对数函数及其性质知识点总结经典讲义

对数函数及其性质

相关知识点总结：

1.对数的概念

一般地，如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ．a 叫做对数的底数，N 叫做真数．

2. 对数与指数间的关系

3.对数的基本性质

(1)负数和零没有对数． (2)log a 1＝0(a ＞0，a ≠1)． (3)log a a ＝1(a ＞0，a ≠1)． 10.对数的基本运算性质

(1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ． (2)log a M

N ＝log a M －log a N ． (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．

4.换底公式

（1）log a b ＝log c b log c a (a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1，b ＞0)．（2）log b a =1

logab

5.对数函数的定义

一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

6.对数函数的图象和性质

a ＞1

0＜a ＜1

7.反函数

对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)和指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数． 基础练习：

1.将下列指数式与对数式互化：

(1)2－

2＝14； (2)102＝100； (3)e a ＝16； (4)64－13＝14；

2. 若log 3x ＝3，则x ＝_________

3.计算：

(1)log 216=_________; (2) log 381=_________; (3)2log 62+log 69=__________

4.（1） log 29

log 23＝________． （2）log 23∙log 34∙log 48=________________

5. 设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －

b ＝_________.

6.若某对数函数的图象过点(4，2)，则该对数函数的解析式为______________.

7.(1)如图2－2－1是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3，43，35，1

10，则图象C 1，

C 2，C 3，C 4相应的a 值依次是______________

(2)函数y ＝lg(x ＋1)的图象大致是( )

4. 求下列各式中的x 的值： (1)log 8x ＝－23；(2)log x 27＝3

4

；

8.已知函数f (x )＝1＋log 2x ，则f (1

2

)的值为__________.

9. 在同一坐标系中，函数y ＝log 3x 与y ＝log 13

x 的图象之间的关系是_______________

10. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x （x ≤0），log 2x （x >0），

那么f (f (1

8))的值为___________.

例题精析：

例1.求下列各式中的x 值：

（1）log 3x ＝3； (2)log x 4＝2； (3)log 28＝x ； (4)lg(ln x )＝0.

变式突破：

求下列各式中的x 的值：

(1)log 8x ＝－23； (2)log x 27＝3

4； (3)log 2(log 5x )＝0； (4)log 3(lg x )＝1.

例2.计算下列各式的值：

(1)2log 510＋log 50.25; (2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245 (3)lg 25＋2

3

lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.

变式突破：

计算下列各式的值： (1)31

2log

34； (2)32＋log 35； (3)71－log 75； (4)4

1

2

(log 29－log 25)．

例3.求下列函数的定义域：

(1)y ＝lg （2－x ）； (2)y ＝1

log 3（3x －2）； (3)y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)．

变式突破：

求下列函数的定义域： (1)y ＝log 12

（2－x ）; (2)y ＝

1

log 2（x+2）

; （3）

√1−log x

.

例4.比较下列各组中两个值的大小：

(1)ln 0.3，ln 2； (2)log a 3.1，log a 5.2(a >0，且a ≠1)； (3)log 30.2，log 40.2； (4)log 3π，log π3. 变式突破：

若a ＝log 0.20.3，b ＝log 26，c ＝log 0.24，则a ，b ，c 的大小关系为________．

例5.解对数不等式

(1)解不等式log 2(x ＋1)＞log 2(1－x )；(2)若log a 2

3＜1，求实数a 的取值范围．

变式突破：

解不等式：（1）log 3(2x ＋1)>log 3(3－x )．（2）若log a 2>1，求实数a 的取值范围．

课后作业：

1. 已知log x 16＝2，则x 等于___________.

2. 方程2log 3x ＝1

4

的解是__________.

3. 有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是_____________.

4.函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点___________.

5. 设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －

b ＝( )

6. 若log 12

a ＝－2，log

b 9＝2，

c ＝log 327，则a ＋b ＋c 等于___________.

7.. 设3x ＝4y ＝36，则2x ＋1

y =___________.