无量纲化简介

2. 模型无量纲化举例 例1. 单摆的运动：建模描述单摆运动的规律 假设：同前。 变量、参量：同前。 坐标系: (x，y)，(r, θ) x l sin , y l (1 cos ) 平衡关系： 受力物体运动的加速度与其质量的乘积等 于它所受的外力。 外力：重力 mg，张力 T。
例2. 抛射问题：从地球表面以速度 v 竖直向 上发射火箭。 讨论火箭发射的高度随时间变化的规律。 假设： 1. 地球是球体。 2. 火箭升空只需克服地球的引力。 3. 火箭在地球的表面附近在引力作用下将 具有自由下落的加速度 g。 平衡关系：牛顿定律，万有引力定律 火箭升空后由于地球吸引力的作而减速运 动用。


T0 2
g

w0
w0
T0


w0 为角频率 以2π为时间单位时摆动的频率数。 2. 特征时间 tc, 称tc=1/w0=T0/2π 为特征时间。 以2π为时间单位时，摆动一次所需的时间 3.无量纲时间 = t/tc。是以特征时间为单位 的时间计量。


模型
d 2x d2y m 2 T sin , m 2 T cos mg dt dt

注意到摆球的坐标的表达式，则有
d 2 d 2 m l 2 m g sin 0 , T m l( ) m g cos. dt dt

第一个方程描述了摆球沿摆弧的切线方 向运动的情况，是量纲齐次的。 对它进行无量纲化。

模型就可以化为
tc2 g yc vtc 2 y ( )[( ) y 1] , y (0) 0 , y (0) yc r yc



令 tc2g / yc = 1, vtc/ yc = 1, 则有 tc = v / g, yc=v2/g 分别称 tc和 yc为特征时间和特征尺度 模型可以化简为 y*’’=-(Ay*+1)-2, y*(0)=0, y*(0)=1, 其中 A=v2/rg 这时模型是简单的，而且其中所有的 量都是无量纲的。

变量的无量纲化 令 w0t ， [ ] 1 称之为无量纲时间 代入模型可得
2 d ( ) 2 lw0 g sin ( ) 0 2 d

选择变换因子为
d 2 sin 0 2 d
w0
g l
则有
无量纲模型的分析 1. 换算因子 w0:令T0为单摆的周期，则 2 l 2

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模型的无量纲化 将模型中的变量变换为无量纲变量 令 tc，yc 分别为具有时间量纲和长度 量纲的量。 则 t*= t / tc，y*= y / yc 就成为无量纲的时 间和长度。注意到
tc dy tc2 d 2 y dy d 2 y 2 ( ) 2 y ( ) , y dt yc dt yc dt dt



变量、参量 时间：t，火箭的高度：y(t), 地球半径：r, 初速度：v，重力加速度：g， 火箭质量：m1,地球质量：m2. 模型 m1y’’= - k m1m2/(y+r)2。 由假设3, y = 0 时, y’’= - g。故有 g = k m2/r2. y’’= - r2 g / (y+r)2, y(0) = 0, y’(0) = v.
五. 拟合模型与机理模型 拟合模型 机理模型 假设条件 弱 强 机理分析 少 多 拟合效果 好 差 普适范围 小 大 理论深度 浅 深