二次根式的化简求值(拓展)

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二次根式的运算(拓展)

【知识梳理】

1、 当0≥a 时,称a 为二次根式,显然0≥a 。

2、 二次根式具有如下性质:

(1)()

()02≥=a a a ; (2)⎩

⎨⎧<-≥==时;,当时,,当002a a a a a a (3)()00≥≥⋅=b a b a ab ,;

(4)()00>≥=b a b

a b a ,。 3、二次根式的运算法则如下:

(1)()()0≥±=±c c b a c b c a ;

(2)()()0≥=a a a n n 。

4、设Q m d c b a ∈,,,,,且m 不是完全平方数,则当且仅当d b c a ==,时,

m d c m b a +=+。

5、二次根式是代数式中应掌握的非常复杂的内容,其运算常用到换元、拆项相消、分解相约等方法,还应注意运用乘法公式、分母有理化等技巧,最后的结果一定要化成最简二次根式的形式。

6、最简二次根式与同类二次根式

(1)一个根式经过化简后满足:

被开方数的指数与根指数互质;

被开方数的每一个因式的指数都小于根指数;

被开方数不含分母。

适合上述这些条件的根式叫做最简根式。

(2)几个根式化成最简根式后,如果被开方数都相同,根指数也都相同,那么这几个根式叫做同类根式。

【例题精讲】

【例1】已知254245222+-----=x

x x x y ,则=+22y x ___________________。

【巩固一】若y x ,为有理数,且42112=+-+-y x x ,则xy 的值为___________。 【巩固二】已知200911+-+-=x x y ,则=+y x _______________________。

【拓展】若m 适合关系式y x y x m y x m y x --⋅+-=

-++--+19919932253,求m 的值。 【例2】当b a 2<时,化简二次根式a

b ab a b a a 2

2442+--。 【巩固】

1、化简()2232144--+-x x x 的结果是__________________。

2、已知0

A.a

B.a -

C.a 3

D.a 3-

3、已知c a b <<<0,化简()()()2222c b b a a c a -++--+

。 【例3】多重二次根式的化简:

(1)324324-++; (2)223810++。

【巩固】化简:(1)=+21027______________________;

(2)=+-526425________________________;

(3=______________________; 【拓展】化简111119911993199419951996++++⨯。

【例4】计算: (1)()()23362

3346++++; (2)2115141021

151410+++--+。 【巩固】计算:

(1)7

5235

213515+++++; (2)4266777647511+++++。 【拓展】设2008

20071

321

211

++++++= M , 200820074321-++-+-= N ,则

()21+M N 的值是__________________________。

二次根式的化简求值(拓展)

【知识梳理】

有条件的二次根式化简求值问题是代数式的化简求值的重点与难点,这类问题包容了有理式的众多知识,又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要概念,同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式或图形等重要的技巧与方法,解题的关键是,有时需把已知条件化简,或把已知条件变形;有时需把待求式化简或变形;有时需把已知条件和待求式同时变形。

【例题精讲】

【例1】设55+=

x ,55-=y ,求66y x +的值。 【巩固】

1、设12121

21

2-+=+-=y x ,,求22y xy x +-的值。 2、已知3

21321-=+=y x ,,求()()221111+++y x 的值。 【拓展】已知32-=x ,求432565x x x x -+-的值。

【例2】已知21=+

x x ,那么191322++-++x x x x x x 的值等于______________。 【巩固】

1、若a a x -=1,则24x x +的值为( ) A.a a 1- B.a a -1 C.a

a 1+ D.不能确定 2、已知51

=+x x ,求1

122+--++x x x x x x 的值。 【例3】已知b a 、是实数,且

()()11122=++++b b a a ,问b a 、之间有怎样的关系?请推导。 【巩固】已知()()20082008200822=++++y y x x ,求5866432

2+----y x y xy x 的值。 【例4】已知b a 、均为正数,且2=+b a ,求1422+++=

b a U 的最小值。 【巩固】求代数式()912422+-+

+x x 的最小值。

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