函数(一)变量与函数的概念
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例 2 下列各题中两个函数是否表示同一函数:
(1)f(x)＝x,g(x)＝( x)2; (2)f(t)＝t,g(x)＝3 x3; (3)f(x)＝xx2－－24,g(x)＝x＋2.
点拨要判断两个函数是否为同一函数,关键在于看函 数的两要素:定义域和对应关系是否相同，两者只要有 一个不同,两个函数就不是同一函数．
知识点三 求函数解析式 例 3 已知 f(x－1)＝x2－2x＋7.
(1)求 f(2)和 f(a)的值; (2)求 f(x)和 f(x＋1)的解析式．
点拨 解答本题可先理清 f(x)是对应法则 f 对自变量 x 作用的结果,而 f(x－1)就是对应法则 f 对“x－1”作 用的结果,然后通过求特殊值 2 和字母 a 的函数值进 一步体会 f 的作用,进而求得 f(x)与 f(x＋1)的解析式 ．
解 (1)f(x)的定义域为 R,g(x)的定义域为{x|x≥0},两个函数 的定义域不同,故不是同一函数． (2)g(x)＝x,两者的定义域和对应关系相同,故是同一函数． (3)f(x)的定义域为(－∞,2)∪(2,＋∞),g(x)的定义域为 R,故不 是同一函数． 规律方法 只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相 同时,这两个函数才是同一函数,这就是说: (1)定义域不同,两个函数也就不同; (2)对应关系不同,两个函数也是不同的; (3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数,它们也不一定 是同一函数,因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数 的对应关系; (4)两个函数是否相同,与自变量是什么字母无关．
设集合 A 是一个非空的数集 ,对 A 中的任意数x ,按照确
定的法则 f，都有唯一确定的数 y 与它对应，则这种对应
关系叫做集合 A 上的一个函数 ．记作 y＝f(x),x∈A .
其中 x 叫做自变量，自变量取值的范围(数集 A)叫做这个
函数的 定义域 ．
如果自变量取值 a，则由法则 f 确定的值 y 称为函数在 a
变式迁移 2 试判断下列函数是否为同一函数: (1)f(x)＝ x· x＋1与 g(x)＝ x(x＋1); (2)f(x)＝x2－2x 与 g(t)＝t2－2t; (3)f(x)＝1 与 g(x)＝x0(x≠0)．
解 (2)是,(1)、(3)不是． 对于(1),f(x)的定义域为[0,＋∞),而 g(x)定义域为 (－∞,－1]∪[0,＋∞)． (3)也是定义域不同．
第二章 函数
§2.1 函数 2.1.1 函数(一)—变量与函数的概念
自主学案
学习目标 1．理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，
体会对应关系在刻画函数概念中的作用． 2．通过实例领悟构成函数的三要素；会求一些简单函数
的定义域． 3．了解区间的概念，体会用区间表示数集的意义和作用．
自学导引
1．函数的有关概念
对点讲练
知识点一 已知解析式求函数的定义域
例 1 求下列函数的定义域： (1)y＝3－12x；(2)y＝1－ 31－x； (3)y＝2x2－－3xx－2；(4)y＝ 2x＋3－ 21－x＋1x.
点拨求函数定义域，其实质是求使解析式各部分都
有意义的未知数的取值范围． 解 (1)函数 y＝3－12x 的定义域为 R；
规律方法 求函数定义域的原则:(1)分式的分母不等于
零;(2)偶次根式的被开方数(式)为非负数;(3)零指数幂
的底数不等于零等．
变式迁移 1 求下列函数的定义域: (1)f(x)＝x2－36x＋2;
(2)f(x)＝ 3x－1＋ 1－2x＋4; (3)f(x)＝(|xx＋|－1x)0.
解 (1)由 x2－3x＋2≠0,得:x≠1,x≠2 ∴f(x)＝x2－36x＋2的定义域是{x∈R|x≠1 且 x≠2}．
(2)由31x－－21x≥≥00 ,得13≤x≤12.
∴f(x)＝ 3x－1＋ 1－2x＋4 的定义域是13，12.
(3)由x|x＋|－1x≠≠00 ,得x|x≠|≠－x，1
∴x<0 且 x≠－1,
∴原函数的定义域为{x|x<0 且 x≠－1}．
知识点二 两函数相同的判定
(2)要使函数有意义,需11－－x≥1－0，x≠0 ⇔xx≤≠10 ⇔x≤1 且 x≠0,所以函数 y＝1－ 31－x的定义域为{x|x≤1 且 x≠0}＝
(－∞,0)∪(0,1];
(3)要使函数有意义,需－2xx2－≥30x，－2≠0
ห้องสมุดไป่ตู้
x≤0， ⇔x≠2且x≠－12
⇔x≤0 且 x≠－12.
故函数 y＝2x2－－3xx－2的定义域为
x|x≤0且x≠－12＝－∞，－12∪－12，0;
(4)要使函数有意义,需22x－＋x3>≥0，0， x≠0.
解得－32≤x<2 且 x≠0, 所以函数 y＝ 2x＋3－ 21－x＋1x的定义域为 x|－32≤x<2且x≠0＝－32，0∪(0,2)．
处的函数值，记作 y＝f(a)或y|x＝a. 所有函数值构成的集合 {y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函
数的值域．
函数 y＝f(x)也经常写作函数f 或 函数f(x) ．
因为函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定，所
以确定一个函数就只需两个要素: 定义域和对应法则 ．
2．区间的概念 设 a，b∈R，且 a<b. (1)满足 a≤x≤b 的全体实数 x 的集合叫做 闭区间 ，表示 为 [a，b] ． (2)满足 a<x<b 的全体实数 x 的集合叫做 开区间 ，表示为 (a，b) ． (3)满足 a≤x<b 或 a<x≤b 的全体实数 x 的集合叫做 半开 半闭区间 ，分别表示为 [a,b)或(a,b] ． (4)实数集 R 用区间表示为 (－∞，＋∞)． (5)把满足 x≥a，x>a，x≤b，x<b 的全体实数 x 的集合分 别表示为 [a,＋∞),(a,＋∞),(－∞,b],(－∞,b) ．
解 (1)f(2)＝f(3－1)＝9－2×3＋7＝10; f(a)＝f((a＋1)－1) ＝(a＋1)2－2(a＋1)＋7＝a2＋6.
(1)f(x)＝x,g(x)＝( x)2; (2)f(t)＝t,g(x)＝3 x3; (3)f(x)＝xx2－－24,g(x)＝x＋2.
点拨要判断两个函数是否为同一函数,关键在于看函 数的两要素:定义域和对应关系是否相同，两者只要有 一个不同,两个函数就不是同一函数．
知识点三 求函数解析式 例 3 已知 f(x－1)＝x2－2x＋7.
(1)求 f(2)和 f(a)的值; (2)求 f(x)和 f(x＋1)的解析式．
点拨 解答本题可先理清 f(x)是对应法则 f 对自变量 x 作用的结果,而 f(x－1)就是对应法则 f 对“x－1”作 用的结果,然后通过求特殊值 2 和字母 a 的函数值进 一步体会 f 的作用,进而求得 f(x)与 f(x＋1)的解析式 ．
解 (1)f(x)的定义域为 R,g(x)的定义域为{x|x≥0},两个函数 的定义域不同,故不是同一函数． (2)g(x)＝x,两者的定义域和对应关系相同,故是同一函数． (3)f(x)的定义域为(－∞,2)∪(2,＋∞),g(x)的定义域为 R,故不 是同一函数． 规律方法 只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相 同时,这两个函数才是同一函数,这就是说: (1)定义域不同,两个函数也就不同; (2)对应关系不同,两个函数也是不同的; (3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数,它们也不一定 是同一函数,因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数 的对应关系; (4)两个函数是否相同,与自变量是什么字母无关．
设集合 A 是一个非空的数集 ,对 A 中的任意数x ,按照确
定的法则 f，都有唯一确定的数 y 与它对应，则这种对应
关系叫做集合 A 上的一个函数 ．记作 y＝f(x),x∈A .
其中 x 叫做自变量，自变量取值的范围(数集 A)叫做这个
函数的 定义域 ．
如果自变量取值 a，则由法则 f 确定的值 y 称为函数在 a
变式迁移 2 试判断下列函数是否为同一函数: (1)f(x)＝ x· x＋1与 g(x)＝ x(x＋1); (2)f(x)＝x2－2x 与 g(t)＝t2－2t; (3)f(x)＝1 与 g(x)＝x0(x≠0)．
解 (2)是,(1)、(3)不是． 对于(1),f(x)的定义域为[0,＋∞),而 g(x)定义域为 (－∞,－1]∪[0,＋∞)． (3)也是定义域不同．
第二章 函数
§2.1 函数 2.1.1 函数(一)—变量与函数的概念
自主学案
学习目标 1．理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，
体会对应关系在刻画函数概念中的作用． 2．通过实例领悟构成函数的三要素；会求一些简单函数
的定义域． 3．了解区间的概念，体会用区间表示数集的意义和作用．
自学导引
1．函数的有关概念
对点讲练
知识点一 已知解析式求函数的定义域
例 1 求下列函数的定义域： (1)y＝3－12x；(2)y＝1－ 31－x； (3)y＝2x2－－3xx－2；(4)y＝ 2x＋3－ 21－x＋1x.
点拨求函数定义域，其实质是求使解析式各部分都
有意义的未知数的取值范围． 解 (1)函数 y＝3－12x 的定义域为 R；
规律方法 求函数定义域的原则:(1)分式的分母不等于
零;(2)偶次根式的被开方数(式)为非负数;(3)零指数幂
的底数不等于零等．
变式迁移 1 求下列函数的定义域: (1)f(x)＝x2－36x＋2;
(2)f(x)＝ 3x－1＋ 1－2x＋4; (3)f(x)＝(|xx＋|－1x)0.
解 (1)由 x2－3x＋2≠0,得:x≠1,x≠2 ∴f(x)＝x2－36x＋2的定义域是{x∈R|x≠1 且 x≠2}．
(2)由31x－－21x≥≥00 ,得13≤x≤12.
∴f(x)＝ 3x－1＋ 1－2x＋4 的定义域是13，12.
(3)由x|x＋|－1x≠≠00 ,得x|x≠|≠－x，1
∴x<0 且 x≠－1,
∴原函数的定义域为{x|x<0 且 x≠－1}．
知识点二 两函数相同的判定
(2)要使函数有意义,需11－－x≥1－0，x≠0 ⇔xx≤≠10 ⇔x≤1 且 x≠0,所以函数 y＝1－ 31－x的定义域为{x|x≤1 且 x≠0}＝
(－∞,0)∪(0,1];
(3)要使函数有意义,需－2xx2－≥30x，－2≠0
ห้องสมุดไป่ตู้
x≤0， ⇔x≠2且x≠－12
⇔x≤0 且 x≠－12.
故函数 y＝2x2－－3xx－2的定义域为
x|x≤0且x≠－12＝－∞，－12∪－12，0;
(4)要使函数有意义,需22x－＋x3>≥0，0， x≠0.
解得－32≤x<2 且 x≠0, 所以函数 y＝ 2x＋3－ 21－x＋1x的定义域为 x|－32≤x<2且x≠0＝－32，0∪(0,2)．
处的函数值，记作 y＝f(a)或y|x＝a. 所有函数值构成的集合 {y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函
数的值域．
函数 y＝f(x)也经常写作函数f 或 函数f(x) ．
因为函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定，所
以确定一个函数就只需两个要素: 定义域和对应法则 ．
2．区间的概念 设 a，b∈R，且 a<b. (1)满足 a≤x≤b 的全体实数 x 的集合叫做 闭区间 ，表示 为 [a，b] ． (2)满足 a<x<b 的全体实数 x 的集合叫做 开区间 ，表示为 (a，b) ． (3)满足 a≤x<b 或 a<x≤b 的全体实数 x 的集合叫做 半开 半闭区间 ，分别表示为 [a,b)或(a,b] ． (4)实数集 R 用区间表示为 (－∞，＋∞)． (5)把满足 x≥a，x>a，x≤b，x<b 的全体实数 x 的集合分 别表示为 [a,＋∞),(a,＋∞),(－∞,b],(－∞,b) ．
解 (1)f(2)＝f(3－1)＝9－2×3＋7＝10; f(a)＝f((a＋1)－1) ＝(a＋1)2－2(a＋1)＋7＝a2＋6.