65 1.2.3 简单复合函数的导数 (文科：补充)教师版
简单复合函数的导数 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
解：令u
t- ,
3
2
2
2
则函数y 18sin( t - )可以看作y 18sin u和u
t - 的复合函数.
3
2
3
2
y't y'u u't
2
2
(18sin u )' ( t )' 12 cos( t ).
3
2
3
2
2
y't 12 cos( t ),
1
1
3x)'=3 ×(3x)'= ,
(ln3 )'e -(ln3 )(e )'
∴y'=
1
-ln3
e
=
(e )2
=
1-ln3
.
e
(2)y'=(x 1 + 2 )'=x' 1 + 2 +x( 1 + 2 )'
= 1 + 2 +
2
1+ 2
=
(1+2 2 ) 1+ 2
[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g ( x) f ( x) g '( x)
f '( x) g ( x) f ( x) g '( x)
f ( x)
[
]'
2
[
g
(
x
)]
g ( x)
[cf ( x)]' cf '( x)
我们学习过基本初等函数,如指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、
高中数学教案选修2-2《1.2.3 简单复合函数的导数》
教学目标：
1．掌握求复合函数()f ax b ＋的导数的法则；
2．熟练求简单复合函数的导数．
教学重点：
复合函数的求导法则．
教学过程：
一、问题情境
1．问题情境：什么是简单复合函数？
引例 函数2(31)y x ＝－是由哪两个函数复合而成的？函数sin 2y x ＝呢？
2．探究活动：怎么样求简单复合函数的导数？
以函数2(31)y x ＝－和sin 2y x ＝为例．
二、建构数学
1．与一次函数复合的函数的导函数公式．
2．推广：
注 1．复合函数的求导法则：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数；
2．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．
三、数学运用
例3 求
y －
点评 本题练习商的导数和复合函数的导数，求导数后要予以化简整理． 例4 求44sin cos y x x ＝＋的导数．
点评 可先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确；也可利用复合函数求导数，应注意不漏步．
练习：课本第24页第2，3，4题．
四、回顾小结
(1)复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；
(2)复合函数求导的基本步骤是：分解—求导—相乘—回代．
五、课外作业
1．见课本P26习题1.2第8～10题．
2．补充：已知函数22()3cos sin 222x x f x ＝＋－，求5π()6f ．。
5.2.3《简单复合函数的导数》课件人教A版(2019)高中数学选择性必修第二册
数y＝f (g(x))，它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导
数间的关系为
y′x＝y'u·u′x
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
[f (g(x))]′=f ′(g(x)) ·g′(x)
问题解决
问题3：用新学的知识求函数 y＝ln(2x-1) 的导数
解
设 y = sin2 x，求 y .
这个函数可以看成是 y = sin x ·sin x, 可利
用乘法的导数公式，这里，我们用复合函数求导法.
将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成. 而
y u ( u 2 ) 2u ,
ux (sin x ) cos x .
yx
1
2 (1 x 2 )
(1 x ) x
2
x
1 x2
.
方法归纳
探究三：通过以上练习，请你总结复合函数求导的一般步骤。
(1)观察函数结构，识别构成复合函数的基本初
等函数；
分解
(2)引入中间变量，运用基本初等函数的求导公
式与复合函数的求导法则运算；
求导
(3)用中间变量关于自变量的函数替换掉中间变
1
切线为 l，若直线 l 与圆 C：x2＋y2＝ 相切，求实数 a 的值．
4
[自主解答]
2
∵f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋
(x<2)，
x－2
∴f′(1)＝2a－2，
∴切线 l 的方程为 2(a－1)x－y＋2－a＝0.
因为直线 l 与圆相切，所以圆心到直线 l 的距离等于半径，即 d＝
苏教版数学高一1.2.3简单复合函数的导数
1．2．3 简单复合函数的导数学习目标 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f (ax ＋b )的导数)．知识点 复合函数的概念及求导法则已知函数y ＝2x ＋5＋ln x ，y ＝ln(2x ＋5)，y ＝sin(x ＋2)．思考1 这三个函数都是复合函数吗？答案 函数y ＝ln(2x ＋5)，y ＝sin(x ＋2)是复合函数，函数y ＝2x ＋5＋ln x 不是复合函数． 思考2 试说明函数y ＝ln(2x ＋5)是如何复合的？答案 设u ＝2x ＋5，则y ＝ln u ，从而y ＝ln(2x ＋5)可以看作是由y ＝ln u 和u ＝2x ＋5复合而成，即y 可以通过中间变量u 表示为自变量x 的函数．思考3 试求函数y ＝ln(2x ＋5)的导数．答案 y ′x ＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5. 梳理 复合函数求导法则若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a .1．下列函数都是复合函数．( × )①y ＝－x 3－1x ＋1；②y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4；③y ＝1ln x；④y ＝(2x ＋3)4. 2．函数y ＝1(3x －1)2的导数y ′＝－6(3x －1)3.( √ ) 3．函数f (x )＝x (1－ax )2(a >0)，且f ′(2)＝5，则实数a 的值为1.( √ )类型一 简单复合函数求导例1 求下列函数的导数．(1)y ＝log 2(2x ＋1)；(2)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6； (3)y ＝11－2x. 解 (1)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝2u ln 2＝2(2x ＋1)ln 2. (2)设y ＝2sin u ，u ＝3x －π6， 则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝2cos u ×3＝6cos ⎝⎛⎭⎫3x －π6. (3)设y ＝12u -，u ＝1－2x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝'12u -⎛⎫ ⎪⎝⎭·(1－2x )′＝－1232u -×(－2)＝()3212x --. 反思与感悟 (1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数．②求导时分清是对哪个变量求导．③计算结果尽量简洁．跟踪训练1 求下列函数的导数．(1)y ＝1(2x ＋3)3； (2)y ＝e －0.05x ＋1；(3)y ＝cos(ωx ＋φ)(其中ω，φ为常数)；(4)y ＝log 2(5－3x )．解 (1)y ＝1(2x ＋3)3＝()3223x -+是函数y ＝32u -，u ＝2x ＋3的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝'32u -⎛⎫ ⎪⎝⎭·(2x ＋3)′＝－3252u -·2＝－352u -＝－3()5223x -+. (2)y ＝e －0.05x ＋1是函数y ＝e u ，u ＝－0.05x ＋1的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(e u )′·(－0.05x ＋1)′＝－0.05e u ＝－0.05e －0.05x ＋1.(3)y ＝cos(ωx ＋φ)是y ＝cos u ，u ＝ωx ＋φ的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(cos u )′·(ωx ＋φ)′＝－sin u ·ω＝－ωsin(ωx ＋φ)．(4)y ＝log 2(5－3x )是y ＝log 2u ，u ＝5－3x 的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(log 2u )′·(5－3x )′＝－3·1u ln 2＝－3(5－3x )ln 2＝3(3x －5)ln 2. 类型二 复合函数导数的综合应用命题角度1 复合函数与导数的运算法则的综合应用例2 求下列函数的导数．(1)y ＝ln 3x ex ； (2)y ＝x 1＋x 2；(3)y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. 解 (1)∵(ln 3x )′＝13x ×(3x )′＝1x. ∴y ′x ＝(ln 3x )′e x －(ln 3x )(e x )′(e x )2＝1x －ln 3x e x ＝1－x ln 3x x e x. (2)y ′x ＝(x 1＋x 2)′ ＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x 21＋x 2 ＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2. (3)∵y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝x (－sin 2x )cos 2x ＝－12x sin 4x ， ∴y ′x ＝⎝⎛⎭⎫－12x sin 4x ′ ＝－12sin 4x －x 2cos 4x ·4 ＝－12sin 4x －2x cos 4x . 反思与感悟 (1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．跟踪训练2 求下列函数的导数．(1)y ＝sin 2x 3；(2)y ＝sin 3x ＋sin x 3；(3)y ＝11－x；(4)y ＝x ln(1＋x )． 解 (1)y ′x ＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 3′ ＝2sin x 3·⎝⎛⎭⎫x 3′⎝⎛⎭⎫sin x 3′ ＝23sin x 3cos x 3＝13sin 23x . (2)y ′x ＝(sin 3x ＋sin x 3)′＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2＝3sin 2x cos x ＋3x 2cos x 3.(3)y ′x ＝0－(1－x )′1－x＝()()1211121x x x-'---- ＝12(1－x )1－x ＝1－x 2(1－x )2. (4)y ′x ＝x ′ln(1＋x )＋x [ln(1＋x )]′＝ln(1＋x )＋x 1＋x. 命题角度2 复合函数的导数与导数几何意义的综合应用例3 设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切，求a ，b 的值．解 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点，可得ln 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1.由f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ， 则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ， 此即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0. 所以a ＝0，b ＝－1.反思与感悟 正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．跟踪训练3 已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(2－x )(a ∈R )，设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为l ，若l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求a 的值． 解 ∵f ′(x )＝a (x 2)′＋2·12－x·(2－x )′＝2ax －22－x， ∴f ′(1)＝2a －2，又f (1)＝a ＋2ln 1＝a ，∴切线l 的方程为y －a ＝2(a －1)(x －1)，即2(a －1)x －y －a ＋2＝0.∵直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切， ∴圆心(0,0)到直线l 的距离为12， ∴|2－a |4(a －1)2＋1＝12，解得a ＝118.1．设f (x )＝e －x ，则f ′(x )＝________.答案 －e －x解析 f ′(x )＝(－x )′e －x ＝－e －x .2．若f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＝________. 答案 －3解析 f ′(x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4， 所以f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－3.3．函数y ＝(1－2x )4在x ＝12处的导数为________． 答案 0解析 y ′x ＝4(1－2x )3·(1－2x )′＝－8(1－2x )3，当x ＝12时，y ′x ＝0. 4．已知f (x )＝ln(3x －1)，则f ′(1)＝________.答案 32解析 ∵f ′(x )＝13x －1·(3x －1)′＝33x －1，∴f ′(1)＝32. 5．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.答案 2解析 由题意知，y ′x ＝a e ax .当x ＝0时，y ′x ＝a ＝2.求简单复合函数f (ax ＋b )的导数实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键.。
简单复合函数的导数-高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
示成的函数，那么称这个函数为函数 = ()和 = ()的复合函数，记
作 = (()).
2.复合函数的导数：
一般地，对于由函数 = ()和 = ()复合而成的函数 = (())，它
的导数与函数 = ()， = ()的导数间的关系为’ = ’ ∙ ’ .
解：(2)函数 = −0.05+1 可以看作函数 = 和 = −0.05 + 1的复合函数.
根据复合函数的求导法则
有： ’ = ’ ∙ ’ = ( )’ ∙ (−0.05 + 1)’ = −0.05 = −0.05 −0.05+1
新知讲解
(
’
− )
= ×
= ( − )
当 = 时，’ = ( ) =
它表示当 = 时，弹簧振子振动的瞬时速度为 /.
− 的复合函
小结
1.复合函数的定义：
一般地，对于两个函数 = ()和 = ()，如果通过中间变量，可以表
=
−
例题讲解
例6.求下列函数的导数：
l
(1) = ( + ) ；(2) = −.+ ；(3) = ( − )
解：(1)函数 = ( + ) 可以看作函数 = 和 = + 的复合函数.
根据复合函数的求导法则
有：’ = ’ ∙ ’ = ( )’ ∙ ( + )’ = × = ( + )
(3)函数 = ( − )可以看作函数 = 和 = − ( >
合函数.
高中数学 1.2.3 简单复合函数的导数配套教学课件 苏教版选修22
1.2. 3 简单复合函数(hánshù)的 导数
第一页，共18页。
回顾 1.基本(jīběn)求导 （1）C ＝公0（式C:为常数(chángshù)）
（2）(xa) ＝axa－1（a为常数(chángshù)）
（3）(ax)＝αxlna（a＞0，且a≠1）
函数.由函数y f (u)与u (x)复合而成的 函数的一般形式是y f [(x)]，其中u称为
中间变量.
目前我们所研究的简单复合(fùhé)函 数的导数仅限于形如f(ax＋b)的复合 (fùhé)函数．
第六页，共18页。
问题(wèntí) 探究
求 函 数 y (3x 1)2的 导 数.
y' 从而(cóng ér)有x y'u u'x
回 代
第十页，共18页。
建构(jiàn ɡòu)数学
一般地，若函数y f (u)，
u ax b，则y'x y'u u'x ，
即 y'x y'u a
说明：对于(duìyú)一般的复合函数，结论也 成立 .
第十一页，共18页。
建构(jiàn ɡ推ò广u)数：学一般复合(fùhé)函数的求导法则
(1) y (2x 3)3；(2) y ln(5x 1)； (3) y 1 ；(4) y cos(1 2x).
3x 1
点评 求复合函数的导数(dǎo shù)，关键在于搞清楚复合函数的结 构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导 ，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．
第十七页，共18页。
回顾 (huígù)小 ⑴复结合函数的求导，要注意分析复合函
人教A版高中数学选择性必修第二册教学课件5.2.3简单复合函数的导数课件
(2) y 3(1 2x)2 (2) 6(1 2x)2 .
(3) y
2；
(2x 1) ln 2
课本P81
1. 求下列函数的导数:
(1) y 2 ；(2) y (1 2 x)3 ； 3x 1
(3) y log2(2 x 1)；
(4) y cos x ； (5) y sin( 3 3 x)；(6) y 22x1 .
1. 求下列函数的导数:
(1) y 2 ；(2) y (1 2 x)3 ； 3x 1
(3) y log2(2 x 1)；
(4) y cos x ； (5) y sin( 3 3 x)；(6) y 22x1 .
3
2
解：(1) ∵ y
2
2(3
x
1)
1 2
，∴
y
3(3
x
1)
3 2
.
3x 1
(2) y ln(5 x 2)在x 1处的导数.
解：(1) ∵ y 2e2x1，
∴
y
|
x
1
2e11
2；
2
(2)∵ y 5 ， 5x 2
∴
y
|x1
5 7
.
课本P81
3.求曲线y 3 3x 1在点( 2 ,1)处的切线方程. 3
1
解：∵y (3x 1)3 ,
∴y
1
(3x
1 1
1)3
)
A．x－y＝0
B．ex－y－e＋1＝0
C．ex－y－e－1＝0
√D．x－y－2＝0
解：∵y＝ex－1－2sin π2x ， ∴y′＝ex－1－πcos π2x ，当 x＝1 时，y′＝1， ∴曲线 y＝ex－1－2sin π2x 在点(1，－1)处的切线的斜率 k＝1， ∴所求切线方程为 y＋1＝x－1，即 x－y－2＝0.故选 D.
简单复合函数的导数 PPT教学课件(高二数学人教A版 选必修二)
2
2
= ×2=
=
.
2 − 1
高中数学
这可以作为
结果吗？
例1 求下列函数的导数：
（1） = (3 + 5)3 ；
（2） = e−2+3 ；
（3） = ln( + 1).
高中数学可以看作 = 3 和 = 3 + 5的复合函数.
根据复合函数的求导法则，有
需要用到复合函数的求导法则.
高中数学
−
)的导数？
追问2：函数 =
(
−
)可以看作哪两个函数的复合函数？
= 18sin， =
高中数学
2π
3
−
π
.
2
解：函数 =
2π
18sin(
3
−
π
)可以看作函数
2
= 18sin与 =
π
的复合函数，根据复合函数的求导法则，有
设 = ℎ = 2 − 1( >
1
)，则
2
= = ln.
所以 = = ln(2 − 1)可以看做
= 和 = ℎ 经过“复合”得到.
即： = = = (ℎ()).
高中数学
定义：
一般地，对于两个函数 = 和 = ℎ ，如果通过中间变
国家中小学课程资源
简单复合函数的导数
教师：XX
日期：XX年XX月XX日
温故知新
问题1 导数的四则运算法则是什么？
±
高中数学
′
′
′
简单复合函数的导数(文科补充)教师版
1.2.3 简单复合函数的导数 （文科：补充） 教师版 班级：高二（ ）班 姓名： 时间： 月 日一、学习目标1. 了解复合函数的概念；2. 理解简单复合函数的求导法则；3. 会求简单的复合函数的导数.教学重、难点：简单复合函数的求导法则的理解与应用.本课内容简析：本课从两个实例入手，归纳、总结出了简单复合函数的求导法则. 在学习中，要注意对简单复合函数的求导法则的准确理解和应用.二、自学内容阅读选修2-2 P23（文科 见导学案附），然后尽可能．．．用多．．种．方法．．完成下列练习. 1. 已知sin 2y x =，求y '. （教材P23）解：法一：[](sin 2)2(sin cos )2(sin )cos sin (cos )y x x x x x x x '''''===+222(cos sin )2cos2x x x =-=.法二：sin 2y x =可由sin y u =及2u x =复合而成，从而cos 22cos2xy u x '=⨯=. 2. 已知2x y e =，求y '.解：法一：22()()()()2x x x x x x x x y e e e e e e e e '''''==⋅=⋅+⋅=.法二：2x y e =可由u y e =及2u x =复合而成，从而2()222u u x xu x y y u e e e ''''=⋅=⨯==. 3. 已知2(23)y x =+，求y '.解：法一：∵24129y x x =++，∴812y x '=+.法二：[](23)(23)(23)(23)(23)(23)812y x x x x x x x ''''=++=+++++=+.法三：2(23)y x =+可由2y u =及23u x =+复合而成，从而22812xy u x '=⨯=+.三、问题探究例1 求下列函数的导数：（1）3(23)y x =-； （2）ln(51)y x =+；解：（1）3(23)y x =-可由3y u =及23u x =-复合而成，从而322()266(23)xu x y y u u u x ''''=⋅=⨯==-. （2）ln(51)y x =+可由ln y u =及51u x =+复合而成， 从而55(ln )551x u x y y u u u x ''''=⋅=⨯==+.（3）131y x =-； （4）cos(12)y x =-. 解：（1）131y x =-可由1y u =及31u x =-复合而成， 从而221333(31)x u x y y u u u x '⎛⎫'''=⋅=⨯=-=- ⎪-⎝⎭. （2）cos(12)y x =-可由cos y u =及12u x =-复合而成，从而(cos )(2)2sin 2sin(12)xu x y y u u u x ''''=⋅=⨯-==-.例2 已知曲线125+=x y ，求：（1）曲线在0x =处的切线方程；（2）曲线上和直线5210x y -+=平行的切线的方程.解：（1）125(21)y x =+可由125y u =及21u x =+复合而成， 从而12522x u x y y u u -'''=⋅=⨯=. ∴(0)5f '=，又(0)5f =， ∴曲线在0x =处的切线方程为55(0)y x -=-，即550x y -+=.（2）由（1）可知()f x '=52=，解之得32x =.又3102f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即切点坐标为3,102⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴所求的切线方程为：531022y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即255202x y -+=.四、反馈小结反馈：1. 求下列函数的导数：（1）cos(20108)y x =+；（2）ln(86)y x =+；（3）3(13)y x =-；（4）1ln y x=. 参考答案：（1）2010sin(20108)y x '=-+；（2）886y x '=+； （3）29(13)y x '=-⋅-；（4）1y x'=-.2. 求曲线sin 2y x =在点(,0)P π处的切线方程.解：∵()(sin 2)2cos2f x x x ''==，∴()2cos22f ππ'==，∴曲线sin 2y x =在点(,0)P π处的切线方程为2()y x π=-，即220x y π--=.3. 利用cos sin 2x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(sin )cos x x '=，证明：(cos )sin x x '=-. 证明：2(cos )sin (sin )(1)cos sin 22u x x x u x x πππ=-'⎡⎤⎛⎫⎛⎫''=-⨯-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.小结：简单复合函数的求导法则.五、布置作业文科 选修1-1 P73 习题3.2 T7、T8、T12、T13；理科 选修2-2 P26 习题3.2 T7、T8、T10、T13、T14.补充1（全体．．）：求下列函数的导数： （1）213x y e +=； （2）5log (63)y x =-； （3）y =参考答案：（1）21323x y e +'=；（2）311(63)ln5(2)ln5(2)ln5y x x x -'==-=---； （3）17766611(31)(31)3(31)62y x x x ---'⎡⎤'=+=-+⨯=-+⎢⎥⎣⎦.补充2（文科．．）：某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系5()3sin 126S t t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（024t ≤≤），其中S 的单位是m ，t 的单位是h ，求18点时潮水起落的速度.解：∵55()3cos cos 126124126S t t t ππππππ⎛⎫⎛⎫'=+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴57(18)cos 18cos cos 412643438S ππππππππ⎛⎫⎛⎫'=⨯+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴18点时潮水起落的速度是8πm/h.。
高中数学选择性必修二(人教版)《5.2.3 简单复合函数的导数》课件
答案：1－2xx4
题型二 与复合函数有关的切线问题 [学透用活]
[典例 2] (2018·全国卷Ⅱ)曲线 y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程 为________．
[解析] 因为 y＝2ln(x＋1)，所以 y′＝x＋2 1. 当 x＝0 时，y′＝2，所以曲线 y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程 为 y－0＝2(x－0)，即 y＝2x. [答案] y＝2x
[方法技巧] 求复合函数的导数的步骤
[对点练清] 1．函数 y＝cos(2x2＋x)的导数 y′＝________．
解析：∵y＝cos(2x2＋x)，∴y′＝－sin(2x2＋x)·(4x＋1)＝－(4x＋ 1)sin(2x2＋x)． 答案：－(4x＋1)sin(2x2＋x)
2．函数 y＝ln 解析：y′＝
[方法技巧] 有了复合函数的求导法则，可以求导的函数类型更加丰富了．在求 有关切线的问题中，先要准确求出函数的导数，然后注意切线的定义， 导数的几何意义以及直线方程的求法的综合应用．
[对点练清] 1．设曲线 y＝eax－ln(x＋1)在 x＝0 处的切线方程为 2x－y＋1＝0，则 a
＝________. 解析：∵y＝eax－ln(x＋1)，∴y′＝aeax－x＋1 1， ∴当 x＝0 时，y′＝a－1， ∵曲线 y＝eax－ln(x＋1)在 x＝0 处的切线方程为 2x－y＋1＝0， ∴a－1＝2，即 a＝3. 答案：3
[解] 函数 f(t)＝21t＋001是函数 f(u)＝1u00和函数 u＝φ(t)＝2t＋1 复合 而成的，其中 u 是中间变量．
由复合函数的求导法则，可得 h′t＝f′(t)＝f′(u)φ′(t)＝1u00′·(2t＋1)′ ＝－1u020·2＝－2t2＋0012. 将 t＝3 代入 f′(t)，得 f′(3)＝－24090(cm/s)． 它表示当 t＝3 时，水面高度下降的速度为24090 cm/s.
人教版高中数学选择性必修第二册5.2.3简单复合函数的导数【同步教学课件】
自主检验
1.思考辨析，判断正误 (1)函数y＝sin(πx)的复合过程是y＝sin u，u＝πx.( √ ) (2)若 f(x)＝ln(3x－1)，则 f′(x)＝3x1－1.( × ) 提示 f′(x)＝3x3－1. (3)f(x)＝x2cos 2x，则f′(x)＝2xcos 2x＋2x2sin 2x.( × ) 提示 f′(x)＝2xcos 2x－2x2sin 2x.
A.6 060
B.－6 060
C.2 020
D.－2 020
解析 f′(x)＝3×(－2 020)(2 021－2 020x)2， 则f′(1)＝3×(－2 020)＝－6 060.
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14
索引
4.(多选题)下列结论中不正确的是( ACD )
索引
【训练2】 已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点 (1，2)处的切线方程是__2_x_－__y_＝__0_. 解析 设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x. 又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x. 所以当x>0时，f(x)＝ex－1＋x. 因此，当x>0时，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2. 则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f′(1)＝2， 所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
A.1
B.－1
C.2
D.－2
解析 y′＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，则y′|x＝2＝12a2－8a＋1＝5(a>0)， 解得a＝1.
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14
简单复合函数的导数 课件-高中数学人教A版(2019)选择性必修第二册
)
x
(
1
x
)
.
2
5 1 x
1 x
5 1 x
(1 x)
5
1
2 2
2
2
2
y
(2
x
3)
1
x
(2
x
3)(1 x ) ;
解:
1
2 2
讲
课
人
：
邢
启
强
1
1
y 4 x(1 x ) (2 x 2 3) (1 x 2 ) 2 2 x
2
2
3
即曲线 y=ln(2x-1)上的点到直线 2x-y+3=0 的最短距离是 5.
讲
课
人
：
邢
启
强
(2)令y=f(x),则曲线y=eax在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又切线与直线x+2y+1=0垂直,
所以f'(0)=2.因为f(x)=eax,所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax,所以f'(0)=ae0=a,故a=2.
讲
课
人
：
邢
启
强
13
典型例题
例4(1)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是(
A. 5
B.2 5
C.3 5
)
D.0
(2)设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=
.
分析:(1)设 P(x0,y0)→由 y'|= =2 求P(x ,y )→由点到直线的距离求最小值
5.2.3简单复合函数的导数课件(人教版)
y通过中间变量u表示成x的函数.
复合函数
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u， y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和 u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).
试一试
指出以下函数是由哪些函数复合而成的？
（1）y＝log2(x＋1) （2）y＝(3x+5)3
（3）y＝e－0.05x＋1
y=log2u和u=x+1 y=u3和u=3x+5 y=eu和u=－0.05x+3
探究:如何求复合函数的导数？以函数 y=sin2x 为例，研究其导数.
y′ =(sin2x)′=(2sinxcosx)′=2 (sinxcosx)′ =2[ (sinx)′cosx + sinx (cosx)′] = 2[cos2x-sin2x]=2cos2x
特别地，[cf ( x)] ___cf__(_x_)__；
f (x)
f ( x)g( x) f ( x)g( x)
(3)
g(
x)
[g( x)]2
.
学习新知
思考 如何求函数y=ln(2x－1)的导数？
LOGO
函数y= ln(2x－1)不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的, 所以无 法用现有的方法求它的导数.
[解] 解法一：f′(x)＝2f′(2－x)·(2－x)′－2x＋8＝－2f′(2－x)－2x＋8， 则f′(1)＝－2f′(1)－2＋8，得f′(1)＝2. 又f(1)＝2f(1)－1＋8－8，得f(1)＝1， 故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝2(x－1)， 即y＝2x－1.
巩固练习 1.曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________.
【最新】高二数学苏教版选修2-2讲义：第1章 1.2 1.2.3 简单复合函数的导数【有解析】
1．2.3 简单复合函数的导数[对应学生用书P11]已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，g (x )＝(3x ＋2)2. 问题1：这两个函数是复合函数吗？ 提示：是复合函数．问题2：试说明g (x )＝(3x ＋2)2是如何复合的？提示：函数g (x )＝(3x ＋2)2是由 g (u )＝u 2，u ＝3x ＋2复合而成的． 问题3：试求g (x )＝(3x ＋2)2，g (u )＝u 2，u ＝3x ＋2的导数．提示：g ′(x )＝[(3x ＋2)2]′＝[9x 2＋12x ＋4]′＝18x ＋12.g ′(u )＝2u ，u ′＝3. 问题4：观察问题3中导数有何关系？ 提示：g ′(x )＝g ′(u )·u ′.若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a .1．求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量． 2．利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化简再求导会更简单． 3．判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x 的基本函数或关于自变量x 的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数．[对应学生用书P11][例1] (1)y ＝1(2x ＋3)3；(2)y ＝e－0.05x ＋1；(3)y ＝cos(ωx ＋φ)(其中ω、φ为常数)；(4)y ＝log 2(5－3x )．[思路点拨] 先分清函数自身结构，再合理地选取中间变量，利用复合函数的求导法则求解．[精解详析] (1)y ＝1(2x ＋3)3＝(2x ＋3)－32是函数y ＝u －32，u ＝2x ＋3的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －32)′·(2x ＋3)′＝－32u －52·2＝－3u －52＝－3(2x ＋3)－52.(2)y ＝e－0.05x ＋1是函数y ＝e u ，u ＝－0.05x ＋1的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(e u )′·(－0.05x ＋1)′＝－0.05e u ＝－0.05e－0.05x ＋1.(3)y ＝cos(ωx ＋φ)是y ＝cos u ，u ＝ωx ＋φ的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(cos u )′·(ωx ＋φ)′ ＝－sin u ·ω＝－ωsin(ωx ＋φ)．(4)y ＝log 2(5－3x )是y ＝log 2u ，u ＝5－3x 的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(log 2u )′·(5－3x )′＝－3·1u ln 2＝－3(5－3x )ln 2＝3(3x －5)ln 2. [一点通] 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．1．若函数f (x )＝ln 1x ，则f ′(x )＝________.解析：f (x )＝ln 1x 是f (u )＝ln u 与u ＝1x的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·⎝⎛⎭⎫1x ′ ＝1u ·⎝⎛⎭⎫－1x 2＝－1x . 答案：－1x2．函数y ＝sin 3x ＋sin x 3的导数为________． 解析：y ′＝(sin 3x ＋sin x 3)′＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′ ＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2＝3sin 2x cos x ＋3x 2·cos x 3. 答案：3sin 2x cos x ＋3x 2·cos x 3 3．求下列函数的导数： (1)y ＝e2x 2＋3x ；(2)y ＝1(1－3x )4.解：(1)y ＝e u ，u ＝2x 2＋3x ， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝e u ·(2x 2＋3x )′ ＝e u ·(4x ＋3)＝(4x ＋3)e2x 2＋3x . (2)∵y ＝1(1－3x )4＝(1－3x )－4， ∴可设y ＝u －4，u ＝1－3x ， ∵y ′u ＝－4u －5，u ′x ＝－3，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－4u －5×(－3)＝12(1－3x )－5.[例2] (1)y ＝31－x sin(2x －1)；(2)y ＝ln (2x －1)2x －1.[思路点拨] 根据导数的运算法则及复合函数的求导公式求解． [精解详析] (1)y ′＝(31－x )′sin(2x －1)＋31－x ·[sin(2x －1)]′＝－31－x ln 3·sin(2x －1)＋31－x ·2cos(2x －1)＝31－x [2cos(2x －1)－sin(2x －1)·ln 3]．(2)y ′＝[ln (2x －1)]′·2x －1－ln (2x －1)·(2x －1)′(2x －1)2＝22x －12x －1－ln (2x －1)·12(2x －1)－12·22x －1＝22x －1－ln (2x －1)2x －12x －1＝2－ln (2x －1)(2x －1)·2x －1. [一点通] (1)利用加减乘除四则运算与复合生成函数的方法，都能由基本初等函数生成一些新的函数，认清这一点可帮助我们分析函数结构．(2)认清函数结构之后，不要急于求导，应注意恰当利用代数、三角变换方法，化简函数解析式，以达到准确套用法则，明确求导过程的目的．4．若函数f (x )＝x cos 2x ，则f ′(x )＝________. 解析：f ′(x )＝x ′cos 2x ＋x (cos 2x )′ ＝cos 2x －2x sin 2x . 答案：cos 2x －2x sin 2x 5．求下列函数的导数： (1)y ＝2x －1x ；(2)y ＝12sin 2(1－x )． 解：(1)y ′＝(2x －1)′x －2x －1·x ′x 2＝x2x －1－2x －1x 2＝1－xx 22x －1 .(2)∵y ＝12sin 2(1－x )＝14[1－cos(2－2x )]＝14－14cos(2－2x )＝14－14cos(2x －2)． ∴y ′＝12sin(2x －2)．[例3] (1，f (1))处的切线为l ，若l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求a 的值．[思路点拨]求函数f (x )的导数→求f ′(1)得切线l 的斜率→写出直线l 的点斜式方程→由l 与圆C 相切列方程→解方程求a .[精解详析] ∵f ′(x )＝a (x 2)′＋2·12－x ·(2－x )′＝2ax －22－x，∴f ′(1)＝2a －2，又f (1)＝a ＋2ln 1＝a ， ∴切线l 的方程为y －a ＝2(a －1)(x －1)， 即2(a －1)x －y －a ＋2＝0.∵直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，∴圆心(0,0)到直线l 的距离为12，所以有|2－a |4(a －1)2＋1＝12，解得a ＝118.∴a 的值为118.[一点通] 有了复合函数的求导法则，可以求导的函数类型更加丰富了．在实际应用中，先要准确求出函数的导数，然后注意切线的定义，导数的几何意义以及直线方程的求法的综合应用．6．函数y ＝cos 2x 在点⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线方程是________． 解析：∵y ′＝－2sin 2x ，∴k ＝－2sin π2＝－2.∴切线方程为y －0＝－2⎝⎛⎭⎫x －π4， 即2x ＋y －π2＝0.答案：2x ＋y －π2＝07．求y ＝ln(2x ＋3)的导数，并求在点⎝⎛⎭⎫－12，ln 2处切线的倾斜角． 解：令y ＝ln u ，u ＝2x ＋3，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ·2＝22x ＋3.当x ＝－12时，y ′＝23－1＝1，即在⎝⎛⎭⎫－12，ln 2处切线的倾斜角的正切值为1， 所以倾斜角为π4.8．设曲线y ＝e －x (x ≥0)在点M (t ，e －t )处的切线l 与x 轴，y 轴围成的三角形面积为S (t )．(1)求切线l 的方程； (2)求S (t )的解析式． 解：∵y ＝e －x ，∴y ′＝(e －x )′＝－e －x ，∴y ′|x ＝t ＝－e －t .故切线方程为y －e －t ＝－e －t (x －t )，即x ＋e t y －(t ＋1)＝0. (2)令y ＝0得x ＝t ＋1.令x ＝0得y ＝e －t (t ＋1)．∴S (t )＝12(t ＋1)·e －t (t ＋1)＝12(t ＋1)2e －t (t ≥0)．求复合函数导数的技巧及注意点(1)对于分式、根式、三角函数式、指数式、对数式的复合函数的导数，关键仍然在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量，熟用复合函数求导法则，迅速正确地求出导数．(2)在复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由表及里逐层求异．(3)灵活运用复合函数的求导法则，正确地进行求导运算，树立多角度、换方位思考问题的意识，达到优化解题思维、简化解题过程的目的．[对应课时跟踪训练(五)]一、填空题1．设函数f (x )＝sin(4x －2)，则f ′(x )＝________. 解析：∵f (x )＝sin(4x －2)，∴f ′(x )＝[sin(4x －2)]′＝4cos(4x －2)． 答案：4cos(4x －2)2．(全国大纲卷改编)曲线y ＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于________．解析：y ′＝e x －1＋x e x －1，故曲线在点(1,1)处切线的斜率为y ′|x ＝1＝2. 答案：23．设曲线y ＝f (x )＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 解析：∵切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直， ∴切线的斜率k ＝2. 又∵f ′(x )＝(e ax )′＝a e ax ， ∴k ＝f ′(0)＝a ＝2. 答案：24．函数y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的导数为________． 解析：∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝x 2sin(4x ＋π)＝－x2sin 4x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫－x 2′sin 4x ＋⎝⎛⎭⎫－x 2·(sin 4x )′ ＝－12sin 4x －2x cos 4x .答案：－12sin 4x －2x cos 4x5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________． 解析：设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1， 且y 0＝ln(x 0＋a )，所以x 0＋1＝ln(x 0＋a )① 对y ＝ln(x ＋a )求导得y ′＝1x ＋a， 则1x 0＋a＝1，x 0＋a ＝1，② 由①②可得x 0＝－1，所以a ＝2. 答案：2 二、解答题6．求下列函数的导数． (1)y ＝5log 2(2x ＋1)； (2)y ＝cos(53π－7x )；(3)y ＝(2x －1)5.解：(1)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1.则y ′＝y ′u ·u ′x ＝5u ln 2×2＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.(2)设y ＝cos u ，u ＝53π－7x .则y ′＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ×(－7)＝7sin ⎝⎛⎭⎫53π－7x . (3)设y ＝u 5，u ＝2x －1，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝5u 4×2＝10u 4＝10(2x －1)4.7．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2.求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． 解：f ′(x )＝11＋x －1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.8．已知A (1，f ′(x ))是函数y ＝f (x )的导函数图象上的一点，点B 的坐标为(x ，ln(2－x ))，向量a ＝(1,1)，设f (x )＝AB ―→·a ，试求函数y ＝f (x )的表达式．解：∵AB ―→＝(x ，ln(2－x ))－(1，f ′(1)) ＝(x －1，ln(2－x )－f ′(1))， a ＝(1,1)，∴f (x )＝AB ―→·a ＝x －1＋ln(2－x )－f ′(1) ＝ln(2－x )＋x －f ′(1)－1∴f ′(x )＝12－x ·(2－x )′＋1＝1x －2＋1，∴f ′(1)＝0，∴f (x )＝ln(2－x )＋x －1.。
苏教版选修2-2高中数学1.2.3《简单复合函数的导数》ppt课件
y f ((x))在点x处也有导数，且 y'x y'u u'x ，或fx((x)) f (u) (x).
建构数学 复合函数求导的基本步骤是：
（1）分解． （2）求导． （3）相乘． （4）回代 ．
数学运用
试说明下列函数是怎样复合而成的:
高中数学 选修２-２
回顾 1.基本求导公式:
（1）C ＝0（C为常数） （2）(xa)＝axa－1（a为常数）
（3）(ax)＝αxlna（a＞0，且a≠1）
（4）(logax)＝
1 x
logae＝
x
1 ln
a（a＞0，且a≠1）
（5）(ex)＝ex
（6）(lnx)＝1
x
（7）(sinx)＝cosx （8）(cosx)＝－sinx
(1) y (2x 3)3； (2) y ln(5x 1)； (3) y 1 ； (4) y cos(1 2x).
3x 1
数学运用
例1 求下列函数的导数：
(1) y (2x 3)3；(2) y ln(5x 1)； (3) y 1 ；(4) y cos(1 2x).
g
(
x)
g 2 (x)
其中g(x) 0
复合函数 由几个函数复合而成的函数，叫复合
函数.由函数y f (u)与u (x)复合而成的 函数的一般形式是y f [(x)]，其中u称为
中间变量.
目前我们所研究的简单复合函数的 导数仅限于形如f(ax＋b)的复合函数．
问题探究
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
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反思感悟：
1.2.3 简单复合函数的导数 （文科：补充） 教师版 班级：高二（ ）班 姓名： 时间： 月 日
一、学习目标
1. 了解复合函数的概念；
2. 理解简单复合函数的求导法则；
3. 会求简单的复合函数的导数.
教学重、难点：简单复合函数的求导法则的理解与应用.
本课内容简析：本课从两个实例入手，归纳、总结出了简单复合函数的求导
法则. 在学习中，要注意对简单复合函数的求导法则的准确理解和应用.
二、自学内容
阅读选修2-2 P23（文科 见导学案附），然后尽可能．．．用多．．种．方法．．
完成下列练习. 1. 已知sin 2y x =，求y '. （教材P23）
解：法一：[](sin 2)2(sin cos )2(sin )cos sin (cos )y x x x x x x x '''''===+
222(cos sin )2cos2x x x =-=.
法二：sin 2y x =可由sin y u =及2u x =复合而成，从而cos 22cos2x
y u x '=⨯=. 2. 已知2x y e =，求y '.
解：法一：22()()()()2x x x x x x x x y e e e e e e e e '''''==⋅=⋅+⋅=.
法二：2x y e =可由u y e =及2u x =复合而成，
从而2()222u u x x
u x y y u e e e ''''=⋅=⨯==. 3. 已知2(23)y x =+，求y '.
解：法一：∵24129y x x =++，∴812y x '=+.
法二：[](23)(23)(23)(23)(23)(23)812y x x x x x x x ''''=++=+++++=+.
法三：2(23)y x =+可由2y u =及23u x =+复合而成，从而22812x
y u x '=⨯=+.
三、问题探究
例1 求下列函数的导数：
（1）3(23)y x =-； （2）ln(51)y x =+；
解：（1）3(23)y x =-可由3y u =及23u x =-复合而成，
从而322()266(23)x
u x y y u u u x ''''=⋅=⨯==-. （2）ln(51)y x =+可由ln y u =及51u x =+复合而成，
从而55(ln )551x
u x y y u u u x ''''=⋅=⨯==+.
反思感悟： （3）131
y x =-； （4）cos(12)y x =-. 解：（1）131y x =-可由1y u =及31u x =-复合而成， 从而221333(31)x u x y y u u u x '⎛⎫'''=⋅=⨯=-=- ⎪-⎝⎭
. （2）cos(12)y x =-可由cos y u =及12u x =-复合而成，
从而(cos )(2)2sin 2sin(12)x
u x y y u u u x ''''=⋅=⨯-==-.
例2 已知曲线125+=x y ，求：
（1）曲线在0x =处的切线方程；
（2）曲线上和直线5210x y -+=平行的切线的方程. 解：（1）125(21)y x =+可由12
5y u =及21u x =+复合而成，
从而1252
2x u x y y u u -'''=⋅=⨯=. ∴(0)5f '=，又(0)5f =， ∴曲线在0x =处的切线方程为55(0)y x -=-，即550x y -+=.
（2）由（1）可知()
f x '52=，解之得32x =.
又3102f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即切点坐标为3,102⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ∴所求的切线方程为：531022y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即255202
x y -+=.
四、反馈小结
反馈：
1. 求下列函数的导数：
（1）cos(20108)y x =+；（2）ln(86)y x =+；（3）3(13)y x =-；（4）1ln
y x
=. 参考答案：（1）2010sin(20108)y x '=-+；（2）886y x '=
+； （3）29(13)y x '=-⋅-；（4）1y x '=-.
反思感悟：
2. 求曲线sin 2y x =在点(,0)P π处的切线方程.
解：∵()(sin 2)2cos2f x x x ''==，∴()2cos22f ππ'==，
∴曲线sin 2y x =在点(,0)P π处的切线方程为2()y x π=-，即220x y π--=.
3. 利用cos sin 2x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(sin )cos x x '=，证明：(cos )sin x x '=-. 证明：2(cos )sin (sin )(1)cos sin 22u x x x u x x πππ=-'⎡⎤⎛⎫⎛⎫''=-⨯-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎣⎦.
小结：简单复合函数的求导法则.
五、布置作业
文科 选修1-1 P73 习题3.2 T7、T8、T12、T13；
理科 选修2-2 P26 习题3.2 T7、T8、T10、T13、T14.
补充1（全体．．
）：求下列函数的导数： （1）213x y e +=； （2）
5log (63)y x =-； （3）y =参考答案：（1）2
1323
x y e +'=；（2）311(63)ln5(2)ln5(2)ln5y x x x -'==-=---； （3）17766611(31)(31)3(31)62y x x x ---'⎡⎤'=+=-+⨯=-+⎢⎥⎣⎦
. 补充2（文科．．）
：某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系5()3sin 126S t t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
（024t ≤≤），其中S 的单位是m ，t 的单位是h ，求18点时潮水起落的速度.
解：∵55()3cos cos 12612412
6S t t t ππππππ⎛⎫⎛⎫'=+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴57(18)cos 18cos cos 4126434
38S ππππππππ⎛⎫⎛⎫'=⨯+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴18点时潮水起落的速度是
8πm/h.。