江苏省南京市高三二模数学试卷

南京市2008届高三第二次调研试卷

数 学 2008.04

注意事项：

1．本试卷共160分，考试时间120分。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内，试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内。考试结束后，交回答题纸。 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=∑∑==

x

b y a x n x y

x n y x b n i i n i i i ^^1221^)( 一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1.0300cos 的值是 ★ 。

2.函数1)2(log )(2-+-=x x x f 的定义域是 ★ 。

3．若复数,1,21i z i a z -=+=且21z z ⋅为纯虚数，则实数a 的值为 ★ 。

4．已知集合A={(0,1), (1,1),(－1,2)},B={(x,y)|x+y －1=0,x,y ∈Z},则A ⋂B= ★

5．在等差数列}{n a 中，已知1a ＝1，前5项和5S =35,

则8a 的值是 ★

6．如图，将一个体积为27cm 3的

正方体木块表面涂上蓝色，然

后锯成体积为 1 cm 3的小正方

体，从中任取一块，则这一块

恰有两面涂有蓝色的概率是

★

7．如图所示的流程图，输出的结果S 是 ★

8、若关于x 的不等式mx x x >+-2212的解集是 {}20<

9、某饮料店的日销售收入y （单位：百元）与当天平均气温x （单位：℃）之间有下列数据：

甲、乙、丙三位同学对上述数据进行研究，分别得到了x 与y 之间的三个线性回归方

程：①8.2ˆ+-=x y ；②3ˆ+-=x y ；③6.22.1ˆ+-=x y ，其中正确的是 ★ ； （只填写序号）；

10．已知方程3x ＝x -4的解在区间（21,+k k ）内，k 是2

1的整数倍，则实数k 的值是 ★ 11．已知点P 在直线,042上=+-y x 且到x 轴的距离是到y 轴的距离的32倍，则点P 的坐标是 ★

12．已知函数)30(42)(2<<++=a ax ax x f ，若1-=+

)(m f ★ )(n f （>=<或或用）连接。

13．已知正六棱柱的底面边长为3cm ，侧棱长为3cm,如果用一个平面把六棱柱分成两

个棱柱，则所得两个棱柱的表面积之和的最大值为 ★ 2cm

14.如图，半圆的直径O AB ,2=为圆心，C 为半圆上不同

于B A ,的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则⋅+)(的最小值是 ★ 。

二.解答题

15．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

已知：5

4)sin(,31

)4cos(,20=+=-<<<<βαπ

βπβπ

α。 （1） 求β2sin 的值；

（2） 求)4cos(

πα+的值。

（第14题图）B

如图，已知正三棱柱111C B A ABC -中，12AA AB =,点D 为11C A 的中点。 求证：（1）D AB BC 11//平面；

（2）D AB C A 11平面⊥.

A B1

17．（本小题14分）如图，港口B 在港口O 正东方120海里处，小岛C 在港口O 北偏东

60 方向、港口B 北偏西30 方向上。一艘科学考察船从港口O 出发，沿北偏东的30 OA 方向以20海里/小时的速度驶离港口O 。一艘快船从港口B 出发，以60海里/小时的速度驶向小岛C ，在C 岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间要1小时，问快艇驶离港口B 后最少要经过多少时间才能和考察船相遇？

如图，F 是椭圆()0122

22>>=+b a b y a x 的一个焦点，B A ,是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为21，点C 在x 轴上，F C B BF BC ,,,⊥三点确定的圆M 恰好与直线033:1=++y x l 相切。

（1） 求椭圆的方程；

（2） 过点A 的直线2l 与圆M 交与Q P ,两点，且2-=⋅MQ MP ，求直线2l 的方程。

19． (本小题16分，第一题4分，第二题12分) 已知函数[].2,0,3

34)(2∈+=x x x x f （1）求)(x f 的值域；

（2）设0≠a ，函数[]2,0,3

1)(23∈-=x x a ax x g 。若对任意[]2,01∈x ，总存在[]2,02∈x ，使0)()(21=-x g x f 。求实数a 的取值范围。

20．（本小题16分，第一题2分，第二题5分，第三题9分） 设数列{}n a 的前项和为n S ，已知

)(2)1(32321+∈+-=++++N n n S n na a a a n n 。

（1）求21,a a 的值；

（2）求证：数列{}2+n S 是等比数列；

（3） 抽去数列{}n a 中的第1项，第4项，第7项，……，第23-n 项，……，余下

的项顺序不变，组成一个新数列{}n b ，若{}n b 的前项的和为n T ，求证：3

115121≤<+n n T T 。