对数函数及其性质知识点总结经典讲义

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第19讲对数函数图像及性质

第19讲对数函数图像及性质【知识点梳理】1.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数，它是指数函数x y a =(0a >且1)a ≠的反函数．对数函数的图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于y x =的对称图形，即可获得．同样也分1a >与01a <<两种情况归纳：以2log y x =与12log y x =为例1a >01a <<图象性质定义域：(0)+∞，值域：R过定点(10)，，即1x =时，0y =在(0)+∞，上增函数在(0)+∞，上是减函数当01x <<时，0y <，当1x ≥时，0y ≥当01x <<时，0y >，当1x ≥时，0y≤(2)底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)图2-3-3【典型例题】题型一：对数函数的概念【例1】下列函数是对数函数的是（）A ．()log 2a yx =B ．lg10xy =C ．()2log a y x x =+D ．ln y x=【题型专练】1.已知函数①4x y =；②log 2x y =；③3log y x =-；④0.2log y =3log 1y x =+；⑥()2log 1y x =+.其中是对数函数的是（）A ．①②③B ．③④⑤C ．③④D ．②④⑥题型二：对数函数的定义域【例1】函数()ln 1f x -的定义域为（）A ．(]1,2B ．[]1,4C ．()1,4D ．[]2,4【例2】函数y =）A ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎤⎥⎝⎦D ．[)1,+∞【例3】已知函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则函数2(log )y f x ＝的定义域为（）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．2⎤⎥⎣⎦D ．⎤⎦【例4】下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（）A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y【例5】已知函数()21f x +的定义域为[]1,2，则函数()()()lg 2f x g x x =-的定义域为（）A ．[]2,5B ．()(]2,33,5⋃C ．(]2,5D ．[)(]2,33,5⋃【题型专练】1.函数()()2ln 56f x x x =-+-的定义域是__________．2.已知函数(2)x y f =的定义域是[]1,1-，则函数3(log )f x 的定义域是（）A ．[]1,1-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,3D ．3.函数()()1log 121-=x x f 的定义域为（）.A ．(),2-∞B ．()2,C ．()1,2D ．(]1,24.函数()21log (3)f x x =-的定义域为题型三：对数函数的定义域为R 和值域为R 的区别【例1】已知函数()()2lg 32f x ax x =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是___________.【例2】函数()()2lg 234f x mx x =-+的值域为R ，则实数m 的取值范围为______．【题型专练】1．（1）若函数()()22log 1f x ax ax =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是___________；（2）若函数()()22log 1f x ax ax =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是___________.2.若函数()12log 22++=x ax y 的定义域为R ，则a 的范围为__________。

《对数函数及其性质》课件

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对数函数的定义域和值域
理解对数函数的定义域和值域，并能够判断特定函数的定义域和值域。
对数函数的单调性
理解对数函数的单调性，并能够判断特定函数的单调性。
进阶题目
01
02
03
复合对数函数
理解复合对数函数，并能够求解复合对数函数的值。
对数函数的图像
理解对数函数的图像，并能够根据图像判断函数的性质。
分析对数函数的值域和定义域。对于自然对数函数y=log(x) ，其值域为R；对于以a为底的对数函数y=log(x)，其定义域为(0, +∞)。对于复合对数函数y=log(u)，其值域和定义域取决于u的取值范围。
03
对数函数的应用
实际应用场景
金融计算
在复利、折旧等计算中，对数函数有广泛应用
。
《对数函数及其性质》ppt课件
• 对数函数的定义与性质 • 对数函数的图像与性质 • 对数函数的应用 • 对数函数与其他知识点的联系 • 习题与练习
01
对数函数的定义与性质
定义与表示
总结词
对数函数是一种特殊的函数，其定义域为正实数集，值域为全体实数集。常用对数函数以10为底，自然对数函数以e为底。
么以a为底N的对数等于b。
对数函数和指数函数在解决实际问题中经常一起出现，例如在计算复利、解决声学和光学问题时
。
对数函数与三角函数的联系
对数函数和三角函数在形式上有些相似，特别是在自然对数函数和正弦函数中。
在复数域中，对数函数和三角函数有更密切的联系，它们都可以用来表示复数的幂。
在解决一些物理问题时，例如波动和振动问题，可能需要同时使用对数函数和三角函数。

对数函数及其性质知识点总结讲义

对数函数及其性质相关知识点总结：1.对数的概念一般地，如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N．a叫做对数的底数，N叫做真数．2. 对数与指数间的关系3.对数的基本性质(1)负数和零没有对数． (2)log a1＝0(a＞0，a≠1)． (3)log a a＝1(a＞0，a≠1)．10.对数的基本运算性质(1)log a(M·N)＝log a M＋log a N． (2)log a MN＝log a M－log a N． (3)log a M n＝n logaM(n∈R)．4.换底公式（1）log a b＝log c blog c a(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1，b＞0)．（2）logba=1log aa5.对数函数的定义一般地，我们把函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．6.对数函数的图象和性质7.反函数对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)和指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)互为反函数．基础练习：1.将下列指数式与对数式互化：(1)2－2＝14； (2)102＝100； (3)e a＝16； (4)64－13＝14；2. 若log3x＝3，则x＝_________ 3.计算：(1)log216=_________; (2)log381=_________; (3)2log62+log69=__________4.（1）log 29log 23＝________．（2）log 23?log 34?log 48=________________5. 设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b ＝_________.6.若某对数函数的图象过点(4，2)，则该对数函数的解析式为______________.7.(1)如图2－2－1是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3，43，35，110，则图象C 1，C 2，C 3，C 4相应的a 值依次是______________(2)函数y ＝lg(x ＋1)的图象大致是( ) 4. 求下列各式中的x 的值：(1)log 8x ＝－23；(2)log x 27＝34；8.已知函数f (x )＝1＋log 2x ，则f (12)的值为__________.9. 在同一坐标系中，函数y ＝log 3x 与y ＝log 13x 的图象之间的关系是_______________10. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x（x ≤0），log 2x （x >0），那么f (f (18))的值为___________.例题精析：例1.求下列各式中的x 值：（1）log 3x ＝3； (2)log x 4＝2； (3)log 28＝x ； (4)lg(ln x )＝0. 变式突破：求下列各式中的x 的值：(1)log 8x ＝－23； (2)log x 27＝34； (3)log 2(log 5x )＝0；(4)log 3(lg x )＝1.例2.计算下列各式的值：(1)2log 510＋; (2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245 (3)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.变式突破：计算下列各式的值：(1)312log34； (2)32＋log 35； (3)71－log 75；(4)412(log 29－log 25)．例3.求下列函数的定义域：(1)y＝lg（2－x）； (2)y＝1log3（3x－2）； (3)y＝log(2x－1)(－4x＋8)．变式突破：求下列函数的定义域：(1)y＝log12（2－x）; (2)y＝1log2（x+2）; （3）1−log2.例4.比较下列各组中两个值的大小：(1)ln ，ln 2； (2)，(a>0，且a≠1)；(3)，； (4)log3π，logπ3.变式突破：若a＝，b＝log26，c＝，则a，b，c的大小关系为________．例5.解对数不等式(1)解不等式log2(x＋1)＞log2(1－x)；(2)若log a23＜1，求实数a的取值范围．变式突破：解不等式：（1）log3(2x＋1)>log3(3－x)．（2）若log a2>1，求实数a的取值范围．课后作业：1. 已知log x16＝2，则x等于___________.2. 方程2log3x＝14的解是__________.3. 有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝10；④若e＝ln x，则x＝e2.其中正确的是_____________.4.函数y＝log a(x＋2)＋1的图象过定点___________.5. 设a＝log310，b＝log37，则3a－b＝( )6. 若log12a＝－2，logb9＝2，c＝log327，则a＋b＋c等于___________.7.. 设3x＝4y＝36，则2x＋1y=___________.。

对数函数及其性质课件ppt

统计学
决策理论
在决策理论中，对数函数用于构建效用函数，以评估不同选项的风险和收益。
在统计学中，对数函数用于描述概率分布，如泊松分布和二项分布。
05 练习与思考
基础练习题
01
02
03
04
基础练习题1
请计算以2为底9的对数。
基础练习题2
请计算以3为底8的对数。
基础练习题3
请计算以10为底7的对数奇函数也不是偶函数。
周期性
• 无周期性：对数函数没有周期性，因为其图像不会重复出现。
03 对数函数的运算性质
换底公式
总结词
换底公式是用来转换对数的底数的公式，它对于解决对数问题非常有用。
详细描述
换底公式是log_b(a) = log_c(a) / log_c(b)，其中a、b、c是正实数，且b 和c都不等于1。通过换底公式，我们可以将对数函数转换为任意底数的对数函数，从而简化计算过程。
图像绘制
对数函数的图像通常在直角坐标系中绘制，随着底数$a$的取值不同，图像的形状和位置也会有所变化。
单调性
单调递增
当底数$a > 1$时，对数函数是单调递增的，即随着$x$的增大，$y$的值也增大。
单调递减
当$0 < a < 1$时，对数函数是单调递减的，即随着$x$的增大，$y$的值减小。
对数函数的乘法性质
总结词
对数函数的乘法性质是指当两个对数函数相乘时，其结果的对数等于两个对数函数分别取对数后的积。
详细描述
对数函数的乘法性质公式为log_b(m) * log_b(n) = log_b(m * n)，其中m 和n是正实数。这个性质在对数运算中也非常有用，因为它可以简化对数的计算过程。

数学必修一第四章知识点总结

高中数学人教必修第一册第四章知识点讲解对数函数及其性质1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的特征：a x 的系数：1a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数a x 的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．【例1－1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________．解析：由a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0,1．又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1．答案：1【例1－2】下列函数中是对数函数的为__________．(1)y ＝log(a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2；(3)y ＝8log 2(x ＋1)；(4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)；(5)y ＝log 6x ．解析：答案：2．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象与性质(1)图象与性质a ＞10＜a ＜1图象性质(1)定义域{x |x ＞0}(2)值域{y |y R }(3)当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1,0)(4)当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1时，y ＜0(4)当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞0(5)在(0，＋∞)上是增函数(5)在(0，＋∞)上是减函数谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y 轴右侧，其单调性取决于底数．a ＞1时，函数单调递增；0＜a ＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．(2)指数函数与对数函数的性质比较解析式y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)性质定义域R (0，＋∞)值域(0，＋∞)R过定点(0,1)(1,0)单调性单调性一致，同为增函数或减函数奇偶性奇偶性一致，都既不是奇函数也不是偶函数(3)底数a 对对数函数的图象的影响①底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a ＜1时，对数函数的图象“下降”．②底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．点技巧对数函数图象的记忆口诀两支喇叭花手中拿，(1,0)点处把花扎，若是底数小于1，左上穿点渐右下，若是底数大于1，左下穿点渐右上，绕点旋转底变化，顺时方向底变大，可用直线y ＝1来切，自左到右a 变大．【例2】如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象．已知a，43，35，110中取值，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C4的a 值依次为()A 43，35，110B 43，110，35C ．43，，35，110D ．43110，35解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C 4的底数＜C 3的底数＜C 2的底数＜C 1的底数．故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4，43，35，110．答案：A点技巧根据图象判断对数函数的底数大小的方法(1)方法一：利用底数对对数函数图象影响的规律：在x 轴上方“底大图右”，在x 轴下方“底大图左”；(2)方法二：作直线y ＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小．3．反函数(1)对数函数的反函数指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数．(2)互为反函数的两个函数之间的关系①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域；②互为反函数的两个函数的图象关于直线y ＝x 对称．(3)求已知函数的反函数，一般步骤如下：①由y ＝f (x )解出x ，即用y 表示出x ；②把x 替换为y ，y 替换为x ；③根据y ＝f (x )的值域，写出其反函数的定义域．【例3－1】若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝()A ．log 2xB ．12xC ．12log xD ．2x－2解析：因为函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2．故f (x )＝log 2x ．答案：A【例3－2】函数f (x )＝3x (0＜x ≤2)的反函数的定义域为()A ．(0，＋∞)B ．(1,9]C ．(0,1)D ．[9，＋∞)解析：∵0＜x ≤2，∴1＜3x ≤9，即函数f (x )的值域为(1,9]．故函数f (x )的反函数的定义域为(1,9]．答案：B【例3－3】若函数y ＝f (x )的反函数图象过点(1,5)，则函数y ＝f (x )的图象必过点()A ．(5,1)B ．(1,5)C ．(1,1)D ．(5,5)解析：由于原函数与反函数的图象关于直线y ＝x 对称，而点(1,5)关于直线y ＝x 的对称点为(5,1)，所以函数y ＝f (x )的图象必经过点(5,1)．答案：A 4．利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值对数函数的解析式y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)中仅含有一个常数a ，则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知f (m )＝n 或图象过点(m ，n )等等．通常利用待定系数法求解，设出对数函数的解析式f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，利用已知条件列方程求出常数a 的值．利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如log a m ＝n ，这时先把对数式log a m ＝n 化为指数式的形式a n ＝m ，把m 化为以n 为指数的指数幂形式m ＝k n (k ＞0，且k ≠1)，则解得a ＝k ＞0．还可以直接写出1na m =，再利用指数幂的运算性质化简1nm ．例如：解方程log a 4＝－2，则a －2＝4，由于2142-⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以12a =±．又a ＞0，所以12a =．当然，也可以直接写出124a -=，再利用指数幂的运算性质，得11212214(2)22a ---====．【例4－1】已知f (e x )＝x ，则f (5)＝()A ．e 5B ．5eC ．ln 5D ．log 5e解析：(方法一)令t ＝e x，则x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ，即f (x )＝ln x ．所以f (5)＝ln 5．(方法二)令e x ＝5，则x ＝ln 5，所以f (5)＝ln 5．答案：C【例4－2】已知对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭，试求f (3)的值．分析：设出函数f (x )的解析式，利用待定系数法即可求出．解：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，∵对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭，∴11log 299a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭．∴a 2＝19．∴a ＝11222111933⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．∴f (x )＝13log x ．∴f (3)＝111331log 3log 3-⎛⎫= ⎪⎝⎭＝－1．【例4－3】已知对数函数f (x )的反函数的图象过点(2,9)，且f (b )＝12，试求b 的值．解：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，则它的反函数为y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)，由条件知a 2＝9＝32，从而a ＝3．于是f (x )＝log 3x ，则f (b )＝log 3b ＝12，解得b＝123=5．对数型函数的定义域的求解(1)对数函数的定义域为(0，＋∞)．(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于y ＝log a f (x )的定义域时，应首先保证f (x )＞0．(3)求函数的定义域应满足以下原则：①分式中分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于或等于零；③指数为零的幂的底数不等于零；④对数的底数大于零且不等于1；⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集．【例5】求下列函数的定义域．(1)y ＝5(2x －1)(5x －4)；(3)y =．分析：利用对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的定义求解．解：(1)要使函数有意义，则1－x ＞0，解得x ＜1，所以函数y ＝log 5(1－x )的定义域是{x |x ＜1}．(2)要使函数有意义，则54>0,21>0,211,x x x -⎧⎪-⎨⎪-≠⎩解得x ＞45且x ≠1，所以函数y ＝log (2x －1)(5x －4)的定义域是4,15⎛⎫⎪⎝⎭(1，＋∞)．(3)要使函数有意义，则0.5430,log(43)0,x x ->⎧⎨-≥⎩解得34＜x ≤1，所以函数y =的定义域是3<14x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭．6．对数型函数的值域的求解(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．(2)对于形如y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )这两个函数；②求f (x )的定义域；③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解．(3)对于函数y ＝f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)，可利用换元法，设log a x ＝t ，则函数f (t )(t ∈R )的值域就是函数f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)的值域．注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．【例6－1】求下列函数的值域：(1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝212log (32)x x ＋－．解：(1)∵x 2＋4≥4，∴log 2(x 2＋4)≥log 24＝2．∴函数y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4≤4．∵u ＞0，∴0＜u ≤4．又y ＝12log u 在(0，＋∞)上为减函数，∴12log u ≥－2．∴函数y ＝212log (32)x x ＋－的值域为[－2，＋∞)．【例6－2】已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及相应的x 的值．分析：先确定y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域，然后转化成关于log 3x 的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值．解：∵f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6且定义域为[1,3]．令t ＝log 3x (x ∈[1,3])．∵t ＝log 3x 在区间[1,3]上是增函数，∴0≤t ≤1．从而要求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)在区间[1,3]上的最大值，只需求y ＝t 2＋6t ＋6在区间[0,1]上的最大值即可．∵y ＝t 2＋6t ＋6在[－3，＋∞)上是增函数，∴当t ＝1，即x ＝3时，y max ＝1＋6＋6＝13．综上可知，当x ＝3时，y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值为13．7．对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)过定点(1,0)，即对任意的a ＞0，且a ≠1都有log a 1＝0．这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．对于函数y ＝b ＋k log a f (x )(k ，b 均为常数，且k ≠0)，令f (x )＝1，解方程得x ＝m ，则该函数恒过定点(m ，b )．方程f (x )＝0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．(2)对数函数的图象变换的问题①函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------→向左(b >0)或向右(b <0)平移|b |个单位长度函数y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)②函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――---------------→向上(b >0)或向下(b <0)平移|b |个单位长度函数y ＝log a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)③函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)―----------------―→当x >0时，两函数图象相同当x <0时，将x >0时的图象关于y 轴对称函数y ＝log a |x |(a ＞0，且a ≠1)④函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------------------------------→保留x 轴上方的图象同时将x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换函数y ＝|log a x |(a ＞0，且a ≠1)【例7－1】若函数y ＝log a (x ＋b )＋c (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b ，c 的值分别为__________．解析：∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y ＝log a (x ＋b )＋c (a ＞0，且a ≠1)，得2＝log a (3＋b )＋c ．又∵当a ＞0，且a ≠1时，log a 1＝0恒成立，∴c ＝2．∴log a (3＋b )＝0．∴b ＝－2．答案：－2,2【例7－2】作出函数y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象．解：(第一步)作函数y ＝log 2x 的图象，如图①；(第二步)将函数y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得函数y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图②；(第三步)将函数y ＝log 2(x ＋1)在x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换，得函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图③；(第四步)将函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，沿y 轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④．8．利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况：(1)底数相同，真数不同．比较同底数(是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；明确对数函数的底数与1的大小关系；最后根据对数函数的单调性判断大小．(2)底数不同，真数相同．若对数式的底数不同而真数相同时，可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象，再进行比较，也可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)底数不同，真数也不同．对数式的底数不同且指数也不同时，常借助中间量0,1进行比较．(4)对于多个对数式的大小比较，应先根据每个数的结构特征，以及它们与“0”和“1”的大小情况，进行分组，再比较各组内的数值的大小即可．注意：对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于1进行分类讨论．【例8－1】比较下列各组中两个值的大小．(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)log aπ，log a3.141．分析：(1)构造函数y＝log3x，利用其单调性比较；(2)分别比较与0的大小；(3)分类讨论底数的取值范围．解：(1)因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以f(1.9)＜f(2)．所以log31.9＜log32．(2)因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0，所以log23＞log0.32．(3)当a＞1时，函数y＝log a x在定义域上是增函数，则有log aπ＞log a3.141；当0＜a＜1时，函数y＝log a x在定义域上是减函数，则有log aπ＜log a3.141．综上所得，当a＞1时，log aπ＞log a3.141；当0＜a＜1时，log aπ＜log a3.141．【例8－2】若a2＞b＞a＞1，试比较log a ab，log bba，log b a，log a b的大小．分析：利用对数函数的单调性或图象进行判断．解：∵b＞a＞1，∴0＜ab＜1．∴log a ab＜0，log a b＞log a a＝1，log b1＜log b a＜log b b，即0＜log b a＜1．由于1＜b a ＜b ，∴0＜log b b a ＜1．由log b a －log b ba＝2log b a b ，∵a 2＞b ＞1，∴2ab＞1．∴2log b a b ＞0，即log b a ＞log b b a．∴log a b ＞log b a ＞log b b a ＞log a ab．9．利用对数函数的单调性解对数不等式(1)根据对数函数的单调性，当a ＞0，且a ≠1时，有①log a f (x )＝log a g (x )⇔f (x )＝g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)；②当a ＞1时，log a f (x )＞log a g (x )⇔f (x )＞g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)；③当0＜a ＜1时，log a f (x )＞log a g (x )⇔f (x )＜g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)．(2)常见的对数不等式有三种类型：①形如log a f (x )＞log a g (x )的不等式，借助函数y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．②形如log a f (x )＞b 的不等式，应将b 化为以a 为对数的对数式的形式，再借助函数y ＝log a x 的单调性求解．③形如log a f (x )＞log b g (x )的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集．④形如f (log a x )＞0的不等式，可用换元法(令t ＝log a x )，先解f (t )＞0，得到t 的取值范围．然后再解x 的范围．【例9－1】解下列不等式：(1)1177log log (4)x x >-；(2)log x (2x ＋1)＞log x (3－x )．解：(1)由已知，得>0,4>0,<4,x x x x ⎧⎪-⎨⎪-⎩解得0＜x ＜2．所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ＞1时，有21>3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得1＜x ＜3；当0＜x ＜1时，有21<3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得0＜x ＜23．所以原不等式的解集是20<<1<<33x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或．【例9－2】若22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，求a 的取值范围．解：∵22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，∴－1＜2log 3a ＜1，即12log log log 3a a a a a <<．(1)∵当a ＞1时，y ＝log a x 为增函数，∴123a a <<．∴a ＞32，结合a ＞1，可知a ＞32．(2)∵当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数，∴12>>3a a ．∴a ＜23，结合0＜a ＜1，知0＜a ＜23．∴a 的取值范围是230<<>32a a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，或．10．对数型函数单调性的讨论(1)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a 是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性；三是注意其定义域．(2)关于形如y ＝log a f (x )一类函数的单调性，有以下结论：函数y ＝log a f (x )的单调性与函数u ＝f (x )(f (x )＞0)的单调性，当a ＞1时相同，当0＜a ＜1时相反．例如：求函数y ＝log 2(3－2x )的单调区间．分析：首先确定函数的定义域，函数y ＝log 2(3－2x )是由对数函数y ＝log 2u 和一次函数u ＝3－2x 复合而成，求其单调区间或值域时，应从函数u ＝3－2x 的单调性、值域入手，并结合函数y ＝log 2u 的单调性考虑．解：由3－2x ＞0，解得函数y ＝log 2(3－2x )∞设u ＝3－2x ，x ∞∵u ＝3－2x ∞y ＝log 2u 在(0，＋∞)上单调递增，∴函数y ＝log 2(3－2x )∞∴函数y ＝log 2(3－2x )∞【例10－1】求函数y ＝log a (a －a x )解：(1)若a ＞1，则函数y ＝log a t 递增，且函数t ＝a －a x 递减．又∵a －a x ＞0，即a x ＜a ，∴x ＜1．∴函数y ＝log a (a －a x )在(－∞，1)上递减．(2)若0＜a ＜1，则函数y ＝log a t 递减，且函数t ＝a －a x 递增．又∵a －a x ＞0，即a x ＜a ，∴x ＞1．∴函数y ＝log a (a －a x )在(1，＋∞)上递减．综上所述，函数y ＝log a (a －a x )在其定义域上递减．析规律判断函数y ＝log a f (x )的单调性的方法函数y ＝log a f (x )可看成是y ＝log a u 与u ＝f (x )两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．需特别注意的是，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域，即“定义域优先”．【例10－2】已知f (x )＝12log (x 2－ax －a )在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是增函数，求a 的取值范围．解：1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭是函数f (x )的递增区间，说明1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是函数u ＝x 2－ax －a 的递减区间，由于是对数函数，还需保证真数大于0．令u (x )＝x 2－ax －a ，∵f (x )＝12log ()u x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是增函数，∴u (x )在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是减函数，且u (x )＞0在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上恒成立．∴1,2210,2a u ⎧≥-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩即1,10.42a aa ≥-⎧⎪⎨+-≥⎪⎩∴－1≤a ≤12．∴满足条件的a 的取值范围是112a a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．11．对数型函数的奇偶性问题判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f (－x )与f (x )或－f (x )是否相等；(2)当f (－x )＝f (x )时，此函数是偶函数；当f (－x )＝－f (x )时，此函数是奇函数；(3)当f (－x )＝f (x )且f (－x )＝－f (x )时，此函数既是奇函数又是偶函数；(4)当f (－x )≠f (x )且f (－x )例如，判断函数f (x )＝log )a x (x ∈R ，a ＞0，且a ≠1)的奇偶性．解：∵f (－x )＋f (x )＝＝log )a x -＋log )a x )＝log a (x 2＋1－x 2)＝log a 1＝0，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．【例11】已知函数f (x )＝1log 1axx+-(a ＞0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性；(3)求使f (x )＞0的x 的取值范围．分析：对于第(2)问，依据函数奇偶性的定义证明即可．对于第(3)问，利用函数的单调性去掉对数符号，解出不等式．解：(1)由11xx+-＞0，得－1＜x ＜1，故函数f (x )的定义域为(－1,1)．(2)∵f (－x )＝1log 1ax x -+＝1log 1a xx+--＝－f (x )，又由(1)知函数f (x )的定义域关于原点对称，∴函数f (x )是奇函数．(3)当a ＞1时，由1log 1a x x +-＞0＝log a 1，得11xx+-＞1，解得0＜x ＜1；当0＜a ＜1时，由1log 1ax x +-＞0＝log a 1，得0＜11xx+-＜1，解得－1＜x ＜0．故当a ＞1时，x 的取值范围是{x |0＜x ＜1}；当0＜a ＜1时，x 的取值范围是{x |－1＜x ＜0}．12．对数型函数模型的实际应用地震震级的变化规律、溶液pH 的变化规律、航天问题等，可以用对数函数模型来研究．此类题目，通常给出函数解析式模型，但是解析式中含有其他字母参数．其解决步骤是：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，抓住关键的词和量，理顺数量关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，求出函数解析式模型中参数的值；(3)求模：求解函数模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论．由此看，直接给定参数待定的函数模型时，利用待定系数法的思想，代入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数．一般求出函数模型后，还利用模型来研究一些其他问题．代入法、方程思想、对数运算性质，是解答此类问题的方法精髓．【例12】我国用长征二号F 型运载火箭成功发射了“神舟”七号载人飞船，实现了中国历史上第一次的太空漫步，令中国成为世界上第三个有能力把人送上太空并进行太空漫步的国家(其中，翟志刚完全出舱，刘伯明的头部和手部部分出舱)．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y (单位：km/s)关于燃料重量x (单位：吨)的函数关系式为y ＝k ln(m ＋x )－k )＋4ln 2(k ≠0)，其中m 是箭体、搭载的飞行器、航天员的重量和．当燃料重量为－1)m 吨时，火箭的最大速度是4km/s ．(1)求y ＝f (x )；(2)已知长征二号F 型运载火箭的起飞重量是479.8吨(箭体、搭载的飞行器、航天员、燃料)，火箭的最大速度为8km/s ，求装载的燃料重量(e ＝2.7，精确到0.1)．解：(1)由题意得当x ＝(－1)m 时，y ＝4，则4＝k ln[m ＋－1)m ]－k ln()＋4ln 2，解得k ＝8．所以y ＝8ln(m ＋x )－)＋4ln 2，即y ＝8ln m xm+．(2)由于m ＋x ＝479.8，则m ＝479.8－x ，令479.888ln479.8x=-，解得x ≈302.1．故火箭装载的燃料重量约为302.1吨．。

高一对数函数知识点的梳理总结

高一对数函数知识点的梳理总结1.对数的定义对数函数是指数函数的反函数。

对于正实数a和大于0且不等于1的实数b，对数函数记作 y = logb(x)，其中b为对数的底数，x 为输入值，y为输出值。

对数函数满足以下性质：- 对数函数的定义域为定义底数为b的对数的所有正实数；- 对数函数的值域为实数集；- 对数函数的图像为一个单调递增的曲线。

2.对数函数的性质2.1.对数函数的基本性质- logb(1) = 0，对于任意底数b；- logb(b) = 1，对于任意底数b；- logb(bx) = x，对于任意底数b和实数x。

2.2.对数函数的运算法则- logb(xy) = logbx + logby，对于任意底数b和正实数x、y；- logb(x/y) = logbx - logby，对于任意底数b和正实数x、y；- logb(xn) = n·logbx，对于任意底数b、正实数x和整数n。

2.3.对数函数的性质- 对数函数的图像在正半轴上存在一水平渐近线y = 0，在y轴上存在一竖直渐近线x = 0；- 对数函数在定义域内是严格单调递增的；- 对数函数的值域为整个实数集。

3.对数函数的应用对数函数在实际应用中具有广泛的作用，主要包括以下方面：3.1.科学计数法科学计数法主要用于表示十进制数过大或过小的情况，通过对数函数的运算，可以将一个数转化成一个常数与10的幂的乘积。

3.2.解决指数方程和指数不等式对于指数方程和指数不等式，可以利用对数函数的特性将其转化成对数方程和对数不等式，从而便于求解。

3.3.数据处理和模型拟合对数函数可以用于处理数据和拟合模型，尤其在处理呈指数增长或衰减的数据时，对数函数能够更好地描述数据的趋势和变化规律。

4.总结对数函数是一种重要的数学函数，具有丰富的性质和广泛的应用。

通过对对数函数的定义、性质和应用进行梳理，我们能够更好地理解和应用对数函数，提高解决数学问题的能力。

对数函数及其性质知识点总结讲义

对数函数及其性质知识点总结讲义一、对数基本概念1.对数的定义：对数是数学中的一种运算，用一个数的指数表示另一个数。

2. 对数的表示方法：如果a^x = b，则记作x = loga(b)。

3.对数函数：对数函数是指以对数的形式来表示函数的函数。

二、对数函数的性质1.定义域和值域：-对数函数的定义域为正实数集，即x>0。

-对数函数的值域为实数集，即y∈R。

2.对称性：- 设a > 1，则loga(x) = y当且仅当a^y = x。

- 设0 < a < 1，则loga(x) = y当且仅当a^y = x。

3.基本性质：- loga(1) = 0，其中a ≠ 0。

- loga(a) = 1，其中a ≠ 1- loga(x · y) = loga(x) + loga(y)，其中x > 0，y > 0。

- loga(x / y) = loga(x) - loga(y)，其中x > 0，y > 0。

- loga(x^p) = p · loga(x)，其中x > 0，p ∈ R。

- loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中a，b > 0，且a ≠ 1，c ≠14.基本图像：- 对数函数y = loga(x)的图像为一条曲线，也称为对数曲线。

-当0<a<1时，对数曲线在第一象限上严格递减。

-当a>1时，对数曲线在第一象限上严格递增。

5.特殊对数函数：- 以2为底的对数函数y = log2(x)常用于衡量信息的位数及计算机科学中。

- 自然对数函数y = ln(x)常用于微积分和其它分支的数学中。

三、对数函数的应用1.指数增长与对数函数：对数函数的性质使得它在描述指数增长的问题中非常有用。

-对数函数可以用来模拟人口增长、投资收益、疾病传播等指数增长的过程。

2.对数函数在数据处理中的应用：-对数函数可以用来处理大量数据、极大值、极小值等情形。

对数函数及其性质知识点总结经典讲义

对数函数及其性质知识点总结经典讲义对数函数是指以一些正数b为底的函数，表示为logb(x)，其中x为自变量，b为底数。

对数函数是指数函数的逆运算，可以用于解决指数方程和指数不等式问题。

对数函数的一些重要性质如下：1.对数函数的定义域是正实数集R+。

2.对数函数的值域是实数集R。

3.对数函数的自变量必须大于0，即x>0。

4.底数b必须大于0且不等于1，即b>0，b≠15.对数函数的图像在直线y=x左侧，与x轴交于点(1,0)。

6. 对数函数是单调递增函数，即当自变量x1 > x2时，有logb(x1) > logb(x2)。

7. 对数函数的特殊值：logb(1) = 0，logb(b) = 18. 对数函数的运算规则：logb(x·y) = logb(x) + logb(y)，logb(x/y) = logb(x) - logb(y)，logb(x^n) = n·logb(x)，其中x、y 为正实数，n为任意实数。

9. 对数函数的函数性质：logb(1/x) = -logb(x)，logb√x =(1/2)·logb(x)。

10. 对数函数的性质：logb(m/n) = logb(m) - logb(n)，logb(m^n) = n·logb(m)，logb(m) = (logc(m))/(logc(b))，其中b、c为正实数，m、n为正实数。

11. 对数函数的解析式：logb(x) = logc(x)/logc(b)，其中c为任意正实数，c ≠ 112. 对数函数的性质：logb(x) = 1/(logx(b))。

13. 对数函数与指数函数的关系：y = logb(x)是函数y = b^x的反函数，两者互为反函数。

对数函数在数学、科学和工程等领域中具有广泛的应用。

它可以用于求解指数方程和指数不等式，简化复杂的计算和求解过程。

在数学中，对数函数是指数函数的重要补充，它们互为反函数，可以相互转化，应用更加灵活。

对数及其知识点总结

对数及其知识点总结一、定义和性质1. 定义对数是一个数学函数。

正式定义为：如果a > 0且a≠1，且x>0，则以a为底x的对数记作log_a(x)=y，其中y表示底为a的x的对数。

换句话说，log_a(x)表示a的y次幂等于x，其中a称为底数，x称为真数，y称为对数。

2. 性质（1）对数函数的定义域为正实数。

（2）对数函数的值域为实数。

（3）对数函数在a>1时，在a=1时，及a＜1时对数的性质是不同的。

（4）对数函数y=log_a(x)的图象是一条单调递增的曲线，穿过第一象限。

当x=a时,y=1。

（5）对数函数的性质：log_ab=log_ax/log_ab=log_a(x)×log_a(b)。

二、对数的计算1. 对数的运算法则（1）加法法则：log_a(mn)=log_am+log_an。

（2）减法法则：log_a(m/n)=log_am- log_an。

2. 对数的换底公式对数的换底公式是指，当我们计算不同底数的对数时，可以使用换底公式来进行计算。

换底公式是log_ab= log_cb/log_ca。

3. 对数的计算方法对数的计算方法可以通过以下步骤进行：（1）确定底数a和真数x；（2）使用对数的定义，代入相应的值进行计算；（3）根据需要，使用对数的运算法则和换底公式进行计算。

（4）对于特殊情况，如对数为整数或分数时，需要进行额外的计算。

4. 对数的应用对数在实际生活中有着广泛的应用。

例如，在科学计算、工程技术、金融业务等领域都有着重要的作用。

对数常常用来表示某一数量级的大小，例如声音的强度、地震的强度、化学溶液的浓度等。

三、常用对数及自然对数1. 常用对数常用对数是指以10为底的对数。

在常用对数中，log_10(10)=1，log_10(100)=2，log_10(1000)=3，依此类推。

常用对数可以简化对数的计算，常用对数的应用也十分广泛。

2. 自然对数自然对数是以常数e≈2.71828为底的对数。

对数函数及其性质课件

考点一反函数的概念基础夯实型
例 1 (1)函数 y＝1ax 与 y＝logbx 互为反函数，则 a 与 b 的关
系是( )
A．ab＝1
B．a＋b＝1
C．a＝b
D．a－b＝1
[答案] A
[解析] y＝logbx 的反函数为 y＝bx，所以函数 y＝bx 与函数 y＝1ax 是同一个函数，所以 b＝1a，即 ab＝1.故选 A.
(2)点(2，4)在函数 f(x)＝logax 的反函数的图像上，则 f12＝(
)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A．－2
B．2 C．－1
D．1
[答案] C [解析] 因为点(2，4)在函数 f(x)＝logax 的反函数图像上，所以点(4，2)在函数 f(x)＝logax 的图像上，所以 2＝loga4，即 a2＝4，
得 a＝2，所以 f12＝log212＝－1.
解：①要使函数有意义，需 3－3x>0，即 3x<3，所以 x<1，即函数 f(x)的定义域为(－∞，1)．
②f(x)在定义域(－∞，1)上是减函数．证明如下：在(－∞，1)内任取 x1，x2，且 x1<x2，
则 f(x1)－f(x2)＝lg(3－3x1)－lg(3－3x2)＝lg33－－33xx12.
4．奇偶性：根据奇偶函数的定义判定． 5．最值：在 f(x)>0 的条件下，确定 t＝f(x)的值域，再根据 a 确定函数 y＝logat 的单调性，最后确定最值．
[ 讨论 ] 函数 y ＝ log2(x2 － 1) 的定义域是 (__－__∞__－__1_)_∪__(_1_，__＋__∞__)；值域是_____R___________；奇偶性是_____偶__函__数_______；单调递增区间是______(_1_，__＋__∞__)____．

《对数函数的性质》知识清单

《对数函数的性质》知识清单一、对数函数的定义如果 a 的 b 次幂等于 N（a＞0，且a≠1），那么数 b 叫做以 a 为底N 的对数，记作logₐN=b。

其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

一般地，函数y=logₐx（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）。

二、对数函数的图像1、当 a＞1 时，对数函数y=logₐx 的图像是上升的。

图像过点（1，0）。

函数在（0，＋∞）上单调递增。

当 x 趋向于 0 时，函数值趋向于负无穷；当 x 趋向于正无穷时，函数值趋向于正无穷。

2、当 0＜a＜1 时，对数函数y=logₐx 的图像是下降的。

图像过点（1，0）。

函数在（0，＋∞）上单调递减。

当 x 趋向于 0 时，函数值趋向于正无穷；当 x 趋向于正无穷时，函数值趋向于负无穷。

三、对数函数的性质1、定义域对数函数y=logₐx 的定义域是（0，＋∞），因为对数中的真数必须大于 0。

2、值域对数函数的值域是 R，因为当 x 取遍所有正实数时，logₐx 可以取到任意实数。

3、单调性当 a＞1 时，函数在（0，＋∞）上单调递增；当 0＜a＜1 时，函数在（0，＋∞）上单调递减。

4、奇偶性对数函数y=logₐx 是非奇非偶函数。

5、定点对数函数的图像恒过定点（1，0），即当 x=1 时，y=logₐ1=0。

6、函数值的变化当 a＞1 时：若 x＞1，则logₐx＞0；若 0＜x＜1，则logₐx＜0。

当 0＜a＜1 时：若 x＞1，则logₐx＜0；若 0＜x＜1，则logₐx＞0。

四、对数函数的运算性质1、对数的加法：logₐ(MN) ＝logₐM ＋logₐN（a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0）例如：log₂(4×8) ＝ log₂4 ＋ log₂8 ＝ 2 ＋ 3 ＝ 52、对数的减法：logₐ(M/N) ＝logₐM logₐN（a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0）例如：log₃(9/3) ＝ log₃9 log₃3 ＝ 2 1 ＝ 13、对数的幂运算：logₐMⁿ ＝n logₐM（a＞0，且a≠1，M＞0）例如：log₅2⁵＝ 5 log₅2五、对数函数的换底公式换底公式：logₐb ＝logₓb ／logₓa（a＞0，a≠1，b＞0，x＞0，x≠1）这个公式可以将不同底数的对数进行转换，方便计算和比较。

对数函数及其性质(讲义)

对数函数及其性质（讲义）➢ 知识点睛一、对数函数的定义一般地，函数__________（）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，+∞)．二、对数函数的图象和性质1. 对数函数log a y x =（a >0，且a ≠1）的图象和性质：①log a y x =，②log b y x =，③log c y x =，④log d y x =，则有0>>． 3. 反函数log a y x =与x y a =互为反函数，其中a >0，且a ≠1；互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称．➢ 精讲精练1. 直接写出下列函数的定义域：（1）3log (2)y x =- __________________；（2）y =__________________；（3）y __________________；（4）1ln(1)y x =+__________________．2. （1）已知()f x 的定义域为[0，1]，则函数12(log (3))y f x =-的定义域是_____________；（2）已知函数122()log (2log )f x x =-的值域是(-∞，0)，则它的定义域是_____________；（3）函数212()log (613)f x x x =++的值域是_____________．3. 已知a >0，且a ≠1，则函数x y a =与log ()a y x =-的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．4. 函数f (x )=1+2log x 与g (x )=12x -在同一直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．5. 若点(a ，b )在函数y =lg x 的图象上，则下列点也在此图象上的是（）A ．1()b a ， B ．(10a ，1-b )C ．10(1)b a+， D ．(a 2，2b )6. 若log 21a <，则实数a 的取值范围是（）A ．(1，2)B ．(0，1)∪(2，+∞)C ．(0，1)∪(1，2)D ．(0，12)7. 若函数log a y x =在区间[2，π]上的最大值比最小值大1，则a =__________．8. 已知函数2log 0()20x x x f x x >⎧=⎨⎩≤，，，若1()2f a =，则a =________．9. （1）已知函数x y a )1(log -=在(0，+∞)上为增函数，则a 的取值范围是_____________；（2）已知函数log (2)a y ax =-在(-1，1)上是x 的减函数，则a 的取值范围是_____________；（3）若函数22log ()y x ax a =---在区间(1-∞，上是增函数，则a 的取值范围是_____________．10. （1）函数()|log |01a f x x a a =>≠（）且的单调递增区间是_____________；（2）函数212()log (2)f x x x =+的单调递增区间是__________，单调递减区间是_____________；（3）已知2()2f x x x =+，12()log g x x =，则函数(())y f g x =的单调递增区间是___________，单调递减区间是_________．11. 比较下列各组数的大小：（1）112246log log 57，；（2）35log 2log 2，；（3）0.32log 2log 3，；（4）0.450.450.4log 5，，．12.设32log πlog log a b c ===，）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a13. 设a ，b ，c 均为正数，且112212log ()log 2a b a b ==，，21()log 2c c =，则（） A ．a ≠（，且） ➢ 精讲精练1. （1）(2)+∞，；（2）(0)+∞，；（3）2(1]3，；（4）(10)(02]-，， 2. （1）5[2]2，；（2）(02)，；（3）(2]-∞-，3. B4. C5. D6. B7.22ππ或 8.或-19. （1）(2)+∞，；（2）(1，2)；（3）[22]- 10. （1）(1)+∞，（2）(2)(0)-∞-+∞，，，（3）(2)(02)+∞，，，13. A对数函数及其性质（随堂测试）1. 已知函数()f x =的定义域为M ，()ln(1)g x x =+的定义域为N ，则M ∩N =（） A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x <C ．{|11}x x -<<D ．∅2. 若函数loga y x =（01a <<）在区间[a ，2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为（） A ．2B ．4C ．12D ．143. 若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >>D ．b c a >>【参考答案】1. C2. B3. A。

对数函数及其性质知识点总结经典讲义

对数函数及其性质相关知识点总结：1.对数的概念一般地;如果a x＝Na＞0;且a≠1;那么数x叫做以a为底N的对数;记作x＝log a N．a叫做对数的底数;N叫做真数．2. 对数与指数间的关系3.对数的基本性质1负数和零没有对数． 2log a1＝0a＞0;a≠1． 3log a a＝1a＞0;a≠1．10.对数的基本运算性质1log a M·N＝log a M＋log a N． 2log a错误!＝log a M－log a N． 3log a M n＝n log a Mn∈R．4.换底公式1log a b＝错误!a＞0;且a≠1；c＞0;且c≠1;b＞0．2logb a=1log aa5.对数函数的定义一般地;我们把函数y＝log a xa＞0;且a≠1叫做对数函数;其中x是自变量;函数的定义域是0;＋∞．6.对数函数的图象和性质7.对数函数y＝log a xa＞0且a≠1和指数函数y＝a x a＞0且a≠1互为反函数．基础练习：1.将下列指数式与对数式互化：12－2＝错误!； 2102＝100； 3e a＝16； 464－错误!＝错误!；2. 若log3x＝3;则x＝_________3.计算：1log 216=_________; 2 log 381=_________; 32log 62+log 69=__________4.1 错误!＝________． 2log 23log 34log 48=________________5. 设a ＝log 310;b ＝log 37;则3a －b＝_________.6.若某对数函数的图象过点4;2;则该对数函数的解析式为______________.7.1如图2－2－1是对数函数y ＝log a x 的图象;已知a 值取错误!;错误!;错误!;错误!;则图象C 1;C 2;C 3;C 4相应的a 值依次是______________2函数y ＝lg x ＋1的图象大致是 4. 求下列各式中的x 的值： 1log 8x ＝－错误!；2log x 27＝错误!；8.已知函数fx ＝1＋log 2x ;则f 错误!的值为__________.9. 在同一坐标系中;函数y ＝log 3x 与y ＝log 错误!x 的图象之间的关系是_______________10. 已知函数fx ＝错误!那么ff 错误!的值为___________.例题精析：例1.求下列各式中的x 值：1log 3x ＝3； 2log x 4＝2； 3log 28＝x ； 4lgln x ＝0. 变式突破：求下列各式中的x 的值：1log 8x ＝－错误!； 2log x 27＝错误!； 3log 2log 5x ＝0； 4log 3lg x ＝1.例2.计算下列各式的值：12log 510＋log 50.25; 2错误!lg 错误!－错误!lg 错误!＋lg 错误! 3lg 25＋错误!lg 8＋lg 5×lg 20＋lg 22.变式突破：计算下列各式的值：13错误!log 错误!4； 232＋log 35； 371－log 75； 44错误!log 29－log 25．例3.求下列函数的定义域：1y ＝错误!； 2y ＝错误!； 3y ＝log 2x －1－4x ＋8．变式突破：求下列函数的定义域：1y ＝错误!; 2y ＝1log 2（x +2）; 3√1−log 2x .例4.比较下列各组中两个值的大小：1ln 0.3;ln 2； 2log a 3.1;log a 5.2a >0;且a ≠1；3log 30.2;log 40.2； 4log 3π;log π3.变式突破：若a ＝log 0.20.3;b ＝log 26;c ＝log 0.24;则a ;b ;c 的大小关系为________．例5.解对数不等式1解不等式log 2x ＋1＞log 21－x ；2若log a 错误!＜1;求实数a 的取值范围．变式突破：解不等式：1log 32x ＋1>log 33－x ．2若log a 2>1;求实数a 的取值范围．课后作业：1. 已知log x 16＝2;则x 等于___________.2. 方程2log 3x ＝错误!的解是__________.3. 有以下四个结论：①lglg 10＝0；②lnln e ＝0；③若10＝lg x ;则x ＝10；④若e ＝ln x ;则x ＝e 2.其中正确的是_____________.4.函数y ＝log a x ＋2＋1的图象过定点___________.5. 设a ＝log 310;b ＝log 37;则3a －b ＝6. 若log 错误!a ＝－2;log b 9＝2;c ＝log 327;则a ＋b ＋c 等于___________.7.. 设3x ＝4y ＝36;则错误!＋错误!=___________.。

对数函数知识点总结

对数函数知识点总结(共12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--对数函数（一）对数1．对数的概念：一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；○2 x N N a a x=⇔=log ；○3 注意对数的书写格式．两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．（二）对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○2 =N Ma log M a log －N a log ； ○3 na M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式abb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b mnb a n a mlog log =；（2）a b b a log 1log =．（二）对数函数1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

如：x y 2log 2=，5log 5x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．○2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．对数函数·例题解析例1．求下列函数的定义域：（1）2log x y a =；（2）)4(log x y a -=；（3）)9(log 2x y a -=．解：（1）由2x >0得0≠x ，∴函数2log x y a =的定义域是{}0x x ≠；（2）由04>-x 得4<x ，∴函数)4(log x y a -=的定义域是{}4x x <；（3）由9-02>-x 得-33<<x ，∴函数)9(log 2x y a -=的定义域是{}33x x -<<．例2．求函数251-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xy 和函数22112+⎪⎭⎫⎝⎛=+x y )0(<x 的反函数。

对数函数知识点总结

对数函数知识点总结对数函数是数学中的一种特殊函数，其函数表达式为y = logb(x)，其中b是底数，x是自变量，y是函数值。

对数函数有许多特别的性质和应用，本文将对对数函数的基本性质、图像特征和应用等进行详细总结。

一、对数函数的基本概念和性质1.底数是正实数且不等于1：对数函数中的底数b必须是一个正实数，并且不能等于1，因为否则函数将不存在。

2.自变量x必须大于0：对数函数的自变量x必须大于0，否则函数值将无意义。

3.对数函数的定义域和值域：定义域：对数函数的定义域是正实数集，即{x，x>0}。

值域：对数函数的值域是实数集，即(-∞,+∞)。

4. 对数与指数的关系：对数函数和指数函数是互为反函数的关系，即y = logb(x)与y = b^x互为反函数。

5. 乘法性质：logb(xy) = logb(x) + logb(y)，即对数函数中两个实数的乘积的对数等于这两个实数的对数之和。

6. 除法性质：logb(x/y) = logb(x) - logb(y)，即对数函数中两个实数的商的对数等于这两个实数的对数之差。

7. 幂性质：logb(x^p) = p · logb(x)，即对数函数中一个实数的幂的对数等于该实数的对数乘以这个幂。

二、对数函数的图像特征1.对数函数的定义域：对数函数的定义域是正实数集，即{x，x>0}。

2.x轴和y轴的渐近线：当x趋近于0时，对数函数的y值趋近于负无穷，故x轴是对数函数的水平渐近线；当y趋近于正无穷时，对数函数的x值趋近于正无穷，故y轴是对数函数的垂直渐近线。

3.对数函数的基准点(1,0)：对于任意正实数b，对数函数在点(1,0)上均有一个特殊点，即对数函数的基准点。

4.对数函数的图像特征：当底数b>1时，对数函数在(0,+∞)上是递增的，并且对数函数在基准点(1,0)附近是逐渐增加的；当0<b<1时，对数函数在(0,+∞)上是递减的，并且对数函数在基准点(1,0)附近是逐渐减少的；对数函数的图像在x轴的右侧趋近于x轴，并且通过点(1,0)。

第09讲-对数与对数函数(讲义版)

第09讲-对数与对数函数一、考情分析1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；2.通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3.知道对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数(a>0，且a≠1)．二、知识梳理1.对数的概念一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log a N，即b＝log a N(a>0，且a≠1).其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)；④log a m M n＝nm log a M(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. [微点提醒]1.换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log ba ；(2)log a mb n ＝n m log a b . 其中a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈R .2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限.三、经典例题考点一对数的运算【例1-1】 (1)计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________. (2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________.【解析】 (1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝⎛⎭⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 6 63·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 考点二对数函数的图象及应用【例2-1】 (1)若函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( )(2)当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(1，2]D.⎝⎛⎭⎫0，12 【解析】 (1)由f (x )在R 上是减函数，知0<a <1.又y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).∴当x >1时，y ＝log a (x －1)的图象由y ＝log a x 向右平移一个单位得到.因此选项D 正确. (2)由题意，易知a >1.在同一坐标系内作出y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)及y ＝log a x 的图象.若y ＝log a x 过点(2，1)，得log a 2＝1，所以a ＝2.根据题意，函数y ＝log a x ，x ∈(1，2)的图象恒在y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2].规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 考点三对数函数的性质及应用【例3－1】已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增 B.f (x )在(0，2)上单调递减C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解析由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误. 答案 C【例3－2】 (1)(一题多解)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b(2)若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1D.(0，1)∪(1，＋∞)【解析】 (1)法一因为a ＝log 2e>1，b ＝ln 2∈(0，1)，c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a >1，所以c >a >b .法二 log 1213＝log 23，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝log 2x ，y ＝ln x 的图象，由图知c >a >b .(2)由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ，又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1，同时2a >1，∴a >12.综上，a ∈⎝⎛⎭⎫12，1. 【例3－3】已知函数f (x )＝log a (3－ax ).(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.【解析】 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立.∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围是(0，1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数.∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1. 规律方法 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行. 2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件. [方法技巧]1.对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且00；当a >1且01时，log a b <0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定.5.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a 与1的大小关系，当底数a 与1的大小关系不确定时，要分0<a <1与a >1两种情况讨论.6.在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N +，且α为偶数).7.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.四、课时作业1．（2020·土默特左旗金山学校高一开学考试（文））设82log 9log 3a=，则实数a 的值为（）A ．32B ．23C ．1D ．22．（2020·长春市第二十九中学高三期末（理））函数y ＝ln |x |＋1的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．3．（2020·陕西省高三开学考试（文））若24log log 1x y +=，则（）A ．22x y =B ．24x y =C ．22xy =D ．24xy =4．（2020·九台市第四中学高一期末）函数0.5log (43)y x =-的定义域为（）A ．（34，1） B ．（34，∞） C ．（1，+∞） D ．（34，1）∪（1，+∞） 5．（2020·海南省海南中学高三月考）已知实数ln22a =，22ln2b =+，2(ln2)c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c a b <≠，若1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则12341111x x x x +++=（）A ．2B ．4C ．8D ．随a 值变化7．（2020·榆林市第二中学高三零模（理））等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=（）A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+8．（2020·甘肃省甘谷第一中学高二开学考试（理））已知0,0a b >>，且1ab =，则函数()x f x a =与函数()log b g x x =-的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．9．（2020·湖南省宁乡一中高一期末）设函数()1232,2()log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()()2f f 的值为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．310．（2020·甘肃省甘谷第一中学高一开学考试）已知函数2()log (23)a f x x x =+-，若(2)0f >，则此函数的单调递增区间是（）A ．(1,)(,3)+∞-∞- B ．(,3)-∞-B ．C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞11．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞12．（2020·甘肃省高三一模（文））若函数()20202020log 1010f x a x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭为奇函数（其中a 为常数），则不等式()0f x ≥的整数解的个数是（） A ．1011B ．1010C ．2020D ．202113．（2020·湖南省宁乡一中高一期末）计算：02lg 2lg53⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值是________． 14．（2020·江苏省盐城中学高三月考）已知函数221()log (1)1x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是_______．15．（2020·海南枫叶国际学校高一期末）不用计算器求下列各式的值（1）()11230988.6427-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）7log 23lg25lg472log +++16．（2020·甘肃省甘谷第一中学高一开学考试）设函数33()log (9)log (3)f x x x =⋅，且199x ≤≤．（1）求(3)f 的值；（2）令3log t x =，将()f x 表示成以t 为自变量的函数；并由此，求函数()f x 的最大值与最小值及与之对应的x 的值．17．（2020·四川省乐山沫若中学高一月考）已知函数()()()3 01a f x log ax a a -≠＝＞且．（1）当[]02x ∈，时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围；（2）是否存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．18．（2020·天水市第一中学高一月考）已知函数()()lg 2(01)x xf x m m =-<<．（1）当12m =时，求()f x 的定义域；（2）试判断函数()f x 在区间(,0)-∞上的单调性，并给出证明；（3）若()f x 在区间(,1]-∞-上恒取正值，求实数m 的取值范围．19．（2020·甘肃省甘谷第一中学高二开学考试（文））已知函数()log (2)(0,1)a f x x a a =+>≠．（1）求函数()f x 定义域；（2）若(2)2f =，判断函数()f x 单调性，并用单调性定义证明；（3）解关于x 的不等式()0f x >．20．（2020·山西省大同一中高二月考（理））已知函数()()2232log ,log f x x g x x =-=. (1)当[]1,4x ∈时，求函数()()()1h x f x g x ⎡⎤=+⋅⎣⎦的值域；(2)如果对任意的[]1,4x ∈，不等式()()2f x fk g x ⋅>⋅恒成立，求实数k 的取值范围．。

对数函数及其性质知识点总结与例题讲解

底数
a 1
0 a 1
y
y
图象
1
O
1
x
O
x
定义域
0,
值域
R
定点性
过定点 1,0 ,即当 x 1时, y 0
质函数值当 0 x 1 时, y 0 ;
当 0 x 1 时, y 0 ;
的正负
当 x 1时, y 0 .
当 x 1时, y 0 .
∴定点的坐标为 3,3
∴函数 y b xc 2 的图象恒过点 3,3
令 x c 3 c 0 ,则 c 3, y b0 2 3 ,符合题意.
∴实数 c 的值是 3.
例 9. 已知函数 f x log2 1 2x ,则函数的值域是【】
注意若比较图象与直线 y 1的交点,交点的横坐标越大,对应的函数的底数越小.
说明在平面直角坐标系中,对数函数 y loga x 的图象与直线 y 1的交点为 a,1,即交
点的横坐标等于对数函数的底数,故在第一象限内,交点的横坐标越大,对数函数的底数就
越大;对数函数
y

log a
（A） 1,1
（B） 1,2
（C） 2,1
（D） 2,2
解:令 x 1 1,则 x 2 , y loga 1 1 1
∴函数 f x 的图象恒过点 2,1 .
选择【 C 】.
例 6. （ 1 ）函数 f x loga 2x 3 4 （ a 0 且 a 1）的图象恒过定点
∴ log2 1≤ log2 x log2 64 ,∴ 0 ≤ log2 x 6 ,即 0 ≤ y 6 .

对数函数及其性质

4.2.2 对数函数及其性质知识点一、对数函数的定义一般地，形如x y a log =)10(≠>a a 且的函数叫做对数函数，其中x 是自变量．知识点二、对数函数的图象与性质知识点三、反函数一般的，函数)(x f y =)(A x ∈中，设它的值域为C ．我们根据这个函数中x ，y 的关系，用y 把x 表示出来，得到)(y x ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过)(y x ϕ=，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么)(y x ϕ=就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数．这样的函数)(y x ϕ=)(C y ∈叫作函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1x f y -=．（1）一些常见的结论：①原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域； ②)(x f y =与)(1x f y -=互为反函数，设)(x f y =的定义域是A ，值域是C ，则)()]([1C x x x f f ∈=-．③若点a (，)b 在函数数)(x f y =上，则点b (，)a 在它的反函数)(1x f y -=的图像上；④函数)(x f y =与它的反函数)(1x f y -=的图像具有相同的单调性； ⑤只有具有严格单调性的函数才具有反函数．（2）互为反函数的两个函数的图像具有一下性质：①对称性：函数)(x f y =与它的反函数)(1x f y -=的图像在同一坐标系中关于直线x y =对称； ②自反性：若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图像自身关于直线x y =对称．一、函数的概念与定义域例1、求下列函数的定义域：（1）)432(log )3(xx y -=+ （2）121log 8.0--=x x y（3）（4）)2(log 1|2|)(22x x x x f ---= （5）)(lg log 2x y = （6）)25(log 25.0x y -=例2、已知)(x f y =的定义域0[，]1，求函数)]3([log 21x f y -=的定义域．)78lg(2-+-=x x y【举一反三】设=)(x f lg x x -+22，则)2()2(xf x f +的定义域为．例3、已知0(11log )(>-+=a xxx f a，且)1≠a ．（1）求)(x f 的定义域；（2）判断)(x f 的奇偶性，并证明；（3）求使0)(>x f 的x 的取值范围．二、对数函数的值域与最值例4、函数)13(log )(2+=x x f 的值域是（） A ．),0(+∞ B ．),0[+∞ C ．)1[∞+ D ．),1(+∞【举一反三】1、若函数()log (1)x a f x a x =++在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（） A ．41B ．21 C ．2 D ．42、当1>a 时，函数x x f a log )(=在区间]2,[a a 上的最大值和最小值之差是21，则a 的值为（） A ．2 B ．2 C ．22 D ．43、求下列函数的值域（1）22log (3)y x =- （2）)2(log 231+-=x x y例5、已知x 满足不等式21log 321-≤≤-x ，求函数)2(log )4(log 22xx y ⋅=的最大值与最小值．【举一反三】已知x 满足20.50.52(log )7log 30x x ++≤ ，求函数22()(log )(log )24x xf x =的最值．例6、已知函数)32(log )(25.0+-=ax x x f ，解答下述问题（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围；（3）若函数在),1[+∞-内有意义，求实数a 的取值范围；（4）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ，求实数a 的值；（5）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值；（6）若函数在]1,(-∞内为增函数，求实数a 的取值范围．三、对数值大小的比较例7、比较下列各组数中两个数的大小（1）4.3log 2与5.8log 2（2）0.5log 1.8，0.5log 2.1；（3）7log 6与6log 7（4）0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8【举一反三】1、已知c a b 5.05.05.0log log log <<，则（） A ．222b a c >> B ．222a b c >> C ．222c b a >>D ．222c a b >>2、若03log 3log >>b a ，则a ，b ，1 的大小关系为（） A ．b a <<1 B ．a b <<1 C ．10<<> B ．x y z >> C ．z x y >> D ．y x z >>4、若1>>b a ，10<<c ，则（） A ．c c b a < B ．c c ba ab <C ．c b c a a b log log <D ．c c b a log log <四、对数型复合函数的单调性与单调区间例8、已知（1）求的单调区间；（2）求的最大值，并求取得最大值时的的值．)32(log 24x x y -+=)(x f y x【举一反三】1、已知函数()log ()a f x a x =-在[2,3]上单调递减，则a 的取值范围是．2、已知)2(log ax y a -=在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是. ．3、已知函数)(log 25.0a ax x y --=在区间-∞(，）31-上是增函数，则a 的取值范围是. ．五、对数函数的图像及应用例9、作出下列函数的图像（1）()2()log 1f x x =+（2）()2()|log 1|f x x =+（3）lg |1|y x =-（4）()lg 1y x =-例10、函数x x f 2log 1)(+=与x x g -=12)(在同一直角坐标系下的图象大致是（）【举一反三】若0(>-=-a a ka y x x 且)1≠a 在R 上是奇函数又是增函数，则)(log k x y a +=图象是（）例11、已知函数|lg |)(x x f =，若b a <<0，且)()(b f a f =则b a 2+的取值范围是（） A．)+∞ B．)+∞C ．(3,)+∞D ．[3,)+∞【举一反三】已知函数|lg |,010()16,102x x f x x x <<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，若a ，b ，c 均不相等，且)()()(c f b f a f ==，则abc 的取值范围是（） A ．1(，)10 B ．5(，)6 C ．10(，)12 D ．20(，)24六、反函数例12、若点1(，)2既在函数b ax x f +=)(的图像上，又在它的反函数图像上，求)(x f 的解析式．【举一反三】1、已知1x 是方程3lg =+x x 的根，2x 是方程310=+x x 的根，求21x x +的值．2、设)(1x f -是函数)1)((21)(>-=-a a a x f x x 的反函数，且使1)(1>-x f 成立的取值范围．【课后巩固】一、选择题1．若01a <<，则函数log (5)a y x =+的图象不经过（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若143log <a ，则a 的取值范围是（） A ．)43,0(B ．),43(+∞C ．)1,43(D ．)43,0(),1(+∞3．已知函数|lg |)(x x f =，b a <<0，且)()(b f a f >，则（） A ．1>ab B ．1<abC ．1=abD ．1)1)(1(>--b a4．设)11lg()(a xx f +-=是奇函数，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（） A ．1(-，)0B ．0(，)1C ．-∞(，)0D ．R5．若函数)(x f y =是函数x a y =0(>a 且)1≠a 的反函数，且1)2(=f ，则=)(x f （） A ．x 2logB ．x 21C ．x 21logD ．22-x6．若函数log ()a y x b =+0(>a 且)1≠a 的图象过两点)0,1(-和)1,0(，则（） A ．2==b a B ．2=a ，2=bC ．2=a ，1=bD ．2==b a7．函数y=lg （112-+x）的图像关于（） A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线x y =对称8．已知0>a ，且≠a 1，函数x a y =与)(log x y a -=的图象只能是图中的（）9．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．1(0,)3C ．11[,)73D ．1[,1)710．已知函数满足，且当时，，则与函数的图象的交点个数为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、填空题 11．使121log >a成立的a 的取值范围是． 12．若函数()ln(f x x x =为偶函数，则a = ． 13．函数)10(5)13(log 2≠>++-=a a x x y a 且过定点． 14．函数()log (1)a f x x =+的定义域和值域都是[0,1]，则a 的值为． 15．已知12>>>a b a ，则b m a log =，a n b log =，abp blog =的大小关系是． 16．若函数()f x 是奇函数，且0x >时，()()lg 1f x x =+，则当0x <时，()f x = ．三、解答题17．讨论函数lg(1)lg(1)y x x =++-的奇偶性与单调性18．已知，求的值．))((R x x f y ∈=)1()1(-=+x f x f []1,1-∈x 2)(x x f =)(x f y =x y 5log =22log (4)log (1)log 5log (21)(01)a a a a x y xy a a +++=+->≠，且8log yx19．设0(>a 且)1≠a ，若函数)32(lg 2)(+-=x x a x f 有最大值，试解不等式0)75(log 2>+-x x a ．20．设f (x )＝lg(ax 2－2x ＋a ),（1）如果f (x )的定义域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值范围；（2）如果f (x )的值域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值范围．21．已知x 满足不等式06log 7)(log 222≤++x x ，求函数=)(x f )2(log )4(log 42x x •的值域．22．已知函数()f x 满足()()2223log 0,16ax f x a a x-=>≠- （1）求()f x 的解析式（2）判断()f x 的奇偶性；（3）讨论()f x 的单调性；（4）解不等式()()log 2a f x x ≥．。

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