第五章固体电子论基础讲解学习

ky2
kz2)
QE mv2 , pmv,E p2 ,Phk,
2
2m
令E=h2k2 2m
2hm 2 2(x,y,z)2hm 2 (kx2ky2kz2)(x,y,z)
2
2 x2
2 y2
2 z2
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d
2 1 ( x ) dx2
k
2 x
1
(
x
)
d
2 2 ( y ) dy2
k
2 y
2
(
y
)
d
.
• 因而k空间每个状态的代表点占有体积:
222(2)3
•
LLL L
K空间单位体积含有的状态点数目:
(L 2
)3
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• 平面波状态波矢 k 由一组量子数 (nx, ny , nz ) 确定
,
kx,ky,kz
• K空间:
为坐标轴的空间.
• 点:每k个x许2nL 可x的,ky状态2nLy可,用kz一2个nLz点来代表.
第五章 固体电子论基础
• 特鲁特认为:金属中的价电子
同离子碰撞
达到热平衡
电子气体 电子移动
电流 电导,热导.
• 洛伦兹认为:电子气体服从麦克斯韦 统计.
玻尔兹曼
• 经典电子气的理论计算结果:
N个价电子,3N个自由度,总能量 3 N K BT ,只计算动
能 , . EV
3 2
NKBT
CV (ETV)V 32NKB
能带 ,
根据禁带宽度的大小(金属,绝缘体,半导体)
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5.1电子气的能量状态
• 金属中的价电子好比理想气体,无相互作用.
•
取平均势能为能量零点,
U (r) 0
.
• 电子逸出体外相当于在一定深度的势阱中运动的 粒子所具有的能量.
• 三维无限深势阱中运动的粒子:
h2
2(x, y, z) U(r)(x, y, z) E(x, y, z)
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• 相邻两个代表点间距: 2(nx1)2nx 2
L
LL
• 波矢空间每个状态代表点占有的体积:
v222(2)3
• •
K从空 k间 单 k L位d k 体L体 积积 L中元 d 含k L 有dk 状xd 态kyd 数kz中目含: 1v有 (的2L3状) 3 态数:
2m
U(r)
, (
r
0,
r
L),阱外（箱外）
（ 0 0 p
r
p L)阱内（箱内）
0
L
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• 取箱内势能,其薛定谔状态方程为:
h2 2(x, y, z) E(x, y, z)分离变量： 2m
(x, y, z) （ 1 x)（ 2 y)（ 3 z）
令E= h2k2 2m
2hm2 (kx2
• 经典物理困难:试验值只有理论值的1%.
• 索末菲认为:电子不服从经典统计分布而遵守量子
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统计分布Fermi-Dirac统计,从而计算出电子气体
的 C V ,获得了成功.
• 布洛赫和布里渊阐明了在周期场中运动的电子
的基本特征,为能带理论的建立奠定了基础.
• 近自由电子模型:自由电子+微扰
当 x 0 ，0 A x B x A x B x
当x
L,0
A x e ik x L
B e ik x L x
用 Ax B x代 入
0
A x e ik x L
A e ik x L x
移 项 ： A x e ik x L A x e ik L
co s k x L i sin k x L co s k x L i sin k x L
A x e ik x x
B e ik x x x
A e ik x ( x L ) x
B e ik x ( x L ) x
e e i k x x
ik x ( x L )
e i k x L 1即 ：c o s k x L i s i n k x L 1
k x L 2 n x
k
x
2 y
k
2 z
)
h2
8 2 m
(
4
n x2
L2
2
4 n y2
L2
2
4
n
2 z
L2
2
)
E
h2 2 L2 m
(
n
2 x
n
2 y
n
2 z
)
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• 电子动量: h k m v
• 电子速度:
v
hk
m
• 驻波: A sinkxxsinkyysinkzz
• 电子的平均动量,平均速度为零,
当L
,
kx
i sin k x L i sin k x L
只 有 当 sin k x L 0
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同理：
sin k y L 0
sin kz L 0
kx
k k
x y
L L
nx n y
,ky
k z L n z
kz
nx
L
n y L
(
n
x
,
n
y
,
n
z
nz
L
f
0任 意 正 整 数 )
• A为归一化常数,电子能量:
E
h2 2m
(kx2
k
2 y
kz2
)(h
h
2
)
E
h2
8 2m
(nx2
ny2
nz2 )
2
L2
E
h2 8mL2
(nx2
ny2
nz2 )
粒子的状态由一组正整数（nx ,ny ,nz）来确定，
• 推广到无限个线度都是L的势阱
• 各个势阱相应位置波函数相等:
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1(x)1(xL)
2nx
L
0
• 波矢在k空间As,由ink一x x组量0 子数 (nx, ny , nz ) 表示.
• k x , k y , k z 为坐标的空间称为波矢空间也叫k空间.
• 每个点代表一个状态.
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•
k
x 轴相邻的两个代表点间的间距为
2 L
,沿 k y , k y
轴相邻点的间隔也是 2 L
2 3 ( z ) dz2
k
2 z
3
(
z
)
• 方程的解:
21((yx))
Ax eikx x Ayeiky y
B eikxx x
Byeiky y
3 ( z)
Azeikz z
B eikz z z
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• 边界条件:在势箱中运动的电子.
在 x 0 , 及 x L 处 ， （1 x ） = 0 ( 驻 波 条 件 )
2 n x L
k
y
2 n y L
k
z
2 n z L
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• 电子波函数:
Ae Ae ikr
i(kxxkyykzz)
• 波函数归一化:
L
0
x
x
L 0
Ax2e 0d x
1,
A
2 x
L
1, A x
1
1
L2
• 电子能量:
A Ax Ay Az
1
3
L2
E
h2 2m
(
k
2 x
k
1 ( x ) 2 ( y ) 3 ( y ) 1 ( x) Ax sin k x x 2 ( y ) Ay sin k y y
3 ( z ) Az sin k z z
A sin k x x sin k y y sin k z z
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• 只剩下正弦项,余弦项为零.