求数列前n项和方法

数列求和

1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。

d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= ⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()

1(11q q

q a q na S n n 公比含字母时一定要讨论

例：1.已知等差数列}{n a 满足,11=a 32=a ，求前n 项和}{n S

2. 等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12

3.已知等比数列}{n a 满足,11=a 32=a ，求前n 项和}{n S

4.设4

7

10

310

()22222()n f n n N +=+++++∈ ，则()f n 等于（ ）

A.

2(81)7n - B.12(81)7n +- C.32

(81)7n +- D.

4

2(81)7

n +- 2．错位相减法求和：如：{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++

例：1．求和2

1

123n n S x x nx

-=++++

2.求和：n n a

n a a a S ++++=

32321 3.设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=

（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

的前n 项和n S ．

3．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项：

111)1(1+-=+n n n n )

121

121(21)12)(12(1+--=+-n n n n )211(21)2(1+-=+n n n n ])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n

!)!1(!n n n n -+=⋅

)!1(1!1)!1(+-=+n n n n i

n i n i n C C C 1

11----=

数列{}n a 是等差数列，数列⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和

例：1.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1

(1)

n a n n =

+，则5S 等于（ B ）

A ．1

B ．

56 C ．16 D ．130

2.已知数列}{n a 的通项公式为1

(1)

n a n n =

+，求前n 项的和；

3.已知数列}{n a 的通项公式为11

n a n n =

++，求前n 项的和．

4.已知数列}{n a 的通项公式为n a ＝1

2

n +，设13242111n n n T a a a a a a +=+++

⋅⋅⋅ ，求n T ． 5．求)(,3211

4321132112111*N n n

∈+++++++++++++++

。 6．已知1,0≠>a a ，数列{}n a 是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令)(lg N n a a b n n n ∈⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n S 4．倒序相加法求和

综合练习：

1.设数列}{n a 满足01=a 且111

111=---+n

n a a

（1）求}{n a 的通项公式 （2）设,11

n

a b n n +-=

记∑==n

k k n b S 1

，证明：1

2.等比数列}{n a 的各项均为正数，且13221=+a a ，622

39a a a = （1）求数列}{n a 的通项公式

（2）设n a

a

a

n b 333log ...log log 21+++=，求数列}1

{

n

b 的前n 项和 3.已知等差数列}{n a 满足02=a , 1086-=+a a . (1)求数列}{n a 的通项公式及n S （2）求数列}2

{

1-n n

a 的前n 项和 4.已知两个等比数列}{n a ，}{n

b ，满足)0(1>=a a a ，111=-a b ，222=-a b ，333=-a b （1）若,1=a 求数列}{n a 的通项公式

（2）若数列}{n a 唯一，求a 的值

5.设数列}{n a 满足21=a ，1

2123-+⋅=-n n n a a

（1）求数列}{n a 的通项公式

（2）令n n na b =，求数列}{n b 的前n 项和

6.已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2

+2x 的图象上，其中=1，2，3，… （1） 证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列；

（2） 设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求T n 及数列｛a n ｝的通项； （3） 记b n =

2

1

1++

n n a a ，求｛b n ｝数列的前项和S n ，并证明S n +132-n T =1. 7.已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ，}{n a 的前n 项和n S （1）求n a 及n S （2）令1

12

-=

n n a b （+

∈N n ），求数列}{n b 前n 项和n T

求M 的最小值，若不存在，试说明理由。