《专题课堂(一) 相交线与平行线》练习题

四、巧添平行线 【例4】如图1 ，CE平分∠ACD ，AE平分∠ BAC，且∠EAC ＋∠ACE
＝90°.
(1)请判断AB与CD的位置关系，并说明理由； (2)如图2，若∠E＝90°且AB与CD的位置关系保持不变，当直角顶点
E移动时，写出∠BAE与∠ECD的数量关系，并说明理由；
(3) 如图 3 ， P 为线段 AC 上一定点 ， 点 Q 为直线 CD 上一动点 ， 且 AB 与 CD的位置关系保持不变，当点Q在射线CD上运动时(不与点C重合)，
解：∵OF平分∠DOB，∠FOB＝50°，∴∠DOB＝2∠FOB＝100°， 由邻补角的定义，得∠BOC＝180°－∠DOB＝80°.∵EO⊥CD， ∴∠EOC＝90°，∴∠BOE＝∠BOC＋∠EOC＝170°
2．如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF. (1)若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数； (2)若∠AOE＝α，求∠BOD的度数；(用含α的式子表示) (3)从(1)(2)的结果中你能看出∠AOE和∠BOD有何关系？请直接写出结 果．
∴DE∥CF
4．如图，已知AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，∠1＋∠2＝
180°，试问CD平行于EF吗？为什么？
解：CD∥EF.理由：∵AB⊥BD, CD⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°， ∴∠B＋∠D＝180°，∴AB∥CD.∵∠1＋∠2＝180°， ∴AB∥EF，∴CD∥EF
三、平行线的性质
【例3】如图①是大众汽车的图标，图②反映其中直线间的关系，并且 AC∥BD，AE∥BF.
解：(1)∵∠AOE＝40°，∴∠AOF＝180°－∠AOE＝140°.∵OC 平分 1 ∠AOF，∴∠AOC＝ ∠AOF＝70°.∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠ 2 BOD＝180 °－∠AOB －∠AOC＝20° (2)∵∠AOE＝α，∴∠ AOC＝ 1 2
1 1 (180 ° － α) ＝ 90 ° － α ， ∴ ∠ BOD ＝ 180 ° － ∠AOB － ∠AOC ＝ α 2 2 (3)∠AOE＝2∠BOD
(3) 过点 P 作PE∥CD ， 可得 PE∥CD∥AB ， 再根据平行线的性质可得到
∠PQD，∠APQ与∠BAC的数量关系．
解：(1)AB∥CD.理由：∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠ACD＝
2∠ACE，∠BAC＝2∠EAC，又∵∠EAC＋∠ACE＝90°，∴∠ACD＋ ∠BAC＝180°，∴AB∥CD (2)∠BAE＋∠ECD＝90°.理由：过点E作EF∥CD，∵AB∥CD， ∴EF∥CD∥AB，∴∠BAE＝∠AEF，∠ECD＝∠CEF，∵∠AEF＋ ∠CEF＝∠AEC＝90°，∴∠BAE＋∠ECD＝90° (3)∠PQD＋∠APQ＋∠BAC＝360°.理由：过点P作PE∥CD， ∵AB∥CD，∴PE∥CD∥AB，∴∠BAC＋∠APE＝180°，∠PQD＋ ∠QPE＝180°，∴∠BAC＋∠APE＋∠PQD＋∠QPE＝360°， ∵∠APE＋∠QPE＝∠APQ，∴∠PQD＋∠APQ＋∠BAC＝360°
∠PQD，∠APQ与∠BAC有何数量关系？写出结论，并说明理由．
分析： (1) 先推出∠ ACD ＋ ∠ BAC ＝ 180°， 再根据平行线的判定得出 AB与CD的位置关系； (2) 过点 E 作 EF∥CD ， 由∠ AEC ＝ ∠ AEF ＋ ∠ FEC ＝ 90°， 根据平行线 的性质可得出∠BAE与∠ECD的数量关系；
(1)∠A与∠B的关系如何？为什么？ (2)想想看，还有其他的方法吗？写出来．
分析：认真观察图形，根据平行线的3个性质均可推出∠A＝∠B.
解： (1)∠A ＝∠ B. 理由：∵ AC∥BD ， ∴∠ A ＝∠ DOE. 又∵ AE∥BF ，
∴ ∠ B ＝ ∠ DOE ， ∴ ∠ A ＝ ∠ B (2) 延 长 CA 交 FB 的 延 长 线 于 点
解： ∵∠AOD＝30°， 由邻补角的定义， 得∠AOC＝180°－∠AOD＝150 °，∵OE 平分∠AOC，∴∠COE＝ 1 ∠AOC＝75°，由对顶角的定义， 2
得∠BOC＝∠AOD＝30°，∴∠BOE＝∠COE＋∠BOC＝105°
【对应训练】
1．如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠DOB，EO⊥CD，垂 足为O.已知∠FOB＝50°，求∠BOE的度数．
第五章
相交线与平行线
专题课堂(一) 相交线与平行线
பைடு நூலகம்
一、相交线中有关角的计算
【例 1】 如图 ， 已知直线 AB ， CD 相交于点 O ， OE 平分∠ AOC ， 若 ∠AOD＝30°，求∠BOE的度数． 分析：根据邻补角与角平分线的定义求出∠COE，再根据对顶角的性 质求出∠BOC，从而求出∠BOE.
二、平行线的判定 【 例 2】 如 图 ， ∠ 1∶∠2∶∠3 ＝ 2∶3∶4 ， ∠ AFE ＝ 60° ， ∠ BDE ＝ 120°，写出图中平行的直线，并说明理由． 分析： 先求出∠1，∠2，∠3的度数，再由平行线的判定条件找出角的 相等或互补关系，从而得出相应的直线平行．
解：AB∥DE，EF∥BC.理由：∵∠1∶∠2∶∠3＝2∶3∶4，∠1＋∠2
＋∠3＝180°，∴∠1＝40°，∠2＝60°，∠3＝80°.∵∠AFE＝60°， ∴∠2＝∠AFE，∴AB∥DE.∵∠BDE＝120°，∴∠2＋∠BDE＝60°＋ 120°＝180°，∴EF∥BC
【对应训练】
3．如图，∠D＝∠A，∠B＝∠FCB，试说明：DE∥CF.
解：∵∠D＝∠A，∴AB∥DE.又 ∵∠B＝∠FCB，∴AB∥CF，
Q.∵AE∥BF ， ∴ ∠ CAO ＝ ∠ Q.∵AC∥BD ， ∴ ∠ FBO ＝ ∠ Q ，
∴∠CAO＝∠FBO
【对应训练】 5．如图，AB∥DE，CM平分∠BCE，CN⊥CM，猜想∠B与∠DCN的 关系，并说明理由．
解：∠B＝2∠DCN.理由：∵CN⊥CM，∴∠MCB＋∠NCB＝90°， ∴2∠MCB＋2∠NCB＝180°.∵CM平分∠BCE，∴∠ECB＝ 2∠MCB.∵∠ECB＋∠DCB＝180°，∴∠DCB＝2∠NCB，又 ∵∠DCB＝∠NCB＋∠DCN，∴∠NCB＝∠DCN.∵AB∥DE，∴∠B ＝∠DCB，∴∠B＝2∠DCN