电磁现象的普遍规律
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2
电场强度
r E
r F
Q
r E
Q
4 0 r 3
rr
给出理论上计算单个（静止）点电荷激发的（静）电场的方法。
Q1
电场满足叠加原理
Q2
E
1
Qi ri
40 i ri3
E2
P
E
E1
3
lim 体电荷分布 x
Q dQ
V 0 V dV
lim 面电荷分布 x
Q dQ
S0 S dS
lim 线电荷分布 x
单位时间流出该区域总电荷 单位时间区域中总电荷减少
电荷守恒定律的积分形式 电荷守恒定律的微分形式
SJ dS
t
(
V
dV
)
V
t
dV
SJ
dS
V
t
dV
V
t
dV
SJ dS V
t
dV
(
V
J )dV
V
(
t
J )dV
0
J
0
t
也称为电流的连续性方程。
13
电荷守恒在经典物理和近代物理范畴均精确成立。 电荷守恒定律表示总电荷守恒（不表示“电荷不能产生， 也不能消失”）。没有分别关于正、负电荷的守恒定律。
磁力线是闭合曲线（无起点和终点），对任意封闭曲面通
量为零（有一条磁力线穿出，则必有一条要穿入）。表为
SB dS 0
B 0
表明磁场是无“源”场，即不存在磁荷（磁单极子）。
附： 1. 数学补充 函数
2. 由Biot-Savart定律推导磁场旋度和散度
15
速度与截面法向夹角为θ，斜 方体体积为
V Sl cos Svt cos
a
x2 a2 1 x a x a 2a
f
x
n xn
x
adx
1n
n xn
f x
a
a x1, x2 a x1, x2
17
2）三维 函数
定义:
r
r0
0
r
r0
r r0
V
r
r0
dV
1 0
r0 V r0 V
主要性质:
V
f
r r r0
dV
f
r0
0
r0 V r0 V
f
r r r0
电流密度：方向为正电荷运动方向，大小为单位时间垂直通过 单位面积的电量。
电流强度与电流的关系： dI J dS
I S J dS
➢ J 是对空间点定义的，I 是对一有限面定义的。 ➢ J 是矢量，I 是标量。
单一构成粒子流 J v
复杂构成粒子流 J
i vi
i
12
考查对象：存在电荷的某一空间区域V。
S
S 40r3
Q
4 0
S
cos
r2
dS
Q d Q
40 S
0
6
E dS Q
( E) dV
dV
( E ) dV 0
S
0
V
V 0
V
0
Gauss面的选取具有任意性且可以任意缩小
E
0
微分形式不能用于介质分界面上的点；而对于包含界面的 空间区域，积分形式仍可使用。
Gauss定理的微分形式是局域关系式；而积分形式是关于 某一有限空间区域的关系式 。
斜方体中含有电量
Q V vSt cos
在 t 内， V 中的电荷全部
穿过截面S，电流强度
I Q vS cos
t
截面 S 无穷小时, dI JdS cos ，故， J v
Return16
函数
1）一维 函数
定义:
x
a
0
主要性质:
x x
xa xa
x2
x1
x
a
dx
1 0
ax 1 x
dV
f
r r0
V
3）三维 函数化为一维 函数
在直角坐标系: r r0 x x0 y y0 z z0
在柱坐标系: 在球坐标系:
r
r0
1 r
r
r0
0
z
z0
r
r0
r
2
1
sin
r
r0
0
0
Return
18
实验发现
B(
x)
对通电细导线
0
J(
x)
rdV
4V
r3
JdV Idl
40
V
x
r3 rdV
1
40
V
x
V
r r3
dV
dV
x
x
1
4
r r3
1
4
0
V
x
V
4
x
x
dV
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dV
1
0
V
x
V
x
x
dV
dV
Q
0
Retu10rn
E dl L
1
4 0
V
dV
x
L
r r3
dl
1
4 0
V
x dV S
r r3
dS
0
Retu11rn
§2 电流和磁场
电流强度：单位时间通过某一截面的电量。 I lim Q dQ t0 t dt
积分形式只能用于静电场；微分形式能用于随时间变化的 电场。
散度表空间某点是否有源。 7
静电场的电力线不能闭合。
E dl 0
L
单个点电荷情形，
E dl Q r dl
L
40 L r3
Q r cos dl
40 L r3
Q dr Q
1
4 0
L
r2
4 0
d( ) 0 Lr
8
E dl 0 ( E) dS 0
特殊情形一：对于包含了所有的电流和电荷的区域，其界面
上电流密度为零，
t
V
dV
V
t
dV
0
dV const. V
这表示“全”空间总电荷守恒 。
特殊情形二：对于恒定电流，
J
0
。表示恒定电流的电
流线闭合（无发源点和终止点） 。
14
Next
Ampere环路定理：
B dl
L
0I
磁场的旋度：
B 0J
§1 电荷和电场
描述电场的物理量：电场强度。
电场强度的定义：
r E
r F
q
上式给出实验上直接测量电场的方法。要求q 是“检验电荷”
（体积足够小、电量足够小的带电体）。
1
Coulomb定律：
r QQ r
F 40r3 r
F r
Q’
Q
对静电力的认识由超距作用到发展为通过电场传递的观点。 Coulomb定律的适用范围：点电荷，静电场。
先计算
A
0 4
V
Jx
L
S
S具有任意性且可以任意缩小，故 rot E E 0
环路定理表明电场力对电荷做功与路径无关，静电场是保 守力场。
一般结论：无旋场是保守力场。 静电场是无旋场，电力线不能闭合。 积分形式和微分形式均对于变化的电场不成立。
Ne9xt
E dS 1
S
40
V
x
S
dS
r r3
dV
E 1
Biot-Savart定律表为
B(x) 0 Idl
4 L r 3
r
磁场散度的推导
B
0 4
0 4
V
Jx
r3
rdV
'
V
1 r
J(
x)dV
'
0 4
0 4
VJVxJrx1rdVdV'
'
引入
A
0 4
V
Jx dV '
r
B A
1 r
1 r3
r
B 0 19
磁场旋度的推导
B ( A) ( A) 2 A
Q dQ
l0 l dl
dQ dV dQ ds
dQ dl
4
E(x)
L
x
40
r r3
dl
E(x)
S
x
40
r r3
dS
E(x)
V
x
40
r r3
dV
5
E dS
Q
S
0
Gauss定理来源于 Coulomb定律的平方反比关系。
单个点电荷情形，
E dS Q r dS
电场强度
r E
r F
Q
r E
Q
4 0 r 3
rr
给出理论上计算单个（静止）点电荷激发的（静）电场的方法。
Q1
电场满足叠加原理
Q2
E
1
Qi ri
40 i ri3
E2
P
E
E1
3
lim 体电荷分布 x
Q dQ
V 0 V dV
lim 面电荷分布 x
Q dQ
S0 S dS
lim 线电荷分布 x
单位时间流出该区域总电荷 单位时间区域中总电荷减少
电荷守恒定律的积分形式 电荷守恒定律的微分形式
SJ dS
t
(
V
dV
)
V
t
dV
SJ
dS
V
t
dV
V
t
dV
SJ dS V
t
dV
(
V
J )dV
V
(
t
J )dV
0
J
0
t
也称为电流的连续性方程。
13
电荷守恒在经典物理和近代物理范畴均精确成立。 电荷守恒定律表示总电荷守恒（不表示“电荷不能产生， 也不能消失”）。没有分别关于正、负电荷的守恒定律。
磁力线是闭合曲线（无起点和终点），对任意封闭曲面通
量为零（有一条磁力线穿出，则必有一条要穿入）。表为
SB dS 0
B 0
表明磁场是无“源”场，即不存在磁荷（磁单极子）。
附： 1. 数学补充 函数
2. 由Biot-Savart定律推导磁场旋度和散度
15
速度与截面法向夹角为θ，斜 方体体积为
V Sl cos Svt cos
a
x2 a2 1 x a x a 2a
f
x
n xn
x
adx
1n
n xn
f x
a
a x1, x2 a x1, x2
17
2）三维 函数
定义:
r
r0
0
r
r0
r r0
V
r
r0
dV
1 0
r0 V r0 V
主要性质:
V
f
r r r0
dV
f
r0
0
r0 V r0 V
f
r r r0
电流密度：方向为正电荷运动方向，大小为单位时间垂直通过 单位面积的电量。
电流强度与电流的关系： dI J dS
I S J dS
➢ J 是对空间点定义的，I 是对一有限面定义的。 ➢ J 是矢量，I 是标量。
单一构成粒子流 J v
复杂构成粒子流 J
i vi
i
12
考查对象：存在电荷的某一空间区域V。
S
S 40r3
Q
4 0
S
cos
r2
dS
Q d Q
40 S
0
6
E dS Q
( E) dV
dV
( E ) dV 0
S
0
V
V 0
V
0
Gauss面的选取具有任意性且可以任意缩小
E
0
微分形式不能用于介质分界面上的点；而对于包含界面的 空间区域，积分形式仍可使用。
Gauss定理的微分形式是局域关系式；而积分形式是关于 某一有限空间区域的关系式 。
斜方体中含有电量
Q V vSt cos
在 t 内， V 中的电荷全部
穿过截面S，电流强度
I Q vS cos
t
截面 S 无穷小时, dI JdS cos ，故， J v
Return16
函数
1）一维 函数
定义:
x
a
0
主要性质:
x x
xa xa
x2
x1
x
a
dx
1 0
ax 1 x
dV
f
r r0
V
3）三维 函数化为一维 函数
在直角坐标系: r r0 x x0 y y0 z z0
在柱坐标系: 在球坐标系:
r
r0
1 r
r
r0
0
z
z0
r
r0
r
2
1
sin
r
r0
0
0
Return
18
实验发现
B(
x)
对通电细导线
0
J(
x)
rdV
4V
r3
JdV Idl
40
V
x
r3 rdV
1
40
V
x
V
r r3
dV
dV
x
x
1
4
r r3
1
4
0
V
x
V
4
x
x
dV
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dV
1
0
V
x
V
x
x
dV
dV
Q
0
Retu10rn
E dl L
1
4 0
V
dV
x
L
r r3
dl
1
4 0
V
x dV S
r r3
dS
0
Retu11rn
§2 电流和磁场
电流强度：单位时间通过某一截面的电量。 I lim Q dQ t0 t dt
积分形式只能用于静电场；微分形式能用于随时间变化的 电场。
散度表空间某点是否有源。 7
静电场的电力线不能闭合。
E dl 0
L
单个点电荷情形，
E dl Q r dl
L
40 L r3
Q r cos dl
40 L r3
Q dr Q
1
4 0
L
r2
4 0
d( ) 0 Lr
8
E dl 0 ( E) dS 0
特殊情形一：对于包含了所有的电流和电荷的区域，其界面
上电流密度为零，
t
V
dV
V
t
dV
0
dV const. V
这表示“全”空间总电荷守恒 。
特殊情形二：对于恒定电流，
J
0
。表示恒定电流的电
流线闭合（无发源点和终止点） 。
14
Next
Ampere环路定理：
B dl
L
0I
磁场的旋度：
B 0J
§1 电荷和电场
描述电场的物理量：电场强度。
电场强度的定义：
r E
r F
q
上式给出实验上直接测量电场的方法。要求q 是“检验电荷”
（体积足够小、电量足够小的带电体）。
1
Coulomb定律：
r QQ r
F 40r3 r
F r
Q’
Q
对静电力的认识由超距作用到发展为通过电场传递的观点。 Coulomb定律的适用范围：点电荷，静电场。
先计算
A
0 4
V
Jx
L
S
S具有任意性且可以任意缩小，故 rot E E 0
环路定理表明电场力对电荷做功与路径无关，静电场是保 守力场。
一般结论：无旋场是保守力场。 静电场是无旋场，电力线不能闭合。 积分形式和微分形式均对于变化的电场不成立。
Ne9xt
E dS 1
S
40
V
x
S
dS
r r3
dV
E 1
Biot-Savart定律表为
B(x) 0 Idl
4 L r 3
r
磁场散度的推导
B
0 4
0 4
V
Jx
r3
rdV
'
V
1 r
J(
x)dV
'
0 4
0 4
VJVxJrx1rdVdV'
'
引入
A
0 4
V
Jx dV '
r
B A
1 r
1 r3
r
B 0 19
磁场旋度的推导
B ( A) ( A) 2 A
Q dQ
l0 l dl
dQ dV dQ ds
dQ dl
4
E(x)
L
x
40
r r3
dl
E(x)
S
x
40
r r3
dS
E(x)
V
x
40
r r3
dV
5
E dS
Q
S
0
Gauss定理来源于 Coulomb定律的平方反比关系。
单个点电荷情形，
E dS Q r dS