相似原理和量纲分析.
相似原理及量纲分析教学
重新编排这个方程为以下形式： 解： 或者 这里，n=7。
其中每个 代表一个独立的由若干个有量纲量 以乘积形式组合而成的无量纲量。 例题11.2 用 定理方法分析例题11.1中的流动。 如上例所述，共有 和 等7个变量，因此有函数关系式
1）列出对所求问题有重要影响的物理量：
02
将式(c)代入式(b)，整理后得
03
04
05
既然两个流动现象完全相同，它们的主导方程就应该一致，于是比较式(a)和(d)，则有
06
既然二现象相似，必有
由此各相似倍数不能任意选取，它们依上式相互制约。将上式第一项分别除以后三项，则
至此，从基本方程导出了两个相似的不可压缩定常流动现象的相似准则，它们是弗鲁德数 、欧拉数 和雷诺数 。综上所述，相似原理可表述为：两种流动现象相似的充分必要条件是：凡是同一种现象，必能用同一个微分方程所描述；单值条件相似；由单值条件中的物理量所组成的相似准则在数值上相等。
第十一章 相似原理及量纲分析
11.1 相似原理
11.2 量纲分析法及定理的应用
11.3 方程分析法
11.4 模型实验
流体力学问题的解决不外乎用理论或实验两种方法。在理论方法中，主导待求问题的控制方程是必须的。但对于许多复杂的现象，特别是对于原本就不清楚的未知现象往往是不可能的。这就必须依靠实验方法 。在实际过程中任何一个物理现象往往有许多影响因素，要研究每一个因素对这一现象的影响，需要进行大量的实验，有时简直是不可能的。因此需要一种简单的方法使得只进行少量的实验就可达到对流动现象的本质认识.本章介绍的相似原理及量纲分析就是指导实验的理论基础。
11.2.1 量纲基本知识
“量纲”，或“因次”，是用以度量物理量单位种类的。在国际单位制（即SI单位制）中，规定有7个基本单位（或量纲），对于流体力学问题一般涉及其中的4个，即长度单位为米（m），质量单位为公斤（kg），时间单位为秒（s），温度单位为开尔文（K），对应的量纲即基本量纲，依次是 和 任何
5 量纲分析和相似原理
5.2.2 π定理（布金汉定理，Bucking ham）
由美国物理学家Bucking ham提出。若某一物 理过程包含n个物理量，即 f (q1q2q3 qn ) 0 其中有m个基本量（量纲独立，不能互相导出）， 则该物理过程可由n个物理量构成的n-m个无量纲 项所表达的关系式来描述，即 F (1 nm ) 0 由于无量纲项用π表示，因此叫作π定理。
5.1.2 无量纲量
当量纲公式中α=0、β=0、γ=0时, 物理量q 为无量纲量。 vd Re 如 雷诺准数
LT 1L dim Re dim( ) 2 1 1 LT vd
无量纲量的特点： 客观性 不受运动规模的影响 可进行超越函数运算
5.1.3 量纲和谐原理
量纲和谐原理：凡正确反映客观规律的物理 方程，其各项的量纲一定是一致的。 如粘性流体总流的柏努利方程
4)量纲分析法是沟通流体力学理论与实验之 间的桥梁。
5.3 相似理论基础
5.3.1 相似概念
几何相似：两个流动流场（原型和模型）的 几何形状相似，即相应的线段长度成比例、 夹角相等。 以p表示原型 (prototype) ， m表示模型 (model) ，有
l p1 lm1 l p2 lm2 lp lm l
I m mlm2vm 2 lmvm Tm mlmvm m
即
l pvp
p
lmvm
m
(Re) p (Re)m
lv
无量纲数 Re 称为雷诺准数(Reynolds number)，表示惯性力与粘滞力之比。两流动 的雷诺准数相等，粘滞力相似。
此式为管道压强损失计算公式，称为达西-魏 斯巴赫（Darcy-Weisbach）公式。
相似性原理和量纲分析
∆p υ l k = f , , 2 v ρ vd d d
∆p kl = f Re, 2 v ρ dd
kl l v2 ∆p = f Re, ρv 2 = λ ρ dd d 2 k λ = f Re, d
（2）雷利法 有关物理量少于5个
FT + FG + FP + FE + …… + FI = 0
动力相似→对应点 上的力的封闭多边 形相似
动力相似是运动相似的保证
2.相似准则 常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数） 在相似流动中应该是相等的 （1）雷诺准则——粘性力是主要的力
FTP FIP = FTm FIm
l pυ m
（3）改变压强（30at），温度不变 等温过程p∝ρ，且μ相同
ρvl Re = ⇒ pvl µ
p p v p l p = p m vm l m
20 × 1 vm = v p = 300 × = 200km / h lm Pm 1 × 30 lp pp
例3：溢水堰模型，λl=20，测得模型流量为300L/s，水 的推力为300N，求实际流量和推力 解：溢水堰受到的主要作用力是重力，用佛劳德准则
f (q1 , q2 , q3 , q4 ) = 0
3个基本量，只有一个π项
小结：变量的选取——对物理过程有一定程度 的理解是非常重要FTm
dv FT = µA → µlv = ρυlv dy
FI = ma → ρl 2 v 2
v pl p
υp
=
vm l m
υm
无量纲数
Re =
vl
υ
雷诺数——粘性力的相似准数
四章相似原理与量纲分析ppt课件
但Fr准则要求 Cu CL
二者不能同时满足
而Re准则要求 Cu 1 / CL
解决的办法是采用不同的流体进行实验，同时满足Fr和Re准则
则有： 则：
Cu2 1 和
CgCL
Cu2 CgCL
CL2Cu2 C2
CLCu 1 C
(Cg 1)
C
C
3/ L
2
§4-3相似原理的应用
p m
CL3/ 2
m
L：1 1 3 1 1 0
1 2
T： 1 2 0
1 1
M： 1 0
1 0
1
V
2bg
bg V2
§4-7 量纲分析法之二 ----π定律
2 L1T 1M 0 2 L1T 0M 0 2 L3T 0M 1 2 L1T 1M 1
L：2 2 3 2 1 0
2 1
C
p
m
雷诺数：Re
uL
Re p Re m
雷诺数反映了惯性力与粘性力之比。
§4-2相似准则
三、佛汝德相似准则（重力相似准则）
CG
Gp Gm
M pgp Mmgm
pVp g p mVm gm
CCL3Cg
CG CF 重力与惯性力之比值为同一常数
则： CCL3Cg CCL2Cu2
得：
Cu2 1 也可写成
由量纲和谐原则得：
M 0 1 2
L
1 31 2 3
1 1
2 1
T 1 2
3 1
：
代入原函数：
Vc
K 1d 1
K
d
K Vcd Vcd
即：
Re
Vc d
§4-7 量纲分析法之二 ----π定律
流体力学-相似原理与量纲分析
F v2l2
Rm Rn 1.5kN
21
F 1 v2l2 0.672 1.52 1
第四节 量纲分析法
一、量纲
所有物理量 ＝ 自身的物理属性 + 为量度物理属性 而规定的量度标准（量度单位） 如长度：物理属性是线性几何量，量度标准是 m ， cm，英尺、光年等。 没有任何联系的独立的量纲为基本量纲，可由其导 出的为导出量纲。 原则上基本量纲的选取带随意性，常采用 M-L-T-Θ 为基本量纲系（即质量-长度-时间-温度）。
14
应该测量哪 些物理量?
实验结果 如何应用?
在相似的条件下进行实验： 完全相似 例如 难于做到 严格地要求四个相似准数都相同
Frn Frm
g 相同
vn l n vm lm
vn lm vm ln
流 体 力 学
1
u l
Ren Rem
相同
u
l
可见粘性和重力相似条件产生矛盾，除非改变 g 和。但改 变 g 是不大可能的（由此可知为什么有些实验要在航天飞机上 做），改变 的可能性也不大，因为流体力学实验可供选择的 流体种类是很少的。通常我们只能抓主要矛盾，保证起决定作 用的那个相似准数相等，称为部分相似(局部相似)。
----- 韦伯准数
F El 2
3
v2
l I l 2 l 2v2 ----- 马赫准数 t v FT l 2 lv ( Re)n ( Re)m Re l l ----- 雷诺准数 I l 3 2 l 2v 2 12 t
Mn Mm
2. 由动力相似定义推导
ln lm un t n um t m
2 2 vn vm g nln g mlm
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析相似原理和量纲分析是物理学中常用的分析方法。
这两个方法都可以帮助我们简化和理解复杂的物理问题，并从中得到有用的结论。
相似原理是指在某些情况下，两个或多个物理系统在某些方面具有相似性。
通过找到这些相似性，我们可以将一个物理问题转化为另一个更简单的问题，并从中得到有关原问题的信息。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。
在量纲分析中，我们将物理量表示为其单位的乘积，例如长度（L）、质量（M）和时间（T）。
通过对物理方程中各项的量纲进行分析，我们可以得到物理问题的量纲关系。
现在让我们更详细地讨论这两种方法。
首先，我们来看看相似原理。
相似原理的核心思想是，如果两个物理系统具有相似的形状、相似的流动条件和相似的物理特性，那么它们在某些方面具有相似性。
这种相似性可以通过无量纲参数来描述。
无量纲参数是一个相对于单位的比率或比值，因此在不同的物理系统中具有相同的值。
通过选择适当的无量纲参数，我们可以把一个复杂的问题转化为一个简单的问题。
例如，假设我们想研究飞机的气动性能。
我们可以选择无量纲参数如升力系数（Cl）、阻力系数（Cd）和升阻比（Cl/Cd），来描述飞机的飞行特性。
通过比较不同飞机的这些无量纲参数，我们可以得出有关它们性能优劣的结论。
相似原理的应用非常广泛。
它常用于流体力学、热传导和振动等领域的问题研究。
通过利用相似原理，我们可以设计模型实验来研究某一问题，从而避免对真实系统进行复杂和昂贵的实验。
接下来，我们来谈谈量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。
在物理方程中，各个物理量的量纲必须相等。
这就是说，物理方程中各项的量纲必须保持平衡。
通过量纲分析，我们可以得到物理问题的一些量纲关系。
这些量纲关系可以帮助我们推导出物理方程中的无量纲参数，并进一步简化问题。
例如，假设我们要研究物体自由落体的运动规律。
我们可以通过对物理量的量纲进行分析，得到物体自由落体的无量纲形式。
传热学第九讲相似原理及量纲分析
de0 1ac f 0 e f 1 0 1e f 0
ba1
cea d e f 1e
2 a b 2c f 3d 0
2021/5/1
5
h k ua d a1 ea 1e ce e
k ud a d 1 c e
k Rea Pr e
d
Nu hd k Rea Pr e
f 8Re1000Pr f
1 12.7
f
8
Pr
2 f
31
1
d l
2
3
ct
f 1.82lg Re1.642
对液体
ct
Pr f Prw
0.11
(
Pr f Prw
0.05～20)
对气体
ct
Tf Tw
0.45
(
Tf Tw
0.5～1.5)
※适用范围 Pr f 0.6 ～ 105 Re f 2300～ 106
对气体
ct
Tf Tw
n
当气体被加热时 n 0.55
当气体被冷却时 n 0
2021/5/1
对液体
ct
f w
n
当液体被加热时 n 0.11
当液体被冷却时 n 0.25
10
（五）入口效应：
层流 紊流
l 0.05RePr
d l 60
cl
1
d l
0.7
d
2021/5/1
11
二、实验关联式
2021/5/1
6
三、应用
（一）威尔逊法
Nu f Re,Pr
Nu C Ren 或 Nu C Ren Pr m
1. 求 Nu C Ren
lg Nu lg C nlg Re
相似原理与量纲分析
CF 1（无量纲数） 可以写成： 2 2 C C L Cu
1
Fp / Fm
p L2p u 2 p 2 2 m Lm um
Fm 2 2 2 2 m Lm um p Lp u p
Fp
F L2u 2
牛顿数： N e
( Ne ) p Ne m
若两个水流不仅几何相似，而且是动力相似的，则他们的牛顿数 必须相等；反之亦然，称为牛顿相似准则。
AP L2 2 P 2 CL 面积比尺： C A Am Lm
VP L3 3 P C C 体积比尺： V L Vm L3 m
LP （原型） Lm （模型）
§4-1相似的基本概念
⑵运动相似 （运动状态相似，速度、加速度必须平
行且具有同一比例）： 速度相似比尺： Cu
up
um
Gp M pgp
CG C F 重力与惯性力之比值为同一常数
则：
C C C g C C C
3 L 2 L
2 u
u C 1 也可写成 得： C g CL g p L p g m Lm
2 u
u
2 p
2 m
(Fr)p=(Fr)m
Fr 表明了惯性力与重力之比
（佛汝德数）
§4-2相似准则
§4-3相似原理的应用
对同时受重力和粘性力作用的液体，应当同时满足Re和Fγ 准则，才能保证流动相似， 但Fr准则要求 Cu CL 而Re准则要求 则有：
二者不能同时满足
Cu 1 / CL
2 Cu 1 和 C g CL
解决的办法是采用不同的流体进行实验，同时满足Fr和Re准则
C L Cu 1 C
相似原理和量纲分析
（c） • 一般来说，如果描述某个物理现象的物理量有n个，并且在这n个量中
(在a)光弹性试验含中有， r，个量多半是是无不满量足的纲独要立放的弃，，这就则是独所谓立近似的的纯近似数。 有n－r个。
但在必光须 弹使性例模试4型验－梁中满，3足研初，等究弯多弹曲半理是性论不对满体梁足所内的作的的基应要本放假力弃设，σ,即这与就外是所力谓近F似，的力近似矩。 M和尺寸L，材料常数E，μ
1
b h
,
2
Gh4
T
, 3
l
q
4-5 π定理 由于两现象相似，各对应量互成比例，即
如果梁的尺寸不是几何相似，即梁长与梁截面的相似比例数
例4－3 研究弹性体内的应力σ与外力F，力矩M和尺寸L，材料常数E，μ之间的π项。 时，是严格满足静力相似律。
将式(c)代入到式(a)，得
量第纲三分 定析理 • 的：普系把遍统参定的理单与是值物条π定件理理相。现似，象则的系统各为物相似理。量，通过量纲分析，转化为数目较少的无量纲间的 把表第参达四与 某 章物个相• 理物似现理原关表象现理系达的象和各的量式某物方纲。个理程分量式析即物，π理通1过现，量象π纲2分的…析方，…转程这化式为种数做目较法少就的无是量巴纲间肯的汉关系？式π。定理的基本思想。
G e G2 0 （a）
x
对于模型来说，同样满足方程：
m
Gm
em xm
Gm
2m
m
0
（b）
实物和模型要求相似，对应量一一成比例：
C m
CG
G Gm
Ce
e em
x Cx G xm
C
m
（c）
但
1
E
1
2
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析相似原理和量纲分析是科学研究和工程设计中常用的两种方法，它们在不同领域有着广泛的应用。
相似原理是指在某些条件下，两个或多个对象在某些方面具有相似性的原理，而量纲分析则是一种通过对物理量的量纲进行分析，来确定物理现象之间关系的方法。
本文将分别介绍相似原理和量纲分析的基本概念和应用，以期帮助读者更好地理解和应用这两种方法。
首先，我们来介绍相似原理。
相似原理是指在某些条件下，两个或多个对象在某些方面具有相似性的原理。
在流体力学中，相似原理是研究流体流动时的一种重要方法。
根据相似原理，如果两个流体流动问题在某些方面具有相似性，那么它们的流动规律也应该是相似的。
通过建立相似模型，可以通过对模型进行实验来研究真实流体流动问题，这为工程设计和科学研究提供了重要的手段。
在工程设计中，相似原理也有着广泛的应用。
例如，在飞机设计中，通过建立风洞模型来研究飞机在空气中的飞行性能；在建筑设计中，通过建立模型来研究建筑物在风力作用下的受力情况。
相似原理的应用不仅可以帮助工程师更好地理解和预测真实系统的行为，还可以降低实验成本和风险。
接下来，我们来介绍量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析，来确定物理现象之间关系的方法。
在物理学和工程学中，很多物理现象可以通过物理量之间的关系来描述。
通过对这些物理量的量纲进行分析，可以得到物理现象之间的关系，从而简化问题的分析和求解。
在工程设计中，量纲分析也有着重要的应用。
例如，在流体力学中，通过对流体流动中的速度、密度、长度等物理量的量纲进行分析，可以得到无量纲参数，从而简化流体流动问题的分析和求解。
在热力学中，通过对热量、温度、热容等物理量的量纲进行分析，可以得到无量纲参数，从而简化热力学问题的分析和求解。
总之，相似原理和量纲分析是科学研究和工程设计中常用的两种方法，它们在不同领域有着广泛的应用。
通过对相似原理和量纲分析的理解和应用，可以帮助工程师和科研人员更好地理解和解决实际问题，从而推动科学技术的发展和进步。
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析在物理学和工程学领域中，相似原理和量纲分析是两个非常重要的概念。
它们可以帮助我们理解和解决各种复杂的问题，从流体力学到结构力学，从热传导到电磁场，都可以用相似原理和量纲分析来进行分析和研究。
首先，让我们来看看相似原理。
相似原理是指在某些条件下，两个物体或系统在某些方面具有相似性质。
这种相似性质可以是几何形状、运动状态、流动特性等。
通过相似原理，我们可以将一个复杂的问题简化为一个相似的简单问题，从而更容易地进行分析和解决。
例如，在流体力学中，我们可以利用相似原理将实际的飞机机翼模型缩小到实验室中进行风洞测试，从而得到与实际飞机飞行状态相似的流场特性。
接下来，让我们来了解一下量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理现象的方法。
在自然界中，存在着很多不同的物理量，它们之间可能存在着某种关系。
通过量纲分析，我们可以找到这些物理量之间的关系，并且可以得到一些重要的结论。
例如，在热传导问题中，通过量纲分析可以得到热传导方程中的无量纲参数，从而可以简化和统一热传导问题的分析和解决方法。
相似原理和量纲分析在工程实践中有着广泛的应用。
例如，在设计新型飞机时，我们可以利用相似原理来进行风洞测试，从而验证飞机的飞行性能；在设计新型建筑结构时，我们可以利用量纲分析来研究结构的受力特性，从而优化结构设计。
这些方法不仅可以帮助我们更好地理解和解决实际工程中的问题，还可以节约时间和成本，提高工程设计的效率和质量。
总之，相似原理和量纲分析是物理学和工程学中非常重要的概念，它们可以帮助我们简化复杂问题，找到物理量之间的关系，从而更好地理解和解决各种实际问题。
在工程实践中，我们可以充分利用这些方法来提高工程设计的效率和质量，推动科学技术的发展。
希望大家能够深入学习和理解这些方法，将它们运用到实际工程中，为社会发展做出更大的贡献。
量纲分析与相似原理
量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理是一种在工程领域常用的分析方法，用于研究物理量之间的关系和相似性。
通过量纲分析，可以确定物理量之间的依赖关系，从而简化问题的求解过程，提高工程设计的效率。
相似原理则是利用量纲分析的结果，通过建立相似模型来研究实际问题，从而获得与实际情况相似的结果。
在进行量纲分析时，首先需要明确问题中涉及的物理量，包括基本物理量和派生物理量。
基本物理量是不可再分的物理量，例如长度、质量、时间等。
派生物理量是由基本物理量组合而成的物理量，例如速度、加速度、力等。
在量纲分析中，我们通常使用方程式来表示物理量之间的关系，例如 F = ma，其中 F 表示力，m 表示质量，a 表示加速度。
接下来，我们需要确定问题中的基本物理量及其单位。
单位是表示物理量大小的标准，例如长度的单位可以是米，质量的单位可以是千克。
在量纲分析中，我们通常使用方括号 [] 表示物理量的量纲，例如 [F] 表示力的量纲。
根据国际单位制的规定，基本物理量的量纲可以表示为 [L] 表示长度的量纲，[M] 表示质量的量纲，[T] 表示时间的量纲。
在进行量纲分析时，我们需要根据物理量之间的关系，确定它们的量纲式。
量纲式是表示物理量之间关系的方程式，其中物理量的量纲用方括号表示。
例如在力学中，根据牛顿第二定律 F = ma，我们可以得到 [F] = [M][L][T]^-2，表示力的量纲是质量乘以长度再除以时间的平方。
通过量纲分析，我们可以确定物理量之间的依赖关系。
在确定依赖关系时，我们需要注意量纲式中的常数，例如在牛顿定律中的常数就是 1。
通过分析量纲式中的常数，我们可以确定物理量之间的比例关系，从而简化问题的求解过程。
相似原理是在量纲分析的基础上建立的。
在研究实际问题时，我们通常无法直接进行实验或观测，而是通过建立相似模型来模拟实际情况。
相似模型是在尺寸、速度、时间等方面与实际情况相似的模型。
通过量纲分析，我们可以确定相似模型与实际情况之间的比例关系，从而将实际问题转化为相似模型的求解。
相似性原理和量纲分析
拓展应用领域
随着相似性原理研究的不断深入，其 应用领域也将不断拓展，为更多领域 提供新的思路和方法。
02
量纲分析基本原理
量纲的定义与作用
量纲的定义
量纲是描述物理量性质的一种分类， 表示物理量所属的种类，如长度、时 间、质量等。
03
关注新兴技术的发展 与应用
关注计算机模拟、人工智能等新兴技 术的发展动态，及时将其应用于相似 性原理和量纲分析的研究中，提高其 研究水平和实用性。
THANKS
感谢观看
成为制约其应用的瓶颈之一。
发展趋势与前景展望
多学科交叉融合
随着学科交叉的深入发展，相似性原理和量纲分析有望在更多领域发挥作用，如生物医学、环境科学、社会科学等。
高精度数值模拟与实验技术的结合
随着计算机技术的进步，高精度数值模拟方法将为相似性原理和量纲分析提供更准确、更全面的数据支持，同时与实 验技术的结合将进一步提高其预测能力和实用性。
02
指导实验设计
03
促进模型建立
通过相似性原理，可以指导实验 设计，使得实验结果具有可比性 和可预测性。
相似性原理有助于建立数学模型， 从而更深入地理解物理现象的本 质。
Hale Waihona Puke 量纲分析在相似性原理中的应用
确定相似准则
01
通过量纲分析，可以确定影响物理现象的相似准则，进而建立
相似模型。
推导相似关系
02
利用量纲分析，可以推导出不同物理量之间的相似关系，为实
根据物理量的定义和性质，列出其对应的量 纲表达式。
验证结果
通过比较运算结果与已知物理量的量纲是否 一致，验证分析的准确性。
第六章 量纲分析和相似原理_图文
（2）普适性。
第六章 量纲分析和相似原理——量纲分析
5
（二）量纲和谐原理
1、量纲和谐原理（Theory of Dimensional Homogeneity）
凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的，
即：只有方程两边的量具有相同的量纲，方程才能成立。这称为量纲和
谐原理。
2、 量纲和谐原理的重要性
1 ( , ) D Re
可见：量纲分析可以建立各物理量间的关系，要确定 数量关系还要通过实验以确定公式中的系数。 同时，量纲分析还给出了试验途径。
第六章 量纲分析和相似原理——量纲分析
10
2、布金汉（Buckingham）定理
（1）定理：对于某个物理现象，如果存在n个变量互为函数，即
解：函数式为：
p f ( , Q , D1 , , D2 , L, )
y1 z1
选取 、Q、D1为基本变量，则存在8-3=5个 数
1 p /( Q D1 )
x1
2 /( Q D1 )
x2 y2 z2
3 D2 /( Q D1 )
x3 y3 z3
f ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ Lp , u, D, , , , g ) 0
p / L 1 x1 y1 z 1 u D
的个数N()=n-m=7-3=4。取u， D， 为基本量，则与⊿p/L的π 1 为：
1= ⊿p/L /(u x1Dy1 z1 )= [ML-2T-2]/{[L T-1 ] x1 [L ]y1 [ML-3 ]z1 }
3、基本量纲（Primary Dimension）：具有独立性的，不 能由其他量纲推导出来的量纲叫做基本量纲。一般取长度 [L]、时间[T]、质量[M]。 4、导出量纲（Derived Dimension）:是指由基本量纲导出的量 纲。
量纲分析和相似原理
第十二章量纲分析与相似原理实际工程中的水流现象非常复杂，仅靠理论分析对工程中的水力学问题进行求解存在许多困难，模型试验和量纲分析就是解决复杂水力学问题的有效途径。
因此要求我们对模型试验和量纲分析的原理和方法有初步的了解。
量纲分析与相似原理是指导分析问题和模型试验的重要方法，通过量纲分析和相似原理可以合理地、正确地组织试验，简化试验以及整理试验成果。
对于复杂的流动问题，借助量纲分析可以寻求物理量之间的联系，建立关系式的结构，量纲分析是分析流动问题的有力工具和方法。
相似原理则是模型试验的理论依据，也是分析水力学问题的有效方法之一。
要求掌握正确组合无量纲量的方法，掌握根据不同的水流进行模型试验，依据重力相似准则和阻力相似准则进行相似比尺的换算与模型设计。
第一节量纲分析一、量纲和单位量纲：表征物理量按其性质不同而划分的类别，即量纲表示的是物理量的种类。
量纲也称因次（Demension）。
单位：度量各种物理量数值大小的标准。
即单位是度量某一物理量的基值，预先人为选定的。
同一类别的物理量量纲相同，但可以用不同的单位去描述。
具体的“数值”和“单位”就准确地表示出了该物理量的大小。
从原则上讲，一个物理量可以有任意种单位，仅仅是为了交换概念和信息上的方便，才人为地规定了有限的几个具有普遍性的通用单位，如规定时间为秒，1秒取一个平均太阳日的864001。
由此可见，物理量是客观存在的，单位是人为制定用来度量物理量的。
量纲与单位的关系便是内容与形式的关系。
二、 基本量纲与诱导量纲量纲可分为基本量纲和诱导量纲。
基本量纲是指具有独立性的量纲。
该量纲不能由其它量纲推导出来，即不依赖于其它量纲。
如长度[L]、质量[M]、时间[T]或长度[L]、力[F]、时间[T]就是相互独立的量纲，它们之间不能互相推导，它们就可以作为基本量纲。
基本量纲并没有从理论上规定只能取三个，但一般来说，通过引入一个额外的物理系数，就可以增加一个互相独立的基本量纲。
相似理论与量纲分析
前后驻点
上下侧点
其他点
• 以上结果对任何大小的来流速度，任何大小的圆柱都适用。
柱面上：
柱面外：
流场中 还与无量纲半径 有关
·
C
·
D
A
B
a
量纲分析法
对于复杂的流动,常用量纲分析法和实验相结合进行研究。
01
量纲分析法是根据量纲齐次性原理寻求物理量之间函数关系的一种方法，也可以得出相似准则。
02
01
03
04
水力学中任何物理量C的量纲可写成
当α、β、γ不全为0时，C称为有量纲量。
=[ M ][ L ][ T ]
当α、β、γ全部为0时，C称为无量纲量或无量纲数。
9.4.2 有量纲量和无量纲量
有量纲量
水力学中的有量纲量可分为三类： 几何学的量，α＝γ＝0，β≠0； 运动学的量， α＝0， γ ≠0； 动力学的量， α ≠0。
粘性力比尺
02
要满足惯性力相似，必须满足CT=CI，即
01
即
02
雷诺数Re反映了惯性力与粘性力之比：
01
要满足重力相似，必须满足CG=CI，即
02
即
佛汝德数Fr反映了惯性力与重力之比：
01
要满足动水总压力相似，必须满足CP=CI，即
02
即
欧拉数的物理意义
欧拉数Eu反映了动水总压力与惯性力之比：
例 经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流动的压降p与下列因素有关：管径d、管长l、管壁粗糙度 、管内流体密度、流体的动力粘度 ，以及断面平均流速v有关。试用定理推出压降p的表达形式。 解： 所求解问题的原隐函数关系式为 f(p, d, l, , , , v)=0 有量纲的物理量个数n=7，此问题的基本量纲有L、M 、T三个，m=3，按定理，这n个变量转换成有n-m=4个无量纲量的函数关系式 F(1, 2, 3, 4)=0 从7个物理量中选出基本物理量3个，如取、d、v，而 其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示
(4)量纲分析和相似原理
φ(π1, π 2, π 3,……, π n-m)=0
π定理的解题步骤： （1）确定关系式：根据对所研究现象的认识，确 定影响这个现象的各个物理量及其关系式: F(q1,q2,q3,……,qn)=0
（2）确定基本量：从n个物理量中选取所包含的 m个基本物理量作为基本量纲的代表，一般取m=3。 在管流中，一般选d，v，ρ三个作基本变量，而在明 渠流中，则常选用H，v，ρ。 （3）确定π数的个数N(π)=(n-m)，并写出其余 物理量与基本物理量组成的π表达式
1 Re
2
d
0
p
V
2
据π定理有：
1 p l k f 2 1 , 2 , 3 , 4 f 2 , , , 2 Re V d d
改写为 p
V
2
l k F , , Re d d
或
l k F , , Re 2 V d d l k 2 p V F , , Re d d
1 1 1 1 1 0
L : 2
2 3 2 1 0 2 0
2
T : 2 M :
L : 3
2 1 0
3 3 3 1 0 0
2 2 2 0 2 1
3 0 3 1 3 0
1 x1 x 2 x 3 x 4 2 x1 x 2 x 3 x 5
所求的物理方程为
2 2 2
1
1
2
f 2 1 , 2 0
[例]：有压管流中的压强损失。 根据实验，压强损失与流速V，管长 l ,管径d，管壁 粗糙度k，流体运动粘滞系数υ ，密度ρ有关，即试用 π定理法求该物理方程。 p f l , d , k , , , V 解： 这7个量中，基本物理量有3个，令管径、平均 流速、密度为基本量，量纲依次为
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水力学教学辅导
第10章 相似原理和量纲分析
【教学基本要求】
1、了解相似现象和流动相似的特征。
2、了解水力学模型设计的相似原理和重力相似准则、阻力相似准则，能进行模型比尺和对应物理量的计算。
3、了解量纲和谐原理的基本概念。
【内容提要和学习指导】
实际工程中的水流现象非常复杂，仅靠理论分析对工程中的水力学问题进行求解存在许多困难，模型试验和量纲分析就是解决复杂水力学问题的有效途径。
因此要求我们对模型试验和量纲分析的原理和方法有初步的了解。
通过本章学习，会根据不同的水流模型试验，依据重力相似准则和阻力相似准则进行相似比尺设计和原型与模型对应的物理量的计算。
这一章要求重点掌握重力相似准则、阻力相似准则以及模型比尺和对应物理量的计算。
掌握正确组合无量纲量的组合方法。
10.1 相似现象和流动相似的特征
相似是人们常遇到的概念，最常见的是指图形的相似，即两个几何图形的对应边成比例，对应的角都相等。
流动相似是图形相似的推广。
流动相似具有三个特征，或者说要满足三个条件，即：几何相似，运动相似，动力相似。
其中几何相似是前提，动力相似是保证，才能实现运动相似这个目的。
运动相似和动力相似是表示原型和模型两个流动对应的点速度、压强和所受的作用力都分别满足确定的比例关系。
10.2相似理论和牛顿相似准则
相似原理是进行水力学模型试验的基础，它是指实现流动相似所必需遵循的基本关系和准则。
在满足几何相似的前提下，动力相似是实现流动相似的必要条件，即要求模型和原型中作用在液体上的各种力都成比例。
用数学式可以表达为：
（Ne ）P =（Ne ）M （10—1）
式中牛顿数 表示某种力与惯性力的比值，F 可以是任何种类的力，下
标P 和M 分别表示是原型和模型的物理量。
这就是实现流动动力相似的牛顿相似准则。
22Ne υρL F
=
10.3重力相似准则和粘滞力相似准则
作用在液体上有许多种力，其中主要作用力是重力、惯性力和阻力，阻力又可分为粘滞阻力和紊动阻力。
通过理论可以证明，要使作用在液体上所有的力同时满足相似条件是不可能的，也就是说流动的完全相似是做不到的。
在模型试验中重力和粘滞阻力同时满足相似就是不可能的，除非长度比尺为λL ＝1。
实际工程中作用在明渠水流上的主要作用力是重力、惯性力和紊动阻力，管流层流运动主要是惯性力和粘滞阻力。
因此保证在主要作用力相似的条件下，可以使模型试验的精度满足实际工程的需要，为工程设计提供依据。
（1）对处于阻力平方区的明渠水流都要求满足重力相似准则（即佛汝德相似准则）和紊动阻力相似，其条件为：
（Fr ）P =（Fr ）M （10—2）
（10—3）
式中：n P 、n M 分别是原型和模型的糙率，λL 是模型的长度比尺。
根据（10—2）和（10—3）式，可以导得满足重力相似和紊动阻力相似的其它物理量的比尺关系：
流速比尺： （10—4）
流量比尺： （10—5）
时间比尺： （10—6）
作用力比尺： （10—7）
压强比尺： （10—8）
（2）管道层流运动的相似通常要求满足粘滞力相似准则（雷诺相似准则），即 （Re ）P =（Re ）M （10—9） 当长度比尺为λL 时，其它物理量的比尺关系为：
6
1p
L
M
λ=n n 5
.0L
λ
νλ=5.2L
Q
λ
λ=5
.0L
t λ
λ=3
L F λ
λλρ=L P λλλρ=
流速比尺：（10—10）流量比尺：（10—11）时间比尺：（10—12）作用力比尺：（10—13）压强比尺：（10—14）当采用同种液体进行模型试验时λv＝1，λρ＝1，上式作相应的变化。
10.4量纲分析
（1）依据量纲和谐原理，对水流运动的过程进行分析，建立客观的符合水流运动内在规律的物理方程是量纲分析的主要任务，也是进行科学研究的重要方法。
（2）单位和量纲的概念和关系
单位是度量物理量的基准，米、秒、千克是国际单位制中的基本单位；量纲是物理量种类，如长度量为〔L〕，时间量为〔T〕等。
单位和量纲的关系：单位是量纲的具体体现，量纲则是单位的抽象和概括。
（3）量纲和谐原理
我们通常用物理方程来反映某一个物理过程，假若这个方程能正确地反映这个物理过程的话，那么组成这个方程各项物理量的量纲（即物理量的种类）必须是相同的。
其实这个概念我们在小学学习算术时老师就反复强度过，即：只有同名数才能相加减。
它的本质就是量纲和谐原理主体部分。
10.5量纲分析方法—雷列法和π定理
【思考题】
10—1流动相似具有哪三个特征？它们之间是什么关系？
10—2为什么要提出相似准则？有哪2个主要相似准则？适用条件是什么？
10—3已知模型与原型相似的长度比尺，分别写出满足重力相似准则和粘滞力相似准则
的流速比尺、流量比尺和时间比尺。
【解题指导】
例10—1渠道上设一平底单孔平板闸门泄流，上游水深H=3m，闸前水流行近流速
v
0=0.6m/s，闸孔宽度b = 6m，下游为自由出流，闸门开度e =1.0m。
今欲按长度比尺λ
1
-
=
L
λ
λ
λ
ν
ν
L
Q
λ
λ
λ
ν
=
2
1
L
t
λ
λ
λ
ν
-
=
2
ν
ρ
λ
λ
λ=
F
ρ
ν
λ
λ
λ
λ2
2-
=
L
P
L =10设计模型，来研究平板闸门的流量系数μ，试求：（1）模型的尺寸和闸前行进流
速v 0m ；（2）如果在模型上测得某点的流量为Q m = 81.5 l /s ，则原型上对应点的流量Q 为多少？（3）闸门出流的流量系数μ为多少？
解：（1）模型尺寸设计和闸前行进流速：
因为闸孔出流主要作用力是重力，所以按重力相似准则设计模型。
模型的长度比尺为λL =10，则模型中的尺寸为
上游水深 ，闸孔宽度 闸门开度 重力相似准则条件下流速比尺 ∴
（2）原型流量Q 的计算
重力相似准则条件下的流量比尺
∴Q = Q M ×λQ = Q M × = 0.0815×102.5=25.76 m 3/s
即原型上的流量为25.76 m 3/s 。
（3）计算流量系数μ
流量系数μ是常数，在原型和模型上都相同。
根据平板闸门自由出流计算公式： 行近流速很小，可以忽略不计H 0 = H ，自由出流σs = 1 。
∴
即平板闸门闸孔出流的流量系数为0.56 。
例10—2 有一直径d=50cm 的输油管道，管道长l =200m ，油的运动粘滞系数υ0=1.31×10-4 m 2/s ，管中通过油的流量Q = 0.1 m 3/s 。
现用10 0C 的水和管径d m = 5 cm 的管路进行模型试验，试求模型管道的长度和通过的流量。
解：该管道模型的几何比尺为
∴
判别原型管道中的流态：
管内为层流，应该按照粘滞力相似准则（雷诺相似准则）计算模型中流量Q m 。
m 3.010
3
m ===
L
H
H λm 1.010
0.1m
===
L
e e λ5
.0L λλυ
=s m /19.0106
.05.00
0====L
m λυ
λυ
υυ
5.2Q L
λλ=0
2gH be s Q μσ=56.03
6.191676
.252=⨯⨯⨯==gH
be Q
μ105
50m
L ===d d
λm 2010
200m ===L
l l λs m/51.02
5.014.341.0=⨯⨯==A Q
υ200019474
1031.15
.051.00
〈=-⨯⨯==ν
νd
e
R m 6.010
6m
===L
b
b λ5.2L
λ
100C 水的运动粘滞系数为υ=0.0131×10-4m 2/s ，模型运动粘滞系数比尺为
流量比尺λQ =λ×λL 2 = 100×102 = 10000 模型管道中的流量Q m 应为
100410
0131.04
1031.10
=-⨯-⨯==νν
λνs /01.0/m 00001.010000
1
.0m
3Q
l s Q
Q ====λ。