高中数学不等式初步

不等式基础必备

1、均值定理： n n n n Q A G H ≥≥≥（当且仅当...12n a a a =

==时取等号） 注解：

n Q 平方平均值：n Q =

n A 算术平均值：...12n

n a a a A n

+++=；

n G 几何平均值：n G = n H 调和平均值：...n 12n

n

H 111a a a =

+++，即：

...n 12n

n 111

H a a a =+++ 其中，,,...12n a a a 0>

例如：1a 1=，2a 2=，求n Q 、n A

、n G 、n H

，并比较它们的大小. 解：.n Q 16=

=≈； .n 1

2A 152+

==；

.n G 14==≈； .n 224

H 131121312

2

=

=

=≈++ 可见：有n n n n Q A G H ≥≥≥

2、指数不等式：x e 1x ≥+ （当且仅当x 0=时取等号） 注解：由于要求不等式右边1x 0+≥，故：x 1≥-

记忆方法见函数图.

曲线x y e =在x R ∈区间都处在直线y 1x =+的上方，仅在x 0=处相切. 即：x

e 1x

≥+，当且仅当x 0=时取等号.

例如：x 1=时，左边.x e 2718≈，右边1x 2+=

故：x e 1x ≥+

3、对数不等式：ln x x 1≤- （当且仅当x 1=时取等号） 注解：由于0和负数没有对数，所以：x 0>

记忆方法见函数图.

曲线ln y x =在x 0>区间都处在直线y x 1=-的下方，仅在x 1=处相切. 即：ln x x 1≤-， 当且仅当x 1=时取等号

也可以由x e 1x ≥+得：y 1e y -≥

两边取对数：ln y 1y -≥，即：ln x x 1≤-

例如：x e =时，左边ln ln x e 1==，右边.x 1e 117181-=-≈>，故：ln x x 1≤- 著名的对数不等式是：x

1x x 1x

ln()≤+≤+ (x 1>-) 4、柯西不等式：

(...)(...)(...)222222212n 12n 1122n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ （当且仅当

...n 12

12n

a a a

b b b ===时取等号） 注解：设向量(,,...,)12n A a a a =v ，向量(,,...,)12n B b b b =v

，

其中：,,...12n a a a 为A r 在正交系中的各分量；,,...12n b b b 为B r

正交系中的各分量. 则...222212n A a a a =+++v ， (2)

22212n B b b b =+++v ， ...1122n n A B a b a b a b ⋅=+++v v

由向量公式：cos ,A B A B A B ⋅=<>v v v v v v 得：A B A B ⋅≤v v v v

两边自乘得：()222A B A B ≥⋅v v v v

将上面的结果代入得：

(...)(...)(...)222222212n 12n 1122n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ 这正是柯西不等式.

例如：1a 1=，2a 2=，1b 3=，2b 4=

则：21a 1=，22a 4=，()2212a a 5+=；

21b 9=，22b 16=，()2212b b 25+=； ()()22221212a a b b 525125++=⨯=；

11a b 3=，22a b 8=，()221122a b a b 11121+==.

()()22221212a a b b 125121++=> 故：()()()2222212121122a a b b a b a b ++≥+

5、琴生不等式： 注解：

⑴ 设在[,]x a b ∈区间()f x 为上凸函数，如图

即()f x 的二次导数''()f x 0≤，

则：

()()()f a f b a b

f 22

++≤ ① 图中，A 点为均值的函数值，B 点为函数的均值. 即：对于上凸函数，函数的均值不大于均值的函数值. ⑵ 设在[,]x a b ∈区间()f x 为下凸函数，如图

即()f x 的二次导数''()f x 0≥，

则：

()()()f a f b a b

f 22

++≥ ② 图中，A 点为均值的函数值，B 点为函数的均值. 即：对于下凸函数，函数的均值不小于均值的函数值. 上面的①②式，称为琴生不等式.

例如：对于函数()sin f x x =，在[,]x 0π∈区间为上凸函数，

因为'()cos f x x =，''()sin f x x 0=-≤（[,]x 0π∈） 故：()sin f x x =在[,]x 0π∈区间为上凸函数. 此时，a 0=，b π=，则

a b 22

π

+= ()()f a f 00==，()()f b f 0π==，即：

()()f a f b 00

022

++==；

而(

)()a b f f 122π+==. 故：()()()f a f b a b

f 22

++≤ 例如：二次函数()2f x x 2x 1=-+

因为'()f x 2x 2=-，''()f x 20=> 所以()f x 下凸函数.

在[,]x 02∈区间有：()f 01=，()f 21=，()f 10= 即：

()()f 0f 212+=，()()02

f f 102+==

故：

()()()f 0f 202

f 22

++> 其实，在x R ∈区间，都满足()()()f a f b a b

f 22

++≥ ⑶ 推广为一般形式

对于(,)x a b ∈的上凸函数，即:''()f x 0≤，有：

()()...()...()12n 12n

f x f x f x x x x f n n

++++++≤ （,,...,(,)12n x x x a b ∈）

对于(,)x a b ∈的下凸函数，即:''()f x 0≥，有：

()()...()...()12n 12n

f x f x f x x x x f n n

++++++≥ （,,...,(,)12n x x x a b ∈）

这就是琴生不等式.