带根号的数未必是无理数

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根号3无理数证明

根号3无理数证明今天咱们来聊一聊根号3这个数。

你们知道吗？根号3呀，是一个无理数。

那什么是无理数呢？咱们先来讲个小故事吧。

从前有个小木匠，他要做一个正方形的小盒子。

这个小盒子的对角线长度特别重要。

如果这个正方形的边长是1的话，那根据勾股定理，对角线的长度就是根号2。

那要是这个正方形的边长变成了根号3呢？这个时候对角线的长度就变得很复杂啦。

咱们来证明一下根号3是无理数。

咱们就假设根号3是有理数。

什么是有理数呢？就是可以写成两个整数之比的数，就像1/2、3/4这样的数。

那如果根号3是有理数，它就可以写成a/b的样子，这里的a和b都是整数，而且它们没有共同的因数，除了1。

就像3/4，3和4就没有除了1以外的共同因数。

那咱们就有根号3 = a/b，然后两边都平方，就得到3 = a²/b²，再变一变就成了a² = 3b²。

这时候咱们来想一想。

a²是3的倍数。

那a呢？比如说6的平方是36，36是3的倍数，6也是3的倍数。

所以a肯定也是3的倍数。

那咱们就可以把a写成3k的样子，k也是一个整数。

那把a = 3k代入a² = 3b²里，就得到(3k)² = 3b²，算一算就是9k² = 3b ²，再变一下就是b² = 3k²。

这就和前面一样啦，b²是3的倍数，那b也是3的倍数。

可是咱们前面说a和b 没有除了1以外的共同因数，现在a和b都有3这个因数，这就矛盾啦。

就像你说你有一堆苹果和一堆橘子，你说苹果和橘子的数量没有共同的除了1以外的因数，可是后来发现苹果和橘子的数量都能被3整除，这就不对啦。

所以呀，咱们最开始假设根号3是有理数是错的，那根号3就只能是无理数啦。

就像根号2一样，根号3也是一个很特别的数，它不能写成简单的两个整数之比。

数学就是这样，充满了各种有趣的探索。

虽然这个证明有点绕，但是只要咱们一步一步想，就像走迷宫一样，最后就能找到答案。

江西省临川一中七年级数学下册第六章【实数】基础卷(含答案)

一、选择题1．有下列四种说法：①数轴上有无数多个表示无理数的点； ②带根号的数不一定是无理数； ③平方根等于它本身的数为0和1； ④没有最大的正整数，但有最小的正整数；其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．42．对于任意不相等的两个实数a ，b ，定义运算：a ※b ＝a 2﹣b 2+1，例如3※2＝32﹣22+1＝6，那么（﹣5）※4的值为（） A ．﹣40B ．﹣32C ．18D ．103．有下列说法：①在1和2②实数与数轴上的点一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④2π是分数．其中正确的为（） A ．①②③④B ．①②④C ．②④D ．②4．下列命题中，①81的平方根是9；±2；③−0.003没有立方根；④−64的立方根为±4；） A ．1B ．2C ．3D ．45．下列实数220.010*******；； (相邻两个1之依次多一个0)2，其中无理数有( ) A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6．定义运算：132x y xy y =-※，若211a =-※，则a 的值为（） A ．12-B ．12C ．2-D ．27．8 ） A ．4B ．5C ．6D ．78．，则571.34的平方根约为（） A ．239.03B ．±75.587C ．23.903D ．±23.9039．如图，四个实数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若0n q +=，则m ，n ，p ，q 四个实数中，绝对值最大的一个是（）A ．pB ．qC ．mD ．n10．下列说法正确的有（）（1）带根号的数都是无理数；（2）立方根等于本身的数是0和1；（3）a -一定没有平方根；（4）实数与数轴上的点是一一对应的；（5）两个无理数的差还是无理数；（6）若面积为3的正方形的边长为a ，a 一定是一个无理数． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．下列各组数中都是无理数的为（） A ．0.07，23，π； B ．0.7•，π2； C 26，π；D ．0.1010101……101，π3二、填空题12．进位数是一种计数方法，可以用有限的数学符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n 个则称为n 进制，现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0—9作为基数，特点是满十进1，对于任意一个(210)n n ≤≤进制表示的数通常使用n 个阿拉伯数字()01--n 作为基数，特点是逢n 进一，我们可以通过下列方式把它转化为十进制．例如：五进制数 ()252342535469=⨯+⨯+=，则()523469=，七进制数()271361737676=⨯+⨯+=（1）请将以下两个数转化为十进制：()5333= ，（746)= ．（2）若一个正数可以用7进制表示为()7abc ，也可用五进制表示为()5cba ，求出这个数并用十进制表示．13．观察下列各式：322111124==⨯⨯，33221129234+==⨯⨯，33322112336344++==⨯⨯，33332211234100454+++==⨯⨯；…回答下面的问题：（1）猜想：33333123(1)n n ++++-+=_________；（直接写出你的结果）（2）根据（1）中的结论，直接写出13+23+33+．．．．．．+93+103的值是_________；（3）计算：213+223+233+．．．．．．+293+303的值．14．（1）解方程组；25342x y x y -=⎧⎨+=⎩（2）解不等式组：352(2)22x x x x -≥-⎧⎪⎨>-⎪⎩①②，并写出它的所有整数解．（3）解方程：2(x 2)100-=（4）计算：20172(1)|7|(---- 15．计算：（1）⎛- ⎝；（2|1--16．若求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如()()()()2223333÷÷-÷-÷-÷-，等。

无理数与根号的运算技巧

无理数与根号的运算技巧无理数是指不能表示为两个整数之比的实数，它们的十进制表示是无限不循环的。

无理数常常涉及到根号的运算技巧。

根号是数学中表示平方根的符号，它代表一个数的平方根。

本文将讨论一些处理无理数和根号的常用运算技巧。

首先，让我们来看一些根号运算的基础知识。

例如，根号下9表示的是正负3，因为3的平方是9。

同样地，根号下16表示的是正负4，因为4的平方是16。

根号下25表示的是正负5，因为5的平方是25。

可以看出，根号运算是找到一个数的平方根。

但是，并不是所有的数都有有理数的平方根。

例如，根号下2，根号下3，根号下5等都是无理数，它们不能表示为两个整数之比。

这就使得在处理无理数和根号时需要运用一些特殊的技巧。

一种常见的技巧是有理化分母。

当我们遇到分母含有根号的分式时，经常需要进行有理化分母的操作。

有理化分母是指通过一些方法将根号从分母中去掉，使得分母变为有理数。

例如，对于分式1/根号2，我们可以通过乘以根号2的形式因式分解来有理化分母，即：(1/根号2)* (根号2/根号2) = 根号2/2。

这样，我们可以得到一个有理数作为分母，从而更容易进行相关计算。

另一个常用的技巧是整理根号的表达形式。

当遇到根号下一个复合数或多个数相乘的情况时，可以考虑将它们分解为一个简化的形式。

例如，根号下12可以写成根号下4乘以根号下3，即2乘以根号下3。

这样，我们可以简化根号表达式，从而更方便进行后续的运算。

除了基本的运算技巧之外，还有一些特殊的无理数和根号运算规则需要注意。

例如，根号下a乘以根号下b可以简化为根号下ab，根号下a除以根号下b可以简化为根号下(a/b)，a的根号次方可以表示为根号下(a的次方)等等。

这些运算规则可以帮助我们更好地处理无理数和根号的运算问题。

在实际应用中，无理数和根号的运算技巧经常出现在代数、几何、三角等各个数学领域。

例如，在代数中，我们经常需要对根号进行展开，合并同类项，进行消去和求解等操作。

带根号的数未必是无理数

带根号的数未必是无理数鹿泉市获鹿镇第三中学崔怀平在新教材七年级数学下册第十章第三节讲到：“很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数。

”接着引出定义：“无限不循环小数又叫无理数。

”例如：2，3，是无理数，π=3.14159265......,也是无理数。

时间一长，有的学生把无理数和带根号的数混淆起来，误认为带根号的数就是无理数。

其实带根号的数不一定是无理数，无理数也不一定都是带根号的数得来的。

无理数的定义是：“无限不循环小数叫无理数”。

最本质特征是无限不循环。

我们知道，开方开不尽的数，开方后可以得到无限不循环小数，既无理数。

但是无限不循环小数不一定非得由开方得来，例如圆周率=3.14159265．．．．．．，它不是开放得来的，它是圆的周长除以直径得到的，它是一个比值。

还有自然对数的底数e=2.718……也是无理数；它是通过求极限的方法得到的。

还有我们也可以有意识地构造一些无理数，如：0.101001000…..，（构成的规律是1后面0的个数逐次增加一个），显然这个数是无限不循环的小数，也是一个无理数。

就是说无理数并不都是开方开不尽而得来，还有其他方式可以形成无理数。

另一方面，虽然很多带根号的数都是无理数，例如：2、45、33等，但不是带根号的数就一定是无理数。

例如：352++352-，从感觉上看，这个数很像无理数，但是他确实是一个有理数。

现在证明一下：设x= 352++352-两边3次方得：3x=3335252⎪⎭⎫⎝⎛-++=3352⎪⎭⎫⎝⎛++3∙⎪⎭⎫⎝⎛+∙2352352-+3∙+∙3522352⎪⎭⎫⎝⎛-+3352⎪⎭⎫ ⎝⎛- =2+5+33352()52)(52(+∙-+∙+)523-+25- =4x ∙-∙+3543=4x 3-即 x x 343-=0433=-+x x分解因式：0443=-+-x x x()()01412=-+-x x x ()()()01411=-++-x x x x()()()0411=++-x x x()()0412=++-x x x042=++x x 在实数内无解所以，x=1也就是说 352++352-=1 ，它是一个有理数。

根号是有理数吗

根号是有理数吗
要看根号下的那个数是不是完全平方数，即它能写成另一个数的平方。

如果是一个完全平方数，开根号后就是有理数；反之，是无理数。

根号是一个数学符号。

根号是用来表示对一个数或一个代数式进行开方运算的符号。

有理数介绍
有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。

整数也可看做是分母为一的分数。

不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。

是“数与代数”领域中的重要内容之一，在现实生活中有广泛的应用，是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。

有理数集可以用大写黑正体符号Q代表。

但Q并不表示有理数，有理数集与有理数是两个不同的概念。

有理数集是元素为全体有理数的集合，而有理数则为有理数集中的所有元素。

实数概念分类性质讲义(含答案)

实数知识点一：无理数1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数．（2）圆周率π及一些含π的数是无理数．（3）不循环的无限小数是无理数．（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数． 2 无理数的性质：设a 为有理数，b 为无理数，则a+b ，a-b 是无理数；3、判断方法：①定义是判断一个数是不是无理数的重要依据；②有理数都可以写成分数的形式，而无理数则不能写成分数的形式（两个整数的商）．4等；②含有π一类数，如5π，3+π等；③以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐渐加1）．二、知识点+例题+练习一、无理数的判断1．判断一个数是不是无理数，必须看它是否同时满足两个条件：无限小数和不循环小数这两者缺一不可．2．带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数．【例1】0；3227；1.1010010001…，无理数的个数是 A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【解析】因为02273π；1.1010010001…是无限不循环小数，所以无理数有3个，故选C ．【变式训练1-1】在，–2018，π这四个数中，无理数是A ．B ．–2018CD ．Π【答案】D1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数．2、实数的分类：（1）实数按定义分类：0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数( 2 )按正负分类：227227例题精讲二、实数的概念和分类1．实数的分类有不同的方法，但要按同一标准，做到不重不漏．2．对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类．【例1】在5π131401232，，，.，，----中，其中__________是整数，__________是无理数，__________是有理数.【答案】01-；π5131401322，，；，，.，---- 【例2】将这些数按要求填入下列集合中：0.01001001…，4，122-，3.2，0，-1，-（-5），-|-5|负数集合｛ …｝；分数集合｛…｝；非负整数集合｛…｝；无理数集合｛…｝．【解析】负数集合｛122-，-1，-|-5| 分数集合｛122-，3.2…｝；非负整数集合｛4，0，-（-5）…｝；无理数集合｛0.01001001…，【变式训练2-1】判断正误．（1）实数是由正实数和负实数组成．（）（2）0属于正实数．（）（3）数轴上的点和实数是一一对应的．（）（4）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是±1．（）（5）若x =x =（）【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）×；（5）√．【变式训练2-2】下列说法错误的是（）A ．实数都可以表示在数轴上B ．数轴上的点不全是有理数C ．坐标系中的点的坐标都是实数对 D【答案】D【变式训练2-3】下列说法正确的是（）A ．无理数都是无限不循环小数B ．无限小数都是无理数C ．有理数都是有限小数D ．带根号的数都是无理数【答案】A【变式训练2-4】把下列各数填入相应的集合：－1、π、 3.14-、12、7.0、0（1）有理数集合｛｝；（2）无理数集合｛｝；（3）整数集合｛｝；（4）正实数集合｛｝；（5）负实数集合｛｝．【答案】（1）－1 3.14-、12、7.0、0（2-、（3）－10；（4、π、127.0 ；（5）－1、 3.14-、（1）任何实数a ，都有一个相反数-a ．（2）任何非0实数a ，都有倒数1a．（3）正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（4）正实数大于0，负实数小于0；两个正实数，绝对值大的数大，两个负实数，绝对值大的反而小．一、相反数与绝对值求一个有理数的相反数和绝对值与求一个实数的相反数和绝对值的意义是一样的，实数a 的相反数是-a ，一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．【例1的相反数是A ．BC ．D 【答案】A【解析】根据相反数的定义可知：2的相反数是2-，故选A ．【例2】3-π的绝对值是 A ．3-π B ．π-3 C ．3 D ．π【答案】B【解析】∵3−π<0，∴|3−π|=π−3，故选B ．【例3】 A ．相反数 B ．倒数 C ．绝对值 D ．算术平方根【答案】A【解析】A ．【变式训练3-1的相反数是________；的倒数是________；35-的绝对值是________．【答案】【变式训练3-2】3.141π-＝______；=-|2332|______．【答案】-3.141π；【变式训练3-3】若||x =x ＝______；若||1x ，则x ＝______．【答案】1或11 实数与数轴上的点一一对应：即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点． 2、两个实数比较大小：1．数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大；2．正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较，绝对值大的反而小．【例1】如图，数轴上点P 表示的数可能是AB ．C ．–3.2D ．【答案】B≈2.65 3.16，设点P 表示的实数为x ，由数轴可知，–3<x <–2，∴符合题意的数为．故选B ．【例2】和数轴上的点成一一对应关系的数是A ．自然数B ．有理数C ．无理数D ．实数【答案】D【解析】数轴上的点不仅表示有理数，还表示所有的无理数，即实数与数轴上得点是一一对应的，故选D ．【例3】已知实数m 、n 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断错误的是A ．m <0B ．n ＞0C ．n ＞mD ．n <m【答案】D【解析】由数轴上的点，得m <0<n ，所以m <0，n ＞0，n ＞m 都正确，即选项A ，B ，C 判断正确，选项D 判断错误．故选D ．【变式训练4-1】已知数轴上A 、B 两点表示的数分别为–3A 、B 间的距离为__________．【解析】A 、B 两点表示的数分别为–3和A 、B 间的距离为3），故答案为：．【变式训练4-2】如图，点A 、B 、C 在数轴上，O 为原点，且BO ：OC ：CA =2：1：5．（1）如果点C 表示的数是x ，请直接写出点A 、B 表示的数；（2）如果点A 表示的数比点C 表示的数两倍还大4，求线段AB 的长．【解析】（1）∵BO ：OC ：CA =2：1：5，点C 表示的数是x ， ∴点A 、B 表示的数分别为：6x ，–2x ；（2）设点C 表示的数是y ，则点A 表示的数为6y ，由题意得，6y =2y +4，解得：y =1，∴点C 表示的数是1，点A 表示的数是6，点B 表示的数是–2， ∴AB =8．二、比较大小【例4】） A ．7～8之间 B ．8.0～8.5之间 C ．8.5～9.0之间D ．9～10之间【答案】C【例5】实数2.6 （）A ．2.6<<B ．2.6C 2.6<D 2.6<【答案】B【变式训练4-3】一个正方体水晶砖，体积为1002cm ，它的棱长大约在（） A ．4～5cm 之间 B ．5～6cm 之间 C ．6～7cm 之间 D ．7～8cm 之间【答案】A【变式训练4-4】把下列各数按照由大到小的顺序，用不等号连接起来．4，4-，153-，1．414，π，0.6，，34-，【答案】314 1.4140.64543π>>>>>>->-．1．在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算性质、运算顺序、运算律等同样适用．2．在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算．【例1】计算下列各式：（1）221．【解析】（1=-．（2）原式21=1=．【变式训练5-1】计算题（1）32716949+- （2） 233)32(1000216-++【解析】（1）32716949+-71333=-+=-；（2）233)32(1000216-++226101633=++=．【答案】（1）3-；（2）2163．1．在下列实数中，属于无理数的是 A ．0BC ．3D ．2．在每两个1之间依次多一个中，无理数的个数是 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个3的值在 A ．0和1之间B ．1和2之间C ．2和3之间D ．3和4之间4．下列四个数中，最小的一个数是 A ．5的绝对值是A ．3B ．6．下列说法中，正确的个数有 ①不带根号的数都是有理数； ②无限小数都是无理数；③任何实数都可以进行开立方运算；1313.140.231.131331333133331(3π-，，，，……3)B 3-．C -．D π-．3-1C 3．1D 3-．④不是分数． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．下列各组数中互为相反数的一组是 A ．-|-2|B ．-4与C ．与D ．8．如图，数轴上点P 表示的数可能是AB．C ． 3.4-D．92-的相反数是__________，绝对值是__________． 10．计算：+-=__________．11__________． 12=__________（=__________． 13．把下列各数填入相应的集合内：4230.15，-7.5，-π，0，23.． ①有理数集合：｛ …｝； ②无理数集合：｛ …｝； ③正实数集合：｛ …｝； ④负实数集合：｛…｝．14．已知：x 是|-3|的相反数，y 是-2的绝对值，求2x 2-y 2的值．515．已知ab的小数部分，|c，求a -b +c 的值．16．已知5的小数部分分别是a 、b，则（a +b ）（a–b ）=__________．17．6的整数部分是a ，小数部分是b ．（1）a =__________，b=__________．（2）求3a –b 的值．18．如图，点A ，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位后到达点B，设点B 所表示的数为n ．（1）求n的值；（2）求|n +1|+（n –2）的值．答案：1．【答案】B【解析】0、3、是无理数．故选B ． 2．【答案】C【解析】，π，1.131331333133331……（每两个1之间依次多一个3）是无理数，故选C ． 3．【答案】B【解析】∵<2的值在：1和2之间．故选B ．4．【答案】D【解析】∵7<8<9<π2，3<π，∴＞–π，∴最小的一个数是–π．故选D ． 13<<3--5．【答案】A．–3的绝对值是3．故选A．6．【答案】C【解析】①不带根号的数不一定是有理数，如π，错误；②无限不循环小数是无理数，错误；③任何实数都可以进行开立方运算，正确；不是分数，正确；故选C．8．【答案】B【解析】由图可知，P点表示的数在之间，故选B．9．【答案】22；--2-的相反数是2-，绝对值是2-，故答案为：22；--10．【答案】【解析】(35+-=+-，故答案为．11．【答案】【解析】它们互为相反数，分别是故答案为：121）3（1-13-1．3=-13．【解析】有理数集合：｛4，230.15，-7.5，0，23.…｝；，π-…｝；4，230.15，23.…｝； ④负实数集合：｛-7.5，π-…｝．14．【解析】∵x 是|−3|的相反数，∴x 是3的相反数−3，即x =−3．∵y 是−2的绝对值，∴y =2．∴22229414x y -=⨯-=．15．【解析】∵<3，∴a =2，b-2，∵|c，∴c当ca -b +c =4；当c =a -b +c =4-．16．【答案】5【解析】∵与5a 、b ，∴a =（–2，b=（5）–2=3，∴（a+b ）（a –b ）=–2+32–5．故答案为：5．17．【解析】（1）∵，∴<3．∴–23．∴6–2＞66–3，∴4＞63．∴a =3，b =3（2）3a –b =3×3–（3=9–1. 下列命题中，错误的命题个数是（）（1）2a -没有平方根；（2）100的算术平方根是10，记作10100=± （3）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数；（4）2是最小的无理数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C2. 若22b a =，则下列等式成立的是（）A ．33b a =B ．b a =C ．b a =D ． ||||b a =【答案】D3. 已知坐标平面内一点A(2-，3)，将点A A ′的坐标为．【答案】(2--四、课后作业4.已知10<<x ，则21x x x x 、、、的大小关系是__________________________（用“>”连接）．【解析】可以采用特殊值法解题，如14x =．【答案】21x x x>>5.计算:（1（2）2(2)-【解析】（111213333-=- ；（2）2(2)-11433231423=⨯+-⨯=+-=．【答案】（1） 13- ；（2）4．6.已知一个长方体封闭水箱的容积是1620立方分米，它的长、宽、高的比试5:4:3，则水箱的长、宽、高各是多少分米？做这个水箱要用多少平方分米的板材？【解析】在列方程解应用题时，要注意见比设k 的应用．【答案】长、宽、高各是15分米，12分米，9分米；846平方分米．7.已知实数a ，满足0a =，求11a a -++的值．【解析】0a ，0a a a ∴++=，20a a +=，0a ∴=，112a a -++=【答案】28.先阅读理解，再回答下列问题：，且12<<的整数部分为1；23<2；=34<的整数部分为3；n 为正整数）的整数部分为＿＿＿＿＿＿，请说明理由．【解析】n2(1)n n n n +=+，又22(1)(1)n n n n <+<+，1n n ∴<+（n 为正整数），∴整数部分为n ．【答案】n9. 计算下列各组算式，观察各组之间有什么关系，请你把这个规律总结出来，然后完成后面的填空．（1（2（3（4（5= ；（6= (0,0)a b ≥≥．【解析】（5（6【答案】（5；（610.若a 为217-的整数部分，1-b 是9的平方根，且a b b a -=-||，求b a +的算术平方根．【解析】161725,45,223,2a <<∴<∴<<∴=，14b b -==或2b =-．又a b b a -=-，b a ∴≥，2,4a b ∴==，．。

中考数学专题复习：无理数

中考数学专题复习：无理数一、单选题1．下列实数中，属于无理数的是（）A ．2B ．0.5C ．πD ．-52．下列说法中正确．．的是( ) A ．带根号的数都是无理数B ．无限小数都是无理数C ．无理数都是无限小数D ．无理数就是开方开不尽的数 3．下列说法中：①无限小数是无理数；②无理数是无限小数；③无理数的平方一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的，正确的个数S 是（）A ．1B ．2C ．3D ．44．下列说法正确的有（）（1）有理数包括整数、分数和零；（2）不带根号的数都是有理数；（3）带根号的数都是无理数；（4）无理数都是无限小数；（5）无限小数都是无理数．A ．1B ．2C ．3D ．45．下列说法正确的是（）A ．所有无限小数都是无理数B ．所有无理数都是无限小数C ．有理数都是有限小数D ．不是有限小数的不是有理数 6．下列各数中3.14，3π，1.090090009…，227，0，3.1415是无理数的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7．下列命题是假．命题的是（） A ．所有的实数都可用数轴上的点表示； B ．同位角相等，两直线平行； C ．无理数包括正无理数，0，负无理数； D ．两点之间，线段最短．8．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的ABC ∆中，长为无理数的边有（）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条二、填空题 9．写出一个小于2的无理数：________．10．如图，在5×5的正方形网格中，以AB 为边画直角△ABC ，使点C 在格点上，且另外两条边长均为无理数，满足这样条件的点C 共________个．11．在23-, π ，0.66666… , 1.090090009…中无理数有________个。

12．写出一个比3大且比4小的无理数________．（写出一个即可，写多不加分） 13．写出一个同时符合下列条件的数：________．（1）它是一个无理数；（2）在数轴上表示它的点在原点的左侧；（3）它的绝对值比2小． 14．把下列各数分别填入相应的集合内：﹣2.5，0，8，﹣2，2π，53， ﹣0.5252252225…（每两个5之间依次增加1个2）．（1）正数集合：{ }；（2）负数集合：{ }；（3）整数集合：{ }；（4）无理数集合：{ }．15．在0，1130，π﹣1，0.121121112…（每两个2之间依次多一个1），•0.65这5个数中，无理数有________个．16．在直角三角形ABC 中，∠C =90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .（1）计算：△当a =1，c =2时，b 2=________；△当a =3，c =5时，b 2=________；△当a =0.6，c =1时，b 2=________.（2）通过（1）中计算出的b 2的值，可知b 是整数的是________；b 是分数的是________；b 既不是整数，也不是分数的是________.（填序号）三、解答题17．如图，若每个小正方形的边长均为1，试解决以下问题：（1）图中阴影部分的面积是多少？（2）阴影部分正方形的边长是多少？（3）估计边长的值在哪两个整数之间？18．请将下列各数填入相应的集合内：74-，0，π，311，-1.010010001···（每两个1之间多一个0），0.5• 有理数集合：{ }；无理数集合：{ ·}；非负数集合：{ }．19．在下列44⨯网格中分别画出一个符合条件的直角三角形，要求三角形的顶点均在格点上，且满足：（1）三边均为有理数；（2）其中只有一边为无理数．20．阅读下列材料：设：0.30.333x ==，△则10 3.333x =.△由-②①，得93x =，即13x =. 所以10.30.3333==. 根据上述提供的方法.把0.7•和1.3•化成分数，并想一想.是不是任何无限循环小数都可以化成分数？21．有六个数：0.142 7，(-0.5)3，3.141 6，227，-2π，0.102 002 000 2…，若无理数的个数为x,整数的个数为y,非负数的个数为z,求x+y+z 的值.22．已知在Rt△ABC 中,△C=90°，点A,B,C 所对的边长分别为a,b,c ．（1）若60a =，80b =，求c 的值，c 是有理数吗？（2）若11a =，12c =，求b 的值，b 是有理数吗？参考答案1．C【解析】分析：分别根据无理数、有理数的定义即可得出结论．【详解】2，0.5，－5是有理数，π是无理数．故选C．2．C【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】A.=2，是整数，是有理数，选项错误；B. 无限循环小数是有理数，选项错误；C. 正确；D.π是无理数，不是开方开不尽得到的数，选项错误．故选C.【点睛】本题考查了无理数，解题的关键是掌握无理数的概念.3．B【分析】据无理数的定义和运算即可得到正确选项．【详解】△无限不循环小数是无理数；错误；△无理数是无限小数，正确；△无理数的平方不一定是无理数；错误；△实数与数轴上的点是一一对应的，正确．故选B．【点睛】本题考查了无理数的定义及其运算，熟记无理数的定义是解题的关键．4．A【分析】根据有理数的分类，结合相关概念进行判断即可，整数包括正整数、负整数和0；分数包括正分数和负分数；有理数包括正有理数、负有理数和0；0不是正数也不是负数.【详解】整数包含0，故错误；Π3能开方开的尽的是有理数，错误；无理数都是无限不循环小数，都属于无限小数，正确；无理数都是无限不循环小数，不是全部的无限小数，错误；总共1个正确，故选A【点睛】考查有理数的概念，理解有理数的分类中各自的含义是解题的关键.5．B【分析】根据无理数的定义，以及无限小数的定义分析各选项即可作出判断．【详解】解：A 、0.1 是无限小数，不是无理数，故A 错误；B 、所有无理数都是无限小数，故B 正确；C 、有理数5是整数，不是有限小数，故C 错误；D 、有理数5是整数，不是有限小数，是有理数，故D 错误．故选：B ．【点睛】本题考查了实数中无理数的定义，以及无限小数的定义，是基础题型，比较简单．6．B 【解析】无理数有3π，1.090090009…，共2个，故选B. 【点睛】本题主要考查无理数，熟记无理数的概念是解题的关键.7．C【解析】试题解析：A 、所有的实数都可用数轴上的点表示，所以A 为真命题； B 、同位角相等，两直线平行，所以B 为真命题；C 、无理数包括正无理数，负无理数，所以C 为假命题；D 、两点之间，线段最短，所以D 为真命题．故选C ．8．C【分析】利用勾股定理计算出,,AB BC AC 三边的长度即可．【详解】解：AB =5BC ==；AC ==△,AB AC 的长是无理数，故选：C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理和无理数的识别，关键是牢记勾股定理的公式和无理数的定义．9【分析】根据无理数的大小判断即可；【详解】＜2（不唯一）．【点睛】本题主要考查了无理数的估算，准确计算是解题的关键．10．4【分析】本题需根据直角三角形的定义和图形即可找出所有满足条件的点．【详解】解：根据题意可得以AB 为边画直角△ABC ，使点C 在格点上，且三边都为无理数，满足这样条件的点C 共D,E,F,H4个点．故答案为8．11．2【分析】根据无理数的定义解答即可. 【详解】23-,0.66666… 是有理数；π，1.090090009…是无理数. 故答案为：2.【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：△π类，如2π，3π等；△△虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等．12．π（答案不唯一）．【分析】根据无理数的定义即可．【详解】写出一个比3大且比4小的无理数：π（答案不唯一）．故答案为：π（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．13．(不唯一)【解析】试题解析：符合上述三个条件.故答案为: 答案不唯一).14．（1）正数集合：｛8，，，，…｝；（2）负数集合：｛－2．5，－2 ，－0．525225222…，…｝；（3）整数集合：｛0，8，－2 …｝；（4）无理数集合：{，－0．5252252225…，…}．【解析】试题分析：正数包括正有理数和正无理数，负数包括负有理数和负无理数，整数包括正整数、负整数和0，无理数是无限不循环小数.由此即可解决问题.试题解析：（1）正数集合：{8，，…}；（2）负数集合：{﹣2.5，﹣2，﹣0.5252252225…（每两个5之间依次增加1个2）…}；（3）整数集合：{0，8，﹣2，…}；（4）无理数集合：{，﹣0.5252252225…（每两个5之间依次增加1个2），…}．15．2【分析】根据有理数与无理数的定义逐一进行判断即可得答案.【详解】0，1130，•0.65这三个数是有理数，π﹣1，0.121121112…（每两个2之间依次多一个1）这两个数是无理数，所以无理数有2个，故答案为：2.【点睛】本题考查了实数，解题的关键是掌握实数、无理数、有理数的概念，并注意它们之间的区别、联系．16．3 16 0.64 △ △ △【分析】（1）根据勾股定理求解即可；（2）分别根据整数和分数的概念进行判断即可.【详解】（1）计算：△当a=1，c=2时，b2=c2−a2=22−12=3，△b=√3(负舍去)；△当a=3，c=5时，b2=52−32=16，△b=4(负舍去)；△当a=0.6，c=1时，b2=12−0.62=0.64,△b=0.8(负舍去).（2）通过（1）中计算出的b2的值，可知b是整数的是△；b是分数的是△；b既不是整数，也不是分数的是△.（填序号）【点睛】此题考查了勾股定理以及正数的算术平方根，熟练掌握勾股定理的运用是解此题的关键.17．（1）10（2（3）34<<【分析】（1）将阴影部分的面积分割为一个小正方形和四个小直角三角形来求；（2）在直角三角形中，利用勾股定理来计算斜边的长即可；（3）利用“夹逼法”来估算无理数的大小．【详解】如图所示：（1）S阴影=S正方形A′B′C′D′+S△BCC′+S△ABB′+S△ADA′+S△DCD′，=2×2+12×4×（1×3），=4+6，=10；（2）在直角三角形AA′D中，AA′=1，A′D=3，；（3）△9＜10＜16，△3＜4，即边长的值在3与4之间．【点睛】考查了正方形、直角三角形面积的求法及无理数大小的估算．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法.18．有理数集合：{74-，0，311，0.5•···}；无理数集合：{π，-1.010010001···（每两个1之间多一个0）···}；非负数集合：{0，π，311，0.5•···}．【分析】根据有理数的概念、无理数及非负数的概念可直接进行求解．【详解】有理数集合：{74-，0，311，0.5•···}；无理数集合：{π，-1.010010001···（每两个1之间多一个0）···}；非负数集合：{0，π，311，0.5•···}．【点睛】本题主要考查有理数的概念、无理数及非负数，熟练掌握有理数的概念、无理数及非负数是解题的关键．19．答案见解析【分析】（1=5，画出图形即可；（2）由勾股定理得出直角边长为2、斜边长为【详解】（1=5，△ABC即为所求，如图1所示；（2）由勾股定理得：=，△DEF即为所求，如图2所示．【点睛】本题考查了勾股定理、实数的定义；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算与作图答案第11页，总11页是解决问题的关键．20．70.70.7779•=⋯=，41.33•=.任何无限循环小数都可以化成分数. 【分析】设0.70.777x ==⋯△则107.777x =⋯，△；由-②①，得97x =；由已知，得10.30.3333==，所以11.310.31.3=+=+任何无限循环小数都可以这样化成分数. 【详解】解：设0.70.777x ==⋯△则107.777x =⋯，△由-②①，得97x =，即79x =. 所以70.70,7779=⋯=. 由已知，得10.30.3333==，所以141.310.3133=+=+=. 任何无限循环小数都能化成分数.【点睛】考核知识点：无限循环小数和有理数.模仿，理解材料是关键.21．x+y+z=6.【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数，由此即可判定无理数x 的值，根据整数的定义非负数的定义即可判定y 、z 的值，然后即可求解．【详解】由题意得无理数有2个,所以x=2；整数有0个,所以y=0,非负数有4个,所以z=4,所以x+y+z=2+0+4=6.【点睛】本题主要考查实数的分类．无理数和有理数统称实数．有一定的综合性． 22．（1）有理数（2）不是有理数【分析】根据勾股定理求出边长即可解答．【详解】解：△Rt△ABC 中,△C=90°，点A,B,C 所对的边长分别为a,b,c ，根据勾股定理得：（1） 100=，c 是有理数；（2）=b 不是有理数.【点睛】本题考查勾股定理和有理数、无理数的定义，解题关键是熟练掌握勾股定理.。

实数易错题

实数类型一：平方根1．下列判断中，错误的是（）A．﹣1的平方根是±1 B．﹣1的倒数是﹣1C．﹣1的绝对值是1 D．﹣1的平方的相反数是﹣1考点：平方根；相反数；绝对值；倒数。

专题：计算题。

分析：A、利用平方根的定义即可判定；B、利用倒数定义即可判定；C、利用绝对值的定义即可判定；D、利用相反数定义即可判定．解答：解：A、负数没有平方根，故A说法不正确；B、﹣1的倒数是﹣1，故选项正确；C、﹣1的绝对值是1，故选项正确；D、﹣1的平方的相反数是﹣1，故选项正确．故选A．点评：本题考查基本数学概念，涉及平方根、倒数、绝对值等，要求学生熟练掌握．变式：2．下列说法正确的是（）A．是0.5的一个平方根B．正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0 C．72的平方根是7D．负数有一个平方根考点：平方根。

专题：计算题。

分析：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．可据此进行判断．解答：解：A、是0.5的平方，故选项错误；B、∵任何一个正数有两个平方根，它们互为相反数，∴这两个平方根之和等于0，故选项正确；C、∵72的平方根是±7，故选项错误；D、∵负数没有平方根，故选项错误．故选B．点评：此题主要考查了平方根的概念，属于基础知识，难度不大．3．如果一个数的平方根等于这个数本身，那么这个数是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．±1考点：平方根。

专题：计算题。

分析：由于如何一个正数的平方根都有两个，它们互为相反数，由此可以确定平方根等于它本身的数只有0．解答：解：∵±=±0=0，∴0的平方根等于这个数本身．故选C．点评：本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．类型二：算术平方根1．的算术平方根是（）A．±81 B．±9 C．9 D．3考点：算术平方根。

分析：首先求出的结果，然后利用算术平方根的定义即可解决问题．解答：解：∵=9，而9的算术平方根是3，∴的算术平方根是3．故选D．点评：本题考查的是算术平方根的定义．一个非负数的非负平方根叫做这个数的算术平方根．正数的平方根是正数．特别注意：应首先计算的值．变式：2．的平方根是（）A．3 B．±3 C．D．±考点：算术平方根；平方根。

1.1实数及其运算知识点演练(讲练)-2023届中考数学一轮大单元复习(解析版)

专题1.1实数及其运算知识点演练考点1：实数的分类例1．（2022·浙江·温州市南浦实验中学七年级期中）把下列各数的序号填入相应的集合里．，④7，⑤36，⑥3.1313313331⋯(两个“1”之间依次多一个“3”)．①0，②―4，③23整数∶______；分数∶______；无理数∶________；1．（2022·陕西宝鸡·八年级期中）下列说法中正确的是（）A．有理数都是有限小数B．无限小数都是无理数C．无理数都是无限小数D．π是分数2【答案】C【分析】根据有理数的定义及无理数的定义即可得到答案．【详解】解：A选项无限循环小数也是有理数，故A不正确；B选项无限循环小数也是有理数，故B不正确；2．（2022·江苏·沭阳县怀文中学七年级期中）下列各数中，是无理数的是（）A．13B．1.732C．―πD．2273．（2022·四川·成都嘉祥外国语学校八年级期中）以下四个数：―2，3.14，227，0.101，无理数的个数是（）A．1B．2C．3D．44．（2022·广东河·八年级期中）在5，―0.333⋯，0，0.10010001⋯，38，(―2)0，3.1415，2.10101⋯(相邻两个1之间有1个0)中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（2022·吉林·农安县新农乡初级中学八年级期中）下列各数3.1415926，9，1.212212221……（相邻两，2―π，―2020，4中，有理数有___________个．个l之间2的个数逐次加1），176．（2022··七年级期中）把下列各数填入相应的横线内：，0，5．－6，π，―23整数：__________________；负数：__________________；实数：__________________．7．（2022·浙江·余姚市子陵中学教育集团七年级期中）把下列各数的序号分别填入相应的大括号内：①0，②-π，③1.5，④―25，⑤―6，⑥1.1010010001…（每两个“1”之间依次多1个“0”）7负数：{___________…}；整数：{___________…}；无理数：{___________…}．8．（2022·浙江宁波·七年级期中）把下列各数对应的序号填在相应的括号里．①0；②3；③-2.5；④π2；⑤-57；⑥|―3|；⑦1.202002…… （每两个“2”之间依次多一个“0”）．正整数：（）负分数：（）无理数：（）【答案】⑥；③⑤；②④⑦【分析】根据正整数，负分数和无理数的概念，即可求解．【详解】解：|―3|=3，正整数：（⑥）负分数：（③⑤）无理数：（②④⑦）【点睛】本题主要考查实数的分类，掌握无理数是无限不循环小数是解题的关键．9．（2022·福建省大田县教师进修学校八年级期中）把下列各数填入相应的括号内：2 3，3―5，0.·7，―3.14，36，(―2)2，1.010010001⋯(1)无理数：{…}；(2)负实数：{…}；(3)整数：{…}；(4)分数：{…}；10．（2022·浙江金华·七年级期中）把下列各数对应的编号填在相应的大括号里：（1）―49，（2）18，（3）57，（4）π2，（5）—3.141，（6）0，（7）7，（8）80%，（9）―|―5|，（10）0.101001．．．（自左而右每两个1之间依次多一个0）．整数：____________________________________分数：____________________________________无理数：___________________________________例2.（1）（2022·山东·宁津县育新中学九年级阶段练习）下列选项中，对2的说法错误的是（）．A．2的相反数是―2B．2的倒数是22C．2的绝对值是2D．2是有理数（2）（2022·河北唐山·八年级期中）3―5的绝对值是___________．个单位长度的圆，将圆上的点A放在原点，并把（3）（2022·河北邢台·八年级期中）如图，有一个半径为12圆沿数轴逆时针方向滚动一周，点A到达点A′的位置，则点A′表示的数______；若点B表示的数是―10，则点B在点A′的______（填“左边”、“右边”）.1．（2022·山西实验中学八年级期中）实数―3的相反数是（）A．3B．3C．―3D．―332．（2022·陕西·西安市铁一中学七年级期中）―5的绝对值是（）A．5B．―5C．5D．―53．（2022·安徽省马鞍山市第七中学七年级期中）已知a为实数，则―a+|a|的值为（）A．0B．不可能是负数C．可以是负数D．可以是正数也可以是负数【答案】B【分析】通过分类讨论去绝对值，即可判断结果．【详解】当a>0时，―a+|a|=―a+a=0；当a=0时，―a+|a|=―a+a=0；当a<0时，―a+|a|=―a―a=―2a>0．综上所述，―a+|a|的值不可能是负数．故选：B．【点睛】本题主要考查了实数的绝对值，a是实数时，正数、0、负数三种情况都要考虑到，用到了分类讨论的方法．4．（2022·江苏无锡·八年级期中）5―2的相反数是（）A．―0.236B．5+2C．2―5D．―2+5【点睛】本题考查了相反数的定义，解决本题的关键是掌握其定义：只有符号不同的两个数互为相反数．5．（2022·河北石家庄·八年级期中）在以下说法中：①无理数和有理数统称为实数；②实数和数轴上的点是一一对应的；③0的算术平方根是0；④无限小数都是无理数．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据实数的相关概念、实数与数轴的对应关系、算术平方根的概念对各小题分析判断即可得解【详解】①无理数和有理数统称为实数，说法正确②实数和数轴上的点是一一对应的，说法正确③0的算术平方根是0，说法正确④无限小数都是无理数，说法错误，因为无限循环小数是有理数故选C【点睛】本题主要考查实数的相关概念、实数与数轴的对应关系、算术平方根的概念，算数平方根的概念是解题的关键6．（2022·湖北黄石·中考真题）1―2的绝对值是（）A．1―2B．2―1C．1+2D．±(2―1)7．（2022·浙江·七年级专题练习）数轴上表示1，2的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（）A．2―1B．1―2C．2―2D．2―2【答案】C8．（2022·四川省成都市七中育才学校八年级期中）5―1的相反数是____，绝对值是__________．9．（2022·四川·成都外国语学校八年级期中）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简a2―|a+b|+ (c―a)2+|b+c|―3b3=___________．10．（2022·江苏·苏州工业园区金鸡湖学校一模）计算：|―3|+(π+3)0―12．11．（2022·福建省永春第三中学七年级期中）已知实数a，b满足|a|=b, |ab|+ab=0，化简|a|+|―2b| +3a．【答案】2a+2b【分析】根据实数的性质，绝对值的性质，相反数的意义，判断出a,b的符号，进而化简绝对值，再根据整式的加减进行化简即可求解．【详解】解：∵|a|=b, |ab|+ab=0∴b≥0，ab≤0∴a≤0∴|a|+|―2b|+3a=―a+2b+3a=2a+2b．【点睛】本题考查了实数的性质，整式的加减，化简绝对值，判断出a,b的符号是解题的关键．12．（2022·安徽·合肥市第四十五中学橡树湾校区七年级期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示―2，设点B所表示的数为m．(1)实数m的值是______；(2)求|m―1|―|1―m|的值；(3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与d―4互为相反数，求2c+3d的平方根．13．（2022·福建三明·八年级期中）实数与数轴上的点一一对应，无理数也可以在数轴上表示出来，体现了数形结合思想．(1)由数到形：在数轴上用尺规作图作出―5对应的点P（不要写作法，保留作图痕迹）．(2)由形到数：如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，作BC⊥AB于点B，截取BC=1；连接AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧交AC于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧交AB于点E，则点E表示的实数是________________．作法：作线段AB的垂直平分线MN；以点为半径作弧交数轴负半轴于点P．（2）解：由作法知CD=CB=1，AD考点3：平方根、算术平方根、与立方根例3.（2022·山东·德州市第九中学九年级期中）本学期第六章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：平方根立方根定义一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．性质一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根．正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．【类比探索】（1）探索定义：填写下表x411681x类比平方根和立方根，给四次方根下定义：______．（2）探究性质：①1的四次方根是______；②16的四次方根是______；③0的四次方根是______；④-625 ______（填“有”或“没有”）四次方根．类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：______；1．（2022·四川·绵阳中学英才学校二模）若―3x m y和5x3y n的和是单项式，则(m+n)3的平方根是（）A．8B．―8C．±4D．±8【答案】D【分析】根据题意可得―3x m y和5x3y n是同类项，从而得到m=3,n=1，再代入，即可求解．【详解】解：∵―3x m y和5x3y n的和是单项式，∴―3x m y和5x3y n是同类项，∴m=3,n=1，∴(m+n)3=(3+1)3=64，∴(m+n)3的平方根是±8．故选：D．【点睛】本题主要考查了合并同类项，求一个数的平方根，熟练掌握根据题意得到―3x m y和5x3y n是同类项是解题的关键．2．（2022·广东北江实验学校三模）下列说法不正确的是（）A．125的平方根是±15B．(-0.1)2的平方根是±0.1C．-9是81的算术平方根D．3-27=-33．（2022·江苏·连云港市新海初级中学三模）9的值为_______．4．（2022·上海嘉定·九年级期中）长为3、4的线段的比例中项长是___________．5．（2022·山西临汾·九年级期中）已知y=x―2+2―x―3，则(x+y)2022(x―y)2023的值为_____．【答案】2+3##3+26．（2022·山东·测试·编辑教研五二模）如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8，若阴影部分为正方形ABCD，则此正方形的边长是______．7．（2022·四川攀枝花·中考真题）3―8―(―1)0=__________．【答案】―3【分析】根据立方根的定义，零指数次幂的定义以及有理数减法法则，进行计算即可．【详解】解：原式=―2―1=―3．故答案为：―3．【点睛】本题考查了立方根的定义，零指数次幂的定义以及有理数减法法则，正确进行计算是解题的关键．8．（2022·广东·东莞市万江第三中学三模）计算下列各题：（1）4的平方根是______；（2）25的算术平方根是______；（3）―8的立方根是______；9．（2022·全国·九年级专题练习）已知c<b<0<a，且|b|<|a|，求(a―b)2+c2―|b+c|―|―b|―3(b―a)3的值．【答案】2a【分析】根据绝对值的意义可得a―b>0,b+c<0,―b>0,b―a<0，然后通过计算可得．【详解】解：∵c<b<0<a,|b|<|a|，10．（2022·全国·九年级专题练习）已知正数a的两个不同平方根分别是2x―2和6―3x，a―4b的算术平方根是4．(1)求这个正数a以及b的值；(2)求b3+3a―17的立方根．【答案】(1)a=36，b=5(2)6【分析】（1）首先利用正数的平方根有两个，它们互为相反数，再利用互为相反数的两个数相加为0，即可得出两个平方根，进而得出正数a的值，然后再利用题意“a―4b的算术平方根是4”，把a的值代入a―4b，即可得出b的值．（2）根据（1）得出a=36，b=5，然后把a=36，b=5代入b3+3a―17，求出值，然后再开立方，即可得出结果．【详解】（1）解：∵正数a的两个不同平方根分别是2x―2和6―3x，∴2x―2+6―3x=0，解得：x=4，∴2x―2=2×4―2=6，6―3x=6―3×4=―6，∵(±6)2=36，∴a=36，又∵a―4b的算术平方根是4，又∵42=16，∴a―4b=16，∴把a=36代入a―4b=16，可得：36―4b=16，解得：b=5．例4.（1）（2022·山东济南·模拟预测）最新统计，中国注册志愿者总数已超30000000人，30000000用科学记数法表示为（）A．3×107B．3×106C．30×106D．3×105：30000000=3×107．故选：A．（2）（2022·四川德阳·二模）已知某种细胞的直径约为2.13×10―4cm，请问2.13×10―4这个数原来的数是（）A．21300B．2130000C．0.0213D．0.000213解：2.13×10-4=0.000213，故选：D．知识点训练1．（2022·山东·济南市历城区教育教学研究中心一模）2021年5月15日，我国首个火星探测器“天问一号”经过470000000公里旅程成功着陆火星，为我国的宇宙探测之路迈出重要一步．将470000000用科学记数法表示为（）A．47×107B．4.7×107C．4.7×108D．0.47×109【答案】C【分析】根据科学记数法的表示方法确定a，n的值即可．【详解】解：470000000=4.7×108，故选：C．【点睛】题目主要考查科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题关键．2．（2022·河南洛阳·二模）今年的“两会”上，李克强总理在谈到今年需要就业的新增劳动力时，指出今年高校毕业生1076万，是历年最高．数据“1076万”用科学记数法表示为（）A．1.076×107B．1.076×108C．10.76×106D．0.1076×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1⩽|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值⩾10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数，由此即可得到答案．【详解】解：1076万=10760000=1.076×107．故选：A．【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的定义．3．（2022·福建·九年级专题练习）某种细胞的直径是5×10―4毫米，这个数用小数表示是（）A．0.00005B．0.0005C．―50000D．50000【答案】B【分析】根据科学记数法a×10n得到n=―4，所以小数点向前移动4位来求解．【详解】解：∵5×10―4∴n=―4，∴5×10―4=0.0005．故选：B．【点睛】本题主要考查了把科学记数法还原原数，还原原数时，关键是看n，n＜0时，|n|是几，小数点就向前移几位．4．（2022·全国·七年级专题练习）据科学家估计，地球的年龄大约是4.6×109年，4.6×109是一个（）A．7位数B．8位数C．9位数D．10位数【答案】D【分析】把科学记数转化为原数即可求得答案．【详解】解：4.6×109=4600000000，故选D．【点睛】本题考查了把科学记数法转化为原数，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示形式．5．（2022·全国·七年级专题练习）一个整数x用科学记数法表示为1.381×1028，则x的位数为（）A．27B．28C．29D．30【答案】C【分析】将科学记数法表示的数的指数加上1得到原来的数的整数位，由此解答即可．【详解】x的整数数位少1位为28，则x的位数为29．【点睛】本题考查了把科学记数法表示的数整数位与指数的关系．6．（2022·河南·九年级专题练习）数据0.0000037用科学记数法表示成3.7×10―n，则3.7×10n表示的原数为（）．A．3700000B．370000C．37000000D．―3700000【答案】A【分析】根据用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法，可确定n的值．即得出3.7×10n表示的数为3.7×106，再将其转化为数字即可．【详解】∵数据0.0000037用科学记数法表示成3.7×10―n，∴n=6，∴3.7×10n即为3.7×106，∴3.7×10n表示的原数为3700000．故选A．【点睛】本题主要考查数科学记数法之间的转换．掌握科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同是解题关键．7．（2022·四川广安·九年级专题练习）近似数3.48×103精确到（）A．百分位B．个位C．十位D．百位【答案】C【分析】先把科学记数法表示的数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数．【详解】近似数3.48×103=3480，8在十位上，故精确到十位故选C【点睛】本题考查了求近似数，将科学记数法还原是解题的关键．8．（2022·山东师范大学第二附属中学模拟预测）数据0.0000314用科学记数法表示为（）A．3.14×10―5B．31.44×10―4C．3.14×10―6D．0.314×10―6【答案】A【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10―n，其中n为正整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.0000314=3.14×10―5故选：A．【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10―n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．9．（2022·河北邯郸·七年级期末）0.000985用科学记数法表示为9.85×10―n，则9.85×10n还原为原数为（）A．9850000B．985000C．98500D．9850【答案】C【分析】用科学记数法表示的数还原成原数时，n> 0时，n是几，小数点就向右移几位．【详解】∵0.000985= 9.85×10-4∴n=4，∴9.85×104= 98500．故选: C．【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数，将科学记数法a× 10n”表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数科学记数法a×10n表示的数，还原成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数；把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．10．（2022·吉林长春·一模）“天文单位”是天文学中用来计量距离的一种单位．1天文单位用科学记数法表示为1.496×108千米，这个数也可以写成______亿千米．【答案】1.496【分析】根据1亿=108，对这个数进行换算即可作答．【详解】解：∵1亿=108，∴1.496×108千米=1.496亿千米，故答案为：1.496．【点睛】本题考查了科学记数法−−−原数，解题的关键是掌握科学记数法表示的数与原数的关系．考点5：实数的大小比较例5.（1）（2022·四川乐山·九年级专题练习）在实数|―3.14|，－3，―3，―π中，最小的数是（）A．|―3.14|B．－3C．―3D．―π【答案】D【分析】根据实数的比较大小的规则比较即可．（2）（2022·山东济南·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）A．ab>0B．a+b>0C．|a|<|b|D．a+1<b+1【答案】D【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．【详解】解：根据图形可以得到：―3<a<―2<0，0<b<1，∴ab<0，故A项错误，a+b<0，故B项错误，|a|>|b|，故C项错误，a+1<b+1，故D项错误．故选：D．知识点训练1．（2022·山东·测试·编辑教研五二模）下列实数中，最大的数是（）A．―4B．―5C．0D．3【答案】D【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负数绝对值大的反而小，据此判断即可．【详解】解：∵―5<―4<0<3，∴最大的数是3，故选：D．【点睛】此题考查实数的大小比较的方法，熟练掌握：负实数<0<正实数，两个负数绝对值大的反而小，是解答此题的关键．2．（2022·湖南·长沙市南雅中学一模）下列实数中，最大的数是（）A．0B．2C．πD．―33．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期中）在四个数―2，―0.6，1，3中，绝对值2最小的数是（）D．3A．―2B．―0.6C．124．（2022·江西·寻乌县教育局教学研究室二模）1，―2，0，3中最小的数是（）A．1B．―2C．0D．35．（2022·四川·峨眉山市教育局二模）在2，-1，0，π这四个实数中，最小的一个实数是（）2A．2B．-1C．0D．π26．（2022·河南·郑州市树人外国语中学九年级期末）下列四个实数中，绝对值最小的数是（）A．﹣4B．―3C．2D．37．（2022·四川乐山·九年级专题练习）比较23和32的大小，下面结论正确的是( )A．23<32B．23=32C．23>32D．无法比较8．（2022·河北承德·九年级期中）对于实数p，q，我们用符号min{p,q}表示p，q两数中较小的数，如min{1,2} =1，因此，min{―2,―3}=__________；min(x2+2x+3),0=__________；若min(x―1)2,x2=1，则x=_____________．【答案】―3 0 2或―1##―1或29．（2022·河北·大名县束馆镇束馆中学三模）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{﹣2，﹣4}＝﹣2．（1）max{26，5}＝_____；（2）若max{﹣12，（一1）2}＝2x，则x＝_____．2―x考点6与实数的相关的计算例6．（2022·山东烟台·九年级期中）计算(1)sin230°+2sin60°+tan45°―tan60°+cos230°(2)8―2sin45°+2cos60°+|1―2|+1．1．（2022·重庆市开州区德阳初级中学模拟预测）计算：|―3|+2―1=______．2．（2022·山东济南·模拟预测）计算：12―(2022―π)0―2×cos30°+(―12)―1．3．（2022·山东济南·模拟预测）计算：1―|3―1|+3tan30°+(2022―π)0．4．（2022·吉林长春·一模）计算：12―3tan30°+(2022―π)0―1．5．（2022·四川·峨眉山市教育局二模）计算：38+|3―23|―tan60°+(3)2+(π―2022)06．（2022·江苏·盐城市初级中学三模）计算：364+|sin45°―tan45°|+1．7．（2022·广西·南宁市第四十七中学九年级期中）计算：―(―1)2022+10÷2×12―1―3tan30°。

为什么说√2不是有理数

• 无理数，即非有理数之实数，无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，后的数字有无限多个，并且不会循环。不会循环。
假设根号2为有理数,那么存在两个互质的正整数p, q, 使得: √2=p/q 于是： p= （√2）q 两边平方得： p^2=2q^2 由2q^2是偶数，可得p^2是偶数。而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数。因此可设p=2s,代入上式，得： 4s^2=2q^2, 即，q^2=2s^2. 所以q也是偶数。这样，p, q都是偶数，不互质，这与假设p, q互质矛盾。这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数。
• 因为(n/m)^2=2,所以n/m不因为(n/m)^2=2,所以n/m不 (n/m)^2=2,所以n/m 可能是整数，可能是整数，于是把它写成小数形式，成小数形式，而有限小数的平方不可能是整数。的平方不可能是整数。如 n/m不是有限小数的话不是有限小数的话，果n/m不是有限小数的话，可以把它转换成另外的进制使得n/m是有限小数， n/m是有限小数制使得n/m是有限小数，因而上面的结论仍然成立。而上面的结论仍然成立。
同样是证明不存在整数p, q，同样是证明不存在整数p, q，使得p^2=2q^2 p^2=2q^2，使得p^2=2q^2，这个证明只需一句话。假如p 一句话。假如p、q是最小的正整数使得p^2=2q^2 看图， p^2=2q^2，数使得p^2=2q^2，看图，两个边长为q 长为q的小正方形放在一个边长的大正方形里，为p的大正方形里，那么图中深灰色正方形的面积就等于两个白色正方形面积之和，色正方形面积之和，于是我们就找到了具有同样性质的更小的整仔细体会一下这个“ 数p和q。仔细体会一下这个“面积守恒” 如果A+B=C 那么A A+B=C，积守恒”，如果A+B=C，那么A和重复计算了的必然是C B重复计算了的必然是C里还没有算过的。算过的。

保定市第一中学七年级数学下册第六章【实数】经典测试题(培优)

一、选择题1．若2x -+|y+1|=0，则x+y 的值为（） A ．-3B ．3C ．-1D ．12．在实数3-，-3.14，0，π，364中，无理数有（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个3．－18的平方的立方根是（） A ．4 B ．14C ．18D ．1644．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，那么化简33a b a b ++-+的结果为（）A ．2a -B ．22b a -C ．0D ．2b5．观察下列运算：81＝8，82＝64，83＝512，84＝4 096，85＝32 768，86＝262 144，…，则81＋82＋83＋84＋…＋82 017的和的个位数字是（） A ．2B ．4C ．6D ．86．下列说法中，正确的是（） A ．正数的算术平方根一定是正数 B ．如果a 表示一个实数，那么－a 一定是负数 C ．和数轴上的点一一对应的数是有理数D ．1的平方根是17．对任意两个正实数a ，b ，定义新运算a ★b 为：若a b ≥，则a ★ab b；若a b <，则a ★bba．则下列说法中正确的有（） ①=a b b a ★★；②()()1a b b a =★★；③a ★b 12a b+<★ A ．①B ．②C ．①②D ．①②③8．下列说法中，错误的是（） A ．实数与数轴上的点一一对应 B ．1π+是无理数 C ．32是分数 D 2964 ） A ．8B ．8-C ．22D ．22±10．下列计算正确的是（）A ．21155⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B ．()239-=C ．42=±D ．()515-=-11．下列说法正确的有（）（1）带根号的数都是无理数；（2）立方根等于本身的数是0和1；（3）a -一定没有平方根；（4）实数与数轴上的点是一一对应的；（5）两个无理数的差还是无理数；（6）若面积为3的正方形的边长为a ，a 一定是一个无理数． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题12．已知2x +1的算术平方根是0，y =4，z 是﹣27的立方根，求2x +y +z 的平方根．13．把下列各数的序号填入相应的括号内①-3，②π，③327-，④-3.14，⑤2，⑥0，⑦227，⑧-1，⑨1.3，⑩1.8080080008…（两个“8”之间依次多一个“0”）．整数集合{ …}，负分数集合{ …}，正有理数集合{ …}，无理数集合{ …}． 14．解答下列各题．（1）已知2x +3与x -18是某数的平方根，求x 的值及这个数．（2）已知22360c d d -+-=，求d +c 的平方根．15．如图，A ，B ，C 在数轴上对应的点分别为a ，1-，2，其中1a <-，且AB BC =，则a =_______．16．已知mn 、是两个连续的整数，且410m n <，则m n +=_______________________．17．比较大小：|5|-________25-（填“>”“=”或“<”）18．（1）求x 的值：2490x -=；（2）计算：()2325227+--19．比较大小：72-______33-．20．若3109,b a =-且b 的算术平方根为4，则a =__________．21．观察下面一列数：－1，2，－3，4，－5，6，－7……，将这列数排成下图形式．按照此规律排下去，那么第_________行从坐标数第_________个数是－2019．三、解答题22．计算：（1）﹣12327-﹣（﹣2）9（2331）＋32| 23．（1223143)8-；（2）求 (x －1)2－36＝0中x 的值． 24．计算：（13168-．（2）()23540.255(4)8⨯--⨯⨯-．25．求x 的值：（1）2(3)40x +-= （2）33(21)240x ++=一、选择题1．有下列四种说法：①数轴上有无数多个表示无理数的点； ②带根号的数不一定是无理数； ③平方根等于它本身的数为0和1； ④没有最大的正整数，但有最小的正整数；其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．42．若2x -+|y+1|=0，则x+y 的值为（） A ．-3B ．3C ．-1D ．13．若15的整数部分为a ，小数部分为b ，则a-b 的值为（） A ．615- B ．156-C ．815-D ．158-4．下列实数31,7π-，3.14，38,27,0.2-，1.010010001…（从左到右，每两个1之间依次增加一个0）中，其中无理数有（） A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个5．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，且||||b a >，则化简233||()a a b b -++-的结果是（）A ．2aB ．2bC ．22a b +D ．06．已知无理数m 55π-的整数部分相同，则m 为（） A 5B 10C 51D ．5π-7．若1a >，则a ，a -，1a的大小关系正确的是（） A ．1a a a>->B ．1a a a>-> C ．1a a a>>- D ．1a a a->>8．已知下列结论：①2；②无理数是无限小数；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．其中正确的结论是（） A ．① ③B ．②③C ．③④D ．②④9．一个正方体的体积为16，那么它的棱长在（）之间 A ．1和2B ．2和3C ．3和4D ．4和510．下列计算正确的是（）A ．21155⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B ．()239-=C 2=±D ．()515-=-11．下列各组数中都是无理数的为（）A ．0.07，23，π； B ．0.7•，π；C ，π；D ．0.1010101……101，π二、填空题12．计算：201()( 3.14)|22π---+-13．（1）小明解方程2x 1x a332-+=-去分母时，方程右边的−3忘记乘6，因而求出的解为x=2，则原方程正确的解为多少？（2）设x ，y 是有理数，且x ，y 满足等式2x 2y 17++=-x-y 的值． 14．求出x 的值：()23227x +=15．已知52a +的立方根是3，31a b +-的算术平方根是4，c 的整数部分．（1）求a ，b ，c 的值；（2）求3a b c -+的平方根．16的相反数是________的数是________ 17．计算：（1）⎛- ⎝；（2|1--18．阅读下列信息材料信息1：因为尤理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：π而常用的“……”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确；信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成2.52-得来的；信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如23<<，是因为<；根据上述信息，回答下列问题：（1）13的整数部分是___________，小数部分是______________；（2）若2122a <<，则a 的整数部分是___________；小数部分可以表示为_______；（3）103+也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为103a b <+<则a b +=______；（4）若303x y -=+，其中x 是整数，且01y <<，请求x y -的相反数． 19．定义运算“@”的运算法则为：x@y=xy 4+，则2@6 =____． 20．下列实数0，23， 3，π，0.1010010001其中无理数共有___个．21．若一个正数的平方根是21a -和5a -，则这个正数是______．三、解答题22．求下列各式中x 的值．（1）4（x ﹣3）2＝9；（2）（x +10）3+125＝0．23．如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B ，点A 表示2-，设点B 所表示的数为m ．（1）实数m 的值是___________；（2）求|1||1|m m ++-的值；（3）在数轴上还有C 、D 两点分别表示实数c 和d ，且有|2|c d +与4d +互为相反数，求23c d -的平方根．24．计算（1）22234x +=；（2）38130125x += （3）21|12|(2)16---；（4）（x ＋2）2＝25．25．把下列各数的序号填入相应的括号内①-3，②π，327-，④-3.14，2，⑥0，⑦227，⑧-1，⑨1.3，⑩1.8080080008…（两个“8”之间依次多一个“0”）．整数集合{ …}，负分数集合{ …}，正有理数集合{ …}，无理数集合{ …}．一、选择题1．在实数：20192020，π2π，0.36，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1），52- ） A ．4B ．5C ．6D ．72．有下列说法：①在1和2②实数与数轴上的点一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④2π是分数．其中正确的为（） A ．①②③④B ．①②④C ．②④D ．②3．下列命题中，①81的平方根是9；±2；③−0.003没有立方根；④−64的立方根为±4；） A ．1B ．2C ．3D ．44．下列命题是真命题的是（） A ．两个无理数的和仍是无理数 B ．有理数与数轴上的点一一对应 C ．垂线段最短D ．如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等5．1的值（） A ．在7和8之间 B ．在6和7之间 C ．在5和6之间D ．在4和5之间6．，则571.34的平方根约为（） A ．239.03B ．±75.587C ．23.903D ．±23.9037．在下列各数中是无理数的有（）0.111-43π，3.1415926，2.010101（相邻两个0之间有1个1），76.0102030405060732 A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个8．已知：m 、n 为两个连续的整数，且m n <<，以下判断正确的是（）A 4B ．3m =C ．5的小数部分是0.236D ．9m n +=9．按照下图所示的操作步骤，若输出y 的值为22，则输入的值x 为（）A ．3B ．-3C ．±3D ．±910．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③﹣2π不仅是有理数，而且是分数；④237是无限不循环小数，所以不是有理数；⑤无限小数不一定都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；⑦非负数就是正数；⑧正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；其中错误的说法的个数为（） A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，四个有理数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若n+p=0，则m ，n ，p ，q 四个有理数中，绝对值最大的一个是（）A ．pB ．qC ．mD ．n二、填空题12．计算．（1）3218433⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭（2）178(4)4(5)-÷-+⨯-（3311256273⎫--⎪⎪⎭（4）22323223⎡⎤⎛⎫-⨯-⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦13．定义：如果将一个正整数a 写在每一个正整数的右边，所得到的新的正整数能被a 整除，则这个正整数a 称为“魔术数”．例如：将2写在1的右边得到12，写在2的右边得到22，……，所得到的新的正整数的个位数字均为2，即为偶数，由于偶数能被2整除，所以2是“魔术数”．根据定义，在正整数3，4，5中，“魔术数”为____________；若“魔术数”是一个两位数，我们可设这个两位数的“魔术数”为x ，将这个数写在正整数n 的右边，得到的新的正整数可表示为()100n x +，请你找出所有的两位数中的“魔术数”是_____________． 14．以下几种说法：①正数、负数和零统称为有理数；②近似数1.70所表示的准确数a 的范围是1.695 1.705a <；4±；④立方根是它本身的数是0和1；其中正确的说法有：_____．（请填写序号）15．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，如[4]＝4，＝1，如[﹣2.5]＝﹣3，现对82进行如下操作：82−−−→第一次＝9−−−→第二次＝3−−−→第三次＝1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，按照以上操作，只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的正整数是__． 16．计算：（1）⎛- ⎝；（2|1--17．计算：（12)-+（218． 1.414≈，于是我们说：的整数部分为1，小数部分则可记为1”．则：（11的整数部分是__________，小数部分可以表示为__________；（22的小数部分是a ，7-b ，那么a b +=__________；（3x 的小数部分为y ，求1(x y --的平方根． 19．求下列各式中x 的值．（1）2(1)2x +=；（2）329203x +=．20．若30a +=，则+a b 的立方根是______．21．“⊗”定义新运算：对于任意的有理数a 和b ，都有21a b b ⊗=+．例如：2955126⊗=+=．当m 为有理数时，则(3)m m ⊗⊗等于________．三、解答题22．进位数是一种计数方法，可以用有限的数学符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n 个则称为n 进制，现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0—9作为基数，特点是满十进1，对于任意一个(210)n n ≤≤进制表示的数通常使用n 个阿拉伯数字()01--n 作为基数，特点是逢n 进一，我们可以通过下列方式把它转化为十进制．例如：五进制数 ()252342535469=⨯+⨯+=，则()523469=，七进制数()271361737676=⨯+⨯+=（1）请将以下两个数转化为十进制：()5333= ，（746)= ．（2）若一个正数可以用7进制表示为()7abc ，也可用五进制表示为()5cba ，求出这个数并用十进制表示．23．3=，31a b -+的平方根是4±，c 3a b c ++的平方根．24．计算：（1）225--(2)125．阅读下面的文字，解答问题：无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来，比如π等，而常用“……”或者“≈”1的小数部分，你同意小刚的表示方法吗？事实上，小刚的表示方法是有道理的，的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．<<，即23<<，22也就是说，任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间．根据上述信息，请回答下列问题：（1______，小数部分是_______；（2）10+10a b <+<，则a b +=_____；（34x y =+，其中x 是整数，且01y <<．求：x y -的相反数．。

令人称奇的简单证明：五种方法证明根号2是无理数

令人称奇的简单证明：五种方法证明根号2是无理数全世界只有3.14 %的人关注了数据与算法之美如何证明存在一种不能表示为两个整数之比的数？古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“大自然的一切皆为整数之比”的思想统治了古希腊数学相当长的一段时间，许多几何命题都是根据这一点来证明的。

当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以表示为整数之比”，“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。

直到有一天，毕达哥拉斯的学生Hippasus告诉他，单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。

被人们公认的假设被推翻了，大半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学大厦轰然倒塌，数学陷入了历史上的第一次危机。

最后，Eudoxus的出现奇迹般地解决了这次危机。

今天我们要看的是，为什么单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。

单位正方形的对角线长度怎么算呢？从上面的这个图中我们可以看到，如果小正方形的面积是1的话，大正方形的面积就是2。

于是单位正方形的对角线是面积为2的正方形的边长。

换句话说，Hippasus 认为不可能存在某个整数与整数之比，它的平方等于2。

中学课程中安排了一段反证法。

当时有个题目叫我们证根号2是无理数，当时很多人打死了也想不明白这个怎么可能证得到，这种感觉正如前文所说。

直到看了答案后才恍然大悟，数学上竟然有这等诡异的证明。

当然，我们要证明的不是“根号2是无理数”。

那个时候还没有根号、无理数之类的说法。

我们只能说，我们要证明不存在一个数p/q使得它的平方等于2。

证明过程地球人都知道：假设p/q已经不能再约分了，那么p^2=2*q^2，等式右边是偶数，于是p必须是偶数。

p是偶数的话，p^2就可以被4整除，约掉等式右边的一个2，可以看出q^2也是偶数，即q是偶数。

这样，p也是偶数，q也是偶数，那么p和q就还可以继续约分，与我们的假设矛盾。

根号2是无理数，我们证明到了。

根号3呢？根号5呢？你可能偶尔看到过，Theodorus曾证明它们也是无理数。

实数精选题

实数精选题一．选择题（共19小题）1．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（）A．B．C．D．82．有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④是17的平方根．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个3．下列说法：①负数没有立方根；②如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；③一个数的算术平方根一定是正数；④（π﹣4）2的算术平方根是4﹣π，其中不正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”．这个节日的昵称是“π（Day）”．国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下对于圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比．其中表述正确的序号是（）A．②③B．①③C．①④D．②④5．下列命题正确的个数有：，（3）无限小数都是无理数，（4）有限小数都是有理数，（5）实数分为正实数和负实数两类．（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．下列说法中，正确的个数是（）①5是25的算术平方根；②﹣9没有算术平方根；③（﹣6）2的算术平方根是±6；④一个数的算术平方根一定是正数；⑤（π﹣2）2的算术平方根是π﹣2．A．1个B．2个C．3个D．4个7．下列说法正确的是（）A．的平方根是±4B．负数没有立方根C．a的算术平方根是D．1是1的平方根8．实数2，0，﹣2，中，为负数的是（）A．2B．0C．﹣2D．9．若一个自然数的算术平方根是m，则此自然数的下一个自然数（即相邻且更大的自然数）的算术平方根是（）A．B．m2+1C．m+1D．10．下列各数是有理数的是（）A．πB．C．D．011．实数﹣，﹣，2，﹣3中，为负整数的是（）A．﹣B．﹣C．2D．﹣312．下列说法正确的有（）①无限小数不一定是无理数；②无理数一定是无限小数；③带根号的数不一定是无理数；④不带根号的数一定是有理数．A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④13．下列说法：①若a是一个实数，则a的倒数为；②无理数是开方开不尽的数；③一个有理数与一个无理数的积一定是无理数；④数轴上的点与实数是一一对应的．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．314．下列说法中，正确的是（）A．无理数包括正无理数、零和负无理数B．无限小数都是无理数C．正实数包括正有理数和正无理数D．实数可以分为正实数和负实数两类15．下列关于0的说法正确的是（）A．0是正数B．0是负数C．0是有理数D．0是无理数16．在﹣，，﹣，3.，﹣1，，|﹣1|中，有理数有（）个．A．3B．4C．5D．617．有下列说法：①无理数是无限小数，无限小数是无理数；②无理数包括正无理数、0和负无理数；③带根号的数都是无理数；④无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；是一个分数．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个18．下列说法错误的是（）A．一个正数有两个平方根B．一个负数的立方根是负数C．0的算术平方根是0D．平方根等于本身的数是0，119．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数都是带根号的数；③负数没有立方根；④的平方根是±8．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二．填空题（共5小题）20．若是整数，则正整数n的最小值是．21．六个数：0.123，，3.1416，﹣2π，（﹣1.5）3，0.1020020002（相邻两个2之间0的个数逐次加1），若其中无理数的个数为x，整数的个数为y，非负数的个数为z，则x+y+z ＝22．在9.3，﹣24，0，﹣0.33，0.333…，141421356，2π，3.3030030003…（每相邻两个3之间依次多一个0），﹣3.1415中属于整数集合的有，属于负分数集合的有，属于无理数集合的有．23．写出满足下列两个条件“①是负数；②是无限不循环小数．”的一个数：．24．将下列各数填在相应的集合里．，π，3.1415926，﹣0.456，3.030030003…（相邻的两个3之间0的个数逐渐增加），0，，﹣，，．有理数集合：{…}；无理数集合：{…}；正实数集合：{…}；整数集合：{…}；负分数集合{…}．三．解答题（共8小题）25．把下列各数填入相应的括号里﹣2，100π，﹣5，0.8，﹣|+5.2|，0，0.1010010001…，﹣（﹣4）正有理数集合：{…}；整数集合：{…}；负分数集合：{…}；无理数集合：{…}；．26．已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15．（1）求m和这个正数；（2）求的算术平方根．27．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小超的探究过程，请补充完整：（1）求；①由103＝1000，1003＝1 000 000，可以确定是位数；②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是；③如果划去59319后面的三位319得到数59，而33＝27，43＝64，可以确定的十位上的数是；由此求得＝．（2）已知103823也是一个整数的立方，用类似的方法可以求得＝．28．把下列各数分别填入相应的集合里．3.14、0.121121112…、（﹣1）2、|﹣6|、﹣2011、﹣22、π、0、20%无理数集合：{…}负整数集合：{…}分数集合：{…}正数集合：{…}29．将下列各数填入相应的集合中：﹣7，0，，﹣22，﹣2.55555…，3.01，+9，4.020020002…，+10%，．无理数集合：{ …}；负有理数集合：{ …}；正分数集合：{ …}；非负整数集合：{ …}．30．把下列数填入相应的集合中．，0.，﹣，3．（1）整数集合；（2）分数集合；（3）有理数集合；（4）无理数集合；（5）实数集合．31．把下列各数的序号分别填入相应的大括号内．①﹣5，②﹣，③0，④+1.5，⑤0.1010010001…，⑥﹣30%，⑦﹣（﹣6），⑧正有理数集合：{…}；分数集合：{…}；无理数集合：{…}；非正整数集合：{…}．32．把下列各数填入相应的集合里：0.236，0.3，，，18，﹣0.021021021 0正数集合：{…}；负数集合：{…}；有理数集合：{…}；无理数集合：{…}．实数精选题32道参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（）A．B．C．D．8【解答】解：由题中所给的程序可知：把64取算术平方根，结果为8，∵8是有理数，∴结果为无理数，∴y＝＝2．故选：A．2．有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④是17的平方根．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①实数和数轴上的点一一对应，故①说法错误；②不带根号的数不一定是有理数，如π，故②说法错误；③负数有立方根，故③说法错误；④∵17的平方根±，∴是17的一个平方根．故④说法正确．故选：B．3．下列说法：①负数没有立方根；②如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；③一个数的算术平方根一定是正数；④（π﹣4）2的算术平方根是4﹣π，其中不正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①负数有立方根，说法不正确，符合题意；②如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是0，说法不正确，符合题意；③0的算术平方根一定是0，说法不正确，符合题意；④（π﹣4）2的算术平方根是4﹣π，说法正确，不符合题意；其中不正确的有3个；故选：C．4．2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”．这个节日的昵称是“π（Day）”．国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下对于圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比．其中表述正确的序号是（）A．②③B．①③C．①④D．②④【解答】解：因为圆周率是一个无理数，是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比，所以表述正确的序号是②③；故选：A．5．下列命题正确的个数有：，（3）无限小数都是无理数，（4）有限小数都是有理数，（5）实数分为正实数和负实数两类．（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：（1）根据立方根的性质可知：＝a，故说法正确；（2）根据平方根的性质：可知＝|a|，故说法错误；（3）无限不循环小数是无理数，故说法错误；（4）有限小数都是有理数，故说法正确；（5）0既不是正数，也不是负数，此题漏掉了0，故说法错误．故选：B．6．下列说法中，正确的个数是（）①5是25的算术平方根；②﹣9没有算术平方根；③（﹣6）2的算术平方根是±6；④一个数的算术平方根一定是正数；⑤（π﹣2）2的算术平方根是π﹣2．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：5是25的算术平方根，所以①正确；﹣9是负数，负数没有平方根，所以②正确；（﹣6）2＝36，36的算术平方根为6，所以③错误；0的算术平方根规定为0，所以④错误；算术平方根为正的平方根，π﹣2＞0，所以⑤正确．故选：C．7．下列说法正确的是（）A．的平方根是±4B．负数没有立方根C．a的算术平方根是D．1是1的平方根【解答】解：A、的平方根是±2，故原说法不正确；B、负数有立方根，故原说法不正确；C、当a＞0时，a的算术平方根是，故原说法不正确；D、1是1的平方根，正确．故选：D．8．实数2，0，﹣2，中，为负数的是（）A．2B．0C．﹣2D．【解答】解：实数2，0，﹣2，中，为负数的是﹣2，故选：C．9．若一个自然数的算术平方根是m，则此自然数的下一个自然数（即相邻且更大的自然数）的算术平方根是（）A．B．m2+1C．m+1D．【解答】解：∵自然数的算术平方根为m，∴自然数是m2，∴下一个自然数是m2+1，它的算术平方根是．故选：A．10．下列各数是有理数的是（）A．πB．C．D．0【解答】解：0是有理数．故选：D．11．实数﹣，﹣，2，﹣3中，为负整数的是（）A．﹣B．﹣C．2D．﹣3【解答】解：A选项是负分数，不符合题意；B选项是无理数，不符合题意；C选项是正整数，不符合题意；D选项是负整数，符合题意；故选：D．12．下列说法正确的有（）①无限小数不一定是无理数；②无理数一定是无限小数；③带根号的数不一定是无理数；④不带根号的数一定是有理数．A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【解答】解：①无限小数不一定都是无理数，如0.是有理数，故①说法正确；②无理数是无限不循环小数，所以无理数一定是无限小数，故②说法正确；③带根号的数不一定都是无理数，如＝3是有理数，故③说法正确；④不带根号的数不一定是有理数，如π是无理数，故④说法错误；故选：A．13．下列说法：①若a是一个实数，则a的倒数为；②无理数是开方开不尽的数；③一个有理数与一个无理数的积一定是无理数；④数轴上的点与实数是一一对应的．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：①a为0时，不存在倒数，错误；②无理数为无限不循环小数，错误；③一个有理数与一个无理数的积不一定是无理数，例如0×＝0，错误；④数轴上的点与实数是一一对应的，正确．故选：B．14．下列说法中，正确的是（）A．无理数包括正无理数、零和负无理数B．无限小数都是无理数C．正实数包括正有理数和正无理数D．实数可以分为正实数和负实数两类【解答】解：（A）无理数包括正无理数和负无理数，故A错误；（B）无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故B错误；（D）实数可分为正实数，零，负实数，故D错误；故选：C．15．下列关于0的说法正确的是（）A．0是正数B．0是负数C．0是有理数D．0是无理数【解答】解：0既不是正数也不是负数，0是有理数．故选：C．16．在﹣，，﹣，3.，﹣1，，|﹣1|中，有理数有（）个．A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵﹣是分数，﹣＝﹣是分数，3.是循环小数，|﹣1|＝1是整数，∴﹣，﹣，3.，|﹣1|是有理数，∴有理数有4个．故选：B．17．有下列说法：①无理数是无限小数，无限小数是无理数；②无理数包括正无理数、0和负无理数；③带根号的数都是无理数；④无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；是一个分数．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：∵无限不循环小数是无理数，∴①错误．∵0是有理数，∴②错误．∵＝2是有理数，∴③错误．∵π也是无理数，不含根号，∴④错误．∵是一个无理数，不是分数，∴⑤错误．故选：A．18．下列说法错误的是（）A．一个正数有两个平方根B．一个负数的立方根是负数C．0的算术平方根是0D．平方根等于本身的数是0，1【解答】解：A、一个正数有两个平方根，正确，不合题意；B、一个负数的立方根是负数，正确，不合题意；C、0的算术平方根是0，正确，不合题意；D、平方根等于本身的数是0，故错误，符合题意；故选：D．19．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数都是带根号的数；③负数没有立方根；④的平方根是±8．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，符合题意；②无理数是无限不循环小数，原说法不合题意；③负数也有立方根，原说法不合题意；④＝8的平方根是±2，原说法不合题意．故选：B．二．填空题（共5小题）20．若是整数，则正整数n的最小值是5．【解答】解：＝，∵是整数，∴正整数n的最小值是5．故答案为：5．21．六个数：0.123，，3.1416，﹣2π，（﹣1.5）3，0.1020020002（相邻两个2之间0的个数逐次加1），若其中无理数的个数为x，整数的个数为y，非负数的个数为z，则x+y+z ＝6【解答】解：无理数有：﹣2π，0.1020020002（相邻两个2之间0的个数逐次加1），则x＝2；没有整数：则y＝0；非负数有：0.123，，3.1416，0.1020020002（相邻两个2之间0的个数逐次加1），共4个；则z＝4．则x+y+z＝6．故答案为：6．22．在9.3，﹣24，0，﹣0.33，0.333…，141421356，2π，3.3030030003…（每相邻两个3之间依次多一个0），﹣3.1415中属于整数集合的有﹣24、0、141421356，属于负分数集合的有﹣0.33，属于无理数集合的有2π，3.303003003…．【解答】解：根据整数的定义，整数有﹣24、0、141421356；根据负分数的定义，负分数有﹣0.33；根据无理数的定义，无理数有2π、3.3030030003…．故答案为：﹣24、0、141421356；﹣0.33；2π、3.3030030003…．23．写出满足下列两个条件“①是负数；②是无限不循环小数．”的一个数：﹣π．【解答】解：∵满足两个条件“①是负数；②是无限不循环小数．”∴符合题意的一个数可以为：﹣π．故答案为：﹣π．24．将下列各数填在相应的集合里．，π，3.1415926，﹣0.456，3.030030003…（相邻的两个3之间0的个数逐渐增加），0，，﹣，，．有理数集合：{，3.1415926，﹣0.456，0，，…}；无理数集合：{π，3.030030003…（相邻的两个3之间0的个数逐渐增加），﹣，…}；正实数集合：{，π，3.1415926，3.030030003…（相邻的两个3之间0的个数逐渐增加），0，，，…}；整数集合：{，0，…}；负分数集合{﹣0.456…}．【解答】解：有理数集合：{，3.1415926，﹣0.456，0，，…}，无理数集合：{π，3.030030003…（相邻的两个3之间0的个数逐渐增加），﹣，…}，正实数集合：{，π，3.1415926，3.030030003…（相邻的两个3之间0的个数逐渐增加），0，，，…}整数集合：{，0，…}，负分数集合{﹣0.456…}，故答案为：，3.1415926，﹣0.456，0，，；π，3.030030003…（相邻的两个3之间0的个数逐渐增加），﹣，；，π，3.1415926，3.030030003…（相邻的两个3之间0的个数逐渐增加），0，，，；，0，；﹣0.456．三．解答题（共8小题）25．把下列各数填入相应的括号里﹣2，100π，﹣5，0.8，﹣|+5.2|，0，0.1010010001…，﹣（﹣4）正有理数集合：{0.8，﹣（﹣4）…}；整数集合：{﹣2，0…}；负分数集合：{﹣5，﹣|+5.2|…}；无理数集合：{100π，0.1010010001……}；．【解答】解：正有理数集合：{0.8，﹣（﹣4）…}；整数集合：{﹣2，0，…}；负分数集合：{﹣5，﹣|+5.2|…}；无理数集合：{100π，0.1010010001…}．26．已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15．（1）求m和这个正数；（2）求的算术平方根．【解答】解：（1）根据题意得：m+3+2m﹣15＝0，解得：m＝4，∴m+3＝4+3＝7，∴这个正数为72＝49；（2）＝＝＝3，∴3的算术平方根为．27．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小超的探究过程，请补充完整：（1）求；①由103＝1000，1003＝1 000 000，可以确定是两位数；②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是9；③如果划去59319后面的三位319得到数59，而33＝27，43＝64，可以确定的十位上的数是3；由此求得＝39．（2）已知103823也是一个整数的立方，用类似的方法可以求得＝47．【解答】解：（1）①∵103＝1000，1003＝1 000 000，而1000＜59319＜1000000，∴10＜＜100，因此结果为两位数；②因为只有9的立方的个位数字才是9，因此结果的个位数字为9，③33＜59＜43，因此可以确定的十位上的数是3，最后得出＝39，故答案为：两，9，3、39；（2）∵103＝1000，1003＝1 000 000，而1000＜103823＜1000000，∴10＜＜100，因此结果为两位数；只有7的立方的个位数字是3，因此结果的个位数字是7；如果划去103823后面的三位823得到数103，而43＝64，53＝125，可以确定的十位数字为4，于是可得＝47；故答案为：47．28．把下列各数分别填入相应的集合里．3.14、0.121121112…、（﹣1）2、|﹣6|、﹣2011、﹣22、π、0、20%无理数集合：{0.121121112…、π…}负整数集合：{﹣2011、﹣22…}分数集合：{ 3.14、（﹣1）2、20%…}正数集合：{ 3.14，0.121121112…、（﹣1）2、|﹣6|、π、20%…}【解答】解：无理数集合：{0.121121112…、π…}负整数集合：{﹣2011、﹣22…}分数集合：{3.14、（﹣1）2、20%…}正数集合：{3.14，0.121121112…、（﹣1）2、|﹣6|、π、20%…}故答案为：0.121121112…、π；﹣2011、﹣22；3.14、（﹣1）2、20%；3.14，0.121121112…、（﹣1）2、|﹣6|、π、20%．29．将下列各数填入相应的集合中：﹣7，0，，﹣22，﹣2.55555…，3.01，+9，4.020020002…，+10%，．无理数集合：{ …}；负有理数集合：{ …}；正分数集合：{ …}；非负整数集合：{ …}．【解答】解：无理数集合：{4.020020002…，…}；负有理数集合：{﹣7，﹣22，﹣2.55555…，…}；正分数集合：{，3.01，+10% …}；非负整数集合：{0，+9，…}．30．把下列数填入相应的集合中．，0.，﹣，3．（1）整数集合，3；（2）分数集合，；（3）有理数集合，，，3；（4）无理数集合，；（5）实数集合，，，，﹣，3．【解答】解：（1）整数集合，3；（2）分数集合，；（3）有理数集合，，，3；（4）无理数集合，；（5）实数集合，，，，﹣，3．31．把下列各数的序号分别填入相应的大括号内．①﹣5，②﹣，③0，④+1.5，⑤0.1010010001…，⑥﹣30%，⑦﹣（﹣6），⑧正有理数集合：{④⑦…}；分数集合：{②④⑥…}；无理数集合：{⑤⑧…}；非正整数集合：{①③…}．【解答】解：故答案为：正有理数集合：④⑦；分数集合：②④⑥；无理数集合：⑤⑧；非正整数集合：①③；32．把下列各数填入相应的集合里：0.236，0.3，，，18，﹣0.021021021 0正数集合：{0.236，0.3，18…}；负数集合：{﹣，﹣，﹣0.021021021，…}；有理数集合：{0.236，0.3，18，﹣，﹣0.021021021…，0…}；无理数集合：{﹣…}．【解答】解：正数集合：{0.236，0.3，18，…}；负数集合：{﹣，﹣，﹣0.021021021…}；有理数集合：{0.236，0.3，18，﹣，﹣0.021021021…，0…}；无理数集合：{﹣，…}；故答案为：0.236，0.3，18；，﹣，﹣0.021021021…；0.236，0.3，18，﹣，﹣0.021021021…，0…；﹣．。

数学考点之平方根和无理数

数学考点之平方根和无理数初中数学知识点：平方根如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，如果x2=a，那么x叫做a的平方根，这里a是x的平方，它是一个非负数，即a≥0。

一个正数有两个平方根，它们互为相反数;②0有一个平方根，是0本身;③负数没有平方根。

性质：①一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。

显然，如果我们知道了这两个平方根的一个，那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。

②如果一个正数x的平方等于a，即x的平方等于a，那么这个正数x叫做a 的算术平方根。

a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数。

③规定：0的平方根是0。

④负数在实数范围内不能开平方，只有在复数范围内，才可以开平方根。

例如：-1的平方根为±1，-9的平方根为±3。

⑤平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中的一种。

平方根和算术平方根都只有非负数才有。

被开方数是乘方运算里的幂。

求平方根可通过逆运算平方来求。

开平方：求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数。

若x的平方等于a，那么x就叫做a的平方根，即正负根号a=正负x利用长式除法可以求平方根。

长式除法需要进行加法，减法，乘法，除法等四则运算。

一般计算机软件的运算精度小于20位数字，如要计算平方根到100位，四则运算的精度需100位以上。

1、概念：若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x为a的算术平方根。

规定：0的算术平方根是0。

2、表示：a的算术平方根记为，读作“根号a”。

注：只有非负数有算术平方根，而且只有一个算术平方根。

平方根和算术平方根的区别于联系：它们之间的区别：(1)定义不同：如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根;非负数a 的非负平方根叫做a的算术平方根。

(2)个数不同：一个正数有两个平方根，它们互为相反数;而一个正数的算术平方根只有一个。

(3)表示方法不同：正数a的平方根表示为±a，正数a的算术平方根表示为a。

探索根号和无理数的奥秘

探索根号和无理数的奥秘根号，即平方根，是在数学中经常出现的一个符号。

它表示了一个数的正平方根，即满足平方等于该数的非负实数。

而无理数则是不能表示为有理数的数，即无法用两个整数的比值表示出来的数。

本文将探索根号和无理数的奥秘，并揭示它们在数学领域中的重要性。

一、根号的起源与应用在数学的发展历程中，根号最早出现在古希腊时期的几何学中，用来表示不存在完全平方的长度。

后来，随着数学的不断推进，根号逐渐成为了特定运算的符号，用来表示平方根，立方根甚至更高次根的概念。

在数学中，根号的应用广泛。

在代数学中，它与方程的解密切相关。

当一个方程无法通过有理数解来表示时，我们往往需要运用根号来求得其解。

在三角学中，根号被用来表示向量的模长，以及复数的模。

在计算机科学中，根号的运算也是十分常见的，用于求解方程、进行数值计算等。

二、根号与无理数的关系我们知道，根号的内容往往涉及无理数。

无理数是不能用两个整数的比值表示出来的数，其十进制表示是无限不循环的小数。

最典型的例子就是著名的圆周率π，它近似为3.14159，但其真实的数值是一个无限不循环的小数。

无理数的出现与根号的运算有着密切的联系。

当我们计算一个数的平方根时，往往会遇到无法得到精确的有理数结果的情况。

例如，对于2的平方根，我们知道它近似为1.414，但它无法表示为两个整数的比值。

这就是根号与无理数相联系的一个典型案例。

三、无理数的重要性无理数在数学领域中具有重要的作用。

首先，无理数丰富了数学的内容，它扩展了有理数的概念，并使数学更加完整、丰满。

其次，在几何学和分析学中，无理数常常被用来描述曲线的性质、函数的收敛性等重要概念。

无理数的引入，使得我们能够更好地探索数学的奥秘。

无理数的发现也使得数学界曾经一度陷入了困惑和争议。

在古希腊时期，无理数的概念一度被视为不合理和荒谬，而只承认有理数的存在。

然而，随着数学的不断发展，无理数的重要性逐渐得到认可，并被纳入数学的范畴之中。

初二数学认识无理数------12月6日作业

word 格式-可编辑-感谢下载支持初二数学认识无理数----12月6日作业1．有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示．其中正确的说法的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．42．有下列说法，其中正确说法的个数是（）（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数是无限不循环小数．A ．0B ．1C ．2D ．33．下列各数中，属于无理数的是（）A ．-2B ．227C ．3D ．0.1010010004．实数﹣2，0.101001，，，﹣π中，无理数的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右无滑动地滚动一周，原点滚到了点A ，下列说法正确的（）A ．点A 所表示的是πB ．OA 上只有一个无理数πC ．数轴上无理数和有理数一样多D ．数轴上的有理数比无理数要多一些6．下列说法正确的是（）A ．有理数只是有限小数B ．无理数是无限小数C ．无限小数是无理数D ．3是分数 7．下列说法中正确的是（）A ．有理数和数轴上的点一一对应B ．不带根号的数是有理C ．无理数就是开方开不尽的数D ．实数与数轴上的点一一对应8．请你写出一个无理数9．在数轴上表示下列各数，并用“＜”把它们连接起来．0，2 1．5， 3AB CDFE G 0 1∴______<______<______<______． 10．试验与探究：我们知道分数写31为小数即，反之，无限循环小数写成分数即31．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现在就以为例进行讨论：设，由…，可知，10x-x=7．77…-0．777…=7，即10x-x=7，解方程得，于是得请仿照上述例题完成下列各题：（本题4分）（1）请你把无限循环小数写成分数，即=__________（2）你能化无限循环小数为分数吗？请仿照上述例子求解之．已知：在等边△ABC 中，D ，E 分别为AC ，BC 上的点，AE ，BD 交于F 点，且AD=CE ，BG ⊥AE 于G 。

北师大版八年级上册数学2.6实数课件

Q c, d互为倒数
cd 1;
Q m, n为相反数
m n 0.
原式 1 0 1 0
0
2.已知a,b,c在数轴上的对应点如图所示。化简
a b2 b c a c a c2
a c -1
a bo
c
3.已知a o,求 a2 3 a3的值
4.若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝
带π型；
2, 0.181818 , 0.3737根73号7型77；3
构造型
有理数集合
无理数集合
2、实数 7, 2, 3的大小关系是（B ）
A、 7 3 2
B、 3 7 2
C、 2 7 3
D、 3 2 7

3、若 a 6, b 4，且ab 0,求a b的值.
4 (1)、-2 -（ 3）0 （-1）2013
自学检测4：（3分钟）
1.化简：
2 1 ___2_____1_, 2 2 3 __3___2__2___.
2.大于 13而小于 5 的所有整数为_-3_,-_2_,-_1_,0_,1_,。2
3. 2 3 的绝对值是 2 3；
相反数是 _3____2_____ 。
4.在实数 1 , 2,0,
对值为 4，求 a b m2 2 cd 的值.
m
导引：要求 a b m2 2 cd 的值，需先根据条件确定a m
＋b，cd 和m的值，根据题意容易得a＋b＝0，cd＝
1，m ＝±4，代入求值即可．
解：因为a，b互为相反数，所以a＋b＝0.
因为c，d互为倒数，所以cd＝1.
因为|m|＝4，所以m＝±4，m2＝16.
知识回顾（1分钟） 1.什么是有理数？
整数和分数统称为有理数.

北师大版八年级上册数学书习题答案

北师大版八年级上册数学书习题答案
做北师大版八年级数学上册的课本习题如上阶尽管费力，却一步比一步高。

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北师大版八年级上册数学书习题答案(一)
第31页练习
北师大版八年级上册数学书习题答案(二)
第34页练习
1.解：(1)因为3.6²<13.6<3.7^2，所以3.6<√13.6<3.7.又因为3.68^2<13.6<3.63^2，所以3.68<√13.6<3.69，所以√13.6 的估算值是3.7.
(2)因为9³<800<10^3所以9<∛800<10.又因为9.2^3<800<9.3^3，所以9.2<∛800<9.3.所以∛800 的估算值是9.
2.解：因为2.5²=6.25，所以√6<√6.25，所以√6<2.5.
北师大版八年级上册数学书习题答案(三)
第39页练习
1.解：(1)错误.带根号的数不一定是无理数，如√4=
2.
(2)正确.
(3)错误.因为数轴上的每一个点都表示一个实数.
2.解(1)-√7，1/√7，√7 (2)2，-1/2，2 (3)-7，1/7，7
3.解：如图2-6-5所示，点A表示√10.。

人教版初一数学下册实数试题含答案(19)

一、选择题1．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y 值是（）A ．5B ．5±C ．5D ．5±2．设记号*表示求a 、b 算术平均数的运算，即*2a ba b +=，则下列等式中对于任意实数a ，b ，c 都成立的是（）．①(*)()*()a b c a b a c +=++；②*()()*a b c a b c +=+； ③*()(*)(*)a b c a b a c +=+；④()()**22aa b c b c +=+． A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②④3．定义一种新运算“*”，即()*23m n m n =+⨯-，例如()2*322339=+⨯-=．则()6*3-的值为（） A ．12 B ．24 C ．27 D ．30 4．若29x =，|y |＝7，且0x y ->，则x +y 的值为（）A ．﹣4或10B ．﹣4或﹣10C ．4或10D ．4或﹣105．数轴上表示1，2的对应点分別为A ，B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数是（）A 21B ．12C ．22D 226．各个数位上数字的立方和等于其本身的三位数叫做“水仙花数”．例如153是“水仙花数”，因为333153153++=．以下四个数中是“水仙花数”的是（） A ．135B ．220C ．345D ．4077．有下列四种说法：①数轴上有无数多个表示无理数的点； ②带根号的数不一定是无理数； ③平方根等于它本身的数为0和1； ④没有最大的正整数，但有最小的正整数；其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．48．下列命题中，①81的平方根是9；②16的平方根是±2；③−0.003没有立方根；④−64的立方根为±4；⑤5，其中正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．49．现定义一种新运算“*”，规定a*b＝ab＋a－b，如1*3＝1×3＋1－3，则(－2*5)*6等于()A．120 B．125 C．－120 D．－12510．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q都是正整数，且p≤q），如果p×q在n的所有分解中两个因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的黄金分解，并规定：F(n)=pq，例如：18可以分解为1×18；2×9；3×6这三种，这时F(18)=3162=，现给出下列关于F(n)的说法：①F(2) =12；② F(24)=38；③F(27)=3；④若n是一个完全平方数，则F(n)=1，其中说法正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题11．对于任意有理数a，b，规定一种新的运算a⊙b＝a（a+b）﹣1，例如，2⊙5＝2×（2+5）﹣1＝13．则（﹣2）⊙6的值为_____12．对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{－1，2，3}＝123433-++=，min{－1，2，3}＝－1，如果M{3，2x＋1，4x－1}＝min{2，－x＋3，5x}，那么x＝_______.13．按一定规律排列的一列数依次为：2-，5，10-，17，26-，，按此规律排列下去，这列数中第9个数及第n个数（n为正整数）分别是__________．14．如图，按照程序图计算，当输入正整数x时，输出的结果是161，则输入的x的值可能是__________．15．按下面的程序计算：若输入n=100，输出结果是501；若输入n=25，输出结果是631，若开始输入的n值为正整数，最后输出的结果为656，则开始输入的n值可以是________．16．在研究“数字黑洞”这节课中，乐乐任意写下了一个四位数（四数字完全相同的除外），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差:重复这个过程，……，乐乐发现最后将变成一个固定的数，则这个固定的数是__________．17．对于实数x，y，定义一种运算“×”如下，x×y＝ax－by2，已知2×3＝10，4×(－3)＝6，那么(－2)×(327)2＝________；18．将1，2，3，6按如图方式排列．若规定m，n表示第m排从左向右第n个数，则()7,3所表示的数是___________．19．31y-312x-xy的值是____．20．定义运算“@”的运算法则为：xy4+2@6 =____．三、解答题21．阅读材料，回答问题：（1）对于任意实数x，符号[]x表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，[]x 就是x，当x不是整数时，[]x是点x左侧的第一个整数点，如[]33=，[]22-=-，[]2.52=，[]1.52-=-，则[]3.4=________，[]5.7-=________．（2）2015年11月24日，杭州地铁1号线下沙延伸段开通运营，极大的方便了下沙江滨居住区居民的出行，杭州地铁收费采用里程分段计价，起步价为2元/人次，最高价为8元/人次，不足1元按1元计算，具体权费标准如下：里程范围4公里以内（含4公里）4-12公里以内（含12公里）12-24公里以内（含24公里）24公里以上收费标准2元4公里/元6公里/元8公里/元①若从下沙江滨站到文海南路站的里程是3.07公里，车费________元，下沙江滨站到金沙湖站里程是7.93公里，车费________元，下沙江滨站到杭州火东站里程是19.17公里，车费________元；②若某人乘地铁花了7元，则他乘地铁行驶的路程范围（不考虑实际站点下车里程情况）？22．阅读材料，解答问题：如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“依赖数”，例如，自然数2135，其中3＝2×2﹣1，5＝2×2+1，所以2135是“依赖数”．（1）请直接写出最小的四位依赖数；（2）若四位依赖数的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫做“特色数”，求所有特色数．（3）已知一个大于1的正整数m 可以分解成m ＝pq+n 4的形式（p≤q ，n≤b ，p ，q ，n 均为正整数），在m 的所有表示结果中，当nq ﹣np 取得最小时，称“m ＝pq+n 4”是m 的“最小分解”，此时规定：F （m ）＝q np n++，例：20＝1×4+24＝2×2+24＝1×19+14，因为1×19﹣1×1＞2×4﹣2×1＞2×2﹣2×2，所以F （20）＝2222++＝1，求所有“特色数”的F （m ）的最大值． 23．我们已经学习了“乘方”运算，下面介绍一种新运算，即“对数”运算．定义：如果b a N =（a ＞0，a ≠1，N ＞0），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b =．例如：因为35125=，所以5log 1253=；因为211121=，所以11log 1212=．根据“对数”运算的定义，回答下列问题：（1）填空：6log 6= ，3log 81= ．（2）如果()2log 23m -=，求m 的值．（3）对于“对数”运算，小明同学认为有“log log log a a a MN M N =⋅（a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0）”，他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正． 24．阅读理解：一个多位数，如果根据它的位数，可以从左到右分成左、中、右三个数位相同的整数，其中a 代表这个整数分出来的左边数，b 代表的这个整数分出来的中间数，c 代表这个整数分出来的右边数，其中a ，b ，c 数位相同，若b ﹣a ＝c ﹣b ，我们称这个多位数为等差数．例如：357分成了三个数3，5，7，并且满足：5﹣3＝7﹣5； 413223分成三个数41，32，23，并且满足：32﹣41＝23﹣32；所以：357和413223都是等差数．（1）判断：148 等差数，514335 等差数；（用“是”或“不是”填空）（2）若一个三位数是等差数，试说明它一定能被3整除；（3）若一个三位数T 是等差数，且T 是24的倍数，求该等差数T ． 25．a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数．如:2的差倒数是1112=--，现已知a 1=12，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，… (1)求a 2，a 3，a 4的值；(2)根据(1)的计算结果，请猜想并写出a 2016•a 2017•a 2018的值； (3)计算：a 33+a 66+a 99+…+a 9999的值．26．规定两数a ，b 之间的一种运算，记作(a ，b )：如果c a b =，那么(a ，b )=c ．例如：因为23=8，所以(2，8)=3．（1）根据上述规定，填空：（3，27）=_______，（5，1）=_______，（2， 14）=_______．（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n ，4n ）=（3，4）小明给出了如下的证明：设（3n ，4n ）=x ，则（3n ）x =4n ，即（3x ）n =4n 所以3x =4，即（3，4）=x ，所以（3n ，4n ）=（3，4）．请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由：(4，5)+(4，6)=(4，30) 27．我们知道，任意一个正整数x 都可以进行这样的分解：x m n =⨯（m ，n 是正整数，且m n ≤），在x 的所有这种分解中，如果m ，n 两因数之差的绝对值最小，我们就称m n ⨯是x 的最佳分解，并规定：()=nf x m．例如：18可分解成118⨯，29⨯或36⨯，因为1819263->->-，所以36⨯是18的最佳分解，所以()311862f == （1）填空：()6f = ；()16=f ；（2）一个两位正整数t （10t a b =+，19a b ≤≤≤，a ，b 为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求()f t 的最大值；（3）填空：①()22357f ⨯⨯⨯= ；②()42357f ⨯⨯⨯= ；28．[阅读材料] ∵23<，∴112<<，∴1的整数部分为1，∴1的小2 [解决问题]（1__________；（2）已知a b (1b a -的平方根为______．29．我们已经学习了“乘方”运算，下面介绍一种新运算，即“对数”运算．定义：如果b a N =（a ＞0，a ≠1，N ＞0），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b =．例如：因为35125=，所以5log 1253=；因为211121=，所以11log 1212=．根据“对数”运算的定义，回答下列问题：（1）填空：6log 6= ，3log 81= ．（2）如果()2log 23m -=，求m 的值．（3）对于“对数”运算，小明同学认为有“log log log a a a MN M N =⋅（a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0）”，他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正．30．阅读型综合题对于实数x y ，我们定义一种新运算(),L x y ax by =+（其中a b ，均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为(),L x y ，其中x y ，叫做线性数的一个数对．若实数 x y ，都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x y ，叫做正格线性数的正格数对．（1）若(),3L x y x y =+，则()2,1L = ，31,22L ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）已知(),3L x y x by =+，31,222L ⎛⎫= ⎪⎝⎭．若正格线性数(),18L x kx =，（其中k 为整数），问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出；若没有，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据已知进行计算，并判断每一步输出结果即可得到答案．【详解】解：∵25的算术平方根是5，5不是无理数， ∴再取5的平方根，而5的平方根为∴输出值y ＝故选：B ．【点睛】本题考查实数分类及计算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键．2．B解析：B 【详解】 ①中(*)2b c a b c a ++=+，()*()22a b a c b ca b a c a ++++++==+，所以①成立；②中*()2a b c a b c +++=，()*2a b c a b c +++=，所以②成立； ③中()()*(*)*222a b a c b ca b a c a a b c ++++=+=+=+，所以③不成立； ④中(*)2a b a b c c ++=+，22(*2)22222a abc a b c a b b c c +++++=+==+，所以④成立．故选B.3．C解析：C 【分析】根据新定义的公式代入计算即可．【详解】∵()*23m n m n =+⨯-, ∴()6*3-=()623(3)27+⨯--=, 故选C ．【点睛】本题考查了新定义下的实数计算，准确理解新定义公式是解题的关键．4．B解析：B 【分析】先根据平方根、绝对值运算求出,x y 的值，再代入求值即可得．【详解】解：由29x =得：3x =±，由7y =得：7y =±，0x y ->， x y ∴>，37x y =-⎧∴⎨=-⎩或37x y =⎧⎨=-⎩，则3(7)10x y +=-+-=-或3(7)4x y +=+-=-，故选：B ．【点睛】本题考查了平方根、绝对值等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．5．C解析：C 【分析】根据数轴上两点之间的距离计算、对称的性质即可解决．【详解】根据对称的性质得：AC =AB设点C 表示的数为a ，则11a -解得：2a =故选：C ．【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，图形对称的性质，关键是由对称的性质得到AC =AB ．6．D解析：D 【分析】分别算出某数各个数位上数字的立方和，看其是否等于某数本身，若等于即为“水仙花数”，若不等于，即不是“水仙花数” ．【详解】解：∵333135153135++=≠，∴A 不是“水仙花数”；∵33+=≠，∴B不是“水仙花数”；2216220∵333++=≠，∴C不是“水仙花数”；345216345∵33+=，∴D是“水仙花数”；47407故选D ．【点睛】本题考查新定义下的实数运算，正确理解题目所给概念并熟练应用实数运算法则去完成有关计算是解题关键．7．C解析：C【分析】根据实数的定义，实数与数轴上的点一一对应，平方根的定义可得答案．【详解】①数轴上有无数多个表示无理数的点是正确的；②2=；③平方根等于它本身的数只有0，故本小题是错误的；④没有最大的正整数，但有最小的正整数，是正确的．综上，正确的个数有3个，故选：C．【点睛】本题主要考查了实数的有关概念，正确把握相关定义是解题关键．8．A解析：A【分析】根据平方根的定义对①②进行判断；根据立方根的定义对③④进行判断；根据命题的定义对⑤进行判断．【详解】解：81的平方根是±9，所以①错误；±2，所以②正确；-0.003有立方根，所以③错误；−64的立方根为-4，所以④错误；⑤正错误．故选：A．【点睛】本题考查了立方根和平方根的应用，主要考查学生的辨析能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．9．D解析：D【详解】根据题目中的运算方法a*b=ab+a-b，可得（-2*5）*6=（-2×5-2-5）*6=-17*6=-17×6+（-17）-6=-125．故选D．点睛：本题主要考查了新定义运算，根据题目所给的规律（或运算方法），利用有理数的混合法则计算正确是解题关键．10．B解析：B【分析】将2，24，27，n分解为两个正整数的积的形式，再找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大的数进行排除即可．【详解】解：∵2=1×2，∴F（2）=1，故①正确；2∵24=1×24=2×12=3×8=4×6，且4和6的差绝对值最小∴F（24）= 42=，故②是错误的；63∵27=1×27=3×9，且3和9的绝对值差最小∴F（27）=31=，故③错误；93∵n是一个完全平方数，∴n能分解成两个相等的数的积，则F（n）=1，故④是正确的.正确的共有2个．故答案为B．【点睛】本题考查有理数的混合运算与信息获取能力，解决本题的关键是弄清题意、理解黄金分解的定义．二、填空题11．-9【分析】直接利用已知运算法则计算得出答案．【详解】（﹣2）⊙6＝﹣2×（﹣2+6）﹣1＝﹣2×4﹣1＝﹣8﹣1＝﹣9．故答案为﹣9．【点睛】此题考察新定义形式的有理数计算，解析：-9【分析】直接利用已知运算法则计算得出答案．【详解】（﹣2）⊙6＝﹣2×（﹣2+6）﹣1＝﹣2×4﹣1＝﹣8﹣1＝﹣9．故答案为﹣9．【点睛】此题考察新定义形式的有理数计算，正确理解题意是解题的关键，依据题意正确列代数式计算即可.12．或【详解】【分析】根据题中的运算规则得到M{3，2x＋1，4x－1}=1+2x，然后再根据min{2，－x＋3，5x}的规则分情况讨论即可得.【详解】M{3，2x＋1，4x－1}==2x+1解析：12或13【详解】【分析】根据题中的运算规则得到M{3，2x＋1，4x－1}=1+2x，然后再根据min{2，－x＋3，5x}的规则分情况讨论即可得.【详解】M{3，2x＋1，4x－1}=321413x x+++-=2x+1，∵M{3，2x＋1，4x－1}＝min{2，－x＋3，5x}，∴有如下三种情况：①2x+1=2，x=12，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，52，52}=2，成立；②2x+1=-x+3，x=23，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，73，103}=2，不成立；③2x+1=5x，x=13，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，83，53}=53，成立，∴x=12或13，故答案为12或13.【点睛】本题考查了阅读理解题，一元一次方程的应用，分类讨论思想的运用等，解决问题的关键是读懂题意，依题意分情况列出一元一次方程进行求解．13．；【详解】观察这一列数，各项的符号规律是奇数项为负，偶数项为正，故有，又因为，，，，，所以第n 个数的绝对值是，所以第个数是，第n 个数是，故答案为-82，.点睛：本题主要考查了有理数的混合运解析：82-；2(1)(1)n n -⋅+【详解】观察这一列数，各项的符号规律是奇数项为负，偶数项为正，故有(1)n -，又因为2211=+，2521=+，21031=+，21741=+，，所以第n 个数的绝对值是21n +，所以第9个数是92(1)(91)82-⋅+=-，第n 个数是2(1)(1)n n -⋅+，故答案为-82，2(1)(1)n n -⋅+.点睛：本题主要考查了有理数的混合运算，规律探索问题通常是按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律，揭示的式子的变化规律，常常把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的规律．14．、、、．【详解】解：∵y=3x+2，如果直接输出结果，则3x+2=161，解得：x=53；如果两次才输出结果：则x=(53-2)÷3=17；如果三次才输出结果：则x=(17-2)÷3=5；解析：53、17、5、1．【详解】解：∵y =3x +2，如果直接输出结果，则3x +2=161，解得：x =53；如果两次才输出结果：则x =(53-2)÷3=17；如果三次才输出结果：则x =(17-2)÷3=5；如果四次才输出结果：则x =(5-2)÷3=1；则满足条件的整数值是：53、17、5、1．故答案为53、17、5、1．点睛：此题的关键是要逆向思维．它和一般的程序题正好是相反的．15．131或26或5.【解析】试题解析：由题意得，5n+1=656，解得n=131，5n+1=131，解得n=26，5n+1=26，解得n=5.解析：131或26或5.【解析】试题解析：由题意得，5n+1=656，解得n=131，5n+1=131，解得n=26，5n+1=26，解得n=5.16．6174【分析】任选四个不同的数字，组成个最大的数和一个最小的数，用大数减去小数，如1234，4321- 1234= 3087，8730-378= 8352 ，8532一2358= 617解析：6174【分析】任选四个不同的数字，组成个最大的数和一个最小的数，用大数减去小数，如1234，4321- 1234= 3087，8730-378= 8352 ，8532一2358= 6174，6174是符合条件的4位数中唯一会产生循环的(7641-1467= 6174) 这个在数学上被称之为卡普耶卡(Kaprekar)猜想.【详解】任选四个不同的数字，组成一个最大的数和一个最小的数，用大数减去小数，用所得的结果的四位数重复上述的过程，最多七步必得6174，如1234，4321-1234 =3087，8730 -378 = 8352，8532-2358= 6174，这一现象在数学上被称之为卡普耶卡(Kaprekar)猜想，故答案为：6174.【点睛】此题考查数字的规律运算，正确理解题意通过计算发现规律并运用解题是关键. 17．130【解析】【分析】已知等式利用题中的新定义化简，求出a与b的值，即可确定出原式的值．【详解】根据题中的新定义得：解得 ,所以，==130故答案为：130【点睛】本解析：130【解析】【分析】已知等式利用题中的新定义化简，求出a 与b 的值，即可确定出原式的值．【详解】根据题中的新定义得：2910496a b a b -=⎧⎨-=⎩ 解得2149a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩, 所以，()()22222a b ⎡⎤-⨯=--⎣⎦ =()22142(2)()9⎡⎤-⨯---⨯⎣⎦ =130故答案为：130 【点睛】本题考核知识点：实数运算. 解题关键点：理解新定义运算规则，根据法则列出方程组，解出a,b 的值，再次应用规则，求出式子的值.18．【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m 排第n 个数到底是哪个数后再计算．【详解】解：（7，3）表示第7排从左向右第3个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1， 1+2+3+4+5+6+3=24，则（7，3，．【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．判断出所求的数是第几个数是解决本题的难点；得到相应的变化规律是解决本题的关键．19．【分析】首先根据与互为相反数，可得+=0，进而得出，然后用含的代数式表示，再代入求值即可．【详解】解：∵与互为相反数，∴+=0，∴∴∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了实数解析：12【分析】，进而得出1120-+-=y x ，然后用含x 的代数式表示y ，再代入求值即可．【详解】解：∵∴，∴1120-+-=y x∴2y x = ∴1=22x x y x =．故答案为：12．【点睛】本题主要考查了实数的运算以及相反数，根据相反数的概念求得y 与x 之间的关系是解题关键．20．4【分析】把x=2，y=6代入x@y=中计算即可．解：∵x@y=，∴2@6==4，故答案为4．【点睛】本题考查了有理数的运算能力，注意能由代数式转化成有理数计算的式子．解析：4【分析】把x=2，y=6代入【详解】解：∵∴，故答案为4．【点睛】本题考查了有理数的运算能力，注意能由代数式转化成有理数计算的式子．三、解答题21．（1）3；6-；（2）①2；3；6．②这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于24公里小于等于32公里．【分析】（1）根据题意，确定实数左侧第一个整数点所对应的数即得；（2）①根据表格确定乘坐里程的对应段，然后将乘坐里程分段计费并累加即得； ②根据表格将每段的费用从左至右依次累加直至费用为7元，进而确定7元乘坐的具体里程即得．【详解】（1）∵3 3.44<<∴[]3.43=∵6 5.75-<-<-∴[]5.76-=-故答案为：3；6-．（2）①∵3.074<∴3.07公里需要2元∵47.9312<<∴7.93公里所需费用分为两段即：前4公里2元，后3.93公里1元∴7.93公里所需费用为：2+1=3（元）∵19.212174<<∴19.17公里所需费用分为三段计费即：前4公里2元，4至12公里2元，12公里至19.17公里2元；∴19.17公里所需费用为：2226++=（元）故答案为：2；3；6．②由题意得：乘坐24公里所需费用分为三段：前4公里2元，4至12公里2元，12公里至24公里2元；∴乘坐24公里所需费用为：2226++=（元）∵由表格可知：乘坐24公里以上的部分，每一元可以坐8公里∴7元可以乘坐的地铁最大里程为：24+8=32（公里）∴这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于24公里小于等于32公里答：这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于24公里小于等于32公里．【点睛】本题是阅读材料题，考查了实数的实际应用，根据材料中的新定义举一反三并挖掘材料中深层次含义是解题关键．22．（1）1022；（2）3066，2226；（3）67 36【分析】（1）由于千位不能为0，最小只能取1；根据题目得出相应的公式：十位＝2×千位﹣百位，个位＝2×千位+百位，分别求出十位和个位，即可求出最小的四位依赖数；（2）设千位数字是x，百位数字是y，根据“依赖数”定义，则有：十位数字是（2x﹣y），个位数字是（2x+y），依据题意列出代数式然后表示为7的倍数加余数形式，然后求出x、y即可，从而求出所有特色数;（3）根据最小分解的定义可知： n越小，p、q越接近，nq﹣np才越小，才是最小分解，此时F（m）＝q np n++，故将（2）中特色数分解，找到最小分解，然后将n、p、q的值代入F（m）＝q np n++，再比较大小即可.【详解】解：（1）由题意可知：千位一定是1，百位取0，十位上的数字为：2×1－0=2，个位上的数字为：2×1＋0=2则最小的四位依赖数是1022；（2）设千位数字是x，百位数字是y，根据“依赖数”定义，则有：十位数字是（2x﹣y），个位数字是（2x+y），根据题意得：100y+10（2x﹣y）+2x+y﹣3y＝88y+22x＝21（4y+x）+（4y+x），∵21（4y+x）+（4y+x）被7除余3，∴4y+x＝3+7k，（k是非负整数）∴此方程的一位整数解为：x=4，y=5（此时2x+y＞10，故舍去）；x＝3，y＝7（此时2x﹣y＜0，故舍去）；x＝3，y＝0；x＝2，y＝2；x＝1，y＝4（此时2x﹣y＜0，故舍去）；∴特色数是3066，2226．（3）根据最小分解的定义可知： n越小，p、q越接近，nq﹣np才越小，才是最小分解，此时F（m）＝q np n++，由（2）可知：特色数有3066和2226两个，对于3066＝613×5+14=61×50+24∵1×613－1×5＞2×61－2×50，∴3066取最小分解时：n=2，p=50，q=61∴F （3066）＝61263=50252++ 对于2226＝89×25+14＝65×34+24，∵1×89－1×25＞2×65－2×34，∴2226取最小分解时：n=2，p=34，q=65∴F （2226）＝6365267=342++ ∵63675236< 故所有“特色数”的F （m ）的最大值为：6736．【点睛】此题考查的是新定义类问题，理解题意，并根据新定义解决问题是解决此题的关键. 23．（1）1，4；（2）m=10 ；（3）不正确，改正见解析.【解析】试题分析：（1）根据新定义由61=6、34=81可得log 66=1，log 381=4；（2）根据定义知m ﹣2=23，解之可得；（3）设a x =M ，a y =N ，则log a M =x 、log a N =y ，根据a x •a y =a x +y 知a x +y =M •N ，继而得log a MN =x +y ，据此即可得证．试题解析：解：（1）∵61=6，34=81，∴log 66=1，log 381=4．故答案为：1，4；（2）∵log 2（m ﹣2）=3，∴m ﹣2=23，解得：m =10；（3）不正确，设a x =M ，a y =N ，则log a M =x ，log a N =y （a ＞0，a ≠1，M 、N 均为正数）．∵a x •a y =x y a +，∴x y a +=M •N ，∴log a MN =x +y ，即log a MN =log a M +log a N ．点睛：本题考查了有理数和整式的混合运算，解题的关键是明确题意，可以利用新定义进行解答问题．24．（1）不是，是；（2）见解析；（3）432或456或840或864或888【分析】（1）根据等差数的定义判定即可；（2）设这个三位数是M ，10010M a b c =++，根据等差数的定义可知2a cb +=，进而得出()3352M a c =+即可．（3）根据等差数的定义以及24的倍数的数的特征可先求出a 的值，再根据是8的倍数可确定c 的值，又因为2a cb +=，所以可确定a 、c 为偶数时b 才可取整数有意义，排除不符合条件的a 、c 值，再将符合条件的a 、c 代入2a c b +=求出b 的值，即可求解．【详解】解：（1）∵4184-≠- ，∴148不是等差数，∵435135438-=-=- ，∴514335是等差数；（2）设这个三位数是M ，10010M a b c =++，∵b a c b -=- ， ∴2a cb += ， ∵()10010105633522ac M a c a c a c +=+⨯+=+=+ ， ∴这个等差数是3的倍数；（3）由（2）知()3352,2a c T a c b +=+=， ∵T 是24的倍数，∴352a c + 是8的倍数，∵2c 是偶数，∴只有当35a 也是偶数时352a c +才有可能是8的倍数，∴2a =或4或6或8，当2a =时，3570a = ，此时若1c =，则35272a c += ，若5c = ，则35+280a c = ，若9c = ，则35+288a c =，大于70又是8的倍数的最小数是72，之后是80,88当35+296a c =时10c > 不符合题意；当4a =时，35140a =，此时若2c =，则352144a c +=，若6c =，则352152a c +=，（144、152是8的倍数），当6a =时，35210a =，此时若3c =，则352216a c +=，若7c =，则352224a c +=，（216、244是8的倍数），当8a =时，35280a =，此时若0c ，则352280a c +=，若4c =，则352288a c +=，若8c =，则352296a c +=，（280,288,296是8的倍数）， ∵2a cb +=， ∴若a 是偶数，则c 也是偶数时b 才有意义，∴2a =和6a =是c 是奇数均不符合题意，当4,2a c ==时，423,4322b T +=== ，当4,6a c ==时，465,4562b T +===，当8,0a c ==时，804,8402b T +===，当8,4a c ==时，846,8642b T +===，当8,8a c ==时，888,8882b T +===，综上，T 为432或456或840或864或888．【点睛】本题考查新定义下的实数运算、有理数混合运算，整式的加减运算，能够结合倍数的特点及熟练掌握整数的奇偶性是解题关键．25．（1）a 2=2，a 3=-1，a 4=12（2）a 2016•a 2017•a 2018= -1（3）a 33+a 66+a 99+…+a 9999=-1【分析】(1)将a 1=12代入11a -中即可求出a 2，再将a 2代入求出a 3，同样求出a 4即可. (2)从（1）的计算结果可以看出，从a 1开始，每三个数一循环，而2016÷3=672，则a 2016=-1,a 2017=12,a 2018=2然后计算a 2016•a 2017•a 2018的值； (3)观察可得a 3、a 6、a 9、…a 99，都等于-1，将-1代入，即可求出结果.【详解】（1）将a 1=12，代入11a -，得21=211-2a = ；将a 2=2，代入11a -，得31=-11-2a =；将a 3=-1，代入11a -，得411=1--12a =（）. （2）根据(1)的计算结果，从a 1开始，每三个数一循环，而2016÷3=672，则a 2016=-1,a 2017=12 ,a 2018=2 所以，a 2016•a 2017•a 2018=（-1）×12×2= -1 （3）观察可得a 3、a 6、a 9、…a 99，都等于-1，将-1代入，a 33+a 66+a 99+…+a 9999=（-1）3+（-1）6+（-1）9+…+（-1）99=（-1）+1+（-1）+…(-1)=-1【点睛】此类问题考查了数字类的变化规律，解题的关键是要严格根据定义进行解答，同时注意分析循环的规律．26．（1）3，0，-2 (2) (4，30)【解析】分析：（1）根据阅读材料，应用规定的运算方式计算即可；（2）应用规定和同底数幂相乘的性质逆用变形计算即可.详解：（1）∵33=27∴（3，27）=3∵50=1∴（5，1）=1∵2-2=14∴（2，14）=-2 （2）设（4，5）=x ，（4，6）=y则x 45=，y 4=6∴x y x y 44430+=⋅=∴（4，30）=x+y∴(4，5)+(4，6)=(4，30)点睛：此题是一个规定计算的应用型的题目，关键是灵活应用规定的关系式计算，熟练记忆幂的相关性质.27．（1）23，1；（2）两位正整数为39，28，17，()f t 的最大值为47；（3）①2021；②2021【分析】（1）仿照样例进行计算即可；（2）由题设可以看出交换前原数的十位上数字为a ，个位上数字为b ，则原数可以表示为10a+b ，交换后十位上数字为b ，个位上数字为a ，则交换后数字可以表示为10b+a ，根据“交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54”确定出a 与b 的关系式，进而求出所有的两位数，然后求解确定出()f t 的最大值即可；（3）根据样例分解计算即可．【详解】解：（1）61623=⨯=⨯，∵6132->-，∴()263f =； 161162844=⨯=⨯=⨯∵1618244->->-，∴()161f =，故答案为：23；1；（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10109()54b a a b b a +--=-=，∴6b a -=，∵19a b ≤≤≤，∴93b a ==，或82b a ==，或71b a ==，，∴t 为39，28，17；∵39＝1×39＝3×13，∴()33913f =； 28＝1×28＝2×14＝4×7，∴()28f ＝47； 17＝1×17，∴()11717f =； ∴()f t 的最大值47．（3）①∵223572021⨯⨯⨯=⨯∴()220235721f ⨯⨯⨯=； ②423574042⨯⨯⨯=⨯∴()4402023574221f ⨯⨯⨯==；故答案为：2021；2021 【点睛】本题主要考查了有理数的运算，理解最佳分解的定义，并将其转化为有理数的运算是解题的关键．28．（12；（2）±3．【分析】（1）由于4＜7＜9的小数部分；（2【详解】解：（1）∵4＜7＜9， ∴23<，∴021<，∴2，∴2；（2）∵a b 9＜10＜16， ∴<34<，∴031<，∴3，3，即有3a =，3b =， ∴()()3112b 339a --==-⎡⎣= 9的平方根为±3．∴(1b a -的平方根为±3．【点睛】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算． 29．（1）1，4；（2）m=10 ；（3）不正确，改正见解析.【解析】试题分析：（1）根据新定义由61=6、34=81可得log 66=1，log 381=4；（2）根据定义知m ﹣2=23，解之可得；（3）设a x =M ，a y =N ，则log a M =x 、log a N =y ，根据a x •a y =a x +y 知a x +y =M •N ，继而得log a MN =x +y ，据此即可得证．试题解析：解：（1）∵61=6，34=81，∴log 66=1，log 381=4．故答案为：1，4；（2）∵log 2（m ﹣2）=3，∴m ﹣2=23，解得：m =10；（3）不正确，设a x =M ，a y =N ，则log a M =x ，log a N =y （a ＞0，a ≠1，M 、N 均为正数）．∵a x •a y =x y a +，∴x y a +=M •N ，∴log a MN =x +y ，即log a MN =log a M +log a N ．点睛：本题考查了有理数和整式的混合运算，解题的关键是明确题意，可以利用新定义进行解答问题．30．（1）5，3；（2）有正格数对，正格数对为()26L ，【分析】（1）根据定义，直接代入求解即可；（2）将31,222L ⎛⎫= ⎪⎝⎭代入(),3L x y x by =+求出b 的值，再将(),18L x kx =代入(),3L x y x by =+，表示出kx ，再根据题干分析即可．【详解】解：（1）∵(),3L x y x y =+∴()2,1L =5，31,22L ⎛⎫= ⎪⎝⎭3 故答案为：5，3；（2）有正格数对．将31,222L ⎛⎫= ⎪⎝⎭代入(),3L x y x by =+，得出，1111323232L b ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭，，解得，2b =，∴()32L x y x y =+，，则()3218L x kx x kx =+=， ∴1832x kx -= ∵x ，kx 为正整数且k 为整数∴329k +=，3k =，2x =，L，．∴正格数对为：()26【点睛】本题考查的知识点是实数的运算，理解新定义是解此题的关键．。