运筹学 第三版 清华大学出版社 第2章灵敏度分析
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运筹学灵敏度分析
只需由 j 0解得c j的范围。
(2) c j 是基变量x j的价格系数 这时要影响所有的检验 数
i ci (c1 ci ci cm ) B Pi , 应由所有的 i 0解得公共的c j。
1
p11-2
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
3 1
运筹学
2
84 20 24
0 1 0
0
0 0 1
0
1 0 0
0
- 0.32 0.4 - 0.12
- 1.36
1.16 - 0.2 0.16
- 0.52
z 428
（1）甲产品的价格在何范围内变化时，现最优解不变？
解：甲产品的价格c1是基变量的价格系数。 0.32 由 4 0 0 7 c1 12 0.4 2.8 0.4c1 1.44 0 0.12 得 c 3.4， 1.16 由 5 0 0 7 c1 12 - 0.2 1.4 0.2c1 1.92 0 0.16 得 c 2.6，
2
运筹学
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
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0 1
0
0 0 1
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- 3.12 1.16 0.4 - 0.2
- 0.12 0.16
z 428
0
0
0
- 1.36
- 0.52
（3）若有人愿以每度1元的价格向该厂供应25度电，是 否值得接受？
§3.4 灵敏度分析
灵敏度分析——研究系数变化对最优解的影响.
运筹学第2章对偶理论和灵敏度分析-第4节
1 y1 2 y2 3 y3
x1 0, x2,x3 0, x4无约束
则由表2-4中原问题和对偶问题的对应关系， 可以直接写出上述问题的对偶问题，
max z ' 5 y 1 4 y 2 6 y 3
y1 2 y2
2
y1 3 y1
2 y2
综合上述，线性规划的原问题与对偶问题 的关系，
其变换形式归纳为表2-4中所示的对应关系。
原问题
目标函数 max z
n个
变 0
量
0
无约束
约 m 个
束
0
条
0
件
约束条件右端项
目标函数变量的系数
对偶问题
目标函数 min
n个 约
束
证：由性质（2）可知，
YbCX ,是不可能成立。
例：
LP:
DP:
maxzx1 x2
mi n4y1 2y2
2xx11xx22
4 2
2yy11yy22
1 1
x1,x2 0
y1,y2 0
从两图对比可明显看到原问题无界， 其对偶问题无可行解
j1
x
j
0,
j
1 ,2 ,
,n
第一步：先将等式约束条件分解 为两个不等式约束条件。
n
maxz cj xj j1
n
aijxj bi j 1,2,,m 213
j1
n
ai j x j
bi ,
i
运筹学线性规划对偶理论和灵敏度分析
建立非对称形式线性规划问题旳对偶模型可采用下 列环节： （1）经过变换，把线性规划问题化为具有对称形式 旳原问题。 （2）根据原问题，写出对偶问题。（此时旳对偶并 非是原线性规划问题旳对偶） （3）经过变量代换等，把参数还原为最初旳形式 （必须做）。
例2.1.2写出下面非对称线性规划问题旳对偶。 max z = x1+2 x2 + x3 x1 + x2 － x3 ≤ 2
xj x1 x2 …
xn 原始约束 对偶：极小化 w
y1
a11 a12
…a22
… a2n ≤
b2
：
：
：
：
：
ym
am1 am2
…
amn ≤
bm
对偶约束 ≥ ≥ …
≥
原始极大化 z c1 c2 …
cn
阐明：表 2旳变量行与参数行相乘构成原始问题旳约 束条件和目旳函数；表2 旳变量列与参数列相乘构成 对偶问题旳约束条件和目旳函数。
max
z 33
=22002233 x1+4000 x1+ 44x2 + 2 2x3
x2 ≤
+3000 606000
x3 y1
22x1 + 1x2 + 2 2x3 ≤ 404000 y2 1 x1+ 33x2 + 33x3 ≤ 30300 y3 1x1+ 2 2x2 + 4 4x3 ≤ 20200 y4 x1 ≥0, x2 ≥ 0,x3 ≥0
max z = CX +0Xs st. AX + IXs = b
X , Xs≥0
其中，I 是相应于松弛变量旳单位方阵。
单纯形法计算时，总是选择 I 为初始可行基，松 弛变量作为初 始基变量旳。因为松弛变量作为基变
例2.1.2写出下面非对称线性规划问题旳对偶。 max z = x1+2 x2 + x3 x1 + x2 － x3 ≤ 2
xj x1 x2 …
xn 原始约束 对偶：极小化 w
y1
a11 a12
…a22
… a2n ≤
b2
：
：
：
：
：
ym
am1 am2
…
amn ≤
bm
对偶约束 ≥ ≥ …
≥
原始极大化 z c1 c2 …
cn
阐明：表 2旳变量行与参数行相乘构成原始问题旳约 束条件和目旳函数；表2 旳变量列与参数列相乘构成 对偶问题旳约束条件和目旳函数。
max
z 33
=22002233 x1+4000 x1+ 44x2 + 2 2x3
x2 ≤
+3000 606000
x3 y1
22x1 + 1x2 + 2 2x3 ≤ 404000 y2 1 x1+ 33x2 + 33x3 ≤ 30300 y3 1x1+ 2 2x2 + 4 4x3 ≤ 20200 y4 x1 ≥0, x2 ≥ 0,x3 ≥0
max z = CX +0Xs st. AX + IXs = b
X , Xs≥0
其中，I 是相应于松弛变量旳单位方阵。
单纯形法计算时，总是选择 I 为初始可行基，松 弛变量作为初 始基变量旳。因为松弛变量作为基变
运筹学02对偶理论(2)对偶单纯形法,灵敏度与参数分析
从满足条件(2)的基出发去找原问题的最优解→ 对偶单纯形法思想： 从满足条件(2) 的基(一般称为正则基)B出发，经 过换基运算到另一个正则基，即一直保证条件 (2)成立， 直到找到一个满足条件(1)的正则基。
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
注：当模型的数据发生变化后，不必对线性规划问题
重新求解，而用灵敏度分析方法直接在原线性规划取
得的最优结果的基础上进行分析或求解 . 线性规划的参数分析(Parametric Analysis)是研究和分
析目标函数或约束中含有的参数μ在不同的波动范围内 最优解和最优值的变化情况．这种含有参数的线性规划
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
X XB σ
b
B-1A B-1b C-CBB－1A －CBB－1b 若上表为最优单纯形表，则下列两个式子同时成立：
(1) B1b 0 (可行性条件，又叫对偶最优性条件)
(2) C CB B 1 A 0 (最优性条件,又叫对偶可行性条件)
4.最优解、无可行解的判断。
作业：教材P81 1.12 (2)
下一节：灵敏度分析与参数分析
3.4 灵敏度与参数分析
Sensitivity and Parametric Analysis
3.4 灵敏度与参数分析 Sensitivity and Parametric Analysis
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
max z 7 x1 3x 2
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
注：当模型的数据发生变化后，不必对线性规划问题
重新求解，而用灵敏度分析方法直接在原线性规划取
得的最优结果的基础上进行分析或求解 . 线性规划的参数分析(Parametric Analysis)是研究和分
析目标函数或约束中含有的参数μ在不同的波动范围内 最优解和最优值的变化情况．这种含有参数的线性规划
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
X XB σ
b
B-1A B-1b C-CBB－1A －CBB－1b 若上表为最优单纯形表，则下列两个式子同时成立：
(1) B1b 0 (可行性条件，又叫对偶最优性条件)
(2) C CB B 1 A 0 (最优性条件,又叫对偶可行性条件)
4.最优解、无可行解的判断。
作业：教材P81 1.12 (2)
下一节：灵敏度分析与参数分析
3.4 灵敏度与参数分析
Sensitivity and Parametric Analysis
3.4 灵敏度与参数分析 Sensitivity and Parametric Analysis
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
max z 7 x1 3x 2
运筹(第二章对偶与灵敏度分析)(1)
5x2 3x3 30
x1 0, x2无约束，x3 0
2023/2/22
17
解：将原问题模型变形, 令x1 x1
min z 7x1 4x2 3x3
4x1 2x2 6x3 24
3x1 6x2 4x3 15 5x2 3x3 30
y1 y2 y3
x1 0, x2无约束，x3 0
则对偶问题是
max w 24 y1 15y2 30 y3
4 y1 3y2
7
x1
2 y1 6 y2 5 y3 4
x2
6 y1 4 y2 3x3 3
x3
y1, y2 0, x3无约束
2023/2/22
18
小结：对偶问题与原问题的关系：
目标函数：MAX
原 约束条件：m个约束
对
问
y1 y2
ym
2023/2/22
12
类似于前面的资源定价问题，每一个约束条件对 应一个“ 对偶变量”，它就相当于给各资源的单 位定价。于是我们有如下的对偶规划：
min W b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1 a12y1 a22y2 am2ymc2 a1n y1 a2n y2 amn ym cn y1, y2 ,, ym 0
分别是原问题和对偶问题的可行解，则恒有
n
m
c j x j bi yi
j 1
i 1
m
n
考虑利用 c j aij yi 及
aij x j bi
i 1
j 1
代入。
2、无界性 如果原问题（对偶问题）有无界解，则
其对偶问题(原问题）无可行解。
2023/2/22
(第三版)《运筹学》教材编写组编清华大学出版社
解 先计算B-1Δb,将结果反映到最终表1-5中， 得 表2-10。
0.25 0 4 0 0 1 B b 2 0 .5 1 0 8 0.5 0.125 0 0 2
cj → CB 2 0 3 XB x1 x5 x2 cj- zj b 4+0 4-8 2+2 2 x1 1 0 0 0 3 x2 0 0 1 0 0 x3 0 x4
线性规划问题中某一个或几个系数发生变化 • 显然，当线性规划问题中某一个或几个系数发 生变化后，原来已得结果一般会发生变化。当 然可以用单纯形法从头计算，以便得到新的最 优解。这样做很麻烦，而且也没有必要。因在 单纯形法迭代时，每次运算都和基变量的系数 矩阵B有关，因此可以把发生变化的个别系数， 经过一定计算后直接填入最终计算表中，并进 行检查和分析，可按表2-9中的几种情况 进行 处理。
0 x5 0 1 0 0
0 0.25 [-2] 0.5 0.5 –0.125 -1.5 -0.125
由于表2-10中b列有负数，故用对偶单纯形法求新 的最优解。计算结果见表2-11。
表2-11
cj → CB 2 0 3 XB x1 x3 x2 cj- zj b 4 2 3 2 x1 1 0 0 0 3 x2 0 0 1 0 0 x3 0 1 0 0 0 x4 0.25 -0.25 0 -0.5 0 x5 0 -0.5 0.25 -0.75
b列的元素变化
在最终表中求得的经过变化后的 b 列的所有元素， 要求b i +a ir Δ br ≥0，i=1,2,…,m。由此可得 a ir Δ br ≥b i ，i=1,2，…，m 当 a ir ＞0 时，Δ br ≥b - ia / ir； 当 a ir ＜0 时，Δ br ≤b - ia / ir；于是得到
灵敏度分析(运筹学).ppt
0
0
1
0
0
0
x3
1 0
0 1 1
0 2 -1
-1
0
x4
0 1
0
0
-3/2 -1 1
-1
2.5.1 单纯形法的矩阵描述
1. 约束方程系数矩阵的变化
约束方程系数矩阵
，进行初等行
变换，相当于左乘一个相应的初等阵。
即
，在A中所包含的矩阵B，左
乘 后，则得到
。
2. 约束方程右端项的变化
3. 目标函数系数的变化
1. 灵敏度分析的概念：
当某一个参数发生变化后，引起最优解如何改变的 分析。 可以改变的参数有： bi——约束右端项的变化，通常称资源的改变； cj ——目标函数系数的变化，通常称市场条件的变 化； pj ——约束条件系数的变化，通常称工艺系数的变 化； 其他的变化有：增加一种新产品、增加一道新的工 序等。
2．分析原理及步骤：
（1）借助最终单纯形表将变化后的结果按下述基
本原则反映到最终表里去。
B①-1bi△变b化：=
（b+△b）´=B-1 b´+B-1 △b
（b+△b）=
B-1
b+
②pj变化：（pj+△ pj ）´= B-1 （pj+△ pj ）= B-1 pj+ B-1 △ pj = pj ´+ B-1 △ pj
围来确定最优解是否改变。 由于系数的改变，最优值z可能发生 变化而不再是原值了。
2、约束条件右端值的变化
约束条件右端值每增加一个单位 引起的最优值的改进量称为对偶 价格。
对偶价格只适用于在右端值仅发 生了很小变动的情况
2.5.3 单纯形法灵敏度分析
运筹学习题解答(chap2)(1)(1)
第二章 对偶问题与灵敏度分析一、写出下列线性规划的对偶问题1、P89,(a)321422m in x x x Z ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤++≥++.,0,;534;332;243321321321321无约束x x x x x x x x x x x x解：原模型可化为321422m in x x x Z ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≥≥++.,0,;534;3-3--2-;243321321321321321无约束x x x y y y x x x x x x x x x 于是对偶模型为321532m ax y y y W +-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤+-≤+-.,0,;4334;243;22321321321321无约束y y y y y y y y y y y y2、P89,(b)321365m ax x x x Z ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++≥-+-=++.0,0,;8374;35;522321321321321x x x x x x x x x x x x 无约束解：令033≥-='x x 原模型可化为321365m ax x x x Z '-+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥'≥≤'+≤'='+.0,0,;83-74;3--5-;52-2321321321321321x x x y y y x x x x x x x x x 无约束于是对偶模型为321835m in y y y W +-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥---≥+-=++.0,,;332;6752;54321321321321y y y y y y y y y y y y 无约束 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≥+-=++.0,,;332;6752;54321321321321y y y y y y y y y y y y 无约束二、灵敏度分析1、P92, 线性规划问题213m ax x x Z += ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,1025;74212121x x x x x x最优单纯形表如下试用灵敏度分析的方法，分析：（1） 目标函数中的系数21,c c 分别在什么范围内变化，最优解不变（2） 约束条件右端常数项21,b b 分别在什么范围内变化，最优基保持不变解：（1） 1c 的分析：要使得最优解不变，则需⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤⨯-⨯+=≤⨯+⨯-=034131003513201413c c σσ 即 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥42511c c 所以：4251≤≤c 时可保持最优解不变。
运筹学灵敏度分析
单击此处添加小标题
原始和对偶问题都取得最优解时，最大利润 max z=min y
单击此处添加小标题
资源价格（元/吨）
单击此处添加小标题
资源限量（吨）
对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解y1、y2、...、ym称为m种资源的影子价格（Shadow Price） 影子价格为当bi有单位增量，若原最终优基不变，总收益Z的变化，也可以说yi是对第i种资源的一种价格估计，由于影子价格是指资源增加时对最优收益的贡献，所以又称它为资源的机会成本或者边际产出 当市场价格低于影子价格时，企业应该买进资源用于扩大生产，高于影子价格时，企业应该将已有资源卖掉。 影子价格的计算
CS XS b
B E N1
CB XB B-1b
E B-1 B-1N1
σ
0 CS－CB B-1 CN1－CB B-1N1
初始表
对偶的定义
max ω=-Yb s.t. -YA≤-C Y ≥0
min z’=-C X s.t. -AX≥-b X ≥0
2、其他形式问题的对偶
原始问题约束条件的性质，影响对偶问题变量的性质。 原始问题变量的性质，影响对偶问题约束条件的性质。
max z=C X s.t. AX≤b X ≥0
以B为基的单纯形表
当XS为松弛变量时CS=0,松弛变量检验数为－CB B-1 ， CB B-1称为单纯形乘子
Cj
CB CN
CB XB B-1b
XB XN
b
B N
B-1b
E B-1N
例4 某工厂要用三种原材料C,P,H混合调配出三种不同规格的产品A,B,D。已知产品的规格要求、单价和原料的供应量、单价如下表。该厂应如何安排生产，能使利润最大？
原始和对偶问题都取得最优解时，最大利润 max z=min y
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资源价格（元/吨）
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资源限量（吨）
对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解y1、y2、...、ym称为m种资源的影子价格（Shadow Price） 影子价格为当bi有单位增量，若原最终优基不变，总收益Z的变化，也可以说yi是对第i种资源的一种价格估计，由于影子价格是指资源增加时对最优收益的贡献，所以又称它为资源的机会成本或者边际产出 当市场价格低于影子价格时，企业应该买进资源用于扩大生产，高于影子价格时，企业应该将已有资源卖掉。 影子价格的计算
CS XS b
B E N1
CB XB B-1b
E B-1 B-1N1
σ
0 CS－CB B-1 CN1－CB B-1N1
初始表
对偶的定义
max ω=-Yb s.t. -YA≤-C Y ≥0
min z’=-C X s.t. -AX≥-b X ≥0
2、其他形式问题的对偶
原始问题约束条件的性质，影响对偶问题变量的性质。 原始问题变量的性质，影响对偶问题约束条件的性质。
max z=C X s.t. AX≤b X ≥0
以B为基的单纯形表
当XS为松弛变量时CS=0,松弛变量检验数为－CB B-1 ， CB B-1称为单纯形乘子
Cj
CB CN
CB XB B-1b
XB XN
b
B N
B-1b
E B-1N
例4 某工厂要用三种原材料C,P,H混合调配出三种不同规格的产品A,B,D。已知产品的规格要求、单价和原料的供应量、单价如下表。该厂应如何安排生产，能使利润最大？
运筹学第二章24灵敏度分析
（3）其他情况讨论： 某个产品工艺参数改变； 新品代替原产品等；
（2） N =？
舍弃中间计算过程
只考察初始表和最终表
B-1 = AB-1
2、价值系数C发生变化的情况： （1）当cj是非基变量的价值系数——它的变 化只影响 j 一个检验数。 ≤0 1 j c j CB B Pj ≥0 要进行基变换码？
j c j c j CB B Pj ≤ 0
' 1
c j ≤ CB B1 Pj c j
非基变量的价格系数变化，在原最优解 不变的条件下，确定的变化范围。
（ 2 ）当cj是基变量的价值系数 —— 它的变化 将影响所有非基变量的检验数. 1 N C N CB B N 当cj变化时，如能保持 0 ，则当前解仍 N 为最优解，否则可用单纯形法继续迭代求出 新的最优解。 1 C C B N 0 将cj看作待定参数，令 N N B 解这n-m个不等式，可算出保持最优解不变 时cj的变化范围 ！ 基变量的系数变化，仍用c2代表x2的价值系 数（看成待定参数），原最优表格即为：
(2) 增加1个约束条件： 相当于系数阵A增加1行 首先将原最优解代入新增约束检查是 否满足？是，则说明新增约束不影响最 优解。否则再作下面的讨论：
将新增约束标准化，添加到原最优表 格中（相当于约束矩阵新增1行）；
进行规格化处理 —— 用矩阵的行变换 将当前基变成单位阵； 用适当方法（通常是对偶单纯形法） 进行迭代求出新的最优解。
（1）增加1个新变量：相当于系数阵A增加1列 如开发出一种新产品，已知其有关工艺参数 （或消耗的资源量）和单位产品利润，设该种 产 品 的 产 量 为 xk ， 则 ck 和 Pk 已 知 ， 需 要 进 行 “是否投产”的决策。
运筹学第二章第6讲
12
例题4：写出以下模型的对偶问题
max z = 3 x1 − 2 x2 − 5 x3 + 7 x4 + 8 x5 x2 − x3 + 3 x4 − 4 x5 = −6 2 x1 + 3 x2 − 3 x3 − x4 ≥ 2 − x1 + 2 x3 − 2 x4 ≤ −5 s.t. − 2 ≤ x1 ≤ 10 5 ≤ ≤ 25 x2 , ≥ 0, 为自由变量 x5 x3 x4
OR1
对偶问题（或原问题） 对偶问题（或原问题） 目标函数 MinW
约束条件数： 约束条件数：n 第i个约束条件类型为“≥” 个约束条件类型为“ ” 个约束条件类型为 个约束条件类型为“ ” 第i个约束条件类型为“≤” 个约束条件类型为 个约束条件类型为“ 第i个约束条件类型为“=” 个约束条件类型为 对偶变量数： 个 对偶变量数：m个 第i个变量 个变量≥0 个变量 个变量≤0 第i个变量 个变量 第i个变量是自由变量 个变量是自由变量
OR1
15
2 弱对偶性：极大化原问题的任一可行解的目标 弱对偶性： 函数值不大于其对偶问题任意可行解的目标函数 值。即： C X≤ Yb
证明：设原问题为maxZ=CX, AX ≤b ，X ≥0. ≥0. 证明： 原问题为maxZ=CX,
为原问题的可行解， ≤b， X 为原问题的可行解，有AX ≤b，
二.对偶线性规划的定义 对偶线性规划的定义
max Z = CX ( LP ) AX ≤ b S .T . X ≥ 0
称线性规划(DLP)为线性规划 为线性规划(LP)的对偶线性规划 称线性规划 为线性规划 的对偶线性规划
minω = yb ( DLP ) yA ≥ C S .T . y ≥ 0
例题4：写出以下模型的对偶问题
max z = 3 x1 − 2 x2 − 5 x3 + 7 x4 + 8 x5 x2 − x3 + 3 x4 − 4 x5 = −6 2 x1 + 3 x2 − 3 x3 − x4 ≥ 2 − x1 + 2 x3 − 2 x4 ≤ −5 s.t. − 2 ≤ x1 ≤ 10 5 ≤ ≤ 25 x2 , ≥ 0, 为自由变量 x5 x3 x4
OR1
对偶问题（或原问题） 对偶问题（或原问题） 目标函数 MinW
约束条件数： 约束条件数：n 第i个约束条件类型为“≥” 个约束条件类型为“ ” 个约束条件类型为 个约束条件类型为“ ” 第i个约束条件类型为“≤” 个约束条件类型为 个约束条件类型为“ 第i个约束条件类型为“=” 个约束条件类型为 对偶变量数： 个 对偶变量数：m个 第i个变量 个变量≥0 个变量 个变量≤0 第i个变量 个变量 第i个变量是自由变量 个变量是自由变量
OR1
15
2 弱对偶性：极大化原问题的任一可行解的目标 弱对偶性： 函数值不大于其对偶问题任意可行解的目标函数 值。即： C X≤ Yb
证明：设原问题为maxZ=CX, AX ≤b ，X ≥0. ≥0. 证明： 原问题为maxZ=CX,
为原问题的可行解， ≤b， X 为原问题的可行解，有AX ≤b，
二.对偶线性规划的定义 对偶线性规划的定义
max Z = CX ( LP ) AX ≤ b S .T . X ≥ 0
称线性规划(DLP)为线性规划 为线性规划(LP)的对偶线性规划 称线性规划 为线性规划 的对偶线性规划
minω = yb ( DLP ) yA ≥ C S .T . y ≥ 0
运筹学课件灵敏度分析
运筹学教程
Cj
210
CB 基 b X1 x2 x3
0 x3 15 0
51
2 x1 5 1
10
0 x4 2 0
-4 0
Cj-Zj
0
-1 0
00 x4 x5 00 01 1 -6 0 -2
工厂的最优生产计划改为只生产产品1，每天 的生产数量5件。
解：（2）
设每天的调试可用能力为5
运筹学教程
1 b' B1b 0
x5
x4
5
24
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
用单纯形法求解如下：
运筹学教程
Cj
210 0 0
CB 基 b X1 x2 x3 x4
x5
0 x3 15/2 0 2 x1 7/2 1 1 x2 3/2 0
01 00 10
5/4 -15/2 ¼ -1/2 -1/4 3/2
Cj-Zj
0
8
2
3 / 2 0 2
运筹学教程
将其反映到最终的单纯形表，原问题非可行解， 采用dual单纯形法
Cj
2
CB 基 b X1
0 x3 35/2 0
2 x1 11/2 1
1 x2 -1/2 0
Cj-Zj
0
10 x2 x3 01 00 10 00
00 x4 x5 5/4 -15/2 ¼ -1/2 [-1/4] 3/2 -1/4 -1/2
aij
y i
i 1
运筹学教程
（2）、检查原问题是否仍为可行解。 （3）、检查对偶问题是否仍为可行解。
原问题
可行解 可行解 非可行解 非可行解
对偶问题
可行解 非可行解 可行解 非可行解
运筹学第2章 对偶理论01-对偶问题及影子价格、对偶单纯形法
第2章对偶理论及灵敏度分析主要内容对偶理论⏹线性规划对偶问题⏹对偶问题的基本性质⏹影子价格⏹对偶单纯形法灵敏度分析⏹灵敏度问题及其图解法⏹灵敏度分析⏹参数线性规划线性规划的对偶问题⏹对偶问题的提出⏹原问题与对偶问题的数学模型⏹原问题与对偶问题的对应关系实例：某家电厂家利用现有资源生产两种产品，有关数据如下表：设备A设备B 调试工序利润（元）612521115时24时5时产品Ⅰ产品ⅡD一、对偶问题的提出如何安排生产，使获利最多？厂家设Ⅰ产量–––––Ⅱ产量–––––1x 2x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+=052426155 2max 212121221x x x x x x x s.t.x x z ,设设备A ——元／时设备B ––––元／时调试工序––––元／时1y 2y 3y 收购付出的代价最小，且对方能接受。
出让代价应不低于用同等数量的资源自己生产的利润。
设备A 设备B 调试工序利润（元）0612521115时24时5时ⅠⅡD ⏹厂家能接受的条件：⏹收购方的意愿：32152415min yy y w ++=单位产品Ⅰ出租收入不低于2元单位产品Ⅱ出租收入不低于1元出让代价应不低于用同等数量的资源自己生产的利润。
1252632132≥++≥+y y y y y52426155 2212121221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+=x x x x x x x s.t.x x z ,max ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥+++=0y 125265241532132132321y y y y y y y t s y y y w ,,.min 对偶问题原问题收购厂家一对对偶问题⎩⎨⎧≥≥=⇒⎩⎨⎧≥≤=00bY C YA s.t.Yb w X AX t s CX z min ..max ),(21c c C =⎪⎪⎫ ⎛=1x x X )(ij a A =()321,y ,y y Y =⎪⎪⎪⎫ ⎛=321b b b b 3个约束2个变量2个约束3个变量原问题对偶问题其它形式的对偶问题?特点：1.原问题的约束个数（不包含非负约束）等于对偶问题变量的个数；2.原问题的价值系数对应于对偶问题右端项；3.原问题右端项对应于对偶问题的价值系数；4.原问题约束矩阵转置就是对偶问题约束矩阵；5.原问题为求最大，对偶问题是求最小问题；6.原问题不等约束符号为“≤”，对偶问题不等式约束符号为“≥”;二、原问题与对偶问题的数学模型1．对称形式的对偶当原问题对偶问题只含有不等式约束时，称为对称形式的对偶。
第二章运筹学
x3
30000
s.t. x1 x2 x3 3000
每天白坯纸 供应约束
工人数
x1
0
(i
1,2,3)
非负
Global optimal solution found at iteration: 2
Objective value:
5000.000
model: max=x1+2*x2+3*x3; (x1+4*x2+8*x3)*10/3<=30000; (x1+x2+x3)/30<=100; end
如白坯纸供应量不变，而工人数量不足时，可从市场上招收 临时工，临时工费用为每人每天15元，该厂是否招临时工及 招多少人为宜？
解：设决策变量为该厂每天生产量：
稿纸 x1 捆，日记本 x2 打，练习本 x3 箱。
数学模型为
max z x1 2 x2 3 x3
总利润最大
10 3
x1
40 3
x2
80 3
第 2 行约束中右端项（Right Hand Side，简写为RHS） 原来为 4，当它在 [2，∞]范围变化时，最优基保持不变。第3、 4 行可以类似解释。不过由于此时约束发生变化，最优基即 使不变，最优解、最优值也会发生变化。
多个费用系数同时变动分析
例如，门的单位利润涨到 450元，窗的利润降到 400元，是 否会导致最优解发生变化呢？
它的绝对值表示目标函数中决策变量的系数必须改进 多少，才能得到该决策变量的正数解。在最大化问题中， “改进”指增加，最小化问题中指减少。
“Slack or Surplus”（松弛系数）表示对应约束行在最优解下还 剩下多少资源。（第一行是目标函数行）
运筹学第二章灵敏度分析
CB
-3 -5 -Z’
xB x1 X2
2.4 对偶解的经济解释
一、对偶线性规划 的解： P55
Cj xB x3 x1 x2 z b 7/2 7/2 3/2 x1 1 0 0 y4 Cj yB b y1 15/2 0 原问题变量 x2 0 0 1 0 y5 对偶问题变量 y2 y3 x3 1 0 0 0 y1 原问题变量 x4 5/4 1/4 -1/4 1/4 y2 x5 -15/2 -1/2 3/2 1/2 y3
T.G.Koopman（库普曼）和 L.V.Kamtorovich（康脱罗维奇）
二人因此而共同分享了1975年的第7届诺贝尔经 济学奖。
2.5 灵敏度分析
一、灵敏度分析的含义 是指系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感性程度的分析。 对于线性规划问题的灵敏度分析是指参数A，b，C变化引起的 对原问题解的变化的分析。 其中：A为技术参数矩阵，b为资源向量，C为价值向量 可以用参数变化后的问题重新用单纯形法求解？ 没必要，意义不大，有些问题看不出来。 把相应的变化反映到最终单纯形表中，再根据情况用相应的方 法求解。
Z 50 x1 30 x2
2.1 线性规划的对偶问题与对偶理论
假设现有乙公司准备租借用(购买)该木器厂的木工和 油漆工两种劳力的劳务，需要考虑这两种劳务以什么 样的价格租入最合算？而同时甲公司要以什么条件才 会租让？甲公司肯定会以自己利用两种劳力的劳务组 织生产所获得的利润最大为条件，设每个木工的租用 价格为y1，每个油漆工的租用价格为y2，则乙公司愿 意租用的出资为：
0 变量 0 无限制
型 约束 型 型
0 变量 0 无限制
型 约束 型 型
运筹学灵敏度分析目标规划
3 灵敏度分析
例3 7:
例3 4增加3x1+ 2x2≤15;原最优解不 满足这个约束 于是
Ci
2 3000
0
CB XB b X1 X2 X3 X4 X5
X6
2 X1 4 1 0 0 1/4 0
0
0 X5 4 0 0 -2 1/2 1
0
3 X2 2 0 1 1/2 -1/8 0
0
0 X6 -1 0 0 -1 -1/2 0
故恒有d+×d=0
目标规划问题及其数学模型
2 统一处理目标和约束
对有严格限制的资源使用建立系统约束;数学形式同线性规划中 的约束条件 如C和D设备的使用限制
4 x 1 16 4 x 2 12
对不严格限制的约束;连同原线性规划建模时的目标;均通过目 标约束来表达 1例如要求甲 乙两种产品保持1:1的比例;系统约束表达为： x1=x2 由于这个比例允许有偏差; 当x1<x2时;出现负偏差d;即： x1+d =x2或x1x2+d =0 当x1>x2时;出现正偏差d+;即： x1d+ =x2或x1x2d+ =0
-z
m
f
0…
m
0 σm+1 … σn
其中：f = ∑ ci bi’ j = cj ∑ ci aij’ 为检验数 向量 b’ = B1 b
i=1
i=1
A= p1; p2; …; pn ; pj’ = B1 pj; pj’ = a1j’ ; a2j’ ; … ; amj’ T ; j = m+1; … ; n
0
0
-1.5-ΔC2/2 -1/8+ΔC2/8
0
σj=cjc1×a1j+c5 × a5j+c2+Δc2 ×a2jj=3;4 可得到 3≤Δc2≤1时;原最优解不变
《运筹学》第二章 对偶问题和灵敏度分析jssk1
2.1 线性规划的对偶理论
解：写出该问题的对偶问题
min W 20 y1 20 y2 y1 2 y2 1 2y y 2 2 1 2 y1 3 y2 3 3 y 2 y 4 2 1 y1 , y2 0
根据互补松弛性，可得： X3*=4>0 则 2y1+3y2=3
s.t. AX ≤b X≥0 s.t. YA ≥ C Y≥0
2.1 线性规划的对偶理论
二、原问题和对偶问题的关系
1、原问题目标函数求最大值，对偶问题求最小值； 2、原问题目标函数的系数是对偶问题约束条件的右端项，原问 题中的右端项是对偶问题目标函数的系数； 3、原问题约束条件为“≤”，则在其对偶问题中决策变量为 “≥”；原问题中决策变量为“≥”，则在其对偶问题中的约束条 件为“≥”； 4、原问题中的约束条件个数等于它的对偶问题中的变量个数， 原问题中的变量个数等于它的对偶问题中的约束条件个数；
YA ≥ C
Y≥0
在单纯形法的每一步迭代中，目标函数取值 Z=CBB-1b+(CN-CBB-1N)XN ，当非基变量XN=0时有 Z=CBB-1b和检验数CN-CBB-1N中都有乘子Y=CBB-1， 那么Y的经济意义是什么？
2.1 线性规划的对偶理论
Y=CBB-1=(y1,y2,…,ym)，则得
Z CB B b Yb bi yi
2.1 线性规划的对偶理论
三、对偶问题的基本定理
1、对称性：对偶问题的对偶是原问题。
2、弱对偶定理：若X(0)是原问题的可行解，Y(0)是对偶 问题的可行解，则一定有CX(0) ≤ Y(0)b
max Z=CX 证明：设原问题是 AX ≤b X≥0
则对偶问题是
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步5：写出E22矩阵
E22 1 0 0 2 1 0 0 0 1
步6：计算 B21
1 2 5 B2 1 E 22 B11 0 1 2 0 0 1
21
计算新的基可行解
11 12 x B 2 b2 B2 1 b B2 1 3 1 1 1
计算单纯形乘子及检验数
Y2 C B 2 B2 2 (0,1,1) B2 1 (0,1,1)
1 1 C1 Y2 P1 3 (0,1,1) 4 1 2 0 5 C5 Y2 P5 0 (0,1,1) 1 1 0
计算新的基可行解
11 4 x B3 B31 b B31 3 1 1 9 Y3 C B3 B31 (3,1,1) B31 (1 / 3,1 / 3,2 / 3)
24
转步2：计算非基变量检验数
2 2 1 1 1 B1 P2 B1 1 0 0
20
步4：计算θ
θ=min｛-1/1,－｝=1，可知L=2，对应x6为换出变量， 主元素a22=1 新的基变量为（x4,x2,x3）T，CB2=(0,-1,-1) B2=(P4,P2,P3)
x1 2 x 2 x3 x 4 11 4 x x 2 x x x 3 1 2 3 5 6 2 x1 x3 x 7 1 x1 , x 2 , 变量(x4,x6,x7)T，CB0=(0,－M,－M) 初始基矩阵 1 0 0 B0 ( P4 , P6 , P7 ) 0 1 0 I 0 0 1
9
上述表格即为迭代后的计算表
2.改进单纯形法
前面我们已经熟悉了单纯形法的表格计算方法，这是求解线性规划问题的一 般的通用方法。但用这种方法求解具体问题时，发现在每次迭代过程中不必 要的计算了很多无用的数字，影响了计算效率。从计算机计算的角度来徇， 单纯形法也不是一个很经济的算法，需要计算的数字多，并且要占有大量的 计算机存储容量。这样就导致了改进单纯形法的出现。改进单纯形法是但泽 在1953年研究出来的，其基本步骤与单纯形法大致相同，最主的区别在于每 次迭代中不再以矩阵的行初等变换为基础，而是每次都从原始数据求得迭代 的结果。这样就减少了每次迭代中积累起来的误差，既提高了计算的精度， 又减少了计算机的存储容量。 我们知道，单纯形法的迭代过程实质上是从一组基到另一组基的变换，变 换一组基，得到一个新的表。根据矩阵理论，每当基变量确定后，要想得到 新的表，可以有两种方法，一是矩阵的初等行变换；二是由原始数据直接得 到即把这个基变量在初始单纯形表中相应列的系数矩阵的逆矩阵求出来，则 新表中的列都可由这个逆矩阵左乘原来的列得到。而为了确定一组新的基， 关键是要找出换入变量和换出变量，找换入变量是通过求所有非基变量列的 检验数，从中找出最大的正检验数来确定。在找出换入变量后，根据θ规则确 定换出变量。而每次迭代中真正有用的数字是b列数字，基的逆矩阵，非基变 量的检验数以及最大正检验数对应的非基变量的系数列向量。
XB x X N
3
这时C也分为两块（CB，CN） 其中CB是目标函数中基变量向量XB的系数行向量； CN是目标函数中非基变量向量XN的系数行向量。
XB X ( A, I ) ( B, N , I ) X N BX B NX N IX S X s XS XB X (C ,0) (C B , C N ,0) X N C B X B C N X N 0 X S X s XS
2
3
5
14
步3：
max(σ2>0,σ3>0)=σ3，k=3对应x3为换入变量 计算x3的系数列向量a3
1 1 a3 B0 1 P3 I 2 2 I 1
a3有大于零的分量，故该题有解。
15
步4：计算θ
本章内容重点
线性规划的对偶问题概念、理论
及经济意义 线性规划的对偶单纯形法 线性规划的灵敏度分析
1
2.1单纯形法的矩阵表示
现在介绍用矩阵来描述单纯形法的整个计算过程 它将有助于加深对单纯形法的理解、研究改进单纯形法、对偶理论等
设线性规划问题
maxZ=CX
AX b X 0
给这个规划问题的约束条件中加入松驰变量
4
maxZ=CBXB+CNXN+0XS
BX B NX N IX S b X B , X N , X S 0 (4.5)
将式（4.5）移项后得到 BXB=b－NXN－IXS 上式左乘B-1后，得到XB的表达式 XB=B-1b－B-1NXN－B-1XS 上式代入目标函数，得到 Z=CBB－1b+(CN－CBB-1N)XN－CBB-1XS
5
令非基变量XN=0，XS=0，得到一个基可行解
1 X B B b 0 (1) X X N XS 0
目标函数取值 Z=CBB-1b
6
1、非基变量的系数CN－CBB-1N与－CBB-1 就是第一章中用符号Cj－Zj(j=1,2,…,n)表示的检验数。 因为xB的系数是0，
这里（B-1b)i是向量（B-1b）中第i个元素。 （B-1Pj)i是向量（B-1Pj）中第i个元素。
8
3、单纯形表 初始单纯形表
初始非基变量
X=（XB，XN）T
（B，N） (cB，cN)
初始基变量 XS I 0 b 0
分块的系数矩阵可用表格形式表示为
基变量XB XN I 0 B-1N CN－CBB-1N 非基变量 XS B-1 －CBB-1 b －CBB-1b
σ6，σ7不用计算
σj中仍有不大于0的分量，故xB2不是最优解
22
步3：max(σ1>0)=1，k=1，故x1为换入变量。 计算x1的系数列向量 1 3 步4：计算θ θ=min｛12/3,－，－｝=4，L=1， 则x4为换出变量。a11=3为主元素。 新的基变量为（x1,x2,x3） CB3=(3,-1,-1) B3=(P1,P2,P3)
计算B0-1=B0=I
得初始解
11 11 1 x B 0 B 0 b I 3 3 , x N 0 0 1 1
计算单纯形乘子
1 Y0 CB0 B0
(0,M ,M ) I (0,M ,M ) 13
18
转步2：计算非基变量检验数
1 1 C1 Y1 P 3 (0, M ,2 M 1) 4 1 1 2 2 2 C 2 Y1 P2 1 (0, M ,2 M 1) 1 1 M 1
计算新基可行解
1 0 1 11 10 x B1 b1 B11 b 0 1 2 3 1 0 0 1 1 1
计算单纯形乘子
Y1 CB1 B11 (0,M ,M ) B11 (0,M ,2M 1)
10
例1：试用改进单纯形法求解下述问题
minZ=－3x1+x2+x3
x1 2 x 2 x3 11 4 x x 2 x 3 1 2 3 2 x1 x3 1 x1 , x 2 , x3 0
11
解：步1 化标准形式，求初始解
maxZ′=3x1－x2－x3－Mx6－Mx7
5
0 C 5 Y1 P5 0 (0, M ,2 M 1) 1 M 0
因人工变量旋出后，一般不会再旋入，故不用计算σ7。 因σj中有大于零的分量，xB1不是最优解。
19
转步3：max(σ 1>0，σ 2>0)=σ 2，k=2， 故x2为换入变量，计算x2的系数列向量
X5=（xn+1,xn+2,…xn+m）T以后得到标准型
2
maxZ=CX+0X
AX IX S b X 0, X S 0
这里I是m×m阶单位矩阵
设B是一个可行基，也称为基矩阵 于是可将系数矩阵A分为两块A=（B，N） 这里N是非基向量构成的矩阵 对应于B的变量xB1,xB2,…,xBm是基变量 用向量XB=（xB1,xB2,…,xBm）T表示 其它的为非基变量。则
23
B2 1 P1 B2 1 4 0 2 2
步5：写出E11矩阵 步6：计算
B31
1 / 3 0 0 E11 0 1 0 2 / 3 0 1
1 / 3 2 / 3 5 / 3 B31 E11 B21 0 1 2 2 / 3 4 / 3 7 / 3
min( / 1,3 / 2,1 / 1) 1 11
L=3，可知x7为换出变量。a33=1为主元素。
新的基变量为（x4,x6,x3）T CB1=(0,-M,-1)
B1=(P4,P6,P3)
16
步5：写出E33矩阵 Elk（l，k表示主元素的位置）
E33 1 0 1 0 1 0 1 2 1
步2：计算非基变量的检验数
1
1 C1 Y0 P 3 (0, M , M ) 4 3 6 M 1 2 2 C1 Y0 P2 1 (0, M , M ) 1 1 M 0 1 C 3 Y0 P3 1 (0, M , M ) 2 1 3M 1 0 C 5 Y0 P5 0 (0, M , M ) 1 M 0
E22 1 0 0 2 1 0 0 0 1
步6：计算 B21
1 2 5 B2 1 E 22 B11 0 1 2 0 0 1
21
计算新的基可行解
11 12 x B 2 b2 B2 1 b B2 1 3 1 1 1
计算单纯形乘子及检验数
Y2 C B 2 B2 2 (0,1,1) B2 1 (0,1,1)
1 1 C1 Y2 P1 3 (0,1,1) 4 1 2 0 5 C5 Y2 P5 0 (0,1,1) 1 1 0
计算新的基可行解
11 4 x B3 B31 b B31 3 1 1 9 Y3 C B3 B31 (3,1,1) B31 (1 / 3,1 / 3,2 / 3)
24
转步2：计算非基变量检验数
2 2 1 1 1 B1 P2 B1 1 0 0
20
步4：计算θ
θ=min｛-1/1,－｝=1，可知L=2，对应x6为换出变量， 主元素a22=1 新的基变量为（x4,x2,x3）T，CB2=(0,-1,-1) B2=(P4,P2,P3)
x1 2 x 2 x3 x 4 11 4 x x 2 x x x 3 1 2 3 5 6 2 x1 x3 x 7 1 x1 , x 2 , 变量(x4,x6,x7)T，CB0=(0,－M,－M) 初始基矩阵 1 0 0 B0 ( P4 , P6 , P7 ) 0 1 0 I 0 0 1
9
上述表格即为迭代后的计算表
2.改进单纯形法
前面我们已经熟悉了单纯形法的表格计算方法，这是求解线性规划问题的一 般的通用方法。但用这种方法求解具体问题时，发现在每次迭代过程中不必 要的计算了很多无用的数字，影响了计算效率。从计算机计算的角度来徇， 单纯形法也不是一个很经济的算法，需要计算的数字多，并且要占有大量的 计算机存储容量。这样就导致了改进单纯形法的出现。改进单纯形法是但泽 在1953年研究出来的，其基本步骤与单纯形法大致相同，最主的区别在于每 次迭代中不再以矩阵的行初等变换为基础，而是每次都从原始数据求得迭代 的结果。这样就减少了每次迭代中积累起来的误差，既提高了计算的精度， 又减少了计算机的存储容量。 我们知道，单纯形法的迭代过程实质上是从一组基到另一组基的变换，变 换一组基，得到一个新的表。根据矩阵理论，每当基变量确定后，要想得到 新的表，可以有两种方法，一是矩阵的初等行变换；二是由原始数据直接得 到即把这个基变量在初始单纯形表中相应列的系数矩阵的逆矩阵求出来，则 新表中的列都可由这个逆矩阵左乘原来的列得到。而为了确定一组新的基， 关键是要找出换入变量和换出变量，找换入变量是通过求所有非基变量列的 检验数，从中找出最大的正检验数来确定。在找出换入变量后，根据θ规则确 定换出变量。而每次迭代中真正有用的数字是b列数字，基的逆矩阵，非基变 量的检验数以及最大正检验数对应的非基变量的系数列向量。
XB x X N
3
这时C也分为两块（CB，CN） 其中CB是目标函数中基变量向量XB的系数行向量； CN是目标函数中非基变量向量XN的系数行向量。
XB X ( A, I ) ( B, N , I ) X N BX B NX N IX S X s XS XB X (C ,0) (C B , C N ,0) X N C B X B C N X N 0 X S X s XS
2
3
5
14
步3：
max(σ2>0,σ3>0)=σ3，k=3对应x3为换入变量 计算x3的系数列向量a3
1 1 a3 B0 1 P3 I 2 2 I 1
a3有大于零的分量，故该题有解。
15
步4：计算θ
本章内容重点
线性规划的对偶问题概念、理论
及经济意义 线性规划的对偶单纯形法 线性规划的灵敏度分析
1
2.1单纯形法的矩阵表示
现在介绍用矩阵来描述单纯形法的整个计算过程 它将有助于加深对单纯形法的理解、研究改进单纯形法、对偶理论等
设线性规划问题
maxZ=CX
AX b X 0
给这个规划问题的约束条件中加入松驰变量
4
maxZ=CBXB+CNXN+0XS
BX B NX N IX S b X B , X N , X S 0 (4.5)
将式（4.5）移项后得到 BXB=b－NXN－IXS 上式左乘B-1后，得到XB的表达式 XB=B-1b－B-1NXN－B-1XS 上式代入目标函数，得到 Z=CBB－1b+(CN－CBB-1N)XN－CBB-1XS
5
令非基变量XN=0，XS=0，得到一个基可行解
1 X B B b 0 (1) X X N XS 0
目标函数取值 Z=CBB-1b
6
1、非基变量的系数CN－CBB-1N与－CBB-1 就是第一章中用符号Cj－Zj(j=1,2,…,n)表示的检验数。 因为xB的系数是0，
这里（B-1b)i是向量（B-1b）中第i个元素。 （B-1Pj)i是向量（B-1Pj）中第i个元素。
8
3、单纯形表 初始单纯形表
初始非基变量
X=（XB，XN）T
（B，N） (cB，cN)
初始基变量 XS I 0 b 0
分块的系数矩阵可用表格形式表示为
基变量XB XN I 0 B-1N CN－CBB-1N 非基变量 XS B-1 －CBB-1 b －CBB-1b
σ6，σ7不用计算
σj中仍有不大于0的分量，故xB2不是最优解
22
步3：max(σ1>0)=1，k=1，故x1为换入变量。 计算x1的系数列向量 1 3 步4：计算θ θ=min｛12/3,－，－｝=4，L=1， 则x4为换出变量。a11=3为主元素。 新的基变量为（x1,x2,x3） CB3=(3,-1,-1) B3=(P1,P2,P3)
计算B0-1=B0=I
得初始解
11 11 1 x B 0 B 0 b I 3 3 , x N 0 0 1 1
计算单纯形乘子
1 Y0 CB0 B0
(0,M ,M ) I (0,M ,M ) 13
18
转步2：计算非基变量检验数
1 1 C1 Y1 P 3 (0, M ,2 M 1) 4 1 1 2 2 2 C 2 Y1 P2 1 (0, M ,2 M 1) 1 1 M 1
计算新基可行解
1 0 1 11 10 x B1 b1 B11 b 0 1 2 3 1 0 0 1 1 1
计算单纯形乘子
Y1 CB1 B11 (0,M ,M ) B11 (0,M ,2M 1)
10
例1：试用改进单纯形法求解下述问题
minZ=－3x1+x2+x3
x1 2 x 2 x3 11 4 x x 2 x 3 1 2 3 2 x1 x3 1 x1 , x 2 , x3 0
11
解：步1 化标准形式，求初始解
maxZ′=3x1－x2－x3－Mx6－Mx7
5
0 C 5 Y1 P5 0 (0, M ,2 M 1) 1 M 0
因人工变量旋出后，一般不会再旋入，故不用计算σ7。 因σj中有大于零的分量，xB1不是最优解。
19
转步3：max(σ 1>0，σ 2>0)=σ 2，k=2， 故x2为换入变量，计算x2的系数列向量
X5=（xn+1,xn+2,…xn+m）T以后得到标准型
2
maxZ=CX+0X
AX IX S b X 0, X S 0
这里I是m×m阶单位矩阵
设B是一个可行基，也称为基矩阵 于是可将系数矩阵A分为两块A=（B，N） 这里N是非基向量构成的矩阵 对应于B的变量xB1,xB2,…,xBm是基变量 用向量XB=（xB1,xB2,…,xBm）T表示 其它的为非基变量。则
23
B2 1 P1 B2 1 4 0 2 2
步5：写出E11矩阵 步6：计算
B31
1 / 3 0 0 E11 0 1 0 2 / 3 0 1
1 / 3 2 / 3 5 / 3 B31 E11 B21 0 1 2 2 / 3 4 / 3 7 / 3
min( / 1,3 / 2,1 / 1) 1 11
L=3，可知x7为换出变量。a33=1为主元素。
新的基变量为（x4,x6,x3）T CB1=(0,-M,-1)
B1=(P4,P6,P3)
16
步5：写出E33矩阵 Elk（l，k表示主元素的位置）
E33 1 0 1 0 1 0 1 2 1
步2：计算非基变量的检验数
1
1 C1 Y0 P 3 (0, M , M ) 4 3 6 M 1 2 2 C1 Y0 P2 1 (0, M , M ) 1 1 M 0 1 C 3 Y0 P3 1 (0, M , M ) 2 1 3M 1 0 C 5 Y0 P5 0 (0, M , M ) 1 M 0