高考二项式定理题型归纳
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六、二项式定理
一、指数函数运算
知识点:1 *)(N n a a a a a a
n n ∈⋅⋅=434
21Λ个 )0(10≠=a a *),0(1
N n a a a n n ∈≠=-2.运算性质: ),(Z n m a a a n m n m ∈=⋅+ ,),()(Z n m a a mn n m ∈=,)()(Z n b a ab n n n ∈⋅= 3.注意 ① n m a a ÷可看作n m a a -⋅ ∴n m a a ÷=n m a a -⋅=n m a -② n b
a )(可看作n n
b a -⋅ ∴n b a )(=n
n b a -⋅=n n b a 4、n m n
m
a a
= (a >0,m ,n ∈N *,且n >例题:
例1求值:43
32
13
2
)81
16(,)41(,100,8---.
例2用分数指数幂的形式表示下列各式:
1) a a a a a a ,,3232⋅⋅ (式中a >43a a ⋅ 3)a a a
例3计算下列各式(式中字母都是正数));3()6)(2)(1(6
56131212132b a b a b a -÷- .))(2(883
41n m 例4计算下列各式: );0()
1(32
2>a a a a 435)12525)(2(÷-
例5化简:)()(4
14
12
12
1y x y x -÷-
例6 已知x+x -1=3,求下列各式的值:.)2(,)1(2
32
32
12
1-
-++x x x
x
二、二项式知识回顾
1. 二项式定理
0111()n n n k n k k n n
n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++L L ,
以上展开式共n+1项,其中k n C 叫做二项式系数,1k n k k
k n
T C a b -+=叫做二项展开式的通项. (请同学完成下列二项展开式)
0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-L L ,1(1)k k n k k
k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=+++++L L ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++L L
1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++L L ②
① 式中分别令x=1和x=-1,则可以得到 012n
n n
n n C C C +++=L ,即二项式系数和等于2n ; 偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和,即0213
12n n
n n n C C C C -++=++=L L ② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.
2. 二项式系数的性质
(1)对称性:与首末两端等距离的两个二项式系数相等,即m n m
n n C C -=. (2)二项式系数k
n C 增减性与最大值:
当12n k +<时,二项式系数是递增的;当1
2
n k +≥时,二项式系数是递减的.
当n 是偶数时,中间一项2n
n C 取得最大值.当n 是奇数时,中间两项12n n
C
-和12n n
C
+相等,且同时取得最大值.
三、考试类型 1、“n b a )(+展开式
例1.求4)13(x
x +的展开式;
解:原式=4
)1
3(
x
x +=24)13(x x +=])3()3()3()3([1
4
4
3
4
22
4
31
4
40
4
2C C
C
C
C
x x x x x ++++
=5411284812
2++++x x x x 【练习1】求4)13(x
x -的展开式
2.求展开式中的项
例2.已知在
n 的展开式中,第6项为常数项.
(1) 求n ; (2)求含2x 的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项.
3.二项展开式中的系数
已知*22)()n
n N x
∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10:1. (1)求展开式中含32
x 的项;(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.
4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数
72)2)(1-+x x (的展开式中,3x 项的系数是 ;
5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数
(04安徽改编)3)21
(-+x
x 的展开式中,常数项是 ;
6、求中间项
例6求(103
)1
x
x -
的展开式的中间项;
解:,)1
()(310101r
r
r
r x
x T C -=-+Θ∴展开式的中间项为
53
5510
)1()(x
x C
- 即:6
5252x
-。
当n 为奇数时,n
b a )(+的展开式的中间项是
2
12
121-+-n n n n
b
a C 和
2
12121+-+n n n n
b
a C
;
当n 为偶数时,n
b a )(+的展开式的中间项是
2
2
2n n n n
b a C
。
7、有理项
例7 103)1(x
x -的展开式中有理项共有 项;
8、求系数最大或最小项
(1) 特殊的系数最大或最小问题
例8(00上海)在二项式11)1(-x 的展开式中,系数最小的项的系数是 ;
(2) 一般的系数最大或最小问题 例9求84)21(x
x +
展开式中系数最大的项;
9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数,二项式系数和