2014年高考数学分类汇编(数列),教师版

2014年全国高考数学试题分类汇编（数列）

1.【2014·陕西卷（理文4）】根据右边框图，对大于2的整数N ， 得出数列的通项公式是（ ）

.2n Aa n = .2(1)n B a n =-

.2n n C a = 1.2n n D a -=

【答案】C

2.【2014·安徽卷（文12）】如图，在等腰直角三角形ABC

中，斜边BC =A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1A C 的垂线，垂足为3A ；…，以此类推，设1BA a =，12AA a =，

123A A a =，…，567

A A a =，则7a =_____ ___.

【答案】

14

3.【2014·江西卷（文13）】在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取最大值，则d 的取值范围_________. 【答案】7

18

d -<<-

4.【2014·全国卷Ⅰ（理17）】已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.

(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；

（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.

【解析】：(Ⅰ)由题设11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，两式相减

()121n n n n a a a a λ+++-=，由于0n a ≠，所以2n n a a λ+-= …………6分

（Ⅱ）由题设1a =1，1211a a S λ=-，可得211a λ=-，由(Ⅰ)知31a λ=+

B

A 1

C

第12题图

A

A 2

A 3 A 4

A 5

A

6

假设{n a }为等差数列，则123,,a a a 成等差数列，∴1322a a a +=，解得4λ=； 证明4λ=时，{n a }为等差数列：由24n n a a +-=知

数列奇数项构成的数列{}21m a -是首项为1，公差为4的等差数列2143m a m -=- 令21,n m =-则1

2

n m +=

，∴21n a n =-(21)n m =- 数列偶数项构成的数列{}2m a 是首项为3，公差为4的等差数列241m a m =- 令2,n m =则2

n

m =

，∴21n a n =-(2)n m = ∴21n a n =-（*

n N ∈），12n n a a +-=

因此，存在存在4λ=，使得{n a }为等差数列. ………12分 5.【2014·全国卷Ⅱ（理17）】已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. （Ⅰ）证明{

}

12

n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）证明：1231112

n

a a a ++<…+.

【解析】 （1）

的等比数列。

公比为是首项为3,23

21}21{∴).21(3211321a ∴.

*N ∈.n 13,111n 11=+++=++=+

+==++a a a a a a a n n n n n (2)由（1）知1322n n a +=，故3-112

23-1

n n n n a a ==，，

111a =，当1n >时，-1121

3-13

n n n a =<； 所以

12-1123

1

1-

111

1111313

311-133

32321-3

n n n n a a a a ++++

<++++==<（），

故

123111

132

n a a a a ++++

< 6.【2014·山东卷（理19）】已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列。

（I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）令n b =,4)1(1

1

+--n n n a a n

求数列}{n b 的前n 项和n T 。 【解析】（I ）,64,2,,2141211d a S d a S a S d +=+===

4122421,,S S S S S S =∴成等比

解得12,11-=∴=n a a n （II ）)1

21

121()1(4)1(111

++--=-=-+-n n a a n b n n n n n

)

1

21

121()121321()7151()5131()311(++---+-+-+++-+=n n n n T n n 为偶数时，当1

221211+=+-=∴n n

n T n

)

1

21

121()121321()7151()5131()311(++-+-+---+++-+=n n n n T n n 为奇数时，当1

22

21211++=++=∴n n n T n

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=∴为奇数为偶数n n n n n n

T n ,1

222,1

22

7.【2014·山东卷（文19）】在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项. （Ｉ）求数列{}n a 的通项公式；

（II ）设(1)2

n n n b a +=，记1234(1)n n n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T .

【解析】（1）由题意知2111()(3)a d a a d +=+，即2111(2)(6)a a a +=+， 解得12a =，所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =.