美国人口增长预测模型
数学建模实例人口预报问题
数学建模实例：人口预报问题1.问题人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.表1 美国人口统计数据2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766~1834）于1798年提出. [1] 假设：人口增长率r 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.[2] 建立模型： 记时刻t=0时人口数为x 0, 时刻t 的人口为()t x ，由于量大，()t x 可视为连续、可微函数.t 到t t ∆+时间内人口的增量为：()()()t rx tt x t t x =∆-∆+于是()t x 满足微分方程：()⎪⎩⎪⎨⎧==00x x rx d t d x（1）[3] 模型求解： 解微分方程（1）得()rt e x t x 0= （2）表明：∞→t 时，()∞→t x （r>0）.[4] 模型的参数估计：要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r 进行估计，这可以用表1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.通过表中1790-1980的数据拟合得：r=0.307. [5] 模型检验：将x 0=3.9，r=0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810-1920的人口数，见表2.表2 美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较从表2可看出，1810-1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的模型中著名的一个.3. 阻滞增长模型（Logistic 模型）[1]假设：（a ）人口增长率r 为人口()t x 的函数()x r （减函数），最简单假定()0, ,>-=s r sx r x r （线性函数），r 叫做固有增长率.（b ）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量m x . [2]建立模型： 当mx x =时，增长率应为0，即()m x r =0，于是mx rs =，代入()sx r x r -=得：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m x x r x r 1 （3） 将（3）式代入（1）得：模型为： ()⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=001xx x x x r dt dx m （4）[3] 模型的求解： 解方程组（4）得()rt m me x x x t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=110 （5）根据方程（4）作出x dtdx~ 曲线图，见图1-1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x~t 曲线，见图1-2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.[4] 模型的参数估计：利用表1中1790-1980的数据对r 和x m 拟合得：r=0.2072, x m =464. [5] 模型检验：将r=0.2072, x m =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800-1990的人口数，见表3第3、4列.也可将方程（4）离散化，得)())(1()()()1(t x x t x r t x x t x t x m-+=∆+=+ t=0,1,2,… (6) 用公式（6）预测1800-1990的人口数，结果见表3第5、6列.表3 美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较图1-2 x~t 曲线现应用该模型预测人口.用表1中1790-1990年的全部数据重新估计参数，可得r=0.2083, x m=457.6. 用公式（6）作预测得：x(2000)=275; x(2010)=297.9.也可用公式（5）进行预测.。
人口增长预测
人口增长预测数学实验指导教师：何仁斌城市建设与环境工程学院环境工程1班姓名：郑惋月学号：20096545人口增长预测摘要：人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。
本文主要介绍了两个最基本的人口模型，即人口指数增长模型和阻滞增长模型，并利用美国1790年至1980年人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预测2010年美国人口。
模型一：建立了指数增长模型，根据规律建立模型公式——年增长率r不变。
我们要验证该模型是否适用。
取题目中给出的数据1790年至1900年的，数据拟合用MATLAB软件计算的增长率r以及初始人口数。
讲以上两参数带入公式，算的人口数量，将之与实际人口数相比较画出对比图形，发现比较相符。
又取1790至2000年的数据，重复刚才步骤。
发现算出数据前半部分相符，但后半部分明显增加的比实际数据快。
所以，Malthus人口模型只适用于短期，并不适用于长期的人口预测。
因为人口在增长到一定程度时，由于资源和环境对人口增长的阻滞作用使增长率下降。
模型二：建立了阻滞增长人口阻滞增长模型，利用题目中给出的数据。
根据公式做出人口的时间变化率与人口容量的关系图，以及人口与时间的关系图。
选择1860年至1990年的数据（去掉个别异常数据），用MATLAB软件计算出增长率和人口容量。
根据得到的数据带入公式的到计算的人口数量与实际数据作比较。
可以看出这个模型的吻合度相当好，由于阻滞增长人口模型。
可以据此模型有效的预测在以后一段时间内如2020的美国人口增长。
依次内推也可以利用此模型来预测世界人口在相当一段时间内的人口增长。
模型三：对模型进行了进一步的修正。
最后，分别对三模型进行优缺点评价与改进。
关键字：人口预测； matlab软件；人口指数增长模型；阻滞增长模型目录一、问题重述 (3)二、问题分析 (3)三、模型假设 (4)1.模型一 (4)2.模型二 (4)3.模型三 (4)四、符号说明 (4)1.模型一 (4)2.模型二 (4)五、模型的建立 (5)5.1指数增长模型 (5)5.1.1模型建立 (5)5.1.2结果分析与模型检验 (6)5.2阻滞增长模型 (7)5.2.1模型建立 (7)5.2.2结果分析与模型检验 (8)5.3修改模型 (10)5.3.1模型建立 (10)5.3.2结果分析与模型检验 (10)六、总结 (11)附录1 (13)一、问题重述长期以来，人类的繁衍一直在自发的进行着，只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化，人们才开始猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系、人口数量的变化规律，以及如进行人口控制等问题。
最新人口指数增长模型和logistic模型教学文案
根据美国人口从1790年到1990年间的人口数据（如下表），确定人口指数增长模型和Logistic 模型中的待定参数，估计出美国2010年的人口，同时画出拟合效果的图形。
表1 美国人口统计数据指数增长模型：rt e x t x 0)(=Logistic 模型：()011mrtm x x t x e x -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭解：模型一:指数增长模型。
Malthus 模型的基本假设下，人口的增长率为常数，记为r ，记时刻t 的人口为 )(t x ，（即)(t x 为模型的状态变量）且初始时刻的人口为0x ，因为⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(x x rxdt dx由假设可知0()rt x t x e = 经拟合得到：}2120010120()ln ()ln ,ln (),,ln rt a y a t a x t x e x t x rt r a x ey x t a r a x =+=⇒=+⇒=====程序：t=1790:10:1980;x(t)=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 ];y=log(x(t));a=polyfit(t,y,1) r=a(1),x0=exp(a(2)) x1=x0.*exp(r.*t); plot(t,x(t),'r',t,x1,'b') 结果：a = 0.0214 -36.6198r= 0.0214 x0= 1.2480e-016所以得到人口关于时间的函数为：0.02140()t x t x e =，其中x0 = 1.2480e-016， 输入：t=2010;x0 = 1.2480e-016; x(t)=x0*exp(0.0214*t)得到x(t)= 598.3529。
即在此模型下到2010年人口大约为598.3529 610⨯。
美国人口模型预测
[1]秦新强，数学建模，高等学校教材，【M】2010，P45-65 [2] 李晓梅. 人口预测模型研究及应用[M]. 四川：西南财经大学出版社，2011. [3]姜启源等《数学模型》（第三版，【M】高等教育出版社 2003.08 P10 八、附件（MATLAB程序）： （一）指数增长模型：
事实上人口的预测是一个相当复杂的问题影响人口增长的因素除了人口基数与可利用资源量外还和医药卫生条件的改善人们生育观念的变化等因素有关特别在做中短期预测时我们希望得到满足一定预测精度的结果比如在刚刚经历过战争或是由于在特定的历史条件下采纳了特殊的人口政策等这些因素本身以及由此引起的年龄结构变化就变得相当重要也要予以考虑
图4 4-4分析与检验 从图4 看出，在前一段吻合得比较图，但在最上面，若拟合曲线更接近原始数据，对将来人口的预测应该更好。因此略加修改 将拟合准则改为： ∑∑ + = =+ = 21 12 1 2) ) ( ( ) ) ( ( ) ( min n i ii n i i i x t f w
x t f a E 其中w为右端几个点的误差权重，在此处应该取为大于1的数，这样会使右边的拟合误差减小，相应的，其他点的误差会有所 增加。如何才能使这些误差的增减恰当呢？可以通过调整w和n的具体取值，比较他们取各种不同值时的拟合效果，从而确定 出一个合适的数值。 1)先取n=17,w=1.5,运行上述程序，得到结果a = [324.0666, 0.0276]; x1 = 272.7996. 2) 再取n=16,w=2,运行上述程序，得到结果 a=[345.1439,0.0270];x1=280.0539. 我们把两种情况的拟合曲线画在同一个坐标系中，很容易作出比较，见图6.第二种情形后半段的变化趋势与原始数据更吻合， 因此，对将来人口的预测应该 更好。
美国人口增长模型
人口预测
摘要
本文根据某个地区从1800年到2000年间的人口数据建立数学模型对该地区未来人口作出相应的预测，建立起人口预报的一次函数增长模型x(t)=at+b，进行数据的拟合，首先我们建立了Logistic模型，通过matlab数据拟合并求解出2010年的人口预测为283.1148百万人次。
问题重述
根据以下某个地区的人口从1800年到2000年间的人口数据（如下表），建立人口增长模型，并确定其中的待定参数，估计出该地区2010年的人口，同时画出拟合效果的图形。
某地区人口统计数据(×106)
表（1）
我们先从图像上来观察该地区年份跟人口的大致关系，利用matlab 的绘图功能把上表绘制如下：
参数估计
求参数a 和b ，使得以下函数达到最小值:
其中xi 是ti 时刻美国的人口数。
2
1
(,)()n
i i i E a b at b x ==+-∑22
(,)(1790 3.9)(1800 5.3)E a b a b a b =⋅+-+⋅+-+
0E a
∂=∂0E b
∂=∂
可解得a 和b ，然后再代回函数计算新的时间t 所对应的人口数：
利用matlab 的绘图功能把人口在各时间段的真实值与上面线性方程的估计值绘制如下：
通过表（1）的数据，用matlab 拟合求解，我们得到人口增长线性增长方程为：x(t)=1.5t-2755.3
最后，通过这个模型可以预测x(2010)=283.1148百万。
()x t at b
=+。
微分方程模型之人口增长模型
练习：2006年1 月至2007年4月 上证指数历史 数据如下。建 立指数增长模 型和logistic 模型；进行模 型验证；并分 别进行为期2个 月的预测。男 生用开盘价做， 女生用收盘价 做。
日期 20060125 20060228 20060331 20060428 20060531 20060630 20060731 20060831 20060929 20061031 20061130 20061229 20070131 20070228 20070330 20070416
2020 6:41:39 AM06:41:392020/12/13
• 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。12/13/
谢 谢 大 家 2020 6:41 AM12/13/2020 6:41 AM20.12.1320.12.13
• 12、这一秒不放弃，下一秒就会有希望。13-Dec-2013 December 202020.12.13
传染病模型学习小结
一 常用传染病模型类型—微分方程模型 1指数增长模型 2 SI模型(logistic模型) 3 SIS模型 4 SIR模型
二 SAS传播模型中的收获 增加人群分类，构建SEIR或SEPIR模型 关于经济的正面或负面影响地分析 ——学会全面地看问题 写作是建模学习的一个重要内容.
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1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1320. 12.13Sunday, December 13, 2020
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2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。06:4 1:3906: 41:3906 :4112/ 13/2020 6:41:39 AM
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美国人口增长
作业一：美国人口增长的预报1100610506 电气工程及其自动化 张洋关键字： 人口数 模型 运动 曲线 预测 增长 人口摘要 ：利用已知普查数据，假设人口增长符合Logistic 模型，引入常数并求出相关常数，便可推出美国人口增长的相关情况。
假设与模型建立：美国人口数据（单位~百万指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)：假设人口增长率是常数r ，设x (t ) ~时刻t 的人口，那么由导数基本性质有可以有以下等式： 随着时间增加，人口按指数规律无限增长这种模型提出以来确实在历史流行过一段时间，并对一定时期尤其是19世纪以前部分地区的预测有相当的贡献，然而19世纪以后，它便失去了价值，人口增长率r 不再是常数，而且这种模型也不能预测较长时间的人口预测。
阻滞增长模型(Logistic 模型)：鉴于指数增长模型的种种局限性，比较符合实际的模型便应运而生，该模型假设增长率是随着人口数量而变化的这也是符合实际的，设x m ~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量），利用微分方程推出其中r （x ）是实际增长率，r 为固有增长率， 与指数增长模型中的r 是一致的，则容易画出阻滞增长模型的人口数量、增长速度与人口之间的关系：)1()(m x x rx x x r dt dx -==t r t x t x t t x ∆=-∆+)()()(0)0(,x x rx dt dx ==rt e x t x 0)(= t r e x t x )()(0=t r x )1(0+≈参数估计：显然，美国人口的增长基本符合阻滞增长模型，得出上述曲线之后，利用已知数据只要求出参数r 与x （m ）即可。
利用统计数据用最小二乘法作拟合（此过程需要matlab 编程与绘图，能力有限就直接计算了）可以得出r=0.2557，x （m ）=392.1。
模型的检验与应用：用计算出的logistic 模型计算2000年美国人口得出x （2000）=274,5与实际人口数281.4（百万）校正，重新估计模型参数：r=0.2490，x （m ）=434.0用重新校正后的阻滞模型估算2010美国人口：x （2010）=x(2000)+△x=x(2000)+rx(2000)[1-x(2000)/x(m)]=306.0 ]/)1990(1)[1990()1990()1990()2000(m x x rx x x x x -+=∆+=。
人口预测模型1
xx=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76,]; tt=1:12; fun=inline('c(1)*exp(c(2)*tt)','c','tt'); c=lsqcurvefit(fun,[1,1],tt,xx); px=c(1)*exp(c(2)*tt); plot(tt,xx,'*',tt,px) %（见图一）
净
增 长
0.3590
0.3585
0.3333
0.3438
0.3256
0.3567
0.3534
0.2293
率
年 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 份
人 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 数
净 增
0.3005
0.2298
方法二： x= [3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76,92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,20 n=length(x); t=1:n; r0=mean((diff(x)./diff(t))./x(1:n-1))
MATLAB程序：
（1）用前12个数据预测
x= [3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76,92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204,226.5,251.4,281.4]'; n=12;
人口增长logistic模型的拟合1
人口增长logistic模型的拟合李月200911131952谭结200911131959刘延卿200911131915问题摘要关于人口模型的研究，我们已经有很多方法。
这个题目要求我们用LOGISTIC模型来拟合美国人口数据。
了解到LOGISTIC模型的性质和原理之后，我们根据老师给出的数据：分为以下几个步骤来进行估计。
首先，我们把离散的数据全部利用起来，已经知道，LOGISTIC模型中，x’=rx(1-x/k)是关键的函数，我们需要做的事情就是通过离散的数据来估计函数中出现的系数，r以及k，先拟合线性模型un=r-m*yn，其中un= (yn+1-yn)/yn得到r和k=r/m的近似值，我们编写了一个for循环语句，在MATLAB中实现对方程的参数的估计。
其次，我们以此近似值为参数的初值拟合非线性函数y=k/[1+(k/y(0)-1)*exp(-r*t)]需要做的就是能够尽量好的估计参数k，r。
同样我们利用非线性拟合，就可以得到一个更加好的参数估计。
在MATLAB中实现。
最终我们得到结果：（需要完善的部分）1 关键词LOGISTIC模型非线性拟合循环语句参数估计内禀增长率2 问题的重述3 问题的分析问题的关键是要做一个LOGISTIC模型。
在模型的建立中，至关重要的是对参数的估计。
我们知道的LOGISTIC模型，x’=rx(1-x/k)是这个模型的基础，所以我们最重要的任务就是要合理估计参数。
分为以下几个步骤来进行估计。
1我们把离散的数据全部利用起来，已经知道，LOGISTIC模型中，x’=rx(1-x/k)是关键的函数，我们需要做的事情就是通过离散的数据来估计函数中出现的系数，r以及k，2先拟合线性模型un=r-m*yn，其中un= (yn+1-yn)/yn得到r和k=r/m的近似值，我们编写了一个for循环语句，在MATLAB中实现对方程的参数的估计。
3我们以此近似值为参数的初值拟合非线性函数y=k/[1+(k/y(0)-1)*exp(-r*t)]需要做的就是能够尽量好的估计参数k，r。
人口数量增长的预测模型
+ + +
张丽萍 鲍赛薇 葛国栋
人类对自身的研究是科学研究的几大问题之一，而对人口数量增长的预测是 对自身的研究的一个古老而又复杂的问题。人口数量的急剧增加与有限的生存空 ） 日益贫乏的自然资源的矛盾日益突出，这个问题已越来越多地引起各国的高度重 视。如何能够既简单而又准确的预报人口数量的增长，使科学家和各国政府必须 面对的一个难题。因此，研究数量变化，预测人口数量增长趋势具有重要的现实 意义。自从英国人口学家马尔萨斯于1798年首先提出了著名的人口增长模型以来 ，由于已有的模型的不尽人意，经过几百年的不懈努力，人口学家提出了许多更 好的人口数量增长预报的数学模型。当然限于我们所学的数学知识，这里不能一 一介绍，只能介绍人口数量问题中常委分方程模型。 •指数增长模型(Malthus人口模型) 英国人口学家马尔萨斯根据百余年的人口统计资料，与1798年提出了著名的人口 增长模型。
29.6
38.3 48.7 60.2 74.7 89.5
-5.7
-0.8 -3.0 -4.3 -1.7 -2.7
1930 1940 1950 1960 1970 1980
123.2 1920 150.7 179.3 204.0 226.5
316.4
106.5
156.8
119.7 117.0 146.2 157.0 166.0
x 的总人口为
0
人口增长率为r,r是单位时间内x(t)的增量与x(t)的比例系数。根据r是常数 的基本假设，t到t+△t时间内人口的增量为 (2-3-3） x(t+△t)-x(t)=rx(t)△t
美国人口的预测
（四）对指数增长模型求解
利用 Matlab 和模型（1）对 1790—2000 年的 数 据 进 行
280 260 240 220 200 180 160 140 120
01234567
拟合，现对问题进行变形处理，对 x（t）=x0ert 两边取对数可得 lnx（t）=lnx0+rt。用 Matlab 可得到：r1=0.2956，x0=3.9401。
图4 美国1930—2000年人口拟合曲线图 （五）模型评价
所以，1790—1850 年的拟合函数为线性函数 lnx（t）=
根 据 三 个 模 型 ，分 别 求 出 用 指 数 增 长 模 型 预 测 的
模型，其中记当年人口数为 x0，10 年以后的人口数为 x1，增长
率为 r 保持不变，则：
x1=x（0 1+r）
（1）
由于美国人口数 x（t）是一个非常大的数，利用微积分学
知识，不妨把 x（t）看作关于 t 的一个连续可微函数，令初始时刻
100 90 80 70 60 50 40 30
0123456
1930—2000年这三个时间段的数据建立指数增长模型，对未来美国总人口进行预测，发现在短时间内，美国人口随着
时间的推移而不断增长。
关键词：美国；人口预测；马尔萨斯人口增长模型；指数增长模型
中图分类号：C923
文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2020）03-0175-03
一、人口预测方法
比较 麻 烦 ，因 此 在 两 边 取 对 数 ，记 lnx（t）=y，lnx1790=ln3.9 = 1.36=a，则原方程化为 y=a+（r t-1790）。利用 1790—1900 年的 数据进行拟合，得到 r=0.02142。
数学建模美国人口预测报告1
3．模型建立模型1(1.1) 假设美国人口上限为5亿，根据表中给出的人口增长率，进行适当的处理，建立微分方程模型；(1.2) 利用 (1.1) 中的模型计算各年人口，与实际人口数量比较，计算模型的计算误差；(1.3) 利用 (1.1) 中的模型预测美国2010,2020,2030,2040,2050年的人口； (1.4) 假设人口增长率服从[1.1,1.3]上的均匀分布，结合 (1.1) 中建立微分方程模型，预测美国2010,2020,2030,2040,2050年的人口.图1为美国1790-2000年的人口数据，人口增长率r 为每10年的取值。
首先对人口增长率进行处理求出其他年份相对于1790年的增长率R1.....nnt t t r r R n其中t1=1800年….. t21=2000年(1<n ≤21) 例如1810年相对于1790年的增长率为 (3.11+2.99)/2=3.05 其他年份同理可得如图2；对增长率R 求平均直为Rx=2.64%模型1 为阻滞增长模型 假设人口增长率 r(x)是t 时人口x(t)的函数，r(x)应该是x 的减函数。
一个简单的假设是假设 r(x)为x 的线性函数r(x)=r-s*x , s>0.最大人口数量Xm=500 当x=Xm 时增长率为零。
在线性化假设前提下可以得到r(x) = r (1 – x / Xm)，(公式1)其中的r 我们取之前求得的平均增长率r=0.0264 , Xm=500。
在公式1假设下，模型可修改为0(1)(0)xtm d x rx d x x x (公式2)图1上述方程改为Logistic模型x t =m x/1+(m x/0x-1)rt e(公式3)()e取2.718，t为t，求出每10年的rt值带入方程算出各年的人口数以及和实际值的误差见图3。
2010年的R*t=5.808，预测人口为362.32；2020年的R*t=6.072，预测人口为387.59；2030年的R*t=6.336，预测人口为408.16；2040年的R*t=6.6 ，预测人口为427.35；2050年的R*t=6.864，预测人口为442.48；观察预测结果1930年以前只有1800 1810 1820误差较小，其它年份误差正负都稍微偏大，1940年以后预测值逐年大于实际值，说明在给定最大人口数后增长率选择不适当，与给定的最大人口数不匹配，有待改进。
数学建模美国人口预测报告1
3．模型建立模型1(1.1) 假设美国人口上限为5亿，根据表中给出的人口增长率，进行适当的处理，建立微分方程模型；(1.2) 利用 (1.1) 中的模型计算各年人口，与实际人口数量比较，计算模型的计算误差；(1.3) 利用 (1.1) 中的模型预测美国2010,2020,2030,2040,2050年的人口； (1.4) 假设人口增长率服从[1.1,1.3]上的均匀分布，结合 (1.1) 中建立微分方程模型，预测美国2010,2020,2030,2040,2050年的人口.图1为美国1790-2000年的人口数据，人口增长率r 为每10年的取值。
首先对人口增长率进行处理求出其他年份相对于1790年的增长率R1.....nnt t t r r R n其中t1=1800年….. t21=2000年(1<n ≤21) 例如1810年相对于1790年的增长率为 (3.11+2.99)/2=3.05 其他年份同理可得如图2；对增长率R 求平均直为Rx=2.64%模型1 为阻滞增长模型 假设人口增长率 r(x)是t 时人口x(t)的函数，r(x)应该是x 的减函数。
一个简单的假设是假设 r(x)为x 的线性函数r(x)=r-s*x , s>0.最大人口数量Xm=500 当x=Xm 时增长率为零。
在线性化假设前提下可以得到r(x) = r (1 – x / Xm)，(公式1)其中的r 我们取之前求得的平均增长率r=0.0264 , Xm=500。
在公式1假设下，模型可修改为0(1)(0)xtm d x rx d x x x (公式2)图1上述方程改为Logistic模型x t =m x/1+(m x/0x-1)rt e(公式3)()e取2.718，t为t，求出每10年的rt值带入方程算出各年的人口数以及和实际值的误差见图3。
2010年的R*t=5.808，预测人口为362.32；2020年的R*t=6.072，预测人口为387.59；2030年的R*t=6.336，预测人口为408.16；2040年的R*t=6.6 ，预测人口为427.35；2050年的R*t=6.864，预测人口为442.48；观察预测结果1930年以前只有1800 1810 1820误差较小，其它年份误差正负都稍微偏大，1940年以后预测值逐年大于实际值，说明在给定最大人口数后增长率选择不适当，与给定的最大人口数不匹配，有待改进。
人口增长模型的确定
人口增长模型的确定 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT题目：人口增长模型的确定摘要人口问题已成为当前世界上最普遍关注的问题之一，人口增长规律的发现以及人口增长的预测问题对一个国家制定长远的发展规划有着非常重要的意义。
本文分别使用了马尔萨斯人口指数增长模型和阻滞增长模型，以美国1790-1980年间每隔10年的人口数量为依据，对接下来的每隔十年进行了预测五次人口数量。
通过对比我们可以发现阻滞增长模型在预测准确度方面要明显优于原始的马尔萨斯人口指数增长模型。
关键词：人口增长；马尔萨斯人口指数增长模型；阻滞增长模型；人口预测一、问题重述问题背景1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。
表1 人口记录表问题提出我们需要解决以下问题：1.试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。
2.如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测，并对两次预测结果进行对比分析。
3.查阅资料找出中国人口与表1同时期的人口数量，用以上建立的两个模型进行人口预测与分析。
二、问题分析首先，我们运用Matlab软件绘制出1790到1980年的美国人口数据图，如图1。
图1 1790到1980年的美国人口数据图从图表中我们可以清晰地看到人口数在1790—1980年是呈增长趋势的，而且我们很容易发现上述图表和我们学过指数函数的图表有很大的相似性，所以我们很自然想到建立指数模型。
因此我们首先建立马尔萨斯模型，马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数N的变化率与生物总数成正比。
三、问题假设为简化问题，我们做出如下假设：（1）在模型中预期的时间内，人口不会因发生大的自然灾害，突发事件或战争而受到大的影响；（2）所给出的数据具有代表性，能够反映普遍情况；（3）一段时间内我国人口死亡率不发生大的波动；（4）在查阅的资料与文献中，所得数据可信；（5）假设人口净增长率为常数。
美国人口增长预测模型
2016年数学建模论文第一套论文题目：人口增长模型的确定组别：第35组姓名：耿晨闫思娜王强提交日期：2016年7月4日题目：美国人口增长预测模型摘要本文根据近两个世纪美国每十年一次的人口统计数据，建立了指数增长模型，即Malthus模型，并通过1790-1890年的数据验证了它的准确性。
但是，随着时间的推移，拟合函数与统计数据误差逐渐增大，所以，又建立了阻滞增长模型，即Logistic模型，这个模型的拟合函数与统计数据误差较小，并用该模型对美国未来几年的人口做出了预测。
总体来说，阻滞增长模型在预测准确度方面要明显优于原始的马尔萨斯人口指数增长模型。
关键词：指数增长模型，阻滞增长模型，人口预测一、问题重述1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。
表1：人口记录表1.试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。
2.如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测，并对两次预测结果进行对比分析。
3.查阅资料找出中国人口与表1同时期的人口数量，用以上建立的两个模型进行人口预测与分析。
二、问题分析影响人口增长的因素很多，其中最主要的两个因素是出生率和死亡率。
出生率受到婴儿死亡率、对避孕的态度及措施效果、对堕胎的态度、怀孕期间的健康护理等因素的影响；死亡率则受到卫生设施与公共卫生状况、战争、污染、医疗水平、饮食习惯、心理压力和焦虑等因素的影响。
此外，影响人口在一个地区增长的因素还有迁入和迁出、生存空间的限制、水和食物、疾病等。
在这些因素中，有些是常态的或者有规律的，这些因素对人口的增长是恒定的；而有些因素是随机的，对人口的增长是没有规律的。
因此，当大范围、长时期研究人口增长问题时，对人口增长产生影响的随机因素就不在考虑了。
建立该模型的目的是要能通过模型预测美国后来每十年的人口数具体变化，并与实际的数据进行对比，看误差的大小。
美国人口增长模型
4.1 美国人口增长问题研究4.1.1 问题重述认识人口数量的变化过程，建立数学模型描述人口发展规律，做出较为准确的增长预测，是制定积极、稳妥的人口政策的前提。
请使用下表的美国人口统计数据进行参数估计，并作模型检验和增长预测。
4.1.2 符号规定与基本假设1. 符号规定1.r表示人口增长率x t表示人口数量2.()x表示人口容量3.m2. 基本假设1)假设人口增长符合生长规律；2)不考虑战争等非射幸因素；3)不考虑突发事故所引起的人口数量变化；4.1.3 模型分析与建立考察一个国家或者地区的人口数量随着时间延续而发生变化的规律时，可以将人口看作连续时间t 的延续可微函数()x t 。
记初始时刻()0t =的人口为0x 。
假设单位时间人口增长率为常数r ，即可得到满足人口增长的微分方程和初始条件为：()0,0dxrx x x dt== (1.1)易得：()0n x t x e =(1.2)若0r >，人口将按指数规律无限增长。
根据已知数据对模型的参数进行估计又称为数据拟合。
对式(1.1)中的参数0,r x 进行估计主要有以下两种方法。
方法一：直接使用人口数据和线性最小二乘法，对 (1.2)式取对数可得：0,ln ,ln y rt a y x a x =+==(1.3)由本题所给表格，通过MATLAB 软件可计算得出，0.2020/10r =年，0 6.0496x =。
方法二：先对人口数据进行数值微分，再计算增长率并将其平均值作为r 的估计；0x 直接取原始数据。
数值微分的中点公式如下：假设函数()x t 在分点01,,,n t t t (等间距t ∆)的离散值为01,,,n x x x ，那么函数在各个分点的导数近似值为()11,1,2,,12k k k x x x t k n t+--'==-∆ (1.4)()()0122103443,22n n nn x x x x x x x t x t t t---+--+''==∆∆ (1.5)根据式(1.5)可以计算出美国人口1790年至2000年的增长率()()k k k x t r x t '=，为0.2052年/10年，令人口数量初值0 3.9x =，即可预测算出人口数量。
人口指数增长模型和Logistic模型
根据美国人口从1790年到1990年间的人口数据（如下表），确定人口指数增长模型和Logistic 模型中的待定参数，估计出美国2010年的人口，同时画出拟合效果的图形。
指数增长模型：rt e x t x 0)(=Logistic 模型：()011mrtm x x t x e x -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭解：模型一:指数增长模型。
Malthus 模型的基本假设下，人口的增长率为常数，记为r ，记时刻t 的人口为 )(t x ，（即)(t x 为模型的状态变量）且初始时刻的人口为0x ，因为⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(x x rxdt dx由假设可知0()rt x t x e = 经拟合得到：}2120010120()ln ()ln ,ln (),,ln rt a y a t a x t x e x t x rt r a x ey x t a r a x =+=⇒=+⇒=====程序：t=1790:10:1980;x(t)=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 ]; y=log(x(t));a=polyfit(t,y,1) r=a(1),x0=exp(a(2)) x1=x0.*exp(r.*t);plot(t,x(t),'r',t,x1,'b') 结果：a = 0.0214 -36.6198r= 0.0214x0= 1.2480e-016 所以得到人口关于时间的函数为：0.02140()t x t x e =，其中x0 = 1.2480e-016， 输入：t=2010;x0 = 1.2480e-016; x(t)=x0*exp(0.0214*t)得到x(t)= 598.3529。
即在此模型下到2010年人口大约为598.3529 610⨯。
人口增上数学模型
一、问题描述长期以来，人类的繁殖一直都在自发地进行着。
只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系、人口数量的变化规律以及如何进行人口控制等问题。
认识人口数量的变化规律建立人口模型，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。
现有美国1790—2000年的人口数量如下表（每隔十年统计一次），请建立合理的数学模型对2010年的人口数量进行预测。
二、符号说明符号符号说明 t年份 r 固有增长率（人口很少）)(N r 关于人口数量的变增长率)(t N 第t 年的人口总数)0(N 初始年（1790年）的人口总数（3.9/百万）∞N0=r 时的饱和人口数三、Malthus 模型假设在人口增长的过程中不会受到自然灾害、突发疾病、战争等影响，设t 时间后的人口总数时)(t N ，且人口增长函数)(t N 时连续、可微的，则有：0)0(,)()(N N t N r dtt dN =⋅=，给方程两边同时积分，得 ⎰⎰⋅=dt r t N t dN )()(,即：，c e t N c t r t N t r ⋅=+⋅=⋅)(,)(ln 代入初始值，得：t r e N t N ⋅⋅=0)( 于是，人口会以re q =为公比得等比数列得形式增长，r 为增长率，且1<<r ，由 Maclaurin 展开公式：r e r +≈1随着时间的增加实际人口不会像我们的预测模型一样:“理想”的增加，这是为何？由于现阶段社会处于高速发展阶段，人口不会呈指数形式无限增加，那么当人口增加到一定数量以后一些自然条件就会起到阻滞作用，且阻滞作用会越来越大，使得增长率r 会随着人口数N 的增加而下降，将r 表示为关于N 的线性函数：)0,)(()(>⋅-=s r t N s r N r 。
此处的r 称为固有增长率，当人口总数较少时，人口数量会稳定增长，当∞=N t N )(时，人口会达到饱和不在增长，即：0)(=∞N r ，代入)()(t N s r N r ⋅-=，得：∞=N rs ，所以变增长率为：))(1()()(∞∞-⋅=⋅-=N t N r t N N r r N r ，那么t 时间后的人口总数时)(t N 为： 0)0(,))(1()()(N N N t N t N r dt t dN =-⋅⋅=∞。
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2016年数学建模论文第一套论文题目：人口增长模型的确定组别：第35组姓名：耿晨闫思娜王强提交日期：2016年7月4日题目：美国人口增长预测模型摘要本文根据近两个世纪美国每十年一次的人口统计数据，建立了指数增长模型，即Malthus模型，并通过1790-1890年的数据验证了它的准确性。
但是，随着时间的推移，拟合函数与统计数据误差逐渐增大，所以，又建立了阻滞增长模型，即Logistic 模型，这个模型的拟合函数与统计数据误差较小，并用该模型对美国未来几年的人口做出了预测。
总体来说，阻滞增长模型在预测准确度方面要明显优于原始的马尔萨斯人口指数增长模型。
关键词：指数增长模型，阻滞增长模型，人口预测一、问题重述1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。
表1：人口记录表1.试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。
2.如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测，并对两次预测结果进行对比分析。
3.查阅资料找出中国人口与表1同时期的人口数量，用以上建立的两个模型进行人口预测与分析。
二、问题分析影响人口增长的因素很多，其中最主要的两个因素是出生率和死亡率。
出生率受到婴儿死亡率、对避孕的态度及措施效果、对堕胎的态度、怀孕期间的健康护理等因素的影响；死亡率则受到卫生设施与公共卫生状况、战争、污染、医疗水平、饮食习惯、心理压力和焦虑等因素的影响。
此外，影响人口在一个地区增长的因素还有迁入和迁出、生存空间的限制、水和食物、疾病等。
在这些因素中，有些是常态的或者有规律的，这些因素对人口的增长是恒定的；而有些因素是随机的，对人口的增长是没有规律的。
因此，当大范围、长时期研究人口增长问题时，对人口增长产生影响的随机因素就不在考虑了。
建立该模型的目的是要能通过模型预测美国后来每十年的人口数具体变化，并与实际的数据进行对比，看误差的大小。
在此基础上利用改进的模型对美国人口同时期数量进行预测，并进行总结分析。
三、问题假设人口指数增长模型中采用以下基本假设：（1）单位时间的人口总量增长与当时的人口呈正比，比例常数为k；（2）假设t时刻的人口为N(t)，因为人口数一般是很大的，所以将N(t)近似地视为连续，可微的函数。
记初始时刻（t=0）的人口数为N0。
新生人口数百分率为a，死亡的百分率为b，那么,经过Δt时间后，人口数量为N（t+Δt）就是原来人口数量加上Δt时间内新生人口数减去死亡人口数。
四、变量说明t 0：数据的起始时间，即1790年； t ：时间变量； r ：人口固有增长率；N 0：当时间t=1790时的人口数量，即3.9*10^6人； N(t)：t 时刻人口数量； N m ：最大人口容量。
五、模型建立在Malthus 的人口指数增长模型中，根据假设我们可以得到：()()()()N t t N t aN t t bN t t +∆=+∆-∆ （1）上式进行变形，()()()bN NaN t t kN t t∆=-=∆， 其中，t N N∆=∆（+t ）-N(t) 可见在一段时间内，人口的变化和人口的数量成正比，用瞬时变化率逼近平均变化率得：00()dNkN dt N t N ==⎧⎨⎩（2）式中：N 0--初始时刻的人口数；N--人口数。
用分离变量法得到上述方程的解为：()0kt kt N e N t e = （3）即方程的解为 0()0k t t N N e -= （4）六、模型求解利用MATLAB 数学工具，对数据中前十一年(1790-1890)的人口数拟合（4）式.现对问题进行变形以便处理，对（4）式进行取对数，得：()00ln ln N k t t N =-+ （5）取00=t ，在MATLAB 中输入程序（程序1）：可以得到 k=0.2808;lnN 0=1.4107即N 0=4.0988所以1790年到1890年的拟合函数为线性函数ln 0.2808 1.4107N t =+，所以：0.28084.0988t N e = （6）绘制离散点和拟合函数的图像进行对比，在MATLAB 中输入程序（程序2）： 得图1如下：图1:1790-1890年美国人口拟合曲线图比较拟合的曲线图和散点图（图1）可以发现与19世纪的人口增长情况相吻合。
类似地，可以求出1790年至1990年的拟合函数为0.21425.5918t N e = （7）拟合过程如下：在MATLAB 中输入程序见（程序3）： 可以得到 k=0.2142ln N 0=1.7213即N 0=5.5918所以1970年到1990年的拟合函数为线性函数0.2142 1.7213y x =+，所以：0.21425.5918t N e =绘制离散点和拟合函数的图像进行对比，在MATLAB 中输入程序（程序4）， 得图2如下：图2:1790-1990年美国人口拟合曲线图此时我们可以观察到虽然前期的数据能较好的吻合，但是随着时间的推移并不能很好的反应后期的人口真实情况，函数估计值与统计数据的误差越来越大。
这说明，用指数增长模型预测短期人口的数量可以得到较好的结果，但是从长期来看，任何地区的人口数量都不可能无限制地增长。
因此，指数增长模型不适合预测长时期人口的增长情况。
Malthus 模型中，我们只考虑了出生率和死亡率对人口的影响，而忽略了其他因素如自然资源、生存环境等对人口的影响。
然而这些因素对人口增长起着阻滞作用，并且随着人口数量的增加，阻滞作用也会增大。
因此需要将增长率k 看作是人口数量的函数，丹麦生物学家Pierre-Francois-Verhulst 在指数增长模型的基础上建立了改进的Malthus 模型，即Logistic 模型。
一般来说人口的增长率是变化的，当人口较少时，增长速度较快，增长率较大；当增加至一定的数量时，增长速度必然会减慢，增长率开始减小。
因此增长率K 应该视为人口数量的函数。
在修正的人口阻滞增长模型中，有以下假设：（1）假设人口增长率k(t)是t 时人口N(t)的函数，随着人口的增加，自然资源、环境条件等对人口增长的阻滞作用越来越明显，k(N)应是N 的减函数.一个简单的假设是k(N)是N 的线性函数，k(N)=r-sN ，其中s>0，k>0式中r 称为固有增长率，表示人口很少时的增长率。
其中mk s N (N m 称为最大人口容量)。
（2）考虑自然资源和环境因素所能容纳的最大人口数量N m ，当N=N m 时增长率为0（环境饱和），即k(N m )=0。
考虑环境因素的限制因素，对于阻滞增长模型，在假设的前提下我们可以得到()(1)mNk x r N =-(8) 式中：()k x ——人口增长率；N m ——最大人口容量。
在上式的假设前提下，指数模型可以修改为：001()m dN N rN dt N N t N ⎛⎫=-⎪⎝⎭=⎧⎪⎨⎪⎩(9)上述方程称为阻滞增长模型（Logistic 模型），上述方程中我们可以看到，方程右面的因子中，当N 增大时，相应的1mNN ⎛⎫ ⎪-⎪⎝⎭将会减小，即人口增长由这两个因子控制，比较符合实际情况。
方程（9）的解为0-t 011mr t m N N N e N -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭（）(10) 在（9）式中，当时间t 无限大时，N 接近限制Nm ，这表明随时间推移人口数最大达到饱和值Nm ，进一步考虑增长率变化问题，由（9）式可得：2221m d N dNN r dt dt N ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎝⎭ 令22d N dt =0，则2m N N =，这表明当人口数量达到最大人口数一半时，人口增长率达到最大，此后开始不断减小。
不同时期的增长率见图三所示（见程序5）；图3：增长率随时间变化的关系图用MATLAB对函数式（10）进行模拟可得图4（程序6）；图4：Logistic模型曲线图与美国实际人口对比采用阻滞增长模型对美国人口进行预测的结果如图4所示，我们能够看到，阻滞增长模型很好的处理了指数增长模型无限增长的弊端，对长远的人口情况估计更符合实际情况。
但是与统计值之相比较仍存在一定的误差，并且预测值小于统计值，这是因为我们忽略了社会因素还有其他导致地区人口减少的因素。
事实上，对于复杂生命史和个体生长期较长的高等动植物简单的统计不足以反映出全部的问题。
七、结果分析通过对美国人口统计模型的建立和修改，最终采用更为实际的人口增长阻滞模型，并对中国同期人口进行统计，采用两种模型分别对中国人口进行预测，具体过程如下：首先调查统计同时期中国人口，人口数分布情况如表2所示。
表2：中国人口调查记录表1790-1980年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 人口(⨯106) 301.5 366.0 340.0 383.1 409.0 418.9 430.0 377.0 357.7 368.0 年份 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 人口(⨯106) 380.0 400.0427.7472.0489.0 518.8 546.8 667.1 818.3 981.2 表3：中国人口调查记录表1991-2010年份 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 人口(⨯106) 1158.2 1171.7 1185.2 1198.5 1211.2 1223.9 1236.3 1247.6 1257.9 1267.4 年份 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 人口(⨯106)1276.31284.5 1292.3 1299.91307.61314.51321.31328.01334.51340.9采用指数增长的马尔萨斯模型，首先对1790到1980年的人口数据作为依据，得到相应的模型参数，在MATLAB 中输入程序（程序7）：可以得到 k=0.0425;lnN 0=5.7074即N 0=301.0872所以1790年到1890年的拟合函数为线性函数ln 0.0425301.0872N t =+，所以：0.0425301.0872t N e = （11）绘制离散点和拟合函数的图像进行对比，在MATLAB 中输入程序（程序8）：图5：马尔萨斯模型曲线图与中国实际人口对比由图可见，马尔萨斯不能很好的反应长期时间人口发展的情况，正如美国的情况一样，因此人口的预测需要改进的马尔萨斯模型更为准确。
采用阻滞增长的Logistic模型对中国人口增长情况的预测时，首先分析不同时期的增长率变化情况，从而得出人口最大值Nm。