巧用三角函数解物理题(一题多解)

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三角函数经典题目(带答案)

三角函数经典题目练习1.已知α1231、已知角2、P (x ,5则sin 1、已知2、函数(f3、已知象限1. 已知π22.设0≤α是 .sin αtan x 若<0___.53sin +-=m m θ，524cos +-=m m θ（πθπ<<2），则=θ________.1tan tan αα，是关于x 的方程2230x kx k -+-=的个实根，且παπ273<<，则ααsin cos +的值 .0)13(22=++-m x x 的两根为()πθθθ2,0,cos ,sin ∈，求（1）m =_______（2）θθθθtan 1cos cot 1sin -+-=________.α )415tan(325cos ππ-+= . θθθθcos sin cos sin -+=2,则sin(θ-5π)·sin ⎪⎭⎫⎝⎛-θπ23= α终边上P （－4，3），)29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+= .已知锐角α终边上一点P 的坐标是（2sin2,-2cos2)，α= . sin163°·sin223°+sin253°·sin313°= . =-+θθtan 1tan 1_________tan 20tan 4020tan 40︒+︒︒⋅︒= α∈(0,2π)，若sin α=53，则2cos(α+4π)= . 336cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ65cos =______，)65απ--=_____．.【知二求多】1、已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα= -54,sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2αβ=135,且0<β<2π<α<π,则cos 2βα+=____.2已知tan α=43,cos(α+β)=-1411, α、β为锐角，则cos β=______.【方法套路】1、设21sin sin =+βα，31cos cos =+βα，则)cos(βα-=___ .2.已知ββαcos 5)2cos(8++=0，则αβαtan )tan(+= .3,41)sin(,31)sin(=-=+βαβα则___tan tan =βα【给值求角】1tan α=71,tan β=31,α,β均为锐角，则α+2β= .2、若sinA=55,sinB=1010,且A,B 均为钝角, 则A+B= .【半角公式】1α是第三象限，2524sin -=α，则tan 2α= . 2、已知01342=+++a ax x （a >1）的两根为αtan ，βtan ，且α,∈β ⎝⎛-2π,⎪⎭⎫2π,则2tan βα+=______3若cos 22π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+= . 4、若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈27,25ππα，则ααsin 1sin 1-++=5x 是第三象限角xx xx x x x x cos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin 1-++++++-+=______ 【公式链】1=+++ 89sin 3sin 2sin 1sin 2222_______ 2sin10o sin30o sin50o sin70o=_______ 3（1+tan1o ）（1+tan2o ）…（1+tan45o ）=_______六、给值求角已知31sin -=x ，写出满足下列关系x 取值集合 ]3,5[)3()2(]2,0[)1(πππ--∈∈∈x R x x七、函数性质【定义域问题】 1. x x y sin 162+-=定义域为_________2、1)32tan(--=πx y 定义域为_________【值域】1、函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为__________2、若函数g (x )＝2a sin x ＋b 的最大值和最小值分别为6和2，则|a |＋b 的值为________3、函数x xy sin 2sin 1+-=的值域4、函数xxy cos 1sin 21+-=的值域5、函数x x y sin 2cos -=的值域【解析式】1、已知函数f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx 的图象关于直线x ＝π3对称，其中ω∈⎝⎛⎭⎫－12，52.函数f (x )的解析式为________．2、已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象在y 轴上的截距为1，在相邻两最值点(x 0，2)，⎝⎛⎭⎫x 0＋32，－2(x 0＞0)上f (x )分别取得最大值和最小值．则所得图像的函数解析式是________ 3.将函数sin y x =的图像上所有的点右移10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是___________4、()()sin f x A x h ωϕ=++(0,0,)2A πωϕ>>< 的图象如图所示，求函数)(x f 的解析式；【性质】1、已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，34C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.(0，2] 2、若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，在区间ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=3、sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是A ．6x π=- B ．12x π=- C ．6x π= D ．4、已知函数x a x x f 2cos 2sin )(+=关于x 称，则a =_______5.()2sin()f x x ωϕ=++m 对任意x 有()6f x f π+=若()6f π=3，则m=________【图象】1、为了得到函数sin(2)3y x π=-sin(2)6y x π=+的图像向____移动____2、为了得到函数sin(2)3y x π=-y=cos2x 图像向____移动____个长度单位 3.将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ取值为 (A)34π (B) 4π(C)0 (D) 4π-【综合练习】1、已知定义在R 上的函数f (x )满足：当sin x f (x )＝cos x ，当sin x ＞cos x 时，f (x )＝sin x .下结论：①f (x )是周期函数；②f (x )③当且仅当x ＝2k π(k ∈Z)时，f (x )当且仅当2k π－π2＜x ＜(2k ＋1)π(k ∈Z)时，f (⑤f (x )的图象上相邻两个最低点的距离是正确的结论序号是________．f(x)=sin(2x+x x 2cos 2)62sin()6+-+ππ）求f(x)的最小值及单调减区间；）求使f(x)=3的x 的取值集合。

专题62 高中数学三角函数的应用(解析版)

专题62 三角函数的应用1．三角函数模型的作用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用．2．解三角函数应用题的基本步骤：(1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型； (3)讨论变量关系，求解数学模型； (4)检验，作出结论．题型一三角函数模型在物理学中的应用1．如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s (cm)和时间t (s)的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫2πt ＋π6，那么单摆摆动一个周期所需的时间为( ) A ．2π s B ．π s C ．0.5 sD ．1 s[解析]依题意是求函数s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫2πt ＋π6的周期，T ＝2π2π＝1，故选D. 2．如图所示，一个单摆以OA 为始边，OB 为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t (s)满足函数关系式θ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π2，t ∈[0，＋∞)，则当t ＝0时，角θ的大小及单摆频率是________．[解析]当t ＝0时，θ＝12sin π2＝12，由函数解析式易知单摆周期为2π2＝π，故单摆频率为1π.3．在两个弹簧上各有一个质量分别为M 1和M 2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t (s)离开平衡位置的位移s 1(cm)和s 2(cm)分别由s 1＝5sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π6，s 2＝10cos 2t 确定，则当t ＝2π3 s 时，s 1与s 2的大小关系是( )A ．s 1＞s 2B ．s 1＜s 2C ．s 1＝s 2D ．不能确定[解析]当t ＝2π3时，s 1＝5sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋π6＝5sin 3π2＝－5，当t ＝2π3时，s 2＝10cos 4π3＝10×⎝⎛⎭⎫－12＝－5，故s 1＝s 2. 4．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式为s ＝3cos ⎝⎛⎭⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l ＝__cm. [解析]由已知得2πg l＝1，所以g l ＝2π，g l ＝4π2，l ＝g 4π2. 5．如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．[解析]由题图可设y ＝A sin(ωt ＋φ)，则A ＝2，又T ＝2(0.5－0.1)＝0.8，所以ω＝2π0.8＝52π，所以y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫52πt ＋φ，将点(0.1,2)代入y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π2t ＋φ中，得sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π4＝1，所以φ＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，令k ＝0，得φ＝π4，所以y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π2t ＋π4. 6．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F (t )＝50＋4sin t2(0≤t ≤20)给出，F (t )的单位是辆/分，t 的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )A ．[0,5]B ．[5,10]C ．[10,15]D ．[15,20][解析]当10≤t ≤15时，有32π<5≤t 2≤152<52π，此时F (t )＝50＋4sin t2是增函数，即车流量在增加．故应选C.7．如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )A ．该质点的振动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为－5 cmC ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时的振动速度最大D ．该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零[解析]该质点的振动周期为T ＝2×(0.7－0.3)＝0.8(s)，故A 是错误的；该质点的振幅为5 cm ，故B 是错误的；该质点在0.1 s 和0.5 s 时的振动速度是零，所以C 是错误的．故选D.8．如图表示电流I 与时间t 的关系I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式为( )A ．I ＝300sin ⎝⎛⎭⎫50πt ＋π3B ．I ＝300sin ⎝⎛⎭⎫50πt －π3C ．I ＝300sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π3D ．I ＝300sin ⎝⎛⎭⎫100πt －π3 [解析]由图象得周期T ＝2⎝⎛⎭⎫1150＋1300＝150，最大值为300，图象经过点⎝⎛⎭⎫1150，0，则ω＝2πT ＝100π，A ＝300，∴I ＝300sin(100πt ＋φ)．∴0＝300sin ⎝⎛⎭⎫100π×1150＋φ. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0.取φ＝π3，∴I ＝300sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π3.9．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )A B C D[解析]令AP 所对圆心角为θ，由|OA |＝1，得l ＝θ，sin θ2＝d 2，∴d ＝2sin θ2＝2sin l2，即d ＝f (l )＝2sin l2(0≤l ≤2π)，它的图象为C.10．已知点P 是单位圆上的一个质点，它从初始位置P 0⎝⎛⎭⎫12，－32开始，按逆时针方向以角速度1 rad/s 做圆周运动，则点P 的纵坐标y 关于运动时间t (单位：s)的函数关系式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π3，t ≥0 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π6，t ≥0 C ．y ＝－cos ⎝⎛⎭⎫t －π3，t ≥0 D ．y ＝－cos ⎝⎛⎭⎫t －π6，t ≥0 [解析]由题意，知圆心角∠POP 0的弧度数为t ·1＝t ，则∠POx 的弧度数为t －π3，则由任意角的三角函数的定义，知点P 的纵坐标y ＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π3，t ≥0，故选A. 11．如图所示，点O 为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3 cm ，周期为3 s ，且物体向右运动到A 点(距平衡位置最远处)开始计时．(1)求物体离开平衡位置的位移x (cm)和时间t (s)之间的函数关系式； (2)求t ＝5 s 时，该物体的位置．[解析] (1)设位移x (cm)和时间t (s)之间的函数关系式为x ＝A sin(ωt ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0≤φ＜2π)，则由振幅为3 cm ，周期为3 s ，可得A ＝3，T ＝2πω＝3，得ω＝2π3.又物体向右运动到A 点(距平衡位置最远处)开始计时，∴当t ＝0时，x ＝3sin φ＝3，∴sin φ＝1. ∵0≤φ＜2π，∴φ＝π2，从而所求的函数关系式是x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2π3t ＋π2＝3cos 2π3t . (2)令t ＝5，得x ＝3cos 10π3＝－1.5，故t ＝5 s 时，该物体在O 点左侧且距O 点1.5 cm 处．12．已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s (cm)随时间t (s)的变化规律为s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题． (1)小球在开始振动(t ＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ [解析]列表如下：t －π6 π12 π3 7π12 5π6 2t ＋π30 π2 π 3π2 2π sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3 0 1 0 －1 0 s4－4描点、连线，图象如图所示．(1)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23，所以小球开始振动时的位移是2 3 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s .13．如图，弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s (cm)随时间t (s)的变化曲线是一个三角函数的图象．(1)经过多长时间，小球往复振动一次？ (2)求这条曲线的函数解析式；(3)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？ [解析] (1)由题图可知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫7π12－π12＝π，所以小球往复振动一次所需要的时间为π≈3.14 s.(2)可设该曲线的函数解析式为s ＝A sin(ωt ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)，t ∈[0，＋∞)，从题图中可以看出A ＝4，T ＝2×⎝⎛⎭⎫7π12－π12＝π.即2πω＝π，即ω＝2，将t ＝π12，s ＝4代入解析式，得sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1，解得φ＝π3. 所以这条曲线的函数解析式为s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)． (3)当t ＝0时，s ＝4sin π3＝23(cm)，故小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是2 3 cm.14．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面距离为h .(1)求h 与θ之间的函数关系式；(2)设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OB ；求h 与t 之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少[解析] (1)以圆心O 为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2.故B 点坐标为⎝⎛⎭⎫4.8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π2，4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2.∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2，θ∈[0，＋∞)． (2)点A 在圆上转动的角速度是π30，故t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4 m.由sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2＝1.得π30t －π2＝π2，∴t ＝30. ∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．15．交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6来表示，求： (1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．[解析] (1)当t ＝0时，E ＝1103(V)，即开始时的电压为110 3 V. (2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 3 V ，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300s 时第一次取得最大值．16．如图所示，摩天轮的半径为40 m ，O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮作匀速转动，每2 min 转一圈，摩天轮上点P 的起始位置在最高点．(1)试确定在时刻t min 时P 点距离地面的高度；(2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P 点距离地面超过70 m. [解析]建立如图所示的平面直角坐标系(1)设φ(0≤φ≤2π)是以Ox 为始边，OP 0为终边的角，OP 在t min 内转过的角为2π2t ，即πt ∴以Ox 为始边，OP 为终边的角为(πt ＋φ)，即P 点纵坐标为40sin(πt ＋φ)， ∴P 点距地面的高度为z ＝50＋40sin(πt ＋φ)，(0≤φ≤2π)，由题可知，φ＝π2，∴z ＝50＋40sin ⎝⎛⎭⎫πt ＋π2＝50＋40cosπt . (2)当50＋40cosπt ≥70时，解之得，2k －13≤t ≤2k ＋13，持续时间为23min.即在摩天轮转动一圈内，有23min P 点距离地面超过70 m.题型二三角函数模型的实际应用1．国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωπt ＋π4＋60(美元)(t (天)，A ＞0，ω＞0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t ＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________．[解析]因为A sin ⎝⎛⎭⎫ωπt ＋π4＋60＝80，sin ⎝⎛⎭⎫ωπt ＋π4≤1，所以A ＝20，当t ＝150(天)时达到最低油价，即sin ⎝⎛⎭⎫150ωπ＋π4＝－1，此时150ωπ＋π4＝2k π－π2，k ∈Z ，因为ω＞0，所以当k ＝1时，ω取最小值，所以150ωπ＋π4＝32π，解得ω＝1120.2．稳定房价是我国实施宏观调控的重点，国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，某市房地产中介对本市一楼盘的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y (每平方米的价格，单位：元)与第x 季度之间近似满足：y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：A ．10000元B ．9500元C ．9000元D ．8500元[解析]因为y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9500(ω>0)，所以当x ＝1时，500sin(ω＋φ)＋9500＝10000；当x ＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9500＝9500，所以ω可取3π2，φ可取π，即y ＝500sin ⎝⎛⎭⎫3π2x ＋π＋9500，当x ＝3时，y ＝9000.3．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)B ．f (x )＝9sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4(1≤x ≤12，x ∈N *) C ．f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N *) D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *) [解析]令x ＝3可排除D ，令x ＝7可排除B ，由A ＝9－52＝2可排除C ；或由题意，可得A ＝9－52＝2，b ＝7，周期T ＝2πω＝2×(7－3)＝8，∴ω＝π4.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ＋7. ∵当x ＝3时，y ＝9，∴2sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＋7＝9，即sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝1.∵|φ|<π2，∴φ＝－π4. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)． 4．动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知当时间t ＝0时，点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，32，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是( )A ．[0,1]B ．[1,7]C ．[7,12]D ．[0,1]和[7,12][解析]由已知可得该函数具有周期性，其周期T ＝12，不妨设该函数为y ＝a sin(ωx ＋φ)，(A >0，ω>0)， ∴ω＝2πT ＝π6.又∵当t ＝0时，A ⎝⎛⎭⎫12，32，∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋π3，t ∈[0,12]．可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．5．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y (m)在某天24 h 内的变化情况，则水面高度y 关于从夜间0时开始的时间x 的函数关系式为________________．[解析]设y 与x 的函数关系式为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，则A ＝6，T ＝2πω＝12，ω＝π6.当x ＝9时，y max ＝6.故π6×9＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z.取k ＝1得φ＝π，即y ＝－6sin π6x .6．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表：月份 1 234 5 6 7 8 9 10 11 12 平均温度－5.9－3.3 2.29.315.120.322.822.218.211.94.3－2.4A ．y ＝a cos πx6 B ．y ＝a cos (x －1)π6＋k (a ＞0，k ＞0)C ．y ＝－a cos (x －1)π6＋k (a ＞0，k ＞0)D ．y ＝a cos πx6－3[解析]当x ＝1时图象处于最低点，且易知a ＝－5.9＋22.82＞0.故选C.7．如图，为一半径为3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮自点A 开始1 min 旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3C ．ω＝2π15，A ＝5D ．ω＝152π，A ＝5[解析]由题目可知最大值为5，∴5＝A ×1＋2⇒A ＝3.T ＝15，则ω＝2π15.故选A.8．一半径为6米的水轮如图，水轮圆心O 距离水面3米，已知水轮每分钟转动4圈，水轮上点P 从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为________秒．[解析]过O 作水平线的垂线，垂足为Q ，由已知可得：OQ ＝3，OP ＝6，则cos ∠POQ ＝12，即∠POQ ＝60°，则水轮上点P 从水中浮现时开始到其第一次达到最高点要旋转120°，即13个周期，又由水轮每分钟转动4圈，可知周期是15秒，故用时为15×13＝5秒．9．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.[解析]由题意可知A ＝28－182＝5，a ＝28＋182＝23.从而y ＝5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)＋23. 故10月份的平均气温值为y ＝5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4＋23＝20.5.10．如图一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，当水轮上点P 从水中浮现(图中点P 0)时开始计算时间．(1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数； (2)求点P 第一次到达最高点需要多长时间？[解析] (1)如图，建立直角坐标系，设角φ⎝⎛⎭⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角，OP 每秒钟所转过的弧度为5×2π60＝π6，又水轮的半径为4 m ，圆心O 距离水面2 m ，所以z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋2. 当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数表达式为z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2.(2)令z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＝1.取π6t －π6＝π2，得t ＝4. 故点P 第一次到达最高点需要4 s.11．下表所示的是芝加哥1951～1981年的月平均气温().月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温73.071.964.753.539.827.7以月份为x 轴，x ＝月份－1，平均气温为y 轴建立直角坐标系． (1)描出散点图；(2)用正弦曲线去拟合这些数据； (3)这个函数的周期是多少？ (4)估计这个正弦曲线的振幅A ；(5)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？ ①y A ＝cos πx 6；②y －46A ＝cos πx6； ③y －46－A＝cos πx 6；④y －26A ＝sin πx6.[解析] (1)(2)根据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如图所示．(3)1月份的平均气温最低，为21.4 ，7月份的平均气温最高，为73.0 ，根据散点图知T2＝7－1＝6，所以T ＝12.(4)2A ＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，所以A ＝25.8. (5)因为x ＝月份－1，所以不妨取x ＝2－1＝1，y ＝26.0，代入①，得y A ＝26.025.8>1≠cos π6，所以①不适合．代入②，得y －46A ＝26.0－4625.8<0≠cos π6，所以②不适合，同理，④不适合，所以③最适合．12．已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24，记y ＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y1.51.00.51.01.510.50.991.5经长期观测，y ＝f (t )的图象可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b 的图象． (1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？[解析] (1)由表中数据可知，T ＝12，∴ω＝π6.又t ＝0时，y ＝1.5，∴A ＋b ＝1.5；t ＝3时，y ＝1.0，得b ＝1.0，所以振幅为12，函数解析式为y ＝12cos π6t ＋1(0≤t ≤24)．(2)∵y ＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y ＝12cos π6t ＋1＞1，cos π6t ＞0,2k π－π2＜π6t ＜2k π＋π2，即12k －3＜t ＜12k ＋3，(k ∈Z)．又0≤t ≤24，所以0≤t ＜3或9＜t ＜15或21＜t ≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t ＜15.13．如图所示，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式；(其中t 以年初以来的月为计量单位) (2)估计当年3月1日动物种群数量．[解析] (1)设种群数量y 关于t 的解析式为y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋b ＝700，A ＋b ＝900，解得A ＝100，b ＝800.又周期T ＝2×(6－0)＝12，∴ω＝2πT ＝π6，∴y ＝100sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋800. 又当t ＝6时，y ＝900，∴900＝100sin ⎝⎛⎭⎫π6×6＋φ＋800，∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，∴取φ＝－π2，∴y ＝100sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π2＋800. (2)当t ＝2时，y ＝100sin ⎝⎛⎭⎫π6×2－π2＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750. 14．已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x －5π4＋20，x ∈[4,16]．(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？[解析] (1)由函数易知，当x ＝14时函数取最大值，即最高温度为30 ℃；当x ＝6时函数取最小值，即最低温度为10 ℃.所以，最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.(2)令10sin ⎝⎛⎭⎫π8x －5π4＋20＝15，可得sin ⎝⎛⎭⎫π8x －5π4＝－12.而x ∈[4,16]，所以x ＝263.令10sin ⎝⎛⎭⎫π8x －5π4＋20＝25，可得sin ⎝⎛⎭⎫π8x －5π4＝12，而x ∈[4,16]，所以x ＝343.故该细菌的存活时间为343－263＝83小时．15．心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin 160πt ，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p (t )的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)画出函数p (t )的草图；(4)求出此人的血压在血压计上的读数．[解析] (1)由于ω＝160π，代入周期公式T ＝2π|ω|，可得T ＝2π160π＝180(min)，所以函数p (t )的周期为180 min.(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率f ＝1T ＝80(次)．(3)列表：t 0 1320 1160 3320 180 p (t )11514011590115描点、连线并向左右扩展得到函数p (t )的简图如图所示：(4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg ，舒张压为90 mmHg.16．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h ，低潮时水的深度为8.4 m ，高潮时为16 m ，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d (m)与时间t (h)近似满足关系式d ＝A sin(ωt ＋φ)＋h .(1)若从10月10日0：00开始计算时间，试用一个三角函数来近似描述该港口的水深d (m)和时间t (h)之间的函数关系；(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m) (3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m?[解析] (1)依题意知T ＝2πω＝12，故ω＝π6，h ＝8.4＋162＝12.2，A ＝16－12.2＝3.8，所以d ＝3.8sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋12.2；又因为t ＝4时，d ＝16，所以sin ⎝⎛⎭⎫4π6＋φ＝1，所以φ＝－π6，所以d ＝3.8sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋12.2.(2)t ＝17时，d ＝3.8sin ⎝⎛⎭⎫17π6－π6＋12.2＝3.8sin 2π3＋12.2≈15.5(m)． (3)令3.8sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋12.2<10.3，有sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＜－12，因此2k π＋7π6＜π6t －π6<2k π＋11π6(k ∈Z)，所以2k π＋4π3<π6t <2k π＋2π(k ∈Z)，所以12k ＋8<t <12k ＋12.令k ＝0，得t ∈(8,12)；令k ＝1，得t ∈(20,24)．故这一天共有8 h 水深低于10.3 m.17．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入，为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？[解析] (1)设该函数为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f (2)最小，f (8)最大，且f (8)－f (2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f (x )在[2，8]上单调递增，且f (2)＝100，所以f (8)＝500.根据上述分析可得，2πω＝12，故ω＝π6，且⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋B ＝100，A ＋B ＝500，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝200，B ＝300.根据分析可知，当x ＝2时，f (x )最小，当x ＝8时，f (x )最大，故sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝－1，且sin ⎝⎛⎭⎫8×π6＋φ＝1.又因为0＜|φ|＜π，故φ＝－5π6. 所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f (x )＝200sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6＋300. (2)由条件可知，200sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6＋300≥400，化简，得sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6≥12⇒2k π＋π6≤π6x －5π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，解得12k ＋6≤x ≤12k ＋10，k ∈Z. 因为x ∈N *，且1≤x ≤12，故x ＝6，7，8，9，10.即只有6，7，8，9，10五个月份要准备400份以上的食物．18．某港口水深y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：(1)试根据数据表和曲线，求出y ＝A sin ωt ＋B 的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)[解析] (1)从拟合的曲线可知，函数y ＝A sin ωt ＋B 的一个周期为12小时，因此ω＝2πT ＝π6.又y min ＝7，y max ＝13，∴A ＝12(y max －y min )＝3，B ＝12(y max ＋y min )＝10.∴函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10(0≤t ≤24)．(2)由题意，得水深y ≥4.5＋7，即y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，t ∈[0,24]，∴sin π6t ≥12，π6t ∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6，k ＝0,1，∴t ∈[1,5]或t ∈[13,17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港．若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．19．通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象.2018年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2℃.(1)求出该地区该时段的温度函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π，x ∈[0,24))的表达式； (2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？[解析] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋b ＝14，－A ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝8，b ＝6，易知T 2＝14－2，所以T ＝24，所以ω＝π12，易知8sin ⎝⎛⎭⎫π12×2＋φ＋6＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫π12×2＋φ＝－1，故π12×2＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π，得φ＝－2π3，所以y ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π12x －2π3＋6(x ∈[0,24))．(2)当x ＝9时，y ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π12×9－2π3＋6＝8sin π12＋6<8sin π6＋6＝10.所以届时学校后勤应该开空调． 20．如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC ，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD 是函数y ＝k x (k >0)的图象的一部分，后一段DBC 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈[4，8])的图象，图象的最高点为B ⎝⎛⎭⎫5，833，且DF ⊥OC ，垂足为点F .(1)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式；(2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE ，点P 在曲线OD 上，其横坐标为43，点E 在OC 上，求儿童乐园的面积． [解析] (1)由图象，可知A ＝833，ω＝2πT ＝2π4×（8－5）＝π6，将B ⎝⎛⎭⎫5，833代入y ＝833sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ中，得5π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝2k π－π3(k ∈Z)．因为|φ|<π2，所以φ＝－π3，故y ＝833sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3.(2)在y ＝833sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3中，令x ＝4，得D (4，4)，从而得曲线OD 的方程为y ＝2x (0≤x ≤4)，则P ⎝⎛⎭⎫43，433，所以矩形PMFE 的面积为S ＝⎝⎛⎭⎫4－43×433＝3239，即儿童乐园的面积为3239.。

利用三角函数解决实际问题的方法

利用三角函数解决实际问题的方法三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于实际问题的解决中。

无论是在物理、工程还是日常生活中，三角函数都能提供有效的数学工具，帮助我们解决各种实际问题。

本文将介绍一些利用三角函数解决实际问题的方法，并举例说明其应用。

一、测量高度在实际生活中，我们经常需要测量物体的高度，如建筑物、树木等。

利用三角函数的正弦定理，我们可以通过测量物体的底边与其顶端的角度，以及观察者与物体的距离，计算出物体的高度。

假设观察者离物体的距离为d，底边与顶端的角度为θ，物体的高度为h，则有以下公式：h = d * sin(θ)通过测量角度和距离，我们就可以准确地计算出物体的高度。

二、解决航海导航问题在航海导航中，我们常常需要计算船只的位置和航向。

利用三角函数的正切定理，我们可以通过测量船只与目标点之间的角度和距离，计算出船只需要调整的航向角度。

假设船只与目标点之间的角度为α，距离为d，船只需要调整的航向角度为β，则有以下公式：β = α - tan⁻¹(d)通过测量角度和距离，我们可以确定船只需要调整的航向角度，从而准确导航。

三、计算力的合成在力学中，我们常常需要计算多个力的合成。

利用三角函数的正弦和余弦定理，我们可以将多个力的大小和方向进行合成。

假设有两个力F1和F2，夹角为θ，合成后的力为F，则有以下公式：F = √(F1² + F2² + 2F1F2cosθ)通过计算多个力的合成，我们可以得到最终的力大小和方向，为力学问题的解决提供便利。

四、计算角度和距离在工程测量中，我们经常需要计算两点之间的角度和距离。

利用三角函数的反正弦和反余弦定理，我们可以通过已知的两点坐标，计算出两点之间的角度和距离。

假设两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，两点之间的角度为α，距离为d，则有以下公式：α = atan2(y2 - y1, x2 - x1)d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)通过计算角度和距离，我们可以准确测量两点之间的位置和距离。

三角函数应用题

三角函数应用题在数学中，三角函数是一类描述角和三角形之间关系的函数。

它们在几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

今天我们就来看几个关于三角函数的实际应用题。

题目一：船长测量船到岸边的距离某船长在海上航行，他利用望远镜测量船到岸边的距离为450米，角度为30°。

请帮助船长计算船实际距离岸边的距离。

解题思路：根据三角函数中正弦函数的定义，正弦函数是对边与斜边的比值。

设实际距离为x，则sin30°=450/x，解得x=450/sin30°≈900米。

题目二：高楼顶部的钢丝张力某座高楼的屋顶有一根斜着的钢丝，已知钢丝与地面的夹角为60°，钢丝的长度为200米。

求钢丝的张力。

解题思路：根据三角函数中余弦函数的定义，余弦函数是邻边与斜边的比值。

设钢丝张力为T，则cos60°=邻边/200，解得邻边=200cos60°≈100米。

再根据正弦函数的定义，sin60°=钢丝张力/200，解得钢丝张力=200sin60°≈173.21牛顿。

题目三：天文测距天文学家利用角度差测量两颗星星间的距离，已知两颗星星的距离为400光年，夹角为20°。

根据此信息，求两颗星星间的实际距离。

解题思路：根据正切函数的定义，切线函数是对边与邻边的比值。

设实际距离为d，则tan20°=400/d，解得d=400/tan20°≈1152.32光年。

通过以上几个实际应用题，我们可以看到三角函数在解决各种实际问题中的重要性和实用性。

希望大家在学习三角函数的过程中能够灵活运用，将数学知识与实际应用相结合，更好地理解和掌握相关知识。

三角函数不仅仅是一堆抽象的公式，更是与我们的生活息息相关的数学工具。

愿大家在学习中取得更好的成绩！。

巧用三角函数解物理题(一题多解)

巧用三角函数解物理题数学是自然科学的皇后与奴仆。

数学中的许多知识在物理解题中都有非常广泛的应用，如三角函数知识在解力、热、光学题，特别是竞赛题时，有着十分独特的作用。

平时解题时，若能注意引导学生充分利用三角函数知识解决相关物理题，不仅会简化解题过程，而且对增强学生逻辑思维能力，提高解题速度，都大有裨益。

一、三角函数与追击中的最值问题例1.如右图所示，某人站在距公路40m 的A 处，发现公路上有一汽车从B 处以的速度沿公路匀速行驶，已知AB 相距100m ，问此人最少要以多大的速度沿什么方向奔跑才能与汽车相遇？解析：本题在审题时切莫以为只要人奔跑的速度最小，跑的路程就应最短，得出应沿与公路垂直的方向，即AO 方向奔跑的错误结论来。

因为速度的大小，不单纯地取决于路程的长短，还受到通过该路程所能用的时间的限制。

解法一：设人应沿与AB 成θ角的方向奔跑，经时间t 与汽车在C 处相遇（如右图），则：s BC v t s AC v t 车人人，====0.过B 点作BD ⊥AC ，垂足为D.因为△BCD ∽△ACO,所以B D B C A O A C=.又因为BD AB =sin θ,所以0sin v t AB BC AO AC v t θ==人,即04/sin sin v AO v m s AB θθ==人·. 显然要v 人最小，sin θ要最大，sin θθ==︒190，，此时，v m s 人min /=4。

即此人最少以4m/s 的速度沿垂直于AB 的方向奔跑，才能与汽车相遇。

解法二：设人以速度v 朝某一方向奔跑经过t 时间与汽车相遇在C 点，如右图所示。

根据题意，得010BC v t t ==，根据勾股定理得OB ==，1010(OC BC OB t t =-=-=，勾股定理222OC OA AC +=，222210(40()t vt +=，简化为关于t 的一元二次方程22(100)100000t v --+=，存在解则2224(100)1000040000(84100)v v ∆=--⨯=-+，2160v -≥，即4/v m s ≥，当以最小速度min 4/v m s =运动时，此时对应的t ===，40cos 4θ=====，即与OA成偏右arc θ=二、三角函数与杠杆中的最值问题例2.如右下图所示，一根4m 长的木杆下端用铰链固定在地面上，杆顶有一根绳子水平向左拉，拉力恒为T ，杆的右边用一根铁丝欲将杆竖直固定在地面上，铁丝长为4m ，为了使铁丝上的拉力最小，其上端A 应固定在杆上离地面多高的地方？解析：由于木杆上端所受水平向左的拉力T 一定，其力臂长也为定值（等于CD 的长），故影响铁丝上拉力F 变化的原因只有一个，就是其力臂DE 的长短，而DE 长短的变化又是受AB倾斜程度控制的，AB 的倾斜程度我们可用AB 与地面间的夹角θ的大小来衡量。

巧用三角函数解答初中物理问题

巧用三角函数解答初中物理问题随着物理学的发展，三角函数已被广泛应用于解决各种初中物理问题。

三角函数能帮助我们解决重力、感应电流、摩擦力等物理问题。

三角函数以它独特的属性迅速准确地解决了初中物理学问题。

首先，当讨论重力时，三角函数能快速准确地表示重力的定义和其与角度的关系。

奥林匹斯定律中提到，重力和角度之间的关系可以用三角函数的形式表示，即斯特里克斯定律。

它指出了引力与角度之间的关系，表明当角度变化时，重力的大小也发生变化。

此外，三角函数也被广泛用于解决感应电流问题。

振荡电路是一个有时间推测的电路，用来推测当前电流的强度。

在振荡电路中，感应电流可以借助三角函数来解决，因为其能够快速准确地表示感应电流的定义和其与角度的关系。

再者，三角函数在解决摩擦力问题中也有着重要作用。

摩擦力是一种横向力，它能够使物体在表面上停止或移动。

在使用三角函数计算摩擦力时，我们可以通过它的不同形式来求解物体的位移，从而确定摩擦力的大小。

最后，如果你思考三角函数如何解决初中物理问题，可以看到三角函数的用途很多。

三角函数的强大功能可以帮助我们求解重力、感应电流和摩擦力等初中物理学问题，从而可以节省许多时间，准确解决问题，提高学习和工作效率。

综上所述，随着物理学的发展，三角函数在解决初中物理学问题方面表现出了它强大的作用。

它不仅可以帮助我们快速准确地了解重力、感应电流和摩擦力的定义及其与角度的关系，而且还能提高学习和工作效率，节省时间。

当然，解决初中物理问题除了要使用三角函数外，还需要用到物理学中的其他知识，比如物理定律，物理学原理，等等。

只有彻底理解和掌握这些基本物理学知识，才能有效解决初中物理学问题。

1.5 三角函数的应用(分层练习)(解析版)

第一章直角三角形的边角关系1.5 三角函数的应用精选练习一、单选题1．（2022·江苏泰州·九年级期中）一条上山直道的坡度为17∶，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为（）A ．700米B．米C．米D．2．（2022·吉林省第二实验学校九年级阶段练习）某书店拿取高处书籍的登高梯如图位置摆放，登高梯AC 的顶端A 恰好放在书架的第七层的顶端．已知登高梯的长度AC 为3米，登高梯与地面的夹角ACB Ð为72o ，则书架第七层顶端离地面的高度AB 为（）A ．3sin 72°米B ．3sin 72o 米C ．3cos 72°米D ．3cos 72o米3．（2022·江苏苏州·九年级期中）如图，小王在高台上的点A 处测得塔底点C 的俯角为α，塔顶点D 的仰角为β，已知塔的水平距离AB a =，则此时塔高CD 的长为（）A ．sin sin a a a b +B ．tan tan a a a b +C ．tan tan aa b +D ．tan tan tan tan a a b a b+【答案】B【分析】在Rt △ABD 和Rt ABC △中，利用锐角三角函数求出,BD BC ，即可求解．【详解】解：根据题意得：90ABD ABC Ð=Ð=°，在Rt △ABD 中，tan tan BD AB a b b ==，在Rt ABC △中，tan tan BC AB a a a ==，∴tan tan CD BD BC a a a b =+=+．即此时塔高CD 的长为tan tan a a a b +．故选：B【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．4．（2022·山东济南·模拟预测）小明去爬山，在山脚A 看山顶D 的仰角30CAD Ð=°，小明在坡比为5:12的山坡上走1300米到达B 处，此时小明看山顶的仰角60DBF Ð=°，则山高CD 为（）米A ．(600-B ．()250C ．(350+D ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．5．（2022·河北石家庄·九年级期中）如图，一块矩形薄木板ABCD 斜靠在墙角MON 处（OM ON ^，点A ，B ，C ，D ，O ，M ，N 在同一平面内），已知AB m =，AD n =，ADO a Ð=，则点B 到ON 的距离等于（）A ．cos cos m n a a×+×B ．sin cos m n a a ×+×C ．cos sin m n a a×+×D ．sin sin m n a a×+×过点B 作BH ON ^于H ∴B 到ON 的距离是BH ∵OM ON ^，矩形ABCD ∴BAQ DAO DAO Ð+Ð=Ð∴ADO BAQ a Ð=Ð=，6．（2022·河北·石家庄市第四十二中学九年级期中）如图，沿AB 方向架桥BD ，以桥两端B D 、出发，修公路BC 和DC ，测得150ABC Ð=°，1800BC =m ，105BCD Ð=°，则公路DC 的长为（）A ．900mB ．mC ．mD ．1800m【点睛】本题考查解直角三角形和三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键．二、填空题7．（2022·广西贵港·九年级期中）桔棉，亦叫“桔皋”，我国古代井上汲水的工具.它是在井旁架上设一杠杆，杠杆上竹竿一端A 处系绳子，绳子另一端悬绑汲器，竹竿另一端B 处绑石块等重物，用不大的力量即可将灌满水的汲器提起，桔棒的使用体现了我国古代劳动人民的智慧.如图是《天工开物·水利》中的桔棉图，若竹竿A ，B 两处的距离为12m ，当汲器伸到井口时，绳子受重力作用垂直于水平面，此时竹竿AB 与绳子的夹角为53°，则绑重物的B 端与悬绑汲器的绳子之间的距离是_______m.（忽略提水时竹竿产生的形变）（参考数据：sin 530.8cos530.6tan 53 1.3°»°»°»，，）由题意得，在Rt ABC △∴sin BC AB BAC =Ðg ，∵12m AB BAC =Ð=，∴()120.89.6m BC »´=，故答案为：9.6．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形相关知识是解题的关键．8．（2022·山东·淄博市张店区第九中学九年级期中）倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．小明买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，图2是该自行车的车架示意图，上管36cm AC =，且上管AC 与立管AB 互相垂直，下管45cm BC =，座管AE 可以伸缩，点A B E ，，在同一条直线上，且75ABD Ð=°．若座管AE 伸长到18cm ，则座垫E 到后下叉BD 的距离为______cm ．（结果精确到1cm ，参考数据sin750.97°»，cos750.26°»，tan75 3.73°»）∵45cm BC =，36cm AC =，∴22245AB BC AC =-=-在Rt FBE V 中，sin EF EB =´故答案为：44．9．（2022·山东济南·九年级期中）如图，太阳光线与地面成30°的角，照射在小木棒AB 上，小木棒在地面上的投影CD 的长是8cm ，则小木棒AB 的长是______cm ．10．（2022·江苏苏州·九年级期中）一艘观光游船从港口A 以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C 处时发生了侧翻沉船事故．一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援．海警船大约需_____小时到达事故船C 处，(sin 530.8cos530.6°»°»，)【点睛】本题考查了解直角三角形的应用键．三、解答题11．（2022·重庆市万盛经济技术开发区溱州中学九年级期中）隋唐洛阳城国家遗址公园里有一地标性建筑物——明堂天堂．现已成为中外游客到洛阳旅游打卡的网红地、如图，天堂外观5层，内部9层，由建筑主体、台基和宝顶三部分组成．为测量天堂AB （左边较高的建筑物）的高度，几名中学生在天堂旁边明堂的台基E 处测得天堂建筑主体顶端C 处的仰角为22°，往前水平行进14米至F 处，测得天堂顶端点A 的仰角为30°，已知天堂宝顶AC 高188．米，明堂台基EF 距地面DB 的高DE 为10米，请计算天堂AB 的高的值．（结果精确到1米；参考数据：sin 220.37°»，cos 220.93°»，tan 220.40°» 1.73»）12．（2022·江苏苏州·九年级期中）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图2是其侧面结构示意图（MN 是基座的高，MP 是主臂，PQ 是伸展臂）．已知基座高度MN 为0.5米，主臂MP长为α的范围是：060a °<£°，伸展臂伸展角β的范围是：45135b °££°．(1)如图3，当45a =°时，伸展臂PQ 恰好垂直并接触地面，伸展臂PQ 长为米；(2)若（1）中PQ 长度不变，求该挖掘机最远能挖掘到距点N 水平正前方多少米的土石．（结果保留根号）∵45a =°，∴PHM V 为等腰直角三角形，∴sin 3PH PM a ==∴45QPH Ð=°，∴sin 45 3.5QH PH PQ ==°=´∴7232MH MPPH =+=+一、填空题1．（2022·陕西汉中·九年级期末）某区域平面示意图如图所示，AB 和BC 是两条互相垂直的公路，800AB =米，甲勘测员在A 处测得点D 位于北偏东45°，乙勘测员在C 处测得点D 位于南偏东60°，300CD =米，则公路BC 的长为___________米．（结果保留根号）的面积为___________米2【分析】延长BA 交CD 于G 点，在Rt EFB D 中，根据锐角三角函数定义求出EF ，在Rt CGA V 中，根据锐角则3CG BF ==（米），由题意得：30EBF Ð=°，在Rt EFB D 中，tan BF EF =在Rt CGA V 中，AG CG =∴1AB CE EF AG =+-=+3．（2022·江苏苏州·九年级期中）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M 在旋转中心O 的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA OB ，，此时各叶片影子在点M 右侧成线段CD ，设太阳光线与地面的夹角为a ，测得2tan 3a ＝，8.5m 13m MC CD ＝，＝，风车转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 _____m ．4．（2022·浙江温州·八年级期中）如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示(单位：cm)且AF BE ∥，60BAF Ð=°，10BD =，箱盖开起过程中，点A ，C ，F 不随箱盖转动，点B ，D ，E 绕点A 沿逆时针方向转动90°，即90BAB ¢Ð=°分别到点B ¢，D ¢，E ¢的位置，气簧活塞杆CD 随之伸长CD ¢已知直线BE B E ¢¢^，CD CB ¢=，那么AB 的长为______cm ，CD ¢的长为______cm ．5．（2022·山东威海·九年级期中）如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为α，a=，无人机沿水平线AF方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为30°．无tan2MC=米，则河流的宽度CD为人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，其中100______．\ME AB==，AM BEÐ=，tan由已知可得：BAC a\80Ð==米，ACMME ABAM二、解答题6．（2022·山东东营·九年级期中）如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向（北偏东45°），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的北偏东15°方向，距离80千米的地方有一城市B，问：B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用—方向角问题以及勾股定理的应用．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键．7．（2022·江苏苏州·九年级期中）一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长50cm AB =，拉杆最大伸长距离30cm BC =，（点A 、B 、C 在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮A e ，A e 与水平地面切于点D ，AE DN ∥，某一时刻，点B 距离水平地面40cm ，点C 距离水平地面61cm ．(1)求圆形滚轮的半径AD 的长；(2)当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C 处且拉杆达到最大延伸距离时，点C 距离水平地面66.6cm ，求此时拉杆箱与水平面AE 所成角CAE Ð的大小（精确到1°，参考数据：sin500.77°»，cos500.64°»，tan50 1.19°»）．【答案】(1)5cmAD =(2)50CAE °Ð=【分析】（1）作BH AF ^于点G ，交DM 于点H ，则ABG ACF ∽V V ，设圆形滚轮的半径AD 的长是cm x ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列方程求得x 的值；（2）根据题意求得CF 的长，在Rt ACF V 中，求得sin CAE Ð，即可求得CAE Ð的度数．【详解】（1）解：设圆形滚轮的半径AD 的长是cm x ，作BH AE ^于点G ，交DM 于点H ，则BG CF ∥，∴ABG ACF ∽V V ，∴BG AB CF AC=，即4050615030x x -=-+，8．（2022·江苏苏州·九年级期中）如图，水坝的横截面是梯形()DC AB ABCD ∥，迎水坡BC 的坡角a 为30°，背水坡AD 的坡度i 为1:1.2，坝项宽 2.5DC =米，坝高5米．求：(1)坝底宽AB 的长（结果保留根号）；(2)在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD 加宽0.5米，背水坡AD 的坡度改为1:1.4，求横截面增加的面积（结果保留根号）。

巧借三角函数定义妙解2024年高考题

巧用三角函数定义，妙解2024年高考题近年来，高考数学的题目越来越注重考查学生的综合运用能力和创新思维。

其中，三角函数作为高中数学的重要知识点，常常出现在高考试题中。

本文将通过巧用三角函数定义，妙解2024年高考题。

`x−1/3=y−1/4=z`(1)证明：AD⊥AE且DG⊥GF.(2)求证：∠DGF不是直角。

(3)设∠DGF=α，求平面DGF与平面ABC的夹角。

首先，我们需要利用三角函数的定义来解决这道题目。

对于一般的三角形ABC，我们可以利用向量AB和向量AC的点乘来求解夹角BAC的余弦值，然后通过反余弦函数求解夹角BAC的角度值。

(1)首先，我们可以通过坐标点A(1,3,1)和直线l的方程来求解线段AD和AE的方向向量。

分别计算得到：向量AD=(1-1,3-1/4,1-1/3)=(0,3/4,2/3)向量AE=(1-1,1-1/4,1-1/3)=(0,-1/4,-2/3)然后，我们可以通过计算这两个方向向量的点乘来判断它们是否垂直。

即：AD·AE=0*0+(3/4)*(-1/4)+(2/3)*(-2/3)=0由于AD和AE的点乘等于0，所以可以证明AD⊥AE。

同样的方法，我们可以计算线段DG和GF的方向向量，并判断它们是否垂直。

结果证明也成立。

(2)我们需要求解∠DGF的角度值。

根据题目已知条件，我们可以通过向量DG和向量GF的点乘来计算它们的夹角余弦值。

向量DG和向量GF 的计算结果分别为：向量DG=(4-1,-1/4-3,-2/3-1)=(3,-17/4,-5/3)向量GF=(4-1,1-3/4,1-2/3)=(3,5/4,1/3)接下来，我们计算两个向量的点乘，并通过反余弦函数求夹角DGF的角度值。

计算得到：DG·GF=3*3+(-17/4)*(5/4)+(-5/3)*(1/3)=46/8=23/4cos∠DGF = (DG·GF)/(，DG，*，GF，) ≈ (23/4)/(，(3, -17/4, -5/3)，*，(3, 5/4, 1/3)，)因为夹角DGF的余弦值不等于0，所以可以证明∠DGF不是直角。

专题01 三角函数的实际应用(解析版)

一、三角函数的实际应用知识点拨一、在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：定义边范围数量关系正弦斜边的对边A A ∠=sin c a A =sin 1sin 0<<A (∠A 为锐角)余弦斜边的邻边A A ∠=cos cb A =cos 1cos 0<<A (∠A 为锐角)B A cos sin =BA sin cos =1cos sin 22=+A A 正切的邻边的对边A tan ∠∠=A A baA =tan 0tan >A (∠A 为锐角)余切的对边的邻边A A A ∠∠=cot ab A =cot 0cot >A (∠A 为锐角)B A cot tan =B A tan cot =AA cot 1tan =(倒数)1cot tan =⋅AA 二、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值三角函数0°30°45°60°90°αsin 02122231αcos 12322210αtan 03313不存在αcot 不存在31330三、常见术语：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

对边邻边AC(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即hi l =。

坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi l α==。

例题演练一．选择题（共20小题）1．如图，为了测量旗杆AB 的高度，小明在点C 处放置了高度为2米的测角仪CD ，测得旗杆顶端点A 的仰角∠ADE ＝50.2°，然后他沿着坡度为i ＝的斜坡CF 走了20米到达点F ，再沿水平方向走8米就到达了旗杆底端点B ．则旗杆AB 的高度约为（）米．（参考数据：sin50.2°≈0.77，cos50.2°≈0.64，tan50.2°≈1.2）．A ．8.48B ．14C ．18.8D ．30.8【解答】解：如图，延长AB 交水平线于M ，作FN ⊥CM 于N ，延长DE 交AM 于H ．:i h l=hlα在Rt△CFN中，∵＝，CF＝20米，∴FN＝BM＝12米，CN＝16米，∴DH＝CM＝16+8＝24米，在Rt△ADH中，AH＝DH•tan50.2＝24×1.2＝28.8米，∴AB＝AM﹣BM＝AH+HM＝BM＝28.8+2﹣12＝18.8米，故选：C．2．我校兴趣小组同学为测量校外“御墅临枫”的一栋电梯高层AB的楼高，从校前广场的C 处测得该座建筑物顶点A的仰角为45°，沿着C向上走到30米处的D点．再测得顶点A 的仰角为22°，已知CD的坡度：i＝1：2，A、B、C、D在同一平面内，则高楼AB的高度为（）（参考数据；sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）A．60B．70C．80D．90【解答】解：作AH⊥ED交ED的延长线于H，设DE＝x米，∵CD的坡度：i＝1：2，∴CE＝2x米，由勾股定理得，DE2+CE2＝CD2，即x2+（2x）2＝（30）2，解得，x＝30，则DE＝30米，CE＝60米，设AB＝y米，则HE＝y米，∴DH＝y﹣30，∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝y，∴AH＝BE＝y+60，在Rt△AHD中，tan∠DAH＝，则≈0.4，解得，y＝90，∴高楼AB的高度为90米，故选：D．3．小敏利用无人机测量某座山的垂直高度AB．如图所示，无人机在地面BC上方130米的D 处测得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°．已知AC的坡度为1：0.75，点A ，B，C，D在同一平面内，则此山的垂直高度AB约为（）（参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40）A．146.4米B．222.9米C．225.7米D．318.6米【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H，过点C作CR⊥DH于R，设AB＝x米，则AH＝（x﹣130）米．∵AB：BC＝1：0.75，∴BC＝RH＝0.75x（米），BH＝CR＝130米，在Rt△DCR中，DR＝＝＝65（米），∵tan∠ADH＝，∴＝0.4，解得x≈222.9，∴AB＝222.9（米），故选：B．4．重庆实验外国语学校某数学兴趣小组，想测量华岩寺内七佛塔的高度，他们在点C处测得七佛塔顶部A处的仰角为45°，再沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡CD向上走了5.2米到达点D，此时测得七佛塔顶部A的仰角为37°，七佛塔AB所在平台高度EF为0.8米，则七佛塔AB的高约为（）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．20.8B．21.6C．23.2D．24【解答】解：根据题意可知：∠AHC＝90°，∠ACH＝45°，∴AH＝HC，∵DN：NC＝i＝1：2.4，CD＝5.2米，∴DN＝2米，CN＝4.8米，设DG⊥AB，垂足为G，在Rt△ADG中，∠ADG＝37°，∵AG＝AB﹣GB＝AB﹣（DN﹣EF）＝AB﹣1.2，又DG＝NH＝CN+HC＝4.8+AH＝4.8+AB+0.8＝AB+5.6，∴tan∠ADG＝，∴×（5.6+AB）≈AB﹣1.2，解得AB＝21.6（米），答：碧津塔AB的高约为21.6米．故选：B．5．春节期间，某老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤AB的坡度为1：2.4，AB长为5.2米，钓竿AC与水平线的夹角是60°，其长为6米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角也是60°，则浮漂D与河堤下端B 之间的距离约为（）（参考数据：＝1.732）A．2.33米B．2.35米C．2.36米D．2.42米【解答】解：如图，延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥BE于点F，则∠CED＝60°，∵AB的坡比为1：2.4，∴＝＝，设AF＝5x，BF＝12x，在Rt△ABF中，由勾股定理知，5.22＝25x2+144x2．解得：x＝0.4，∴AF＝5x＝2（米），BF＝12x＝4.8（米），由题意得：AC＝6米，∠CAG＝∠C＝60°，AG∥DF，∴∠EAF＝90°﹣60°＝30°，∠AEF＝∠CAG＝60°，∴EF＝AF＝（米），AE＝2EF＝（米），∵∠C＝∠CED＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴DE＝CE＝AC+AE＝（6+）米，∵BD＝DE﹣EF﹣BF＝6+﹣﹣4.8≈2.35（米），即浮漂D与河堤下端B之间的距离约为2.35米，故选：B．6．如图，为测量观光塔AB的高度，冬冬在坡度i＝1：2.4的斜坡CD的D点测得塔顶A的仰角为52°，斜坡CD长为26米，C到塔底B的水平距离为9米．图中点A，B，C，D在同一平面内，则观光塔AB的高度约为（）米．（结果精确到0.1米，参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）A．10.5米B．16.1米C．20.7米D．32.2米【解答】解：如图，延长AB交过点D的水平面于F，作CE⊥DF于E，由题意得：CD＝26米，BC＝EF＝9米，BF＝CE，在Rt△CDE中，i＝1：2.4，CD＝26米，∴BF＝CE＝10米，ED＝24米，在Rt△AFD中，∠AFD＝90°，FD＝EF+ED＝33米，∠ADF＝52°，∴AF＝FD•tan52°≈33×1.28＝42.24（米），∴AB＝AF﹣BF＝42.24﹣10≈32.2（米）；即建筑物AB的高度为32.2米；故选：D．7．如图，一棵松树AB挺立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为52米，坡度为i＝12：5，小张从与点C相距60米的点D处向上爬12米到达观景台DE的顶端点E，在此测得松树顶端点A的仰角为39°，则松树的高度AB约为（）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）A．16.8米B．28.8米C．40.8米D．64.2米【解答】解：延长AB交DC的延长线于H，作EF⊥AH于F，则四边形EDHF为矩形，∴FH＝DE＝12米，EF＝DH，∵斜坡CB的坡度为t＝12：5，∴设BH＝12x，CH＝5x，由勾股定理得，（5x）2+（12x）2＝522，解得，x＝4，则BH＝12x＝48米，CH＝5x＝20米，则EF＝DH＝DC+CH＝60+20＝80（米），在Rt△AEF中，tan∠AEF＝，则AF＝EF•tan∠AEF≈80×0.81＝64.8（米），∴AB＝AF+HF﹣BH＝64.8+12﹣48＝28.8（米），故选：B．8．小明和好朋友一起去三亚旅游，他们租住的酒店AB坐落在坡度为i＝1：2.4的斜坡CD上，酒店AB高为129米．某天，小明在酒店顶楼的海景房A处向外看风景，发现酒店前有一座雕像C（雕像的高度忽略不计），已知雕像C距离海岸线上的点D的距离CD为260米，雕像C与酒店AB的水平距离为36米，他站在A处还看到远处海面上一艘即将靠岸的轮船E的俯角为27°．则轮船E距离海岸线上的点D的距离ED的长大约为（）米．（参考数据：tan27°≈0.5，sin27°≈0.45）A．262B．212C．244D．276【解答】解：如图，延长AB交ED的延长线于G，过C作CH⊥DG于H，CF⊥BG于F，则四边形CFGH是矩形，∴HG＝CF＝36（米），FG＝CH，在Rt△CDH中，CD＝260米，CH：DH＝1：2.4，∴CH＝100（米），DH＝240（米），在Rt△BCF中，CF＝36米，BF：CF＝1：2.4，∴BF＝15（米），FG＝CH＝100（米），∴DG＝DH+HG＝276（米），AG＝AB+BF+FG＝244（米），∵tan27°＝≈0.5，即≈，解得：DE≈212（米），故选：B．9．保利观澜旁边有一望江公园，公园里有一文峰塔，工程人员在与塔底中心的D同一水平线的A处，测得AD＝20米，沿坡度i＝0.75的斜坡AB走到B点，测得塔顶E仰角为37°，再沿水平方向走20米到C处，测得塔顶E的仰角为22°，则塔高DE为（）米．（结果精确到十分位）（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，）A．18.3米B．19.3米C．20米D．21.2米【解答】解：连接DE，作BF⊥DE于F，BG⊥DA于G，如图：则DF＝BG，BF＝DG＝AD+AG，∵AB＝斜坡AB的坡度i＝0.75＝，∴设BG＝3xm，则AG＝4xm，BF＝DG＝20+4x（m），CF＝BF+BC＝20+4x+20＝40+4x （m），由题意得：∠EBF＝37°，∠ECF＝22°，∵tan∠BEF＝＝，tan∠ECF＝＝，∴EF＝tan37°（20+4x），EF＝tan22°（40+4x），∴0.75（20+4x）＝0.40（40+4x），解得：x＝，∴DF＝BG＝3x＝（m），EF＝0.40（40+4x）＝（m），∴DE＝DF+EF＝+≈19.3（m）；故选：B．10．小李同学想测量广场科技楼CD的高度，他先在科技楼正对面的智慧楼AB的楼顶A点测得科技楼楼顶C点的仰角为45°．再在智慧楼的楼底B点测得科技楼楼顶C点的仰角为61°，然后从楼底B点经过4米长的平台BF到达楼梯F点，沿着坡度为i＝1：2.4的楼梯向下到达楼梯底部E点，最后沿水平方向步行20米到达科技楼楼底D点（点A、B、C、D、E 、F在同一平面内，智慧楼AB和科技楼CD与水平方向垂直）．已知智慧楼AB的高为24米，则科技楼CD的高约为（）米．（结果精确到0.1，参考数据：sin61°≈0.87．cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）A．54.0B．56.4C．56.5D．56.6【解答】解：作AM⊥CD于M，FN⊥CD于N，FG⊥DE于点G，则四边形AMNB，四边形NDGF是矩形．在Rt△FEG中，FG：EG＝1：2.4，设FG＝5x，则EG＝12x，∴FN＝DG＝12x+20，AB＝24米，AM＝BN＝（24+12x）米，∵∠CAM＝45°，∴AM＝CM＝（24+12x）米，∴CN＝CM+MN＝（48+12x）米，∵∠CBN＝61°，∴tan∠CBN＝＝，∴x＝，∴CD＝CM+MN+DN＝24+12x+24+5x＝24+17×+24＝56.5（米）．故选：C．11．某游客乘坐“金碧皇宫号游船”在长江和嘉陵江的交汇处A点，测得来福士最高楼顶点F的仰角为45°，此时他头顶正上方146米的点B处有架航拍无人机测得来福士最高楼顶点F的仰角为31°，游船朝码头方向行驶120米到达码头C，沿坡度i＝1：2的斜坡CD 走到点D，再向前走160米到达来福士楼底E，则来福士最高楼EF的高度约为（）（结果精确到0.1，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.87，tan31°≈0.60）A．301.3米B．322.5米C．350.2米D．418.5米【解答】解：如图所示：延长AC和FE交于点G，过点B作BM⊥FE于点M，作DH⊥AG于点H，得矩形ABMG、DHEG，设DH＝x，则HC＝2x，BM＝AG＝160+120+2x＝280+2x．EG＝DH＝x，∵∠FAG＝45°，∠FGA＝90°，∴∠AFG＝45°，∴FG＝AG，EF＝FG﹣EG＝AG﹣EG＝280+2x﹣x＝280+x，∴FM＝FG﹣MG＝280+2x﹣146＝134+2x，在Rt△FBM中，tan31°＝，即＝0.6，解得x＝42.5，则EF＝280+x＝322.5．故选：B．12．如图是杨家坪步行街某天桥扶梯横截面的平面图．身高为1.5米的小明站在距离扶梯底端A处8米远的点P处，测得扶梯顶端B的仰角为18°，扶梯AB的坡度i＝3：4，已知扶梯顶端B到天桥顶部的距离为2.3米，则小明所在位置点P到天桥顶部的距离是（）（参考数据：sin18°≈0.29，cos18°≈0.95，tan18°≈）A．12.3米B．9.8米C．7.9米D．7.5米【解答】解：作BC⊥PA交PA的延长线于点C，作QD⊥BC于点D，∵扶梯AB的坡度i＝3：4，∴，设BC＝3x米，则AC＝4x米，∵AP＝8米，QP＝1.5米，∴DQ＝（4x+8）米，BD＝（3x﹣1.5）米，∵∠BQD＝18°，tan∠BQD＝，tan18°≈，∴≈，解得x＝2.5，∴BC＝3x＝7.5，∵点B到顶部的距离是2.3米，∴点C到顶部的距离是2.3+7.5＝9.8（米），即点P到顶部的距离是9.8米，故选：B．13．如图，在某山坡前有一电视塔．小明在山坡坡脚P处测得电视塔顶端M的仰角为60°，在点P处小明沿山坡向上走39m到达D处，测得电视塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝1：2.4，请你计算电视塔的高度ME约为（）m．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）A．59.8B．58.8C．53.7D．57.9【解答】解：如图，作DC⊥EP延长线于点C，作DF⊥ME于点F，作PH⊥DF于点H，则DC＝PH＝FE，DH＝CP，HF＝PE，∵山坡坡度i＝DC：CP＝1：2.4，PD＝39，设DC＝5x，则CP＝12x，根据勾股定理，得（5x）2+（12x）2＝392，解得x＝3，则DC＝15，CP＝36，∴DH＝CP＝36，FE＝DC＝15，设MF＝y，则ME＝MF+FE＝y+15，在Rt△DMF中，∠MDF＝30°，∴DF＝y，在Rt△MPE中，∠MPE＝60°，∴PE＝（y+15），∵DH＝DF﹣HF，∴y﹣（y+15）＝36，解得y＝7.5+18，∴ME＝MF+EF＝7.5+18+15≈53.7（m）．答：电视塔的高度ME约为53.7米．故选：C．14．如图，万达广场主楼楼顶立有广告牌DE，小辉准备利用所学的三角函数知识估测该主楼的高度．由于场地有限，不便测量，所以小辉沿坡度i＝1：0.75的斜坡从看台前的B处步行50米到达C处，测得广告牌底部D的仰角为45°，广告牌顶部E的仰角为53°（小辉的身高忽略不计），已知广告牌DE＝15米，则该主楼AD的高度约为（）（结果精确到整数，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）A．80m B．85m C．89m D．90m【解答】解：过C作CF⊥AE于F，CG⊥AB于G，如图所示：则四边形AFCG是矩形，∴AF＝CG，∵斜坡AB的坡度i＝1：0.75＝＝，BC＝50米，∴BG＝30（米），AF＝CG＝40（米），设DF＝x米．在Rt△DCF中，∠DCF＝45°，∴CF＝DF＝x米．在Rt△ECF中，∠ECF＝53°，∴EF＝tan53°•CF＝1.3x（米），∵DE＝15米，∴1.3x﹣x＝15，∴x＝50，∴DF＝50米，∴AD＝AF+DF＝40+50＝90（米），故选：D．15．图中的阴影部分是某水库大坝横截面，小明站在大坝上的A处看到一棵大树CD的影子刚好落在坝底的B处（点A与大树及其影子在同一平面内），此时太阳光与地面的夹角为60°，在A处测得树顶D的俯角为15°，如图所示，已知斜坡AB的坡度i＝：1，若大树CD的高为8米，则大坝的高为（）米（结果精确到1米，参考数据≈1.414 ≈1.732）（）A．18B．19C．20D．21【解答】解：如图，过点D作DP⊥AB于点P，作AQ⊥BC交CB延长线于点Q，∵∠DBC＝60°、CD＝8，∴BD＝＝＝16，∵AB的坡度i＝tan∠ABQ＝，∴∠ABQ＝∠EAB＝60°，∴∠ABD＝60°，∴PD＝BD sin∠ABD＝16×＝8，BP＝BD cos∠ABD＝16×＝8，∵∠EAD＝15°，∴∠DAP＝∠BAE﹣∠EAD＝45°，∴PA＝PD＝8，则AB＝AP+BP＝8+8，∴AQ＝AB cos∠ABQ＝（8+8）×＝4+12≈19，故选：B．16．3月中旬某中学校园内的樱花树正值盛花期，供全校师生驻足观赏．如图，有一棵樱花树AB垂直于水平平台BC，通往平台有一斜坡CD，D、E在同一水平地面上，A、B、C、D、E均在同一平面内，已知BC＝3米，CD＝5米，DE＝1米，斜坡CD的坡度是，李同学在水平地面E处测得树冠顶端A的仰角为62°，则樱花树的高度AB约为（）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）A．9.16米B．12.04米C．13.16米D．15.04米【解答】解：过C作CG⊥DE交ED的延长线于G，延长AB交ED的延长线于H，如图所示：则四边形BHGC为矩形，∴BH＝CG，GH＝BC＝3米，∵斜坡CD的坡度是＝，∴设CG＝3x米，则DG＝4x，由勾股定理得，CD2＝CG2+DG2，即52＝（3x）2+（4x）2，解得：x＝1，∴BH＝CG＝3（米），DG＝4（米），∴EH＝DE+DG+GH＝1+4+3＝8（米），在Rt△AHE中，tan∠AEH＝＝tan62°≈1.88，∴AH≈1.88EH＝1.88×8＝15.04（米），∴AB＝AH﹣BH≈15.04﹣3＝12.04（米），故选：B．17．某数学兴趣小组在歌乐山森林公园借助无人机测量某山峰的垂直高度AB．如图所示，无人机在地面BC上方120米的D处测得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°．已知AC的坡度为1：0.75，点A，B，C，D在同一平面内，则山峰的垂直高度AB约为（）（参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40）A．141.4米B．188.6米C．205.7米D．308.6米【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H，过点C作CR⊥DH于R，设AB＝x米，则AH＝（x﹣120）米．∵AB：BC＝1：0.75，∴BC＝RH＝0.75x（米），BH＝CR＝120米，在Rt△DCR中，DR＝≈＝60（米），∵tan∠ADH＝，∴＝0.4，解得x≈205.7，∴AB＝205.7（米），故选：C．18．小菁在数学实践课中测量路灯的高度．如图，已知她的身高AB1.2米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°．那么该路灯顶端O到地面的距离约为（）（sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2 .1）A．3.2米B．3.9米C．4.4米D．4.7米【解答】解：过点O作OE⊥AC于点E，延长BD交OE于点F，设DF＝x，∴BF＝BD+DF＝3+x，∵tan65°＝，∴OF＝x tan65°，∵tan35°＝，∴OF＝（3+x）tan35°，∴2.1x≈0.7（3+x），∴x＝1.5，∴OF＝1.5×2.1＝3.15（米），∴OE＝3.15+1.2＝4.35≈4.4（米），故选：C．19．如图，某班数学兴趣小组利用数学知识测量建筑物DEFC的高度．他们从点A出发沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡AB步行26米到达点B处，此时测得建筑物顶端C的仰角α＝35°，建筑物底端D的俯角β＝30°．若AD为水平的地面，则此建筑物的高度CD约为（）米．（参考数据：≈1.7，tan35°≈0.7）A．23.1B．21.9C．27.5D．30【解答】解：如图所示：过点B作BN⊥AD，BM⊥DC垂足分别为：N，M，∵i＝1：2.4，AB＝26m，∴设BN＝x，则AN＝2.4x，∴AB＝2.6x，则2.6x＝26，解得：x＝10，故BN＝DM＝10m，则tan30°＝＝＝，解得：BM＝10，则tan35°＝＝＝0.7，解得：CM≈11.9（m），故DC＝MC+DM＝11.9+10＝21.9（m）．故选：B．20．如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，从旗杆正前方2m处的点C出发，沿坡度l＝1：2的斜坡CD前进5m到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5m，已知A，B，C，D，E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥D E，则旗杆AB的高度是（）（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，≈1.732，≈2.236，结果保留一位小数）A．8.2B．8.4C．8.6D．8.8【解答】解：延长ED交BC的延长线于点F，作EG⊥AB于G，DH⊥AB于H，则四边形GHDE为矩形，∴GH＝DE＝1.5，GE＝DH，设DF＝x，∵斜坡CD的坡度为1：2，∴CF＝2x，由勾股定理得，x2+（2x）2＝52，解得，x＝，则DF＝，CF＝2，∴GE＝DH＝BC+CF＝2+2，在Rt△AGE中，tan∠AEG＝，则AG＝EG•tan∠AEG≈（2+2），∴AB＝AG+GH+BH≈4.85+1.5+2.24≈8.6（米），故选：C．。

巧用三角函数解答初中物理问题

巧用三角函数解答初中物理问题
在学习物理过程中，三角函数起着至关重要的作用，它是求解物理问题的重要数学工具，也是物理学家们探索自然界奥秘的基础。

在初中物理中，三角函数可以用来求解各种物理问题，如光的反射、折射、传播、质点运动、游离电子等，因此，掌握三角函数的基本概念和知识对于理解并解决物理问题至关重要。

首先，必须掌握三角函数的基本概念。

三角函数是根据三角形的几何性质来计算的函数，它把角度和对应的数值联系起来，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

三角函数可以用来描述特定的物理量，如平面角、角速度、角加速度、磁场强度等。

其次，必须掌握三角函数的基本使用方法。

要想做好物理学习，就必须掌握三角函数的基本使用方法，如如何解决正弦函数和余弦函数的基本方程、如何利用正弦函数的特性来求解平面角的变化量，以及如何应用正弦定理来求解多边形的内角和。

以及，还必须掌握一些常用的几何性质及其与三角函数的关系，如正弦定理、余弦定理等，还有与此相关的对边、对角、垂足等概念，这些概念对于解决初中物理问题至关重要。

最后，必须掌握三角函数的应用方法，并能熟练运用三角函数解决物理问题。

在初中物理学习中，可以用三角函数解决各种物理问题，如光的反射、折射、传播等，利用三角函数，可以求出质点绕圆周运动的轨迹，也可以求出摆动运动的周期等等，只要能够熟练掌握三角函数和其应用，就能解决各种物理问题。

总之，三角函数是一种重要的数学工具，它被广泛应用于物理学中，用它可以很好地解决初中物理问题，因此，需要学习者掌握三角函数的基本概念和知识，学会使用三角函数解答初中物理问题，以期达到物理学的要求。

初中三角函数练习试题和答案解析

AB A
C
D
C
E
EH学习指导参考
B
F D
WORD格式整理版
0.7344九年级( 1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度,已知标杆高度CD 3m,
标杆与旗杆的水平距离BD 15m，人的眼睛与地面的高度EF 1。6m,人与标杆CD的
水平距离DF 2m，求旗杆AB的高度．
0.7345如图3，沿AC方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工。从
（1）火箭到达B点时距离发射点有多远（精确到0.01km）？
（2）火箭从A点到B点的平均速度是多少（精确到0.1km/s )？
19、经过江汉平原的沪蓉(上海—成都）高速铁路即将动工.工程需要测量汉江某一段的宽度.
如图①，一测量员在江岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A
点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得ACB 68.
tan 40 ≈ 0.8391，3 ≈ 1。732．
P
北
Q
C
30
B
40
A
18、如图10，一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达A点时,从地面C处的雷
学习指导参考
B
A
WORD格式整理版
达站测得AC的距离是6km，仰角是43．1s后,火箭到达B点，此时测得BC的距离是
6.13km,仰角为45。54，解答下列问题：
7．已知Rt△ABC中,∠ C=90° ,AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（）
2 2 2 3
A．sinB=
3B．cosB=3C．tanB=3D．tanB=2
8．点( -sin60 °，cos60 °）关于y轴对称的点的坐标是(）

解答题：三角函数、三角恒等变换与解三角形(6大题型)(解析版)

解答题：三角函数、三角恒等变换与解三角形目录题型一三角恒等变换与三角函数 1题型二正余弦定理解三角形的边与角 3题型三利用正弦定理求三角形外接圆 6题型四解三角形中边长或周长的最值范围 8题型五解三角形中面积的最值范围 10题型六三角形的角平分线、中线、垂线 13必刷大题 16三角恒等变换与三角函数大题典例1.(24-25高三上·河南·月考)已知向量m =(cos x +sin x ,3sin x ),n=(cos x -sin x ,2cos x )，函数g (x )=m ⋅n .(1)求g (x )的最小正周期;(2)若函数f (x )=g (x )-a 在区间0,π2上恰有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】(1)π；(2)[1,2).【解析】(1)g (x )=m ⋅n =cos 2x -sin 2x +23sin x cos x ，=cos2x +3sin2x =2sin 2x +π6∴g (x )的最小正周期T =2π2=π；(2)由题知g (x )=a 在区间0,π2上恰有两个不同的实数根，即函数g (x )在区间0,π2上的图象与直线y =a 恰有两个交点，令u =2x +π6,∵x ∈0,π2 ,∴u ∈π6,7π6 ，作出y =2sin u u ∈π6,7π6的图象与直线y =a ，如图.由图知，当1≤a <2时，y =2sin u u ∈π6,7π6的图象与直线y =a 有两个交点，∴实数a 的取值范围为[1,2).解法指导此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多。

1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角：(1)二倍角公式：sin 2α=2sin αcos α(S 2α)；cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α(C 2α)(2)降幂公式：cos 2α=1+cos2α2，sin 2α=1-cos2α2，2、再通过辅助角公式“化一”，化为y =A sin (ωx +φ)+B3、辅助角公式：a sin α+b cos α=a 2+b 2sin (α+φ)，其中tan φ=ba.4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算：一般将ωx +ϕ看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题。

三角函数一题多解举例

三角函数一题多解举例例1:求函数cos 2sin y θθ=+（R θ∈）的值域。

解法一：利用合一公式cos 2sin cos )2sin y y y θθθθφθ=⇒=-+=++，所以sin()θφ+=|sin()|1θφ+≤，1≤，解得y ≤≤，所以函数cos 2sin y θθ=+（R θ∈）的值域为[,33-。

解法二：斜率法 cos 0sin (2)y θθ-=--，可看成点(sin ,cos )A θθ与(2,0)B -连线的斜率，而(sin ,cos )θθ在圆221x y +=上，当AB 与圆相切时分别取到最值，结合图形易得函数cos 2sin y θθ=+（R θ∈）的值域为[33-．解法三：导数法212sin (2sin )y θθ--'=+，令0y '=得1sin ,cos 2θθ=-=，从而[y ∈．例2：对任意,cos cos 21x R a x b x ∈+≥-恒成立，求a b +的最大值．解法一：特值法，特别快在cos cos21a x b x +≥-中取23x π=得11()()122a b -+-≥-，∴2a b +≤，当42,33a b ==时，24242cos cos 2cos cos 2cos (2cos 1)3333a xb x x x x x +=+=+- 241(cos )1132x =+-≥-，所以a b +的最大值为2. 解法二：构造二次函数原不等式即2cos (2cos 1)1a x b x +-≥-即22cos cos 10b x a x b +-+≥，令2()21,cos [1,1]f t bt at b t x =+-+=∈-，（1）当0b ≤时，()f t 的图象是开口向下的抛物线或者直线，所以只要(1)2102112(1)210f b a b a b b f b a b -=--+≥⇒+≤+≤<⎧⎨=+-+≥⎩（2）由0[1,1]41010b a b b a b a >⎧⎪⎪-∉-⎪⎨⎪-+≥⎪++≥⎪⎩得44a b a b <->或若4,a b <-则302a b b +<-<<；若4,a b >则由10b a ++≥得1413b a b b <≤+⇒<，故51223a b b +≤+<<．（3）由20[1,1]442(1)0b a b a b b >⎧⎪⎪-∈-⎨⎪∆=-⨯-+≤⎪⎩得2218()22a b +-≤，由柯西不等式，222229112[8()]1()822a b a b ⎛⎫ ⎪⨯≥+-+≥+- ⎪⎝⎭，故13222a b a b +-≤⇒+≤，当且仅当2218()2218()2a b a b ⎧+-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即4323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号，此时满足1[1,1]42a b -=-∈-．综上，a b +的最大值为2. 例3：设[0,]2πθ∈，且2cos 2sin 220m m θθ+--<恒成立，求m 的取值范围. 解法1（分离参数，构造函数，利用导数）：不等式等价于21sin 2sin 220m m θθ-+--<，2sin 2sin 210m m θθ-+--<，2(2sin 2)sin 1m θθ-<+. ∵[0,]2πθ∈，sin [0,1]θ∈. （1）当sin 1θ=时，不等式显然成立.（2）当sin [0,1)θ∈时，不等式等价于21sin 12sin 1m θθ+>⋅-，令sin ,x θ=211()([0,1))21x f x x x +=⋅∈-，则221(1)2()02(1)x f x x --'=⋅<-， ()f x 是减函数， max 1()(0).2f x f ==-∴1.2m >- 综上，m 的取值范围是1(,)2-+∞.解法2（利用二次函数的性质）：不等式等价于21sin 2sin 220m m θθ-+--<，即2sin 2sin 210m m θθ-+--<，即2sin 2sin 210m m θθ-++>.令sin x θ=，则22210x mx m -++>.令222()221()21,[0,1].f x x mx m x m m m x =-++=--++∈（1）当1m >时，min ()(1)20f x f ==>，符合题意.（2）当01m ≤≤时，22min ()()21(1)20,f x f m m m m ==-++=--+>符合题意.（3）当0m <时，min ()(0)210,f x f m ==+>∴10.2m -<< 综上，m 的取值范围是1(,)2-+∞.解法3（分离参数，再分离常数，一般可以利用基本不等式，但是本题中利用基本不等式时等号不成立，于是仍然利用函数的单调性）：不等式等价于21sin 2sin 220m m θθ-+--<，即2sin 2sin 210m m θθ-+--<，即2(2sin 2)sin 1m θθ-<+. ∵[0,]2πθ∈，sin [0,1]θ∈. （1）当sin 1θ=时，不等式显然成立.（2）当sin [0,1)θ∈时，不等式等价于21sin 12sin 1m θθ+>⋅-，设sin 1x θ-=，则[1,0)x ∈-，且221sin 11(1)112(2)2sin 122x x x xθθ+++⋅=⋅=⋅++-，令12()(2)2f x x x =⋅++，则212()(1)02f x x'=⋅-<， ∴()f x 是减函数， ∴max 121()(12).212f x =⋅-++=--∴1.2m >- 综上，m 的取值范围是1(,)2-+∞.解法4( 利用函数的图象):不等式等价于21sin 2sin 220m m θθ-+--<，即2sin 2sin 210m m θθ-+--<，即2sin 2sin 21m m θθ>--，令 sin x θ=，则22(1)1x m x >--，[1,0]x ∈-.在同一个坐标系中作出函数2()f x x =和()2(1)1g x m x =--的图象，注意到()2(1)1g x m x =--的图象是以(1,1)-为端点的线段，由图象可知只要(0)(0),f g >即021m >--，∴1.2m >- 即m 的取值范围是1(,)2-+∞. 解法5(直接求导法，注意分类讨论，实际上与解法2类似，只是没有换元) ：令2()cos 2sin 22f m m θθθ=+--，()2cos sin 2cos 2cos (sin )f m m θθθθθθ'=-+=--. ∵[0,]2πθ∈，∴sin [0,1]θ∈，cos [0,1]θ∈，（1）当1m >时，()0f θ'>，(),f θ[0,]2πθ∈是增函数， max ()()20,2f f πθ==-<符合题意. （2）当01m ≤≤时，sin m θ<时，()0f θ'>，sin m θ>时，()0f θ'<， 2222max ()122221(1)20f m m m m m m θ=-+--=--=--< ，符合题意.（3）当0m <时，min ()(0)210,f x f m ==+>∴10.2m -<<综上，m 的取值范围是1(,)2-+∞.。

专题04 三角函数与解三角形(原卷)2020年高考物理十年真题精解(全国Ⅰ卷)

三观一统2020年高考数学十年高考真题精解（全国卷I）专题4 三角函数与解三角形十年树木，百年树人，十年磨一剑。

本专辑按照最新2020年考纲，对近十年高考真题精挑细选，去伪存真，挑选符合最新考纲要求的真题，按照考点/考向同类归纳，难度分层精析，对全国卷Ⅰ具有重要的应试性和导向性。

三观指的观三题（观母题、观平行题、观扇形题），一统指的是统一考点/考向，并对十年真题进行标灰（调整不考或低频考点标灰色）。

（一）2020考纲（二）本节考向题型研究汇总一、考向题型研究一：三角化简求值（2019新课标I 卷T7文科）tan255°＝（） A ．﹣2﹣B ．﹣2+C ．2﹣D ．2+（2015新课标I 卷T2理科）o ooosin 20cos10cos160sin10- =（）（A ）-（B （C ）12- （D ）12（2010新课标I 卷T1文科）cos300︒=(A)2-(B)-12 (C)12(D) 2（2011新课标I 卷T7文科）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y=2x 上，则cos2θ=（） A ．﹣B ．﹣C ．D ．注意： (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标．(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围．（2010新课标I 卷T2理科）记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=C.一、角的有关概念1．定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．分类（1）按旋转方向不同分为正角、负角、零角．（2）按终边位置不同分为象限角和轴线角．（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合·3{|}60,S k k ββα==+︒∈Z ．3．象限角与轴线角第一象限角的集合为π2π2π,2k k k αα⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ；第二象限角的集合为π2π2ππ,2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ；第三象限角的集合为3π2ππ2π,2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ；第四象限角的集合为3π2π2π2π,.2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z 终边与x 轴非负半轴重合的角的集合为{}2π,k k αα=∈Z ；终边与x 轴非正半轴重合的角的集合为{}2ππ,k k αα=+∈Z ；终边与x 轴重合的角的集合为{}π,k k αα=∈Z ；终边与y 轴非负半轴重合的角的集合为π2π,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ；终边与y 轴非正半轴重合的角的集合为π2π,2k k αα⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ；终边与y 轴重合的角的集合为ππ,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ；终边与坐标轴重合的角的集合为π,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ．象限角和终边相同的角的判断及表示方法： 1．已知θ所在的象限，求nθ或nθ（n ∈N *）所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式（含有k ）表示，然后两边同除以n 或乘以n ，再对k 进行讨论，得到nθ或nθ（n ∈N *）所在的象限．2．象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为k ·360°＋α（0°≤α<360°，k ∈Z ）的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．3．由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解. 二、弧度制1．1弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．规定：,ll rα=是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．2．弧度制用“弧度”做单位来度量角的单位制叫做弧度制．比值lr与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．3．弧度与角度的换算180π180πrad ,1rad =57.3,1=rad π180⎛⎫︒=︒≈︒︒ ⎪⎝⎭． 4．弧长公式l r α=，其中α的单位是弧度，l 与r 的单位要统一.角度制下的弧长公式为：π180n rl =（其中n 为扇形圆心角的角度数）. 5．扇形的面积公式21122S lr r α==.角度制下的扇形面积公式为：2π360n r S =（其中n 为扇形圆心角的角度数）.三、任意角的三角函数 1．定义设α是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，点(),P x y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离()0OP r r =>，那么角α的正弦、余弦、正切分别是sin ,cos ,tan y x y r r xααα===．注意：正切函数tan y x α=的定义域是ππ,2k k αα⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，正弦函数和余弦函数的定义域都是R .2．三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ．由三角函数的定义知，点P 的坐标为()cos ,sin αα，即()cos ,sin P αα，其中cos ,sin ,OM MP αα==单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan AT α=．我们把有向线段,,OM MP AT 分别叫做α的余弦线、正弦线、正切线．各象限内的三角函数线如下：角所在的象限第一象限第二象限第三象限第四象限图形三角函数线的应用：1．利用三角函数的定义求角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x 、纵坐标y 、该点到原点的距离r .2．利用三角函数线解三角不等式的步骤：①确定区域的边界；②确定区域；③写出解集．3．已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．4．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况4．特殊角的三角函数值补充：sin15cos 75,sin 75cos15,︒=︒=︒=︒=tan152,tan 752︒=︒=+ 四、同角三角函数的基本关系式 1．平方关系22sin cos 1αα+=．2．商的关系sin cos tan ααα=． 3．同角三角函数基本关系式的变形（1）平方关系的变形：2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；（2）商的关系的变形：sin sin tan cos ,cos tan αααααα=⋅=；（3）2222111tan 1,1cos sin tan αααα-=-=．同角三角函数基本关系式的应用：1．利用22sin +cos 1αα=可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin cos tan ααα=可以实现角α的弦切互化．2．sin ,cos αα的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin ,cos αα的齐次式，或含有22sin ,cos αα及sin cos αα的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“22sin +cos 1αα=”代换后转化为“切”后求解.二、考向题型研究二：三角恒等变换（2017新课标I 卷T15文科）已知α∈（0，），tanα=2，则cos （α﹣）=．（2016新课标I 卷T14文科）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ-π4)= .（2010新课标I 卷T14文科）已知α为第二象限的角，3sin 5a =,则tan 2α= .(2014新课标Ⅰ卷T8理科)设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A. 3α﹣β= B .3α+β= C. 2α﹣β= D.2α+β=B.（2010新课标I 卷T14理科）已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= .1.三角函数的诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．*诱导公式的应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． *诱导公式的应用：1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值． 2．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似πk α±的形式时，需要对k 的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负． 3．利用诱导公式化简三角函数式的思路：（1）分析结构特点，选择恰当公式；（2）利用公式化成单角三角函数； 4．巧用相关角的关系能简化解题的过程．常见的互余关系有π3α-与π6α+，π3α+与π6α-，π4α+与π4α-等；常见的互补关系有π3θ+与2π3θ-，π4θ+与3π4θ-等. 2.．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）()C αβ-：cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+（2）()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-（3）()S αβ+：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+（4）()S αβ-：sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ-（5）()T αβ+：tan()αβ+=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ++≠+∈-Z（6）()T αβ-：tan()αβ-=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ--≠+∈+Z3．二倍角公式（1）2S α：sin2α=2sin cos αα（2）2C α：cos2α=2222cos sin 12sin 2cos 1αααα-=-=- （3）2T α：tan 2α=22tan πππ(π,)1tan 224k k k αααα≠+≠+∈-Z 且4．公式的常用变形（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±m ；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-（2）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα= （3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-（4）辅助角公式：sin cos a x b x +)x ϕ=+，其中cos ϕϕ==tan baϕ=5．半角公式（1）sin2α=（2）cos2α=（3）tan2α=sin 1cos 1cos sin αααα-==+【注】此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图： 6．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式）（1）积化和差公式：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--.（2）和差化积公式：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=；sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=；cos cos 2coscos22αβαβαβ+-+=；cos cos 2sinsin22αβαβαβ+--=-.*三角函数的求值问题1．给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解. 2．给值求值已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：（1）先化简所求式子．（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．（3）将已知条件代入所求式子，化简求值． 3．给值求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：（1）已知正切函数值，则选正切函数．（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是π(0,)2，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为ππ(,)22-，则选正弦较好. 4．常见的角的变换（1）已知角表示未知角例如：()()ααββββα=+-=--，()()()()2,2ααβαββαβαβ=++-=+--，(2)αβαβα+=++，(2)αβαβα-=-+，22αβαβα+-=+，22αβαββ+-=-.（2）互余与互补关系例如：π3π()()π44αα++-=，πππ()()362αα++-=. （3）非特殊角转化为特殊角例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°.三、考向题型研究三：三角函数图像的平移、伸缩和翻折问题（2017新课标I 卷T9理科）已知曲线C 1：y=cosx ，C 2：y=sin （2x+），则下面结论正确的是（）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2（2016新课标I 卷T6文科）若将函数y =2sin (2x +6π)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( )A ．y =2sin(2x +4π) B ．y =2sin(2x +3π) C ．y =2sin(2x –4π) D ．y =2sin(2x –3π)*y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念*用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：*函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径*图像变换规律：设函数为()y f x =（所涉及参数均为正数）1、函数图像的平移变换：（1）()f x a +：()f x 的图像向左平移a 个单位（2）()f x a -：()f x 的图像向右平移a 个单位（3）()f x b +：()f x 的图像向上平移b 个单位（4）()f x b -：()f x 的图像向下平移b 个单位 2、函数图像的放缩变换：（1）()f kx ：()f x 的图像横坐标变为原来的1k（图像表现为横向的伸缩）（2）()kf x ：()f x 的图像纵坐标变为原来的k 倍（图像表现为纵向的伸缩） 3、函数图象的翻折变换：（1）()f x ：()f x 在x 轴正半轴的图像不变，负半轴的图像替换为与正半轴图像关于y 轴对称的图像（2）()f x ：()f x 在x 轴上方的图像不变，x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折即可（与原x 轴下方图像关于x 轴对称） *图像变换中要注意的几点：1、如何判定是纵坐标变换还是横坐标变换？在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下： ① 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换 ② 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换例如：()31y f x =+：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤()2y f x =-+：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换2、解析式变化与图像变换之间存在怎样的对应？由前面总结的规律不难发现：（1）加“常数”⇔ 平移变换（2）添“系数”⇔放缩变换（3）加“绝对值”⇔翻折变换3、多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：① 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求 ② 横坐标的多次变换中，每次变换只有x 发生相应变化 ③ 纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行例如：()()21y f x y f x =→=+有两种方案方案一：先放缩：()()2y f x y f x =→=，再平移时，将解析式看做一个整体，整体加1，即()()()221y f x y f x =→=+方案二：先平移：()()1y f x y f x =→=+，则再放缩时，若纵坐标变为原来的a 倍，那么()()()11y f x y a f x =+→=+，无论a 取何值，也无法达到()21y f x =+，所以需要对前一步进行调整：平移12个单位，再进行放缩即可（2a =）四、考向题型研究四：三角函数)sin(φ+=wx A y 的图像和性质（2015新课标I 卷T8文科）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )A ．1(4k π-，3)4k π+，k z ∈B ．1(24k π-，32)4k π+，k z ∈ C ．1(4k -，3)4k +，k z ∈ D ．1(24k -，32)4k +，k z ∈（2019新课标I 卷T11理科）．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③（2015新课标I 卷T8理科）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13(2,2),44k k k Z -+∈（2011新课标I 卷T11文科）设函数，则f （x ）=sin （2x+）+cos （2x+），则（）A ．y=f （x ）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称B ．y=f （x ）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称C ．y=f （x ）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称D ．y=f （x ）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称（2016新课标I 卷T12文科）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(-∞,+∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[-1,1]B ．[-1,13] C ．[-,13] D ．[-1,-13](2014新课标Ⅰ卷T6理科)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 做直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数f （x ），则y=f （x ）在[0，π]的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．（2012新课标I 卷T9文科）已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4（2011新课标I 卷T11理科）设函数f （x ）=sin （ωx+φ）+cos （ωx+φ）的最小正周期为π，且f （﹣x ）=f （x ），则（） A ．f （x ）在单调递减B ．f （x ）在（，）单调递减C ．f （x ）在（0，）单调递增D ．f （x ）在（，）单调递增1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z)3．函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质（1）奇偶性：=k ϕπ时，函数sin()y A x ωϕ=+为奇函数；=2k ϕππ+时，函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数.（2）周期性：sin()y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2ωπ.（3）单调性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k ωϕππ-π≤+≤+π∈Z 得单调增区间；由+22,22k x k k ωϕπ3ππ≤+≤+π∈Z 得单调减区间. （4）对称性：利用y =sin x 的对称中心为(,0)()k k π∈Z 求解，令x k k ωϕ+=π(∈)Ζ，求得x .利用y =sin x 的对称轴为()2x k k π=π+∈Z 求解，令+2x k k ωϕπ+=π(∈)Ζ，得其对称轴. 4．函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的物理意义当函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0,[0,)x ∈+∞）表示一个简谐振动量时，则A 叫做振幅，T =2ωπ叫做周期，f =12πT ω=叫做频率,x ωϕ+叫做相位，x =0时的相位ϕ叫做初相. 5、三角函数的综合应用（1）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的定义域均为R ；函数tan()y A x ωϕ=+的定义域均为ππ{|,}2k x x k ϕωωω≠-+∈Z . （2）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最大值为||A ，最小值为||A -；函数tan()y A x ωϕ=+的值域为R .（3）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最小正周期为2πω；函数tan()y A x ωϕ=+的最小正周期为πω．（4）对于()sin y A x ωϕ=+，当且仅当()πk k ϕ=∈Z 时为奇函数，当且仅当()ππ2k k ϕ=+∈Z 时为偶函数；对于()cos y A x ωϕ=+，当且仅当()ππ2k k ϕ=+∈Z 时为奇函数，当且仅当()πk k ϕ=∈Z 时为偶函数；对于()tan y A x ωϕ=+，当且仅当()π2k k ϕ=⋅∈Z 时为奇函数．（5）函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式ππ2π2π(22k x k k ωϕ-≤+≤+ )∈Z 来确定，单调递减区间由不等式()π3π2π2π22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 来确定；函数()()cos 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式()2ππ2πk x k k ωϕ-≤+≤∈Z 来确定，单调递减区间由不等式()2π2ππk x k k ωϕ≤+≤+∈Z 来确定；函数()()tan 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式()ππππ22k x k k ωϕ-<+<+∈Z 来确定．【注】函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+，tan()y A x ωϕ=+（ω有可能为负数）的单调区间：先利用诱导公式把ω化为正数后再求解．（6）函数sin()y A x ωϕ=+图象的对称轴为ππ()2k x k ϕωωω=-+∈Z ，对称中心为π(,0)()k k ϕωω-∈Z ；函数cos()y A x ωϕ=+图象的对称轴为π()k x k ϕωω=-∈Z ，对称中心为ππ(,0)()2k k ϕωωω-+∈Z ；函数tan()y A x ωϕ=+图象的对称中心为π(,0)()2k k ϕωω-∈Z . 【注】函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的图象与x 轴的交点都为对称中心，过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线都为对称轴. 函数tan()y A x ωϕ=+的图象与x 轴的交点和渐近线与x 轴的交点都为对称中心，无对称轴. (7)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(8)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点．(9)求三角函数周期的方法 ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.6、关于辅助角公式：()sin cos a b αααϕ+=+：sin cos a b αααα⎫+=+⎪⎭② 二找：由221+=，故可看作同一个角的正余弦（称ϕ为辅助角），如cos ϕϕ==)sin cos cos sin sin cos a b ααϕαϕα+=+③ 三合：利用两角和差的正余弦公式进行合角：()sin cos a b αααϕ+=+注意事项：① 在找角的过程中，一定要找“同一个角”的正余弦，因为合角的理论基础是两角和差的正余弦公式，所以构造的正余弦要同角② 此公式不要死记硬背，找角的要求很低，只需同一个角的正余弦即可，所以可以从不同的角度构造角，从而利用不同的公式进行合角， 7、表达式的化简攻略：可化简的表达式多种多样，很难靠列举一一道明，化简往往能够观察并抓住式子的特点来进行操作，所以说几条适用性广的建议：（1）观察式子：主要看三点① 系统：整个表达式是以正余弦为主，还是正切（大多数情况是正余弦），确定后进行项的统一（有句老话：切割化弦）② 确定研究对象：是以x 作为角来变换，还是以x 的表达式（例如2x ）看做一个角来进行变换。

高中物理解题方法之三角函数法

5三角函数法三角函数配角法求极值是数学中常用的技巧之一，即将三角函数式中的自变量进行配角整理画成两角和的正弦或余弦，便能得到函数的极值。

当得出的式中不是典型的函数类型时，可通过等效变换进行转化。

利用三角函数公式把所列的方程简化，变成仅含有单个三角函数的式子，然后利用单个三角函数的性质解决问题θθθ2sin 2cos sin AA y ==当24A Y 有极大值时πθ=。

[例题1]已知底边AB 长恒为L 的光滑斜面，斜面倾角可变，物块从斜面顶端C 由静止释放，求倾角为多大时物块滑到底端所用的时间最短？最短为多少？解析：由几何关系得斜面长θcos LS =下滑的加速度θsin g a =，下滑的时间θθθ2sin 4cos sin 22g l g la s t ===，所以当倾角gLe 42s i n 450小值有最大值此时时间有最时θθ= [例题2]一辆有1/4光滑圆弧的小车停在粗糙的水平地面上，质量为m 的小球从静止开始由车顶滑下，且小车始终保持静止状态，求小球运动到什么位置时财面对小车的摩擦力最大？最大值为多少？解析：设圆弧半径为R 。

当小球运动到重力与半径夹角为时，速度为v ，根据机械能守恒定律θcos 212mgR mv =，根据牛顿第二定律Rmv mg N 2cos =-θ联立解得θcos 3mg N =小车处于平衡状态所以静摩擦力θθθθ2sin 23sin cos 3sin mg mg N f === 所以当12sin 450有最大值时e θθ=，此时地面对小车的静摩擦力有最大值，mg f 23max =当物理方程中含有x b x a cos sin +的形式时，可将式子变形为)cos sin (222222x ba b x b a a b a ++++令22cos ba a +=ϕ则22sin ba b +=ϕ则()()x b a x x b a x ba b x ba ab a ++=++=++++ϕϕϕsin cos sin sin cos )cos sin (2222222222当()1sin =+x ϕ时，上式极大值为22b a +[例题3]如图所示质量为m=5kg 的物块置于粗糙的水平地面上，物块与地面间的摩擦因数为31，若使物块匀速运动，求所施加最小力F 的大小和方向？解析：设所加力与水平面的夹角为，由平衡条件0sin 0cos =-+=-mg F N N F θμθ竖直方向水平方向解得)c os1s in11(1s inc os222222θμμθμμμθμθμ++++=+=mgmg F令2211sin μϕ+=则221cos μμϕ+=，所以()()θϕμμθϕθϕμμ++=++=si n1s i nc o sc o s s i n 12222m gm gF ，所以当当()1s i n=+θϕ时，即时之和为与090θϕ，力F 有极小值为N mgF 2512min =+=μμ，此时2311s i n22=+=μϕ，所以060=ϕ，则030=θ所以最小力25N ，与水平面的夹角为030=θ斜向上[例题4]如图所示，山高为h ，山顶A 到山下B 处的水平距离为s ，现要修一条水道ACB ，其中AC 为斜面，若不计一切摩擦，则斜面AC 的倾角θ为多大时，方可使物体由A 点静止释放后滑到B 点历时最短？最短时间为多长？解析：由于物体从倾角为θ的斜面上静止释放后做的是初速度为零、加速度为θsin g的匀加速直线运动，进入水平面后将做匀速直线运动，于是有21sin 21sin t g h θθ= 1sin t g v θ= 2cot vt h s =-θ消去1t 、2t 、v 可把t 表示为θ函数θθsin cos 2.22-+=g h ghs t 上述函数的复杂性将使得春极值点与极值的求解较为困难，可作如下处理，将其转换成典型的函数类型进而求解。

高中数学中的三角函数应用重要例题解析

高中数学中的三角函数应用重要例题解析在高中数学中，三角函数是一个重要的概念和工具。

它在各个领域中都有广泛的应用，特别是在几何和物理中。

本文将重点解析一些高中数学中的三角函数应用的重要例题。

1. 求解三角形的边长和角度三角函数可以用来求解三角形的边长和角度。

例如，已知一个直角三角形的斜边长为5，其中一个锐角为30度，我们需要求解它的另外两个角的大小和两条边的长度。

根据三角函数的定义，我们可以得到如下计算公式：正弦函数：sinθ = 对边/斜边余弦函数：cosθ = 邻边/斜边正切函数：tanθ = 对边/邻边使用这些计算公式，我们可以得到：sin30° = 对边/5cos30° = 邻边/5tan30° = 对边/邻边根据三角函数的性质，我们可以计算得出：对边 = sin30° × 5邻边 = cos30° × 5另外一个角 = 90° - 30°另外一个角的正弦值 = sin(90° - 30°) = cos30°另外一个角的余弦值 = cos(90° - 30°) = sin30°另外一个角的正切值 = tan(90° - 30°) = 1/tan30°通过这些计算，我们可以得到该直角三角形的另外两个角的大小和两条边的长度。

2. 解决航向问题在导航和航海中，我们经常需要计算航向和航速。

这可以通过三角函数来解决。

例如，已知一艘船以30度的角度和10节的速度从A点开往B点，我们需要求解船实际的航向和航速。

我们可以使用下面的公式：船在X轴上的速度分量 = 航速× cosθ船在Y轴上的速度分量 = 航速× sinθ根据这些公式，我们可以计算得到船在X轴和Y轴上的速度分量。

然后，我们可以使用三角函数的反函数来得到船的实际航向和航速。

三角函数的应用题及解析

三角函数的应用题及解析在高中数学学习中，三角函数是一个重要且广泛应用的概念。

它不仅可以帮助我们解决各种几何问题，还可以在工程、物理等领域中用来建立模型和求解实际问题。

本文将通过几个具体的应用题来展示三角函数的应用，并进行解析和讨论。

1. 塔的高度计算假设我们站在大地上，仰望一座高塔，并希望知道塔的高度。

我们可以找到一个合适的观测点，测量出观测点与塔底之间的距离，并利用三角函数求解塔的高度。

解析：设观测点与塔底的距离为a，观测点与塔顶的直线距离为b，则观测点与塔顶的连线与水平地面的夹角就是我们要求的角度θ。

根据三角比定义，我们可以得到以下关系式：tan(θ) = b/a通过测量a和测算出θ的值，我们可以通过上述关系式求解出塔的高度。

2. 船的航向角计算在航海或者航空中，我们经常需要计算船或者飞机的航向角，即航行方向与正北方向的夹角。

三角函数可以帮助我们计算出精确的航行角度。

解析：设船的航向角为α，船与正北方向的角为θ，船的速度为v。

根据三角比定义，我们可以得到以下关系式：sin(α) = v*sin(θ)/v通过测量船的速度和计算出θ的值，我们可以通过上述关系式求解出航向角α。

3. 电磁波的衰减计算在无线通信中，电磁波的衰减计算是一个重要的问题。

我们可以利用三角函数来计算电磁波在传输过程中的衰减情况。

解析：设电磁波传输的距离为d，电磁波的输出功率为P，我们知道电磁波的衰减与距离的平方成反比。

根据三角比定义，我们可以得到以下关系式：P' = P*cos(θ)其中P'为距离为d时的输出功率，θ为发射天线与接收天线之间的夹角。

通过测量距离d和计算出θ的值，我们可以通过上述关系式求解出衰减后的功率P'。

通过以上几个应用题的解析，我们可以看到三角函数在实际问题中的重要性和应用价值。

通过合理地应用三角函数，我们能够解决各种几何问题，并建立模型求解实际问题。

因此，对于学习数学的同学们来说，掌握三角函数及其应用是非常重要的一部分。

高考三角函数一题多解

一道高考题的解析引发的深思（2013全国新课标I 卷）理科15，文科16题。

题目：设当θ=x 时，函数x x x f cos 2sin )(-=取得最大值，则_____cos =θ 法一：直接使用辅助角公式解： )cos 52sin 51(5cos 2sin )(x x x x x f -=-= ∴取52sin ,51cos ==ϕϕ（三角替换，辅助角公式中ϕ由来）即)sin(5)(ϕ-=x x f θ=x 时，函数值最大1)sin(=-∴ϕθ，，即Z k k ∈+=,22-ππϕθ(找到θ与ϕ的关系）所以55252sin )22cos(cos -=-=-=++=ϕπϕπθk 此法少见的接触到了辅助角求值问题法二：借用辅助角公式（避开辅助角）解： )sin(5)(ϕ-=x x f （求最值） 5)(max =∴x f当θ=x 时，函数求得最大值 5cos 2sin )(=-=∴θθθf 联立1cos sin 22=+θθ，解方程组∴消正弦得,1cos )cos 25(22=++θθ即04cos 54cos 52=++θθ解得552cos -=θ 思考：此刻你在想什么呢？庆幸解唯一，还是当心解不唯一怎么处理呢？能不能一开始就可以确定θ角的位置呢？观察函数，正弦应该取正，而余弦取负才可能有最大值，满足此要求的角在第二象限，是不是免去你的后照顾之忧呢。

法三：利用∆判别式——————（尴尬！！！！汗颜！！！！！）解：令x x y cos 2sin -=则x y x cos 2sin +=消正弦带入1cos sin 22=+x x 得1cos )cos 222=++x x y （化简得01cos 4cos 522=-++y x y x （将余弦视作一个整体，这是一元二次方程）有解得0)1(54)4(22≥-⨯-=∆y y即有55≤≤-y ，函数最大值是5 （为么要这么费劲呢？）所以y 取最大值5时，有04cos 54cos 52=++x x （明白了吗） θcos 552cos =-=x 解得法四：数形结合为了运算的简洁，令xx m cos 2sin -= 再联想到1cos sin 22=+x x 可以试试寻找几何意义1sin cos cos 2sin 22=++=x x m x x 如果按照一般习惯将正弦视作纵坐标，余弦视作横坐标即1222=++=y x mx y 联立表示要相交！求直线的最大纵截距(相切时最大或最小如图）5.0tan =∠AOB ,运用几何知识A 点坐标为），（55552- 横坐标为余弦，即552cos -=θ 法五：不等式法解：)cos 2sin 1cos 2sin )(x x x x x f -⨯+⨯=-=（若函数值最大，则正弦为正，余弦为负使用柯西不等式有5)21()cos sin )cos 2sin 12222=+⨯+≤-⨯+⨯x x x （（所以5)(≤x f 当且仅当x x cos sin 2-=取到等号。

一题多解的应用

例题：已知tanα= ,求sinα,cosα的值分析：因为题中有sinα、cosα、tanα，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题：法一根据同角三角函数关系式tanα== ，且sina2α + cos2α =1。

两式联立，得出：cos2α=,cosα=或者cosα= -；而sinα=或者sinα=-。

分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些：法二tanα=：α在第一、三象限在第一象限时：cos2α ===cosα=sinα==而在第三象限时：cosa=- sina=-分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙：法三tanα==↔=↔= = ±∴sinα=，cosα=或sinα=-，cosα=-法四当α为锐角时，由于tana=,在直角△ABC中，设α=A,a=3x,b=4x，则勾股定理，得，c=5xsinA= = ,cosA= =∴s inα=，cosα=或sinα= -，cosα= -分析：用初中三角函数定义解此题，更应该尝试用三角函数高中的定义解此题，因为适用范围更广：法五当α为锐角时，如下图所示，在单位圆中，设α=∠AOT，因为tanα=，则T点坐标是T(1, ),由勾股定理得：OT==∵△OMP∽△0AT∴==，OM=, MP =, p(, ),∴sinα= ，cosα=或sinα=-，cosα= -分析：圆和直线已经放入直角坐标系中，肯定可以尝试用解析几何法来解此题：解法六，如上图，易求出直线OT的方程和单位圆的方程y= x；x2+y2=1两式联立，得出：，或.T点坐标是P(-, -) P(, )∴sinα=，cosα=或sinα= -，cosα= -分析：先考虑sinα、cosα两者之间的关系，容易想到用三角函数辅助角公式来帮助解决此问题：解法七，tanα==4sina-3cosa=0由三角函数辅助角公式得，5sin（a+φ）= 0,其中，sinφ=, cosφ=∴a+φ=kπ ，k∈Zsina=sin（kπ -φ）=sinφα在第一、三象限∴容易求出sinα=，cosα=或sinα=-，cosα= -分析：仅仅从角度变换考虑，看一看，用二倍角公式是否能解决此问题：解法八，由二倍角公式，得，tanα==3tan2 +8tan-3=0∴tan= -3,或tan=sinα=2sin cos==2∴sinα=，cosα=或sinα= -，cosα= -。