平行关系的判定用
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§5 平行关系
5.1 平行关系的判定
1、理解并掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定
定理；进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力.
2、学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面 平行、平面与平面平行的判定定理. 3、让学生在发现中学习，增强学习的积极性；让学生了 解空间与平面互相转换的数学思想.
a
b
b
a
观察与猜想
直线和平面平行的判定定理 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，
那么这条直线和这个平面平行
（线线平行
若直线l
线面平行）
, l / /b, 则l / /
平面，直线b
思考交流
家庭中安装方形镜子时，为了使镜子的上边框与天 花板平行，只需要使镜子的上边框与天花板和墙面的交线
与平面 平行 .
×
，则a // .
（2）若直线a//b ， a//c ，且 b、c
×
（3）如果直线和平面平行，那么直线和平面内的无数条 直线平行. √ （4）如果直线和平面平行，那么直线和平面内的所有直 线平行.
×
2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证:平面AB1D1//平面C1BD. 证明：因为ABCD－A1B1C1D1为正方体， 所以 BD∥B1D1.
引入新课
我们知道，一条直线和一个平面有三种位置关系：直线 在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行.
α
a
a α
A
a α
直线a与平面
直线在平面α 内a α有无 数个交点
直线与平面 α相交a∩ α= A有且只 有一个交点
α平行a∥α无
交点
在生活中，注意到门扇的两边是平的．当门扇绕着一边 转动时，另一边始终与门框所在的平面没有公共点，此时门
（2）线面平行的判定方法；
平行四边形法 平行移动法
中位线法
线线平行 线面平行
（将空间问题转化为平面问题）
（3）面面平行的定义； （4）面面平行的判定定理；
（5）面面平行判定定理的应用：要证面面平行，只要证线
面平行，而要证线面平行，只要证线线平行;在立体几何中，
往往通过线线、线面、面面间的位置关系的转化使问题得
β , 则α ∥β 吗? 请举例说明.
模型１
α// β?
a α α α
β
模型２ a // β
α
b//β a // b b a
β
问题3
平面α 内有两条相交直线 a , b 平行平面β , 则 直观 感受
α ∥β 吗?
a
b
问题3
平面α内有两条相交直线 a , b 平行平面β, 则α∥ β吗? 模型 验证 a α b
到解决.
不能因为人生的道路坎坷，就使自己的身躯 变得弯曲；不能因为生活的历程漫长，就使 求索的脚步迟缓。
E
B F C
H D G
反思领悟
1. 线面平行，通常可以转化为线线平行来处理. 2. 寻找平行直线可以通过三角形的中位线、梯形的中
位线、平行线的判定来完成.
3. 证明的书写:三个条件“内”、“外”、“平行” 缺 一不可.
思考，空间两平面有哪些位置关系？
相交
平行
有公共点
无公共点
思考:
; 若平面α ∥β ，则α 中所有直线都平行β ?
例2 如图所示，空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是
AB,BC,CD,AD的中点.试指出图中满足线面平行位置关系的
所有情况.
解 由EF // AC // HG，得 （ ）EF // 平面ACD; 1 (2) AC // 平面EFGH ; (3) HG // 平面ABC .
A
由BD // EH // FG，得 （ ）BD // 平面EFGH ; 1 (2) EH // 平面BCD; (3) FG // 平面ABD.
平行，显然用到了这个判定定理；安装教室里的日光灯，
也用到了这个判定定理.你还能举出生活中应用此判定定 理的其他例子吗？
百度文库
A
例1 空间四边形ABCD中，E、F分别为AB， AD的中点.判断EF与平面BCD的位置关系.
B E F D
α
C
解 设由相交直线BC，CD所确定的平面为α， 如图，连接BD. 易见，EF不在平面α内.由于E，F分别为AB,AD的中点， 所以EF∥BD.又BD在平面α内，所以EF∥α.
扇转动的一边与门框所在的平面给人以平行的印象．
观察门扇转动的一边与门框所在的平面之间的位置关系．
观察:球门线BC、立柱AB、支柱GF、横梁AD所在直线与 地面的关系. H
G
D
A E
F
B
C
那么，如何判定一条直线和一个平面平行呢？ 观察下图所示的长方体，我们可以知道：直线a不在平
面α 内,直线b在平面α 内,a∥b,这时a∥α .
β
面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条 相交 直线分别与另一个平面
平行 ，那么这两个平面平行.
a , b ab=P a //
b //
符号语言 面面平行 转 化 // 线不在多 贵在相交
P
a b
图形语言
转 化
线面平行
线线平行？
1
判断下列说法是否正确：
（1）若直线a与平面 内的一条直线平行 ，则 a
! 反之，若α 中所有直线都平行β ，则α ∥β ?
无限 转 化 有限
启示?
两个平面平行的问题，可以转化为一个平面内的直线与
另一个平面平行的问题。 面面平行
转 化
线面平行
探究:
问题1 平面α 内有一条直线 a 平行于平面β , 则α ∥β 吗? 请举例说明. 问题2 平面α 内有两条直线a , b 平行于平面
D1 A1 D A B1
C1
又B1D1
平面AB1D1，
从而BD∥平面AB1D1 同理可证 BC1∥平面AB1D1. 又直线BD与直线BC1交于点B. 因此，平面AB1D1∥平面C1BD.
C
B
aü ï ï ï （1）线面平行的判定定理： b a ý轪 a / / ï a / /b ï ï ï þ a
5.1 平行关系的判定
1、理解并掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定
定理；进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力.
2、学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面 平行、平面与平面平行的判定定理. 3、让学生在发现中学习，增强学习的积极性；让学生了 解空间与平面互相转换的数学思想.
a
b
b
a
观察与猜想
直线和平面平行的判定定理 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，
那么这条直线和这个平面平行
（线线平行
若直线l
线面平行）
, l / /b, 则l / /
平面，直线b
思考交流
家庭中安装方形镜子时，为了使镜子的上边框与天 花板平行，只需要使镜子的上边框与天花板和墙面的交线
与平面 平行 .
×
，则a // .
（2）若直线a//b ， a//c ，且 b、c
×
（3）如果直线和平面平行，那么直线和平面内的无数条 直线平行. √ （4）如果直线和平面平行，那么直线和平面内的所有直 线平行.
×
2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证:平面AB1D1//平面C1BD. 证明：因为ABCD－A1B1C1D1为正方体， 所以 BD∥B1D1.
引入新课
我们知道，一条直线和一个平面有三种位置关系：直线 在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行.
α
a
a α
A
a α
直线a与平面
直线在平面α 内a α有无 数个交点
直线与平面 α相交a∩ α= A有且只 有一个交点
α平行a∥α无
交点
在生活中，注意到门扇的两边是平的．当门扇绕着一边 转动时，另一边始终与门框所在的平面没有公共点，此时门
（2）线面平行的判定方法；
平行四边形法 平行移动法
中位线法
线线平行 线面平行
（将空间问题转化为平面问题）
（3）面面平行的定义； （4）面面平行的判定定理；
（5）面面平行判定定理的应用：要证面面平行，只要证线
面平行，而要证线面平行，只要证线线平行;在立体几何中，
往往通过线线、线面、面面间的位置关系的转化使问题得
β , 则α ∥β 吗? 请举例说明.
模型１
α// β?
a α α α
β
模型２ a // β
α
b//β a // b b a
β
问题3
平面α 内有两条相交直线 a , b 平行平面β , 则 直观 感受
α ∥β 吗?
a
b
问题3
平面α内有两条相交直线 a , b 平行平面β, 则α∥ β吗? 模型 验证 a α b
到解决.
不能因为人生的道路坎坷，就使自己的身躯 变得弯曲；不能因为生活的历程漫长，就使 求索的脚步迟缓。
E
B F C
H D G
反思领悟
1. 线面平行，通常可以转化为线线平行来处理. 2. 寻找平行直线可以通过三角形的中位线、梯形的中
位线、平行线的判定来完成.
3. 证明的书写:三个条件“内”、“外”、“平行” 缺 一不可.
思考，空间两平面有哪些位置关系？
相交
平行
有公共点
无公共点
思考:
; 若平面α ∥β ，则α 中所有直线都平行β ?
例2 如图所示，空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是
AB,BC,CD,AD的中点.试指出图中满足线面平行位置关系的
所有情况.
解 由EF // AC // HG，得 （ ）EF // 平面ACD; 1 (2) AC // 平面EFGH ; (3) HG // 平面ABC .
A
由BD // EH // FG，得 （ ）BD // 平面EFGH ; 1 (2) EH // 平面BCD; (3) FG // 平面ABD.
平行，显然用到了这个判定定理；安装教室里的日光灯，
也用到了这个判定定理.你还能举出生活中应用此判定定 理的其他例子吗？
百度文库
A
例1 空间四边形ABCD中，E、F分别为AB， AD的中点.判断EF与平面BCD的位置关系.
B E F D
α
C
解 设由相交直线BC，CD所确定的平面为α， 如图，连接BD. 易见，EF不在平面α内.由于E，F分别为AB,AD的中点， 所以EF∥BD.又BD在平面α内，所以EF∥α.
扇转动的一边与门框所在的平面给人以平行的印象．
观察门扇转动的一边与门框所在的平面之间的位置关系．
观察:球门线BC、立柱AB、支柱GF、横梁AD所在直线与 地面的关系. H
G
D
A E
F
B
C
那么，如何判定一条直线和一个平面平行呢？ 观察下图所示的长方体，我们可以知道：直线a不在平
面α 内,直线b在平面α 内,a∥b,这时a∥α .
β
面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条 相交 直线分别与另一个平面
平行 ，那么这两个平面平行.
a , b ab=P a //
b //
符号语言 面面平行 转 化 // 线不在多 贵在相交
P
a b
图形语言
转 化
线面平行
线线平行？
1
判断下列说法是否正确：
（1）若直线a与平面 内的一条直线平行 ，则 a
! 反之，若α 中所有直线都平行β ，则α ∥β ?
无限 转 化 有限
启示?
两个平面平行的问题，可以转化为一个平面内的直线与
另一个平面平行的问题。 面面平行
转 化
线面平行
探究:
问题1 平面α 内有一条直线 a 平行于平面β , 则α ∥β 吗? 请举例说明. 问题2 平面α 内有两条直线a , b 平行于平面
D1 A1 D A B1
C1
又B1D1
平面AB1D1，
从而BD∥平面AB1D1 同理可证 BC1∥平面AB1D1. 又直线BD与直线BC1交于点B. 因此，平面AB1D1∥平面C1BD.
C
B
aü ï ï ï （1）线面平行的判定定理： b a ý轪 a / / ï a / /b ï ï ï þ a