第二章 双曲型方程
2-双曲型方程的差分方法
其截断误差是
n 1 n 1 n n u u u u a j 1 j 1 j 1 j 1 0 2 2 h 2 h
T O( h )
2 2
其增长因子是
1 1 2 ia sin kh G 1 1 2 ia sin kh
2 2 2 1 1 a sin kh 4 G 1 2 1 2 2 1 4 a sin kh 2
),
a0 a0
1 n n n un u a ( u u j j j 1 j ),
也可写成统一形式
1 n n n n n n 1 1 un u a ( u u ) a ( u 2 u u j j j 1 j 1 j 1 j j 1 ) 2 2
u ( P) u (Q) u (C ) a u (C ) u ( B) 1 a (1 a ) u ( B) 2u (C ) u ( D) 2
对应差分格式即为Lax-Wendroff格式
2 2 a a n 1 n n n n n n uj uj u j 1 u j 1 u j 1 2u j u j 1 2 2
代入前面的表达式有
u
n 1 j
u
n j
a
u
n j 1
u
n j 1
2h
u u a x t j
n
2h 2
n n n 2 2 2 a2 u 2 u u O ( h h ) j j 1 j 1
得到二阶精度的显式格式，即Lax-Wendroff格式
隐式格式
u u
n j
n 1 j
双曲型方程求解方法及其应用
双曲型方程求解方法及其应用一、双曲型方程简介双曲型方程是一类二阶偏微分方程，其基本形式为:$$\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0$$双曲型方程的特点是存在两个独立的传播方向，解的形式通常是由两个波的叠加而成。
由于双曲型方程与空间和时间的关系有关，因此在物理、工程和科学领域中有着广泛的应用。
其中，双曲型方程的求解方法是求解偏微分方程的重要研究内容之一。
二、双曲型方程的求解方法对于双曲型方程，我们需要采取适当的数学工具来解决。
下面介绍几种常用的双曲型方程求解方法。
1. 分离变量法分离变量法是求解偏微分方程的常用方法之一，对于双曲型方程也可以采用分离变量法求解。
例如，我们可以假设$u(x,t)=X(x)T(t)$，将偏微分方程代入得到：$$\dfrac{T''}{T}=\dfrac{X''}{X}=-k^2$$这是两个常微分方程，可以通过求解得到$T(t)$和$X(x)$的通解，再合并得到$u(x,t)$的通解。
其中，使用的边界条件和初值条件对应具体问题的不同而有所不同。
2. 特征线法特征线法是一种求解双曲型偏微分方程的有效方法。
其基本思想是沿着方程组的特征线进行积分，将原方程转化为一维常微分方程。
例如，对于双曲型方程$\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0$，经过变换得到：$$\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=0$$将$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=1$和$\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}u}=1$代入得到方程:$$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u}=\dfrac{1}{2},\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{ d}u}=-\dfrac{1}{2}$$由此可以得到$x=t+c_1,u=c_2$为特征线，设$u=f(x-t)$，则原方程变成$\dfrac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d} x^2}=0$，通解为$f(x-t)=k_1 x+k_2$，因此原方程的通解为$u(x,t)=k_1 x+k_2$。
人教版选修21第二章双曲线双曲线的标准方程讲义
案例（二）——精析精练课堂 合作 探究重点难点突破知识点一 双曲线的定义平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于21F F 且不等于零)的点 的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
注意 （1）在此定义中“常数要大于0且小于21F F ”这一限制条件十分重要,不可去 掉。
（2）如果定义中常数改为等于21F F ,此时动点轨迹是以1F 、2F 为端点的两条射线(包 括端点)。
（3）如果定义中常数为0,此时动点轨迹为线段1F 2F 的垂直平分线。
(4)如果定义中常数改为大于21F F ,此时动点轨迹不存在。
(5)若定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话,点的轨迹成为双面线的一支。
(6)设()y x M ,为双曲线上的任意一点,若M 点在双曲线右支上,则()02,2121>=->a a MF MF MF MF ；若M 在双曲线的左支上,则a MF MF MF MF 2,2121-=-<,因此得a MF MF 221±=-,这是与椭圆不同的地方。
知识点二 双曲线的标准方程1.如何正确理解双曲线的标准方程的两种形式（1）通过比较两种不同类型的双曲线方程()0,12222>>=-b a by a x (焦点在x 轴上)和()0,12222>>=-b a b x a y (焦点在y 轴上),可以看出,如果2x 项的系数是正的,那么焦点就在 x 轴上；如果2y 项的系数是正的,那么焦点就在y 轴上。
对于双曲线，a 不一定大于b ,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条 坐标轴上。
焦点在x 轴上的方程，只要将y x ,互换就能得到 焦点在y 轴上的方程。
(2)无论双曲线的焦点在哪个坐标轴上，标准方程中的c b a ,,三个量都满足222b ac +=所以c b a ,,恰好构成一个直角三角形的三边,且c 为斜边,如图所示。
算流体力学中科院力学所第讲双曲型方程组-PPT文档资料
M
（2）
5 4
（4）
பைடு நூலகம்
（ 1）
x
3
2 2 u5 1c5 u3 1c3 u 2 c u 2 c 5 2 1 5 1 2
12
简单波
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3. 双曲型方程的间断解
双曲方程的特点： 扰动波传播速度有限 可能产生间断
弱间断： 函数连续，但导数间断 （如稀疏波的波头、波尾） 强间断： 函数本身间断 （如激波、接触间断） 流体力学控制方程： 积分型 （假设函数连续、光滑） 微分型 间断处虽然无法满足微分型方程， 但积分型方程（三大守恒律）仍然满足
u
-0.01
1D Euler with initial disturbance u=0.01sin(x)
-0.015 -5
0
5
10
x
不同时刻的速度分布（A=0.01） u ( x , t ) 0 . 005 sin x ct ) 0 ( . 005 sin x c )
9 Copyright by Li Xinliang
一维等均熵运动例如膨胀波0??????xubtu???????uu????????ucub??2cu??21?矩阵b的特征值??????????ccs??????????????????????????????????00xucutuxcutcxucutuxcutc??????0??????ddcdducudtdx??沿特征线1
变系数方程组的情况
令：
3.2 双曲线方程及几何性质
3.2 双曲线【知识点】 1、双曲线的概念平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于12||F F ）的点的轨迹叫做双曲线。
集合12{|||||||2}P M MF MF a =−=，12||2F F c =，其中0,0a c >>，且,a c 为常数，当22a c <时，点M 的轨迹是双曲线。
2、双曲线的标准方程（1）标准方程222222221(0,0),1(0,0)x y y x a b a b a b a b−=>>−=>>。
（2）一般方程：221(0)Ax By AB +=<。
3、双曲线的简单几何性质4、三个问题①为什么不能把定义中的“绝对值”去掉？②怎样理解双曲线的渐近线的含义？怎么求渐近线方程？ ③当双曲线离心率变化时，双曲线的形状如何变化？【典型例题】例1、已知双曲线的两个焦点分别为12(5,0),(5,0)F F −，双曲线上一点P 与12,F F 的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。
例2、已知,A B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2秒，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程。
例3、求双曲线22916144y x −=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
例4、动点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到定直线9:4l x =的距离的比是常数43，求动点M 的轨迹。
例5、过双曲线22136x y −=的右焦点2F ，倾斜角为30︒的直线交双曲线于,A B 两点，求弦长||AB 。
【课堂练习】题型1双曲线定义的理解1、已知双曲线2213664x y −=的左右焦点分别是12,F F ，P 是双曲线上一点。
若1||15PF =，则2||PF = 。
2、对于常数,a b ，"0"ab <是“方程221ax by +=对应的曲线是双曲线”的（）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件.D 既不充分也不必要条件3、（多选）已知方程221()169x y k R k k−=∈+−，则下列说法中正确的是（ ）.A 方程可表示圆.B 当9k >时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆 .C 当169k −<<时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线 .D 当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为10题型2 双曲线方程的求解4、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的左右焦点分别是12(13,0),(13,0)F F −，点P 在双曲线上，且12||||10PF PF −=，则双曲线的方程是 。
数学物理方程——3 波动方程的建立
∂ 2u ∂t 2
x = x0
mg
cosθ1 ≈ cosθ 2 ≈ 1
sin θ1 ≈ tanθ1 = − ∂u1 ∂x
x = x0 − ε
sin θ 2 ≈ tanθ 2 =
∂u2 ∂x
x = x0 + ε
数学物理方法
双曲型方程的建立
因此有：
T1 = T2 ≡ T
⎛ ∂u T⎜ 2 ⎜ ∂x ⎝
数学物理方法
双曲型方程的建立
定义 初始条件——完全描述物理问题的研究对象在初始时刻时， 其内部及边界上任意一点的状况。 边界条件——完全描述物理问题的研究对象的边界上各点 在任一时刻的状况。
第一类边界条件：边界上各点的函数值—— u S
∂u 第二类边界条件：边界上各点函数的法向导数值—— ∂n S 第三类边界条件： u S 与 ∂u 的线性关系 ∂n S
可知： u1 ( x0 , t ) = u2 ( x0 , t ) 受力分析后，由牛顿定律可知，x0 处： 纵向：T1 cos θ 1 − T2 cos θ 2 = 0 设小球引起的 θ1 、θ2 很小： 横向：T1 sin θ 1 + T2 sin θ 2 − mg = m
y
o
θ1
x0
θ2
x
T1
T2
第二章 典型方程的建立
2.1 双曲型方程的建立
数学物理方法
双曲型方程的建立
数学物理方法
双曲型方程的建立
数学物理方法
双曲型方程的建立
数学物理方法
双曲型方程的建立
数学物理方法
双曲型方程的建立
数学物理方法
双曲型方程的建立
数学物理方法
双曲型方程的建立
高中数学第2章平面解析几何2.6双曲线及其方程2.6.2双曲线的几何性质课件新人教B版选择性必修第一
知识点三 对双曲线的几何性质的五点认识
ห้องสมุดไป่ตู้
(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置．
(2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方 程ax22－by22＝1(a>0，b>0)，得ax22＝1＋by22≥1，所以 x2≥a2，所以|x|≥a，即 x≤
－a 或 x≥a.
(3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，因为 c>a>0，
[跟踪训练 1] 求双曲线 9y2－16x2＝144 的半实轴长和半虚轴长、焦点 坐标、离心率、渐近线方程．
解 把方程 9y2－16x2＝144 化为标准方程为4y22－3x22＝1.由此可知，半实 轴长 a＝4，半虚轴长 b＝3，c＝ a2＋b2＝ 42＋32＝5，所以焦点坐标为(0， －5)，(0,5)，离心率 e＝ac＝45，渐近线方程为 y＝±43x.
13 ______e_＝__ac_(_e_>_1_)_______
知识点二 等轴双曲线 01 ____实__轴__长__与__虚__轴__长__相__等_______的双曲线称为等轴双曲线．等轴双曲 线具有以下性质： (1)方程形式为 02 __x_2_－__y_2＝__λ____________ (λ≠0)； (2)渐近线方程为 03 ____y_＝__±_x__________，它们互相垂直，并且平分双 曲线实轴和虚轴所成的角； (3)实轴长和虚轴长都等于 04 ___2_a____，离心率 e＝ 05 ___2___.
图 形
标准方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
焦点在 y 轴上 ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
焦点位置 焦点 焦距
偏微分课程课件5_双曲型方程的差分方法(II)
uvn j
uv t
n j
2
2
2uv t 2
n j
O(
3
)
uv n1 j
uv
n j
A
uv x
n j
2
2
A2
2uv n
x
2
j
O(
3)
用中心差商代替偏导数
uvn j
A
uvn uvn
j1
j1
2h
2
2
A2
2
x
uv n j
h2
O(
3
2h2
h2 )
舍去截断误差, 有LW差分格式.
1 2
a
nj （（u
n ）2
j 1
（u
n ）2）
j1
21
（unj 1）2
1 2
(unj 1 )2
（unj1）2 )
1 2
anj
( unj 1 )2
(
un j 1
)2
(4)用h乘上式两边并对 j 求和，记离散模
un
2
h
（unj）2h
||
un1
||h2 ||
un
||h2
1 2
a
n j
((unj 1
t
x
2u t 2
（ t
a(x)
u ） x
a(x)
x
(u ) t
= a(x) (a(x) u ) a(x) (a(x) u )
x
x
x x
25
代入Taylor展开式,于是有
u(
x
j
,
tn 1 )
u(x
j
,
【数学】2.2.1 双曲线及其标准方程 课件2(人教A版选修1-1)
2
2
16
9
1、双曲线的定义
小 结
2、双曲线的标准方程及应用 3、求解双曲线的方程
第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程
一 、 复 习 与 回 顾
1、椭圆的定义
F 平面内与两个定点 F1， 2 的距离之和等 | 于常数（大于| F1 F2 ）的点轨迹叫做椭 圆
2、椭圆的标准方程
x y 2 1 2 a b
2
2
或
y x 2 1 2 a b
2
2
二 平面内与两个定点F1，F2的距离的差 、 的绝对值 等于常数 2a （小于︱F1F2︱）的 双 点的轨迹叫做双曲线. 曲 M 线 ① 两个定点F1、F2—— 的 双曲线的焦点; o F F 定 1 2 义 ② |F1F2|=2c ——焦距.
例、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距 五 离的差的绝对值等于8，求双曲线的 、 标准方程. 解:根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为 典
型 例 题
x y 2 1 (a 0, b 0) 2 a b
∵ 2a = 8, c=5 ∴ a = 4, c = 5
y
P
1
o
F2
x
三 、 双 y 3.列式． 曲 线 o F |PF1 - PF2|= 2a 的 标 准 即 | (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 | = 2a 方 程 4.代点化简.
1
P
F2
x
三 、 双 曲 线 的 标 准 方 程
移项两边平方后整理得：
10.10.11高二数学(理)《双曲线的简单几何性质(2)》(课件)
离 心 率
关于 坐标 x ≤ −a 轴和 y ≥ a 原点 都对 或 称 y ≤ −a
复习
性质 双 曲线
x2 y2 − 2 =1 2 a b (a > 0, b > 0) y2 x2 − 2 =1 2 a b (a > 0, b > 0)
图 象
范 围
x≥a 或
对 称 性
顶 点
渐 近 线
离 心 率
关于 (±a, 0) 坐标 x ≤ −a 轴和 y ≥ a 原点 都对 或 称 y ≤ −a
复习
性质 双 曲线
x2 y2 − 2 =1 2 a b (a > 0, b > 0) y2 x2 − 2 =1 2 a b (a > 0, b > 0)
图 象
范 围
x≥a 或
对 称 性
顶 点
渐 近 线
离 心 率
b 关于 (±a, 0) y = ± x 坐标 a x ≤ −a 轴和 y ≥ a 原点 a 都对 或 (0, ± a) y = ± x 称 b y ≤ −a
M 动点 ( x, y)与定点F(c,0)(c > 0) a l 的距离和它到定直线 : x = 的距离 c c c M 的比是常数 ( > 1), 求点 的轨迹方 a a 程.
2
[例3] 如图，过双曲线 例 如图， 线于A， 两点 两点， 线于 ，B两点，求|AB|。 。
的右焦点F 倾斜角为30° 的右焦点 2倾斜角为 °的直线交双曲 分析:求弦长问题有两种方法 分析 求弦长问题有两种方法: 求弦长问题有两种方法
[例2] 点 ( x, y)与定点 (5,0)的 例 M F
16 l 距离和它到定直线 : x = 的比是 5 5 M . 常数 ,求点 的轨迹 4
第2章 2.6.1 双曲线的标准方程-【新教材】人教B版(2019)高中数学选择性必修一讲义
2.6双曲线及其方程2.6.1双曲线的标准方程学习目标核心素养1．掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题．(重点)2．掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程．(重点)3．理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)1．通过对双曲线的定义，标准方程的学习，培养数学抽象素养．2．借助于双曲线标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养．前面学习了椭圆及其几何性质，了解了椭圆形状与离心率e有关，在现实生活中还有一类曲线，与椭圆并称为“情侣曲线”，即双曲线，它的形状在现实中很常见．如发电厂的冷却塔的形状，上、下两头粗，中间细，截面图的形状就是本节要学习的双曲线，它的标准方程和性质又如何？人们不禁要问，为什么建成这样的双曲线型冷却塔，而不建成竖直的呢？这就需要我们学习与双曲线相关的内容．1．双曲线定义一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|．则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距，双曲线也可以通过用平面截两个特殊的圆锥面得到，因此双曲线是一种圆锥曲线．思考1：双曲线的定义中，若2a＝|F1F2|，则点P的轨迹是什么？2a＞|F1F2|呢？[提示]若2a＝|F1F2|，点P的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞|F1F2|，点P 的轨迹不存在．思考2：定义中若常数为0，则点P的轨迹是什么？[提示]此时P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线．2．双曲线的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形焦点坐标(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c) a，b，c的关系式c2＝a2＋b2[提示]双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b的大小关系不确定．思考4：如何确定双曲线标准方程的类型？[提示]焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型，若x2的系数为正，则焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．()(2)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a>0，b>0且a≠b．()(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a>b．() [答案](1)×(2)×(3)×[提示](1)×差的绝对值是常数，且0＜2a＜|F1F2|才是双曲线．(2)×当a＝b时，方程也表示双曲线，故该说法错误．(3)×在双曲线中a与b的大小关系不确定．2．双曲线x215－y2＝1的焦距为()A ．4B ．8C ．14D ．214B [a 2＝15，b 2＝1，c 2＝a 2＋b 2＝16，∴c ＝4,2c ＝8．]3．若点M 在双曲线x 216－y 24＝1上，双曲线的焦点为F 1，F 2，且|MF 1|＝3|MF 2|，则|MF 2|等于( )A ．2B ．4C ．8D ．12B [双曲线中a 2＝16，a ＝4,2a ＝8，由双曲线定义知||MF 1|－|MF 2||＝8，又|MF 1|＝3|MF 2|， 所以3|MF 2|－|MF 2|＝8，解得|MF 2|＝4．]4．点P 到两定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)的距离之差的绝对值为2，则点P 的轨迹方程为 ．x 2－y 23＝1 [因为|F 1F 2|＝4＝2c ，所以c ＝2．又2a ＝2，a ＝1，故b 2＝c 2－a 2＝3，所以点P 的轨迹方程为x 2－y23＝1．]双曲线定义的应用[探究问题]1．双曲线定义中距离的差为什么要加绝对值？[提示] 不加绝对值，图象只为双曲线的一支，设F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，若|MF 1|－|MF 2|＝2a ，则点M 在右支上，若|MF 2|－|MF 1|＝2a ，则点M 在左支上．2．若点M 在双曲线上，一定有||MF 1|－|MF 2||＝2a 吗？[提示] 一定．若||MF 1|－|MF 2||＝2a (0＜2a ＜|F 1F 2|)，则动点M 的轨迹为双曲线，反之一定成立．【例1】 已知F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32．试求△F 1PF 2的面积．[思路探究] 根据双曲线的定义及余弦定理求出∠F 1PF 2即可． [解] 由x 29－y 216＝1得a ＝3，b ＝4，∴c ＝5． 由双曲线定义及P 是双曲线左支上的点得|PF 1|－|PF 2|＝－6，∴|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， 又∵|PF 1|·|PF 2|＝32，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝100， 由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝16．1．(变换条件)若本例中的标准方程不变，点P 是双曲线上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，求△PF 1F 2的面积．[解] 因为PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，不妨设点P 在右支上， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝4c 2＝100|PF 1→|－|PF 2→|＝2a ＝6，解得|PF 1→|·|PF 2→|＝32，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1→|·|PF 2→|＝16．2．(变换条件)若把本例条件“|PF 1|·|PF 2|＝32”换成“|PF 1|∶|PF 2|＝2∶5”，其他条件不变，试求△F 1PF 2的面积．[解] 由x 29－y 216＝1得a ＝3，b ＝4，∴c ＝5， 由|PF 1|∶|PF 2|＝2∶5， 可设|PF 1|＝2k ，|PF 2|＝5k ． 由|PF 2|－|PF 1|＝6可得k ＝2， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝10， 由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝16＋100－1002×4×10＝15，∴sin ∠F 1PF 2＝265，S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×4×10×265＝86．双曲线上的点P 与其两个焦点F 1，F2连接而成的三角形PF 1F 2称为焦点三角形.令|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ，因|F 1F 2|＝2c ，所以有(1)定义：|r 1－r 2|＝2a . (2)余弦公式：.(3)面积公式：一般地，在△PF 1F 2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决.求双曲线的标准方程【例2】 (1)一个焦点是(0，－6)，经过点A (－5,6)； (2)经过点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，325和P 2(437，4)两点．[思路探究] 先设出双曲线的标准方程，再构造关于a 、b 的方程组求解． [解] (1)由已知c ＝6，且焦点在y 轴上，另一个焦点为(0,6)， 由双曲线定义2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝8， ∴a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝20．所以所求双曲线的标准方程为y 216－x 220＝1．(2)法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． ∵P 1，P 2在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3252b2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4372a 2－42b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝－1161b 2＝－19，(不合题意舍去)当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．将P1，P2的坐标代入上式得⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎪⎫3252a2－(－2)2b2＝1，42a2－⎝⎛⎭⎪⎫4372b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a2＝19，1b2＝116，即a2＝9，b2＝16．∴所求双曲线方程为y29－x216＝1．法二：∵双曲线的位置不确定，∴设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)∴⎩⎪⎨⎪⎧4m＋454n＝1，169×7m＋16n＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m＝－116，n＝19，∴所求双曲线的标准方程为y29－x216＝1．1．求双曲线标准方程的两个关注点2．待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤(1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是有两种可能．(2)设方程：根据焦点位置，设其方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，焦点位置不定时，亦可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．(3)寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c(m，n)的方程组．(4)得方程：解方程组，将a，b(m，n)代入所设方程即可得(求)标准方程．提醒：求标准方程时，一定要先区别焦点在哪个轴上，选取合适的形式．[跟进训练]1．根据条件求双曲线的标准方程．(1)a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上； (2)与椭圆x 225＋y 25＝1共焦点且过点(32，2)． [解] (1)∵双曲线的焦点在y 轴上，∴可设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， ∵由题设知，a ＝25，且点A (2，－5)在双曲线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，25a 2－4b 2＝1，∴解得a 2＝20，b 2＝16，∴所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1．(2)椭圆x 225＋y 25＝1的焦点坐标为(25，0)，(－25，0)．依题意，则所求双曲线焦点在x 轴上，可以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a 2＋b 2＝20．又∵双曲线过点(32，2)，∴18a 2－2b 2＝1． ∴a 2＝20－210，b 2＝210．∴所求双曲线的标准方程为x 220－210－y 2210＝1．与双曲线有关的轨迹问题【例3】 在周长为48的Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°，tan ∠PMN ＝34，求以M ，N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．[解] 因为△MPN 的周长为48，且tan ∠PMN ＝34，故设|PN |＝3k ，|PM |＝4k ．则|MN|＝5k，由3k＋4k＋5k＝48得k＝4．所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20．以MN所在的直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，如图所示．设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)由|PM|－|PN|＝4得2a＝4，∴a＝2，a2＝4，由|MN|＝20得2c＝20，c＝10，所以b2＝c2－a2＝96．故所求双曲线方程为x24－y296＝1(x≠±2)．求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，双曲线的定义，得出对应的方程．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支；(3)求出方程后要注意满足方程的解的坐标的点，是否都在所求曲线上．[跟进训练]2．如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．[解]圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1；圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4．设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|．∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝32，c＝5，于是b2＝c2－a2＝914．∴动圆圆心M的轨迹方程为x294－y2914＝1⎝⎛⎭⎪⎫x≤－32．1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a ＞b 不一定成立．要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别．在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2．3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)的形式求解．1．“ab <0”是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [当方程表示双曲线时，一定有ab <0，反之，当ab <0时，若c ＝0，则方程不表示双曲线．]2．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值为( ) A ．12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1D [由于a ＞0,0＜a 2＜4，且4－a 2＝a ＋2，解得a ＝1．]3．若方程x 2m －1＋y 2m 2－4＝3表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－2,2)C [由题意，方程可化为y 2m 2－4－x 21－m ＝3，∴⎩⎨⎧m 2－4＞0，1－m ＞0，解得：m ＜－2．] 4．已知双曲线的两个焦点分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上的一点且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为 ．x 24－y 2＝1 [设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ．(m ＞0，n ＞0)，在Rt △PF 1F 2中，m 2＋n 2＝(2c )2＝20，m ·n ＝2，由双曲线的定义知|m －n |2＝m 2＋n 2－2mn ＝16＝4a 2，所以a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1．]5．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝9外切且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝1内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解] 设动圆M 的半径为r ．因为动圆M 与圆C 1外切且与圆C 2内切， 所以|MC 1|＝r ＋3，|MC 2|＝r －1． 相减得|MC 1|－|MC 2|＝4． 又因为C 1(－3,0)，C 2(3,0)， 并且|C 1C 2|＝6＞4，所以点M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的双曲线的右支， 且有a ＝2，c ＝3．所以b 2＝5， 所求的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)．。
计算流体力学(中科院力学所)_第2讲-双曲型方程组
令：
R=u+
∫ ρ dρ
c
同理，沿特征线 ： 同理，沿特征线2： 对于等熵完全气体
dx / dt = u c
2c R=u+ γ 1 2c S = u + γ 1
du c dρ + =0 沿特征线1： 沿特征线 ： dα ρ dα u 1 c S = + dρ 2 2 ρ 保持不变 dR / dα =
A sin x 0 ≤ x ≤ 2π u ( x,0) = 0 others ρ ( x,0) = 1; p( x,0) = 1
考虑一维无粘流动（ 方程）， 考虑一维无粘流动（Euler方程），初始时 方程），初始时 刻（t=0）流动状态如下： ）流动状态如下：
xa ≤ x ≤ xb u ′( x), ρ ′( x) u, ρ = 0, ρ 0 (= const ) others
（3） ） C （2） ） （1） ）
x B
A
给定x3,t3 利用 （假设t3充分小） 给定
x3 x1 = (u1 + c1 )(t3 t1 ) x3 x2 = (u 2 c2 )(t3 t 2 )
区域（ ），（ ），（4） 区域（2），（ ） 未扰动 区域（ ） 区域（1）内的流动使用基本 方法计算
双曲型
Copyright by Li Xinliang
2
1) 一阶常系数偏微方程组
U U +A =0 x t U = (u1 , u 2 ,......u m )T
如果矩阵A 可以被对角化： 如果矩阵 可以被对角化： A = S 1 ΛS
U U + S 1 ΛS =0 t x S U U + ΛS =0 t x
高二数学选修课件：2-3-1双曲线的标准方程
第二章
圆锥曲线与方程
(2)依题意，设所求的双曲线的方程为 x2 y2 － ＝1， 16－k 4＋k 将(3 2，2)代入得 k＝4. x2 y2 ∴所求的双曲线的方程为 － ＝1. 12 8
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第二章
圆锥曲线与方程
[例4] 在周长为48的直角三角形MPN中，∠MPN＝ 90°，tan∠PMN＝ 曲线方程． ，求以M、N为焦点，且过点P的双
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第二章
圆锥曲线与方程
[解析]
解法一：(辅助圆法)以 O 为圆心，|OF1|＝5
x2 y2 为半径作圆 x2＋y2＝25， 与双曲线 9 －16＝1 联立， 解得两 16 曲线的交点即为点 P(x0，y0)．进而可得|y0|＝ 5 . 16 故所求距离为 . 5 解法二：(向量法)设点 P 的坐标为(x0，y0)，而 F1(－ 5,0)，F2(5,0)，则 → 向量PF1＝(－5－x0，－y0)，
[分析] 考查双曲线定义，能灵活运用条件求标准方程．
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第二章
圆锥曲线与方程
[解析]
x2 y2 (1)由 ＋ ＝1 知 F1(0，－3)，F2(0,3)． 16 25
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y2 x2 设双曲线的方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)，则有 a b 10 4 2 － 2＝1， a b ∴a2＝5，b2＝4. a2＋b2＝9. y2 x2 ∴所求双曲线的方程为 － ＝1. 5 4
启发学生在研究问题时，抓住问题实质，严谨细致思考，
规范写出解答，体会运动变化、对立统一的思想．
第二章
圆锥曲线与方程
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第二章
高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、2-2-1双曲线及其标准方程
2．在双曲线的定义中，条件0<2a<|F1F2|不应忽视，若
2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是 两条射线 ； 若 2a>|F1F2| ，
则动点的轨迹是 不存在 ． 3．双曲线定义中应注意关键词“ 绝对值 ”，若去掉 定义中“绝对值”三个字，动点轨迹只能是 双曲线一支 ．
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
(选修1-1)
本节重点：双曲线的定义及其标准方程． 本节难点：双曲线标准方程的推导．
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第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
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第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
1．对于双曲线定义的理解，要抓住双曲线上的点所要 满足的条件，即双曲线上点的几何性质，可以类比椭圆的
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，
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
1 1 a2＝－16 解得 12＝－1 9 b
(不合题意，舍去)．
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y x 当双曲线的焦点在 y 轴上时， 设双曲线的方程为a2－b2 ＝1(a>0，b>0)． 3 ( 5)2 4 2 a2 －b2＝1 ∵P1、P2 在双曲线上，∴ 2 (4 7)2 3 4 a2－ b2 ＝1
2
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
2
当 k>0 时，k＝6.
[辨析] 因为不能确定k的正负，需讨论．
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
[正解]
x2 y2 当 k>0 时，方程化为标准形式： k － k ＝1 2
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k 3k ∵c ＝2＋k＝ 2 ，
2
最新人教版高中数学选修2-1第二章《双曲线的标准方程》梳理探究
数学人教B 选修2-1第二章2.3.1 双曲线的标准方程1．理解双曲线的定义．2．掌握双曲线的标准方程的定义．1．双曲线的定义平面内与两个______F 1，F 2的______________等于常数(________________)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__________，两焦点的距离叫做双曲线的__________．在双曲线的定义中，(1)当常数等于|F 1F 2|时，动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线(包括端点)． (2)当常数大于|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在．(3)当常数等于零时，动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线．(4)当定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话，点的轨迹就成为双曲线的一支． 【做一做1】已知定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中，为双曲线的是( )A ．||PF 1|－|PF 2||＝5B ．||PF 1|－|PF 2||＝6C ．||PF 1|－|PF 2||＝7D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±6(1)由求双曲线的标准方程的过程可知：只有当双曲线的两个焦点在坐标轴上，且关于原点对称时，才得到双曲线的标准方程．反之亦成立．(2)在双曲线的标准方程中，若x 2的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2的系数为正，则焦点在y 轴上．【做一做2－1】双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 3【做一做2－2】若双曲线的焦点在x 轴上，且经过(2,0)，(4,3)两点，则双曲线的标准方程为__________．1．椭圆与双曲线的区别剖析：(1)待定系数法．即先设出方程的标准形式，再确定方程中的参数a ，b 的值，即“先定型，再定量”，若两种类型都有可能，则应进行分类讨论．(2)定义法．题型一 双曲线的定义及应用【例1】如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．分析：可利用双曲线的定义来求解．反思：遇到动点到两定点的距离之差的问题时，应联想到能否用双曲线的定义来解，并要注意x 的范围．题型二 求双曲线的标准方程【例2】已知双曲线焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)，⎝⎛⎭⎫94，5，求双曲线的标准方程．分析：可根据已知条件，设出双曲线方程，再把点的坐标代入即可．反思：双曲线的标准方程有两种形式，即x 2a 2－y 2b 2＝1，y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，方程x 2m＋y2n＝1表示双曲线的充要条件是m ·n ＜0. 题型三 与双曲线有关的轨迹问题【例3】在△MNG 中，已知NG ＝4，当动点M 满足条件sin G －sin N ＝12sin M 时，求动点M 的轨迹方程．分析：条件给的是角的关系，可用正弦定理，化角的关系为边的关系，再考虑用定义求轨迹方程．反思：求轨迹方程时，如果没有直角坐标系，应先建立适当的直角坐标系，动点M 的轨迹是双曲线的一支且去掉一个点，这种情况一般在求得方程的后面应给以说明，并把说明的内容加上括号．题型四 易错题型【例4】已知双曲线4x 2－9y 2＋36＝0，求它的焦点坐标．错解：将双曲线方程化为标准方程－x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2，∴c ＝13，∴双曲线的焦点坐标为(－13，0)，(13，0)．错因分析：这种解法是错误的．原因在于：双曲线的焦点在x 轴或y 轴上，不是以分母的大小确定的，而是按二次项系数的符号确定的．反思：判断时，需将原方程化为标准形式，即方程右边是1，方程左边是“x 2”和“y 2”项的差，若“y 2”的系数为正，则焦点在y 轴上；若“x 2”的系数为正，则焦点在x 轴上．1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足||PF 1－||PF 2＝10，则点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．直线 D ．一条射线2．双曲线x 2m 2＋16－y 29－m 2＝1的焦距是( )A ．4B ．2 2C ．10D ．与m 有关3．双曲线x 225－y 2144＝1上一点P 到右焦点的距离是5，则下列结论正确的是( )A ．P 到左焦点的距离是8B ．P 到左焦点的距离是15C ．P 到左焦点的距离不确定D ．这样的点P 不存在4．已知方程x 2k －3＋y 22－k＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围是__________．5．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝4，c ＝5，焦点在x 轴上； (2)a ＝b ，经过点(3，－1)． 答案： 基础知识·梳理1．定点 距离的差的绝对值 小于|F 1F 2|且不等于零 焦点 焦距【做一做1】A 因为|F 1F 2|＝6，所以与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值应小于6，故选A.2．x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) c 2＝a 2＋b 2 c 2＝a 2＋b 2【做一做2－1】D 由已知有c 2＝a 2＋b 2＝12，得c ＝23，故双曲线的焦距为4 3.【做一做2－2】x 24－y 23＝1 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知a＝2，则x 24－y 2b 2＝1，将点(4,3)代入得164－9b 2＝1，解得b 2＝3，故双曲线的标准方程为x 24－y 23＝1.典型例题·领悟【例1】解：∵圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1， ∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1. ∵圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42， ∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有||MF 1＝R ＋1，||MF 2＝R ＋4，∴||MF 2－||MF 1＝3.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线左支，且a ＝32，c ＝5.∴动圆圆心M 的轨迹方程为49x 2－491y 2＝1⎝⎛⎭⎫x ≤－32. 【例2】解：设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，将点(3，－42)，⎝⎛⎭⎫94，5分别代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝9.故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.【例3】解：以NG 所在的直线为x 轴，以线段NG 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．∵sin G －sin N ＝12sin M ，∴由正弦定理得：||MN －||MG ＝12×4＝2.∴由双曲线的定义知，点M 的轨迹是以N ，G为焦点的双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．∵2c ＝4,2a ＝2，∴c ＝2，a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝3.∴动点M 的轨迹方程为x 2－y 23＝1(x ＞1)．【例4】正解：将双曲线方程化为标准方程y 24－x 29＝1，可知焦点在y 轴上，∴a ＝2，b＝3，∴c 2＝a 2＋b 2＝13，∴c ＝13.∴双曲线的焦点坐标为F 1(0，－13)，F 2(0，13)． 随堂练习·巩固1．D 由双曲线的定义可得，∵F 1，F 2是两定点，||F 1F 2＝10，∴满足条件||PF 1－||PF 2＝10的点P 的轨迹为一条射线．2．C 由题意可知a 2＝m 2＋16，b 2＝9－m 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝m 2＋16＋9－m 2＝25，所以c ＝5，所以2c ＝10.3．D 选项A 和选项C 易判断是错误的，对选项B 而言，若||PF 1＝15，||PF 2＝5，则||PF 1＋||PF 2＝20，而||F 1F 2＝26，即有||PF 1＋||PF 2＜||F 1F 2＝26，这与“三角形的两边之和大于第三边”相矛盾，即这样的点P 不存在．4．k ＜2 因为方程x 2k －3＋y 22－k ＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －3<0，2－k >0，所以k＜2.5．分析：灵活应用双曲线方程，要注意讨论焦点的位置，不要漏解．解：(1)因为a ＝4，c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9，又因为焦点在x 轴上，所以双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)当焦点在x 轴上时，可设双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，将点(3，－1)代入得，32－(－1)2＝a 2，所以a 2＝b 2＝8.因此，所求的双曲线的标准方程为x 28－y 28＝1.当焦点在y 轴上时，可设双曲线方程为y 2－x 2＝a 2，将点(3，－1)代入得(－1)2－32＝a 2，则a 2＝－8不符合实际，所以焦点不可能在y 轴上．综上，所求的双曲线的标准方程为x 28－y 28＝1.。
第二章(2)双曲线知识梳理
6．如图所示，某农场在M处有一堆肥料沿道路MA或MB送到大田ABCD中去，已知|MA|=6，|MB|=8，|BC|=3， ，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿MA送肥料较近，而另一侧沿MB送肥料较近？若能，请建立适当的直角坐标系，求出这条界线的方程.
[能力提升]
1．若 ，则“ ”是“方程 表示双曲线”的( )
（2）若直线 与曲线 有两个公共点，求 的取值范围；
（3）若 ， 为曲线 上的点，求 的最小值.
例3．已知双曲线C的中心在原点，焦点在 轴上，点 与其渐近线的距离为 ，过点P作斜率为 的直线交双曲线于 两点，交 轴于M，且 是 与 的等比中项.
（1）求双曲线 的渐近线方程；
（2）求双曲线 的方程.
［剖析］(1)由点 与其渐近线的距离为 ，借助于点到直线的距离公式可求得其渐近线方程；(2)由渐近线方程，可设双曲线方程，再借助于题条件，不难得到双曲线方程。
4.在运用双曲线的第二定义时，一定要注意是动点P到焦点的距离与到相应准线距离之比为常数e.若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.
5.给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线.但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程.但若已知渐近线方程是 ± =0，则可把双曲线方程表示为 － = （ ≠0），再根据已知条件确定 的值，求出双曲线的方程.
［解］解：（I）以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则
则
即A、C两个救援中心的距离为
（II） ，所以P在BC线段的垂直平分线上
又 ，所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且
∴双曲线方程为
BC的垂直平分线的方程为 联立两方程解得：
2.3 双曲型方程的差分方法
(1) 利用
B, C 两点线性插值
u( P) u(Q) u( B)
xQ xC xB xC
u(C )
xQ xB xC xB
a (h a ) u ( B) u (C ) h h a a (1 )u (C ) u ( B) h h h (1 a )u (C ) au ( B)
或者：
a n n 1 n n u u ( u u j j j 1 j) h u n 1 1 [u n u n 1 a (u n 1 u n 1 )] j j j j j 1 2 h
5）蛙跳格式
u
n 1 j
u
n 1 j
2
两点线性插值：
1
1
a
xb f ( x) a b
f (a)
b
a
b
xa f ( x) ba
f (b)
x b xa f ( x) f (a) f (b) a b ba
a
b
三点抛物线插值：
1
1
1
a
f ( x)
b
( x b)( x c) (a b)(a c)
u(C )
( xQ xB )( xQ xD ) ( xC xB )( xC xD )
u( D)
( xQ xC )( xQ xB ) ( xD xC )( xD xB )
a (h a ) ( h a )( h a ) ( h a ) a u (C ) u ( D) h 2h hh 2h h 1 u (C ) a[u (C ) u ( B )] a (1 a )[u ( B ) 2u (C ) u ( D)] 2 u ( B)
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u v 1 v , t t 4
[a a a ] d a[ ] d SM
at
1 4 (at) 2
M M S a t 所围球体为 Da t : Gauss公式： 记
(3)D’Alembert公式的物理解释：
①行波（传播波） 1 ( ) ( )d ，则(2.1.7)可写成 若记 a x0
1 1 u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] [ ( x at ) ( x at )] 2 2
u u
x at
f1 (2 x) f 2 (0) ( x), f1 (0) f 2 (2 x) ( x).
X f1 ( X ) ( ) f 2 (0), 2 Y f 2 (Y ) ( ) f1 (0). 2
——“函数方程组”
泛定方程的两条特征线所夹成（如图2.2）．
ⅱ>△ ABC 内任一点的依赖区间完全落在区间 内每一点的值，因此，把△ 图2.3）．
BC 内，亦即线段 BC
上的初值函数的值完全决定了初值问题(2.1.1)的解
u ( x, t ) 在△ ABC
的决定区域（见
ABC （域I）叫做线段 BC
ⅲ>.如图2.4,区域II内每一点处解u ( x, t ) 的值，都要受到初值函数在点
于是
u ( x, y ) f1 ( x 2 y ) f 2 ( x 2 y ).
X f1 ( X ) 1 ( 2 ) f 2 (0), f1 (2 x) f 2 (0) 1 ( x), f 2 (Y ) 2 (Y ) f1 (Y ) 由定解条件： f1 ( x) f 2 ( x) 2 ( x). Y 2 (Y ) [1 ( ) f 2 (0)]. 2
记 为单位球面： 2 2 2 1,并注意到 d at S (at ) 2 d, 便知
(2.2.4)’
定理1 函数
（2.2.5） 满足初值问题(2.2.3).
t 证明 ( x, y , z ) u 4
( x, y, z ) ( x at, y at, z at )d
[ ( , , ) ddd ] t D M
at
d dd
( , , )
§2.2 高维波动方程初值问题 —— Poisson的球面平均值法与Hadamard的降维法
1．Poisson公式与解的存在性：
以下就三维齐次波动方程初值问题
(2.2.1)
来求解. (1)预处理：(2.2.1)的解可表为 其中 (2.2.2)
u[ ] 是初值问题
(2.2.3)
的解.
因而关键是求问题(2.2.3)的解
x at
故
u ( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at ) x at x at ( ) ( ) [ f1 (0) f 2 (0)]. 2 2
(0) (0)
1 u xx yu yy 2 u y 0, ( y 0), （如图2.9）其中 例2 求解第三问题 u x 2 y 1 ( x), ( x 0), 1 (0) 2 (0). u y 0 2 ( x), ( x 0). x 2 y 解令 可将方程化成 u 0, 从而 u f1 ( ) f 2 ( ). x 2 y
( x0 ,0) 处的值的影响，因此，把区域 II 叫做点 ( x0 ,0) 的影响区域.而
区间 [ x1 , x2 ] 的影响区域则是由过此两点的特征线与该区间所围成的倒梯形 区域III(见图2.5).
附注
a.无界弦自由振动是左右行进波的叠加，因此，这种方法也叫行波法； b.从依赖区间、决定区域、影响区域看到，解决无界弦自由振动问题， 特征线是至关重要的，因而这种方法也叫特征线法.
第二章 双曲型方程
内 容 要 求
§2.1 弦振动方程的初值问题—— 决定任意函数法 §2.2 高维波动方程初值问题—— Poisson平均值法与降维法 习题课二 §2.3 波动方程混合问题—— 分离变量法 §2.4 能量积分——唯一性与稳 定性 习题课三
①理解决定任意函数法; ②掌握降维法与分离变量法； ③明确有关的物理解释； ④理解能量积分讨论唯一性与稳定 性的思想.
u tt a 2 u xx 0, (t 0), （如图2.6）其中 (0) (0), 例1 求解特征问题 u x at ( x), （相容性条件） u x at ( x). 解 u( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at ). 由定解条件
第三问题（达布问题）——在一条特征线和一条非特征线上给定未知数 的值的定解问题. 例如：
u
第四问题——在同一特征角（指由两条不同族的特征线所组成的角）内的 两条非特征线上给定未知函数 的值的定解问题.例如：
u
特征线族：
x 常数，y 常数
可以证明：双曲型方程的如上四种定解问题都是适定的（即问题的提法都是 正确的）．
由于 a
x2 at2 x1 at1 , 即 x2 x1 a(t2 t1 ),
0，因而函数 f ( x at )
即表示以速度
a
向右传播的波．
同理，函数
f ( x at ) 表示以速度
a
向左传播的波.
因此，无界弦的自由振动是左右行进波的叠加，因而所述方法也称行波法. ②依赖区间、决定区域、影响区域： 从D’Alembert公式看出：
ⅰ>初值问题(2.1.1)的解
u ( x, t ) 在 x t上半平面内任一点 A( x0 , t 0 )的值
BC u ( x0 , t 0 ) 仅仅依赖于初值函数在 t 0( x 轴)上的区间（或线段） 上的值. 把 BC 或 [ x0 at0 , x0 at0 ] 叫做点 A( x0 , t 0 )的依赖区间， 它由过点A( x0 , t 0 )
称为D’Alembert公式.
(2)适定性考查：
①存在性——若
( x) C 2 , ( x) C 1 ，则可直接验证(2.1.7)确实是
初值问题(2.1.1)的解.（自做之）
②唯一性与稳定性（ⅰ>能量模估计：姜礼尚《数学物理方程讲义》 PP47-53;ⅱ>或西北大学《偏微分方程》P34; ⅲ>本章§2.4统一处理）．
x
积分(2.1.5),得
由(2.1.4),(2.1.6)得
1 1 c g ( x) ( x) ( )d 2. 2 2 a x0
x
故问题(2.1.1)的形式解为
u ( x, t ) f ( x at ) g ( x at )
1 1 ( x at ) 2 2a
形如
f ( x at )
t2
的函数在物理上称为行波， 波速为 则在时刻
a. 以 f ( x at )为例：
f ( x1 at1 )
，
设给定波形 到了时刻
f (x),
t1
，点
x1
处的波形为
，我们说 时刻
t1 ，点 x1
，则应有
处的波形传到了
x2
，即
f ( x2 at 2 ) f ( x1 at1 )
故 u ( x, y)
f1 ( x 2 y ) f 2 ( x 2 y )
x2 y x2 y 1 ( ) f 2 (0) 2 ( x 2 y ) 1 ( ) f 2 (0) 2 2 x2 y x2 y 1 ( ) 2 ( x 2 y ) 1 ( ). 2 2
( x) 2 ( y) 2 ( z ) 2 (at ) 2 a d dd 2 ( , , ) 4 (at ) D M
at
u 1 ( , , ) d dd , t 4 at D M
at
(2.2.6)
2u 1 u 1 1 2 u 2 t t t t 4 at 2
由初始条件，得
u t 0 f ( x) g ( x) ( x), ut t 0 a[ f ( x) g ( x)] ( x),
1 f ( x) g ( x) ( )d c, a x0 x 1 1 c f ( x) ( x) ( )d 2 , 2 2 a x0
u[ ].
(2)求(2.2.3)的解：
( x, y, z ) C 2，考虑 ( x, y, z ) 在以 M ( x, y, z )为心，at M 上的平均值 为半径的球面 S at
设 (2.2.4) 其中
M ( , , ) 是球面 S at 上的点.
若
S
M at 的外法线方向（也就是半径的）方向余弦为 ( , , ) ，则
最后给出无界弦强迫振动
的解的表达式为
u tt a 2 u xx f ( x, t ), (t 0) u t 0 ( x), u t t 0 ( x)
x at t x a ( t )
1 1 1 u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] at ( )d 2a d xat f )( , )d . 2 2a x 0 (
2.其它定解问题：
一般的，对双曲型方程而言，可用“决定任意函数法”求解的定解问题 大 体上归结为如下四种：
第一问题（特征问题或Goursat问题）——在两条不同族的特征线上
给定未知函数