3.4基本不等式

问题4：s, S’有相等的情况吗？何时相等？
形的角度
图片说明：当直角三角形 变为等腰直角三角形，即 a=b时，正方形EFGH缩为一 个点，这时有
a b =2ab
2 2
数的角度
当a=b时 a2+b2－2ab =(a－b)2=0
2 2 问5：当a,b为任意实数时， a b 2a b
1 2 ( x 3) 35 x3 1 当且仅当x 3 ,即x 4时，函数有最大值， x3 最大值为5。
三、新知建构，典例分析
例2. 若 0<x< 1 , 求函数 y = x (1 2 x ) 的最大值 . 2 分析: 2 x+(1-2x) 不是 =1为 常数. 1 解: ∵0<x< 2 , ∴1-2x>0. 1 ∴y=x(1-2x)= 2 ∙2x∙(1-2x) 1 2x+(1-2x) ]2 1 ≤ ∙[ = 8. 2 2 1 当且仅当 2x=(1-2x), 即 x= 4 时, 取“=”号. 1. ∴当 x = 1 时 , 函数 y = x (1 2 x ) 的最大值是 8 4
z 240000 720 2 1600
z 297600
即
当x=y,即x=y=40时,等号成立 所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方 形时总造价最低,最低总造价为297600元.
四、当堂训练，针对点评
b >0，若 3是 1.设 a >0，
得最小值为（
3a 与 3b
1 1 的等比中项，则 a b
②如何用a, b表示CD?
D
A a OC b B
E
ab CD=______
≥ OD_____CD ＞
③OD与CD的大小关系怎样?
ab ≥ ab 2
几何意义：半径不小于弦长的一半
填表比较：
三、新知建构，典例分析
a b ≥2ab
2 2
ab ≥ ab 2
a>0,b>0
适用范围 文字叙述 “=”成立条件
z ax by（
A.
a＞0， b
B.
2 3 的最小值为（ A >0）的最大值为12，则 ） a b
配凑系数
三、新知建构，典例分析
利用基本不等式求最值问题：
ab 2 如果a 0, b 0, 那么a b 2 ab或ab ( ). 2
（1）如果a，b＞0，且ab＝P（定值），那么
2 p 当且仅当_____ 小 值______( a=b 时取“=”）. a+b有最____
（2）如果a，b＞0，且a＋b＝S （定值），那么 1 2 s a=时取“=”）. 大 值______( ab有最____ 当且仅当______ 4 利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等。
2 2
a b≥2 ab
ab 即： ≥ ab (a 0, b 0) 2
你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？
ab 证明：要证 ≥ ab 2
只要证
ab 证明不等式： ≥ ab (a 0, b 0) 2
a b≥ _______ 2 ab _____ 要证①，只要证 a b 2 ab ≥0
a,b∈R
两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数
a =b
a =b
注意从不同角度认识基本不等式
三、新知建构，典例分析
重要变形：
2ab ab a b 若a 0, b 0, 则 ab ， ab 2 2 （由小到大） 当且仅当a b时取等号。
三、新知建构，典例分析
2002年国际数学家大会会标
三国时期吴国的数学家赵爽
三、新知建构，典例分析
思考：这会标中含有 怎样的几何图形？ 思考：你能否在这个 图案中找出一些相等 关系或不等关系？
问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,
则AB= a b 则正方形的面积为S= a b 。
解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元. 4800 根据题意,有:
z 150 3 240000 720(x y) 120(2 3x 2 3y)
由容积为4800m3,可得:3xy=4800 因此 xy=1600 由基本不等式与不等式的性质,可得
240000 720(x y) 240000 720 2 xy
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). 2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S xy≤ 1 S 4
利用基本不等式求最值时，要注意
①各项皆为正数； ②和或积为定值； ③注意等号成立的条件.
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.
适用范围： a>0,b>0
ab 在数学中，我们把 叫做正数a，b的算术平均数， 2 ab 叫做正数a，b的几何平均数；
文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? 如图, AB是圆的直径, O为圆心， 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD. ab ①如何用a, b表示OD? OD=______ 2
解：如图设BC=x ，CD=y ， 若x、y皆为正数， 则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m.
y
B
x
C
x 则当 y xy的值是常数P时， x y≥2 100 20, ≥ xy 2当且仅当x=y时， 2( x y)≥40 x+y有最小值_______. 2 P 当且仅当 x=y 时，等号成立 此时x=y=10.
一、导学提示，自主学习
2.本节主要题型 题型一 比较大小 题型二 利用基本不等式求最值 题型三 基本不等式的实际应用 3.自主学习教材P97-P100 ab 3. 4基本不等式： ab
2
二、新课引入，任务驱动
线性规划的两类重要实际问题的解题思路：
（1）应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件， 确定线性目标函数。 （2）用图解法求得数学模型的解，即画出可行域， 在可行域内求得使目标函数取得最值的解.(一般最优解 在直线或直线的交点上，要注意斜率的比较.） （3）要根据实际意义将数学模型的解转化为实际 问题的解，即结合实际情况求得最优解。
B）
B. 4
（2009年天津理6）
A. 8
C. 1
D.
1 4
因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时， 因此，这个矩形的长为12m、宽为 6m时， 2 花园面积最大，最大面积是72m 2 花园面积最大，最大面积是72m
3 x y 6 0, 2.（2009山东理12T)设 x, y 满足约束条件 x y 2 0, 若目标函数 x 0, y 0,
2 2
三、新知建构，典例分析
2 .典例分析：
题型一 利用基本不等式求最值 题型二 基本不等式的实际应用
1 例1. (1)已知x 0, 求x 的最值; x 1 ( 2) 已知x 0,求x 的最值 ; x 1 ( 3)若x 3,函 数y x ,当x为 何 值 时 ， 函 数 x3 有最值，并求其最值。
一“正” 二“定” 三“相等”
例4.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容 积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为 150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水 池能使总造价最低?最低总造价是多少?
分析:水池呈长方体形,它的高是3m,底面的长 与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了, 水池的总造价也就确定了.因此应当考察底 面的长与宽取什么值时水池总造价最低。
二、新课引入，任务驱动
通过本节的学习你能掌握基本不等式及 应用吗？
三、新知建构，典例分析
一.基本不等式的推导 二.基本不等式
三、新知建构，典例分析
这是2002年在北京召开的第24届国际数 学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个 风车，代表中国人民热情好客。
ab ab (2课时) 2
ab 3. 4基本不等式： ab （2课时） 2 一、导学提示，自主学习 二、新课引入，任务驱动 三、新知建构，典例分析 四、当堂训练，针对点评 五、课堂总结，布置作业
一、导学提示，自主学习
1.本节学习目标 （1）理解并掌握基本不等式及其推导过程，明确 基本不等式成立的条件 ． （2）能利用基本不等式求代数式或函数的最值 ， 并会解决有关的实际问题. 学习重点：基本不等式的应用 学习难点：基本不等式推导过程及成立的条件
x yxy ≥2 xy 2 P x 10 10m时，所用的篱笆 因此，这个矩形的长、宽都为 100 解 ，可得 最短，最短的篱笆是 40m. x y y 10
例3.(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜 园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积 最大，最大面积是多少？ A D
2
分 析 法
① ②
(a 0, b 0, a ( a ) , b ( b ) )
2
要证②，只要证
(___ a ___) b ≥0
2
③
显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.
特别地，若a>0，b>0，则
≥ a b _____ 2 ab
ab 通常我们把上式写作： ab≤ (a 0, b 0) 2
还成立吗？
结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有 2 2
a b 2a b
当且仅当a=b时，等号成立 此不等式称为重要不等式