电气测试4 2_6测量数据处理 7误差合成与分配

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例 2-12
用一块 U m =100V，s＝0.5级电压表进行测量，其示值为 85.35V，试确定有效数字位数。 解：该量程的最大误差为： •
2.6.5 等精密度测量结果的处理步骤
对某一被测量进行等密度测量时，其测量值可能同时含 有随机误差、系统误差和粗大误差。为了合理估算其测 量结果，写出正确的测量报告，必须对测量数据进行分 析和处理。 数据处理的基本步骤如下： ① 用修正值等方法，减小恒值系统误差的影响。 n ② 求算术平均值 x 1 x i n i 1 式中，x 是指可能含有粗差在内的平均值。
i xi x
i 1
i 0
n
若 i 的代数和约等于零，说明 的代数和约等于零 说明 x 的计算是正确的；否则 的计算是正确的 否则 说明计算 x 时有错，要重新计算。 ˆ 。利用贝赛尔公式 ④ 求标准差的估计值
ˆ
1 n 2 i n 1 i 1
9
10
ˆx ⑧ 求算术平均值标准差估计值
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2.6.2 有效数字的位数
• 所谓有效数字的位数，是指在一个数值中，从第一个非零 的数算起，到最末一位数为止，都叫有效数字的位数。例 如，0.27是两位有效数字；10.30和2.102都是四位有效数 字。 • 可见，数字“0”在一个数值中，可能是有效数字，也可能 不是有效数字。
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2.6.3 有效数字的运算规则 • 在数据处理中，常需要对一些精度不相等的数进 行四则运算。为了使计算简单准确，可首先将参 加 算的各个数 以精度最差的 个为基准进行 加运算的各个数，以精度最差的一个为基准进行 舍入处理（也可多保留一位欠准数字），计算结 果也按精度最差的那个数为基准作舍入处理（也 可以多保留一位或两位欠准数字）。这样使计算 简便准确。
2.7 误差的合成与分配
• 2.7.1 概述 • 2.7.2 常用函数的合成误差 • 2.7.3 2 7 3 系统误差的合成 • 2.7.4 系统误差的分配
U U x ( 205.2 0.1) V
这一结果表明，虽然被测电压的真值不知道，但可以 用经过数据处理后的算术平均值 U 205.2V 代表它。在 这个数值中含有随机误差，其标准差为0.06V，但无论 如何不可能超过0.1V。
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2.6.4 有效数字位数的确定 • 确定有效数字位数的标准是误差。并非写得越多 越好，多写位数，就夸大了测量的精确度，少写 位数就会带来附加误差。 • 测量结果有效数字处理原则是：由测量精确度来 确定有效数据的位数，但允许多保留一位欠准数 字，与误差的大小相对应，再根据舍入法则将有 效位以后的数字舍去。16ຫໍສະໝຸດ Ui 116
i
205.30V
n
1 2 3 4 5 6 7 8
Ui
205.30 204.94 205.63 205.24 206.65 204.97 205.36 205.16
i
0.00 -0.36 +0.33 -0.06 +1.35 -0.33 +0.06 -0.14
i
0.09 -0.27 0.42 0.03 － -0.24 0.15 -0.05
n
9 10 11 12 13 14 15 16
Ui
205.01 204.70 205.56 205.35 205.21 205.19 205.21 205.32
i
-0.29 -0.60 0.26 0.05 -0.09 -0.11 -0.09 0.02
i
-0.20 -0.51 0.35 0.14 0.00 -0.02 0.00 0.11
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2.6 测量数据的处理
测量数据的处理是指从原始的测量数据中经过加工、 整理求出被测量的最佳估计值，并计算其精确度。 2.6.1 测量数据的舍入法则 2.6.2 有效数字的位数 2.6.3 有效数字的运算规则 2.6.4 有效数字位数的确定 2.6.5 等精密度测量结果的处理步骤
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计算剩余误差 i ，列于表2‐5的第四列。计算标准差估计 n 15 得G 2.41，算出 ˆ 0.24 ，再查表2‐4， 值
| 0.51 0.58 。 再判断坏值。查表2‐5知 | im 说明所剩数据中没有坏值。
统误差 统误差。 ②利用阿卑－赫梅特判据判断有无周期性系差。
2.6.1 测量数据的舍入法则
• 由于测量数据是由0，1，2，3，…，9十个数组成的近似 数，因此在进行数据处理时会遇到数据的舍入问题。通常 的“四舍五入”规则中，对5只入不舍是不合理的，它也 应当有舍有入。 • 所以在测量技术中规定：“小于 所以在测量技术中规定 “小于5舍，大于 舍 大于5入，等于 入 等于5时 采取偶数法则”。也就是说，保留数字末位为n位，第n+1 位大于5，第n位数字加1；第n+1位小于5，第n位数字不变； 若第n+1位恰好是5，则将第n位凑成偶数，即第n位为奇数 时，第n位加1，第n位为偶数时，则第n位不变。
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2.7.1 概述
• 测量方法分为:直接测量、间接测量和组合测量； • 前面课程涉及的误差计算都是在直接测量的基础上 讨论的。 • 对间接测量的误差又应该如何计算？
间接测量的误差计算问题？ 例如：测量标准电阻的电阻率:

S Rl
需测量标准电阻的电阻值、横截面积和长度。 R 和 l ，如何计算 ？ 如果已知 S、
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误差的合成与分配
• 误差的合成 – 已知被测量与各个参数的函数关系以及各个参数测量 值的分项误差，求被测量的总误差称为误差的合成。 – 例如研究一台仪表各局部环节的系统误差与整台仪表 系统误差之间的关系 间接测量时 被测量误差与各 系统误差之间的关系；间接测量时，被测量误差与各 测量值误差之间的关系等。 • 误差的分配 – 已知总误差及其与各测量值之间的函数关系，将总误 差合理地分配给各测量值称为误差分配。 – 例如在设计一台测量仪表时，应当怎样合理分配各环 节和各元件的系统误差。
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ˆ 计算算术平均值标准差的估计值 7）利用 ˆ 0.24 ˆx 0.06 n 15
8）计算不确定度。n’=15较少，K=n’‒1=14，取 P=95%， 查表2-3，得ta=2.14，则 ˆ x 2.14 0.06 0.13 0.1 x t a 9）给出测量结果的表达式（报告值）。由 ）给出测量结果的表达式（报告值） 由 x 值可以看出， 值可以看出 测量结果只能精确到十分位，从而得出被测量
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例2-10 将下列数字保留三位： 12.34→12.3（4<5） 12.36→12.4（6>5） 12.35→12.4（因第三位是3为奇数，5入） 12.45→12.4（因第三位是4为偶数，5舍） 当舍入足够多时，舍和入的概率相同，从而舍入误差基本 抵消，又考虑到末位是偶数容易被除尽，减小计算误差。 由此可见，每个数据经舍入后，末位是欠准数字，末位以 前的数字是准确数字。其舍入误差不会大于末位单位的一 半，这是最大舍入误差，故称该舍入法则为“0.5”误差法 则。
n i 1 2
n
ˆx 当n较大时 x 3
⑩ 给出测量结果的表达式或报告值。对于技术测量，需 要指明不确定度 x 时，可表示为： 时 可表示为
上两式中的 i必须是无坏值时所计算得到的剩余误差。 若 | || im | ，则认为存在线性系差。含有线性系差的数据原 则上不能使用, 应重新作等精密度测量。 b) 利用阿卑－赫梅特判据判断有无周期性系差。
ˆ2 | i i 1 | n 1
n 1 i 1
A x x
若不指明不确定度，可用 x 代表A。
• 上述计算所用数据和计算所得各个值均是在无坏值情况下的计算结果。 • 在上述计算过程中，也应当考虑有效数字的位数，可先化整然后再计 算，使计算简化。 • 为避免累积误差，在化整和结果中可保留两位欠准数字。但最后结果 要与误差相对应。 12
ˆ 是无坏值时的标 若上式成立则认为存在周期性系差。 准差估计值。含有周期性系差的数据也不能使用。
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例2.13 对某一电压进行16次等精密度测量。测量数据中已 计入修正值，具体数值见表（单位为V）。要求给出包括误 差（即不确定度）在内的测量结果表达式。
• 解：
1）计算算术平均值： U 1
6）判断有无变值系差 ①马利科夫判据判断是否有线性系差
~ 8 ) (10 16 ) 0.13 - 0.07 -0.06 (1
i 1 i 9 6 ~8 16
只有一个，剩下数据只有15个。 4 16 ˆ 值 U 1 [ U i U i ] 205.21V 5）重新计算 U ， i和
⑦ 判断有无变值系统误差 n a) 马利科夫判据 n 2 当n为偶数时， i i
i 1
ˆ n
⑨ 求算术平均值的不确定度
ˆ x 或 x G ˆx 当n较小时 x t a
当n为奇数时，
i i
i 1 i n 3 2
n 1 2
•
关，而只由误差的大小所决定。
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等精密度测量结果的处理步骤
③ 求剩余误差 i ，并验算 i的代数和是否等于零，从而 验算计算平均值的正确性。
等精密度测量结果的处理步骤
⑤ 判断粗差，剔除坏值。 ˆ 当 n 足够大时，随机不确定度为： 3 ˆ 当 n 较少时，利用格拉布斯准则： G 若有| i | ，则认为 i对应的测量值 xi 是坏值，应予 剔除 剔除。 ⑥ 剔除坏值后，利用剩下的数据再来求 x ，剩余误差 i ， ˆ 和随机不确定度 ，并再次判断粗差和剔除 标准差 坏值，知道测量数据没有坏值为止，然后继续往下计 算。
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误差传递公式
• 若要进行误差的合成与误差的分配，首先必须知道误差的 传递公式。 • 误差传递公式是如何得出的？ 设被测量 y 与各测量值 xi之间的函数关系为，
y f ( x1 , x 2 ,..., x n )
，xn，则 测量值 xi各自有独立的绝对误差 x1，x2， y与 xi之间的关系为： y 有绝对误差 y。
16 1
i 1 i 6
ˆ，所以测量值 U 5 查表2‐5，可知 5 1.35为最大，大于 G ˆ 的 i ，暂定坏值 是坏值，予以剔除。此外没有大于G
ˆ 2.44 0.43 1.05 G
10 0.51，可见| || 10 | ，不存在线性系 查表2‐5知 im
U m s %U m 0.5% 100V 0.5V
可见示值范围为84.85 ~ 85.85V，因为误差是±0.5V，根 据“0.5”误差法则，此数据的末位应是整数，所以测量结 果应写成两位有效数字，根据舍入法则，示值末尾的 0.35<0.5，因此，不标注误差的报告应写成85V。 由上可见，测量结果的有效数字反映了测量的精确度。 有效数字的位数与小数点的位置和所用单位都无 •
| i i1 | 0.193
i 1 4 , 6 ~15
ˆ 2.41 0.24 0.58 G
而
n 1
ˆ ) 2 15 1 0.24 2 0.216 n 1(
15
ˆ 2，故不存在周期性系差。 i i 1 | n 1 可见 | i 1
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i U i U 2）计算剩余误差：
各 i 列于表2‐5中第三列。 然后求 i的代数和： i
i 1 16
0
说明计算算术平均值是正确的。 3）计算标准差估计值。利用贝赛尔公式
ˆ
1 n 2 i 0.43 16 1 i 1
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4）判断粗差。求随机不确定度，因为n 16 次，比较少， 采用格拉布斯准则。取 P 95%，查表2‐4，得格拉布斯 系数G 2.44，则