固体能带理论综述
简述固体的能带理论
简述固体的能带理论晶体中电子所能具有的能量范围，往往形象地用能带理论表示。
各种晶体能带数目及其宽度等都不相同。
相邻两能带间的能量范围称为“带隙”或“禁带”。
完全被电子占据的能带称“满带”。
满带中的电子不会导电；完全末被占据的称“空带”；部分被占据的称“导带”。
导带中的电子能够导电；价电子所占据的能带称“价带”。
能带理论可以解释固体中导体、半导体、绝缘体三大类区别的由来。
一般常见的金属材料，因为其传导带与价带之间的“带隙”非常小，在室温下电子很容易获得能量而跳跃至传导带而导电。
而绝缘材料则因为能隙很大，电子很难跳跃至传导带，所以无法导电。
一般半导体材料的能隙约为1 至3 电子伏特，介于导体和绝缘体之间。
因此只要给予适当条件的能量激发，或是改变其带隙之间距，此材料就能导电。
;晶体中电子所能具有的能量范围，往往形象地用能带理论表示。
各种晶体能带数目及其宽度等都不相同。
相邻两能带间的能量范围称为“带隙”或“禁带”。
完全被电子占据的能带称“满带”。
满带中的电子不会导电；完全末被占据的称“空带”；部分被占据的称“导带”。
导带中的电子能够导电；价电子所占据的能带称“价带”。
能带理论可以解释固体中导体、半导体、绝缘体三大类区别的由来。
一般常见的金属材料，因为其传导带与价带之间的“带隙”非常小，在室温下电子很容易获得能量而跳跃至传导带而导电。
而绝缘材料则因为能隙很大，电子很难跳跃至传导带，所以无法导电。
一般半导体材料的能隙约为1 至3 电子伏特，介于导体和绝缘体之间。
因此只要给予适当条件的能量激发，或是改变其带隙之间距，此材料就能导电。
《固体能带理论》课件
导带、价带、禁带等，导带与价带之 间的区域称为能隙，决定了固体是否 导电。
能带结构的形成
原子轨道重叠
固体中的原子通过轨道重叠形成分子轨道，进一步形 成能带。
周期性结构
固体中的原子按照一定的周期性排列，导致能带结构 的周期性。
电子相互作用
电子之间的相互作用会影响能带结构，包括电子间的 排斥力和交换力等。
量子场论和量子力学
与量子场论和量子力学的结合，将有助于更全面地描述和理解固体中的电子行为 和相互作用。
谢谢聆听
新材料的设计与发现
拓扑材料
随着拓扑学的发展，将会有更多具有独特电子结构和性质的拓扑材料被发现， 为新材料的设计和开发提供新的思路。
二维材料
二维材料具有独特的物理性质和结构，未来将会有更多新型二维材料被发现和 应用。
与其他理论的结合与发展
强关联理论
固体能带理论与强关联理论的结合，将有助于更深入地理解强关联体系中的电子 行为和物理性质。
电子在能带中的状态
01
02
03
占据电子
价带中的电子被原子轨道 上的电子占据，导带中的 电子较为自由。
热激发
在温度较高时，价带中的 电子可以被激发到导带中 ，形成电流。
光电效应
光照在固体表面时，能量 较高的光子可以使价带中 的电子激发到导带中，产 生光电流。
03 固体能带理论的的基本方程，描述 了电子密度随时间和空间的变化 。
02
交换相关泛函
03
自洽迭代方法
描述电子间的交换和相关作用的 能量，是密度泛函理论中的重要 部分。
通过迭代求解哈特里-福克方程 ，得到电子密度和总能量，直至 收敛。
格林函数方法
格林函数
固体能带理论概述
固体能带理论概述朱士猛学号220130901421 专业凝聚态物理摘要本文综述了固体能带理论中的布洛赫定理、一维周期场中电子运动的近自由电子近似等基本理论。
还介绍了采用了近自由电子近似法来计算其能带结构。
可以看出，外推势能分布近似成为有限深势阱时与用超越方程得到的结果相吻合。
而采用近自由电子近似方法在外推势能分布为量子阱的势能分布时与直接采用近自由电子近似来处理小带阶的量子阱的结果一致。
关键词：能带理论布洛赫定理近自由电子近似1 引言能带理论[1]是研究固体中电子运动的一个主要理论基础。
在二十世纪二十年代末和三十年代初期，在量子力学运动规律确定以后，它是在用量子力学研究金属电导理论的过程中开展起来的。
最初的成就在于定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点。
例如，在这个理论基础上，说明了固体为什么会有导体、非导体的区别；晶体中电子的平均自由程为什么会远大于原子的间距等。
在这个时候半导体开始在技术上应用，能带理论正好提供了分析半导体理论问题的基础，有利地推动了半导体技术的发展。
后来由于电子计算机的发展使能带论的研究从定性的普遍规律到对具体材料复杂能带的结构计算。
到目前，计算材料能带结构的方法有:近自由电子近似法、包络函数法(平面波展开法)[2，9，10，13]、赝势法[3，6]、紧束缚近似——原子轨道线性组合法[4，5，7，8，11]、K.P方法[12]。
人们用这些方法对量子阱[2，8，9，10]。
量子线[11，12，13]、量子点结构[16，17]的材料进行了计算和分析，并取得了较好计算结果。
使得对这些结构的器件的设计有所依据。
并对一些器件的特性进行了合理的解释。
固体能带论指出，由于周期排列的库仑势场的祸合，半导体中的价电子状态分为导带与价带，二者又以中间的禁带(带隙)分隔开。
从半导体的能带理论出发引出了非常重要的空穴的概念，半导体中电子或光电子效应最直接地由导带底和价带顶的电子、空穴行为所决定，由此提出的P-N结及其理论己成为当今微电子发展的物理依据。
固体物理的总结能带理论完全版
对于简单格子电子在格矢
处原子附近运动
满足的薛定谔方程：
是晶体的周期性势场___所有原子的势场之和。对方程进展变换有
即是微扰作用。
设晶体中电子的波函数 〔此法的本质〕，代入上得：
考虑到当原子间距比原子半径大时，不同格点的 重叠很有，
用 左乘上面方程5*，得到
如此得 ，考虑到周期性的势场，应有
7、布里渊区与能带
1〕明白波失空间和倒空间的区别，倒空间是倒格子的集合，倒格点是固定的分立的，而波失空间是波失的集合，波失是准连续的。在一样的空间大小中，波失数比倒格矢数要多。
2〕布里渊区是波失空间的分区域，也是倒空间的分区域，他是在k空间把原点和所有倒格矢中点的垂直平分面画出，k空间分割为许多区域，每个区域内E~k是连续变化的，而在区域的边界上能量E(k)发生突变，区域称为布里渊区。
如能带未填满，在外场下电子做定向运动，就是导体。
3)能量交叠较小时晶体导电性比导体小几个数量级，晶体如此称之为半金属。
D．构造费米面的具体步骤如下：
a.利用En(k)是倒格矢的周期函数，画出布里渊区的扩展图形。
b.用自由电子模型画出费米球。
c.落在各个布氏区的费米球片断平移到简约布里渊区的等价部位。
2〕赝势定义：
在离子实内部，用假想的势能取代的势能，求解波动方程时，假如不改变其能量本征值与离子实之间的波函数，如此这个假想的势能成为赝势。
3〕模型的实现方式：
是赝势包含离子势和价电子的作用，称为有效势，可以有多种具体形式。选择包含一个或几个参量的模型，用与实验数据比拟的方法，确定参量。
6、三种方法的比拟：
4〕能级与能带的对应
A计算简单立方晶格中由原子s态形成的能带s态的波函数是球对称的，在各个方向重叠积分一样。找出紧邻坐标代入6*有 ，其中在能带 处在 处用级数展开有 ，在能带顶部 按 附近按泰勒级数展开得
固体能带理论 车静光
固体能带理论车静光
固体能带理论：
1、定义：固体能带理论是一种用来研究固体电子性质的物理理论，通过研究电子在固体中电子能带中的行为，来研究固体的物理性质。
2、结构：能带结构包括传导带、介子带以及禁带，其中传导带中分为最小能量差异有效能带E_c和最小能量差异最大能带E_v，而介子带则为E_g，禁带则会落在E_g和E_c之间。
3、效应：在固体能带理论中，电子受到固体的原子本征能量以及通过晶格中断裂能量的抑制，进而影响介质的成份及电子的能量，从而影响介质的电子性质和物理性质。
4、用途：固体能带理论可以用于计算固体的性质，如电导率、蓄电池的放电特性、磁性、诱导磁性、偏振和发光等，从而研究各种固体材料的性质。
5、车静光：车静光（英文名称：Shirai）是日本物理学家，1910年毕业于东京大学，他是原子物理学、固体能带理论发展的先驱者，曾经用能带理论计算了硅晶体的能带结构和禁带宽度，并论证了金属的晶
格电阻特性。
他的学术论文《电性的表征：基于能带理论的诠释》也被普遍认可。
固体物理-能带理论
三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理
电子波函数的计算
—— 根据能量本征值确定电子波函数展开式中的系数 得到具体的波函数
—— 在不同的能带计算模型和方法中 采取的理论框架相同，只是选取不同的函数集合
能带理论的局限性
一些过渡金属化合物晶体
—— 价电子的迁移率小 自由程与晶格常数相当__电子不为原子所共有 周期场失去意义__能带理论不适用了
第四章 能带理论
能带理论 —— 研究固体中电子运动的主要理论基础 —— 定性阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点
—— 说明了导体、非导体的区别 —— 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距 —— 半导体理论问题的基础，推动了半导体技术的发展
能带理论 —— 单电子近似的理论
每个电子的运动 —— 看成是独立的 在一个等效势场中的运动
TT T T
平移算符和哈密顿量对易 对于任意函数
和
微分结果一样
T H HT
T和H存在对易关系 —— 具有共同本征函数
H E T1 1 T2 2 T3 3
—— 平移算符的本征值
—— 周期性边界条件
对于 对于 对于
—— 整数
2 i l1
1 e N1
2 i l2
2 e N2
2 i l3
—— 本征值相同
为了使简约波矢 的取值和平移算符的本征值一一对应
—— 取值限制第一布里渊区
bj 2
kj
bj 2
简约波矢
k
l1 N1
b1
l2 N2
b2
l3 N3
b3
第一布里渊区体积
简约波矢
k
l1 N1
b1
l2 N2
b2
固体能带理论简介
k ( x) eikxuk ( x)
uk ( x) 是周期等于晶格常数
a 的周期函数 uk ( x) uk ( x na)
9
这一结果称为布洛赫定理
证明布洛赫定理 势场具有周期结构,则电子概率密度具有相同的周期性,即
| k ( x) |2 | k ( x a) |2
则:
4
•隧道效应：
晶体是由大量原子有规则 地排列形成的,晶体中包含 着大量的离子,如正离子和 电子,它们之间存在着相互 作用。 离子实
u (r )
r0
f (r )
r
r0
单个正离子 的库仑势
r
各离子的库仑势场迭加形 成周期势场，这个势场是 由一系列势垒组成的。
各库仑势叠加
成的周期势
5
离子实
单个正离子 的库仑势
28
六. 固体能带与原子能级
设想组成晶体的N个原子原来都是孤立存在的，都处于某一能 级，具有相同的能量，当它们靠拢来形成晶体时，每个原子中 的电子不仅受到本身正离子或原子核的作用，还要受到其它正 离子或原子核的作用，这些相互作用都具有相应的能量，电子 原来（原子孤立时）的能量状态就发生了改变，原来的一个能 级就分裂为非常接近的N个。 原子能级分裂成能带。如图。 能带是从原子能级分裂（或 称展宽）而成的，因此表示能 带时常沿用分裂前原子能级的 名称，如 s, p, d , 带
正是能带论，导致了电子科学与技术学科的形成和发展。
1
“能带理论”:是一个近似的理论。在固体中存在着 大量的电子，它们的运动是相互关联着的，每个电 子的运动都要受其它电子运动的牵连，这种多电子 系统严格的解显然是不可能的。 “能带理论”:是单电子近似的理论，就是把每个电子 的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动。
简述固体能带理论
简述固体能带理论固体能带理论是一种物理学理论，可以用来描述电子在固体中的运动。
它可以解释电子在微观尺度下的能量状态，以及描述不同能量状态下的电子的特性和行为。
能带理论的研究为众多先进的电子学应用提供了基础，并在发展现代半导体技术中发挥着至关重要的作用。
能带理论可以用来描述电子在固体中的能量分布。
它认为，一个固体中存在着一系列能量状态，电子可以跳跃从一个能量状态到另一个能量状态。
因此，电子只能在这些能量状态内移动，而不能跨越这些能量状态。
能带理论还提供了一种电子运动的机制，这种机制可以解释为何电子受到外部作用时会在电子带中运动。
此外，能带理论还可以用来描述固体中不同能量状态下的电子特性和行为。
比如，能带理论可以解释为什么具有较高能量状态的电子会被电场吸引，而具有较低能量状态的电子会被电场排斥。
它还可以解释为什么某些电子受到外部作用时会排斥，而另一些电子却受到吸引，这是因为他们具有不同的能量状态。
能带理论也为众多先进的电子学应用提供了基础，例如电子管和半导体技术。
能带理论的理解对于探究元件的电子行为和功能十分重要，因而它一直是半导体技术发展的基础性质。
其实，固体能带理论只是电子能带理论的一个应用，电子能带理论还可以用来描述大量现实世界中的现象，比如晶体结构，材料性质，光学现象等。
因此，能带理论为物理学、化学和材料科学等研究提供了非常有用的理论框架。
总之，固体能带理论是一种物理学理论，可以用来描述电子在固体中的能量分布和运动，并解释不同能量状态下的电子的特性和行为，它可以为众多先进的电子学应用提供基础，是发展现代半导体技术的基础性质。
它还可以用来描述现实世界中的多种现象，为物理学、化学和材料科学等提供有用的理论框架。
第四章 固体的能带
外，贵金属和碱金属以及铝等都有这种情况。贵金属的价电
子数是奇数，本身的能带也没填满，因而是良导体。
4.过渡金属
过渡金属具有未满的d壳层，d电子态形成的d带比较窄。
d电子轨道有5个，结晶成固体后形成5个子能带，具有紧束缚
电子态特征。而s带很宽，具有准自由电子特征。粗略说，过 渡金属的能带是由很窄的d带与较宽的s带交叠在一起形成的， 实际上s带与d带不是简单交叠受到杂化的影响，具有导电性， 对电导贡献的是4s带的s带电子以及3d带的空穴（因未填满电
14
遵守 泡利不相容原理
能量最小原理 10×N
6×N
2×N
6×N 2×N
2×N
最多容纳电子数
说明： 一般情况下，价带是被电子所填充的能量最高的能带。
15
能带的宽度记作E ，数量级为 E～eV。
若N~1023, 则能带中两能级的间距约10-23eV。
一般规律：
1. 越是外层电子，能带越宽，E越大。 2. 点阵间距越小，能带越宽，E越大。
受外电场的能量，所以形不成电流。
从能级图上来看，是因为满带与空带之间有一
个较宽的禁带（Eg 约3～6 eV），共有化电
子很难从低能级（满带）跃迁到高能级（空带）
上去。
半导体 的能带结构,满带与空带之间也是禁带，
但是禁带很窄（E g 约0.1～2 eV )。
28
二、绝缘体与半导体的击穿
当外电场非常强时，它们的共有化电子
在几率最大的点）速度，而不是构成整个波包的各个傅里叶
成分的波的相速度ω/k。 晶体中的电子在外场中的运动规律是把波包用粒子的观 点来讨论的波包运动。
18
以k0为中心，波矢在Δ k范围内变化的布洛赫波包，在Δk
第二十二章固体能带理论基础
汇报人：XX
• 固体能带理论概述 • 晶体中电子的能级和波函数 • 固体中的电子状态和能带结构
• 固体中的光学性质和电学性质 • 固体中的缺陷和杂质对能带结构的
影响 • 总结与展望
01
固体能带理论概述
能带理论的发展历史
01
早期量子理论
20世纪初，量子力学的诞生为固体电子理论提供了基础。早期量子理论
自由电子近似和正交化平面波方法等。
实验结果
02
通过实验手段如光电效应、X射线衍射等可以观测到固体的能带
结构。
理论与实验的比较
03
理论计算和实验结果在解释固体电子状态和能带结构方面相互
补充，共同揭示了固体中电子行为的奥秘。
04
固体中的光学性质和电学性质
固体的光学性质
光的反射和折射
固体表面对光的反射和折射遵循菲涅尔公式和斯涅尔 定律。
波函数的交叠
不同能级上的波函数之间 存在交叠，交叠程度决定 了电子在不同能级之间的 跃迁几率。
布洛赫定理及其物理意义
布洛赫定理
对于周期性势场中的电子，其波函数可以写成布洛赫波函数的形式。
物理意义
布洛赫定理表明，在晶体中，电子的行为受到晶格周期性的影响，因此电子的能级和波函数都具有周期性。同时 ，布洛赫定理也揭示了晶体中电子的共有化运动特征，即电子不再局限于某个原子附近，而是在整个晶体中运动 。这种运动特征决定了晶体的导电、光学等物理性质。
阱，影响载流子的复合和发光过程。
06
总结与展望
固体能带理论的重要性
1 2
描述固体电子结构
固体能带理论是描述固体中电子运动状态和能量 分布的基本理论，能够解释固体的导电性、光学 性质、热学性质等。
第7章_固体能带理论-总结
是相同的。
π 但当 k n 时，如k a
， a
此时平面波
e
ikx
满足Bragg条件，波程差为2a，相位差为2π，从相邻的
原子反射的波有相同的位相，发生相长干涉，产生向反
方向传播的波 Bragg反射，再一次反向，这样就形成了向相反方向传 播的两列行进波，平衡时两波叠加形成驻波。
ik r
晶体中的电子既有共有化运动也有原子内运动，因
此，电子的能量取值就表现为由能量的允带和禁带 相间组成的能带结构。
需要指出的是，在固体物理中，能带论是从周期性 势场中推导出来的。但是，周期性势场并不是电子具有
能带结构的必要条件，在非晶固体中，电子同样有能带
结构。 电子能带的形成是由于当原子与原子结合成固体时， 原子之间存在相互作用的结果，而并不取决于原子聚集 在一起是晶态还是非晶态，即原子的排列是否具有平移 对称性并不是形成能带的必要条件。
G
2k 2 k 2m
因此用一组代数方程取代了原来的微分方程。该方程组的方程数目巨大，看 起来难以求解，但实际上常常只要解少数几个就足够了
能隙的起因
能隙的起因 对于一维点阵（点阵常数为a），电子的波函数 e
ikx
π 若k远离Bz边界时（即 k a n 时 ），电子波不受
Bragg反射，从各原子散射的波没有确定的位相关系，
bi bi ki ， ( i 1， 2， 3) 2 2
k ( r ) k K ( r )
h
在此范围内k共有N个值(N为晶体原胞数) 。
由Bloch定理可得两个重要结论： 〈1〉Bloch定理表明周期势场中电子的本征函数有Bloch函数
简述固体能带理论
简述固体能带理论固体能带理论是量子力学关于固体中微观粒子行为的一种理论，它有助于描述量子物理学领域中重要的诸多性质，如电导率、电阻率、拉曼散射、热导率等电子性质。
一般来说，固体能带理论将一个固体分解为由许多电子组成的能带系统。
该理论着重于研究电子在晶体中的能带结构，以及这些能带之间的相互作用，从而解释固体中各种电子性质的变化。
固体能带理论的基础源自费米子的研究，他发现以光的波长为单位切割金属表面的电子能量等级，其中可能会有大量的能量等级，由此派生出能带理论，它将光谱转化为一系列的能级，从而说明光的行为和物质的结构之间的关系。
费米子发现，电子在晶体中能够在一系列被称为能带的能量水平中移动，并且通过不同能带之间的相互作用，电子才能在晶体中移动。
他对能带结构进行了深入分析，为固体能带理论奠定了基础。
随着费米子的研究，晶体物理学家们利用凝聚态物理的理论和表征，更详细地研究了固体能带结构，最终发展出固体能带理论。
固体能带理论的最重要的思想是绝热处理和热力学，即将晶体能带结构看作由一系列不同类型的能带组成，每一类都由一系列不同的能级组成。
根据固体中电子的迁移和能量转换机制，晶体的电子特性可以分为受斥力和相互作用，从而解释固体中的电子性质的变化。
固体能带理论的另一个重要思想是能带的费米子结构，它描述了电子在不同的能带中的空间分布，以及电子在不同能带之间的跃迁和能量转换的规律。
根据这一理论，晶体中的电子性质可以定量描述，从而说明固体中各种物理量的变化。
固体能带理论是量子力学领域的一个重要研究课题，也是许多重要物理性质的解释者。
它拓宽了我们对固体中电子性质的认识，开发了由电子能带结构组成的新材料，从而更好地实现人类在电子电路、半导体等领域的技术创新。
固体结构及能带理论总结
c
c a a
120o
a
a
立方
三方
六方
四方
c
c
a
a
c b
a b
b
a
正交
单斜
三斜
这7个晶系分为3个晶族，即高级晶族，指立 方晶系；中级晶系，包括六方、四方和三方 3 个 晶系；低级晶系，包括正交、单斜和三斜 3 个晶 系。 立方晶系有立方简单点阵P (立方P ) 、立方 体心点阵I (立方I ) 、立方面心点阵F (立方F );四 方晶系只有四方简单点阵P (四方P ) 、四方体心 点阵I (四方I ); 正交晶系有正交P 、正交I 、正交 F 、正交C (或侧心A和B); 单斜晶系有单斜P 、 单斜C ; 三方、六方、三斜都只有素格子。
所属晶系: 立方; 点阵: 立方P; 结构基元及每个晶胞中结构基元的数目: CsCl, 1个; 离子的分数坐标: A为(0,0,0), B为(1/2,1/2,1/2)。 Cs离子的配位数是8，Cl离子 的配位数也是8。
NaCl型离子晶体:
所属晶系: 立方; 点阵: 立方F; 结构基元及每个晶胞中结构基元 的数目: NaCl, 4个; Na和Cl离子的配位数都是6； 离子的分数坐标:ຫໍສະໝຸດ a a ac
b
Simple
Face-centered CUBIC
Body-centered
a
Simple
End face-centered
MONOCLINIC
a
c a
a
b
a
a
Simple
End face-centered
Body-centered ORTHORHOMBIC
固体物理学中的能带理论
固体物理学中的能带理论固体物理学是研究固体物质特性和行为的学科。
其中，能带理论是固体物理学中的重要内容之一。
这个理论的提出和发展，深刻地影响着我们对物质的认识和应用。
在本文中，将介绍能带理论的基本概念、理论构建的主要过程以及对实际应用的影响。
1. 能带理论的基本概念能带理论是描述固体材料中电子结构的理论框架。
它基于量子力学的原理，认为在固体中，电子的运动状态和能量分别由多个能带和能带间的禁带带宽所决定。
能带是指具有类似能量水平的电子能级。
禁带带宽则表示在能带之间禁止电子的能量范围。
2. 理论构建的主要过程能带理论的构建经历了一系列的发展过程。
最早的一些能带理论如卢瑟福模型和Drude模型，是基于经典力学和经典电动力学的假设，对于一些简单情况具有一定的解释能力。
然而，这些模型无法解释复杂固体中的行为，因为它们没有考虑到量子力学效应。
在量子力学的框架下，人们使用薛定谔方程和波函数的理论来描述电子在固体中的行为。
经典的能带理论建立在Bloch定理的基础上，该定理认为固体中的电子具有周期性的晶格势场作用下的波函数形式。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到电子的能量本征值和本征态。
3. 对实际应用的影响能带理论的提出和发展对固体物理学的研究产生了深远的影响。
首先，能带理论提供了解释固体材料电子运动行为的一个理论模型。
它可以解释金属、绝缘体和半导体等不同类型材料的电导特性，以及它们在外界条件下的响应。
其次，能带理论对材料的设计和合成起着重要作用。
通过对能带结构的调控，我们可以设计出具有特定能带特性的新材料。
例如，针对光电子器件应用的材料，我们可以通过调节能带结构来实现不同波长的能带过渡和光电转换。
而且，能带理论也对半导体器件的工作原理给出了关键的解释。
例如，能带理论对于理解和优化半导体二极管、晶体管和太阳能电池等器件的性能至关重要。
它可以揭示不同物理机制对器件行为的影响，为器件的设计和优化提供了指导。
总结起来，能带理论是固体物理学中一项重要的理论构建。
第四章 固体能带理论
4.3赝势方法在大多数情况下，芯态与价态的本征谱在能量上可以明显地区分开来。
化学环境对芯态波函数一般只有微小的影响，在固体能带中他们构成非常狭窄的、几乎没有色散的能带，它们的能量位置可以因化学环境而有位移。
由于这一特点，在芯能级谱中常作为区分原子或化学环境的特征。
然而，固体（金属、半导体、绝缘体）的电子结构性质主要是由费米能级附近的电子态决定的。
在能带理论研究中，计算位于深能级的被填满的芯态代价是很昂贵的：一方面，大大增加了能带的数量；另一方面，一个全电子的、没有被屏蔽的晶体势以及芯态的波函数是坐标空间定域性极强的，因而在动量空间收敛很慢。
此外，由于离子实的总能量基本不随晶体结构变化，因此，在同样的计算精度下，局限于价态、类价态的总能量计算绝对精度要比全电子方法高得多。
于是，能带计算中局限于价态、类价态的方法是非常有价值的，也是非常实用的。
1 赝势的导出赝势的导出不是唯一的。
原始的赝势方法是建立于正交化平面波方法上的。
对一个由许多原子组成的固体，坐标空间根据波函数的不同特点可分成两部分：(1) 近原子核局域，所谓芯区。
波函数由紧束缚的芯电子波函数组成，与近邻的原子的波函数相互作用很小；(2) 其余区域，价电子波函数相互交叠、相互作用。
尽管芯区的势很强地吸引价电子，但是正交化平面波方法中对价态和芯态正交的要求而产生的动能，对价态的贡献就如同一个有效的排斥势。
两者的和是价态的有效势。
于核的库仑势相比，这种有效势较弱。
图4.3.1表示晶体中赝势、赝波函数与周期势、布洛赫波函数的关系。
下面就按照这种想法来导出赝势。
图4.3.1 晶体中周期势()V a 、布洛赫波函数()b ψ与赝势()ps V c 、赝波函数()ps d ψ比较如果用V φ和c φ分别表示晶体哈密顿算符H 的精确的价态V E 和芯态c E 的波函数，满足：V V V H E φφ= (4.3.1)和c c c H E φφ= (4.3.2)用类似正交化平面波方法构造晶体价态波函数V φ：psV V cV c cφψμφ=+∑ (4.3.3)与正交化平面波方法不同，这里c φ是真正的晶体芯态波函数。
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半导体物理学——固体能带理论综述班级：材料物理081401姓名：薛健学号：200814020122固体能带理论综述摘要:本文综述了固体能带理论中的布洛赫定理、一维周期场中电子运动的近自由电子近似、包络函数模型(平面波展开方法)等基本理论。
还介绍了采用了包络函数法和近自由电子近似法来计算其能带结构。
可以看出，采用包络函数方法外推势能分布为体材料的势能分布时得到能带结构与利用准自由电子近似的方法得到的结果一致；另外，外推势能分布近似成为有限深势阱时与用超越方程得到的结果相吻合。
而采用近自由电子近似方法在外推势能分布为量子阱的势能分布时与直接采用近自由电子近似来处理小带阶的量子阱的结果一致。
关键词：能带理论,包络函数,近自由电子近似一、引言能带理论[1]是研究固体中电子运动的一个主要理论基础。
在二十世纪二十年代末和三十年代初期，在量子力学运动规律确定以后，它是在用量子力学研究金属电导理论的过程中开展起来的。
最初的成就在于定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点。
例如，在这个理论基础上，说明了固体为什么会有导体、非导体的区别；晶体中电子的平均自由程为什么会远大于原子的间距等。
在这个时候半导体开始在技术上应用，能带理论正好提供了分析半导体理论问题的基础，有利地推动了半导体技术的发展。
后来由于电子计算机的发展使能带论的研究从定性的普遍规律到对具体材料复杂能带的结构计算。
到目前，计算材料能带结构的方法有:近自由电子近似法、包络函数法(平面波展开法)[2，9，10，13]、赝势法[3，6]、紧束缚近似——原子轨道线性组合法[4，5， 7， 8， 11]、 K.P方法[12]。
人们用这些方法对量子阱[2， 8， 9，10]。
量子线[11，12，13]、量子点结构[16， 17]的材料进行了计算和分析，并取得了较好计算结果。
使得对这些结构的器件的设计有所依据。
并对一些器件的特性进行了合理的解释。
固体能带论指出，由于周期排列的库仑势场的祸合，半导体中的价电子状态分为导带与价带，二者又以中间的禁带(带隙)分隔开。
从半导体的能带理论出发引出了非常重要的空穴的概念，半导体中电子或光电子效应最直接地由导带底和价带顶的电子、空穴行为所决定，由此提出的P-N结及其理论己成为当今微电子发展的物理依据。
半导体能带结构的具体形态与晶格结构的对称性和价键特性密切相关，不同的材料〔如Si,Ge与GaAs,InP)能带结构各异，除带隙宽度外、导带底价带顶在k空间的位置也不同，GaAs,InP等化合物材料的导带底价带顶同处于k 空间的中心位置，称为直接带隙材料，此结构电子-空穴的带间复合几率很大，并以辐射光子的形态释放能量，由此引导人们研制了高效率的发光二极管和半导体激光器，在光电子及光子集成技术的发展中，其重要性可与微电子技术中的晶体管相比拟。
二、布洛赫定理[1]能带理论的出发点是固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整个固体内运动，称为共有化电子，在讨论共有化电子的运动状态时假定原子实处在其平衡位置，而把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰，对于理想晶体，原子规则排列成晶体，晶格具有周期性，因而等效势场V (r)也应具有周期性。
晶体中的电子就是在一个具有晶格周期性的等效势场中运动，其波动方程为:（1）为任一晶格矢量。
且有（2）——Rn布洛赫定理指出，当势场具有晶格周期性时,波动方程的解Ψ具有如下性质：（3）时，波函数只增加位相因子e ik·Rn。
（3）其中K为波矢量，（3）式表示当平移晶格矢量Rn式就是布洛赫定理。
根据定理可以把波函数写成（4）其中u(r)具有与晶格同样的周期性，既（5）（4)式表达的波函数称为布洛赫函数，它是平面波与周期函数的乘积。
三、一维周期场中电子运动的近自由电子近似[1，19]这是一个一维的模型，通过这个模型的讨论，可以进一步了解在周期场中运动的电子本征态一些最基本的特点。
图1中画出了一维周期场的示意图。
所谓近自由电子近似是假定周期场的起伏比较小，作为零级近似，可以用势场的平均值代替V(x)。
把周期起伏[V(X)- 〕做为微扰来处理。
图1一维周期场零级近似的波动方程为（6）它的解便是恒定场中自由粒子的解（7）上式在归一化因子中引入晶格长度L=Na，为原胞的数目，a是晶格常数(原子间距)。
引入周期性边界条件可以得到k只能取下列值（8）很容易验证波函数满足正交归一化条件。
（9）由于零级近似下的解为自由电子，所以称为近自由电子近似。
按照一般微扰理论的结果，本征值的一级和二级修正为（10）（11）波函数的一级修正为（12）其中微扰项具体写出为其中前一项，按定义就等于平均势场，因此能量的一级修正为0。
和都需要计算矩阵元，由于k，和k两态之间的正交关系现在我们证明，由于V(x)的周期性，上述矩阵元服从严格的选择定则。
将按原胞划分写成对不同的原胞n，引入积分变数并考虑到V(x)的周期性就可以把前式（12）写成（13）现在区分两种情况:（1），即k，和k相差，在这种情况下，显然，(13)式中的加式内各项均为1，因此（14）（2），在这种情况下，(13)式中的加式可用几何级数的结果写成K，和k又可写成{见(8)式}因此，上式中的分子同时，分母由于，所以不为零，在这种情况下，矩阵元（13）恒为零。
综合以上，我们得到，如果，则（15）否则表示的积分实际上正是周期场V(x)的第n个傅立叶系数。
很容易看到，上式中以Vn根据这个结果，波函数考虑了一级修正(12)式后可以写成:（16）连加式的指数函数，在x改变a的整数倍时，是不变的，这说明括号内为一周期函数。
这类似于布洛赫函数的形式:可以写成一个自由粒子波函数乘上具有晶格周期性的函数。
根据(15)，二级微扰能量可以写成(17)值得特别注意的是，当（18）也就是（19）时，趋于, n表任意一个整数，也就是说，当k为整数倍时，E (2)k趋向。
很显然，该结果是没有意义的。
它只说明，以上的微扰论方法，对于在(19)式附近的k是发散的，因此不适用。
四、包络函数模型(平面波展开方法)[22]根据有效质量理论，如果晶体中存在微扰势Vp(r)，则电子运动的薛定愕方程为式(20)。
（20）其中Ho是没有微扰的晶体哈密顿量。
如果微扰势是个空间缓变量，且其强度小到不足以引起带之间的藕合，则电子波W(r)可以表示为一个空间缓变函数Fn (r)与带边波函数Un(r)的乘积。
（21）称为包络函数。
如果能带是非简并的，例如导带，在导带底附近的能量可近似用有效质量m*表示，如式(22)。
(22)其中Ec是导带边能量，则包络函数满足(23)所示的有效质量方程。
（23）如果能带是简并的，例如价带顶，则波函数可表示为包络函数Fj (r)与带边波函数Uj(r)乘积的线性组合，如式(24)（24）Fj(r) 满足一组联立的有效质量方程组，如式(25)所示。
i=1,2 (25)其中称有效质量参数。
超晶格中，若无外界的微扰势VP(r)，则在每种材料内部就电子而言，有效质量方程(23)简化为一平面波方程。
在界面附近，势是突变的，有效质量方程近似不再成立，暂时不考虑这一点。
对于超晶格的两种材料，它们的有效质量m*和带边的能量E。
是不同的。
为了用一个方程描述超晶格的包络函数方程，引入m*(z)和有效势。
（26）（27）其中z是超晶格的生长方向，是两种材料导带边能量之差，也就是导带带阶。
超晶格的包络函数方程可写为式（28）(28)其中方程第一项的写法是为了保证方程的厄米性，因为m*(z)是坐标z的函数。
在求解包络函数时，可以先对每种材料内部求解，然后将求得的波函数通过边界条件衔接起来，从而定出本征能量和本征波函数。
如果超晶格两种材料的性质比较接近，有效质量参数相差不大(例如GaAs/Al0.2Ga0.8As超晶格)，则可认为两种材料的有效质量参数相等，等于势阱材料的有效质量值，因为波函数大部分都集中在势阱中。
这时，边界条件就是波函数和它的微分连续条件。
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