江苏省南京市高三二模数学试卷
高考数学模拟试题与解析-南京市二模2023届高三数学 答案
南京市2023届高三年级第二次模拟考试数学参考答案2023.05一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．B2．C3．B4．A5．C6．D7．A8．D二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．9．BD10．AB11．BCD12．ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．114．x 23(α＝p q ，其中p 为偶数，p q 为既约分数，0＜pq＜1)15．5916．17；6717．（本小题满分10分）已知f (x )＝sin ωx －3c os ωx ，ω＞0．（1）若函数f (x )图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2，求f (3π2)的值；（2）若函数f (x )的图象关于(π3，0)对称，且函数f (x )在[0，π4]上单调，求ω的值．解：(1)f (x )＝sin ωx －3c os ωx ＝2(12sin ωx －32cos ωx )＝2sin(ωx －π3)．························1分（①f (x )＝-2cos(ωx ＋π6)以下得分段相同；②化简错误或不化简此段不给分，以下按照对应分数段给分。
）因为函数f (x )图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π，则2π|ω|＝π，ω＞0，故ω＝2，·····················2分所以f (x )＝2sin(2x －π3)，则f (3π2)＝2sin(3π－π3)＝2sin π3＝3．·······················································1分(2)因为函数f (x )的图象关于(π3，0)对称，所以2sin(ω·π3－π3)＝0，即sin(π3ω－π3)＝0，所以π3ω－π3＝k π，即ω＝3k ＋1，k ∈Z ．···················································2分当x ∈[0，π4]，则ωx －π3∈[－π3，ωπ4－π3]．因为函数f (x )在[0，π4]上单调，所以ωπ4－π3≤π2，则ω≤103，故0＜ω≤103．···················································································2分由0＜3k ＋1≤103，解得－13＜k ≤79．又k ∈Z ，所以k ＝0，所以ω＝1．······················································································2分（①利用T 2＞π4，得0＜ω≤4，也可得2分；②ω＝1或4，若未说明单调性舍解则扣1分）解：（1）方法1因为(n －2)S n ＋1＋2a n ＋1＝nS n ，所以(n －2)S n ＋1＋2(S n ＋1－S n )＝nS n ，即nS n ＋1＝(n ＋2)S n ，··············································································2分所以S n ＋1S n ＝n ＋2n.当n ≥2时，S n ＝S n S n －1·S n －1S n －2····S 2S 1·S 1＝n ＋1n －1·n n －2·n －1n －3···42·31×2＝n (n ＋1)．又n ＝1时，上式也成立，所以S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．····································2分当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n .又n ＝1时，上式也成立，所以a n ＝2n (n ∈N *)．··············································································2分【注】若n ＝1两次都不检验，扣1分，检验一次不扣分．方法2因为(n －2)S n ＋1＋2a n ＋1＝nS n ，所以n (S n ＋1－S n )－2(S n ＋1－a n ＋1)＝0，所以2S n ＝na n ＋1，①···············································································2分所以当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n ，②①－②得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n (n ≥2)，即(n ＋1)a n ＝na n ＋1(n ≥2)，········································································2分所以a n ＋1a n ＝n ＋1n(n ≥2)，在①中令n ＝1得2a 1＝a 2，又a 1＝2，所以a 2＝4，所以当n ≥3时，a n ＝a n a n －1.a n －1a n －2...a 3a 2.a 2＝n n －1.n －1n －2 (3)24＝2n ，又n ＝1和2时，上式也成立，所以a n ＝2n (n ∈N *).···············································································2分【注】若没求出a 2＝4，扣1分．方法3因为(n －2)S n ＋1＋2a n ＋1＝nS n ，所以n (S n ＋1－S n )－2(S n ＋1－a n ＋1)＝0，所以2S n ＝na n ＋1，①···············································································2分所以当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n ，②①－②得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n (n ≥2)，即(n ＋1)a n ＝na n ＋1(n ≥2)，········································································2分所以a n ＋1a n ＝n ＋1n (n ≥2)，即11n n a a n n+=+，在①中令n ＝1得2a 1＝a 2，又a 1＝2，所以a 2＝4，则12212n n a a an n -====- ，故a n ＝2n (n ≥2)又n ＝1和2时，上式也成立，所以a n ＝2n (n ∈N *).···············································································2分【注】若没求出a 2＝4，扣1分．法4：因为(n －2)S n ＋1＋2a n ＋1＝nS n ，①所以当n ≥2时，(n －3)S n ＋2a n ＝(n －1)S n －1，②①－②得(n －2)S n ＋1－(2n －3)S n ＋(n －1)S n －1＋2a n ＋1－2a n ＝0，即(n －2)(S n ＋1－S n )－(n －1)(S n －S n －1)＋2a n ＋1－2a n ＝0，……………………………2分即(n －2)a n ＋1－(n －1)a n ＋2a n ＋1－2a n ＝0，即na n ＋1＝(n ＋1)a n (n ≥2).……………………………………………………………2分以下同法2或法3.法5：因为(n －2)S n ＋1＋2a n ＋1＝nS n ，所以(n －2)S n ＋1＋2(S n ＋1－S n )＝nS n ，所以nS n ＋1＝(n ＋2)S n ，……………………………………………………………2分所以S n ＋1n ＋2＝S n n ，所以S n ＋1(n ＋1)(n ＋2)＝S n n (n ＋1)，所以{S nn (n ＋1)}是常数列，所以S n n (n ＋1)＝S 12＝1，即S n ＝n (n ＋1).…………………………………2分所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n .又n ＝1时，上式也成立，所以a n ＝2n (n ∈N *).…………………………………2分【注】若n ＝1不检验，扣1分．（2）由（1）知1a 12＋1a 22＋…＋1a n 2＝14×(112＋122＋…＋1n 2)．方法1因为当n ≥2时，1n 2＜1n 2－1=1n －1－11n +．·······································2分当n ≥2时，112＋122＋132＋…＋1n 2＜112＋122－1＋132－1＋…＋1n 2－1＝1＋12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－11n +)····················2分＝1＋12(1＋12－1n －1n ＋1)＜74，当n ＝1时，上式也成立，故112＋122＋132＋…＋1n 2＜74，所以1a 12＋1a 22＋···＋1a n 2＜716．···································································2分方法2因为1n 2＜1n (n －1)＝1n －1－1n (n ≥2)，···························································2分当n ≥3时，112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋14＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1－1n)····························2分＝1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74，当n ＝1，2时，上式也成立，故112＋122＋132＋…＋1n 2＜74，所以1a 1＋1a 2＋···＋1a n ＜716．······································································2分方法3因为2211111()44122121n n n n <=---+．················································2分当n ≥2时，22212111n a a a ++ <111111114235572121n n ⎛⎫+-+-++- -+⎝⎭ =111151542321122112n n ⎛⎫+-=-< ⎪++⎝⎭·································2分因为571216<，当n ＝1时，1a 12＝14＜716成立.所以1a 12＋1a 22＋···＋1a n 2＜716．···································································2分法4：因为当n ≥2时，1n 2＝44n 2＜44n 2－1＝2(12n －1－12n ＋1)，……………………2分所以1a 12＋1a 22＋…＋1a n 2＜14[1＋2(13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1)]………………2分＝14[1＋2(13－12n ＋1)]＜512＜716.当n ＝1时，1a 12＝14＜716成立.综上，对一切正整数n ，有1a 12＋1a 22＋···＋1a n 2＜716．……………………………2分补充说明：第二问放缩式子的2分没单独写出来，写在和式中，仍然得2分；后面n ＝1不检验不扣分。
江苏省南京市、盐城市2022届高三下学期二模数学试题
一、单选题二、多选题1. 在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，，则（ ）A．B．C．D．2. 已知抛物线的焦点为F ，P 是C 第一象限上一点，以P 为圆心的圆过点F 且与直线相切，若圆P 的面积为，则圆P 的方程为（ ）A．B．C．D．3. 已知向量，，且，则（ ）A ．0B．C．D．4. 若函数的定义域为， 且为偶函数，关于点成中心对称， 则下列 说法正确的是（ ）A．的一个周期为B．C．的一条对称轴为D．5.将五个，五个，五个，五个，五个共个数填入一个行列的表格内（每格填入一个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过，考查每行中五个数之和，记这五个和的最小值为，则的最大值为（ ）．A．B．C．D．6. 在正方体中，O 为底面的中心，E为的中点，若该正方体的棱长为2，则下列结论正确的是（ ）．A ．平面BDEB ．平面C ．平面平面D ．三棱锥的外接球体积为7. 设，分别是两个等差数列，的前n 项和．若对一切正整数n，恒成立，（ ）A．B．C．D．8. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9. 在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线的焦点的直线l 与该抛物线的两个交点为，，则（ ）A．B ．以AB 为直径的圆与直线相切C ．的最小值江苏省南京市、盐城市2022届高三下学期二模数学试题江苏省南京市、盐城市2022届高三下学期二模数学试题三、填空题四、解答题D ．经过点B 与x 轴垂直的直线与直线OA 交点一定在定直线上10. 某市组织2022年度高中校园足球比赛，共有10支球队报名参赛.比赛开始前将这10支球队分成两个小组，每小组5支球队，其中获得2021年度冠、亚军的两支球队分别在第一小组和第二小组，剩余8支球队抽签分组.已知这8支球队中包含甲、乙两队，记“甲队分在第一小组”为事件，“乙队分在第一小组”为事件，“甲、乙两队分在同一小组”为事件，则（ ）A．B．C．D ．事件与事件相互独立11. 6个相同的分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．记第一次取出球的数字为，第二次取出球的数字为．设，其中表示不超过X 的最大整数，则（ ）A．B．C ．事件“”与“”互斥D ．事件“”与“”对立12. 下列说法中正确的是（ ）A ．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17B．若随机变量，且，则．C ．袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从袋中不放回的依次抽取2个球．记事件第一次抽到的是白球，事件第二次抽到的是白球，则D ．已知变量、线性相关，由样本数据算得线性回归方程是，且由样本数据算得，，则13. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为__________．14. 已知平面向量，则向量与的夹角为__________.15. 已知菱形的边长为2，E 是的中点，则__________．16.已知抛物线，点，为抛物线上的动点，直线为抛物线的准线，点到直线的距离为，的最小值为5．(1)求抛物线的方程；(2)直线与抛物线相交于，两点，与轴相交于点，当直线，的斜率存在，设直线，，的斜率分别为，，，是否存在实数，使得，若存在，求出；若不存在，说明理由．17. 某次运动会要从甲、乙两位射击选手中选出名选手参加比赛，甲、乙两位射击选手分别射击了次，所得的成绩（环数）如下表：甲56799910乙46578109（1）分别写出甲选手成绩（环数）的众数和乙选手成绩（环数）的中位数；（2）分别求出甲、乙两位选手成绩（环数）的平均数；（3）根据（2）问数据，你认为选哪一位选手参加比赛更合适，并说明理由．18. 如图1，在四边形ABCD 中，，，AE =BE =2CD =2，.将四边形AECD 沿AE 折起，使得，得到如图2所示的几何体.(1)若G为AB的中点，证明：平面ABE；(2)若F为BE上一动点，且二面角的余弦值为，求的值.19. 已知.（1）求函数的单调递增区间；（2）若，求的值域.20. 已知函数（，）的图象关于对称，且在区间上单调递增.（1）求函数的解析式；（2）若，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的倍得到的图象.当时，求的值域.21. 根据某种病毒的变异发展实际，某地防控措施有了重大调整．其中，老人是否接种疫苗备受关注，为了了解某地区老人是否接种了疫苗，现用简单随机抽样的方法从该地区调查了500名老人，结果如下：性别男女接种情况未接种2010已接种230240(1)估计该地区老人中，已接种疫苗的比例；(2)能否有99%的把握认为该地区的老人是否接种疫苗与性别有关？附：（参考公式：，其中）。
江苏省南京十校下学期2025届高三第二次模拟考试数学试卷含解析
江苏省南京十校下学期2025届高三第二次模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ）A ．12B ．3C ．2D ．22．已知集合{|A x y ==，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( )A ．AB A =B ．A B B ⋃=C ．()UA B =∅ D ．UB A ⊆3．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（ ）. A ．432B ．576C ．696D ．9604．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B R = C ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅5．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A ．48B ．72C ．90D ．966．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若312S a S +=，46a =，则5S =（ ）A ．5B ．10C ．15D ．207．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P --，则tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．247-B ．1731-C ．247D ．17318．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点1x ，2x 满足121x x -=，则下列区间中存在极值点的是（ ） A ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭9．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A ．—1B ．—3C ．1D ．210．已知函数2()(2)g x f x x =+为奇函数，且(2)3f =，则(2)f -=（ ） A ．2B ．5C ．1D ．311．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ） A ．35B ．45-C ．45D ．3512．已知函数13()sin cos 22f x x x =+，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南京市第一中学2024届高三二模数学试题
江苏省南京市第一中学2024届高三二模数学试题一、单选题1．已知集合{}220A x x x =∈-≤Z ，则A 的子集个数为（ ）A ．4B ．7C ．8D ．162．下列命题中，真命题的是（ ）A ．若a b >，则ac bc >B ．若a b >，则22a b >C ．若22ac bc ≥，则a b ≥D ．若22a b +=，则244a b +≥ 3．复数()31i +在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知随机事件A ，B 发生的概率分别为()0.5P A =，()0.4P B =，则下列说法正确的是（ ）A ．若()0.9P AB =，则A ，B 相互独立B ．若A ，B 相互独立，则()0.6P A B =C ．若()0.5P A B =，则()0.25P AB =D ．若B A ⊆，则()0.8P B A =5．已知向量,,a b c r r r 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()c b a ⋅-=r r r （ ）A ．4B ．1C ．1-D ．4-6．某单位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天．若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天，丙不安排在5月3日，则不同的安排方案共有（ ） A ．42种 B ．40种 C ．36种 D ．30种7．已知圆22:(1)9C x y -+=，直线:0l x y m ++=，P 为直线l 上的动点．过点P 作圆C 的切线PM ，PN ，切点为M ，N ．若使得四边形PMCN 为正方形的点P 有且只有一个，则正实数m =（ ）A ．1B ．C ．5D ．7 8．已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,2π上有且仅有4个零点，直线π6x =为函数()y f x =图象的一条对称轴，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．12-C ．12 D二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．若随机变量X ，Y 满足21Y X =+，则()2()1D Y D X =+B ．若随机变量()2~3,X N σ，且(6)0.84P X <=，则(36)0.34P X <<=C ．若线性相关系数r 的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关程度越强D ．按从小到大排序的两组数据：甲组：27，30，37，m ，40，50；乙组：24，n ，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则70m n += 10．如图，在边长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱B 1C 1，C 1D 1的中点，P 是正方形A 1B 1C 1D 1内的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．若DP ∥平面CEF ，则点P 的轨迹长度为B ．若AP P 的轨迹长度为2πC ．若AP AP 与平面CEFD ．若Р是棱A 1B 1的中点，则三棱锥P CEF -的外接球的表面积是41π11．已知函数()()3cos f x x ωϕ=+（0ω>，0πϕ<<）的图象既关于点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，也关于直线3π4x =轴对称，且()f x 在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，则ω的值可能是（ ） A ．25B ．65C ．2D ．145三、填空题12．已知向量a r ，b r 满足24a b ==r r ，且25a b -=r r ，则向量a r ，b r 夹角的余弦值是.13．甲、乙等5人参加A ，B ，C 这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，若甲，乙不参加同一项活动，且只有1人参加A 活动，则他们参加活动的不同方案有种.14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M 与两个定点A ，B 的距离之比为常数λ（0λ>，1λ≠），则点M 的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知()()1,0,0,1A B -，M 是平面内一动点，且MA MB=则点M 的轨迹方程为.若点Р在圆22:(2)36C x y -+=上，则2PA PB +的最小值是.四、解答题15．已知 a n 是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且125,,a a a 成等比数列.(1)求数列 a n 的通项公式；(2)设22,1,n a n n n n b n a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列 b n 的前2n 项和2n T . 16．ChatGPT 是AI 技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT 人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的75%分位数：(2)将年龄不超过（1）中75%分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民.（i ）完成下列22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？（ii ）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率.参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++． 参考数据：17．如图，在三棱锥P ABC -中，,AB BC PB PC ⊥=，N 为PC 的中点，M 为ABC V 内部一点且PM ⊥平面ABC ．(1)证明：//MN 平面PAB ；(2)若2241AB BC PB PM ====,，求二面角B MN P --的余弦值． 18．已知函数()()ln ,1,f x mx x x ∞=-∈+.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()()112e m x f x x x -+≥-恒成立，求实数m 的取值范围.19．已知椭圆()222103x y a a Γ+=>：的右焦点为()10F ,，过点F 且不垂直于坐标轴的直线交Γ于,A B 两点，Γ在,A B 两点处的切线交于点Q ．(1)求证：点Q 在定直线上，并求出该直线方程；(2)设点M 为直线OQ 上一点，且AB AM ⊥，求AM 的最小值．。
江苏省南京市2023届高三二模数学试题(1)
一、单选题1. 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别为线段AC 1，CB 1上的动点，且，则以下结论错误的是（ ）A ．MN //平面ABCDB ．平面MNC 1⊥平面BB 1C 1CC ．∃k ∈（0，+∞），使得MN ⊥平面BB 1C 1CD ．∃k ∈（0，+∞），使得MN //平面AA 1B 1B2. 如果圆台的母线与底面成角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（ ）A．B．C．D．3. 已知直线过圆的圆心，当原点到直线距离最大时，直线的方程为（ ）A．B．C．D．4. 已知函数，其中，给出四个结论：①函数是最小正周期为的奇函数；②函数的图象的一条对称轴是；③函数图象的一个对称中心是；④函数的递增区间为.则正确结论的个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5. 已知函数()，的图象不可能是（ ）A．B．C．D．6.已知是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则函数在区间上的所有零点之和为A．B．C．D．7.如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，与交于点，，的中点为，的中点为，则下列结论不正确的是（）A ．直线平面B ．直线平面C ．平面平面D ．直线与直线所成的角为江苏省南京市2023届高三二模数学试题(1)江苏省南京市2023届高三二模数学试题(1)二、多选题三、填空题8. 已知变量，满足则的取值范围是A．B．C．D．9. 已知函数.若函数的图像的任意一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值可能是（ ）A．B．C．D．10. 已知函数的部分图象如图所示，则（）A．B．在区间上单调递增C．将函数图象上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象D．函数的零点个数为711. 如图，在下列四个正方体中，A 、B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（ ）A．B．C．D．12.定义在上的函数满足，当时，，其中表示不大于的最大整数.关于有下述四个结论，其中错误的是（ ）A．是单调递减函数B．在上恒成立C ．方程有且仅有一个解D ．的值域为13.已知向量满足，与的夹角为，则________．14. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的最小正周期为________，________.四、解答题15. 已知椭圆C ：的左焦点为，为椭圆C 上任意一点，则的最小值为______．16. 如图，已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，高为2，底面半径为2．(1)求该圆锥的侧面积；(2)设OA 、OB 为该圆锥的底面半径，且∠AOB ＝，M 为线段AB 的中点，求直线PM 与直线OB 所成的角的正切值，17. 在中，角所对边分别为，已知：(1)求；(2)已知，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，并求的面积.①；②；③.18. 已知函数，若在区间内有且只有一个实数，使得成立，则称函数在区间内具有唯一零点.（1）判断函数在区间内是否具有唯一零点，说明理由：（2）已知向量，，，证明在区间内具有唯一零点.（3）若函数在区间内具有唯一零点，求实数的取值范围.19. 如图，四棱锥P-ABCD 的底面是正方形，PD 面ABCD ，E 是PD 上一点.（1）求证：AC BE.（2）若PD=AD=1，且的余弦值为，求三棱锥E-PBC 的体积.20. 已知，.(1)求函数的增区间；(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围，并说明理由；(3)设正实数，满足，当时，求证：对任意的两个正实数，总有.(参考求导公式：)21. 2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，中央广播总台面向全球进行现场直播．此次授课活动采取天地对话方式进行，由航天员在轨演示太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验，介绍与展示空间科学实施，皆在传播普及空间科学知识，激发广大青年不断追寻“科学梦”实现“航天梦”的热情．某校组织在校中学生观看学习“天宫课堂”，并对其中500名学生进行了一次“飞天宇航梦”的调查，得到如下的两个等高条形图，其中被调查的男女学生比例为3：2．(1)求m，n的值（结果用分数表示）；(2)完成以下表格，并根据表格数据判断能否有的把握认为学生性别和有飞天宇航梦有关?有飞天宇航梦无飞天宇航梦合计男女合计(3)在抽取的样本女生中，按有无飞天宇航梦用分层抽样的方法抽取5人．若从这5人中随机抽取3人进一步调查，求抽到有飞天宇航梦的女生人数X的分布列及数学期望．附表：0.1500.1000.0500.0250.0102.072 2.7063.841 5.024 6.635．。
江苏省南京市2023届高三年级第二次模拟考试数学试题(解析版)
南京市2023届高三年级第二次模拟考试数学2023.05注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第I 卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．集合A ＝{x ∈N |1＜x ＜4}的子集个数为A ．2B ．4C ．8D ．162．已知复数z 满足i z ＝2－i ，其中i 为虚数单位，则―z 为A ．－1－2iB ．1＋2iC ．－1＋2iD ．1－2i3．在△ABC 中，角A ，B ，c 的对边分别为a ，b ，c ．若b sinA ＋B 2＝c sin B ，则角C 的大小为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6所以cos C 2＝2sin C 2cos C 2，所以sin C 2＝12，则C 2＝π6，解得C ＝π3，故答案选B ．4．在运动会中，甲、乙、丙参加了跑步、铅球、标枪三个项目，每人参加的比赛项目不同．已知：①乙没有参加跑步；②若甲参加铅球，则丙参加标枪；③若丙没有参加铅球，则甲参加铅球．下列说法正确的为A．丙参加了铅球B．乙参加了铅球C．丙参加了标枪D．甲参加了标枪5．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生即太极生两仪原理，如图所示(图中●表示太极，表示◖阳仪，◗表示阴仪)．若数列的每一项都代表太极衍生过程中经历过的两仪数量总和，即a1为天一对应的经历过的两仪数量总和0，a2为衍生到地二时经历过的两仪数量总和2，a3为衍生到天三时经历过的两仪数量总和4，…，按此规律，则a15为大衍图(第5题图)A．84B．98C．112D．1286．直角三角形ABC 中，斜边AB 长为2，绕直角边AC 所在直线旋转一周形成一个几何休，若该几何体外接球表面积为16π3，则AC 长为A ．32B ．1C ．2D ．37．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F 为其左焦点，直线y ＝kx (k ＞0)与椭圆C 交于点A ，B ，且AF ⊥AB ．若∠ABF ＝30°，则椭圆C 的离心率为A ．73B ．63C ．76D ．66BF ＝2BM ＝4t ，8．已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f′(x)．若对任意x∈R有f′(x)＞1，f(1＋x)＋f(1－x)＝0，且f(0)＝－2，则不等式f(x－1)＞x－1的解集为A．(0，＋∞)B．(1，＋∞)C．(2，＋∞)D．(3，＋∞)二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．9．在(x －2x)n 的展开式中A ．常数项为160B ．含x 2项的系数为60C ．第4项的二项式系数为15D ．所有项的系数和为110．若实数x ，y 满足x 22－y 2＝1，则A ．|x |≥2B ．x 2＋y 2≥2C ．y x ＜12D ．|x －2y |≤211．已知函数f (x )＝|e x －a |，a ＞0．下列说法正确的为A ．若a ＝1，则函数y ＝f (x )与y ＝1的图象有两个公共点B ．若函数y ＝f (x )与y ＝a 2的图象有两个公共点，则0＜a ＜1C ．若a ＞1，则函数y ＝f (f (x ))有且仅有两个零点D ．若y ＝f (x )在x ＝x 1和x ＝x 2处的切线相互垂直，则x 1＋x 2＝012．已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AA1＝AB，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，则A．点A1在平面ABCD内的射影在AC上B．AC1⊥平面A1BDC．AC1与平面A1BD的交点是△A1BD的重心D．二面角B1－BD－C的大小为45°第II卷(非选择题共90分)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．13．若直线x－2y＋a＝0被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则实数a的值为▲．14．幂函数f(x)＝xα(α∈R)满足：任意x∈R有f(－x)＝f(x)，且f(－1)＜f(2)＜2，请写出符合上述条件的一个函数f(x)＝▲．15．一个袋子中有n(n∈N*)个红球和5个白球，每次从袋子中随机摸出2个球．若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率记为p(n)，则p(n)的最大值为▲．16．大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(如图1)．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC为正三角形，AD，BE，CF围成的△DEF也为正三角形．若D为BE的中点，①△DEF与△ABC的面积比为▲；②设→AC，则λ＋μ＝▲．(第一空2分，第二空3分)AD＝λ→AB＋μ→(图1)(图2)四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知f (x )＝sin ωx －3cos ωx ，ω＞0．(1)若函数f (x )图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2，求f (3π2)的值；(2)若函数f (x )的图象关于(π3，0)对称，且函数f (x )在[0，π4]上单调，求ω的值．【解析】18．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，(n －2)S n ＋1＋2a n ＋1＝nS n ，n ∈N *．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：1a 12＋1a 22＋…＋1a n 2＜716．【解析】19．(本小题满分12分)在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AB＝22，AD＝DC＝2，如图1．现将△ADC 沿对角线AC折成直二面角P－AC－B，如图2，点M在线段BP上．(1)求证：AP⊥CM；(2)若点M到直线AC的距离为255，求BMBP的值．(图1)(图2)【解析】20．(本小题满分12分)进行独立重复试验，设每次成功的概率为p (0＜p ＜1)，则失败的概率为1－p ，将试验进行到恰好出现r 次成功时结束试验，以X 表示试验次数，则称X 服从以r ，p 为参数的帕斯卡分步或负二项分布，记为X ~N B (r ，p )．(1)若X ~N B (3，13)，求P (X ＝5)；(2)若X ~N B (2，12)，n ∈N *，n ≥2．①求∑ni ＝2P (X ＝i )；②要使得在n 次内结束试验的概率不小于34，求n 的最小值．【解析】21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝a x－1－log a x，a＞1．(1)若a＝e，求证：f(x)≥1；(2)若关于x的不等式f(x)＜1的解集为集合B，且B (1a，a)，求实数a的取值范围．【解析】22．(本小题满分12分)已知抛物线C1：y2＝x和圆C2：(x－3)2＋y2＝2．(1)若抛物线C1的准线与x轴相交于点T，MN是过C1焦点F的弦，求→TM·→TN的最小值；(2)已知P，A，B是抛物线C1上互异的三个点，且P点异于原点．若直线PA，PB被圆C2截得的弦长都为2，且PA＝PB，求点P的坐标．【解析】。
2023届江苏省南京市、盐城市高三第二次模拟考试数学卷(含解析)
南京市、盐城市2023届高三年级第二次模拟考试数学2023.3第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题；本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.设,2k M x x k ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，1,2N x x k k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，则A.M NÞ B.N MÞ C.M N= D.M N ⋂=∅2.若()()()()1R f x x x x a a =++∈为奇函数，则a 的值为A.-1B.0C.1D.-1或13某种品牌手机的电池使用寿命X （单位：年）服从正态分布()()24,0N σσ>，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为A.0.9B.0.7C.0.3D.0.14.已知函数()()()sin 20f x x ϕϕπ=+<<的图象关于直线6x π=对称，则ϕ的值为A.12π B.6π C.3π D.23π5.三星堆古遗址作为“长江文明之源"，被誉为人类最伟大的考古发现之一.3号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据.玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12cm ，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O 上，则球O 的表面积为A.272cmπ B.2162cmπ C.2216cmπ D.2288cmπ6.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知1122n n S S +=+，*N n ∈，则6S =A.312B.16C.30D.6327.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的两条弦AB ，CD 相交于点P （点P 在第一象限），且AB x ⊥轴，CD y⊥轴.若:::1:3:1:5PA PB PC PD =，则椭圆E 的离心率为A.5B.5C.5D.58.设,a b ∈R ，462baa=-，562abb=-，则A.1a b<< B.0b a<< C.0b a<< D.1b a <<二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分.9.新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等.我国的新能源汽车发展开始于21世纪初，近年来发展迅速，连续8年产销量位居世界第一.下面两图分别是2017年至2022年我国新能源汽车年产量和占比（占我国汽车年总产盘的比例）情况，则A.2017~2022年我国新能源汽车年产量逐年增加B.2017~2022年我国新能源汽车年产量的极差为626.4万辆C.2022年我国汽车年总产量超过2700万辆D.2019年我国汽车年总产量低于2018年我国汽车年总产量10.已知z 为复数，设z ，z ，i z 在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，其中O 为坐标原点，则A.OA OB =B.OA OC ⊥C.AC BC= D.OB AC∥ 11.已知点()1,0A -，()1,0B ，点P 为圆C ：2268170x y x y +--+=上的动点，则A.PAB △面积的最小值为8-B.AP 的最小值为C.PAB ∠的最大值为512πD.AB AP ⋅的最大值为8+12.已知()cos 4cos3f θθθ=+，且1θ，2θ，3θ是()f θ在()0,π内的三个不同零点，则A.{}123,,7πθθθ∈ B.123θθθπ++=C.1231cos cos cos 8θθθ=-D.1231cos cos cos 2θθθ++=三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13.编号为1，23，4的四位同学，分别就座于编号为1，2，3，4的四个座位上，每位座位恰好坐一位同学，则恰有两位同学编号和座位编号一致的坐法种数为___________.14.已知向量a ，b 满足2a = ，3b = ，0a b ⋅= .设2c b a =-，则cos ,a c = ___________.15.已知抛物线24y x =的焦点为F ，点Р是其准线上一点，过点P 作PF 的垂线，交y 轴于点A ，线段AF 交抛物线于点B .若PB 平行于x 轴，则AF 的长度为____________.16.直线x t =与曲线1C ：()e R xy ax a =-+∈及曲线2C ：exy ax -=+分别交于点A ，B .曲线1C 在A 处的切线为1l ，曲线2C 在B 处的切线为2l .若1l ，2l 相交于点C ，则ABC △面积的最小值为____________.四、解答题；本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在数列{}n a 中，若()*1123n n a a a a a d n N+=⋅⋅-∈⋅，则称数列{}na 为“泛等差数列”，常数d 称为“D 差”.已知数列{}n a 是一个“泛等差数列”，数列{}n b 满足22212123n n n a a a a a a a b =⋅++⋅⋅⋅⋅-⋅+.（1）若数列{}n a 的“泛差”1d =，且1a ，2a ，3a 成等差数列，求1a ﹔（2）若数列{}n a 的“泛差”1d =-，且112a =，求数列{}n b 的通项n b .18.（本小题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()2sin cos c b A A =-.（1）若sin 10sin B C =，求sin A 的值；（2）在下列条件中选择一个，判断ABC △是否存在，加果在在，求h 的最小值；如果不存在，说明理由.①ABC △的面积1S =+；②bc =③222a b c +=.如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，ABC △和ACD △均为正三角形，4AC =，BE =.（1）在线段AC 上是否存在点F ，使得BF ∥平面ADE ?说明理由；（2）求平面CDE 与平面ABC 所成的锐二面角的正切值.20.（本小题满分12分）人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球t 乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为12（先验概率）.（1）求首次试验结束的概率；（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整。
2025届江苏省南京市六合区程桥高级中学高三第二次诊断性检测数学试卷含解析
2025届江苏省南京市六合区程桥高级中学高三第二次诊断性检测数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数2()x f x x e a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．24(,)e+∞ B ．24(0,)eC ．2(0,4)eD ．(0,)+∞2．已知正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为4，E 、F 、G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点.若O 在三棱锥A BCD -内，且三棱锥A BCD -的体积是三棱锥O BCD -体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积的比值为（ ） A．B．C．D．3．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A ．1,0a b <-< B ．1,0a b <-> C ．1,0a b >-<D ．1,0a b >->4．若各项均为正数的等比数列{}n a 满足31232a a a =+，则公比q =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F ，直线1y x =-与其相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是 A ．22134x y -=B ．22143x y -=C ．22152x y -=D ．22125x y -=6．一艘海轮从A 处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（ ）A ．62海里 B ．63海里 C ．82海里 D ．83海里7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．23B ．43C ．2D ．838．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130S =，3421a a +=，则7S 的值为（ ）． A ．21B ．63C ．13D ．849．()cos sin x e f x x=在原点附近的部分图象大概是（ ）A ．B ．C ．D ．10．在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有( )A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种11．若函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，f b ，()f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（ ） A ．11,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．11,3e e ⎛⎫--⎪⎝⎭C ．11,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()3,e -+∞12．函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域为（ ）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025届江苏省南京市附中高三二诊模拟考试数学试卷含解析
2025届江苏省南京市附中高三二诊模拟考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为i -B ．2z =C ．z 的共轭复数为1i --D ．2z 为纯虚数2．已知抛物线22(0)y px p =>上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，则抛物线的标准方程为（ ）A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =3．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a bb ab a b a >>> C ．1log log b a b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>> 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，39S =，则10a =（ ） A ．25B ．32C ．35D ．405．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）A ．()85424πB ．()85824πC ．()854216πD ．()858216π6．若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（ ）7．函数()()()sin 0,02g x A x A ωϕϕπ=+><<的部分图象如图所示，已知()5036g g π⎛⎫==⎪⎝⎭，函数()y f x =的图象可由()y g x =图象向右平移3π个单位长度而得到，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin 2f x x =B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()2sin f x x =-D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭8．已知{}1A x x =<，{}21xB x =<，则A B =（ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,-+∞D ．(),1-∞9．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．8310．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）11．已知命题2:21,:560p x m q x x -<++<，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ） A ．12m >B ．12m ≥C ．1mD ．m 1≥12．己知46a =，544log 21b =， 2.913c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．c a b >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南京市2024届高三下学期二模考后提升卷数学模拟测试一
江苏省2024届高三南京市二模考后提升卷数学模拟测试一一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（本题5分）（23-24高一下·湖南长沙·期中）已知向量()()1,2,3,a b t ==- ，且//a b ，则a b +=（）A B C D ．2．（本题5分）（23-24高三上·天津·期中）“213x -≥”是“201x x -≥+”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（本题5分）（22-23高一·全国·随堂练习）为了得到函数1πsin 44y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数1πsin 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上各点（）．A ．横坐标伸长为原来的43倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短为原来的34，纵坐标不变C ．纵坐标伸长为原来的43倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短为原来的34，横坐标不变4．（本题5分）（22-23高三上·安徽阜阳·阶段练习）如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环最少需要移动256次，且九连环的解下和套上是一对逆过程．九连环把玩时按照一定的程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上．若将第n 个圆环解下最少需要移动的次数记为()*9,N n a n n ≤∈，已知121,1a a ==，按规则有()*1223,N n n n a a a m n n --=++≥∈，则解下第6个圆环最少需要移动的次数为（）试卷第2页，共6页A ．63B ．64C ．31D ．325．（本题5分）（22-23高二下·重庆渝中·阶段练习）央视评价重庆是“最宠游客的城市.”现有甲､乙两位游客慕名来到重庆旅游，准备从洪崖洞､磁器口､长江三峡､大足石刻和天生三桥五个著名旅游景点中随机选择一个景点游玩，记事件A 为“甲和乙至少一人选择洪崖洞”，事件B 为“甲和乙选择的景点不同”，则()P BA =∣（）A ．925B ．825C ．89D ．24256．（本题5分）（22-23高一下·山东枣庄·期末）一个圆台的上、下底面的半径分别为1，4，母线长为5，则该圆台的侧面积为（）A ．30πB ．25πC ．20πD ．15π7．（本题5分）（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）已知12,F F 是椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，若E 上存在不同两点A ，B，使得12F A B =，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A．1,1)B．1)C．(0,3-D．(3-8．（本题5分）（23-24高一上·广东茂名·期末）已知()sin cos 2f α=，则5π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．1-B．2C ．23D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（本题9．（本9．（本题6分）（22-23高一下·福建福州·期中）若复数i z =，则下列说法正确的是（）A ．z 在复平面内对应的点位于第四象限B ． 4z =C ．2 4z =-D ．z 的共轭复数iz +10．（本题6分）（2024·重庆·模拟预测）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：()()()21f x f x f +=+-，则（）A ．()10f =B ．13022f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()()4f x f x +=-D ．()12f x f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭11．（本题6分）（2024·吉林延边·一模）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为的正方形，1,DE BF DE == ,BF DE ⊥平面ABCD ，动点P 在线段EF 上，则下列说法正确的是（）A ．AC DP⊥B ．存在点P ，使得DP 平面ACFC ．三棱锥A CDE -的外接球被平面ACF 所截取的截面面积是9π2D ．当动点P 与点F 重合时，直线DP 与平面ACF 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（本题5分）（2024·江苏南京·二模）已知集合{1,2,4}A =，{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈∣，则集合B 的元素个数为．13．（本题5分）（2024·河南商丘·模拟预测）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为2π,,,,223a b c A b c ===，D 为线段BA 延长线上一点，AM 平分CAD ∠，且直线AM 与直线BC 相交于点E ，则sin AEC ∠=．试卷第4页，共6页14．（本题5分）（22-23高二上·河北保定·阶段练习）在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC =1，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P ，如图所示，若光线QR 经过ABC 的重心G ，则AP =．直线PQ的斜率为四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题13分）（22-23高二下·福建泉州·期末）学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后自主学习，人们普遍认为课后自主学习时间越多学习效果越好.某权威研究机构抽查了部分高中学生，对学生每天花在数学上的课后自主学习时间（x 分钟）和他们的数学成绩（y 分）做出了调查，得到一些数据信息并证实了x 与y 正相关.“学霸”小李为了鼓励好朋友小王和小张努力学习，拿到了该机构的一份数据表格如下（其中部分数据被污染看不清），小李据此做出了散点图如下，并计算得到13160255i i i x y ==∑，1311105i i y ==∑，i x 的方差为350，(,)i i x y 的相关系数0.98r ≈（1,2,3,,13i = ）.(1)请根据所给数据求出,x y 的线性经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩；(2)受到小李的鼓励，小王和小张决定在课后花更多的时间在数学学习上，小张把课后自主学习时间从20分钟增加到60分钟，而小王把课后自主学习时间从60分钟增加到100分钟.经过几个月的坚持，小张的数学成绩从50分提升到90分，但小王的数学成绩却只是从原来的100分提升到了115分.小王觉得很迷惑，课后学习时间每天同样增加了40分钟，为什么自己的成绩仅仅提升了十几分呢，为什么实际成绩跟预测的成绩差别那么大呢？①请根据你对课后自主学习时间与数学成绩的关系的看法及对一元回归模型的理解，解答小王的疑惑；②小李为了解答小王的疑惑，想办法拿到了上表中被污染的数据如下.据此，请在上图中补齐散点图，并给出一个合适的经验回归方程类型（不必求出具体方程，不必说明理由）.编号1415161718x 8590100110120y113114117119119附：回归方程ˆˆy abx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆˆˆ,niii ni i x x y y ba y bx x x ==-⋅-==--∑∑.16．（本题15分）（23-24高二下·江西宜春·期中）已知函数()2e xx ax a f x ++=．(1)讨论()f x 的单调性；(2)当0x ≥时，()2f x ≤恒成立，求a 的取值范围；17．（本题15分）（2024·河南商丘·模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，O 为底面111A B C 的重心，点,D G 分别在棱111CC B C ,上，且111::1:2B G GC CD DC ==试卷第6页，共6页(1)求证：1//A C 平面DOG ；(2)若1AA ⊥底面111A B C ，且三棱柱111ABC A B C -的各棱长均相等，求平面11AAC C 与平面DOG 的夹角的余弦值．18．（本题17分）（23-24高三上·四川成都·开学考试）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>左焦点F 到双曲线E过点F 作直线l 与双曲线C 的左、右支分别交于点A B 、，过点F 作直线2l 与双曲线E 的左、右支分别交于点C D 、，且点B C 、关于原点O 对称．(1)求双曲线E 的方程；(2)求证：直线AD 过定点．19．（本题17分）（2024·湖南·一模）已知d 为非零常数，0n a >，若对*221,n n n a a d +∀∈-=N ，则称数列{}n a 为D 数列．(1)证明：D 数列是递增数列，但不是等比数列；(2)设1n n n b a a +=-，若{}n a 为D数列，证明：n b <(3)若{}n a 为D 数列，证明：*n ∃∈N，使得112024ni ia =>∑．参考答案：1．D【分析】根据平面共线向量的坐标表示求出t ，进而求出a b +，可求解其模长.【详解】由//,(1,2),(3,)a b a b t ==-，得132t ⨯=-⨯，解得6t =-，所以()3,6b =-- ，则()2,4a b +=--，故a b +==故选：D 2．B【分析】解不等式，根据解集间的关系及充分条件与必要条件的概念判断可得出结论．【详解】不等式213x -≥，即213x -≤-或213x -≥，解得1x ≤-或2x ≥，不等式201x x -≥+，即()()21010x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩，解得1x <-或2x ≥，因为{|1x x ≤-或2}x ≥{|1x x <-或2}x ≥因此，“213x -≥”是“201x x -≥+”的必要而不充分条件，故选：B ．3．D【分析】由(0)A A >对()sin y A ωx φ=+图象的影响可得.【详解】先将函数1πsin 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变，得到函数πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再将函数πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的14，横坐标不变，得到函数1πsin 44y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，即将函数1πsin 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的34，横坐标不变，得到函数1πsin 44y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，答案第2页，共17页故选：D.4．C【分析】根据()*1223,N n n n a a a m n n --=++≥∈依次计算得到917185256a m =+=，1m =，得到答案.【详解】由题意:()12121,1,23,N n n n a a a a a m n n *--===++≥∈，32123a a a m m =++=+；432252a a a m m =++=+；5432115a a a m m =++=+；65422110a a a m m =++=+；76524321a a a m m =++=+；87628542a a a m m =++=+；987217185256a a a m m =++=+=，所以1m =，则解下第6个圆环最少需要移动的次数为631a =．故选：C ．5．C【分析】根据条件概率的计算公式即可求得答案.【详解】由题意知事件A ：“甲和乙至少一人选择洪崖洞”包含()1124C C 19n A =⋅+=种情况，事件AB ：“甲和乙选择的景点不同，且恰有一人选择洪崖洞”包含()1124C C 8n AB =⋅=种，所以()()()89n AB P BA n A ==∣，故选：C 6．B【分析】利用圆台的侧面积公式求解即可【详解】设圆台的上、下底面的半径为12,r r ，母线长为l ，所以121,4,5r r l ===，()()()12122π2ππππ4π525π2r r lS r r l +⋅==+⋅=+⋅=.故选：B ．7．D【分析】延长1AF 交椭圆于1A ，则有211F B A F =，设直线1AA 的方程x my c =-，联立直线1AA 与椭圆的方程，再由韦达定理可知2122222b mc y y b m a +=+，412222b y y b m a =-+，由12F A B = ，可得12y =，从而得220m =>，22c a >，即可得答案.【详解】解：延长1AF 交椭圆于1A ，根据椭圆的对称性，则211F B A F =，111F A F =，设直线1AA 的方程x my c =-，11(,)A x y ，122(,)A x y ，联立22221x my c x y a b =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：222224()20b m a y b mcy b +--=，则2122222b mc y y b m a +=+，412222b y y b m a =-+，由12F A B =，则12y =，整理得：20m =，则22(3(30c a +-->，即222c a >∴椭圆的离心率3ce a=>-∴椭圆的离心率的取值范围(3-．答案第4页，共17页故选：D 8．B【分析】利用同角的三角函数平方关系及辅助角公式化简后，代入求值即可.【详解】由5ππ0,122⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故不妨设α为锐角，则0<sin 1,0cos 1αα<<<，则()sin cos 2f αα=⋅1cos 1sin =sin cos 2sin cos 2sin cos ααααααα-++=⋅+⋅-πsin cos 4ααα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以5π5πππ121246f ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B.9．AD【分析】根据复数的几何意义、复数模的公式、复数的四则运算及共轭复数的定义求解即可.【详解】由i z =，z 在复平面内对应的点为)1-，位于第四象限，故A正确；2z =，故B错误；)222 i3i 2z =-=-+=-，故C 错误；z 的共轭复数i z +，故D 正确.故选：AD.10．AB【分析】对A ：令=1x -，结合函数是奇函数，即可求得结果；对B ：令12x =-，结合函数是奇函数，即可判断；对C ：根据B 中所求()()2f x f x +=，即可判断；对D ：取满足题意的特殊函数，即可判断.【详解】对A ：对()()()21f x f x f +=+-，令=1x -，可得()()121f f =-，又()f x 在R 上是奇函数，故()()121f f =-，解得()10f =，故A 正确；对B ：对()()()21f x f x f +=+-，令12x =-，可得()31122f f f ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()f x 在R 上是奇函数，故()31122f f f ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()13122f f f ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由A 可知，()10f =，故13022f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对C ：因为()()110f f -=-=，则()()()21f x f x f +=+-即()()2f x f x +=，则()()()42f x f x f x +=+=，即()()4f x f x +=，故C 错误；对D ：由C 可知，()f x 为周期为2的奇函数，不妨画出满足题意的一个()f x 的图象如下所示：显然()12f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：AB.11．ABD 【分析】由面面垂直的性质定理可判断选项A ；由线面平行的判定定理和性质定理可判断选项B ；由截面是ACF 的外接圆及正弦定理可判断选项C;由面面垂直的判定定理、面面垂直的性质及余弦定理可判断选项D ；【详解】设AC BD O = ,连接FO ，令EF 中点为G ，连接DG ，如图所示：由底面ABCD 是正方形可得：O 是,BD AC 的中点，且BD AC ⊥；由DE ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ,可得平面ABCD ⊥平面DEFB ，DE BD ⊥；答案第6页，共17页由1,//DE BF DE BF ==，DE BD ⊥,可得四边形DEFB 为矩形.对于选项A:由BD AC ⊥，平面ABCD ⊥平面DEFB ，且平面ABCD ⋂平面DEFB BD =,AC ⊂面DEFB ，可得AC ⊥面DEFB ，又DP ⊂面DEFB ,所以AC DP ⊥，故选项A 正确；对于选项B:因为在矩形DEFB 中,//,,DO FG DO FG =所以四边形DOFG 是平行四边形，则直线//,DG OF 因为OF ⊂平面ACF ,DG ⊄平面ACF ,则//DG 面ACF .故当P 是线段EF 的中点G 时，直线//DP 面ACF ,故B 正确；对于选项C:因为在ACF △中，2,AC AF CF FO ====所以sin 3OF FAC AF ∠==,由正弦定理得：ACF △的外接圆直径2sin FC r FAC ==∠则半径为r =298S r ππ==,因为三棱锥A CDE -的外接球的球心在过点O 且与平面ACD 垂直的直线上，且四边形BDEF 为矩形，所以点F 在三棱锥A CDE -的外接球上.所以三棱锥A CDE -的外接球被平面ACF 所截取的截面是ACF △的外接圆，因此三棱锥A CDE -的外接球被平面ACF 所截取的截面面积是98π，故C 错误．对于选项D:因为AC ⊥面DEFB ，AC ⊂平面ACF ,所以面DEFB ⊥平面ACF ，所以()DP DF 在平面ACF 内的射影在直线OF 上，即直线DP 与平面ACF 所成角为()OFD OPD ∠∠.在OFD △中，2221,2OF DF DO OD OF DF OFD OF DF +-===∠==⋅故选项D 正确；故选：ABD.12．2【分析】利用列举法求解集合()(){}2142B =，，，，即可求解.【详解】当1x =时，1y =，2，4，x y -分别为0,1,3--,均不能满足x y A -∈，当2x =时，1y =时可满足1x y A -=∈，2x =时，2,=0y x y =-，2x =时，4,=2y x y =--均不满足x y A -∈，当4x =时，2y =可满足2x y A -=∈，4x =时，1,=3y x y =-，4x =时，4,=3y x y =-均不满足x y A -∈，所以()(){}2142B =，，，，故集合B 的元素有2个，故答案为：213【分析】利用余弦定理计算||BC 及cos ABC ∠，sin ABC ∠的值，在AEB △中使用两角差的正弦公式计算即可.【详解】如图所示，因为2π,223A b c ===，所以||1,||2AB AC ==，在ABC 中，由余弦定理得2222π||||||2||||cos3BC AB AC AB AC =+-，即21||14212()72BC =+-⨯⨯⨯-=，故||BC =，由余弦定理得222||||cos2BC AB AC ABC AB BC+-∠===所以21sin 7ABC ∠=答案第8页，共17页又因为直线AM 平分CAD ∠，所以π6DAM CAM EAB ∠=∠=∠=，所以π6AEC ABC EAB ABC ∠=∠-∠=∠-，所以πππsin sin(sin cos cos sin 666AEC ABC ABC ABC ∠=∠-=∠-∠，化简得1sin 727214AEC ∠=⨯⨯.故答案为：14.14．132【分析】根据已知，利用对称性、重心的性质，求出对称点坐标，联立直线方程进行求解.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，可得(1,0)B ，(0,1)C ，所以直线BC 的方程为10x y +-=，ABC 的重心G 的坐标为11(,)33，设点(,0)P a ，(0)a >，,M N 分别是点P 关于直线BC 和y 轴的对称点，连接,NR QM ，所以(,0)N a -，设00(,)M x y ，则有00000(1)101022y x aa x y -⎧⋅-=-⎪-⎪⎨++⎪+-=⎪⎩，解得0011x y a =⎧⎨=-⎩，所以(1,1)M a -，由光的反射原理可知，,,,M N Q R 四点共线，所以MN GN k k =，即113113a a a -=++，解得13a =，此时13AP =，所以1(,0)3N -，2(1,)3M ，1(,0)3P ，直线MN 的方程为3610x y -+=，联立直线MN 的方程与BC 的方程有：361010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得5949x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即54(,)99Q ，所以直线PQ 的斜率为40925193PQk -==-.故答案为：13，2.15．(1) 1.130y x =+，140分(2)①答案见解析；②答案见解析【分析】（1）先求出平均数，利用最小二乘法求出回归方程，代入数据即可预测；（2）①根据回归方程的含义及统计知识解答疑惑即可；②补齐散点图，根据所学函数选择非线性回归方程即可.【详解】（1）202530354045505560657075805013x ++++++++++++==，11058513y ==，又,i 1,2,3,,13i x = 的方差为()1321135013i i x x =-=∑，所以()()()1313111321136025513508546355085385ˆ 1.113350133********iii ii i i i x x y y x y x ybx x ===-⋅--⋅-⨯⨯-⨯======⨯⨯-⋅∑∑∑，答案第10页，共17页ˆˆ85 1.15030ay bx =-=-⨯=，故 1.130ˆy x =+，当100x =时，140y =，故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140分；（2）①（i ）所求的经验回归方程依据的样本数据时间范围在20~80分钟，当时间范围扩大后，,x y 之间不一定还符合该方程，所以预测与实际情况可能会有较大的差别；（ii ）事实上，样本数据时间在70分钟以后，对应成绩的增速已有明显减缓的趋势，因此当时间范围扩大后，相关系数会降低，所求经验回归方程模型不一定适合.（iii ）小李所拿到的样本数据的缺失可能使得回归模型不恰当，还应收集更多的样本数据分析，（iv ）如果原来成绩较低，通过增加学习时间可以有效提高成绩，但是当成绩提高到一定程度时（如110分以上），想要通过延长学习时间来提高学习成绩就比较困难了，需要想别的办法.②补齐散点图如图：合适的回归模型如ln y a x b =+，y b =，by ax =，x y b a =- 等，答案不唯一，只要能体现出增长速度逐渐变缓即可.16．(1)答案见解析(2)2a ≤【分析】（1）求()f x '，分2a =，2a >，2a <讨论()f x 的单调性；（2）分离参数得22e 1x x a x -≤+，求()22e 1x x h x x -=+最小值即可.【详解】（1）由题意可知()f x 的定义域为R ，()()()()()()()22222e e 2e 2e e e x xxxx x x a x ax a xax x x x a f x +-++-'-+-+-==，令()0f x '=，则10x =，22x a=-①当2a =时，120x x ==，()0f x '≤在R 上恒成立，()f x 在R 上单调递减．②当2a >时，12x x >，(),2x a ∈-∞-时，()0f x '<，()2,0x a ∈-时，()0f x ¢>，()0,x ∈+∞时，()0f x '<，故()f x 在(),2a -∞-单调递减，在()2,0a -单调递增，在()0,∞+单调递减．③当2a <时，12x x <，(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()0,2x a ∈-时，()0f x ¢>，()2,x a ∈-+∞时，()0f x '<，故()f x 在(),0∞-单调递减，在()0,2a -单调递增，在()2,a -+∞单调递减．综上：当2a =时，()f x 在R 上单调递减．②当2a >时，()f x 在(),2a -∞-单调递减，在()2,0a -单调递增，在()0,∞+单调递减．③当2a <时，()f x 在(),0∞-单调递减，在()0,2a -单调递增，在()2,a -+∞单调递减．（2）当0x ≥时，()2f x ≤恒成立，故22e xx ax a++≤，所以22e x x ax a ++≤，即()212e x a x x +≤-，由10x +>得22e 1x x a x -≤+，令()22e 1x x h x x -=+（0x ≥），则()()()()()()()2222e212e 2e 211xx x x x x x x h x x x '-+----==++，令()2e 2x t x x =--，则()2e 1x t x =-'，()t x '在[)0,∞+单调递增，答案第12页，共17页则()()01t x t '≥='，即()0t x '>在()0,∞+恒成立，故()t x 在[)0,∞+单调递增．所以()()00t x t ≥=，故()0h x '≥在[)0,∞+恒成立．由()h x 在[)0,∞+单调递增，而()02h =，()2h x ≥，故2a ≤．17．(1)证明见解析7【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，利用平行线比例关系，构造辅助线，即可证明；（2）根据底面特点，建立空间直角坐标系，分别求平面11AAC C 与平面DOG 的法向量，根据向量公式求二面角的余弦值.【详解】（1）如图，连接1C O 并延长，交11A B 于E ，延长线段GO ，交11A C 于H ，连接DH ．因为O 为底面111A B C 的重心，所以1:1:2EO OC =，又11:1:2B G GC =，所以111::EO OC B G GC =，所以11OG A B ∥，所以11:1:2A H HC =．因为1:1:2CD DC =，所以111::A H HC CD DC =，所以1DH AC ∥．因为1A C ⊄平面DOG ，DH ⊂平面DOG ，所以1//AC 平面DOG ．（2）取AB 的中点为F ，连接EF ．因为1AA ⊥底面111A B C ，且三棱柱111ABC A B C -的各棱长均相等，所以直线11,,EB EC EF 两两互相垂直．以E 为坐标原点，11,,EB EC EF 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设三棱柱111ABC A B C -的棱长为6，则()()()()13,0,3,4,3,0,0,2,3,0O D B G ，所以()()0,3,42,0,0OD OG == ，．设平面DOC 的法向量为(),,n x y z =，则00n OG n OD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即202340x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可取(0,3n =- 易知平面11AAC C 的一个法向量为()13,3,0OB =．设平面11AAC C 与平面DOG 的夹角为θ，则11237cos 7723n OB n OB θ⋅===⨯ ，即平面11AAC C 与平面DOG 77．18．(1)22122x y -=(2)证明见解析【分析】（1）由条件列关于,,a b c 的方程，解方程求,,a b c ，由此可得双曲线方程；答案第14页，共17页（2）设()()0000,,,B x y C x y --，分别联立直线FB ，FC 与双曲线方程，结合关于系数关系求点A 和点D 坐标，利用点斜式表示直线AD 的方程，再证明直线过定点.【详解】（1）设双曲线的半焦距为c ，则(),0F c -，由已知c a =222222c a b a a +==，即a b =，所以渐近线方程为y x =±．又F 到双曲线E=，所以2,c a b ===．所以双曲线E 的方程为22122x y -=．（2）设()()0000,,,B x y C x y --，若00y =，则0x故)()()),,,BC A D，直线AD 的方程为0y =，若00y ≠，设直线FB 的方程为022x x y y +=-，直线FB 的方程与双曲线22:122x y E -=联立，()()2002200242120x x y y y y ⎛⎫++--+= ⎪ ⎪⎝⎭．又22002x y -=，则()()22000023220x y x y y y +-++=所以20023A y y y x =+，即000034,2323A Ay x y x x x --==++．同理000034,2323D D y x y x x x --==-+-+，则()()()()()()000000000000000002323232333434342334232323ADy y y x y x x x yk x x x x x x x x x ---++++-+===-------+--+-+-+，则直线AD 方程为0000003432323y y x y x x x x ⎛⎫---=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，则000034132323x x x x x ⎛⎫--=- ⎪++⎝⎭，即()()()000000423344323233233x x x x x x x -+--=+==-+++所以直线AD 过定点4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：解决直线与双曲线的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、双曲线的条件；（2）强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．19．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）得到()2211n a a n d =+-，证明出0d <不合题意，0d >符合要求，从而得到()()110n n n n a a a a d +++-=>，结合0n a >得到10n n a a +->，得到{}n a 为递增数列，并得到2212221n n n n na a d a d a a ++==+不是常数，证明出结论；（2）得到n a >1n n n d b a a +=<+，结合答案第16页，共17页243n ≥-证明出结论；（3）得出21n a d ⎤⎣⎦>，结合累加法得到)1112n i i a a d =>∑，得到不等式，求出答案.【详解】（1）*221,n n n a a d +∀∈-=N ，故{}2n a 为公差为d 的等差数列，所以()2211n a a n d =+-，若0d <，则当211a n d>-时，()22110n a a n d =+-<，不合题意，若0d >，则()22110n a a n d =+->，满足要求，()()*22111,0n n n n n n n a a a a a a d +++∀∈-=+-=>N ，因为0n a >，所以10n n a a ++>，故10n n a a +->，故数列{}n a 为递增数列，2212221n n n n na a d a d a a ++==+，由于{}n a 为递增数列，故21n d a +不是常数，1n na a +不是常数，故D 数列是递增数列，但不是等比数列；（2）因为{}n a 为D 数列，所以()()22111n a a n d n d =+->-，故n a >因为()()110n n n n a a a a d +++-=>，所以11n n n n n d b a a a a ++=-=+因为22121243n n n =-+-+-，当且仅当1n=时，等号成立，所以n b <（3）因为{}n a 为D 数列，所以1n a =2d⎣⎦=，所以112ni i a d =>∑)12a d =-，令)122024a d>11012d a >+，解得2110122024n d a >+，所以*n ∃∈N ，使得112024n i i a =>∑.。
2025届江苏南京宁海中学高考数学二模试卷含解析
2025届江苏南京宁海中学高考数学二模试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数2sin cos ()20x x xf x x =+在[2,0)(0,2]ππ-⋃上的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．2．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A 211B ．52 C ．5D ．513． “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ） A ．15B ．13C ．35D ．234．若函数2()xf x x e a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．24(,)e +∞ B ．24(0,)e C ．2(0,4)e D ．(0,)+∞5．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 923449358200 3623486969387481A ．08B ．07C ．02D ．016．设()11i a bi +=+，其中a ，b 是实数，则2a bi +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．57．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心8．已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为1的正方形，1ED =，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ） A ．26B ．13C ．23D ．19．设复数z 满足|3|2z -=，z 在复平面内对应的点为(,)M a b ，则M 不可能为（ ） A ．3) B ．(3,2)C ．(5,0)D ．(4,1)10．关于函数22tan ()cos 21tan xf x x x=++，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的定义域为R B ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D ．将函数22y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 11．已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()282x g x f x =- ）A ．0,1B ．[]0,2 C ．[]1,2D ．[]1,312．已知函数()(),12,1x e x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()10f x mx --=恰有两个不同实根，则正数m 的取值范围为（ ）A ．()1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．(]1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()1,11,13e e -⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(]1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南京市2023届高三二模数学试题(2)
一、单选题二、多选题1. 等比数列公比为，，若（），则“”是“数列为递增数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 设命题，则为（ ）A．B．C．D．3.若定义在上的奇函数满足对任意的，都有成立，且，则，，的大小关系是（ ）A．B．C．D．4.已知向量，，且，则（ ）A．B．C ．12D．5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．18B ．36C ．54D ．1086. 计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于A．B．C．D．7. 直线与直线2x －y +7=0平行，则=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48. 在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则（ ）A ．3B ．6C ．7D ．99.下图为甲、乙两人在同一星期内每日步数的折线统计图．江苏省南京市2023届高三二模数学试题(2)江苏省南京市2023届高三二模数学试题(2)三、填空题四、解答题下列说法中，正确的是（ ）A ．这一星期内甲的日步数的中位数为11600B ．这一星期内乙的日步数的平均值为11000C ．这一星期内甲的日步数的极差大于乙的日步数的极差D ．这一星期内甲的日步数的方差大于乙的日步数的方差10. 如图，为正方体.任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l .则（）A ．S 为定值B ．S 不为定值C ．l 为定值D ．l 不为定值11. 已知，双曲线C：，则（ ）A ．可能是第一象限角B ．可能是第四象限角C ．点可能在C 上D ．点可能在C 上12. 已知函数，则下列结论错误的是（ ）A．的最大值为B．的图象关于直线对称C ．的最小正周期为D ．在上单调递增13.已知函数为定义域为的偶函数，且满足，当时，.若函数在区间上的所有零点之和为__________．14. 函数的定义域为_________．15. 已知正数，满足，则的最大值为______．16. 垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间[25，85]上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：年龄频数510101555了解4581221（1）填写下面2x 2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；年龄低于65岁的人数年龄不低于65岁的人数合计了解不了解合计（2）若对年龄在[45，55），[25，35）的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.参考公式和数据K2，其中n＝a+b+c+d.17. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b．c．已知．(1)求A；(2)若，求面积的最大值．18. 2020年，全球展开了某疫苗研发竞赛，我国处于领先地位，为了研究疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗.一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组，各组感染人数如下：调查人数300400500600700感染人数33667（Ⅰ）求与的回归方程；（Ⅱ）同期，在人数均为10000的条件下，以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为；注射疫苗后仍被感染的人数记为，估计该疫苗的有效率.（疫苗的有效率为，结果保留3位有效数字）（参考公式：，，参考数据：）19. 如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点M，N分别是边BC，CD的中点，，．沿MN将翻折到的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥P-ABMND．(1)在翻折过程中是否总有平面平面PAG？证明你的结论；(2)当四棱锥P-MNDB体积最大时，求直线PB和平面MNDB所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，在线段PA上是否存在一点Q，使得二面角的平面角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．20. 已知等比数列的前n项和，其中r为常数．（1）求r的值；（2）设，若数列{bn}中去掉数列的项后余下的项按原来的顺序组成数列{c n}，求的值．21. 设函数，为函数的导函数.(1)讨论函数的单调性并写出单调区间；(2)若存在，使得函数不存在零点，求的取值范围；(3)若函数有两个不同的零点，求证：.。
2025届江苏省南京市秦淮中学高考数学二模试卷含解析
2025届江苏省南京市秦淮中学高考数学二模试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题p ：2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+≥∈R 的否定为A ．2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+≥∈RB ．2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+<∈RC ．2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+<∈R D ．2(1,2],20()x x x a a ∀∉--+<∈R 2．已知(1)n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=++++，若12242n a a a ++⋅⋅⋅=，则012(1)n n a a a a -+-⋅⋅⋅+-的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．8l D ．－813．若0,0x y >>，则“2x y +=的一个充分不必要条件是A ．x y =B ．2x y =C ．2x =且1y =D ．x y =或1y =4．设全集()(){}130U x Z x x =∈+-≤，集合{}0,1,2A =，则U C A ＝( )A ．{}1,3-B ．{}1,0-C ．{}0,3D ．{}1,0,3- 5．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边 形的边长为10m ，阴阳太极图的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为（ ）A ．247.79mB ．254.07mC ．257.21mD ．2114.43m6．复数12i 2i +=-（ ）． A ．i B ．1i + C ．i - D ．1i -7．已知函数()ln 1f x x =+，()122x g x e -=，若()()f m g n =成立，则m n -的最小值是（ ）A ．1ln 22+B ．2e -C ．1ln 22- D ．12e -8．若不等式32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是() A ．932,2ln 2ln 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．932,2ln 2ln 5⎛⎫⎪⎝⎭C ．932,2ln 2ln 5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．9,2ln 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40 B ．-20 C ．20 D ．4010．若点(3,4)P -是角α的终边上一点，则sin 2α=（ ）A ．2425-B ．725- C ．1625 D ．8511．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．设复数z ＝213ii -+，则|z |＝（ ）A ．13B ．23C ．12 D ．22二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南京市2023届高三二模数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知，，则的值为（ ）A．B．C．D．2. 设等比数列的首项为1，公比为q ，是数列的前n 项和，则“”是“恒成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 如图，阴影部分所表示的集合为（）A．B．C．D．4.已知函数满足，，则（ ）A．B．C．D．5. 已知i为虚数单位，则（ ）A．B．C．D．6.在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到999大约需要的天数为（）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……参考数据：）A ．42B ．56C ．63D ．707. 在数列中，，则A．B．C．D ．58. 已知点M 是棱长为3的正方体的内切球O 球面上的动点，点N为线段上一点，，，则动点M 运动路线的长度为（）A．B．C．D．9.已知是两个虚数，则下列结论中正确的是（ ）A ．若，则与均为实数B ．若与均为实数，则C．若均为纯虚数，则为实数D ．若为实数，则均为纯虚数江苏省南京市2023届高三二模数学试题江苏省南京市2023届高三二模数学试题三、填空题四、解答题10.已知圆与圆有且仅有两条公共切线，则实数的取值可以是（ ）A．B．C．D．11. 已知，则（ ）A．与均有公共点的直线斜率最大为B．与均有公共点的圆的半径最大为4C ．向引切线，切线长相等的点的轨迹是圆D ．向引两切线的夹角与向引两切线的夹角相等的点的轨迹是圆12.在中，是的中点，若，，则（ ）A．B．C．D．13. 已知函数f （x ）既是二次函数又是幂函数，函数g （x ）是R 上的奇函数，函数=+1，则h （2018）+h （2017）+h （2016）+…+h （1）+h （0）+h （﹣1）+…h （﹣2016）+h （﹣2017）+h （﹣2018）=___________14. 已知函数，将的图象上所有点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得函数图象向左平移个单位长度，得到图象，若在有个不同的解，则__________.15.已知是三条不重合直线，是三个不重合平面，下列说法：①，； ②，；③，；④，；⑤，；⑥，.其中正确的说法序号是_________（注：把你认为正确的说法的序号都填上）16. 游泳是人在水的浮力作用下产生的向上漂浮，凭借浮力通过肢体有规律的运动，使身体在水中有规律运动的技能，游泳的好处是非常多的，主要包括这几个方面：第一个，提高身体的体能，因为游泳是一个比较消耗体力的活动，长期的游泳可以使自己保持很好的体能．第二个，塑身作用和塑形减肥的作用，游泳消耗量比较大，可以消耗我们体内的脂肪，另外，由于在游泳中水压的作用，我们的体形可以得到塑造，所以有塑形减肥的作用．第三个，它可以提高心肺功能，特别是肺活量，游泳以后，我们不断地有规律的调整自己的呼吸，使肺活量能明显的增加，同时由于游泳需要消耗大量的氧，所以我们心脏的功能，也得到很好的锻炼，所以能够提高心肺的功能．第四个，游泳对我们心情，对我们精神状态，也能起到一个改善，在游泳锻炼当中，我们心情愉悦，对我们身心健康是非常好的锻炼．现有，，三家游泳馆，其中游泳馆有2名教练，游泳馆有3名教练，游泳馆有5名教练．(1)若从，，三家游泳馆抽取2名教练参加培训，求抽取的2人来自不同游泳馆的概率；(2)若从，，三家游泳馆抽取4名教练参加培训，记表示从游泳馆抽取的人数，求的分布列和数学期望．17. 核电站某项具有高辐射危险的工作需要工作人员去完成，每次只派一人，每人只派一次，工作时长不超过15分钟，若某人15分钟内不能完成该工作，则撤出，再派下一人，现有小胡、小邱、小邓三人可派，且他们各自完成工作的概率分别为，，.假设，，互不相等，且假定三人能否完成工作是相互独立.(1)任务能被完成的概率是否与三个人被派出的先后顺序有关？试说明理由；(2)若按某指定顺序派出，这三人各自能完成任务的概率依次为，，，其中，，是的一个排列.①求所需派出人员数目X 的分布列和数学期望；②假定，为使所需派出的人员数目的数学期望达到最小，应以怎么样的顺序派出？18. 已知函数．(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)求函数在上的最小值；(3)证明：，都有．19. 已知椭圆的离心率为，焦距为2．（1）求的标准方程．（2）过的右焦点F作相互垂直的两条直线，（均不垂直于x轴），交于A，B两点，交于C，D两点．设线段AB，CD的中点分别为M，N，证明：直线MN过定点．20. 如图1，已知正方形的边长为，，分别为，的中点，将正方形沿折成如图2所示连结，且，点在线段上（包含端点）运动，连接.(1)若为的中点，直线与平面的交点为，试确定点的位置，并证明直线平面；(2)点为的中点，求证平面.21. 已知函数．(1)若，求的最小值；(2)若方程有解，求实数a的取值范围．。
江苏省南京高三数学第二次教学质量检测(南京二模)
南京市届高三第二次模拟考试数学试卷解析 .3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．已知集合{}R x x x x A ∈≤-=,02|2，}{a x x B ≥=|，若B B A = ，则实数a 的取值范围是 。
解析：B B A = 可知道B A ⊆，又]2,0[=A 所以实数a 的取值范围是]0,(-∞11.已知i b iia -=+3，其中Rb a ∈,，i 为虚数单位，则=+b a 。
解析：将等式两边都乘i ，得到bi i a +=+13，两边比较得结果为412.某单位从4名应聘者A 、B 、C 、D 中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A ，B 两人中至少有1人被录用的概率是 。
解析：从题目来看，所有的可能性共有6种，但A ，B 都没被录取的情况只有一种，即满足条件的有5种，所以结果为65 4、某日用品按行业质量标准分成王五个等级，等级系数X 依次为1，2，3，4，5.现从一批该日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f 的分布如下X1 2 3 4 5 f a 0.2 0.45 0.15 0.1 则在所抽取的200件日用品中，等级系数1=X 的件数为 。
解析：由所有频率之和为1，可知道a =0.1，由频率公式可知道所求件数为20。
5、已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥+212y y x y x ，则目标函数y x z +-=2的取值范围是解析：画出可行域，可以知道目标函数的取值范围是[－4，2]6、已知双曲线1222=-y ax 的一条渐近线方程为02=-y x ，则该双曲线的离心率=e解析：焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是0=±ay bx ，与题是所给比较得5.1,2===c b a ，所以结果为527、已知圆C 的经过直线022=+-y x 与坐标轴的两个交点，又经过抛物线x y 82=的焦点，则圆C 的方程为 。
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南京市2008届高三第二次调研试卷
数 学 2008.04
注意事项：
1．本试卷共160分，考试时间120分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内，试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内。
考试结束后，交回答题纸。
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=∑∑==
x
b y a x n x y
x n y x b n i i n i i i ^^1221^)( 一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1.0300cos 的值是 ★ 。
2.函数1)2(log )(2-+-=x x x f 的定义域是 ★ 。
3．若复数,1,21i z i a z -=+=且21z z ⋅为纯虚数，则实数a 的值为 ★ 。
4．已知集合A={(0,1), (1,1),(－1,2)},B={(x,y)|x+y －1=0,x,y ∈Z},则A ⋂B= ★
5．在等差数列}{n a 中，已知1a ＝1，前5项和5S =35,
则8a 的值是 ★
6．如图，将一个体积为27cm 3的
正方体木块表面涂上蓝色，然
后锯成体积为 1 cm 3的小正方
体，从中任取一块，则这一块
恰有两面涂有蓝色的概率是
★
7．如图所示的流程图，输出的结果S 是 ★
8、若关于x 的不等式mx x x >+-2212的解集是 {}20<<x x ，则实数m 的值是 ★
9、某饮料店的日销售收入y （单位：百元）与当天平均气温x （单位：℃）之间有下列数据：
甲、乙、丙三位同学对上述数据进行研究，分别得到了x 与y 之间的三个线性回归方
程：①8.2ˆ+-=x y ；②3ˆ+-=x y ；③6.22.1ˆ+-=x y ，其中正确的是 ★ ； （只填写序号）；
10．已知方程3x ＝x -4的解在区间（21,+k k ）内，k 是2
1的整数倍，则实数k 的值是 ★ 11．已知点P 在直线,042上=+-y x 且到x 轴的距离是到y 轴的距离的32倍，则点P 的坐标是 ★
12．已知函数)30(42)(2<<++=a ax ax x f ，若1-=+<a n m n m 且，则
)(m f ★ )(n f （>=<或或用）连接。
13．已知正六棱柱的底面边长为3cm ，侧棱长为3cm,如果用一个平面把六棱柱分成两
个棱柱，则所得两个棱柱的表面积之和的最大值为 ★ 2cm
14.如图，半圆的直径O AB ,2=为圆心，C 为半圆上不同
于B A ,的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则⋅+)(的最小值是 ★ 。
二.解答题
15．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知：5
4)sin(,31
)4cos(,20=+=-<<<<βαπ
βπβπ
α。
（1） 求β2sin 的值；
（2） 求)4cos(
πα+的值。
（第14题图）B
如图，已知正三棱柱111C B A ABC -中，12AA AB =,点D 为11C A 的中点。
求证：（1）D AB BC 11//平面；
（2）D AB C A 11平面⊥.
A B1
17．（本小题14分）如图，港口B 在港口O 正东方120海里处，小岛C 在港口O 北偏东
60 方向、港口B 北偏西30 方向上。
一艘科学考察船从港口O 出发，沿北偏东的30 OA 方向以20海里/小时的速度驶离港口O 。
一艘快船从港口B 出发，以60海里/小时的速度驶向小岛C ，在C 岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间要1小时，问快艇驶离港口B 后最少要经过多少时间才能和考察船相遇？
如图，F 是椭圆()0122
22>>=+b a b y a x 的一个焦点，B A ,是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为21，点C 在x 轴上，F C B BF BC ,,,⊥三点确定的圆M 恰好与直线033:1=++y x l 相切。
（1） 求椭圆的方程；
（2） 过点A 的直线2l 与圆M 交与Q P ,两点，且2-=⋅MQ MP ，求直线2l 的方程。
19． (本小题16分，第一题4分，第二题12分) 已知函数[].2,0,3
34)(2∈+=x x x x f （1）求)(x f 的值域；
（2）设0≠a ，函数[]2,0,3
1)(23∈-=x x a ax x g 。
若对任意[]2,01∈x ，总存在[]2,02∈x ，使0)()(21=-x g x f 。
求实数a 的取值范围。
20．（本小题16分，第一题2分，第二题5分，第三题9分） 设数列{}n a 的前项和为n S ，已知
)(2)1(32321+∈+-=++++N n n S n na a a a n n 。
（1）求21,a a 的值；
（2）求证：数列{}2+n S 是等比数列；
（3） 抽去数列{}n a 中的第1项，第4项，第7项，……，第23-n 项，……，余下
的项顺序不变，组成一个新数列{}n b ，若{}n b 的前项的和为n T ，求证：3
115121≤<+n n T T 。