12数值分析(研)答案
数值分析课后习题及答案
第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。
[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。
3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。
若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。
东北大学12年数值分析(研)答案
x2 3/ 5
）.
1 0 1 2 5 的拟合曲线 y x 2 的均方差为( 2.5 1.58 ). 2 1 1 3 6
9． 设求积公式 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1) 是插值型求积公式， 则积分系 数 A0
求此差分公式的阶。 解：由于
f h h f y n1 y n [ f n f n ( n n f n ) O(h 2 )] 2 2 x y
容易验证此公式具有 3 次代数精度，即对次数不大于 3 次的多项式精确成立， 记 H 3 ( x) 为 f (x) 在区间 [ x0 , x1 ] 的 3 次 Hermite 插值多项式，则有：
xi yi
2 1
(M ) M
max |
1i n
| a
j 1
n
ij
| | 1 ，所以，迭代格式收敛.
.
2aii
三、 （12 分）说明方程 x cos x 0 有唯一根，并建立一个收敛的迭代格式，使 对任意初值 x0 都收敛，说明收敛理由和收敛阶。 解：记 f ( x) x cosx ，则 f (x) 连续,且 f (0) 1 0, f (1) 1 cos1 0 ，而且，
0 2
由于 f ( x) cos x 的 4 阶导数在 [0,2] 上的最大值为： M 4 1,所以 误差为： | I S 2 |
25 M 4 0.000694444 2880 2 4
I f ( x)dx A0 f (1
0
数值分析(研)试题答案
沈阳航空航天大学研究生试卷（A ）2011-2012学年第一学期课程名称：数值分析出题人: 王吉波审核人:一、填空题（本题40分每空4分）1．设),,1,0()(n jx l j 为节点n x x x ,,,10的n 次基函数，则)(i j x l ji j i ,0,1。
2．已知函数1)(2xxx f ，则三阶差商]4,3,2,1[f = 0。
3．当n=3时，牛顿-柯特斯系数83,81)3(2)3(1)3(0CCC ，则)3(3C 81。
4．用迭代法解线性方程组Ax=b 时，迭代格式,2,1,0,)()1(kf Bxxk k 收敛的充分必要条件是1)(B 或 B 的谱半径小于 1 。
5．设矩阵1221A，则A 的条件数2)(A Cond = 3 。
6.正方形的边长约为100cm ，则正方形的边长误差限不超过0.005cm 才能使其面积误差不超过12cm。
7.要使求积公式)()0(41)(111x f A f dxx f 具有2次代数精确度，则1x 2/3 ，1A 3/4。
8. 用杜利特尔（Doolittle ）分解法分解LU A，135945-2791260945-0451827-9189A其中，则13213012-100120001L，9548100918-9027-9189U二、（10分）已知由数据（0,0），（0.5，y ），（1,3）和（2，2）构造出的三次插值多项式)(3x P 的3x 的系数是6，试确定数据y 。
答案：利用Lagrange 插值多项式，)()()()()()()()()()(3322110033x l x f x l x f x l x f x l x f x L x P 及基函数的表达式可知3x 的系数为))()(()(3020100x x x x x x x f +))()(()(3121011x x x x x x x f +))()(()(3212022x x x x x x x f +))()(()(2313033x x x x x x x f （5分）代入有关数据得15.122)1(5.013)5.1()5.0(5.006y解得y=4.25.（5分）三、（15分）试导出计算)0(1a a的Newton 迭代格式，使公式中（对n x ）既无开方，又无除法运算，并讨论其收敛性。
(完整)研究生数值分析(工程数学)试题及答案,推荐文档
五、(15 分) 设有求解初值问题 y f (x, y), y(x0 ) y0 的如下公式： yn1 ayn byn1 h[cf (xn , yn ) df (xn1, yn1)]
假设 yn1 y(xn1), yn y(xn ) ，试确定 a, b, c, d 使该格式的局部截断误差精度尽量高.
一、填空题（每小题 3 分，共 30 分）
(1) 圆面积的计算公式为 A R2 ，则圆面积的相对误差约是半径的相对误差的_2___倍.
(2) 设 f (x) 2011x3 2010x 2009 ，则差商 f 0,1, 2, 3 =____2011______.
n
(3) 设 l j (x)( j 0,1, 2n) 是 n 次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则 l j (x) 1 . j0
六、(10 分) 应用 Newton 法解方程 x2 2 0 时, 可导出求 2 的迭代公式：
建议收藏下载本xk文1 12 (，xk x2k以) 便随时学习！ 证明: 这个迭代公式对于任意初值 x0 0 , 都是收敛的. 证明： f x x2 2, f 2 0, f x 2x, f 2 2 2 0 ，
,
Jacobi 11
3 8
.
0
二、(15 分)已知函数 y f (x) 的相关数据
xi
0.40
0.55
0.65
0.80
yi f (xi )
0.41
0.58
0.70
0.89
由牛顿插值公式求三次插值多项式 P3 (x) .（注：要求给出差商表）.
xi
yi f (xi )
三、(15 分)定义内积
1
( f , g) f (x)g(x)d x 0
数值分析试卷及答案
数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。
答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。
答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。
答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。
答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。
昆明理工数值分析试卷答案B20131222
昆明理工大学2012级硕士研究生试卷（数值分析，参考答案）(B 卷)科目： 数值分析 考试时间： 出题教师： 集体 考生姓名： 专业： 学号：考试要求：考试时间150分钟；填空题答案依顺序依次写在答题纸上，填在试卷卷面上的不予计分；可带计算器。
一、填空题（每空2分，共40分）1．设*0.4881x =是真值0.4891x =的近似值，则*x 有 2 位有效数字，*x 的相对误差限为 0.0125 或 0.0102 。
2．设i x 为互异节点(0,1,,),()i i n l x =为拉格朗日插值的基函数，当0,1,,k n =时，()nk i i i x l x ==∑ kx。
3. 已知函数)(x f y =的经过节点(3.0,1.8),(4.0,3.2),(5.0,4.2)，试作二次Lagrange 插值公式)(2x L =20.2 2.8 4.8x x -+-，计算)2.4(2L = 3.432 。
4．设3()21f x x x =-+在[]1,1-上的最佳二次逼近多项式为 514x -+，最佳二次平方逼近多项式为 715x -+。
5．求积公式的中矩形法为⎰≈badx x f )( ()()2a bb a f +-，其代数精度是_ 1 _次。
6．方程组b Ax =，建立迭代公式f Bx xk k +=+)()1(，则该迭代法的应满足)(B ρ1。
7．2443A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，其条件数2()Cond A = 94+或4.2656 ，()Cond A ∞= 4.9 。
8．0.60.50.10.3A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1A = 0.8 ，A ∞= 1.1 ，2A = 0.8278 。
9．求方程()0f x =根的弦截法迭代格式是 111()()()()k k k k k k k f x x x x x f x f x +--=---，其收敛阶= 1.618 。
10．已知()3230112122x x x s x x bx cx dx ≤≤⎧+-=⎨≤≤+++⎩是[]2,0上的以0，1，2为节点的三次样条函数,则=b -1 , =c 3 , =d -2 。
2012研究生数值分析课期末考试复习题及答案解析
9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为_______O(h）___。
10、为了使计算 的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成____________上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法求一个次数不高于3的多项式 ， 使其满足
， ， ,
并写出误差估计式。
解：由所给条件可用埃尔米特插值法确定多项式 ，
由题意可设 为确定待定函数 ，作辅助函数：
则 在[0,3]上存在四阶导数且在[0,3]上至少有5个零点 为二重零点），反复应用罗尔定理，知至少有一个零点 使 ，从而得 。
解：
7.已知单调连续函数 的如下数据
－0.11
0.00
1.50
1.80
－1.23
－0.10
1.17
1.58
用插值法计算 约为多少时 （小数点后至少保留4位）0.2008
解：作辅助函数 则问题转化为 为多少时， 此时可作新的关于 的函数表。
由 单调连续知 也单调连续，因此可对 的数值进行反插。的牛顿型插值多项式为
二、计算题
1、已知 的 满足 ，试问如何利用 构造一个收敛的简单迭代函数 ，使 0，1…收敛？
由 ，可得 ，
2、试确定常数A，B，C和a，使得数值积分公式
有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？
，该数值
求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的
3、利用矩阵的LU分解法解方程组
4、写出求解下列初始值问题 的欧拉迭代式，欧拉预-校迭代式及四阶龙格-库塔法迭代式。
5.设 ， 假定 g是准确的，而对 的测量有 秒的误差，证明当 增加时 的绝对误差增加，而相对误差却减少。
数值分析(课后习题答案详解).ppt
x x 41 2 0 . 25 0 . 5451 1 1 再解 3 x 0 . 875 ，得 x 1 . 2916 2 2 2 0 3 1 . 7083 . 5694 x x 3 3
4 41 2 T 故得 GG 分解： A 1 2 3 2 2 3 3 3 1 1 16 11 4 2 T 3 1 LDL 分解为： A 1 4 4 1 2 3 1 1 9 1 2 2
一.习题1（第10页）
1-1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分 别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.
x1=5.420,x2=0.5420,x3=0.00542,x4=6000,x5=0.6105.
解 绝对误差限分别为: 1=0.510-3,2=0.510-4, 3=0.510-5,4=0.5,5=0.5104 . 相对误差限分别为: r1=0.510-3/5.420=0.00923%, r2=0.00923%,r3=0.0923%,4=0.0083%,5=8.3%. 有效数位分别为: 4位,4位,3位,4位,1位. 1-2.下列近似值的绝对误差限都是0.005,试问它们有
2 11 2 1 2 故得 Crout 分解： A 4 3 13 6 12 1 1
1 2 11 2 1 2 LDM 分解为： A 21 13 3 3 4 1 1 1
几位有效数字. a=-1.00031,b=0.042,c=-0.00032
数值分析原理 习题答案
数值分析原理习题答案数值分析原理习题答案数值分析原理是一门研究利用数值方法解决数学问题的学科。
它涵盖了数值计算、数值逼近、数值积分、数值微分、数值代数方程的求解等内容。
在实际应用中，数值分析原理被广泛应用于工程、科学计算、金融等领域。
本文将就数值分析原理中的一些习题进行解答，以帮助读者更好地理解和应用这门学科。
一、数值计算1. 通过牛顿迭代法求方程f(x) = x^3 - 2x - 5的近似根。
已知初始值x0 = 2。
解：首先，计算f(x)的导数f'(x) = 3x^2 - 2。
然后，利用牛顿迭代公式x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)进行迭代计算。
代入已知值，得到x1 = 2 - (2^3 - 2*2 - 5)/(3*2^2 - 2) = 2 - (1)/(10) = 1.9。
继续迭代计算，可得到x2 = 1.9 - (1.9^3 - 2*1.9 - 5)/(3*1.9^2 - 2) ≈ 1.855。
通过多次迭代计算，可以逐渐逼近方程的根。
二、数值逼近1. 利用拉格朗日插值多项式，通过已知点(0, 1)，(1, 2)，(2, 3)逼近函数f(x) =x^2。
解：首先，根据拉格朗日插值多项式的公式，可以得到插值多项式L(x) =f(0)L0(x) + f(1)L1(x) + f(2)L2(x)。
其中，L0(x) = (x-1)(x-2)/((0-1)(0-2)) = (x-1)(x-2)/2，L1(x) = (x-0)(x-2)/((1-0)(1-2)) = -(x)(x-2)，L2(x) = (x-0)(x-1)/((2-0)(2-1)) = (x)(x-1)/2。
代入已知点的函数值，可得到L(x) = 1*(x-1)(x-2)/2 - 2*(x)(x-2) + 3*(x)(x-1)/2 =x^2。
通过拉格朗日插值多项式，我们成功地将函数f(x) = x^2用已知点的插值多项式逼近。
2012级硕士研究生数值分析期末考试试卷及答案
设区间分成 n 等分，则 h=1/n., 故对复合梯形公式，要求
RT ( f ) =| −
即n2 ≥
b − a 2 '' 1 1 1 h f (η ) |≤ ( ) 2 e ≤ × 10 −5 ，η ∈ (0,1) 12 12 n 2
e × 10 5 ， n ≥ 212 .85 ，因此 n=213，即将区间[0,1]分成 213 等分时，用复合梯形计 6 1 算，截断误差不超过 × 10 − 5 。 2
为 2 ．设 。 位有效数字，
x * 的相对误差限
f ( x ) = 3 x 7 + x 4 + 3x + 1 ，则 f [2 0 ,2 1 ,L ,2 7 ] =
，
f [2 0 ,21 , L,2 8 ] =
。 ， 并计
3. 过点 ( −1,0), ( 2,0) 和 (1,3) 的二次拉格朗日插值函数为 算 L2 ( 0) 4 ．设
S1 ( x) = 3.7143 + 1.2429 x
2-范数的误差
4
2.45
|| δ || 2 =
∑ (S (x ) − y )
1
2
i
i
= 0.675 = 0.8216
i= 0
5. 用改进的欧拉公式（预估-校正方法） 解初值问题
dy = x 2 + 100 y 2 , y( 0) = 0 ， h 为步长， （1） 取步长 h = 0.1, 计算到 x = 0 .2（保 dx
p ( 2) = 1, 并写出其余项表达式（要求有推导过程） 。
2. 若用复合梯形公式dx ，问区间 [0, 1] 应分成多少等分才能使截断误差不超过
1 × 10 − 5 ? 若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度区间[0, 1] 应该分成多少等份? 由下表数 2
研究生数值分析练习题答案
------------------------------------------------ 装 ---------------------------------订 ---------------------------------线 ------------------------------------------------装 订 线 左 侧 不 要 书 写 内 容允许使用计算器一、 填空题 （本大题共10小题，每小题 2分，共 20分）1. 若2.71828x e == ，取近似值* 2.7180x =，则*x 具有 4 位有效数字。
2.为了提高数值计算精度，应将8格式进行计算。
3.已知n=3时牛顿—柯特斯系数(3)(3)(3)012133,,888C C C ===，那么(3)3C =18 。
4.设3()1f x x x =+-，则函数的四阶差商[0,1,2,3,4]f = 0 。
5. 用牛顿迭代法解方程0x x e --=在0.5x =附近的近似实根的牛顿迭代格式为)1,0(e 1e )()(1=+--='-=--+n x x x f x f x x nnx x n n n n n n6. 对给定的剖分01:n a x x x b ∆=<<<= ，当()s x 满足条件 ()s x 在[a,b]有2阶连续导数且在每个子区间上是个3次多项式 时是三次样条函数。
7．用最小二乘法拟合三点()()()0,1,1,3,2,2A B C 的直线是1322y x =+。
8.向量序列()211cos ,sin ,3Tk k x e k k k k -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 的极限向量为()0,1,3T9.求积公式 10311()()(1)434f x dx f f ≈+⎰的代数精度为 2 。
10.若绝对误差限为31102-⨯，那么近似数0.03600有 2 位有效数字二、单项选择题（本大题共5小题，每小题 2 分，共 10分）1. 已知实验数据555521111(,)(1,2,3,4,5),15,31,55,105.5,k k k k kk k k k k k x y k x y x x y =========∑∑∑∑其中则用最小二乘法求近似公式01y a a x =+的法方程为（ C ）A 0101153155105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩B 0101515551531105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩C 0101515311555105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩ D0101531153155105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩ 2． 以下矩阵是严格对角占优矩阵的是（ B ）A 3210141011410012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ B 2100131013610113-⎛⎫⎪--⎪ ⎪-- ⎪-⎝⎭C 5210113121410012-⎛⎫⎪--⎪ ⎪⎪⎝⎭D 4211141021411315⎛⎫⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭3.已知两种递推公式11(1)35(1,2,,20)31(2)(20,,1)55n n n n I nI n I I n n n--=-==-= 则在数值计算过程中（ C ）。
数值计算(数值分析)试题及答案
武汉理工大学研究生课程考试标准答案用纸课程名称：数值计算（A ） 任课教师 ：一. 简答题，请简要写出答题过程（每小题5分，共30分） 1.将227和355113作为 3.14159265358979π=L 的近似值，它们各有几位有效数字， 绝对误差和相对误差分别是多少3分）2分）2.已知()8532f x x x =+-，求0183,3,,3f ⎡⎤⎣⎦L ，0193,3,,3f ⎡⎤⎣⎦L .(5分）3.确定求积公式10120()(0)(1)(0)f x dx A f A f A f '≈++⎰中的待定系数，使其代数精度尽量高，并指明该求积公式所具有的代数精度。
解：要使其代数精度尽可能的高，只需令()1,,,m f x x x =L L 使积分公式对尽可能大的正整数m 准确成立。
由于有三个待定系数，可以满足三个方程，即2m =。
由()1f x =数值积分准确成立得：011A A += 由()f x x =数值积分准确成立得：121/2A A += 由2()f x x =数值积分准确成立得：11/3A =解得1201/3,1/6,2/3.A A A === (3分）此时，取3()f x x =积分准确值为1/4,而数值积分为11/31/4,A =≠所以该求积公式的最高代数精度为2次。
(2分）4.求矩阵101010202A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的谱半径。
解 ()()101011322I A λλλλλλλ--=-=---矩阵A 的特征值为1230,1,3λλλ=== 所以谱半径(){}max 0,1,33A ρ== (5分）5. 设10099,9998A ⎛⎫= ⎪⎝⎭计算A 的条件数()(),2,p cond A P =∞.解：**19899-98999910099-100A A A A --⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭矩阵A 的较大特征值为，较小的特征值为，则1222()198.00505035/0.0050503539206cond A A A -=⨯==(2分）1()199********cond A A A -∞∞∞=⨯=⨯= (3分）22001130101011010220100110110()(12)()(12)()()()()()x x x x x x x x H x y y x x x x x x x x x x x x x x y x x y x x x x ----=-+-------''+-+---(5分）并依条件1(0)1,(0),(1)2,(1) 2.2H H H H ''====，得2222331()(12)(1)2(32)(1)2(1)211122H x x x x x x x x x x x =+-+-+-+-=++ (5分）2.已知()()()12,11,21f f f -===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
硕士课程—数值分析题集(附答案).docx
2009-2010数值分析第一章绪论 (1)第二章函数插值 (2)第三章函数逼近 (5)第四章数值积分与数值微分 (10)第五章解线性方程组的直接解法 (12)第六章解线性方程组的迭代解法 (16)第七章非线性方程求根 (19)第九章常微分方程初值问题的数值解法 (21)第一章绪论1.1要使胸的相对误差不超过0.1%,应取几位有效数字？解：面的首位数字％=4。
设/有n位有效数字，由定理知相对误差限k(.r*)|<—xlO1^ =-xl0^1 r 1 2x4 84-xio1-" <0.1%, 8解得〃Z3.097,即需取四位有效数字.1.2 序列｛/｝满足关系式y,,=10y,_]-l(n = l,2,...),若y0=V2«1.41,计算到M。
，误差有多大？这个算法稳定吗？解：y0 = V2,y* =1.41,|y0 -y*| <^-xl0-2=5 ,于是|/i 一川=|1。
》0 —IT。
〉；+1| = 1。
|光 - 司 < 1。
5卜2-》；| = |10》1一1一10》；+1| = 10卜1一酣〈10逆, 一般地|儿一司<103 因此计算到Mo其误差限为1010^，可见这个计算过程是不稳定的。
1. 3计算球的体积，要使相对误差限为1%,问测量半径R时允许的相对误差限是多少?解:5,、九兀K ~-7tK R_R* R2+R*R + R*2R_R* 37?2R_R*。
，“ ,(v)= _2 ---------- 2 «■«.____________ = _____ 3 = 1% ' 4 f RR- R R 2 R-7lR 3》=一' ,即测量半径R 时允许的相对误差限是一、。
R 300300第二章函数插值2.1、利用如下函数值表构造差商表，并写出牛顿插值多项式。
进而得牛顿多项式为 地⑴=f (.%) + /■氏次』吼⑴+ /[.r (p x 1,.r 2]<»2(.r) + /[.r (p x 1,.r 2,.r 3]<»3(.r)1 1 33A^3 (x) = 3 + — (x -1) + — (x -1)(尤)-2(x- l)(x )x2. 2、已知f(-2) = 2, f(-1) = 1, f (0) = 2, f (0.5) = 3试选用合适的插值节点利用Lagrange 二次插值多项式计算f (-o.5)的近似值，使之精度 尽可能高。
2012数值分析试卷答案
2012数值分析试卷答案科目：数值分析考试时间: 出题教师：集体昆明理工大学2012级硕士研究生试卷考生姓名：专业：学号：考试要求：考试时间150分钟；填空题答案依顺序依次写在答题纸上，填在试卷卷面上的不予计分；可带计算器。
一、填空题(每空2分，共40分)* * *1 •设x 0.231是真值x 0.228的近似值，则x有_______________ 位有效数字，x的相对误差限为 _____________________ 。
2•设f(x) 3x7x43x 1，则f[20,21, ,27] _____________ , f[20,21, ,28] _______ 。
3.过点(1,0), (2,0)和(1,3)的二次拉格朗日插值函数为L2(x)= ___________________ ,并计算L2(0) ___________________ 。
3 24•设f (x) 3x 2x 4x 5在1,1上的最佳二次逼近多项式为________________________ , 最佳二次平方逼近多项式为 _________________ 。
1f—5 •高斯求积公式° x f (x)dx A f(X。
)A f (xj的系数A__________________________________ ,A1 __________ ，节点x0------------------ ，x, ---------------------------6 •方程组Ax b，A D L U,建立迭代公式x(k 1}Bx(k)f，写岀雅可比迭代法和7. A 00 ，其条件数Cond(A )2 1 J2J318.设A，计算矩阵A 的范数，|| A||1 =2,I|A||2 =9 •求方程Xf(x)根的牛顿迭代格式是10.对矩阵A 2作LU 分解，其L= 5,U=二、计算题(每题 10分，共50分)1.求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满2.若用复合梯形公式计算积分2据,0.4 0.43.线性方程组Ax b ，其中A0.4 0.4 0.80.8，b ［1,2,3］T ，(1)建立雅可比迭代法和 1高斯-赛德尔迭代法的分量形式。
常州大学2012-2013级研究生数值分析试卷A解答及评分标准
一．（1）已知函数24()73f x x x =++，用秦九昭方法计算(2)f ；（2）秦九昭方法计算任一n 次多项式在任一点函数值至多需要多少次乘法？ （3）至少写出四种减少误差危害的常用手段。
解：（1）2422()73(31)7f x x x x x =++=++22(2)(321)2759f =⨯++=………… 5 分（2） 秦九昭方法计算任一n 次多项式在任一点函数值至多需要n 次乘法。
………… 5 分（3） A ）防止大数“吃”小数； B ）避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法；C ）避免相近数相减；D ）避免使用不稳定的算法；E ）注意简化计算步骤，减少运算次数；………… 5 分二．给定方程组123311413132156x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （1）以分量形式写出解此线性方程组的Jacobi 迭代格式和Gauss -Seidel 迭代格式； （2）求1A 和A∞；（3）判断Gauss -Seidel 迭代格式的敛散性。
解：（1）Jacobi 迭代(1)()()123(1)()()213(1)()()312(4)/3(3)/3(62)/5k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++=--=+-=-+， 0,1,2,k = Gauss-Seidel 迭代(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(4)/3(3)/3(62)/5k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++=--=+-=-+， 0,1,2,k =………… 5 分（2）17A =，8A∞=；………… 5 分（3）因为方程组系数矩阵严格对角占优，所以Gauss -Seidel 迭代格式收敛。
………… 5 分三． 已知方程2()30x f x e x =-=，（1）证明该方程在区间[0.6,1.2]上存在唯一实根； （2）叙述牛顿法求方程()0f x =根的方法思想；（3）以初值01x =，用牛顿法求上述方程的近似解，要求误差不超过210- 。
研究生数值分析(12)高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法
按行严格对角占优或按列严格对角占优，即满足条件
n
aii aij
(i 1, 2, , n)
j 1 ji
n
或 a jj aij
( j 1, 2, , n)
i 1 i j
则方程组AX=b有唯一解，且对任意初始向量 X (0)
雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法都收敛。
定理5 若方程组 AX=b 的系数矩阵 A [aij ]nn 为对称正定矩阵。则对任意初始向量 X (0) 高斯 -赛德尔迭代法都收敛。
1 2 2 1
A 1 1
1
,
b
1
2 2 1 1
解：先计算迭代矩阵
0 2 2
BJ
D1(L U )
1
0
1
2 2 0
再计算
0 2 2 BG (D L)1U 0 2 3
0 0 2
其矩阵表示形式为 X (k1) D1(LX (k1) UX (k) b)
现将 X (k1) 显式化，由 (D L) X (k1) UX (k) b
得
X (k1) (D L)1UX (k ) (D L)1b
令
BG (D L)1U
（称为高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代矩阵），
一种算子范数 , 即
(A)
A r
证明：设λ为A的任一特征值，X为对应于λ的A
的特征向量，即 AX= λX, (X ≠0)
由范数的性质立即可得
X X AX A X
r
r
r
r
r
因为 X ≠0 ， 所以
A r
数值分析课后习题及答案
数值分析课后习题及答案第一章绪论（12）第二章插值法（40-42）2、当时，，求的二次插值多项式。
[解]。
3、给出的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144 [解]若取，，则，，则，从而。
若取，，，则，，，则，从而补充题：1、令，，写出的一次插值多项式，并估计插值余项。
[解]由，可知，，余项为，故。
2、设，试利用拉格朗日插值余项定理写出以为插值节点的三次插值多项式。
[解]由插值余项定理，有，从而。
5、给定数据表：，1 2 4 6 7 4 1 0 1 1 求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。
[解]一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商 1 42 1 -34 0 6 17 1 0 由差商表可得4次牛顿插值多项式为：，插值余项为。
第三章函数逼近与计算（80-82）26、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。
19 25 31 38 44 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8[解]由。
又，，，故法方程为，解得。
均方误差为。
27、观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t（秒）0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s（米）0 10 30 5080 110 [解]设直线运动为二次多项式，则由。
，。
又，，，故法方程为，解得。
故直线运动为。
补充题：1、现测得通过某电阻R的电流I及其两端的电压U如下表：I ……U ……试用最小二乘原理确定电阻R的大小。
[解]电流、电阻与电压之间满足如下关系：。
应用最小二乘原理，求R使得达到最小。
对求导得到：。
令，得到电阻R为。
2、对于某个长度测量了n次，得到n个近似值，通常取平均值作为所求长度，请说明理由。
[解]令，求x使得达到最小。
对求导得到：，令，得到，这说明取平均值在最小二乘意义下误差达到最小。
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5.设 f ( x) sin x ，用以 xi i, i 0,1,2 为节点的二次插值多项式近似 sin 1.5 的值， 误差为 R2 (1.5) 1/ 16 0.0625 .
(M ) M
max |
1i n
| a
j 1
n
ij
| | 1 ，所以，迭代格式收敛.
5 , f [1,2,3,4] 5 ， f [1,2,3,4,5] 0 6.设 f ( x) 5x 3＋3，则差商 f [0,1] ＝ ＝ ＝
7.区间 [1, 1] 上权函数为 x 2 的二次正交多项式设 p2 ( x) ＝（ 8． 对离散数据
xi yi2 1.来自2aii三、 （12 分）说明方程 x cos x 0 有唯一根，并建立一个收敛的迭代格式，使 对任意初值 x0 都收敛，说明收敛理由和收敛阶。 解：记 f ( x) x cosx ，则 f ( x) 连续,且 f (0) 1 0, f (1) 1 cos1 0 ，而且，
2
计误差。
1 1 3 解： I S 2 [cos 0 cos 2 2 cos 1 4 cos 4 cos ] 0.909622804 6 2 2
0
1 1 为节点的一次插值多项式， , x1 1 3 3
式由 p1 ( x) 导出求积分 I f ( x)dx 的插值型求积公式， 并导出公式的截断误差. 解 设由 p1 ( x) 导出求积分 I f ( x)dx 的插值型求积公式为：
2/3
).
x ( k 1) x ( k ) D 1 (b Ax( k ) ) D 1 ( D A) x ( k ) D 1b
所以，迭代矩阵为 M D 1 ( D A) . 当 A 是严格对角占优矩阵， 0.5 时，由于
3 2 4.迭代格式 xk 1 xk 3xk 3xk , k 0,1,2,... 求根 1 是( 3 )阶收敛的.
所以，此差分公式是 1 阶方法。
2
R[ f ] f ( x)dx p1 ( x)dx f ( x)dx H 3 ( x)dx H 3 ( x)dx p1 ( x)dx
0 0 0 0 0 0
2
2
2
2
2
2
y n hfn
h f n f n ( f n ) O(h 3 )] 4 x y
由插值余项知，公式至少具有 1 次代数精度，于是有：
y f ( x, y) , x [a, b] 五、 （10 分）设求解常微分方程初值问题： 的差分公式： y ( a)
h h h y n 1 y n [ f ( x n , y n ) f ( x n , y n f ( x n , y n ))] 2 2 2 y 0
A0 A1 2， A0 (1
1 1 ) A1 (1 ) 2 , 即： A0 A1 1 . 3 3
2 0
所以，由 p1 ( x) 导出求积分 I f ( x)dx 的插值型求积公式为：
I f ( x)dx f (1
0 2
1 1 ) f (1 ) 3 3
六
一、填空题： （每题 5 分，共 50 分） 1.设近似值 x 的相对误差限为 10-5，则 x 至少具有( 5 )位有效数字.
二、 （10 分）已知求线性方程组 Ax b 的迭代格式:
1 2 1 0 1 2 2.设矩阵 A 3 4 ，则 A 的 Doolittle 分解式是( A 3 1 )，Crout 0 －2 1 0 1 2 分解式是（ A 3 － 0 1 2
f ( x) 1 sin x 0 ，所以，方程 x cos x 0 有唯一根，且在区间 [0, 1] 内。
x2 3/ 5
）.
1 0 1 2 5 的拟合曲线 y x 2 的均方差为( 2.5 1.58 ). 2 1 1 3 6
9． 设求积公式 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1) 是插值型求积公式， 则积分系 数 A0
）.
xi( k 1) xi( k )
aii
(bi aij x (jk ) ) , i 1,2,, n
j 1
n
(1) 求此迭代法的迭代矩阵 M ； (2) 证明：当 A 是严格对角占优矩阵， 0.5 时，此迭代格式收敛. 解：迭代法的矩阵形式为：
x1 4 x 2 2 3.解线性方程组 的 Jacobi 迭代矩阵的谱半径 （B) ( x1 9 x 2 1
1
… … … … ○ … … … … 密 … … … … ○ … … … … 封 … … … … ○ … … … 线 … … … … … … … … … … … … ○
四、(10 分)利用复化 Simpson 公式 S 2 计算定积分 I cos xdx 的近似值，并估
0
2
六、 （8 分）设 p1 ( x) 是 f ( x) 以 x0 1
班
级
学
号
姓
名
… … … … ○ … … … … 密 … … … … ○ … … … … 封 … … … … ○ … … … 线 … … … … … … … …
东 北 大 学 研 究 生 院 考 试 试 卷 总分 2012 —2013 学年第 数值分析 一 学期 课程名称： (共 2 页) 一
二
三
四
五
3/ 4
, A1
0
, A2
9/ 4
.
建立迭代格式： xk 1 cos xk , k 0,1,2,... 由于，迭代函数 （x) cos x 在区间 [ 1,1] 上满足条件：
1 cos1 ( x) 1 ， | ( x) || sin x | sin 1 1
求此差分公式的阶。 解：由于
f h h f y n1 y n [ f n f n ( n n f n ) O(h 2 )] 2 2 x y
容易验证此公式具有 3 次代数精度，即对次数不大于 3 次的多项式精确成立， 记 H 3 ( x) 为 f ( x) 在区间 [ x0 , x1 ] 的 3 次 Hermite 插值多项式，则有：
2
f ( 4) ( ) 2 2 1 2 109 f ( 4) ( ) ( x ) dx 24 0 3 540
yn f n h
所以， y( xn1 ) yn1
h 2 f n f n ( f n ) O( h 3 ) 2 x y h 2 f n f n ( f n ) O(h 3 ) O(h 2 ) 4 x y
2
2
0
f ( 4) ( x ) f ( 4) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 ( x ) dx (x ) (x ) dx 24 0 3 4! 3 3
y ( x n 1 ) y ( xn ) hy ( x n )
h y ( x n ) O(h 3 ) 2
0 2
由于 f ( x) cos x 的 4 阶导数在 [0,2] 上的最大值为： M 4 1,所以 误差为： | I S 2 |
25 M 4 0.000694444 2880 2 4
I f ( x)dx A0 f (1
0
2
1 1 ) A1 f (1 ) 3 3
h h y y n hf ( x n , y n f ( x n , y n )) 10．.求解常微分方程初值问题的差分公式 n 1 2 2 y0
的绝对稳定区间是(
(-2, 0) ).
所以，此迭代格式对任意 x1 [1,1] 都收敛。因此，对任意初值 x0 都收敛。 又由于， ( ) sin 0 (0 1) ，所以，此迭代格式 1 阶收敛。