振动学基础

x= x1+x2=A1cos( t+1 )+ A2cos( t+2 )
同方向不同频率
分振动：x1 =A1cos(1 t+1 )
合振动：
x2 =A2cos(2 t+2 )
x= x1+x2=A1cos(1 t+1 )+ A2cos(2 t+2 )
我们要讲四种情形
振动方向垂直的同频率
分振动：x =A1cos( t+1 )
2
2
续：同方向不同频率的简谐振动的合成
x(t) Acos(1t ) Acos(2t )
2 Acos (2 1)t cos[(2 1)t ]
2
2
当 2 1时 2- 1 2+ 1
x A(t) co（ s 1 2 t ）
2
A(t) 2 A cos (2 1)t
2
合振动不是 简谐振动
随时间变化
参量（或参数）
描述研究对象区别于其它研 究对象的一些特性（性质）
一般不随时间变化
描述简谐振动的解析参量
x Acos(t ) v Asin(t )
km X
ox
振幅A：简谐振动的物体离开平衡位置的最 大位 移的绝对值
由初始条件决定
能量大小的标志
周期：完成一次全振动所需时间
x Acos(t )
第四章 振动学基础
狭义振动：物体在一定位置附近作 周期性往复运动
广义振动：任一物理量(如电压、电 流等)在某一数值 附近反复变化。
广义振动：随时间的变化有一定的周期性的事物
尽管振动有各种形式，但却具有同样的规律性， 这种规律可以用统一的数学形式来表达
本章重要性的体现
振动学一个基本的思路
振动叠加原理 任何一个复杂的振动都可以看成
合振动可看作振幅缓变的简谐振动
x(t)
拍的现象
t
x A(t) co（s 1 2 t ）
2
A(t) 2 A cos (2 1)t
2
即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动
这种合振动振幅忽强忽弱的现象称为拍。
三.垂直方向同频率简谐振动的合成
分振动 合运动
x=A1cos( t+ 1) y=A2cos( t+ 2)
是一种最基本的振动合成的
简谐振动
研究清楚了简谐振动，再清楚了它们的 合成问题，就可以研究任何复杂振动了
第一节：简谐振动的运动方程 一，弹簧振子
km
弹簧振子的运动如
X
ox
图所示
简谐振动的运动方程
km X
ox
当振子位移为x时
F kx
由牛顿定律：
令 k 2
m
ma
m
d2x dt 2
kx
于是有：d 2 x
2.合振动 : x = x1+ x2
x =A cos( t+ )
合振动是简谐振动, 其频率仍为
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
tg A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
两种特殊情况
(1)若两分振动同相
2 1=2k (k=0,1,2,…)
则A=A1+A2 , 两分振动相互加强
2
Ek max
1 2
k A2
Ek min 0
弹簧振子的势能及机械能
Ek
1 2
k A2
sin2 ( t
)
x Acos(t )
km X
ox
Ep
1 2
kx2
1 kA2 cos2 ( t )
2
简谐振动的总能量：
E Ek
Ep
1 kA2 2
系统机械能守恒
EP
Ek
t
简谐振动的合成
振动叠加原理
分振动：x1 =A1cos(1 t+1 ) x2 =A2cos(2 t+2 )
x =Acos(p t+ )
共振
x A0et cos( o2 2t o ) Acos(pt 1)
x =Acos(p t+ )
A
Fo / m
(02 p2 )2 4 2 p2
当系统固有频率，阻尼力大小，策动力幅 值保持不变时，仅改变策动力的频率
p 02 2 2
A Fo / m
2 02 2
如果一个物体同 时参与了几个振 动，则物体将按 它们的和振动来 运动
合振动：
x= x1+x2=A1cos(1 t+1 )+ A2cos(2 t+2 )
更一般的形式：
x x1 x2
我们要讲四种情形
同方向同频率的两个简谐振动的合成
分振动：x1 =A1cos( t+1 )
合振动：
x2 =A2cos( t+2 )
临界阻尼： 0
x et (C2t C1）
不再振动，较快回到平衡位置
过阻尼： 0 不再振动 缓慢的回到平衡位置
受迫振动
系统受力：回复力 -kx；阻尼力 dx
dt
周期性驱动力 f =Focosp t
1
arctan
2 02 p2
动力学方程：
m
d2x dt2
kx
dx dt
Fo
cos
(3)
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos
s in 2
(2
1 )
2
2
1
2
3
2
x2 y2 A12 A22 1
垂直方向同频率简谐振动的合成
为其他值时,则为任一椭圆。
综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合 成后，合振动在一直线上或者在椭圆上进行（直线 是退化了的椭圆）当两个分振动的振幅相等时，椭 圆轨道就成为圆。
o
x
A2 x y=32 2=0, 1=/4
- A1
4.3 阻尼振动 受迫振动 共振
一.阻尼振动
系统受力：回复力
-kx；阻尼力
dx dt
动力学方程：m
d d
2
t
x
2
kx
dx dt
km X
ox
阻尼振动
m d 2x kx dx
dt2
dt
令
o 2
k, m
2 m
小阻尼： 0
x Ae t cos(t ) 02 2
y=A2cos( t+ 2)
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos
s in 2
百度文库
（1） (2 1) 0
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
0
y A2 x A1
(2) (2 1)
y A2 x A1
y
x
y
x
垂直方向同频率简谐振动的合成
x=A1cos( t+ 1) y=A2cos( t+ 2)
A2
A
A1
续：同方向不同频率的简谐振动的合成
两个振幅相同， 初相相同的
x1(t) Acos(1t )
x2 (t) A cos(2t )
合振动： x x1 x2 x(t) Acos(1t ) Acos(2t )
cos cos 2cos cos
2
2
2Acos (2 1)t cos[(2 1)t ]
合振幅最大
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
两种特殊情况
(2)若两分振动反相
2 1=(2k+1) (k=0,1,2,…)
则A=|A1-A2|, 两分 振动相互减弱 如 A1=A2 , 则 A=0
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
(3)一般情况：
| A1 A2 | A | A1 A2 |
km X
ox
相位 t
在A,已知的情况下
相位是决定振动物体运动状态的物理量
x Acos( t ) v Asin(t )
a 2 Acos(t )
初相位
(初相)决定初始时刻物体运动状态
两个同频率简谐振动的相位差：
( t 2 ) (t 1) 2 1 初相差
当 = 2k , (k
、
2 1 0
2
1
4
2
1
2
2
1
3
4
5
3
4
2
7
4
2、如果两个互相垂直的振动频率成整数比,合成运动的 轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图 形称为李萨如图形。
x A1 cos(1t 1)
y A2 cos(2t 2 )
y A1
1 n1 2 n2
Tx : Ty 1: 2
-A2
pt
令
o 2
k m
,
2
m
A
Fo / m
(02 p2 )2 4 2 p2
x A0et cos( o2 2 t o ) Acos(pt 1)
受迫振动
x A0et cos( o2 2t o ) Acos(pt 1)
第一项表示的是减幅振动。经过一段时间后,这一分振 动就减弱到可以忽略不计了。而第二项表示的是受迫 振动达到稳定状态时的等幅振动。因此,稳态解为
垂直方向同频率简谐振动的合成
2 1 0
2
1
4
2
1
2
2
1
3
4
5
3
4
2
7
4
四, 垂直方向、不同频率简谐振动的合成
x A1 cos(1t 1)
y A2 cos(2t 2 )
一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线,即合成运动不 是周期性的运动。
下面就两种情况讨论
1. 2 1 0
视为同频率的合成，不过两个振动的相位差在缓慢地 变化,以质点运动的轨道将不断地从上图所示图形依次 的循环变化。
x A1
=0,1,2,…), 两振动步调相同,称
A2 o
同相
- A2
-A1
当 = (2k+1) , ( k
=0,1,2,…),
A1
两振动步调相反 , 称反
A2 o
相
- A2
-A1
x2 x1
同相
T t
x1
反相
T
t x2
2 k
m
三个参量的计算
由初始条件求振幅和初相
x Acos(t ) v Asin( t )
dt 2
2x
0
方程的一般解为： x A cos(t )
简谐振动的运动方程
简谐振动的定义
方程的一般解为： x A cos(t )
简谐振动：相对与平衡位置的位移是时间 的正弦或余弦函数这样的振动就是简谐振动
描述简谐振动的解析参量
x Acos(t )
km X
ox
状态量
描述研究对象的状态，比如位 置、速度和加速度，温度、压 强和体积
k
m
X
ox
x Acos( t ) Acost T
v Asin(t ) Asin[（T t) )]
T 2
T 2
频率： 单位时间内振动的次数
1
T
2 2
T
称为角频率（或圆频率）
例如弹簧振子 k
m
1 k 2 m
T 2 m
k
系统内在性质所决定的周期（频率 ）,称为固有周期(频率)
x2 A12
y2 A22
2 x A1
y A2
cos(2 1) sin2 (2 1)
(1) 合运动一般是在 2A1 ( x向 )、2A2 ( y向 ) 范围内的一个椭圆
(2) 椭圆的性质 (方位、左右旋 ) 在 A1 、A2确定之后,
主要决定于 = 2- 1
垂直方向同频率简谐振动的合成
x=A1cos( t+ 1)
t 0, x x0 , v v0
x0 A cos
v0 A sin
A
x
2 0
( v0 )2
tg v0 x0
简谐振动的能量
弹簧振子的动能
v Asin(t )
km X
ox
x Acos(t )
Ek
1 2
mv2
2 k
m
1 m 2 A2 sin2 (t )
2
1 kA2 sin2 ( t )
r
合振 动： xi yj
y =A2cos( t+ 2 )
A1 cos(t 1)i A2
cos(t
2
)
j
振动方向垂直的不同频率
分振动：x =A1cos(1 t+1 )
合振动：
y =A2cos(2 t+2 )
r
xi
yj
A1
cos(1t
1)i
A2
cos(2t
2 )
j
x1=A1cos( t+ 1) x2=A2cos( t+ 2)