合情推理与演绎推理

第五节合情推理与演绎推理

[备考方向要明了]

考什么怎么考

1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行

简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．

2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模

式，并能运用它们进行一些简单推理．

3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

1.合情推理的考查常单独命题，以选择

题、填空题的形式考查，如2012年江西

T6，陕西T11，湖南T16等．

2.对演绎推理的考查则渗透在解答题

中，侧重于对推理形式的考查.

[归纳·知识整合]

1．合情推理

(1)归纳推理：

①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．

②特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理．

(2)类比推理

①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．

②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．

[探究] 1.归纳推理的结论一定正确吗？

提示：不一定，结论是否真实，还需要经过严格的逻辑证明和实践检验．

2．演绎推理

(1)模式：三段论

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．

[探究] 2.演绎推理所获得的结论一定可靠吗？

提示：不一定，只有前提是正确的，推理形式是正确的，结论才一定是真实的，错误的前提则可能导致错误的结论．

[自测·牛刀小试]

1．下面几种推理是合情推理的是()

①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)·180°.

A．①②B．①③

C．①②④D．②④

解析：选C①是类比推理，②④是归纳推理，③是非合情推理．

2．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 013的末四位数字为() A．3 125 B．5 625

C．0 625 D．8 125

解析：选A55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，，58＝390 625，59＝1 953 125，可得59与55的后四位数字相同，…，由此可归纳出5m＋4k与5m(k∈N*，m＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 013＝4×502＋5，所以52 013与55后四位数字相同为3 125.

3．给出下列三个类比结论．

①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；

②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；

③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.

其中结论正确的个数是()

A．0 B．1

C．2 D．3

解析：选B①②不正确，③正确．

4．(教材习题改编)有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为()

A．大前提错误B．小前提错误

C．推理形式错误D．非以上错误

解析：选A大前提是错误的，直线平行于平面，则不一定平行于平面内所有直线，还

有异面直线的情况．

5．(教材习题改编)在△ABC中，不等式1

A＋1

B＋

1

C≥

9

π成立；在四边形ABCD中，不等式

1 A＋1

B＋1

C＋1

D≥

16

2π成立；在五边形ABCDE中，不等式

1

A＋

1

B＋

1

C＋

1

D＋

1

E≥

25

3π成立，猜想，在

n边形A1A2…A n中，成立的不等式为________．

解析：∵9＝32,16＝42,25＝52，且1＝3－2,2＝4－2,3＝5－2，…，故在n边形A1A2…A n

中，有不等式1

A1＋1

A2

＋…＋1

A n≥

n2

(n－2)π

成立．

答案：1

A1＋

1

A2＋…＋

1

A n≥

n2

(n－2)π

(n≥3)

归纳推理

[例1](1)(2012·江西高考)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()

A．28B．76

C．123 D．199

(2)设f(x)＝1

3x＋3

，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．

[自主解答](1)记a n＋b n＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.

所以a10＋b10＝123.

(2)f(0)＋f(1)＝

3

3，f(－1)＋f(2)＝

3

3，f(－2)＋f(3)＝

3

3，

猜想f(x)＋f(1－x)＝

3 3，

证明：∵f(x)＝1

3x＋3

，