 的面积为36平方厘米，四边形PMON 的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米．

N

O

M P D

C

B

A

2、如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4：5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为______。

【例7】如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6.92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

【变式练习】

1、如图所示，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：①三角形BGC 的面积；②AG:GC 是多少？

A B

C

D

G

3

21

A 、温故知新

1、四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O （如图所示），如果△ABD 的面积等于△BCD 的面积的3

1

，且AO=2，DO=3，那么CO 的长度是DO 的长度的几倍？

A

B C

D O

课后精练