中南大学高等工程数学(2014)试题及参考答案

中南大学专业硕士“高等工程数学Ⅰ”考试试卷（开卷）

考试日期：2014年

月

日

时间100分钟

注：解答全部写在答题纸上

一、填空题(本题24分，每小题3分)

（1）如果111132416

1,25311334

4Ax b A ⎡⎤

⎢⎥⎢

⎥⎢

⎥

==⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，矩阵1A =，A

∞

=

，利用Gauss-Seidel 迭

代法求解此方程组是否收敛；

答案：

92，53

12

，收敛解析：1||||A 为列范数，等于各列绝对值之和的最大值，∞||A ||为行范数，等于各行绝对值之和的最大值，A 为严

格对角占优矩阵，根据课本P143定理5.4.12知，Jacobi 和G-S 均收敛。

（2）利用迭代法求解非线性方程()20x

f x x e =+=的根，取初值00.5x =-。给出一个根的存在区间

，在该区间上收敛的迭代函数为；

答案：[-1，0]，1

()2x

g x e =-解析：01)0(,021)1(>=<-=

-f e f ，故在[-1，0]上存在至少一个根，取x e x g 2

1

)(-=，根据课本P93定理4.2.3可知迭代函数收敛的条件：（1）在[-1,0]上一阶导数存在；（2）]0,1[-∈∀x ，均有[-1,0]|g(x)|∈；（3）12

1

|)('|max <=x g ，

故x

e x g 2

1)(-=在[-1,0]上收敛。

（3）设事件A 发生的概率为p ，在n 次重复试验中事件A 发生次数为m ，当n 充分大时，)

1(n

m m np

m --近似服

从的分布为；答案:)

1,0(N 解析：课本P187定理7.2.4

（4）设]1,1[,,,4321-∈x x x x ，若数值积分公式)()()()()(44331

12211x f A x f A x f A x f A dx x f +++=⎰-的代数精度大于

1，则=+++4321A A A A ；

答案：2

解析：令1)(=x f ，可得43211

121A A A A dx +++==⎰

-。

（5）已知)(x f y =通过点3,2,1,0),,(=i y x i i ，则其Lagrange 插值基函数=)(2x l ；

答案：0132202123()()()

()()()()

x x x x x x l x x x x x x x ---=

---解析：课本P20拉格朗日插值基函数的定义（式2.3.2）。

（6）对一元线性回归模型2~(,)

Y a bx N εεμσ=++⎧⎨⎩，b 的最小二乘估计为ˆb =，且ˆ~b

，2

σ的无

偏估计为

；

答案：xx xy L L ，),(2

xx

L b N σ，

)(21

xy xy L b L n ∧--解析：课本P207式8.2.7，课本P209式8.2.11，课本P208式8.2.10；其中2

1

2

x n x

L n

i i

xx -=

∑=，y x n y x L i n

i i xy ⋅-=∑=1

，

2

1

2y n y L n

i i yy -=∑=。

（7）算法22

1212),(x x x x f y +==，设1x 和2x 的绝对误差分别为

)(1x ε和)(2x ε，则

=

)(y ε；

答案：*2**

1

2121()2()

x x x x x εε+解析：*

*

2

*

1122[()][()]

y x x x x εε=++*2**2****2212121211122112[()2()]2()()()()()

x x x x x x x x x x x x x x εεεεεεε=++++-*2**2**1212121[()2()]x x x x x x x εε≈++，参见课本P12误差传播及P13乘法运算中误差的传播。

（8）计算函数)(x f 在区间],[b a 起点a 附近的近似值时，应用Newton 向前插值公式而不用向后插值公式的原因

是。

答案：误差传播方式不同，近似解在a 附近时采用向前插值公式误差较小。解析：Newton 向前插值公式：0

02000!

)1()1(!2)1()(y n n t t t y t t y t y th x N n

n ∆+-⋯-+⋯+∆-+

∆+=+其中：00

>-=

h

x x t ；Newton 向后插值公式：n

n

n n n n y n n t t t y t t y t y th x N ∇-+⋯++⋯+∇++

∇+=+!

)1()1(!2)1()(02其中：0<-=

h

x x t n

二、（本题12分）已知)(x f y =的函数值如下

x -1.5012)(x f 2-1

1

9

在区间]2,5.1[-上求满足自然边界条件的三次样条插值函数)(x S 在第一个小区间的表达式，并计算)1(-f 的近似值。解：5.01,4.015.0,6.01,1,5.122113

22

22111321=-==-==+==+=

===μλμλμμ；；h h h h h h h h h ；

8121

9],[,201)1(1],[,2)5.1(021],[322110=--==---=-=----=x x f x x f x x f ；

18],[],[66.9],[],[621323

221021211=-+==-+=）（，）（x x f x x f h h g x x f x x f h h g ；

在自然边界条件下，0'

'0

=y ，0''0

0==y M ，且有⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢

⎣⎡2

'

'011212

1-22

g y g M M μμλ，即⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥

⎦⎤⎢⎣⎡186.925.04.0221M M ，解得：21

.8,16.321==M M