现代控制理论第四章 ppt课件
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现代控制理论-4-控制系统的稳定性分析
2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变化 所定义的内部稳定性。状态稳定。
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
现代控制理论课件第四讲
现代控制理论的应用领域
现代控制理论广泛应用于航空航天、 工业自动化、交运输、能源等领域， 为解决复杂系统的控制问题提供了有 效的方法。
课程目标
掌握状态空间分析方法的基本原 理
通过本讲的学习，学习者应能够理解状态 空间分析方法的基本概念、原理及其在控 制系统中的应用。
学会建立状态空间模型
学习者应能够根据实际系统的动态特性， 建立相应的状态空间模型，为后续的控制 设计打下基础。
特点
强调数学建模、状态空间分析、 最优控制和自适应控制等理论和 方法的应用，以实现对系统的有 效控制。
现代控制理论的重要性
工业自动化
现代控制理论在工业自动化领域 中发挥着重要作用，通过自动化 控制系统实现对生产过程的精确 控制，提高生产效率和产品质量。
航天与航空
在航天和航空领域，现代控制理 论的应用对于飞行器的导航、制 导和控制至关重要，保证飞行器
现代控制理论课件第四 讲
目录
• 引言 • 现代控制理论概述 • 线性系统理论 • 最优控制理论 • 非线性系统理论 • 现代控制理论的应用与发展趋势
引言
01
课程背景
控制理论的发展历程
课件的定位与作用
从经典控制理论到现代控制理论，再 到智能控制理论，控制理论在不断发 展与完善。
本课件作为现代控制理论的第四讲， 旨在深入探讨状态空间分析方法，为 学习者提供系统、全面的知识体系。
详细描述
非线性系统的控制设计方法主要包括逆系统方法、状态 反馈方法、滑模控制方法等。这些方法可以根据具体的 系统特性和控制要求进行选择和应用。例如，逆系统方 法通过构造一个逆系统来补偿非线性系统的非线性特性 ，实现精确跟踪控制；状态反馈方法利用状态反馈控制 器来稳定非线性系统；滑模控制方法通过设计滑模面和 滑模控制器，使得系统状态在滑模面上滑动，实现对于 非线性系统的有效控制。
《现代控制理论》课件
现代控制理论
目录
• 引言 • 线性系统理论 • 非线性系统理论 • 最优控制理论 • 自适应控制理论 • 鲁棒控制理论
01
引言
什么是现代控制理论
现代控制理论是一门研究动态系统控制的学科，它利用数学模型和优化方法来分析 和设计控制系统的性能。
它涵盖了线性系统、非线性系统、多变量系统、分布参数系统等多种复杂系统的控 制问题。
20世纪60年代
线性系统理论和最优控制理论得到发展，为现代控制理论的建立奠定 了基础。
20世纪70年代
非线性系统理论和自适应控制理论逐渐发展起来，进一步丰富了现代 控制理论的应用范围。
20世纪80年代至今
现代控制理论在智能控制、鲁棒控制、预测控制等领域取得了重要进 展，为解决复杂系统的控制问题提供了更有效的工具。
01
利用深度学习算法对系统进行建模和学习，实现更高
效和智能的自适应控制。
多变量自适应控制
02 研究多变量系统的自适应控制方法，以提高系统的全
局性能。
非线性自适应控制
03
发展非线性系统的自适应控制方法，以处理更复杂的
控制系统。
06
鲁棒控制理论
鲁棒控制的基本概念
鲁棒控制是一种设计方法，旨在 提高系统的稳定性和性能，使其 在存在不确定性和扰动的情况下
自适应逆控制
一种基于系统逆动态特性的自适应控制方法，通过对系统 逆动态特性的学习和控制，实现系统的自适应控制。
自适应控制系统设计
系统建模
建立被控对象的数学模型，包括线性系统和非线性系统。
控制器设计
根据系统模型和性能指标，设计自适应控制器，包括线性自适应控制器和 非线性自适应控制器。
参数调整
根据系统运行状态和环境变化，调整控制器参数，以实现最优的控制效果 。
目录
• 引言 • 线性系统理论 • 非线性系统理论 • 最优控制理论 • 自适应控制理论 • 鲁棒控制理论
01
引言
什么是现代控制理论
现代控制理论是一门研究动态系统控制的学科，它利用数学模型和优化方法来分析 和设计控制系统的性能。
它涵盖了线性系统、非线性系统、多变量系统、分布参数系统等多种复杂系统的控 制问题。
20世纪60年代
线性系统理论和最优控制理论得到发展，为现代控制理论的建立奠定 了基础。
20世纪70年代
非线性系统理论和自适应控制理论逐渐发展起来，进一步丰富了现代 控制理论的应用范围。
20世纪80年代至今
现代控制理论在智能控制、鲁棒控制、预测控制等领域取得了重要进 展，为解决复杂系统的控制问题提供了更有效的工具。
01
利用深度学习算法对系统进行建模和学习，实现更高
效和智能的自适应控制。
多变量自适应控制
02 研究多变量系统的自适应控制方法，以提高系统的全
局性能。
非线性自适应控制
03
发展非线性系统的自适应控制方法，以处理更复杂的
控制系统。
06
鲁棒控制理论
鲁棒控制的基本概念
鲁棒控制是一种设计方法，旨在 提高系统的稳定性和性能，使其 在存在不确定性和扰动的情况下
自适应逆控制
一种基于系统逆动态特性的自适应控制方法，通过对系统 逆动态特性的学习和控制，实现系统的自适应控制。
自适应控制系统设计
系统建模
建立被控对象的数学模型，包括线性系统和非线性系统。
控制器设计
根据系统模型和性能指标，设计自适应控制器，包括线性自适应控制器和 非线性自适应控制器。
参数调整
根据系统运行状态和环境变化，调整控制器参数，以实现最优的控制效果 。
现代控制理论 第四章 稳定性理论
G (t ) = Φ (t ) B + D δ (t )
这里 Φ ( t ) = e At ，当系统满足内部稳定性时，由式(5-7)有
lim Φ ( t ) = lim e At = 0
t →∞ t →∞
这样， ( t ) 的每一个元g ij ( t )( i = 1, 2,⋯ , q, j = 1, 2,⋯ , p ) 均是由一些指 G 数衰减项构成的，故满足
其中
Qi =
( s − λ i ) adj ( s I − A ) ( s − λ i )( s − λ 2 )⋯ ( s − λ n )
s = λi
显然，当矩阵 A 的一切特征值满足
R e λ i ( A ) < 0 i = 1, 2 , ⋯ , n
则式(4-7)成立。 内部稳定性描述了系统状态的自由运动的稳定性。
∫
∞ 0
g ij ( t ) d t ≤ k < ∞
这里 k 为有限常数。这说明系统是BIBO稳定的。证毕。
定理4.4 定理4.4 线性定常系统如果是BIBO稳定的，则 系统未必是内部稳定的。
证明 根据线性系统的结构分解定理知道，任一线性定常系
统通过线性变换，总可以分解为四个子系统，这就是能控能 观测子系统，能控、不能观测子系统，不能控、能观测子系 统和不能控不能观测子系统。系统的输入-输出特性仅能反映 系统的能控能观测部分，系统的其余三个部分的运动状态并 不能反映出来，BIBO稳定性仅意味着能控能观测子系统是渐 近稳定的，而其余子系统，如不能控不能观测子系统如果是 发散的，在BIBO稳定性中并不能表现出来。因此定理的结论 成立。
y ( t1 ) =
∫
t1 t0
g ( t1 , τ )u (τ ) d τ =
这里 Φ ( t ) = e At ，当系统满足内部稳定性时，由式(5-7)有
lim Φ ( t ) = lim e At = 0
t →∞ t →∞
这样， ( t ) 的每一个元g ij ( t )( i = 1, 2,⋯ , q, j = 1, 2,⋯ , p ) 均是由一些指 G 数衰减项构成的，故满足
其中
Qi =
( s − λ i ) adj ( s I − A ) ( s − λ i )( s − λ 2 )⋯ ( s − λ n )
s = λi
显然，当矩阵 A 的一切特征值满足
R e λ i ( A ) < 0 i = 1, 2 , ⋯ , n
则式(4-7)成立。 内部稳定性描述了系统状态的自由运动的稳定性。
∫
∞ 0
g ij ( t ) d t ≤ k < ∞
这里 k 为有限常数。这说明系统是BIBO稳定的。证毕。
定理4.4 定理4.4 线性定常系统如果是BIBO稳定的，则 系统未必是内部稳定的。
证明 根据线性系统的结构分解定理知道，任一线性定常系
统通过线性变换，总可以分解为四个子系统，这就是能控能 观测子系统，能控、不能观测子系统，不能控、能观测子系 统和不能控不能观测子系统。系统的输入-输出特性仅能反映 系统的能控能观测部分，系统的其余三个部分的运动状态并 不能反映出来，BIBO稳定性仅意味着能控能观测子系统是渐 近稳定的，而其余子系统，如不能控不能观测子系统如果是 发散的，在BIBO稳定性中并不能表现出来。因此定理的结论 成立。
y ( t1 ) =
∫
t1 t0
g ( t1 , τ )u (τ ) d τ =
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第4章 稳定性与李雅普诺夫方法
例如：对二维空间矢量：x
1 x 2 ,Tx
V (x)
x 12
2x
2 2
2
1
2
V (x) (x x )
V (x)
V (x)
2
2
1
2
(x 2x )
(x 1 x 2) 2
V (x) x1 x2
是正定的 是半正定的 是负定的 是半负定的 是不定的
第4章 稳定性与李雅普诺夫方法
特征值为
j
是不稳定的
不能得出稳定性结论
第4章 稳定性与李雅普诺夫方法
4.3李雅普诺夫第二法（直接法）
方法：不求解系统的状态方程，通过一个系统的能量函数来直
接判断系统的稳定性。
问题：在实际系统中，往往不容易找出系统的能量函数。
办法： 于是李雅普诺夫定义了一个正定的标量函数V(x)，作为
系统的一个虚构的广义能量函数。根据 V (x) 的符号性质，可以判 断系统的状态稳定性。
得到特征值为－3，2 。所以系统状态不是渐近稳定的。
（2）系统的传递函数 () (
G s c sI
1 A 1b s 3
可见传递函数的极点－3位于s平)面的左半平面，故系统输出
稳定。
第4章 稳定性与李雅普诺夫方法
4.2.2 非线性系统的稳定性 设非线性系统的状态方程为： x
f x,t
xe为平衡状态；f[x,t]为与x同维的矢量函数，且对x有连
x
Ax
A
f
xT
第4章 稳定性与李雅普诺夫方法
定理（李雅普诺夫线性化方法）
（1）如果方程式中系数矩阵A的所有特征值都具有负实部，则 原非线性系统在平衡状态xe是渐近稳定的，而且稳定性与R(x)无 关。
现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性
0s
0
1
s
0 1 1 1 1
(s
s 1 1)(s 1)
s
1 1
可见传递函数的极点 s 1位于s的左半平面，故系统
输出稳定。这是因为具有正实部的特征值2 1 被系统的零
点 s 1 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出
来。由此可见，只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极
点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W(s)的
2020/3/22
6
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
4.2 李亚普诺夫第二法的概述
1892年俄国学者李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般 问题》，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常 微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先 求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称 为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组，而是提 供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观 点提供了判别所有系统稳定性的方法。
即Xe f ( X e ,t) ，0 则把 叫X e做系统的平衡状态。
对于线性定常系统 X AX而言，其平衡状态满足
Xe AX e ，0 若A是非奇异矩阵，则只有 X e ，0 即对线性系 统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无限
多个平衡状态。
对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。
2020/3/22
9
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
3、李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：
如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即
im
t
X
X，e 那么随着系统的运动，其储存的能量将随时间
现代控制理论-第四章
二.可观标准型
• 可控系统： x Ax Bu • 特征方程： I A n an1n1 a1 a0 • 通过变换矩阵将系统化成可控标准型
a2 a3 a1 a a3 a4 2 a3 a4 a5 1 T 1 an 1 1 0 0 0 1
A T 1 AT 0 1 A 0 0
3t
te 3t x1 (0) t e 3(t ) e 3t x2 (0) 0 0
3t t
(t )e 3( t ) 0 u ( )d e 3( t ) 1
x1 (t ) e x1 (0) te x2 (0) (t )e 3(t )u ( )d
二.能观性
第二节 线性系统的能控、能观性判据
• • • • • • 一.能控性判据 设系统为： x Ax Bu, y Cx 1.秩判据 Qc B AB A2 B An1B 若rank[Qc]=n，即 I A 0 满秩，则系统可控。 2.对角规范型矩阵 若A是对角阵，且B阵中无全为零的一行，则系统可 控。反之为零一行所对应的状态不可控。 • 3.约当规范型矩阵 • 若A是约当阵，且B阵中与每个约当块最后一行相对 应的行的元素不全为零，则系统可控。反之为零一 行所对应的状态不可控。
0
x2 (t ) e x2 (0) e 3(t )u ( )d
3t 0
t
y (t ) x1 (t ) e x1 (0) te x2 (0) (t )e 3( t )u ( )d
3t 3t 0
t
• 可见：1.两个状态变量中均有输入的作用，可控 • 2.输出中有两个状态变量的出台，输出可以反映初始状态，可测
《现代控制理论(第3版)》刘豹 唐万生课件 第4章
的。李雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定性定义为四种情况。
1．李雅普诺夫意义下稳定 2．渐近稳定 3．大范围渐近稳定 4．不稳定
4.2 李雅普诺夫第一法
4.2.1 线性系统的稳定判据 线性定常系统
（1） 平衡状态 实部。 以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义 渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负
是从
开始观察的时间变量。 式(2)实际上描述了系统式(1)在n 维状态空间中从初始条件 发的一条状态运动的轨迹，简称系统的运动或状态轨线。 若系统式(1)存在状态矢量 ，对所有 ，都使： （3） 成立，则称 为系统的平衡状态。 出
对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也未必是唯
一的，例如对线性定常系统：
1.标量函数的符号性质 设 为由 维矢量 所定义的标量函数， ，如果： ，且在 处恒
有
所有在域
。
中的任何非零矢量
2．二次型标量函数 二次型函数在李雅普诺夫第二方法分析系统的稳定性中起着很重要的作 用。 设 为n个变量，定义二次型标量函数为：
（8）
矩阵 P 的符号性质定义如下： 设P 为 实对称方阵， 为由P 所决定的二次型函数。
称稳定判据。 ②若 来说，除去 为负定；或者虽然 外，对 为半负定．但对任意初始状态 不恒为零。那么原点平衡状态是渐近稳 ，则系统是大范围渐近稳定
定的。如果进一步还 的。此称渐近稳定判据。
③若 4.3.3
1)
为正定，那么平衡状态 对李雅普诺夫函数的讨论
是不稳定的。此称不稳定判据。
是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且对x应具
由稳定性判据可知，当
为正定对称矩阵时，若
现代控制理论 第4章传递函数矩阵的状态空间实现共30页文档
4.3 基于MFD的典型实现
G(s)qp严格真 右MF:D G(s)N(s)D1(s)
D(s)列既,控 约制器形实
左MF:D G(s)A1(s)B(s) A(s)行既,观 约测器形实
一. 构造控制器形实现
1控制器实现的定义
G(s)N(s)D1(s)严 格 真 ,D(s)列 既 约 ,ciD(s)ki,i1,2,L,p
0
Ip
,
Bkpp
0
0Ip 1Ip
k1Ip
I p
C[P0,P1, ,Pk1]qkp
注：(1)形式上与SISO系统的能控规范形一样,数都变成了矩阵. (2)一定是能控的,但不一定是能观的. (3)由此求最小实现时,要按能观性进行结构分解.
2. 能观测形实现
0qq 0 0 0Iq
Iq
1Iq
一 标量传递函数的典型实现
能控规范形实现 能观测规范形实现 并联形实现（约当形实现） 串联形实现
二 传递函数矩阵的典型实现
G(s)----严格真，有理分式形式表达，即
G (s) [ gij (s)], i 1,2, q; j 1,2, p; 令d (s)为gij (s)的最小公分母 , 记为
u0
(k1 ) 1
(k2 ) 2
,
取
(k p
p
)
x0
ˆ1
ˆ
p
(
k
p
1
)
y0
ˆ p
y0
Inx0
C
0 c
x
0
0
1
x0
ˆ1(
k1
)
ˆ1(1)
ˆp(kp )
ˆp
(1)
uˆ 0 ( s )
现代控制理论-第四章-线性系统的能控性与能观性 PPT课件
第四章 线性系统的能控性与能观性
第四章 线性系统的能控性与能观性
4.1 定常离散系统的能控性
4.2 定常连续系统的能控性
4.3 定常系统的能观性
4.4 线性时变系统的能控性及能观性
4.5 能控性及能观性的对偶关系
4.6 线性定常系统的结构分解
4.7 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系
4.8 能控标准形和能观标准形
1。能控性判据的第一种形式
定理4.2.1 系统(4.2.1)状态完全能控的充分必要 条件是能控性矩阵
UC B AB
的秩为n，即
rank B AB
An1B
An1B n
2019年10月17日
hh
17
第四章 线性系统的能控性与能观性
注：如果系统是单输入系统，则系统的状态完全能 控性的判据为
2019年10月17日
hh
25
第四章 线性系统的能控性与能观性
例4.2.2 判断线性定常系统
x1 1
x2
0
x3 0
3 2 1
2 x1 2
0
x2
1
3 x3 1
1
1
1
u1 u2
1 2 1 1 2 2 4 A2B 0 1 0 0 1 0 1
1 0 3 1 0 4 2
从而
1 0 1 2 2 4 UC 0 1 0 1 0 1
0 0 1 0 4 2
rankUC 3 n 所以，系统能控
hh
5
第四章 线性系统的能控性与能观性
桥形电路(a)两个电容相等。选各自的电压 为状态变量，且设电容上的初始电压为零，根据 电路理论，则两个状态分量恒相等。相平面图 (b)中相轨迹为一条直线，因此系统状态只能在 相平面的一条直线上移动，不论电源电压如何变 动，都不能使系统的状态变量离开这条直线,显 然，它是不完全能控的。
第四章 线性系统的能控性与能观性
4.1 定常离散系统的能控性
4.2 定常连续系统的能控性
4.3 定常系统的能观性
4.4 线性时变系统的能控性及能观性
4.5 能控性及能观性的对偶关系
4.6 线性定常系统的结构分解
4.7 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系
4.8 能控标准形和能观标准形
1。能控性判据的第一种形式
定理4.2.1 系统(4.2.1)状态完全能控的充分必要 条件是能控性矩阵
UC B AB
的秩为n，即
rank B AB
An1B
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第四章 线性系统的能控性与能观性
注：如果系统是单输入系统，则系统的状态完全能 控性的判据为
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第四章 线性系统的能控性与能观性
例4.2.2 判断线性定常系统
x1 1
x2
0
x3 0
3 2 1
2 x1 2
0
x2
1
3 x3 1
1
1
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u1 u2
1 2 1 1 2 2 4 A2B 0 1 0 0 1 0 1
1 0 3 1 0 4 2
从而
1 0 1 2 2 4 UC 0 1 0 1 0 1
0 0 1 0 4 2
rankUC 3 n 所以，系统能控
hh
5
第四章 线性系统的能控性与能观性
桥形电路(a)两个电容相等。选各自的电压 为状态变量，且设电容上的初始电压为零，根据 电路理论，则两个状态分量恒相等。相平面图 (b)中相轨迹为一条直线，因此系统状态只能在 相平面的一条直线上移动，不论电源电压如何变 动，都不能使系统的状态变量离开这条直线,显 然，它是不完全能控的。
现代控制理论 第四章 李雅普诺夫稳定性理论
p11 p11 0, p21
p12 p22
0, ,
p 0
30
2.如果P是奇异矩阵，且它的所有主子行列式均非负，则
V ( x) x Px
T
是正半定的。
3.如果矩阵P的奇数阶主子行列式为负值， T 偶数阶主子行列式为正值，则 V ( x) x Px 是负定的。 即:
p11 p12 p1n p11 p12 n (1) p11 0, (1) 0, , (1) p21 p22
16
4.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 1. 线性定常系统稳定性的特征值判据
Ax x(0) x0 t 0 x
1）李雅普诺夫意义下的稳定的充要条件：
Re(i ) 0
Re( i ) 0
i 1,2, n i 1,2, n
17
19
上式为向量函数的雅可比矩阵。
f f1
令
f2 fn
T
x x1 x2 xn
T
x x f ( xe )
x x xe
f A T x
x xe
则线性化系统方程为： x
Ax
20
结论： 1) 若 Re(i ) 0 i 1,2,, n ，则非线性系 统在xe 处是渐近稳定的，与 g ( x) 无关。 2) 若 Re(i ) 0 , Re( j ) 0 , i j 1,, n 则非线性系统不稳定。 3) 若Re(i ) 0，稳定性与g ( x) 有关，
9
4.2 李雅普诺夫稳定性的定义
1.李雅普诺夫意义下的稳定
如果对每个实数 0 都对应存在另一 个实数 ( , t0 ) 0 满足
《现代控制理论》第三版课件_第4章
22
ˆ Cm2
综上所述，对于一个具有不同特征值的控 制系统，系统矩阵A化为对角线矩阵以后，
ˆ 状态完全能观的条件是， 矩阵 C 中列向
量不为零。
λ1 J = 0 0
1 λ1 0
0 1 , λ1
ˆ C11 ˆ = C C ˆ 21 ˆ C 31
ˆ C12 ˆ C 22 ˆ C 32
J = diag{λ1 , λ2 , , λn }
[ p1
p2
λ1 0 pn ] 0
0 λ2 0
0 0 = A [p 1 λn
p2 pn ]
J1 0 J = P −1 AP = 0
0 J2 0
λ j 0 0 0
[
p j 2 p jq
]
( λ j I − A) p j1 = 0
Pj = p j1
[
p j2
p jq
]
( λ j I − A) p j 2 = − p j1 ( λ j I − A) p j 3 = − p j 2 ( λ j I − A) p jq = − p j ( q −1)
对于线性定常系统，能控性和能达性是互逆的。
x = Ax(t ) + Bu (t )
rank B
[
AB A
n −1
B =n
]
线性定常系统能控的充要条件： 其能控性矩阵的秩为n，或者 B AB …… An-1B线性无关。
Gilbert 能控性准则
x = Ax(t ) + bu (t )
λ1 0 V −1 AV = 0
( λ j I − A) p j1 = 0 ( λ j I − A) p j 2 = − p j1 ( λ j I − A) p j 3 = − p j 2
现代控制理论第4章ppt
已经证明：线性变换不改变系统的特征值，若第i个状 态不能控，即：
xi (t) eit xi (0)
自由分量不能控，即相应特征根的自然模式：
eit
不能控。 由于系统线性变换不改变系统的特征值，所以也不改
变系统的能控性。
2021年4月1日
第4章第12页
1 对角线、约当标准形判据
1）具有约当标准形的系统的能控性判据 （1）系统特征根为单根
在u(t)作用下，由于4个电阻阻值相等，当t≥ t0时，有
x(t) x(t0 ) 初始状态
显然，输入u(t)不能影响电容C，状态x(t)不能控，即此电路是不能控的。
2021年4月1日
第4章第4页
实例2：如图所示电气网络，输入变量是电压源u(t)，输出变量是端电压y(t)， 取C端电压x1(t) 、x2(t)作为状态变量。
1 0 3 0 0
1 2 1 1 0 1 2 AB 0 1 0 0 1 0 1
1 0 3 0 0 1 0
1 2 1 1 2 2 4 A2B A AB 0 1 0 0 1 0 1
1 0 3 1 0 4 2
1 0 1 2 2 4 M [B AB A2B] 0 1 0 1 0 1
0 0 1 0 4 2
通过以上三例可知，系统内部状态与输入之间，存在是否能控的问 题。不能控系统，其不能控状态分量与输入既无直接关系，又无间接关 系。为了揭示能控性的本质，并用于分析更一般和更复杂的系统，需要 对其进行严格的定义，并导出相应的判断准则。
2021年4月1日
第4章第6页
4.1.2 能控性定义 1、定义
对于动力学系统
2021年4月1日
第4章第1页
概述
• 能控性（controllability）和能观测性（observability) 的概念于 60年代初由卡尔曼提出。
xi (t) eit xi (0)
自由分量不能控，即相应特征根的自然模式：
eit
不能控。 由于系统线性变换不改变系统的特征值，所以也不改
变系统的能控性。
2021年4月1日
第4章第12页
1 对角线、约当标准形判据
1）具有约当标准形的系统的能控性判据 （1）系统特征根为单根
在u(t)作用下，由于4个电阻阻值相等，当t≥ t0时，有
x(t) x(t0 ) 初始状态
显然，输入u(t)不能影响电容C，状态x(t)不能控，即此电路是不能控的。
2021年4月1日
第4章第4页
实例2：如图所示电气网络，输入变量是电压源u(t)，输出变量是端电压y(t)， 取C端电压x1(t) 、x2(t)作为状态变量。
1 0 3 0 0
1 2 1 1 0 1 2 AB 0 1 0 0 1 0 1
1 0 3 0 0 1 0
1 2 1 1 2 2 4 A2B A AB 0 1 0 0 1 0 1
1 0 3 1 0 4 2
1 0 1 2 2 4 M [B AB A2B] 0 1 0 1 0 1
0 0 1 0 4 2
通过以上三例可知，系统内部状态与输入之间，存在是否能控的问 题。不能控系统，其不能控状态分量与输入既无直接关系，又无间接关 系。为了揭示能控性的本质，并用于分析更一般和更复杂的系统，需要 对其进行严格的定义，并导出相应的判断准则。
2021年4月1日
第4章第6页
4.1.2 能控性定义 1、定义
对于动力学系统
2021年4月1日
第4章第1页
概述
• 能控性（controllability）和能观测性（observability) 的概念于 60年代初由卡尔曼提出。
西工大—现代控制理论课件ppt课件
y2
up
yq
被控过程
5
典型控制系统由被控对象、传感器、执行器和控制器组成。
被控过程具有若干输入端和输出端。
数学描述方法： 输入－输出描述（外部描述）:高阶微分方程、传递函数矩阵。
一种完整的描述。
状态空间描述（内部描述）：基于系统内部结构，是对系统的
6
1.2 状态空间描述常用的基本概念
1) 输入：外部对系统的作用（激励）； 控制：人为施加的激励；
xn a0 x1 a1x2 an1xn u
得到动态方程
x Ax bu
y x1
y cx
16
式
x1
0 1 0
0 0
中
x2
0
0
1 b , c 1 0
0
xn
1
0
0
0
1
0
xn
a0 a1 a2
an1
0
例1－5
系统的状态变量图
i 2,3,, n
其展开式为 x1 y h0u
x2 x1 h1u y h0u h1u x3 x2 h2u y h0u h1u h2u
xn xn1 hn1u y (n1) h0u (n1) h1u (n2) hn1u ＃
式中， h0 , h1 ,, hn1 是n个待定常数。是n个。
3、动态方程对于系统的描述是充分的和完整的，即系统中 的任何一个变量均可用状态方程和输出方程来描述。 例1－1 试确定图8-5中（a）、（b）所示电路的独立状态变量。图中u、i分别是是
输入电压和输入电流，y为输出电压，xi为电容器电压或电感器电流。
x3
解 并非所有电路中的电容器电压和电感器电流都是独立变量。对图8-5（a），
现代控制理论第4章2 ppt课件
F(x) xT
x1
x2
xn
(nn)Biblioteka fnfnfn
x1 x2
xn xxe
则系统在xe =0处是渐近稳定的充分条件是：下列矩阵
F ˆ(x)FT(x)F(x)
在所有x下都是负定的，而且
V (x ) x T x fT (x )f(x )
是一个李亚普诺夫（Lyapunov）函数。
如果 x 当时f， T(x)f(x),则平衡状态近 是稳 大.定 证 ( 1 )明 F ˆ(x ) 负 ：定 V (x ) 正定
对任意n维状态向量x，有
x T F ˆ ( x ) x x T F T ( x ) F ( x ) x
xTF T(x)xxTF (x)x
x T F (x )x T x T F (x )x
2xTF(x)x
标量
例：设系统的状态方程为
x1 3x1 x2 x2 x1 x2 x23
试用克拉索夫基法确定系统在平衡状态的 xe = 0 稳定性.
（b）非线性函数 f(x 对) x i(i 1 是,2 ,可 微,n 的)；
（c） fi(x)0 (i1,2, ,n) xi
变量梯度法
1）梯度的概念
一个多元函数 v(x1,x2,…,xn) 存在对 n 个变量 xi 的偏导数 在控制问题中，偏导数是指n维空间中的运动质点
v x
i
。
运动到达某一位置时沿各个坐标方向的变化率。
v (x)( V)Tx
x
v(x) (V)T dx
0
李氏函数的求取变成求一个合适的梯度向量V。 求取V利用了以下两个条件：
1）由于V是一个向量，则n维广义旋度为0，故V必须满足 以下旋度方程：
现代控制理论4 (3)
受控系统可控，则可以通过非奇异线性变换P ,化A，B 为可控标准形
x& Ax Bu, y Cx0 Leabharlann 0 001
A P1 AP
0
0
0
a0 a1 a2
C CP 0 1 n1
0
0
1
an1
0 0 B P1B M 0 1
引入 u r Kx, K k0 k1 kn1
b. 状态反馈不改变单输入－单输出系统的 零点，但是，这个结论并不一定适用于多输 入－多输出系统。零点对系统的动态性能的 影响很大，因此，在多输入－多输出系统这， 零点的多变性使按极点配置的综合问题变得 复杂化。
4.2 输出反馈及极点配置
1、输出至状态微分的反馈
x& Ax Hy Bu y Cx
x& (A HC)x Bu
定理 用输出至状态微分的反馈阵H任意配置极点 的充要条件是：受控系统可观测。
充分性
0 0 L
1 0 L
A 0 1 L
M
M
O
0 0 L
0 a0
0
a1
0 M
a2 M
1 an1
b1
B
b2
M
bn
C 0 0 1
若在变换后的状态空间内引人输出反馈阵H
H h0 h1 L hn1 T
x& ( A BK )x Br, y C x
0
1
0
0 0
0
0
1
0
0
A BK
B M
0
0
0
1
0
a0 k0 a1 k1 a2 k2 an1 kn1
1
G(s)
sn1 n1 sn
x& Ax Bu, y Cx0 Leabharlann 0 001
A P1 AP
0
0
0
a0 a1 a2
C CP 0 1 n1
0
0
1
an1
0 0 B P1B M 0 1
引入 u r Kx, K k0 k1 kn1
b. 状态反馈不改变单输入－单输出系统的 零点，但是，这个结论并不一定适用于多输 入－多输出系统。零点对系统的动态性能的 影响很大，因此，在多输入－多输出系统这， 零点的多变性使按极点配置的综合问题变得 复杂化。
4.2 输出反馈及极点配置
1、输出至状态微分的反馈
x& Ax Hy Bu y Cx
x& (A HC)x Bu
定理 用输出至状态微分的反馈阵H任意配置极点 的充要条件是：受控系统可观测。
充分性
0 0 L
1 0 L
A 0 1 L
M
M
O
0 0 L
0 a0
0
a1
0 M
a2 M
1 an1
b1
B
b2
M
bn
C 0 0 1
若在变换后的状态空间内引人输出反馈阵H
H h0 h1 L hn1 T
x& ( A BK )x Br, y C x
0
1
0
0 0
0
0
1
0
0
A BK
B M
0
0
0
1
0
a0 k0 a1 k1 a2 k2 an1 kn1
1
G(s)
sn1 n1 sn
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第四章 系统的能控性与能观测性
现代控制理论第四章
4.1 能控性与能观测性的概念
能控性: 对于线性系统 x t A t x t B t u t 在 t 0 时刻
的任意初值 xt0x0, 总存在一个有限时刻 ta t0 和 t0,ta 上的容许控制 u t , 使得 xta0, 则称系统是
后的约当规范型
J1
0
xˆ
J2
xˆ Bˆu
0
J
k
中, Bˆ 与每个约当小块Ji 的最后一行对应的行元素不全为0.
现代控制理论第四章
4.2 线性定常系统的能控性判据
（三）状态能控性判据的第三种形式
定理: 线性定常单输入单输出系统∑ A,B,C状态完
全能控的充要条件是: 其输入——状态的传递函数
状态完全能控的.
能控性是检查系统的每一个状态分量能否被 ut
所控制.
现代控制理论第四章
4.1 能控性与能观测性的概念
能观性: 对于线性系统
x t A t x t B t u t
ytC txt
设输入ut0, 对于系统在 t 0 时刻的任意初始状态 xt0x0, 都存在一个有限时刻ta t0 , 使得通过在
sIA1B
中无相消因子, 即无零极点相消现象.
现代控制理论第四章
4.3 线性定常系统的能观性判据
（一）状态能观性判据的第一种形式
定理: n阶线性定常系统∑ A,C, 即
x tAtx
ytCtx
状态完全能观测的充要条件是其能观性矩阵 Q g 满
秩, 即: rangkQrangTkQn
C
Q g C T A T C T A T n 1 C T
;
an an1 an2 a1
而
Cˆ
为任意1×n的矩阵 现代控制理论第四章
0
Bˆ
0
1
4.5 能控规范型和能观规范型
这里
P1
P
P1 A
P1
A
n
1
P 1 0 0 1 B A A B n 1 B 1
P1 的含义实际上是取 B A B A n 1 B 1的最后一行.
4.5 能控规范型和能观规范型
（一）SISO系统的能控规范型: 定理: 设SISO线性系统(1)状态完全能控, 则一定存
在非奇异变换xˆ Px或 xP1xˆ, 将线性系统SISO化
为如下的能控规范型.
x ˆ tA ˆx ˆt B ˆu t ytC ˆxˆt
0 1 0 0
Aˆ
0
0
1
0
（一）线性离散定常系统的能控性判据
x k 1 G k x H k u yk C kx D kuk0,1,2,
线性离散定常系统的能控性能观性定义和线性 连续定常系统的能控性能观性的定义类似.
定理: n阶线性离散定常系统∑ G,H的状态完全能
控的充要条件为其能控性矩阵满足 rankkQn.
Q k H G H G n 1 H
现代控制理论第四章
4.4 离散系统的能控性与能观性判据
（二）线性离散定常系统的能观性判据
定理: n阶线性离散定常系统∑ G,C的状态完全能
观的充要条件为其能观性矩阵满足
rangkQrangTkQn
C
Q g C T G T C T G T n 1 C T
CG
CG
n1
现代控制理论第四章
0
xˆ
J2
xˆ
0
J
k
y Cˆ xˆ
中,Cˆ 与每个约当小块Ji的首行对应的所有列元素不全为0.
现代控制理论第四章
4.3 线性定常系统的能观性判据
（三）状态能观性判据的第三种形式
定理: 线性定常单输入单输出系统∑ A,B,C状 态完
全能观的充要条件是: 其状态——输出的传递函数
CsIA1
满秩, 即:
Q k B A B A n 1 B
rankkQn
现代控制理论第四章
4.2 线性定常系统的能控性判据
（二）状态能控性判据的第二种形式
定理: 设系统∑ A, B具有两两相异的特征值
1,2, ,n, 则系统状态完全能控的充要条件是:系
统经非奇异变换 ( xPxˆ) 后的对角线规范型
0
n
的列.
y Cˆ xˆ
现代控制理论第四章
4.3 线性定常系统的能观性判据
定理: 设系统∑ A, C具有不同的重特征值 1,2, ,k
k
其重数分别为 m 1,m 2, ,m k, ( m i n ), 则系统状态
完全能观的充要条件是:系统经非i1奇异变换 ( xPxˆ )
后的约当规范型
J1
4.5 能控规范型和能观规范型
能控规范型或能观规范型实际上是状态完全能 控或状态完全能观的线性系统在特殊的状态变量选 择下所得到的特殊的具有简单形式的状态空间模型.
考察如下的SISO线性系统:
x t A tx B tu ytCtx
A R n n,B R n 1 ,C R 1 n
现代控制理论第四章
1
0
xˆ
2
xˆ Bˆu
中,
Bˆ
0
不包含元素全为
0
的行.
n
现代控制理论第四章
4.2 线性定常系统的能控性判据
定理: 设系统∑ A, B具有不同的重特征值 1,2, ,k
k
其重数分别为 m 1,m 2, ,m k, ( m i n ),则系统状态
完全能控的充要条件是:系统经非i1奇异变换 ( xPxˆ )
区间 t0,ta 上的输出 yt 能唯一地确定系统的初始状
态 x 0 , 则称系统是状态完全能观测的.
能观性说明能否通过系统的输出来确定系统的状态.
现代控制理论第四章
4.2 线性定常系统的能控性判据
（一）状态能控性判据的第一种形式
定理: n阶线性定常系统A,B , x t A t xB tu
状态完全能控的充要条件是其能控性矩阵
CA Βιβλιοθήκη CAn1 现代控制理论第四章
4.3 线性定常系统的能观性判据
（二）状态能观性判据的第二种形式
定理: 设系统∑ A, C具有两两相异的特征值
1,2, ,n, 则系统状态完全能观的充要条件是:系
统经非奇异变换 ( xPxˆ) 后的对角线规范型
1
0
xˆ
2
xˆ
中,
Cˆ
0
不包含元素全为
中无相消因子, 即无零极点相消现象.
现代控制理论第四章
4.3 线性定常系统的能观性判据
定理: 线性定常单输入单输出系统∑ A,B,C状态完
全能控能观的充要条件是: 其输入——输出的传递函数
W sC s IA 1B
中无相消因子, 即无零极点相消现象.
现代控制理论第四章
4.4 离散系统的能控性与能观性判据
现代控制理论第四章
4.1 能控性与能观测性的概念
能控性: 对于线性系统 x t A t x t B t u t 在 t 0 时刻
的任意初值 xt0x0, 总存在一个有限时刻 ta t0 和 t0,ta 上的容许控制 u t , 使得 xta0, 则称系统是
后的约当规范型
J1
0
xˆ
J2
xˆ Bˆu
0
J
k
中, Bˆ 与每个约当小块Ji 的最后一行对应的行元素不全为0.
现代控制理论第四章
4.2 线性定常系统的能控性判据
（三）状态能控性判据的第三种形式
定理: 线性定常单输入单输出系统∑ A,B,C状态完
全能控的充要条件是: 其输入——状态的传递函数
状态完全能控的.
能控性是检查系统的每一个状态分量能否被 ut
所控制.
现代控制理论第四章
4.1 能控性与能观测性的概念
能观性: 对于线性系统
x t A t x t B t u t
ytC txt
设输入ut0, 对于系统在 t 0 时刻的任意初始状态 xt0x0, 都存在一个有限时刻ta t0 , 使得通过在
sIA1B
中无相消因子, 即无零极点相消现象.
现代控制理论第四章
4.3 线性定常系统的能观性判据
（一）状态能观性判据的第一种形式
定理: n阶线性定常系统∑ A,C, 即
x tAtx
ytCtx
状态完全能观测的充要条件是其能观性矩阵 Q g 满
秩, 即: rangkQrangTkQn
C
Q g C T A T C T A T n 1 C T
;
an an1 an2 a1
而
Cˆ
为任意1×n的矩阵 现代控制理论第四章
0
Bˆ
0
1
4.5 能控规范型和能观规范型
这里
P1
P
P1 A
P1
A
n
1
P 1 0 0 1 B A A B n 1 B 1
P1 的含义实际上是取 B A B A n 1 B 1的最后一行.
4.5 能控规范型和能观规范型
（一）SISO系统的能控规范型: 定理: 设SISO线性系统(1)状态完全能控, 则一定存
在非奇异变换xˆ Px或 xP1xˆ, 将线性系统SISO化
为如下的能控规范型.
x ˆ tA ˆx ˆt B ˆu t ytC ˆxˆt
0 1 0 0
Aˆ
0
0
1
0
（一）线性离散定常系统的能控性判据
x k 1 G k x H k u yk C kx D kuk0,1,2,
线性离散定常系统的能控性能观性定义和线性 连续定常系统的能控性能观性的定义类似.
定理: n阶线性离散定常系统∑ G,H的状态完全能
控的充要条件为其能控性矩阵满足 rankkQn.
Q k H G H G n 1 H
现代控制理论第四章
4.4 离散系统的能控性与能观性判据
（二）线性离散定常系统的能观性判据
定理: n阶线性离散定常系统∑ G,C的状态完全能
观的充要条件为其能观性矩阵满足
rangkQrangTkQn
C
Q g C T G T C T G T n 1 C T
CG
CG
n1
现代控制理论第四章
0
xˆ
J2
xˆ
0
J
k
y Cˆ xˆ
中,Cˆ 与每个约当小块Ji的首行对应的所有列元素不全为0.
现代控制理论第四章
4.3 线性定常系统的能观性判据
（三）状态能观性判据的第三种形式
定理: 线性定常单输入单输出系统∑ A,B,C状 态完
全能观的充要条件是: 其状态——输出的传递函数
CsIA1
满秩, 即:
Q k B A B A n 1 B
rankkQn
现代控制理论第四章
4.2 线性定常系统的能控性判据
（二）状态能控性判据的第二种形式
定理: 设系统∑ A, B具有两两相异的特征值
1,2, ,n, 则系统状态完全能控的充要条件是:系
统经非奇异变换 ( xPxˆ) 后的对角线规范型
0
n
的列.
y Cˆ xˆ
现代控制理论第四章
4.3 线性定常系统的能观性判据
定理: 设系统∑ A, C具有不同的重特征值 1,2, ,k
k
其重数分别为 m 1,m 2, ,m k, ( m i n ), 则系统状态
完全能观的充要条件是:系统经非i1奇异变换 ( xPxˆ )
后的约当规范型
J1
4.5 能控规范型和能观规范型
能控规范型或能观规范型实际上是状态完全能 控或状态完全能观的线性系统在特殊的状态变量选 择下所得到的特殊的具有简单形式的状态空间模型.
考察如下的SISO线性系统:
x t A tx B tu ytCtx
A R n n,B R n 1 ,C R 1 n
现代控制理论第四章
1
0
xˆ
2
xˆ Bˆu
中,
Bˆ
0
不包含元素全为
0
的行.
n
现代控制理论第四章
4.2 线性定常系统的能控性判据
定理: 设系统∑ A, B具有不同的重特征值 1,2, ,k
k
其重数分别为 m 1,m 2, ,m k, ( m i n ),则系统状态
完全能控的充要条件是:系统经非i1奇异变换 ( xPxˆ )
区间 t0,ta 上的输出 yt 能唯一地确定系统的初始状
态 x 0 , 则称系统是状态完全能观测的.
能观性说明能否通过系统的输出来确定系统的状态.
现代控制理论第四章
4.2 线性定常系统的能控性判据
（一）状态能控性判据的第一种形式
定理: n阶线性定常系统A,B , x t A t xB tu
状态完全能控的充要条件是其能控性矩阵
CA Βιβλιοθήκη CAn1 现代控制理论第四章
4.3 线性定常系统的能观性判据
（二）状态能观性判据的第二种形式
定理: 设系统∑ A, C具有两两相异的特征值
1,2, ,n, 则系统状态完全能观的充要条件是:系
统经非奇异变换 ( xPxˆ) 后的对角线规范型
1
0
xˆ
2
xˆ
中,
Cˆ
0
不包含元素全为
中无相消因子, 即无零极点相消现象.
现代控制理论第四章
4.3 线性定常系统的能观性判据
定理: 线性定常单输入单输出系统∑ A,B,C状态完
全能控能观的充要条件是: 其输入——输出的传递函数
W sC s IA 1B
中无相消因子, 即无零极点相消现象.
现代控制理论第四章
4.4 离散系统的能控性与能观性判据