第1节课——相交线的概念以及垂线的定义

【答案】 C 【解析】如图①，弯曲河道 BCA 改成直道 BA，可以缩短航程是根据两点之间 线段最短； ） 如图②， 把渠水引到水池 C 中， 可以在渠岸 AB 边上找到一点 D． 使 CD⊥AB，沿 CD 挖水沟，水沟最短，根据垂线段最短；如图③，甲、乙两辆汽 车分别沿道路 AC，BC 同时出发开往 C 城，若两车速度相同，那么甲车先到 C 城，根据垂线段最短．
教学重点
1.邻补角、对顶角的概念,及其性质与应用.； 2.垂线的意义、性质和画法，垂线段性质及其简单应用（垂 线段最短的应用）.
教学难点
1.理解等角或同角的对顶角相等的性质； 2.垂线的画法以及对点到直线的距离的概念的理解.
教学过程
一、课堂导入(3 分钟)
1.回忆生活中常见的相交线，比如剪刀，交叉的两根筷子，英国国旗等两条或多 条相交的直线所组成的图形，从而引出本节课的主要图形——两条相交的直线。
考点 3：点到直线的距离定义（8 分钟） ： 1.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离； 记得时候应该结合图形进行记忆：
P
A
O
B
如上图，PO⊥AB，点 P 到直线 AB 的距离是 PO 的长。PO 是垂线段.PO 是点 P 到直线 AB 所有线段中最短的一条. 2.如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又 相异的概念： （1）垂线与垂线段 段，可以度量长度。 联系：具有垂直于已知直线的共同特征. (垂直的性质) （2）两点间距离与点到直线的距离 直线的距离是点与直线之间. 联系： 都是线段的长度； 点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足) 间距离. （3）线段与距离 之间不能等同. 距离是线段的长度，是一个量；线段是一种几何图形，它们 区别：两点间的距离是点与点之间，点到 区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线
（1）如图①，把弯曲的河道 BCA 改成直道 BA，可以缩短航程： （2） 如图②， 把渠水引到水池 C 中， 可以在渠岸 AB 边上找到一点 D． 使 CD⊥AB， 沿 CD 挖水沟，水沟最短； （3）如图③，甲、乙两辆汽车分别沿道路 AC，BC 同时出发开往 C 城，若两车 速度相同，那么甲车先到 C 城．其中，运用“垂线段最短”这个性质的是（ A． ①② B． ①③ C． ②③ D． ①②③ ）
例题精讲（10 分钟）
【例题 1】 如图， 直线 AB， CD 相交于点 O， 射线 OM 平分∠AOC， ON⊥OM， 若∠AOM=35° ，则∠CON 的度数为（ ）
A． 35° 【答案】 C
B． 45°
C． 55°
D． 65°
【解析】由射线OM平分∠AOC，∠AOM=35° ，得出∠MOC=35° ，由ON⊥OM， 得出∠CON=∠MON﹣∠MOC得出答案． ∵射线OM平分∠AOC， ∠AOM=35° ， ∴∠MOC=35°， ∵ON⊥OM ， ∴∠MON=90°， ∴∠CON=∠MON ﹣
段 AC 和 BD 的交点 H
（2）理由是：垂线段最短． 【解析】（1）线段 AC 和 BD 的交点即是水厂的位置． （2）过点 H 作直线 EF 的垂线段即可．
课程小结重点回顾（5 分钟）
1.两条直线相交成两种关系的角： 对顶角、 邻补角.其性质： （1） 对顶角相等； （2） 邻补角互补. 2.垂线的定义及其性质、画法： （1）定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条 直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 （2）垂线的画法：a.一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上， b.二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上， c.三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线. （2） 性质： a.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与以后学习的平行公理 相比较记)； b.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. 3.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离； 4.理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异 的概念.
1
三、知识讲解（32 分钟）
知识点 1：邻补角与对顶角： （12 分钟） 1. 在下图中直线AB、 CD相较于点O,那么所成的四个角中，具有两种不同关系的 角；
（1）对顶角：如果两个角有一个公共顶点, 而且一个角的两边分别是另一角两 边的反向延长线,那么这两个角叫对顶角. 如上图：∠AOC与∠BOD,∠AOD与∠BOC; (2)邻补角：有一条公共边,而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角；上 图：∠AOC与∠AOD,∠AOC与∠BOC等 1.下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
考点 2：垂线的定义及其性质、画法（10 分钟） ： 1.定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线 互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。如下 图：
C A B O B D B B B B B
符号语言记作：AB⊥CD，垂足为 O；
2.垂线的画法： （1）过直线上一点画已知直线的垂线； （2）过直线外一点画已知 直线的垂线. 注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线； ②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上. 画法： （1）一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上， （2）二移：移动三角尺 使一点落在它的另一边直角边上， （3）三画：沿着这条直角边画线，不要画成给 人的印象是线段的线. 3.性质： （1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与以后学习的平行公理 相比较记)； （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最 短.
是对顶角，故此选项错误； D、钝角的补角一定是锐角．此选项正确． 故选D.
【巩固】 1.如图， 直线 AB、 CD 相交于点 O， OE⊥CD， ∠BOE=54° ， 则∠AOC 等于 （ ）
A． 【答案】C
54°
B． 46°
C．
36°
D．
26°
【解析】根据余角的定义、对顶角相等推知∠AOC=∠BOD=90° ﹣∠BOE． 如图，∵OE⊥CD， ∴∠DOE=90° ． 又∵∠BOE=54° ， ∴∠BOD=90° ﹣∠BOE=36° ， ∴∠AOC=∠BOD=36° ． 故选 C．
新领航教育初一寒假小班课程——第一讲 相交线的概念以及垂线的定义、性质
科目 知识点
数学
时间
90 分钟
年级
初一
相交线；对顶角、邻补角；垂线；垂线段最短；点到直线的 距离.
教学目标
知识与技能： 1.了解邻补角、 对顶角, 能找出图形中的一个角的邻补角和对 顶角,理解对顶角相等、邻补角互补，同时可以自行推断出等 角（或同角）的邻补角(对顶角)相等，并能运用它解决一些问 题.； 2.了解垂线、点到直线的距离的意义，理解垂线和垂线段的 性质； 3.会用三角板过一点画已知直线的垂线，并会度量点到直线 的距离.
二、复习预习（10 分钟）
学生回忆： 七年级上学期学过（1）直线、射线、线段、角的定义以及线段中点以及角平分 线的定义： 1.线段有大小，可以计算，而直线、射线不能比较大小； 2.点 B 把线段 AC 分成两条相等的线段，点 B 叫做线段 AC 的中点。有 AB＝BC ＝2AC. 3.角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做 这个角的平分线. （2）余角与补角的定义及其性质： a.余角：如果两个角的和相加等于直角即 90° ，那么这两个角互余，其中一个角 叫做另一个角的余角. 补角：如果两个角的和相加等于平角即 180° ，那么这两个角互补，其中一个角 叫做另一个角的补角. b.性质： （1）同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等.
∠MOC=90° ﹣35° =55° ． 故选：C．
【例题 2】下列图形中，线段 PQ 的长表示点 P 到直线 MN 的距离是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】 A 【解析】 利用点到直线的距离的定义可知：线段 PQ 的长表示点 P 到直线 MN 的距离的是 A 图． 故选 A．
【例题 3】 【题干】下列各种说法（ ）
2.如图，为解决 A、B、C、D 四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水 厂， （1）不考虑其他因素，请你画图确定水厂 H 的位置，使之与四个小区的距离之 和最小． （2）另外，计划把河流 EF 中的水引入水厂 H 中，使之到 H 的距离最短，请你 画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由．
【答案】 （1）连接 AC 和 BD，线 点就是水厂的位置．
五、课堂练习（30分钟）
1.下列说法中，正确的是（
）
A、一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线 B、P是直线l外一点，A，B，C分别是l上的三点，已知PA=1，PB=2，PC=3，则 点P到l的距离一定是1 C、相等的角是对顶角 D、钝角的补角一定是锐角
【答案】D 【解析】 根据角平分线的定义及点到直线的距离的概念及对顶角的概念等定义 分析．A、一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分 线． 故此选项错误； B、 P是直线l外一点， A， B， C分别是l上的三点， 已知PA=1， PB=2，PC=3，则点P到l的距离不大于1．故此选项错误； C、相等的角不一定
2.对顶角、邻补角的性质： （1）对顶角相等；（2）邻补角互补. 注意：（板书必备） （1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角； （2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α 与∠β不一定是对顶角； （3） 如果∠α与∠β互为邻补角， 则一定有∠α+∠β=180°； 反之如果∠α+∠β=180°， 则∠α与∠β不一定是邻补角； （4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一 个.
2. 如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB=5cm，BC=3cm，则 BD 的长度的取值范围是 （ ）
A．
大于 3cm
B． 小于 5cm
C．
大于 3cm 或小于 5cm
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D．
大于 3cm 且小于 5cm
【答案】D 【解析】∵AD⊥BD，BC⊥CD，AB=5cm，BC=3cm，∴BC＜BD＜AB，即 BD 的长度的取值范围 是大于 3cm 且小于 5cm．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】 根据对顶角的特征， 有公共顶点， 且两边互为反向延长线， 对各选项分析判断后利用排除法求解． A．∠1、∠2没有公共顶点，不是对顶角，故本选项错误； B．∠1、∠2两边不互为反向延长线，不是对顶角，故本选项错误； C．∠1、∠2有公共顶点，两边互为反向延长线，是对顶角，故本选项正确； D．∠1、∠2两边不互为反向延长线，不是对顶角，故本选项错误； 故选：C．
【拔高】 1.已知直线 AB、CD 相交于 O，OE⊥AB，垂足为 O，OF 平分∠AOC，∠AOF： ∠AOD=5：26，求∠EOC．
【答案】∵OF 平分∠AOC，∴∠AOF=∠COF，∵∠AOF：∠AOD=5：26， ∴设∠AOF=5x，则∠AOD=26x，∠FOC=5x，∴5x+5x+26x=36x=180° ，解得： x=5° ， ∴∠AOF=∠COF=25° ，∴∠EOC=∠EOA+∠AOC=90° +50° =140° ． 【解析】根据已知得出∠AOF=∠COF 的度数是解题关键.