第六章-非线性方程求根
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第6章 非线性方程求根(1、二分法、迭代法)
(2) 如果将原方程化为等价方程 x = 仍取初值
x0 = 0
3
3
x+1 2
x1 =
x0 + 1 = 2
3
3
1 ≈ 0 .7937 2
1 .7937 ≈ 0 .9644 2
x2 =
依此类推,得 依此类推, x3 = 0.9940 同样的方程 x4 = 0.9990 不同的迭代格式 x5 = 0.9998 x6 = 1.0000 有不同的结果 x7 = 1.0000 已经收敛, 已经收敛,故原方程的解为 x = 1.0000
用一般迭代法求方程x lnx＝ 在区间（ 例：用一般迭代法求方程x-lnx＝2在区间（2，∞） 内的根，要求|x 内的根，要求|xk-xk-1|/|xk|<=10-8 f(x)=x-lnx解：令f(x)=x-lnx-2 f(2)<0,f(4)>0,故方程在 2,4） 故方程在（ f(2)<0,f(4)>0,故方程在（2,4）内至少有一个根
y p1 p0
y=x y=g(x)
y p0
y=x
p1 x x0 y y=g(x) x1 x* y=x y y=g(x) p0 x0 x* x1
y=g(x)
x
y=x
p0 p1 x x1 x0 x* x0 x* x1 p1 x
f(x)=0化为等价方程x=g(x)的方式是不唯 f(x)=0化为等价方程x=g(x)的方式是不唯 化为等价方程x=g(x) 一的,有的收敛,有的发散. 一的,有的收敛,有的发散. example： For example：2x3-x-1=0
1 3 ( x + 1 ) = g ( x ) 进行迭代，则在 进行迭代，则在(1, 3
192-习题作业-第六章非线性方程求根 典型习题解答
第六章非线性方程的数值解法习题解答
填空题：
1. 求方程 x = f (x) 根的牛顿迭代格式是__________________。
Ans:
xn+1
=
xn
-
xn - f (xn ) 1 - f ﾢ(xn )
2.求解方程
在(1, 2)内根的下列迭代法中，
(1)
(2)
(3)
(4)
收敛的迭代法是（A）.
A．(1)和(2) B. (2)和(3) C. (3)和(4) D. (4)和(1)
3、试分别用 Newton 法和割线法求以下方程的根
x - cos x = 0
取初值
x0
=
0.5, x1
=
p 4
，比较计算结果。
解： Newton 法： x1 = 0.75522242,x2 =0.73914166,x3 =0.73908513 ； 割线法： x2 = 0.73638414,x3 =0.73905814,x4 =0.73908515,x5 =0.73908513 ；
由 j (x) = 4 - 2x , j '(x) = -2x ln 2 > 2 ln 2 ﾻ 1.36829 > 1, 故不能用 xk+1 = 4 - 2xk 来迭
代。
将原方程改写为 x = ln(4 - x) / ln 2, 此时， j (x) = ln(4 - x) / ln 2,
j '(x)
对 x = tgx � x = p + arctgx � xk +1 = p + arctgxk 用搜索法知在[4.45, 4.50]内有根，取x0 = 4.45迭代，x(5) = 4.49341。
填空题：
1. 求方程 x = f (x) 根的牛顿迭代格式是__________________。
Ans:
xn+1
=
xn
-
xn - f (xn ) 1 - f ﾢ(xn )
2.求解方程
在(1, 2)内根的下列迭代法中，
(1)
(2)
(3)
(4)
收敛的迭代法是（A）.
A．(1)和(2) B. (2)和(3) C. (3)和(4) D. (4)和(1)
3、试分别用 Newton 法和割线法求以下方程的根
x - cos x = 0
取初值
x0
=
0.5, x1
=
p 4
，比较计算结果。
解： Newton 法： x1 = 0.75522242,x2 =0.73914166,x3 =0.73908513 ； 割线法： x2 = 0.73638414,x3 =0.73905814,x4 =0.73908515,x5 =0.73908513 ；
由 j (x) = 4 - 2x , j '(x) = -2x ln 2 > 2 ln 2 ﾻ 1.36829 > 1, 故不能用 xk+1 = 4 - 2xk 来迭
代。
将原方程改写为 x = ln(4 - x) / ln 2, 此时， j (x) = ln(4 - x) / ln 2,
j '(x)
对 x = tgx � x = p + arctgx � xk +1 = p + arctgxk 用搜索法知在[4.45, 4.50]内有根，取x0 = 4.45迭代，x(5) = 4.49341。
非线性方程求根
得到一个迭代序列： x0，x1，x2，. . . ，xn，. . .
几何含义：求曲线 y = (x) 与直线 y = x 的交点
18:28:03
Numerical Analysis
9
y p0 x0 y
18:28:03
y=x
p1
y= (x)
✓
y p0
y=x
✓
p1 y= (x)
x x1 x2 x*
x0
(x) ( y) L x y
则(x) 在 [a,b] 上存在唯一的不动点 x*
证明：P216
18:28:03
Numerical Analysis
12
收敛性分析
不动点迭代的收敛性
定理：设 (x) C[a,b] 且满足
(1) 对任意的 x[a,b] 有 (x)[a,b]
(2) 存在常数 0<L<1，使得任意的 x, y[a,b] 有
for k = 1 : n x = g(x); fprintf('k=%2d, x=%.7f\n',k,x); if abs(x-xt)<tol, break, end
end xt = fzero(f,[3,4]);
fprintf('True solution: x = %.7f\n', xt)
% Steffenson 加速
性质：若
lim
k
xk
x *，则不动点迭代收敛，且 x*
是 f(x)=0 的解；否则迭代法发散。
18:28:03
Numerical Analysis
11
解的存在唯一性
解的存在唯一性
定理：设 (x) C[a,b] 且满足
几何含义：求曲线 y = (x) 与直线 y = x 的交点
18:28:03
Numerical Analysis
9
y p0 x0 y
18:28:03
y=x
p1
y= (x)
✓
y p0
y=x
✓
p1 y= (x)
x x1 x2 x*
x0
(x) ( y) L x y
则(x) 在 [a,b] 上存在唯一的不动点 x*
证明：P216
18:28:03
Numerical Analysis
12
收敛性分析
不动点迭代的收敛性
定理：设 (x) C[a,b] 且满足
(1) 对任意的 x[a,b] 有 (x)[a,b]
(2) 存在常数 0<L<1，使得任意的 x, y[a,b] 有
for k = 1 : n x = g(x); fprintf('k=%2d, x=%.7f\n',k,x); if abs(x-xt)<tol, break, end
end xt = fzero(f,[3,4]);
fprintf('True solution: x = %.7f\n', xt)
% Steffenson 加速
性质：若
lim
k
xk
x *，则不动点迭代收敛，且 x*
是 f(x)=0 的解；否则迭代法发散。
18:28:03
Numerical Analysis
11
解的存在唯一性
解的存在唯一性
定理：设 (x) C[a,b] 且满足
第六讲 非线性方程求根
设方程f(x)=0有近似根xk（f `(xk)0），将f(x)在xk 展开： （在x和xk之间）
f ( ) 2 f ( x) f ( xk ) f ( xk )( x xk ) ( x xk ) 2!
可设
f ( x) f ( xk ) f ( xk )( x xk )
x
f (x ) x f ( x )
例：采用切线法求方程在区间[0.5，2]上的一个根。
x x 20
3
>> r=NewtonRoot('sqrt(x)-x^3+2',0.5,2)
r= 1.4759
弦截法（割线法） 在Newton迭代格式中，用差商近似导数，
f ( xk ) f ( xk 1 ) f ( xk ) xk xk 1
function r=FindRoots(f,a,b,eps) f_1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a); %两端点的函数值 f_2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b); mf=subs(sym(f),findsym(sym(f)),(a+b)/2); %中点函数值 if(f_1*mf>0) t=(a+b)/2; r=FindRoots(f,t,b,eps); %右递归 else if(f_1*mf==0) r=(a+b)/2; else if(abs(b-a)<=eps) r=(b+3*a)/4; else s=(a+b)/2; r=FindRoots(f,a,s,eps); %左递归 end end end 注：SUBS：Symbolic substitution. Also used to evaluate expressions numerically. SYM ； Construct symbolic numbers, variables and objects. FINDSYM：Finds the symbolic variables in a symbolic expression or matrix.
《应用数值分析》课件数值分析6非线性方程(组)求根
这种格式称为简化Newton迭代法
精度稍低
迭代法的局部收敛性
无论哪种迭代法：Newton迭代法 简化Newton法
是否收敛均与初值的位置有关.
例3 f (x) x3 x 3, 精确解x* 1.6717
用Newton迭代法求解: xk1 xk (xk3 xk 3) / (3xk2 1)
收敛
定理6.4.1假设 x* 是 f (x)的单根，f (x)在根
的邻域 ：x x 内具有二阶连续导数，
且对任意 x 有 f x 0，又因初值x0 ，
则当邻域 充分小时，牛顿法具有2阶收敛速度．
改进的Newton迭代
• 简化Newton迭代 • 拟Newton法（Broyden方法） • 离散Newton法
6.6. 非线性方程组的迭代法 把非线性方程组改写成 x (x) (1(x),2 (x), ,n (x))T
并构造不动点迭代法 x(k1) (x(k) ), k 0,1,
给定初始点 x(0)， 生成迭代序列 x(k)
若 lim x(k) x*， 且 (x) 是连续的, 则 x* 满足 x* (x*) k
与 x 轴的交点，作为下一个迭代点 xk1，
即x k 1
xk
f (xk ) f '(xk )
Newton法的改进
Newton迭代法
xk 1 xk
f ( xk ) f ( xk )
需要求每个迭代点处的导数 f (xk )
用x0近似替代f (xk )中的xk , 得
复杂！
xk 1 xk
f ( xk ) f ( x0 )
表
k0
x1(k )
0
x
(k 2
)
0
数值分析课件 第六章非线性方程求根
OhSo basically we are yeah? Who tells done! the method you that I can’t believe it’s so simple! is convergent? What’s the problem?
§3. Fixed-Point Iteration y p1 p0 y=x y=g(x) y p0 y=x
几个根？
• 哪儿有根？确定有根区间
• 根的精确化：已知一个根的近似值后，能否
将它精确到足够精度？
本章假设 f C[a, b]，且 f (a) · (b) < 0，则 f 在 (a, b) f 上至少有一根，(a,b)即为有根区间。问题1、2得到解 决。
1. 逐步搜索法
§2 根的搜索
x0=a xk-1 x* xk b
第六章 非线性方程求根
/* Solutions of Nonlinear Equations */ §1 Introduction
科学技术中常遇到高次代数方程或超越方程 的求根问题。大于4次的代数方程无求根公式。 因此需要研究函数方程求根问题的数值方法。
求 f (x) = 0 的根或零点x*
求根问题包括下面三个问题： • 根的存在性：即f(x)=0有没有根？若有，有
③ 当k 时， xk 收敛到 x* ？
| x * x k | | g ( x *) g ( x k 1 ) | | g ( ξ k 1 ) | | x * x k 1 |
L | x * x k 1 | ...... L | x * x 0 | 0
说明：①迭代函数不唯一，②迭代点列可能收敛，也可 能发散，迭代收敛与否不仅与迭代函数有关，还与初 始点有关。
§3. Fixed-Point Iteration y p1 p0 y=x y=g(x) y p0 y=x
几个根？
• 哪儿有根？确定有根区间
• 根的精确化：已知一个根的近似值后，能否
将它精确到足够精度？
本章假设 f C[a, b]，且 f (a) · (b) < 0，则 f 在 (a, b) f 上至少有一根，(a,b)即为有根区间。问题1、2得到解 决。
1. 逐步搜索法
§2 根的搜索
x0=a xk-1 x* xk b
第六章 非线性方程求根
/* Solutions of Nonlinear Equations */ §1 Introduction
科学技术中常遇到高次代数方程或超越方程 的求根问题。大于4次的代数方程无求根公式。 因此需要研究函数方程求根问题的数值方法。
求 f (x) = 0 的根或零点x*
求根问题包括下面三个问题： • 根的存在性：即f(x)=0有没有根？若有，有
③ 当k 时， xk 收敛到 x* ？
| x * x k | | g ( x *) g ( x k 1 ) | | g ( ξ k 1 ) | | x * x k 1 |
L | x * x k 1 | ...... L | x * x 0 | 0
说明：①迭代函数不唯一，②迭代点列可能收敛，也可 能发散，迭代收敛与否不仅与迭代函数有关，还与初 始点有关。
非线性方程求根方法
x 0 , x1, x
2
,L , x
n
,L
该序列以根x 该序列以根 *为极限
只要二分足够多次(即k足够大),便有 x* xn < ε 这里ε为给定精度,由于x * ∈ a n , bn ,则
bn a n b a x xn ≤ = 2 2 n +1 bn an ba Q = bn+1 an+1 = n+1 2 2
y
y=f(x) y=f(x)
x* a a1 a2 x1 x* x0 b1 b2 b a x0 a1 x1 a2 b b1 b2
y
y = f ( x)
a
x0
o
b
x
若前两种情况出现之一，则就意味着找到了一个比 若前两种情况出现之一， 原区间长度小一半的隔根区间了。 原区间长度小一半的隔根区间了。设为 [a1,b1 ].
an xn + an1xn1 +L+ a1 x + a0 = 0
(an ≠ 0)
为n次代数方程,当n＞1时,方程显然是非线性的 次代数方程, 一般稍微复杂的3次以上的代数方程或超越方程, 一般稍微复杂的3次以上的代数方程或超越方程, 很难甚至无法求得精确解。 很难甚至无法求得精确解。本章将介绍常用的求解 非线性方程的近似根的几种数值解法 通常方程根的数值解法大致分为三个步骤进行 ① 判定根的存在性。即方程有没有根？如果有 判定根的存在性。即方程有没有根？ 有几个根？ 根，有几个根？ ② 确定根的分布范围。即将每一个根用区间隔 确定根的分布范围。 离开来， 离开来，这个过程实际上是获得方程各根的 初始近似值。 初始近似值。 ③ 根的精确化。将根的初始近似值按某种方法 根的精确化。 逐步精确化， 逐步精确化，直到满足预先要求的精度为止 记笔记
第六章 非线性方程(组)的求解
* * 又当 n 充 分 大[ 以 a ,b 后 ] ， (x ,x ), 于是 m 为偶数 n n 时， x [ a ,b ],f (x ) 0 ,不 变 号 了 ！ n n
2）二分法线性收敛，收敛因子为1/2。
* x x n 1 1 * 1 * x x ( x a ) ( x x ), . n n 1 n 1 n 1 * 2 2 x x2 n 1
f (x) m(x x*)m1h(x) h(x) g(x) 1 (x x*)g(x),h(x*) 0, m f (x) (x) x x 1 (x-x* )g(x) / h(x), f (x) m (x*) 1 1 , (x*) 1 1 1 , m m 牛顿迭代线性收敛，且 随 m的增加收敛性越来越差 。 重根时的改进：
或
定理一的条件太强，不便于实际应用。下面给出一个局部 收敛定理。
由迭代（ 6 -1 -1 ） 产产生的 x 均收 数 敛收敛 n * 1 x x x x n n n 1 1 L n L * 或 x x x x n 1 L1 0
* * * 定理二 :如果 (x ) 连续 (x ， ) L 1, 则 x N (x ， 0 δ )
关于初值的问题： 一般来说采用试探法，但对于一些实际问题初值的选择并 不困难，它是明确的。
关于重根的问题：
* 设 x 是 f( x ) 的 m 重零 m 点 1) , 此 （时 * m * f( x ) ( x x ) g ( x ), g ( x ) 0 , 1 * m 1 * f ( x ) m ( x x ) [ g ( x ) ( x x ) g ( x )], m
称算法（6-1-1）为牛顿迭代法。 f (x) 证明：令 (x) x ,则 xN (x*), f (x) 0 x (x) f (x) (x) f *) 0 (x) 1 f ( x ), ( x ,牛顿迭代收敛 2 [ f (x)] () * * 又 xn1 x (xn) (x ) (xn x*)2; 2 xn1 x* () c,至少二阶收敛。 2 2 (x x*)
第六讲 非线性方程求根
k
迭代收敛!
方法二
1 2 1 2 x ( x 3) xk 1 ( xk 3), k 0,1,2, 2 2 给定初值x0 4, 带入迭代格式，计算可得： x1 6.5, x2 19.625, x3 191.070,
迭代发散! 问题：如何构造收敛的格式？如何估计误差？ 如何提高收敛速度？
xk 1 xk ε1
f ( x) ε2
xk 1 xk xk
ε1
二分法的优点：计算简单，方法可靠； 缺点：不适合求偶数重根，也无法求复根，收敛速度 慢。通常用于为迭代法求方程的根提供一个较好的初 值。
例3：证明方程 f ( x) e x 10 x 2 0 存在唯一实根 x* (0,1)
注意：
在实际应用中，只要迭代初值在根的附近，就可以用
( x0 ) 代替 ( x*) 加以判定是否局部收敛。
例6 已知方程
xe
x
考察用格式 在0.5附近有一个根，
xk 1 e
xk
求此根的局部收敛性。
解：这里 x0 0.5 因此有 ( x0 ) e0.5 0.61 1 所以该迭代格式具有局部收敛性。
第六讲 非线性方程求根问题
• 非线性是实际问题中经常出现的，而且地位越 来越突出。 • 我们熟悉的很多线性问题或模型，通常都是非 线性问题在一定条件下的一种近似。 • 非线性方程可以是单个的方程，更多的情况则 是多个方程联立的方程组。
例如：
x 2 x 6 x 13x 8 x 12 0
( p 1)
( x*) 0, ( p ) ( x*) 0
局部收敛性 （1）局部收敛概念
若迭代过程 xk 1 ( xk ) 对 x0 x x x * 均收敛，则称迭代格式在根 （2）局部收敛判定定理
迭代收敛!
方法二
1 2 1 2 x ( x 3) xk 1 ( xk 3), k 0,1,2, 2 2 给定初值x0 4, 带入迭代格式，计算可得： x1 6.5, x2 19.625, x3 191.070,
迭代发散! 问题：如何构造收敛的格式？如何估计误差？ 如何提高收敛速度？
xk 1 xk ε1
f ( x) ε2
xk 1 xk xk
ε1
二分法的优点：计算简单，方法可靠； 缺点：不适合求偶数重根，也无法求复根，收敛速度 慢。通常用于为迭代法求方程的根提供一个较好的初 值。
例3：证明方程 f ( x) e x 10 x 2 0 存在唯一实根 x* (0,1)
注意：
在实际应用中，只要迭代初值在根的附近，就可以用
( x0 ) 代替 ( x*) 加以判定是否局部收敛。
例6 已知方程
xe
x
考察用格式 在0.5附近有一个根，
xk 1 e
xk
求此根的局部收敛性。
解：这里 x0 0.5 因此有 ( x0 ) e0.5 0.61 1 所以该迭代格式具有局部收敛性。
第六讲 非线性方程求根问题
• 非线性是实际问题中经常出现的，而且地位越 来越突出。 • 我们熟悉的很多线性问题或模型，通常都是非 线性问题在一定条件下的一种近似。 • 非线性方程可以是单个的方程，更多的情况则 是多个方程联立的方程组。
例如：
x 2 x 6 x 13x 8 x 12 0
( p 1)
( x*) 0, ( p ) ( x*) 0
局部收敛性 （1）局部收敛概念
若迭代过程 xk 1 ( xk ) 对 x0 x x x * 均收敛，则称迭代格式在根 （2）局部收敛判定定理
非线性方程求根方法分解PPT课件
度，用二分法需进行
n ln(b a) ln 10.96... ln 2
即最多需要11次二分。
x
xn
1 2
(b11
a11 )
0.000488281
1 10 3 2
12
第12页/共48页
计算结果
k
ak , bk
1
[1.0 , 2.0]
xk
1.5
f (xk )
2.375
1
第1页/共48页
根的概念
• 给定方程 f (x)=0，如果有a使得f(a)=0，则称a为 f(x) =0的根 或f(x)的零点.
• 设有正整数m使得f(x)=(x-a)mg(x)且g(a) 0 ， 则当m=2时，称a为f(x)=0的m重根； 当m=1时，称为f(x)=0的单根.
• 本章只讨论实根的求法.
从而
f (x )f (x ) (x ) [f (x )]2
由此知若 x 是f (x ) 0 的一个单根，则在x 附近 x * ＝0 Newton法是局部收敛的，并且收
敛速度至少是平方收敛的.
但如果x 是f (x ) 0 的m>1重根，0则
x*
11 1 m
此时Newton法仅有线性收敛速度.
30
第30页/共48页
{xk }
x 2 12.39
21
第21页/共48页
几何示意图
第22页/共48页
例 讨论以下计算 a (a 0) 的算法的收敛阶。
xn 1
1 2
xn
a xn
23
第23页/共48页
解：(1)
(x ) 1 (x a ) 2x
a 1aa
a
2
a
n ln(b a) ln 10.96... ln 2
即最多需要11次二分。
x
xn
1 2
(b11
a11 )
0.000488281
1 10 3 2
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计算结果
k
ak , bk
1
[1.0 , 2.0]
xk
1.5
f (xk )
2.375
1
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根的概念
• 给定方程 f (x)=0，如果有a使得f(a)=0，则称a为 f(x) =0的根 或f(x)的零点.
• 设有正整数m使得f(x)=(x-a)mg(x)且g(a) 0 ， 则当m=2时，称a为f(x)=0的m重根； 当m=1时，称为f(x)=0的单根.
• 本章只讨论实根的求法.
从而
f (x )f (x ) (x ) [f (x )]2
由此知若 x 是f (x ) 0 的一个单根，则在x 附近 x * ＝0 Newton法是局部收敛的，并且收
敛速度至少是平方收敛的.
但如果x 是f (x ) 0 的m>1重根，0则
x*
11 1 m
此时Newton法仅有线性收敛速度.
30
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{xk }
x 2 12.39
21
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几何示意图
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例 讨论以下计算 a (a 0) 的算法的收敛阶。
xn 1
1 2
xn
a xn
23
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解：(1)
(x ) 1 (x a ) 2x
a 1aa
a
2
a
计算方法一元非线性方程求根6.3
(x)
( x x )g( x )
*
mg ( x ) ( x x ) g ( x )
*
所以，x*是 ( x ) 的单零点.可将Newton法的迭代函数修改为
( x) x ( x) ( x)
'
x
f ( x) f ( x) [ f ( x )] f ( x ) f ( x )
第六章非线性方程组的迭代解法
6.3
一元方程的常用迭代法
6.3.1 Newton迭代法
6.3.2 割线法与抛物线法
第六章非线性方程组的迭代解法
6.3.1 Newton迭代法
x 设x*是方程f(x)=0的实根， k 是 x k x 一个近似根，用Taylor 展开式有 " f ( ) * ' * * 2 0 f ( x ) f ( x k ) f ( x k )( x x k ) ( x xk ) , 2 这里假设 f ' ' ( x ) 存在并连续。若 f ' ( x k ) 0 ，可得
第六章非线性方程组的迭代解法
定理6.5 设 f ( x ) 0 , f ( x ) 0 , 且f(x)在包含x*的 一个区间上有二阶连续导数,则Newton迭代法（6.3.2）至 少二阶收敛，并且
* ' *
lim
k
x k 1 x
*
* 2
( xk x )
f (x ) 2 f (x )
X
将(6.3.2)写成一般的不动点迭代(6.2.3)的形式,有
(x) x
' *
f (x) f ( x)
'
'
第6章非线性方程求根
推向了一个新的里程，并标志着数学发展现代阶段的开始。
10
例如代数方程 超越方程
x5-x3+24x+1=0, sin(5x2)+e-x=0.
方程是在科学研究中不可缺少的工具, f ( x) 0
方程求解是科学计算中一个重要的研究对象.
几百年前就已经找到 了代数方程中二次至 四次方程的求解公式;
但是,对于更高次数 的代数方程目前仍 无有效的精确解法;
家国民教育委员会批准开除出巴黎师范大学；
8
1831年5月l0日，伽罗华以“企图暗杀国王”的罪名被捕，关 押在圣佩拉吉监狱；
l832年3月16日伽罗华获释后不久，为了一个舞女决定为“爱 情与荣誉”决斗；
1832年5月29日夜，伽罗华仓促地把自己生平的数学研究心得 扼要写出，附以论文手稿，并在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我 在分析方面做出了一些新发现。有些是关于方程论的；有些是关 于整函数的……。公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正 确性，而是对这些定理的重要性发表意见。我希望将来有人发现，
3
米兰的数学和物理教授卡尔达诺(Cardano，1501—1576) 获悉该事后央求塔尔塔利亚将密诀告诉他，并发誓保密，在 卡尔达诺的恳求下，塔尔塔利亚把他的方法写成一首晦涩的
诗告诉了卡尔达诺； 1545年卡尔达诺出版著作《大法》(Arsmagna) ，公布了
一般三次方程求根公式，称为卡尔达诺公式； 《大法》同时公布了意大利数学家费拉里（Ferrali， 1522-1565）仿照一般三次方程求根思想，推导的一般四次
挑战对手的秘密武器； Ferro在临终前将解法传给了他的学生安东尼奥·菲奥尔
(Antonio M.Fior);
费罗去世后，菲奥尔向当时意大利最大的数学家之一塔尔 塔利亚(Tartaglia，1500—1557)提出挑战，要他解出30个三 次方程,塔尔塔利亚用8天时间解出了全部30个方程，得到了
10
例如代数方程 超越方程
x5-x3+24x+1=0, sin(5x2)+e-x=0.
方程是在科学研究中不可缺少的工具, f ( x) 0
方程求解是科学计算中一个重要的研究对象.
几百年前就已经找到 了代数方程中二次至 四次方程的求解公式;
但是,对于更高次数 的代数方程目前仍 无有效的精确解法;
家国民教育委员会批准开除出巴黎师范大学；
8
1831年5月l0日，伽罗华以“企图暗杀国王”的罪名被捕，关 押在圣佩拉吉监狱；
l832年3月16日伽罗华获释后不久，为了一个舞女决定为“爱 情与荣誉”决斗；
1832年5月29日夜，伽罗华仓促地把自己生平的数学研究心得 扼要写出，附以论文手稿，并在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我 在分析方面做出了一些新发现。有些是关于方程论的；有些是关 于整函数的……。公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正 确性，而是对这些定理的重要性发表意见。我希望将来有人发现，
3
米兰的数学和物理教授卡尔达诺(Cardano，1501—1576) 获悉该事后央求塔尔塔利亚将密诀告诉他，并发誓保密，在 卡尔达诺的恳求下，塔尔塔利亚把他的方法写成一首晦涩的
诗告诉了卡尔达诺； 1545年卡尔达诺出版著作《大法》(Arsmagna) ，公布了
一般三次方程求根公式，称为卡尔达诺公式； 《大法》同时公布了意大利数学家费拉里（Ferrali， 1522-1565）仿照一般三次方程求根思想，推导的一般四次
挑战对手的秘密武器； Ferro在临终前将解法传给了他的学生安东尼奥·菲奥尔
(Antonio M.Fior);
费罗去世后，菲奥尔向当时意大利最大的数学家之一塔尔 塔利亚(Tartaglia，1500—1557)提出挑战，要他解出30个三 次方程,塔尔塔利亚用8天时间解出了全部30个方程，得到了
第6章 非线性方程求根(2、newton法、迭代法的收敛阶)
定理 考虑方程 x = g(x), g(x)∈C[a, b], 若 ∈
( I ) 当 x∈[a, b] 时， g(x)∈[a, b]； ∈ ∈ ； ( II ) 0 ≤ L < 1 使得 | g’(x) | ≤ L < 1 对 x∈[a, b] 成立。 成立。 ∈ 则任取 x0∈[a, b]，由 xk+1 = g(xk) 得到的序列 { x k }∞= 0 收 ， k 敛于g(x) 在[a, b]上的唯一不动点。并且有误差估计式： 敛于 上的唯一不动点。并且有误差估计式： 上的唯一不动点 k 1 L | x * xk | ≤ | x k +1 x k | | x * xk | ≤ | x1 x 0 | 1 L 1 L 且存在极限
=
m 1 m
A3: 线性收敛
下山法 /* Descent Method */ ——Newton’s Method 局部微调： 局部微调： 原理： 减小， 原理：若由 xk 得到的 xk+1 不能使 | f | 减小，则在 xk 和 xk+1 之间找一个更好的点 x k + 1 ，使得 f ( xk+1 ) < f ( xk ) 。 xk xk+1
f ( xk ) x k +1 = λ [ x k ] + (1 λ ) xk f ′( xk ) = xk λ f ( xk ) f ′( xk )
λ xk +1 + (1 λ ) xk , λ ∈ [0, 1]
注：λ = 1 时就是Newton’s Method 公式。 时就是 公式。 代入效果不好时， 减半计算。 当 λ = 1 代入效果不好时，将 λ 减半计算。
x * x k +1 lim = g ′( x * ) k →∞ x * x k
第6章 - 非线性方程求根方法
1 2
② 计算：f0 = f (x0)(即中点函数值)
③ 生成含根区间 若 f (x0) = 0, 则x* = x0, 若f (x0) · (a0) > 0, 取 a1= x0, b1 = b0, f 若f (x0) · (a0) < 0, 取 a1= a0, b1 = x0 f
8
生成含根区间[a1, b1]满足:
二、 非线性方程(组)求解的特点
求解的特点：无求解公式，无直接解法，难求得精确解。 例: 超越方程 ex + cosx = 1 没有一定的解法。 又例如对于大于等于五次的代数方程，无解析根表 达公式，只能使用数值方法对于实际问题进行求解。
2
考虑非线性方程：
f (x) = 0
原理
如果
f ( x) C[a, b], f (a) f (b) 0
如果取初值 x0 = 1.9 ,计算得 k 0 1 2 3 4 5 xk 1.9 1.89453647 1.89352114 1.89333233 1.89329722 1.89329069 k 6 7 8 9 10 … xk 1.89328947 1.89328925 1.89328921 1.89328920 1.89328920 ……
1.6093750
1.6015625 1.5976562 1.5957031 1.5947266 1.5947266 1.5947266 1.5946045 1.5946046
1.6015625
1.5976562 1.5957031 1.5947266 1.5942383 1.5944824 1.5946045 1.5945435 1.5945741
(3.1)
(2) 从某初始值x0出发,作序列{xk}
② 计算：f0 = f (x0)(即中点函数值)
③ 生成含根区间 若 f (x0) = 0, 则x* = x0, 若f (x0) · (a0) > 0, 取 a1= x0, b1 = b0, f 若f (x0) · (a0) < 0, 取 a1= a0, b1 = x0 f
8
生成含根区间[a1, b1]满足:
二、 非线性方程(组)求解的特点
求解的特点：无求解公式，无直接解法，难求得精确解。 例: 超越方程 ex + cosx = 1 没有一定的解法。 又例如对于大于等于五次的代数方程，无解析根表 达公式，只能使用数值方法对于实际问题进行求解。
2
考虑非线性方程：
f (x) = 0
原理
如果
f ( x) C[a, b], f (a) f (b) 0
如果取初值 x0 = 1.9 ,计算得 k 0 1 2 3 4 5 xk 1.9 1.89453647 1.89352114 1.89333233 1.89329722 1.89329069 k 6 7 8 9 10 … xk 1.89328947 1.89328925 1.89328921 1.89328920 1.89328920 ……
1.6093750
1.6015625 1.5976562 1.5957031 1.5947266 1.5947266 1.5947266 1.5946045 1.5946046
1.6015625
1.5976562 1.5957031 1.5947266 1.5942383 1.5944824 1.5946045 1.5945435 1.5945741
(3.1)
(2) 从某初始值x0出发,作序列{xk}
第六章非线性方程求根
使用迭代法求解非线性代数方程的步骤为： (1) 迭代格式的构造； (2) 迭代格式的收敛性分析； (3) 迭代格式的收敛速度与误差分析。
1．简单迭代法
f (x) = 0 等价变换 x = (x) （6.3.1） 其中 (x)是连续函数。方程（6.3.1）称为不动点方程，满足
（6.3.1）式的点称为不动点，这样就将求 f ( x ) 的零点问题转 化为求 ( x ) 的不动点问题。 以不动点方程为原型构造迭代格式
收敛于1
同样的方程 不同的迭代公式 有不同的结果
x6 = 1.0000
什么形式的迭代法能够收敛呢?
x7 = 1.0000
说明：①迭代函数不唯一； ②迭代点列可能收敛，也可能发散，迭代收敛与否 不仅与迭代函数有关，还与初始点有关。
y
y=x
p1
y= (x)
p0
✓
x
x0
x1 x*
y
y= (x) y = x
1.287,1.51,1.5
由
x3 x2 0,
4 10x3
x3x40x3 10x33 20 8
知当 x1,1.5 时， x1.53 1.52 0.65561
410 1.52
所以迭代格式（2）是收敛的。
2
x*
x
执行步骤 1．计算f (x)在有解区间[a, b]端点处的值，f (a)，f (b)。
2．计算f (x)在区间中点处的值f (x1)。
3．判断若f (x1) = 0，则x1即是根，否则检验： （1）若f (x1)与f (a)异号，则知解位于区间[a, x1]， b1=x1, a1=a; （2）若f (x1)与f (a)同号，则知解位于区间[x1, b]， a1=x1, b1=b。
1．简单迭代法
f (x) = 0 等价变换 x = (x) （6.3.1） 其中 (x)是连续函数。方程（6.3.1）称为不动点方程，满足
（6.3.1）式的点称为不动点，这样就将求 f ( x ) 的零点问题转 化为求 ( x ) 的不动点问题。 以不动点方程为原型构造迭代格式
收敛于1
同样的方程 不同的迭代公式 有不同的结果
x6 = 1.0000
什么形式的迭代法能够收敛呢?
x7 = 1.0000
说明：①迭代函数不唯一； ②迭代点列可能收敛，也可能发散，迭代收敛与否 不仅与迭代函数有关，还与初始点有关。
y
y=x
p1
y= (x)
p0
✓
x
x0
x1 x*
y
y= (x) y = x
1.287,1.51,1.5
由
x3 x2 0,
4 10x3
x3x40x3 10x33 20 8
知当 x1,1.5 时， x1.53 1.52 0.65561
410 1.52
所以迭代格式（2）是收敛的。
2
x*
x
执行步骤 1．计算f (x)在有解区间[a, b]端点处的值，f (a)，f (b)。
2．计算f (x)在区间中点处的值f (x1)。
3．判断若f (x1) = 0，则x1即是根，否则检验： （1）若f (x1)与f (a)异号，则知解位于区间[a, x1]， b1=x1, a1=a; （2）若f (x1)与f (a)同号，则知解位于区间[x1, b]， a1=x1, b1=b。
第六章二分法
x*x7 =1.6758
下一页
例2，求方程f(x)= x 3 –e-x =0的一个实根。
因为 f(0)<0,f(1)>0。 故f(x)在(0,1)内有根
用二分法解之，(a,b）=（0,1)’计算结果如表：
ka
bk
00
1
xk
f(xk)符号
0.5000
－
1 0.5000 －
0.7500
－
2 0.7500 －
0.8750
＋
3 － 0.8750
0.8125
＋
4 － 0.8125
0.7812
＋
5 － 0.7812
0.7656
－
6 0.7656 －
0.7734
＋
7 － 0.7734
0.7695
－
8 0.7695 －
0.7714
－
9 0.7714 －
0.7724
－
10 0.7724 －
0.7729
＋
取x10=0.7729，误差为| x* -x10|<=1/211 。
用二分法求方程 f(x)=0在区间[a,b]内近似根的程序框图 如图2 a,b表示各有根区间的左右两端点; k为二分次数, 为
允许误差;当 a b 时,终止运算
返回
开始
输入 a,b,e
Y1=f(a),y2=f(b)
Y1*y2>0 K=1
X=(a+b)/2,y=f(x)
A=x,y1=y
Y1*y
返回
y
a o 图3
b
x
返回
取[a,b]区间二等分的中点x0 =(a+b)/2,
若f(x0)=0,则x0是f(x)=0的实根
下一页
例2，求方程f(x)= x 3 –e-x =0的一个实根。
因为 f(0)<0,f(1)>0。 故f(x)在(0,1)内有根
用二分法解之，(a,b）=（0,1)’计算结果如表：
ka
bk
00
1
xk
f(xk)符号
0.5000
－
1 0.5000 －
0.7500
－
2 0.7500 －
0.8750
＋
3 － 0.8750
0.8125
＋
4 － 0.8125
0.7812
＋
5 － 0.7812
0.7656
－
6 0.7656 －
0.7734
＋
7 － 0.7734
0.7695
－
8 0.7695 －
0.7714
－
9 0.7714 －
0.7724
－
10 0.7724 －
0.7729
＋
取x10=0.7729，误差为| x* -x10|<=1/211 。
用二分法求方程 f(x)=0在区间[a,b]内近似根的程序框图 如图2 a,b表示各有根区间的左右两端点; k为二分次数, 为
允许误差;当 a b 时,终止运算
返回
开始
输入 a,b,e
Y1=f(a),y2=f(b)
Y1*y2>0 K=1
X=(a+b)/2,y=f(x)
A=x,y1=y
Y1*y
返回
y
a o 图3
b
x
返回
取[a,b]区间二等分的中点x0 =(a+b)/2,
若f(x0)=0,则x0是f(x)=0的实根
计算方法2非线性方程求根
根据泰勒级数展开式构造迭代公式，通过不断迭代逼近方程的根。
收敛性
牛顿-拉夫逊方法具有局部收敛性，当初始值选取合适时，可以迅 速收敛到方程的根。同时，该方法对单根和重根均有效。
05
数值稳定性与误差分析
数值稳定性概念
数值稳定性
指算法在计算过程中，对于输入数据的微小变化，输出结果的变化也是微小的，即算法对输入误差的 敏感性较低。
算法设计与实现过程
算法设计
针对所选择的非线性方程，设计一种有效的 求根算法。常见的求根算法包括二分法、牛 顿法、割线法等。在选择算法时，需要考虑 算法的收敛性、稳定性和计算效率等因素。
算法实现
根据所设计的算法，编写相应的计算机程序。 程序应包括输入、计算和输出三个主要部分。 输入部分用于接收用户输入的非线性方程和 初始值等信息；计算部分用于执行求根算法 的计算过程；输出部分用于显示计算结果和 相关信息。
研究不足与展望
对于某些特殊类型的非线性方程，如高 次方程、多元方程等，本文算法可能存 在一定的局限性和不足，需要进一步研 究和改进。
在实际应用中，非线性方程的求解往往受到 各种因素的影响，如噪声、误差等，本文算 法在处理这些问题时可能需要进一步完善和 优化。
未来可以进一步探索非线性方程求 根的新方法和新技术，如基于深度 学习的求解方法、基于高性能计算 的并行化技术等，以提高求解效率 和精度。
高斯-赛德尔迭代法
在雅可比迭代法的基础上，采 用逐次超松弛技术加速收敛。
牛顿-拉夫逊迭代法
将非线性方程组转化为等价的 线性方程组，然后利用牛顿拉夫逊方法进行迭代求解。
牛顿-拉夫逊方法
基本思想
将非线性方程在根的附近用泰勒级数展开，忽略高阶项，得到近似 线性方程，然后求解该线性方程得到根的近似值。
收敛性
牛顿-拉夫逊方法具有局部收敛性，当初始值选取合适时，可以迅 速收敛到方程的根。同时，该方法对单根和重根均有效。
05
数值稳定性与误差分析
数值稳定性概念
数值稳定性
指算法在计算过程中，对于输入数据的微小变化，输出结果的变化也是微小的，即算法对输入误差的 敏感性较低。
算法设计与实现过程
算法设计
针对所选择的非线性方程，设计一种有效的 求根算法。常见的求根算法包括二分法、牛 顿法、割线法等。在选择算法时，需要考虑 算法的收敛性、稳定性和计算效率等因素。
算法实现
根据所设计的算法，编写相应的计算机程序。 程序应包括输入、计算和输出三个主要部分。 输入部分用于接收用户输入的非线性方程和 初始值等信息；计算部分用于执行求根算法 的计算过程；输出部分用于显示计算结果和 相关信息。
研究不足与展望
对于某些特殊类型的非线性方程，如高 次方程、多元方程等，本文算法可能存 在一定的局限性和不足，需要进一步研 究和改进。
在实际应用中，非线性方程的求解往往受到 各种因素的影响，如噪声、误差等，本文算 法在处理这些问题时可能需要进一步完善和 优化。
未来可以进一步探索非线性方程求 根的新方法和新技术，如基于深度 学习的求解方法、基于高性能计算 的并行化技术等，以提高求解效率 和精度。
高斯-赛德尔迭代法
在雅可比迭代法的基础上，采 用逐次超松弛技术加速收敛。
牛顿-拉夫逊迭代法
将非线性方程组转化为等价的 线性方程组，然后利用牛顿拉夫逊方法进行迭代求解。
牛顿-拉夫逊方法
基本思想
将非线性方程在根的附近用泰勒级数展开，忽略高阶项，得到近似 线性方程，然后求解该线性方程得到根的近似值。
第6章 非线性方程求根
x1 X2
f(x1)=0 f(x2)=0
X3
f(x3)=0
1、定义：对于函数y=f(x)，函数图象与x轴的交点的 横坐标叫做y=f(x)的零点。 2、结论：函数的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴的 交点的横坐标，也就是方程f(x)=0的实数根，所以 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交 点 函数y=f(x)有零点。
历史背景
代数方程的求根问题是一个古老的数学问 题。理论上，n次代数方程在复数域内一定有 n个根(考虑重数)。早在16世纪就找到了三次、 四次方程的求根公式，但直到19世纪才证明大 于等于5次的一般代数方程式不能用代数公式 求解，而对于超越方程就复杂的多，如果有解， 其解可能是一个或几个，也可能是无穷多个。 一般也不存在根的解析表达式。因此需要研究 数值方法求得满足一定精度要求的根的近似解。
例 用二分法求例1中方程 f(x)=x3-x-1=0的实根, 要求误差不超过0.005.
解 由x*∈(1, 1.5)，即：
|x*-xn|≤0.005 则要
1 1 1 (b a ) n (1.5 1) n1 0.005 n 2 2 2
2 由此解得 n 6.6, 取n=7, 按二分法计算过程见 lg 2
分别按以上三种形式建立迭代公式，并取x0=1进行
迭代计算，结果如下：
xk 1 1 ( xk ) (3 xk 2 x )
1 2 4 k
x26 x27 1.124123
xk 1 2 ( xk ) xk 4 1
x6 x7 1.124123 4 2 xk 1 3 ( x k ) x k 2 xk 3
1 例6.2： 求方程f ( x ) xe 1 0 (或x e )在[ ， ln 2]中的解。 2 若要求 x * xk 106 ，迭代次数k至少应为多少？
f(x1)=0 f(x2)=0
X3
f(x3)=0
1、定义：对于函数y=f(x)，函数图象与x轴的交点的 横坐标叫做y=f(x)的零点。 2、结论：函数的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴的 交点的横坐标，也就是方程f(x)=0的实数根，所以 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交 点 函数y=f(x)有零点。
历史背景
代数方程的求根问题是一个古老的数学问 题。理论上，n次代数方程在复数域内一定有 n个根(考虑重数)。早在16世纪就找到了三次、 四次方程的求根公式，但直到19世纪才证明大 于等于5次的一般代数方程式不能用代数公式 求解，而对于超越方程就复杂的多，如果有解， 其解可能是一个或几个，也可能是无穷多个。 一般也不存在根的解析表达式。因此需要研究 数值方法求得满足一定精度要求的根的近似解。
例 用二分法求例1中方程 f(x)=x3-x-1=0的实根, 要求误差不超过0.005.
解 由x*∈(1, 1.5)，即：
|x*-xn|≤0.005 则要
1 1 1 (b a ) n (1.5 1) n1 0.005 n 2 2 2
2 由此解得 n 6.6, 取n=7, 按二分法计算过程见 lg 2
分别按以上三种形式建立迭代公式，并取x0=1进行
迭代计算，结果如下：
xk 1 1 ( xk ) (3 xk 2 x )
1 2 4 k
x26 x27 1.124123
xk 1 2 ( xk ) xk 4 1
x6 x7 1.124123 4 2 xk 1 3 ( x k ) x k 2 xk 3
1 例6.2： 求方程f ( x ) xe 1 0 (或x e )在[ ， ln 2]中的解。 2 若要求 x * xk 106 ，迭代次数k至少应为多少？
数值分析- 非线性方程求根
那么迭代过程在
( x *) 0，
( p)
( x *) 0 ,
x * 附近是 p 阶收敛的 .
特别地，当
0 | ( x *) | 1时 , 迭代法线性收敛
;
当 ( x *) 0 , ( x *) 0时 , 平方收敛 .
§3
迭代收敛的加速方法
由迭代公式校正一次得
x 0 [ a , b ], 迭代序列 (2.2) 均收敛于 x *, L
k
1 L 1 1 L
| x1 x 0 |, | x k 1 x k | .
在 [1,2] 内考查如下迭代法的敛 1） x k 1
3 3 k
散性：
x k 1 ; 2） x k 1 x 1 .
• • •
设函数f(x)在区间［a,b］上单调连续,且 f(a)·f(b)＜0 则方程(1.1)在区间(a,b)内有且仅有 一个实根x。
二、二分法
二分法简述.
设 f ( a ) f ( b ) 0 , 取 x 0 ( a b ) / 2 . 假如 f ( x 0 ) 是 f ( x )的零点， 那么输出 x 0 , 停止 . 假若不然， 若 f ( a ) 与 f ( x 0 )同号，则 a1 x 0 , b1 b ; 否则 a1 a , b1 x 0 .
一、埃特金加速收敛方法
对于收敛的迭代过程， x1 ( x 0 ),
再校正一次得 x 2 ( x1 ).
如果 ( x ) 变化不大 , ( x ) L , 则
x1 x * ( x 0 ) ( x *) L ( x 0 - x *), x 2 x * ( x1 ) ( x *) L ( x1 - x *).
( x *) 0，
( p)
( x *) 0 ,
x * 附近是 p 阶收敛的 .
特别地，当
0 | ( x *) | 1时 , 迭代法线性收敛
;
当 ( x *) 0 , ( x *) 0时 , 平方收敛 .
§3
迭代收敛的加速方法
由迭代公式校正一次得
x 0 [ a , b ], 迭代序列 (2.2) 均收敛于 x *, L
k
1 L 1 1 L
| x1 x 0 |, | x k 1 x k | .
在 [1,2] 内考查如下迭代法的敛 1） x k 1
3 3 k
散性：
x k 1 ; 2） x k 1 x 1 .
• • •
设函数f(x)在区间［a,b］上单调连续,且 f(a)·f(b)＜0 则方程(1.1)在区间(a,b)内有且仅有 一个实根x。
二、二分法
二分法简述.
设 f ( a ) f ( b ) 0 , 取 x 0 ( a b ) / 2 . 假如 f ( x 0 ) 是 f ( x )的零点， 那么输出 x 0 , 停止 . 假若不然， 若 f ( a ) 与 f ( x 0 )同号，则 a1 x 0 , b1 b ; 否则 a1 a , b1 x 0 .
一、埃特金加速收敛方法
对于收敛的迭代过程， x1 ( x 0 ),
再校正一次得 x 2 ( x1 ).
如果 ( x ) 变化不大 , ( x ) L , 则
x1 x * ( x 0 ) ( x *) L ( x 0 - x *), x 2 x * ( x1 ) ( x *) L ( x1 - x *).
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第六章
非线性 方程（组）求根
问题驱动：全球定位系统（GPS）
人类对导航和定位的需求是伴随着人类整个文明历史的进 步而发展的，中国古代“四大发明”之一的指南针是最早的定 位仪器和系统，其后还有经纬仪以及近代的雷达。如图9.1.1所 示全球定位系统（GPS）是基于卫星的导航系统，最早由美国 和前苏联分别在80年代研制，并于1993年正式投入使用。现 代社会中全球定位系统越来越深入到人们生活的方方面面。例 如市场上出售的手持型GPS，定位的精度可以达到10米以内， 这无疑给旅行者提供了方便；安装有GPS的儿童手表，家长在 家里的计算机上可以追踪到孩子的位置，防止儿童走 失；安装有GPS系统的汽车可以帮助新司机辨识道路等等。
因而， f (x) 是严格单调的， f (x) 0 最多有一个根， 又因为 f (0) 1 0, f (1) e 8 0 所以， f (x) 0 有唯一实根 x* (0,1)
用二分法求解，要使 xk x* 0.5102，只要
1 0 2k 1
0.5 102
解得 k 2 6.64，取 k 7 。所以只要二等分7次，即可求得满
பைடு நூலகம்
1．画出 f(x) 的略图，从而看出曲线与x 轴交点的位置。 f(x)
x0 a x0 h
x* b
2．从左端点x = a出发，按某个预先选定的步长h 一步一步地向右跨，每跨一步都检验每步起点x0
和终点x0 + h的函数值，若 f (x0 ) f (x0 h) 0
那么所求的根x*必在x0与x0+h之间，这里可取x0或x0+h 作为根的初始近似。
许误差 就可以停止搜索，即
ba 2n
然后取其中点 xn 作为方程的一个根的近似值。
xn
例2 证明方程 ex 10x 2 0 存在唯一的实根 x* (0,1)
用二分法求出此根，要求误差不超过 0.5102 。
解：记 f (x) ex 10x 2 ，则对任意 x R ，
f (x) ex 10 0
图6.1.1 卫星定位示意图
美国和前苏联的GPS都包括有24颗卫星，它们不断地向地 球发射信号报告当前位置和发出信号的时间，卫星分布如图 6.1.2所示。它的基本原理是：在地球的任何一个位置，至少 同时收到4颗以上卫星发射的信号。
设地球上一个点R，同时收到卫星 S1, S2,L , S6 发射的信号，
开始
读入a, h
a x0 f (x0) y0
x0 + h x0
f (x0) y0>0
打印 否
结束
是 继续扫描
例1：考察方程
f (x) x3 x 1 0
x
0
0.5
f (x) 的符号 －
－
1.0
1.5
－
＋
§1 二 分 法
a
xa1 x*
xb2 b
xk1 xk ε1 或 f ( x) ε2
假设接收的信息如表6.1.1所示。请设法确定R点的位置。
表6.1.1
图6.1.2 卫星分布图
GPS导航问题可归结为求解非线性代数数方程组
F(x) 0 , 当 n 1 时就是单个方程.
f (x) 0
（6.1.1）
其中，f (x) 可以是代数方程，也可以是超越方程。使 f (x) 0 。
成立的x 值称为方程的根，或称为 f (x)的零点。科学与工程
不能保证 x 的精 度
2
x*
x
执行步骤 1．计算f (x)在有解区间[a, b]端点处的值，f (a)，f (b)。
2．计算f (x)在区间中点处的值f (x1)。
3．判断若f (x1) = 0，则x1即是根，否则检验： （1）若f (x1)与f (a)异号，则知解位于区间[a, x1]， b1=x1, a1=a; （2）若f (x1)与f (a)同号，则知解位于区间[x1, b]， a1=x1, b1=b。
m重根
若
f (x) (x x*)m g(x)
其中， g(x*) 0, m 为正整数，则当m=1时，称 x为* 方程（6.2.1）
的单根或函数 f (的x) 单零点。 当 m 时2，称 x为* 方程（6.2.1）
的 m重根或函数f (x的) m重零点。
2. 根的搜索
(1) 图解法（利用作图软件如 Matlab) (2) 解析法 (3) 近似方程法 (4) 定步长搜索法
反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间：
[a,b] [a1, b1] [a2, b2 ] L [an , bn ] L
4、当 bk1 ak1 时，停止；
注：
xk 1
1 2 (ak
bk )
即为根的近似。
当 n 时，bn an 0 ，即这些区间必将收缩于一点，也就是 方程的根。在实际计算中，只要[an ,bn ] 的区间长度小于预定容
计算中，如电路和电力系统计. 算、非线性力学、非线性微（ 积分）方程、非线性规划（优化）等众多领域中，问题的求 解和模拟最终往往都要解决求根或优化问题。前一种情形要 求出方程（组）的根；后一种情形则要求找出函数取最大或 最小的点。即使是对实验数据进行拟合或数值求解微分方程， 也总是将问题简化成上述两类问题。上述除少数特殊方程外， 大多数非线性代数方程（组）很难使用解析法求解精确解， 一般需要通过一些数值方法逼近方程的解。这里主要介绍单 个方程的数值解法，方程组也可以采用类似的方法，将放在 后面讨论。
lg 2
足精度要求的根。计算过程如表6.2.1所示
表6.2.1
k
0 1 2 3 4 5 6 7
所以，
f(ak)及符号
0(－) 0(－) 0(－) 0(－) 0.0625(－) 0.0625(－) 0.078125(－) 0.0859375(－)
f(xk)及符号
0.5(+) 0.25(+) 0.125(+) 0.0625(－) 0.09375(+) 0.078125(－) 0.0859375(－)
f (x) = 0
（6.2.1）
1．根的存在性。方程有没有根？如果有，有几个根？ 2．根的搜索。这些根大致在哪里？如何把根隔离开？ 3．根的精确化。
1.根的存在性
定义： 如果存在 x使* 得 f (x*，) 则0 称 为方程x*（6.2.1）
的根或函数 f (x的) 零点。
定理1：设函数 f (x) 在区间[a, b]上连续，如果f (a) f (b) < 0， 则方程 f (x) = 0 在[a, b]内至少有一实根x*。
非线性 方程（组）求根
问题驱动：全球定位系统（GPS）
人类对导航和定位的需求是伴随着人类整个文明历史的进 步而发展的，中国古代“四大发明”之一的指南针是最早的定 位仪器和系统，其后还有经纬仪以及近代的雷达。如图9.1.1所 示全球定位系统（GPS）是基于卫星的导航系统，最早由美国 和前苏联分别在80年代研制，并于1993年正式投入使用。现 代社会中全球定位系统越来越深入到人们生活的方方面面。例 如市场上出售的手持型GPS，定位的精度可以达到10米以内， 这无疑给旅行者提供了方便；安装有GPS的儿童手表，家长在 家里的计算机上可以追踪到孩子的位置，防止儿童走 失；安装有GPS系统的汽车可以帮助新司机辨识道路等等。
因而， f (x) 是严格单调的， f (x) 0 最多有一个根， 又因为 f (0) 1 0, f (1) e 8 0 所以， f (x) 0 有唯一实根 x* (0,1)
用二分法求解，要使 xk x* 0.5102，只要
1 0 2k 1
0.5 102
解得 k 2 6.64，取 k 7 。所以只要二等分7次，即可求得满
பைடு நூலகம்
1．画出 f(x) 的略图，从而看出曲线与x 轴交点的位置。 f(x)
x0 a x0 h
x* b
2．从左端点x = a出发，按某个预先选定的步长h 一步一步地向右跨，每跨一步都检验每步起点x0
和终点x0 + h的函数值，若 f (x0 ) f (x0 h) 0
那么所求的根x*必在x0与x0+h之间，这里可取x0或x0+h 作为根的初始近似。
许误差 就可以停止搜索，即
ba 2n
然后取其中点 xn 作为方程的一个根的近似值。
xn
例2 证明方程 ex 10x 2 0 存在唯一的实根 x* (0,1)
用二分法求出此根，要求误差不超过 0.5102 。
解：记 f (x) ex 10x 2 ，则对任意 x R ，
f (x) ex 10 0
图6.1.1 卫星定位示意图
美国和前苏联的GPS都包括有24颗卫星，它们不断地向地 球发射信号报告当前位置和发出信号的时间，卫星分布如图 6.1.2所示。它的基本原理是：在地球的任何一个位置，至少 同时收到4颗以上卫星发射的信号。
设地球上一个点R，同时收到卫星 S1, S2,L , S6 发射的信号，
开始
读入a, h
a x0 f (x0) y0
x0 + h x0
f (x0) y0>0
打印 否
结束
是 继续扫描
例1：考察方程
f (x) x3 x 1 0
x
0
0.5
f (x) 的符号 －
－
1.0
1.5
－
＋
§1 二 分 法
a
xa1 x*
xb2 b
xk1 xk ε1 或 f ( x) ε2
假设接收的信息如表6.1.1所示。请设法确定R点的位置。
表6.1.1
图6.1.2 卫星分布图
GPS导航问题可归结为求解非线性代数数方程组
F(x) 0 , 当 n 1 时就是单个方程.
f (x) 0
（6.1.1）
其中，f (x) 可以是代数方程，也可以是超越方程。使 f (x) 0 。
成立的x 值称为方程的根，或称为 f (x)的零点。科学与工程
不能保证 x 的精 度
2
x*
x
执行步骤 1．计算f (x)在有解区间[a, b]端点处的值，f (a)，f (b)。
2．计算f (x)在区间中点处的值f (x1)。
3．判断若f (x1) = 0，则x1即是根，否则检验： （1）若f (x1)与f (a)异号，则知解位于区间[a, x1]， b1=x1, a1=a; （2）若f (x1)与f (a)同号，则知解位于区间[x1, b]， a1=x1, b1=b。
m重根
若
f (x) (x x*)m g(x)
其中， g(x*) 0, m 为正整数，则当m=1时，称 x为* 方程（6.2.1）
的单根或函数 f (的x) 单零点。 当 m 时2，称 x为* 方程（6.2.1）
的 m重根或函数f (x的) m重零点。
2. 根的搜索
(1) 图解法（利用作图软件如 Matlab) (2) 解析法 (3) 近似方程法 (4) 定步长搜索法
反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间：
[a,b] [a1, b1] [a2, b2 ] L [an , bn ] L
4、当 bk1 ak1 时，停止；
注：
xk 1
1 2 (ak
bk )
即为根的近似。
当 n 时，bn an 0 ，即这些区间必将收缩于一点，也就是 方程的根。在实际计算中，只要[an ,bn ] 的区间长度小于预定容
计算中，如电路和电力系统计. 算、非线性力学、非线性微（ 积分）方程、非线性规划（优化）等众多领域中，问题的求 解和模拟最终往往都要解决求根或优化问题。前一种情形要 求出方程（组）的根；后一种情形则要求找出函数取最大或 最小的点。即使是对实验数据进行拟合或数值求解微分方程， 也总是将问题简化成上述两类问题。上述除少数特殊方程外， 大多数非线性代数方程（组）很难使用解析法求解精确解， 一般需要通过一些数值方法逼近方程的解。这里主要介绍单 个方程的数值解法，方程组也可以采用类似的方法，将放在 后面讨论。
lg 2
足精度要求的根。计算过程如表6.2.1所示
表6.2.1
k
0 1 2 3 4 5 6 7
所以，
f(ak)及符号
0(－) 0(－) 0(－) 0(－) 0.0625(－) 0.0625(－) 0.078125(－) 0.0859375(－)
f(xk)及符号
0.5(+) 0.25(+) 0.125(+) 0.0625(－) 0.09375(+) 0.078125(－) 0.0859375(－)
f (x) = 0
（6.2.1）
1．根的存在性。方程有没有根？如果有，有几个根？ 2．根的搜索。这些根大致在哪里？如何把根隔离开？ 3．根的精确化。
1.根的存在性
定义： 如果存在 x使* 得 f (x*，) 则0 称 为方程x*（6.2.1）
的根或函数 f (x的) 零点。
定理1：设函数 f (x) 在区间[a, b]上连续，如果f (a) f (b) < 0， 则方程 f (x) = 0 在[a, b]内至少有一实根x*。