韦达定理的论文

逐渐被遗忘的数学财富——韦达定理

[摘要]:韦达定理是由十六世纪著名的杰出数学家韦达发现的，它描述了一元二次方程的根与系数之间的关系。韦达定理的内容具有灵活性、应用广泛性、条件放缩性等特点，在一元二次方程中是一个重点。所以，它能培养学生逻辑思维能力、灵活解决问题能力等。但是，由于各种客观原因，韦达定理已正式得退出学生的教科书，并且逐渐被教师所遗忘。这就造成我们学生们也将失去认识这笔数学财富的机会。所以，我认为教师应借机向学生传授有关韦达定理的知识点。

关键词：一元二次方程 韦达定理

引言

在平时的教学过程中，教师们经常会碰到一些需要运用韦达定理的相关题目。但是，由于教科书中已经删除了该块内容，导致讲解此类题目时有很大的困难，学生理解起来也会有很多的迷惑之处。比如前段时间，在初三的一次辅导中，学生碰到了一题考查一元二次不等式的题目，题意如下：

已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}24x x <<，则不等式20cx bx a ++<的解集为_____________

本题主要考查学生一元二次不等式与一元二次方程的转化，以及整体思想和转换思想的能力。学生要是按照平时的方程解法去做，解题难度会比较大，即使能力强的学生也要花上很长时间才能将解题过程写完整。但是，如果学生能理解并且应用韦达定理的话，此题的解题思路就会显而易见，并能简化解题过程。所以，我认为借助几种典型的题型来讲解和归纳韦达定理的重要性，是很有必要与意义的。 正文

任给一个一元二次方程

()

200ax bx c a ++=≠，设他的两根为

1,2

x x ，利用求根公式

)2

4x b ac =-得到根和系数的关系：

1212b c x x x x a a +=-=且，这就是著名的韦

达定理。它描述了方程的根和系数之间的关系，是一元二次方程解法的补充。接下来，我们来归纳一下韦达定理在我们教学中几种典型题型应用。 一．已知方程的一根，求另一根

例1. 已知关于x 的方程2

250x kx +-=的一根为

1x =

，求另一根

2

x 和k 的值。

解析：由韦达定理可知

1252x x =-

，所以

2152x x =-÷=

，

1212k

x x +=-

=-，所以2k =。

【注释】本题要是按照平时的做法，先将

1

x 带入方程中，求出k 值，再用求根公式去求另外

一个解，虽然也能得到正确的答案。但是由于方程的根带有根号，计算时难度会加大，而且学生的出错率也会随之增加。但该题由韦达定理求解，明显能减少学生计算量，也能提高正确性。

二．对复杂系数的一元二次方程求解

例2.已知方程()()22110x a x a a -+++=的两个解为12,x x

，请求出12x x -的值？

解析：根据韦达定理可得1221x x a +=+，()121x x a a =+，所以学生很容易得出12,1

x a x a ==+，

所以12x x -11a a =--=。

【注释】：在本题中出现了另一个字母a ，部分学生可能比较迷茫，不知道怎么求解。若学生直接采用求根公式进行求解，计算量会很大，而且出现了字母a ，可能导致部分学生无法简化根的形式而出错。但是，此题采用韦达定理求解，就能跳过繁琐的计算，直接求出答案。 三，已知两根，构造新的一元二次方程

例3.已知某一元二次方程的两根为2+-2，请确定该方程的表达式。

解析：设所求方程为

2

20x bx c ++=，

由韦达定理可得

232b

+=-

，

(

()

2352c

+-

=

。

解得10,2b c =-=+

所以所求一元二次方程为

221020x x -++=。

例4.已知方程2

0x x +=，求一个一元二次方程，使它的根分别比第一个方程的两根

大2.

解析：设所求方程的两个根为

12

,m m ，且

11222,2

m x m x =+=+，

由韦达定理可得12121,2x x x x +=-=-，则 121243

m m x x +=++=

()()()1212121222242m m x x x x x x =++=+++=-

所以()221212320

m m m m m m m m -++=-+=。

【注释】：上面两题题型考查学生如何构造方程，需要学生有较强的理解和抽象思维能力。但是，初中学生的抽象能力与构造能力很薄弱，很难找到此题的切入点。倘若学生能采用韦达定理，其解题思路是很明显的，而且讲解时学生也很容易理解，能很大程度上降低了难度。 四．利用整体思想求代数式的值

例5.已知关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根12,x x 满足22127x x +=，

求实数21m -的值。

解析：因为22127

x x +=，

所以2

2112212227

x x x x x x ++-=

即()2

121227

x x x x +-=。

根据韦达定理可知1212,21x x m x x m +==-。

所以

()22217

m m --=。

解得

121,5

m m =-=

检验:当m=5时，

()2

5419

∆=--⨯⨯，舍去