函数的概念--优质获奖课件 (55)
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函数的概念ppt课件
已学函数的定义域和值域
反比例函数 一次函数
y
k x
(k 0)
y ax b (a 0)
二次函数
y ax2 bx c (a 0)
a> 0
a< 0
图像
y ox
y ox
y ox
y ox
定义域 {x| x 0} R 值域 {y| y 0} R
R
R
{y
|
y
4ac 4a
b2}
{y
|
y
4ac 4a
(2) y (x 1)0 2 x 1
(1)
x 1 4 x
0 ,1
0
x
4,定义域是x
1
x
4
(2)
x
2 1
0
,
解得x
1且x
1, 定义域为
x
x 1且x 1
x 1 0
x2 x 12
解析:由题意得x2-x-12≥0,解得x≤-3或x≥4. 定义域为{x｜x≤-3或x≥4}
2x2 x 3 0, 2x2 x 3 0, (2x 3)(x 1) 0, 1 x 3
2 y 2x2 x 3 2(x 1)2 25 5 2
484
[0, 5 2 ] 4
2
o12 5 x
4.求下列函数的值域 (1).y 2x x 1
设t x 1，则t 0且x t2 1, 所以y 2(t2 1) t 2(t 1)2 15 ,[15 , )
它对应，就称f: A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作:
a
e
b
f
c
g
…
h …
A
B
f: A→B
y=f(x) , x∈A
函数的概念名师优质公开课公开课一等奖课件省赛课获奖课件
A、1个 DB、2个 C、3个 D、4个
例4、若f (x) ax2 2, a为一பைடு நூலகம்正的常数，且
f f 2 2,则a ______ .
(解得a 2 ) 2
区间的概念:
设a,b是两个实数，并且a<b, 我们规定：
(1)、满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间， 表达为 [a,b].
h=130t-5t2
(*)
这里，炮弹飞行时间t的变化范畴是数集 A={t|0≤t≤26},炮弹距地面的高度h的变化范畴是 数集B ={h|0≤h≤845}.从问题的实际意义可知， 对于数集A中的任意一种时间t，按照对应关系(*)， 在数集B中都有唯一的高度h和它对应。
(2) 近几十年来，大气中的臭氧快速减少，因而 出现了臭氧层空洞问题。下图中的曲线显示了南极 上空臭氧空洞的面积从1979~2001年的变化状况：
归纳以上三个实例，我们看到，三个实例中变 量之间的关系能够描述为：
对于数集A中的每一种x，按照某种对应关系f， 在数集B中都有唯一拟定的y和它对应，记作
f: A→B.
设A、B是非空数集，如果按照某种对应关系f， 使对于集合A中的任意一种数x，在集合B中都有 唯一拟定的数f(x)和它对应，那么就称f: A→B为 从集合A到集合B的一种函数，记作
D、若函数的定义域只有一种元素，则值域也只有一 种元素
例2、对于函数y=f(x)，下列说法对的的有( B)
①y是x的函数 ②对于不同的x,y的值也不同 ③ f(a)表达 当x=a时函数f(x)的值，是一种常量 ④ f(x)一定能够用 一种具体的式子表达出来
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
例3、给出四个命题： ①函数就是定义域到值域的对 应关系 ②若函数的定义域只含有一种元素，则值域也 只有一种元素 ③因f(x)=5(x∈R),这个函数值不随x的变 化范畴而变化，因此f(0)=5也成立 ④定义域和对应关 系拟定后，函数值也就拟定了 对的有( )
例4、若f (x) ax2 2, a为一பைடு நூலகம்正的常数，且
f f 2 2,则a ______ .
(解得a 2 ) 2
区间的概念:
设a,b是两个实数，并且a<b, 我们规定：
(1)、满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间， 表达为 [a,b].
h=130t-5t2
(*)
这里，炮弹飞行时间t的变化范畴是数集 A={t|0≤t≤26},炮弹距地面的高度h的变化范畴是 数集B ={h|0≤h≤845}.从问题的实际意义可知， 对于数集A中的任意一种时间t，按照对应关系(*)， 在数集B中都有唯一的高度h和它对应。
(2) 近几十年来，大气中的臭氧快速减少，因而 出现了臭氧层空洞问题。下图中的曲线显示了南极 上空臭氧空洞的面积从1979~2001年的变化状况：
归纳以上三个实例，我们看到，三个实例中变 量之间的关系能够描述为：
对于数集A中的每一种x，按照某种对应关系f， 在数集B中都有唯一拟定的y和它对应，记作
f: A→B.
设A、B是非空数集，如果按照某种对应关系f， 使对于集合A中的任意一种数x，在集合B中都有 唯一拟定的数f(x)和它对应，那么就称f: A→B为 从集合A到集合B的一种函数，记作
D、若函数的定义域只有一种元素，则值域也只有一 种元素
例2、对于函数y=f(x)，下列说法对的的有( B)
①y是x的函数 ②对于不同的x,y的值也不同 ③ f(a)表达 当x=a时函数f(x)的值，是一种常量 ④ f(x)一定能够用 一种具体的式子表达出来
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
例3、给出四个命题： ①函数就是定义域到值域的对 应关系 ②若函数的定义域只含有一种元素，则值域也 只有一种元素 ③因f(x)=5(x∈R),这个函数值不随x的变 化范畴而变化，因此f(0)=5也成立 ④定义域和对应关 系拟定后，函数值也就拟定了 对的有( )
函数的概念省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
1
2
∵t≥0,∴y≥ ,2∴函数y=x+
2
2x - 旳1 值域为[
,1+2∞)2.
2
(3)解法一:利用绝对值旳几何意义.
|x+1|+|x-2|旳几何意义表达数轴上旳动点x与-1以及2旳距离 旳和,结合数轴,易得|x+1|+|x-2|≥3,
∴函数旳值域为［3,+∞).
返回
解法二:转化为函数图象,利用数形结正当.
求函数旳定义域： y 2 x 1 7x
【分析】要求使函数体现式有意义旳自变量旳取值范围， 可考虑列不等式或不等式组.
【解析】 令
x≥0, 1 7x ≥0,
x≥0， 即
x≤17,
∴0≤x≤17.
∴函数旳定义域为 x { |0≤x≤17 }.
返回
【评析】求函数旳定义域主要是解不等式（组）或方程 来取得.假如不加阐明，所谓函数旳定义域就是自变量使 函数式有意义旳集合. （1）若f(x)为整式，则定义域为R. （2）若f(x)为分式，则定义域是使分母不为零旳x旳集合. （3）若f(x)为偶次根式，则定义域为使被开方式非负旳x 旳集合.
返回
下列函数中，哪个与函数 y 2x3 相同？
（1）y=x 2x ;（2）y=-x 2x ; （3）y= 2x3 ;（4）y= x2 2 .
x
解：1）y= x 2x = 2x3 (x≤0)与y= 2x3 定义域相同，但相应
法则不相同，所以这两个函数是不同旳.
2）y=-x 2x = 2x3 (x≤0)与y= 2x相3 应法则是相同旳，定义域
做 函数旳定义域 ；与x旳值相相应旳y值叫做
函数值 ，函
数值旳集合{f(x)|x∈A}叫做函数旳 值域 .
函数的概念函数的概念与性质优秀课件
三
一二3.一个函数的构成有哪些要素?起决定作用的是哪些?为什么
一
二
6.判断正误:(1)对应关系与值域都相同的两个函数是相等函数.( )(2)函数的值域中每个数在定义域中都只存在一个数与之对应.( )答案:(1)× (2)×
三
一二6.判断正误:三公开课课件优质课课件PPT优秀课件PPT
一
二
二、区间的概念及表示1.阅读教材P64相关内容,关于区间的概念,请填写下表:设a,b∈R,且a<b,规定如下:
探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练函数的定义公开课课件
探究一
探究二
探究三
探变式训练 1集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示从A到B的函数的是( )答案:C
探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练变式训练 1集合A=
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
随堂演练
探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练4下列各组函数: ④
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
解析:①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一个函数;②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一个函数;③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一个函数;④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一个函数;⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系都相同,是同一个函数.答案:⑤
随堂演练
探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练 2(1)集合{x|
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
求函数的定义域例3求下列函数的定义域:分析:观察函数解析式的特点→列不等式(组)→求自变量的取值范围
一二3.一个函数的构成有哪些要素?起决定作用的是哪些?为什么
一
二
6.判断正误:(1)对应关系与值域都相同的两个函数是相等函数.( )(2)函数的值域中每个数在定义域中都只存在一个数与之对应.( )答案:(1)× (2)×
三
一二6.判断正误:三公开课课件优质课课件PPT优秀课件PPT
一
二
二、区间的概念及表示1.阅读教材P64相关内容,关于区间的概念,请填写下表:设a,b∈R,且a<b,规定如下:
探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练函数的定义公开课课件
探究一
探究二
探究三
探变式训练 1集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示从A到B的函数的是( )答案:C
探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练变式训练 1集合A=
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
随堂演练
探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练4下列各组函数: ④
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
解析:①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一个函数;②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一个函数;③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一个函数;④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一个函数;⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系都相同,是同一个函数.答案:⑤
随堂演练
探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练 2(1)集合{x|
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
求函数的定义域例3求下列函数的定义域:分析:观察函数解析式的特点→列不等式(组)→求自变量的取值范围
函数的概念ppt课件
→s=x 十y;
⑥A={x|—1≤x≤1,x∈R},B={0}, 对应关系f:x→
y=0.
A.①⑤⑥
B.②④⑤⑥
C.②③④
D.①②③⑤
【思维·引】
1.在x 轴上区间[0,2]内作与x 轴垂直的直线，此直线 与函数的图象恰有一个公共点.
2.先看集合A,B 是否为非空数集，再判断非空数集A 中任取一个数，在非空数集 B 中是否有唯一的数与之 对应.
②求f(g(a)): 已 知f(x) 与 g(x), 求 f(g(a)) 的值应遵 循由里往外的原则.
(2)关注点：用来替换解析式中x 的 数a 必须是函数定 义域内的值，否则函数无意义.
习练 ·破
1.若f(x)=ax²—√2,a 为正实数，且f(f(√2))=—√2, 则 a=
2.设f(x)=2x²+2,
函数的定义，所以A 不是函数.B.由 |x—1|+√y²-1=
0得， |x—1|=0,√y²-1=0, 所以x=1,y=±1, 所以
●
( 1 ) 求 f(2),f(a+3),g
—2),g(f(2)). (2)求g(f(x)).
(a)+g(0)(a≠
≠—2),
【加练·固】
若
(x≠—1), 求 f(0),f(1),
f(1—a)(a≠2),f(f(2)) 的值.
课堂达标检测
1.下列图形中，不能确定y 是x 的函数的是
y
3
(
)
3
x
⑥对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受 实际问题的制约.
★习练·破
求下列函数的定义域：
(1
;(2)y=√x- 1·√1—x;
③
函数的概念公开课课件
根据基本初等函数的性质，分别 求出各部分的取值范围或表达式
。
将各部分的结果组合起来，得到 复合函数的解析式或取值范围。
06
函数的应用举例
在几何中的应用举例
描述图形的形状
01
通过函数表达式，可以描述各种几何图形的形状，如直线、圆
、椭圆等。
计算图形的面积和体积
02
利用函数可以方便地计算各种几何图形的面积和体积，如圆的
指数、对数函数图像特点
指数函数图像特点 当 $a > 1$ 时，图像上升；当 $0 < a < 1$ 时，图像下降。
图像总是经过点 $(0,1)$。
指数、对数函数图像特点
• 随着 $x$ 的增大或减小，$y = a^x$ 的值会迅速增大或 减小。
指数、对数函数图像特点
01
02
03
04
对数函数图像特点
三角函数的性质
包括周期性、奇偶性、有界性等 。例如，正弦函数和余弦函数具 有周期性，周期为2π；正切函数 具有奇偶性，是奇函数。
三角函数的周期性、奇偶性
周期性
正弦函数和余弦函数具有周期性，周期为2π。这意味着在每个周期内，函数的图 像会重复出现。
奇偶性
正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。正切函数也是奇函数，即tan(-x) = -tan(x)。
反函数、复合函数的求解方法
反函数的求解方法 由原函数的解析式求出值域。
将原函数的解析式中的自变量与因变量互换，得到反函数的解析式。
反函数、复合函数的求解方法
注明反函数的定义域 （即原函数的值域） 。
确定复合函数的定义 域。
函数的概念课件
函数的概念课件在数学中，函数是一个核心的概念。
它描述了变量之间的依赖关系，用函数的观点去看待问题，是数学学习中一个极为重要的思想方法。
因此，大家要认真理解函数的概念，掌握函数的基本性质，为后续学习做好准备。
函数是数学中的一种关系，它把一个数集中的元素与另一个数集中的元素对应起来，其中对应的规则称为对应关系。
我们可以用解析式、图象、表格等多种形式来表示函数。
例如，如果y是x的函数，那么可以用y=x^2表示一个二次函数。
（1）函数的单调性：在区间(a,b)上，如果对于任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在(a,b)上单调递增；如果对于任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)在(a,b)上单调递减。
（2）函数的奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果对于函数f(x)的定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。
（3）函数的值域：函数值的取值范围称为函数的值域。
（2）定义域为[0,∞)，值域为[1,∞)解：（1）在区间(-∞,0)上单调递减，在区间(0,∞)上单调递增。
本节课我们学习了函数的概念和基本性质，掌握了函数的表示方法，了解了函数的单调性、奇偶性和值域等概念。
希望大家能够认真领会函数的思想方法，为后续学习做好准备。
函数是高中数学的核心概念，是数学学习中不可或缺的一部分。
函数的概念是理解函数的基础，也是进一步学习函数性质和应用的前提。
本课件旨在帮助学生理解函数的基本概念，掌握函数的定义和性质，为后续的学习奠定坚实的基础。
通过本课件的学习，学生应能理解函数的基本概念，掌握函数的定义和性质，能够判断一个映射是否为函数，并能够根据函数的定义和性质解决一些基本问题。
函数的定义：我们将介绍函数的定义，包括自变量、因变量和对应关系。
通过举例和反例，帮助学生理解函数的定义。
函数的概念(优秀课)ppt课件
函数的表示方法
解析法、列表法和图象法。
函数的定义域、值域与对应关系
01
函数的定义域
使函数有意义的自变量$x$的 取值范围。
02
函数的值域
函数值的集合，即${ y|y=f(x),x in D}$。
03
函数的对应关系
自变量$x$与因变量$y$之间的 对应法则。
函数的性质：奇偶性、周期性、单调性
奇偶性
01
角度计算
反三角函数可以用于计算角度，如已知三角形的两边长，可以利用反正
弦或反余弦函数计算出夹角。
02
工程应用
在工程中，反三角函数常用于解决与角度、长度等相关的实际问题，如
建筑设计、机械制造等领域。
03
复合函数
反三角函数可以与其他函数组合形成复合函数，用于解决更复杂的数学
问题。例如，可以将反三角函数与多项式、指数函数等进行复合，得到
0，+∞）上是减函数。
指数函数与对数函数的应用举例
增长率问题
通过指数函数可以描述某些量的增长速 度，如人口增长、细菌繁殖等。
利息计算
通过指数函数可以计算复利问题中的本 金和利息。
对数运算
通过对数函数可以简化某些复杂的运算 ，如计算幂、开方等。
数据分析
通过对数函数可以对某些数据进行归一 化处理，以便更好地进行数据分析和可 视化。
对数函数的图像与性质
对数函数的定义
形如y=log_a x（a>0且a≠1） 的函数称为对数函数。
对数函数的图像
当a>1时，图像在x轴上方，且 随着x的增大，y值也增大；当 0<a<1时，图像在x轴下方，且
随着x的增大，y值减小。
对数函数的性质
解析法、列表法和图象法。
函数的定义域、值域与对应关系
01
函数的定义域
使函数有意义的自变量$x$的 取值范围。
02
函数的值域
函数值的集合，即${ y|y=f(x),x in D}$。
03
函数的对应关系
自变量$x$与因变量$y$之间的 对应法则。
函数的性质：奇偶性、周期性、单调性
奇偶性
01
角度计算
反三角函数可以用于计算角度，如已知三角形的两边长，可以利用反正
弦或反余弦函数计算出夹角。
02
工程应用
在工程中，反三角函数常用于解决与角度、长度等相关的实际问题，如
建筑设计、机械制造等领域。
03
复合函数
反三角函数可以与其他函数组合形成复合函数，用于解决更复杂的数学
问题。例如，可以将反三角函数与多项式、指数函数等进行复合，得到
0，+∞）上是减函数。
指数函数与对数函数的应用举例
增长率问题
通过指数函数可以描述某些量的增长速 度，如人口增长、细菌繁殖等。
利息计算
通过指数函数可以计算复利问题中的本 金和利息。
对数运算
通过对数函数可以简化某些复杂的运算 ，如计算幂、开方等。
数据分析
通过对数函数可以对某些数据进行归一 化处理，以便更好地进行数据分析和可 视化。
对数函数的图像与性质
对数函数的定义
形如y=log_a x（a>0且a≠1） 的函数称为对数函数。
对数函数的图像
当a>1时，图像在x轴上方，且 随着x的增大，y值也增大；当 0<a<1时，图像在x轴下方，且
随着x的增大，y值减小。
对数函数的性质
函数的概念--(全国优质课课件)
半开半闭区间:满足a＜x≤b或a≤x＜b的实数x 的集合,分别记作(a, b],[a, b).
实数集R记作 (-∞,+∞),
“∞”不是一个 数,表示无限大的变化趋势,因此 作为端点, 不用方括号.
20
把下列不等式写成区间表示
1. -2<x<4,记作：(-_2_,_4_) ； 2.x >4,记作:__(_4_,_+_∞__)__； 3. 5≤x≤7,记作: [5,；7] 4. 2≤x＜5,记作: [2,5)； 5. 1＜x≤3,记作: _(_1_,_3_]； 6. x≤-10,记作:_(_-_∞_,_-_1_0；]
7.x≥3,记作:__[3_,_+_∞_)_； 8.x<-6,记作:_(_-_∞_,_-_6_) ；
9. {x|x>6}∩{x|-5<x≤14}记作___(_6_,1__4;]
10. {x|-2≤x<6}∪{x|3<x≤8}记作___[-_2__,8. ]
21
22
23
24
（1）y
2
x
y 3 x3
（2）y x2
(4) y x2
x
2、 f (x) 2x 1, g(x) 2x 1 求(1)、f(1); f(f(1)); (2)、f(a); f(a1); (3)、f(g(1)); g(f(x));
19
(设a, b为实数,且a<b)
闭区间:满足a≤x≤b的实数x的集合,记作 [a,b] 开区间:满足a＜x＜b的实数x的集合,记作 (a , b同？
5
知识探究（三）
国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高 低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表是“八五”计 划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况.
实数集R记作 (-∞,+∞),
“∞”不是一个 数,表示无限大的变化趋势,因此 作为端点, 不用方括号.
20
把下列不等式写成区间表示
1. -2<x<4,记作：(-_2_,_4_) ； 2.x >4,记作:__(_4_,_+_∞__)__； 3. 5≤x≤7,记作: [5,；7] 4. 2≤x＜5,记作: [2,5)； 5. 1＜x≤3,记作: _(_1_,_3_]； 6. x≤-10,记作:_(_-_∞_,_-_1_0；]
7.x≥3,记作:__[3_,_+_∞_)_； 8.x<-6,记作:_(_-_∞_,_-_6_) ；
9. {x|x>6}∩{x|-5<x≤14}记作___(_6_,1__4;]
10. {x|-2≤x<6}∪{x|3<x≤8}记作___[-_2__,8. ]
21
22
23
24
（1）y
2
x
y 3 x3
（2）y x2
(4) y x2
x
2、 f (x) 2x 1, g(x) 2x 1 求(1)、f(1); f(f(1)); (2)、f(a); f(a1); (3)、f(g(1)); g(f(x));
19
(设a, b为实数,且a<b)
闭区间:满足a≤x≤b的实数x的集合,记作 [a,b] 开区间:满足a＜x＜b的实数x的集合,记作 (a , b同？
5
知识探究（三）
国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高 低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表是“八五”计 划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况.
函数的概念优质教学课件PPT
∵m>0,∴-m<0,1-m<1+m,但m与1-m的大小不确定,∴对m与1-m的大小分类讨论.
①若m=1-m,即m=1 ,
2
则x=m= 1 ;
2
②若m<1-m,即m<1 ,
2
第1讲 描述运第动三的章基本概函念数的概念与性质
则m≤x≤1-m; ③若m>1-m,即m>1 ,
2
则x∈⌀,与题意不符. 综上,0<m≤ 1 ,函数g(x)的定义域为{x|m≤x≤1-m}.
如何求函数的定义域
已知函数解析式求定义域 (1)如果函数解析式是整式,那么在没有指明它的定义域的情况下,函数的定义域是 实数集R. (2)如果函数解析式仅含分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合. (3)如果函数解析式仅含偶次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等 于零的实数的集合. (4)如果函数解析式是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分 式子都有意义的实数的集合(即求各部分定义域的交集). (5)由实际背景确定的函数,其定义域要受实际问题的制约.
(填上所有正确的序号).
思路点拨
先求各组中两个函数的定义域,若定义域不同,则它们不是同一个函数;若定义域相
同,再化简函数解析式,判断对应关系是否相同.
第1讲 描述运第动三的章基本概函念数的概念与性质
解析 ①f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0},g(x)的定义域为R, f(x)与g(x)的定义域不
定义 {x|a≤x≤b}
名称 闭区间
符号 ⑩ [a,b]
{x|a<x<b}
开区间
(a,b)
{x|a≤x<b}
半开半闭区间
函数的概念课件(公开课)(含)
函数的概念课件(公开课)一、引言在数学领域中，函数是一个基本且重要的概念，它描述了两个量之间的依赖关系。
函数的概念起源于17世纪，经过几百年的发展，已经成为数学、自然科学和工程技术等领域不可或缺的工具。
本课件旨在阐述函数的基本概念、性质和应用，帮助大家深入理解函数的本质，为后续学习打下坚实基础。
二、函数的定义与表示1.函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合（称为定义域）中的每个元素对应到另一个集合（称为值域）中唯一的元素。
用数学符号表示为：f:X→Y，其中X表示定义域，Y表示值域。
函数通常用f(x)表示，x为自变量，f(x)为因变量。
2.函数的表示方法（1）解析法：直接给出函数的解析式，如f(x)=x²。
（2）表格法：列出定义域中部分元素的值和对应的函数值，如：x-f(x)-1-12-43-9（3）图象法：绘制函数的图象，展示函数的变化趋势。
三、函数的性质1.基本性质（1）单调性：函数在定义域内的某个区间上，随着自变量的增加（或减少），函数值单调增加（或减少）。
（2）奇偶性：若对于任意的x，都有f(-x)=f(x)，则称函数为偶函数；若对于任意的x，都有f(-x)=-f(x)，则称函数为奇函数。
（3）周期性：若存在非零常数T，使得对于任意的x，都有f(x+T)=f(x)，则称函数具有周期性，T为函数的周期。
2.极值与最值（1）极值：在函数的定义域内，若存在某个点x₀，使得在x₀的某邻域内，f(x₀)为最大值或最小值，则称f(x₀)为函数的极大值或极小值。
（2）最值：在函数的定义域内，若存在某个点x₀，使得对于任意的x，都有f(x₀)≥f(x)（或f(x₀)≤f(x)），则称f(x₀)为函数的最大值（或最小值）。
四、函数的应用1.数学分析函数是数学分析的基础，微积分中的导数、积分等概念都是建立在函数的基础上。
通过对函数的求导、积分等运算，可以研究函数的性质、解决实际问题。
2.应用数学函数在物理学、生物学、经济学等领域的模型建立中具有重要意义。
3.1.1 函数的概念 课件(共30张ppt)
3.1.1 函数的概念
函数符号y＝f(x) 是由德国数学 家莱布尼兹在18世纪引入的． 显然,值域是集合B的子集.在问题1与问题2 中,值域就是B1和B2;在问题3中,值域是数集B3的 真子集;在问题4中,值域 B4={0.3669,0.3681,0.3817, 0.3569,0.3515, 0.3353,0.3387,0.2989,0.2935,0.2857},是数集 B4={r｜0＜r≤1}的真子集．
3.1.1 函数的概念
一般地,设A、B是非空的实数集,如果对于 集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应 关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应, 那么就称ƒ:A→B为从集合A到集合B的一个函 数 (function).记作: y=f(x),xA.
其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数 的定义域(domain);与x的值相对应的y值叫做函 数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域 (range).
3.1.1 函数的概念
我们所熟悉的一次函数y＝ax+b(a≠0)的定义 域是R,值域也是R,对应关系f把 R中的任意一个数 x,对应到R中唯一确定的数ax+b(a≠0)．
二次函数y=ax2+bx当a＞0时,B { y| 4ac b2 } ;当a<0时, 4a
3.1.1 函数的概念
解:把y=x(10-x)看成二次函数,那么它的定义域是 R,值域是B={y | y≤25}.对应关系f把R中的任意一个 数x,对应到B中唯一确定的数x(10-x). 如果对x的取值范围作出限制,例如x∈{x | 0<x<10}, 那么可以构建如下情境: 长方形的周长为20,设一边长为x,面积为y,那么y＝ x(10-x).其中,x的取值范围是A={x｜0<x<10},y的 取值范围是B={y|0＜y≤25}.对应关系f把每一个长 方形的边长x,对应到唯一确定的面积x(10-x).
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2．根据图形判断对应是否为函数的方法步骤：(1)任 取一条垂直于 x 轴的直线 l；(2)在定义域内平行移动直线 l；(3)若 l 与图形有且只有一个交点，则是函数，否则不 是函数．
3．两个函数相等，当且仅当定义域与对应关系分别 对应相同．
[变式训练] (1)下列式子中不能表示函数 y＝f(x)的
(2)①y＝( x)2＝x(x≥0)，y≥0，定义域不同且值域不 同，所以两函数不相等；
②y＝3 x3＝x(x∈R)，y∈R，对应关系相同，定义域 和值域都相同，所以相等；
③y＝ x2＝|x|＝x，x≥0， y≥0；值域不同，且当 －x，x<0，
x<0 时，它的对应关系与函数 y＝x 不相同，所以不相等；
类型 1 函数概念的理解(自主研析)
[典例 1] (1)下列各对应关系中给出了实数集 R 上的
一个函数关系的是( )
①f：把 x 对应到 3x＋1；②g：把 x 对应到|x|＋1；
③h：把 x 对应到1x；④r：把 x 对应到 x.
A．①③
B．③④
C．①②
D．②③④
(2)下列函数中与函数 y＝x 相等的是________． ①y＝( x)2；②y＝3 x3 ；③y＝ x2 ；④y＝xx2.
(2)如果值域记作 C，上述定义中，集合 B，C 必满足 C⊆B.
2．区间表示
设 a，b 是两个实数，且 a<b.
定义
名称 符号表示 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a<x<b} 开区间 (a，b)
半开半闭
{x|a≤x<b}
[a，b)
区间
半开半闭
{x|a<x≤b}
(a，b]
区间
4．集合{x|x2>2}用区间表示为__________________． 解析：由 x2>2 得 x<－ 2或 x> 2，所以，集合{x|x2>2} 用区间表示为(－∞，－ 2)∪( 2，＋∞)． 答案：(－∞，－ 2)∪( 2，＋∞)
5．已知函数 f(x)＝2x＋3，则 f(f(－2))＋f(3)＝______． 解析：因为 f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1， f(3)＝2×3＋3＝9，f(－1)＝2×(－1)＋3＝1， 所以 f(f(－2))＋f(3)＝f(－1)＋f(3)＝1＋9＝10. 答案：10
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．下列各图中，可表示函数 y＝f(x)图象的只可能是 ()
解析：根据函数定义，每一个 x 值对应唯一的 y 值． 答案：D
3．已知函数 f(x)＝x25－x 2，则 f(2)＝(
)
A．7
B．5
C．3
D．2
5×2 解析：f(2)＝22－2＝5.
答案：B
解析：(1)①是实数集 R 上的一个函数．它的对应关 系 f 是：把 x 乘 3 再加 1，对于任一 x∈R，3x＋1 都有唯 一确定的值与之对应，如 x＝－1，则 3x＋1＝－2 与函数．③不是实数 集 R 上的函数．因为当 x＝0 时，1x的值不存在．④不是 实数集 R 上的函数．因为当 x<0 时， x的值不存在．故 选 C.
3.函数相等
(1)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全 一致，我们就称这两个函数相等．
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．( ) (2)对于一个函数 y＝f(x)，在定义域内任取一个 x 值， 至少有一个函数值与其相对应．( ) (3)f(x)与 f(a)的意思是不一样的．( ) (4)数集都能用区间表示．( )
函数的定义 意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定
的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B
为从集合 A 到集合 B 的一个函数
函数的记法
y＝f(x)
定义域 值域
x 叫作自变量，x 的取值范围 A 叫 作函数的定义域 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函 数的值域
温馨提示 (1)对函数概念的理解：①A，B 必须为非 空数集；②集合 A 中元素具有任意性；③集合 B 中元素 必须有唯一确定性．
④y＝xx2的定义域为{x|x≠0}，与函数 y＝x 的定义域 不相同，所以不相等．
答案：(1)C (2)②
归纳升华 1．判断所给对应是否为函数：首先观察两个数集 A， B 是否非空；其次验证对应关系下，集合 A 中 x 的任意 性，集合 B 中 y 的唯一性，既不能没有数 y 对应数 x，也 不能有多于一个的数 y 对应 x.
第一章 集合与函数概念
1．2 函数及其表示 1．2.1 函数的概念
[学习目标] 1.理解函数的概念，了解构成函数的三 要素． 2.能正确使用区间表示数集． 3.会求一些简单 函数的定义域、函数值．
[知识提炼·梳理]
1．函数的有关概念 设 A，B 是非空数集，如果按照某种确
定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任
(2)对于 A 项，x2＋y2＝1 可化为 y＝± 1－x2，显然 对任意 x∈A，y 值不唯一，故不符合．对于 B 项，符合 函数的定义．对于 C 项，2∈A，但在集合 B 中找不到与 之相对应的数，故不符合．对于 D 项，－1∈A，但在集 合 B 中找不到与之相对应的数，故不符合．
解析：(1)错，只有非空数集之间才能建立函数关系． (2)错，根据函数的定义，对于定义域内的任意一个 x， 只有一个函数值与其对应． (3)对，f(a)表示当 x＝a 时，函数 f(x)的值，是一个常 量；而 f(x)是自变量 x 的函数．
(4)错，区间是数集的一种表示方法，并不是所有数 集都能用区间表示，如{1，2，3，4}，就不能用区间表示．
是( )
A．x＝y2＋1
B．y＝2x2＋1
C．x－2y＝6
D．x＝ y
(2)下列对应或关系式中是 A 到 B 的函数的是( )
A．A∈R，B∈R，x2＋y2＝1
B．A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图：
C．A＝R，B＝R，f：x→y＝x－1 2 D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ 2x－1 解析：(1)选项 A 中由 x＝y2＋1 得：y＝± x－1，当 x≥1 时，任意一个 x 对应两个 y 值，不是函数．其余三 个都可以表示为函数 y＝f(x)．