2011年中考第二轮专题复习八：化归思想

化归思想

Ⅰ、专题精讲：

数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．

初中数学的主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等．本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等． Ⅱ、典型例题剖析

【例1】（2005，嘉峪关，8 分）如图3－1－1，反比例函数y=－8

x 与一次函数y=－x+2的图

象交于A 、B 两点．

（1）求 A 、B 两点的坐标； （2）求△AOB 的面积．

解：⑴解方程组82

y x y x ⎧

=-

⎪⎨⎪=-+⎩ 得121242;24x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 所以A 、B 两点的坐标分别为A （－2，4）B(4，－2

（2）因为直线y=－x+2与y 轴交点D 坐标是(0， 2），

所以11

222,24422

AOD BOD S S ∆∆=⨯⨯==⨯⨯= 所以246AOB S ∆=+=

点拨：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以

根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标． 【例2】（2005，自贡，5分）解方程：22(1)5(1)20x x ---+= 解：令y= x —1，则2 y 2

—5 y +2=0．

所以y 1=2或y 2=12 ，即x —1＝2或x —1=1

2 ．

所以x ＝3或x=32 故原方程的解为x ＝3或x=3

2

点拨：很显然，此为解关于x －1的一元二次方程．如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，所以可根据方程

的特点，含未·知项的都是含有（x —1）所以可将设为y ，这样原方程就可以利用换元法转化为含有y 的一元二次方程，问题就简单化了．

【例3】（2005，达川模拟，6分）如图 3－1－2，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3,BC=5，求AC 的长． 解：过 D 作DE ⊥AC 交BC 的延长线于E ，则得AD=CE 、AC=DE ．所以BE=BC+CE=8． 因为 AC ⊥BD ，所以BD ⊥DE ．

因为 AB=CD ， 所以AC ＝BD ．所以GD=DE ．

在Rt △BDE 中，BD 2＋DE 2=BE 2

所以BD ＝

2

2

BE=4 2 ，即AC=4 2 . 点拨：此题是根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形，使问题得以解决．

【例4】（2005，新泰模拟，5分）已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，且222a b c ab ac bc ++=++，试判断△ABC 的形状． 解：因为222a b c ab ac bc ++=++， 所以222222222a b c ab ac bc ++=++，

即：222()()()0a b b c a c -+-+-=

所以a=b ，a=c ， b=c

所以△ABC 为等边三角形．

点拨：此题将几何问题转化为代数问题，利用凑完全平方式解决问题．

【例5】（2005，临沂，10分）△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．若90C ∠=︒，如图l ，根据勾股定理，则222a b c +=。

若△ABC 不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想22a b +与c 2

的关系，并证明你的结论．

证明：过B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于D 。 设CD 为x ，则有222BD a x =-

根据勾股定理，得2222()b x a x c ++-=． 即2222a b bx c ++=。 ∵0,0b x >>，

∴20bx >，∴222

a b c +<。

点拨：勾股定理是我们非常熟悉的几何知识，对于直角三角形三边具有：

222a b c +=的关系，那么锐角三角形、钝角

三角形的三边又是怎样的关系呢？我们可以通过作高这条辅助线，将一般三角形转化为直角三角形来确定三边的关系. Ⅲ、同步跟踪配套试题：

（60分 45分钟）

一、选择题（每题 3分，共 18分）

1．已知|x+y|+（x －2y ）2

=0，则（ ） 1. 1x A y =-⎧⎨

=-⎩ 2 .1x B y =-⎧⎨=-⎩ 2. 1x C y =⎧⎨=⎩ 1

.2x D y =⎧⎨=⎩

2．一次函数y=kx ＋b 的图象经过点A （0，－2）和B （－3，6）两点，那么该函数的表达式是（ ）

8.2 6 .23A y x B y x =-+=-- 8

.8 6 .23C y x D y x =--=--

3．设一个三角形的三边长为3，l －2m ，8，则m 的取值范围是（ ）

A ．0＜m ＜12 B. －5＜m － 2 C ．－2＜m ＜5 D ．－7

2 ＜m ＜－l

4．已知11553x xy y

x y x xy y

+--=--，则的值为（ ）

A 、72

B 、－72

C 、27

D 、－2

7

5．若24(2)16x m x +-+是完全平方式，则m=（ ） A ．6 B ．4 C ．0 D ．4或0

6．如果表示a 、b 为两个实数的点在数轴上的位置如图3－l －8所示，那么化简2||()a b a b -++的结果等于（ ）， A ．2a B ．2b C ．－2a D ．－2b

二、填空题（每题2分，共u 分）

7．已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线x=2，且经过点（5，4）和点（1,4）则该抛物线的解析式为____________． 8．用配方法把二次函数 y=x 2

＋3x ＋l 写成 y=（x+m ）2

＋n 的形式，则y=____________。