材料力学笔记

材料力学笔记
第一章绪论
材料应满足的基本要求：强度要求（抵抗破坏的能量），刚度要求（抵抗变形的能力），稳定性要求（保持原有平衡形态的能力）。

基本假设：连续性假设，均匀性假设、各向同性假设
内力：物体内部各部分之间因相对位置改变而引起的相互作用。

垂直于截面的应用分量称为正应力sigma（σ），切于截面的应力称为切应力tau（τ）；
应变epsilon ε：研究对象某点沿某个方向的伸长或缩短值；切应变γ：研究对象在某个平面内角度的变化；
材料变形的基本形式：拉伸或压缩；剪切；扭转
第二章拉伸、压缩与剪切
截面应力：σ=F N
A ；斜截面正应力：σα=σcos2α；斜截面切应力：τα=1
2
σsin2α
低碳钢材料力学性能：弹性阶段，屈服阶段，强化阶段，局部变形阶段。

相关概念有比例极限σp，弹性极限σe，屈服极限σs，强度极限σb
断裂和塑性变形统称为失效。

许用应力，对塑性材料[σ]=σs
n s ; 对于脆性材料：[σ]=σb
n b
应力应变关系胡克定律：σ=Eε，Δl=Fl
EA
，EA为杆件的抗拉或抗压刚度
抽象拉伸或压缩的应变能，应变能密度：vε=σ2
2E
(J/m3)
剪切面切应力：τ=F s
A ≤[τ];挤压应力：σbs=F N
A bs
≤[σbs ]
第三章扭矩
计算外力偶矩{M e}=9549P
n
，P为功率，n为转速。

切应力互等定理：在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等。

切应变: γ=rφ
l
φ表示圆柱两端截面的相对转角，称为扭转角
剪切胡克定律:切应变γ与切应力τ成正比τ=Gγ、
剪切应变能密度：vε=τ2
2G
(J/m3)
圆柱扭转时最大切应力：τmax=T
W ，T内力系对圆心的力矩T=∫ρτρdA
A
, W=I p
R
I p=∫ρ2dA
A
为极惯性矩（截面二次矩）；W为抗扭截面系数
扭转角φ=Tl
GI p
，其中GI p为圆轴的抗扭刚度
第四章弯曲内力
受弯杆件的简化：简支梁，外伸梁，悬臂梁统称为静定梁 剪力和弯矩相关推论：
（1） 在梁的某段内，若无载荷作用，q (x )=0,
dFs(x)dx
=q (x )=0,剪切图平行于x 轴的直线，
M(x)是x 的一次函数，弯矩图是斜直线。

（2） 若作用的是均匀载荷，q (x )=常数，M(x)是x 的二次函数，剪切图斜率为q (x )的斜
线；弯矩图是抛物线，若q (x )<0,弯矩图向上凸，否则向下凸。

（3） 若某截面上F s (x)=0,则弯矩的极值发生于剪力为0的截面上；在集中力作用的左右两
侧，弯矩图的斜率也发生突然变化
（4） 在两个截面上剪力之差等于两截面载荷图的面积；两个截面的弯矩之差，等于两截
面间剪力图的面积。

实质上反映了载荷、剪力与弯矩之间的积分关系。

第五章 弯曲应力
纯弯曲的正应力σ=Eε=E y
ρ
，其中y 为距中性层的距离，ρ为中性层的曲率半径
1ρ
=M EI z
, θ=
Ml EI z
，EI z 为梁的抗弯曲刚度，1
ρ
为梁轴线变形后的曲率
σ=My I z
，I z =∫y 2dA 为横截面对中性轴的惯性矩。

σ=M max y max
I z
=M
W , W =I z
y
max
，W 称为抗弯截面系数
矩形截面梁弯曲切应力τ=
F s S z
∗I z b
，S z ∗=∫y1dA A1，横截面的部分面积A1对中性轴的静矩。

因为弯曲时梁截面上的点离中性轴越远，正应力越大，为充分利用材料，应尽量把
材料放到离中性轴较远处（竹子为什么空心），所以一般将实心圆截面改成空心圆截面，相应的矩形截面则将中心轴附近的材料移到上下边缘处（工字钢）；
第六章 弯曲变形
挠度w =f(x)的坐标为x 的横截面形心沿y 方向的位移； 截面转角：梁的横截面对其原来位置转过的角度tagθ=dw dx
挠曲线的近似微分方程：
d 2w dx 2
=
M EI
积分法求弯曲变形得到转角方程为： θ=
dw dx
=∫M
EI dx+C
w =∫∫M
EI d x+C x +D
叠加法求弯曲变形：在弯曲变形很小且材料服从胡克定律的情况下，挠曲线的微分方程式线性的，则两种载荷M F 和M q 的共同作用时弯矩M=M F +M q ，通过d 2w
dx 2=M
EI 可以推导出 EI
d 2w F dx 2
=M F ，EI
d 2w q dx 2
=M q ，M= EI
d 2(w F +w q )
dx 2
第七章 应力和应变分析，强度理论
在单元体中三个相互垂直的面上都无切应力，这种切应力为0的面称为主平面，主平面上的正应力称为住应力
二向应力状态分析的解析法主要步骤： 1） 用式02tan 2xy
x y
τασσ=
-确定主平面
2）用下两式分别确定最大（小）正应力与切应力
max min 2x y
σσσσ+⎫=⎬⎭，
max min ττ⎫
=⎬⎭最大和最小切应力所在平面与主平面夹角为450，及102
π
αα=+
二向应力状态分析图解法主要步骤： 1） 通过x σ、xy τ确定AD 点 2） 通过y σ、yx τ确定BD’点
3） 连接AD ，BD’点交于C 点（圆心），以CD 为半径，C 为圆心作圆确定应力圆
其中D 点代表以x 为法线的面上的应力，D’代表代表以y 为法线的面上的应力。

三向应力状态
22
2223
23
1213()(
)()()22n n l σσσσστσσσσ+--+=+--
222231
31
2321()(
)()()2
2
n n m σσσσστσσσσ+--+=+-- 222221
12
3131()(
)()()2
2
n n n σσσσστσσσσ+--
+=+--
正应力与切应力的正值，13
max 1min 3min ,,2
σσσσσστ-===
广义胡克定律： 1
[()]x x y z E
εσμσσ=
-+ 1
[()]y y y z E
εσμσσ=-+ 1
[()]z z x y E εσμσσ=
-+
,,xy yz zx xy yz zx G
G
G
ττττττ=
=
=
复杂应力状态的应变能密度：22
21231223311(2())2v E
εσσσμσσσσσσ=
++-++ 弹性常数G ，μ和E 之间关系：2(1)
E
G μ=
+
四种常用强度理论
最大拉应力强度理论:（1[]σσ≤）;
最大伸长线应变理论:（123()[]σμσσσ--≤） 最大切应力理论:13[]σσσ-≤ 和畸变能密度理论
[]σ 其中第一、二强度理论比较适合于以断裂形式失效的材料；以屈服形式失效的材料宜采用第三、四强度理论。

莫尔强度理论：13[]
[][]
t c σσσσσ-≤，其中t σ、c σ分别为材料的抗拉和抗压许用应力。

第八章 组合变形
由两种以上基本变形组合的情况称为组合变形，一般采用线性叠加原理进行计算。

在计算扭转与弯曲的组合时，长采用第三强度理论或第四强度理论来校核塑性材料的相关强度，相应的公式有
[]σ
] 其中W 为抗弯截面系数，M 为合成弯矩，T 为扭矩。

第九章 压杆稳定
计算压杆临界力的欧拉公式为22()cr EI
F l πμ=，其中E 为弹性模量；I 为横截面的惯性矩；μ
为长度因数，l 为压杆长度。

常见的几种约束条件下压杆的长度因数μ
欧拉公式适用范围与经验公式：22()cr E πσλ=，其中柔度或长细比l
i μλ=，只有临界应力cr
σ小于比例极限p σ时，上述两个公式才适合欧拉公式，推演即可得1λλ≥
=时才适合欧拉公式。

对于超过比例极限后的压杆失稳根据直线惯性经验公式cr a b σλ=-秋季临界应力。

第十章 动载荷
主要讨论了构件有加速度时的应力计算，冲击和振动的情况。

动应力与静应力的关系：d d st K σσ=，d σ为动应力，d K 为动荷因素，st σ为静应力。

对于受重力作用的动荷因素1d a K g
=+。

拉伸、弯曲和扭转变形公式：
Δl =
Fl EA
3
48Fl w EI
=
p
Mel
GI ϕ=
冲击载荷的1d K =T 为冲击时的瞬时动能，P 为物体重量；若冲击是因P 从高为h
处自由落下造成，则有1d K =
对水平重庆，d F =
，d st σ= 第十一章 交变应力
随着时间周期性变化的应力称为交变应力。

最大应力：max σ 最大应力：min σ 平均应力：max min
2m σσσ+=
应力幅：max min
2
a σσσ-=
最大最小应力比：min
max
r σσ=
应力—寿命曲线S —N 曲线
持久极限：只要应力不超过某一个极限，N 可以无限增长，即试样可以经历无限次循环而不发生疲劳，交变应力的这一极限称为疲劳极限或持久极限。

对称循环的持久极限计为1σ-，下标为-1表示对陈循环的循环特征为1r =-。

影响持久极限的因素：
构件外形：（11()()d k K σσσ--=），11()
()d k K τττ--=称为有效应力集中因素。

其中1()d σ-和1()d τ-表
示无应力集中的光滑试样的持久极限；1()d σ-和1()d τ-表示有应力集中，且尺寸与光滑试验相同的持久极限。

构件尺寸的影响：11
()d
σσεσ--=
，11
()d
ττετ--=
称为尺寸因素
构件表面质量的影响：11()()d
βσβσ--=称为表面质量因素。

1()βσ-为其他加工情况时构建的
持久极限。

综合上述三种因素，在对称循环下，构建的持久极限为0
1111,K K στσ
τ
εβεβσσττ----=
=
对称循环下构件疲劳强度计算： 0
1
1[]n
σσ--=
，0
1
max
1[]n
σσσ--≤=
，0
1max n n σσσ-
=≥称为构件的工作安全因数，则其应大于或等于规定的安全因数n ，则可以得到
max
1n n K σσ
σσσ
εβ
-=
≥，max
1n n K ττ
τττ
εβ
-=
≥。

所以在计算时，需要首先计算max
σ
（max
τ
），然后根据构件特征查出K 、ε和β，最后再
进行校核。

不对称循环下构件疲劳强度计算
实质上只需要对上述n σ、n τ进行修正
01
a
a m
n n K σσ
σσσψσεβ
-=
≥+，1
a
m
n n K ττ
ττττψσεβ
-=
≥+
弯扭组合交变应力的强度计算
实质上只需要对上述n σ、n τ进行修正
n n στ=
≥，max
1n K σσ
σσσ
εβ
-=
，max
1n n K ττ
τττ
εβ
-=
≥
变幅交变应力（积累损伤理论，线性损伤理论）
设变幅交变应力中，超过持久极限的应力是12,,...σσ。

如构件在稳定常幅应力1σ作用下寿命为1N ，便可认为按1σ每循环一次造成的损伤为
11
N ，循环1n 此后形成的损伤为11
n N 。

同理可以得到在23,,...σσ作用下的循环次数分别是23,...n n 则引起的损伤分别是
1
1n N ，33
n N 。

，则损伤总和为：12
112...k
i i i
n n n N N N =++=∑
提高强度的措施：减缓应力集中，降低表面粗糙度，增强表层强度
常用力学概念：
(1) 力偶:大小相等,方向相反.但不在同一直线上的一对平行力
(2) 力矩: 是必须要针对某个点来说
(3) 力偶矩:力偶矩是两个等大反向平行不共线力的大小乘以两个力作用线之间的距离 转动惯量，又称惯性距、惯性矩（惯性力矩，易与力矩混淆）：转动惯量是刚体转动时惯
性的量度21
n
i i i J m r ==∑，m i 表示刚体的某个质点的质量，r i 表示该质点到转轴的垂直距离，相应
的惯性能：212E J ω=
，其中类似于21
2
E mv =，分析实际情况，J 的作用相当于牛顿运动平动分析中的质量m 的作用，都是一般不轻易变的量。

惯性力偶矩：M J ω=。