大学物理第五章答案

证 在刚体上任取两点 Ａ 和 Ｂ ，设 ｔ 时刻 Ａ 、Ｂ 两点的速度和位矢分别为ｖ Ａ ， ｖＢ 和 ｒＡ ，ｒＢ ，刚体绕定轴 Ｏ 转动的角速度为 ω ，Ａ Ｂ 连线到转轴 Ｏ 的距离为 ｄ ，ＡＢ
矢量的方向用单位矢量 ｑ 表示 ，如图 ５畅７ 所示 ．
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aw.com 图５畅７
· ９６ ·
ｒＡ ＝ ｘＡ ｉ ＋ ｙＡ ｊ ＝ ｌｃｏｓ ωｔｉ ＋ ｌｓｉｎ ωｔｊ
所以 ，Ａ 点的速度和加速度为
ｖＡ
＝
ｄ ｒＡ ｄｔ
＝
－
ｌωｓｉｎ ωｔｉ ＋
ｌωｃｏｓ ωｔｊ
ａＡ
＝
ｄ ｖＡ ｄｔ
＝
－
ｌω２ｃｏｓ ωｔｉ
－
ｌω２ｓｉｎ ωｔｊ
由于 ｔ 时刻 Ａ 点的坐标为 ｘＡ ＝ ｌｃｏｓ ωｔ ，ｙＡ ＝ ｌｓｉｎ ωｔ 因而 Ａ 点的轨迹方程为
ｍｉｎ 均匀地增加到 ４０００ ｒ ／ｍｉｎ ，其间共经历 ５ ｍｉｎ ，试求该轮角加速度及螺丝钉的
a 切向加速度和加速度的大小 ．
d 解 （１）转轮的角速度为
h ω１
＝
２π ｎ１ ６０
＝
２０００π ３０
≈
２０９畅４
（ｒａｄ／ｓ）
螺丝钉为转轮轮缘上一点 ，其速率和法向加速度为
k ｖ１ ＝ Ｒω１ ＝ ０畅０９ × ２０９畅４ ≈ １８畅８５ （ｍ ／ｓ）
×
３６５２
＝
５畅７
· ９９ ·
５畅９ 一物体绕定轴从静止开始转动 ，角加速度恒定 ．
（１） 试证明物体中任一点的法向加速度和该点的角位移成正比 ；
（２）当该点的加速度和法向加速度之间的夹角为 ６０°时 ，物体转过的角度是多
少？
解 （１）设该点距转轴的距离为 ｒ ，ｔ 时刻该点的法向加速度为
w 因刚体作匀速转动 ，β ＝ ０ 代入上式 ，有 a ａ ＝ ２π ｋ × （ － ０畅８π ｉ ＋ ０畅６π ｊ）
＝ － （１畅２ ｉ ＋ １畅６ ｊ ）π２
d 说明 由于是匀速转动 β ＝ ０ ，所以 ａτ ＝ ０ ，ａ ＝ ａｎ ，因而 ａ 与ｖ 垂直 ，进而应有
ａ· ｖ ＝ ０ ．
h三 、习题详解 k ５畅１ 选择题 . （１）下列说法中哪一个或哪一些是正确的（Ｃ）
aw.c 图５畅６
d 解 （１）因两轮与皮带之间无相对滑动 ，两轮缘的切向加速度大小相等 ，因而
h Ａ 轮的角加速度为
kβ１ ＝
ｒ２ ｒ１
β２
＝
７５ ３０
×
０畅８π
＝
２π
（ｒａｄ／ｓ２ ）
. 由于是匀加速转动 ，所以 ω１ ＝ β１ ｔ ，因而
wｔ＝
ω１ β１
＝
２π × ６００ ６０ × ２π
＝
d 可绕通过 Ｏ１ 、Ｏ２ 并与纸面垂直的轴转动 ．已知连杆 Ｏ１ Ａ 转动时 ，角 φ ＝ ωｔ ，ω 为
h 一常量 ．又 Ａ Ｍ ＝ ｌ１ ，试求连杆 Ａ Ｂ 上的 Ａ 点及任意点 Ｍ 的轨迹方程及 Ａ 点的速
www.k 度和加速度 ．
图 ５畅３
解 已知杆 Ａ Ｂ 上的 Ａ 点绕 Ｏ１ 点作匀速率转动 ，角速度为 ω ．在直角坐标系 Ｏ１ ｘｙ 中 ，ｔ 时刻的位矢为
θ － θ０ ＝
ω０ ｔ ＋
１ ３
ａｔ３
－
１ ５
ｂｔ５
即 ｔ 时刻滑轮的角坐标为
θ＝
θ０ ＋
ω０ ｔ ＋
１ ３
ａｔ３
－
１ ５
ｂｔ５
说明 本题属于定轴转动刚体运动学第二类问题 ，即知道角加速度和初始条件 ，通
过积分可求刚体在任意时刻的角速度和角坐标（即运动方程） ．
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５唱４ 一刚体以每分钟 ６０ 转 ，绕 Ｚ 轴的正方向做匀速转动 ．设刚体上一点 Ｐ 的位置矢量为
ｋｍ ，地心到太阳的距离为 １畅４９ × １０８ ｋｍ ． 解 设 Ｒ１ 和 Ｒ２ 分别为地球半径和地球绕太阳运动的轨道半径 ，Ｔ１ 和 Ｔ２
分别为地球的自转周期和公转周期 ，则
ａｎ１ ａｎ２
＝
Ｒ１ ω２１ Ｒ２ ω２２
＝
Ｒ１
Ｔ
２ ２
Ｒ２
Ｔ
２ １
＝
Ｒ１ Ｒ２
Ｔ２ Ｔ１
２
＝
６３７０ １畅４９ × １０８
· ９５ ·
时 ，刚体的角速度为６ ｒａｄ·ｓ － １ ，角加速度为 － １０ ｒａｄ·ｓ － ２ ；对离转轴距离 ｒ ＝ ０畅５ ｍ
的质点来说 ，ｔ ＝ 百度文库畅２ ｓ 时 ，它的速度大小为３ ｍ·ｓ － １ ；加速度大小为１８畅７ ｍ·ｓ － ２ ．
（２）已知一飞轮从静止开始做匀变速定轴转动 ，在 １０ ｍｉｎ 内转过 １２００ 圈 ，则
m ｒａｄ／ｓ２ 转动 ，两轮与皮带间均无滑动 ．（１）经过多少时间后发电机的转速为 ６００ ｒ／
ｍｉｎ ？ （２）当汽轮机停止工作后 ，发电机在 １ ｍｉｎ 内由 ６００ ｒ ／ｍｉｎ 减到 ３００ ｒ／ｍｉｎ ，设
o 减速过程是均匀的 ，求角加速度及在这 １ ｍｉｎ 内转过的圈数 ．
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ω０ ｉ
图 ５畅１０
· １００ ·
ｘ
２ Ａ
＋
ｙ２Ａ
＝
ｌ２
即 Ａ 点的轨迹是以 Ｏ１ 为圆心 ，半径为 ｌ 的圆 ． 由于 Ａ Ｂ 杆的运动为平动 ，ｔ 时刻 ，Ａ Ｂ 杆上的 Ｍ 点的坐标为
m ｘＭ ＝ ｌｃｏｓ ωｔ ＋ ｌ１ ， ｙＭ ＝ ｌｓｉｎ ωｔ
o 所以 ，Ｍ 点的轨迹方程为
（ ｘＭ － ｌ１ ）２ ＋ ｙ２Ｍ ＝ ｌ２
ａｎ ＝ ｒω２ ＝ ２ ｒβΔ θ
式 Δ θ 为角位移 ．因此 ，该点的法向加速与角位移成正比 ．
（２）因为 ａτ ＝ ｒβ ，ａｎ ＝ ２ ｒβΔ θ 所以
om 因而 ，物体转过的角度为
ｔａｎ φ ＝
ａτ ａｎ
＝
１ ２Δ θ
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c Δθ
＝
１ ２ｔａｎ φ
＝
１ ２ｔａｎ６０°
＝
０畅２８９
ａτ ＝ Ｒβ ＝ ６畅２８ × １０ －２ ｍ ／ｓ２
ａ ＝ ａ２ｎ ＋ ａ２τ ＝ Ｒ ω４２ ＋ β２ ＝ １畅５７９ × １０４ ｍ ／ｓ２ ５畅５ 飞轮从静止开始作匀加速转动 ，在最初 ２ ｍｉｎ 内转了 ３６００ 转 ，求飞轮的 角加速度和第 ２５ ｓ 末的角速度 ．
· ９７ ·
da ｖｘ
＝
ｄ ｄ
ｘ ｔ
＝
－
ｒｓｉｎ
θ
ｄθ ｄｔ
－
ｒ２ ｓｉｎ ｌ２ －
θｃｏｓ θ ｒ２ ｓｉｎ２
θ
·
ｄ ｄ
θ ｔ
h ＝ － ｒｓｉｎθ １ ＋ k 即活塞的速度为
ｒｃｏｓ θ ｌ２ － ｒ２ ｓｉｎ２ θ ω０
www.ｖ ＝ ｖｘｉ ＝ － ｒｓｉｎθ １ ＋
ｌ２
ｒｃｏｓ θ － ｒ２ ｓｉｎ２ θ
刻 Ｐ 点的速度为（Ｂ）
（Ａ） ｖ ＝ ９４畅２ ｉ ＋ １２５畅６ ｊ ＋ １５４畅０ ｋ （Ｂ） ｖ ＝ － ２５畅１ ｉ ＋ １８畅８ ｊ
（Ｃ） ｖ ＝ １５畅１ ｉ ＋ １８畅８ ｊ
（Ｄ） ｖ ＝ ３１畅４ ｋ
５畅２ 填空题
（１）已知一刚体绕定轴转动的运动方程为 φ ＝ １０ ＋ ８ ｔ － ５ ｔ２ （ＳＩ ） ，则 ｔ ＝ ０畅２ ｓ
ｒａｄ
５畅１０ 内燃机曲柄 ＯＡ 以匀角速度 ω０ 转动 ，通过连杆 Ａ Ｂ 带动活塞在汽缸中
. 往复运动 ．已知 ＯＡ ＝ ｒ ，Ａ Ｂ ＝ ｌ ，试利用变角 θ 求活塞的速度 ．
w 解 按题意 ，Ｂ 点的速度即为活塞的速度 ，由几何关系有
ｘ ＝ ＯＢ ＝ ｒｃｏｓ θ ＋ ｌｃｏｓ β ＝ ｒｃｏｓ θ ＋ ｌ２ － ｒ２ｓｉｎ２ θ
（Ａ） 某瞬时平动刚体上各点速度大小相等 ，但方向可以不同
w （Ｂ） 平动刚体上各点的轨迹一定是直线 w（Ｃ） 平动刚体上各点的轨迹可以是曲线 w（２）一刚体以每分钟 ６０ 转绕 Ｚ 轴正方向做匀速转动 ．设这时该刚体上一点 Ｐ
的位矢为 ｒ ＝ ３ ｉ ＋ ４ ｊ ＋ ５ ｋ ，其单位为 １０ － ２ ｍ ，若以 １０ － ２ ｍｓ － １ 为速度单位 ，则该时
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c 即 Ｍ 点的轨迹是以（ ｌ１ ，０）点为圆心 ，半径为 ｌ 的圆 ．从此题可以看出 ，平动刚 . 体上各点的轨迹相同 ．
５畅４ 一直径为 １８ ｃｍ 的转轮 ，轮缘上有一颗小螺丝钉 ．（１ ）当该轮以 ２０００ ｒ／
w ｍｉｎ 的角速度转动时 ，求螺丝钉的速率和法向加速度 ；（２）若该轮的转速由 ２０００ ｒ／
Ⅱ
的角速度为３０
（
ｎｒπ ａ－
ｂｔ）
，角加速度
. 为３０
（
ｎｒｂπ ａ－ｂ
ｔ
）２
．当 轮
Ⅰ
移动到
ｄ＝
ｒ 时 ，轮 Ⅱ 边 沿 上 一 点 的 加 速 度 大 小 为
w ｎπ Ｒ a ３０
ｂ２ ｒ２
＋
ｎ２ π２ ９００
．（ ａ ，ｂ 为常量）
５畅３ 在图 ５畅３ 所示的四连杆机构中 ，Ｏ１ Ａ ＝ Ｏ２ Ｂ ＝ ｌ ，Ａ Ｂ ＝ Ｏ１ Ｏ２ ，两杆各自
.ａｎ１ ＝ Ｒω２１ ≈ ３９４６畅４ ｍ／ｓ
（２）因为转轮的运动是匀变速转动 ，因而其角加速度为
wβ
＝
ω２ － ω１ Δｔ
＝
２π（ ｎ２ － ｎ１ ） ６０Δ ｔ
ww ＝
π ３０
４０００ － ２０００ ５ × ６０
≈
０畅６９８
（ｒａｄ／ｓ２ ）
螺丝钉在末时刻的切向加速度和加速度的大小为
１０
（ｓ）
w 即需要 １０ ｓ 时间 ．
w（２）由于是匀减速转动 ，所以 Ａ 轮的角加速度为
β＝
ω２ － ω１ Δｔ
＝
２π（ ｎ２ － ｎ１ ） ６０Δ ｔ
＝
２π（３００ － ６００） ６０ × ６０
＝
－ ０畅５２
（ｒａｄ／ｓ２ ）
在 １ ｍｉｎ 内转过的圈数为
Δφ
＝
ω１ ｔ ＋
１ ２
βｔ２
＝
２π
× ６００ ６０
×
６０
－
１ ２
× ０畅５２ × ６０２
＝ ２８３３畅９ （ｒａｄ） ＝ ４５１ ｒ
· ９８ ·
５畅７ 有一刚体绕固定轴转动 ．在垂直于轴的平面上有任意两点 Ａ 和 Ｂ ，它们 的速度分别为 ｖ Ａ 和 ｖＢ ．证明 ｖ Ａ 和 ｖＢ 在 Ａ Ｂ 连线上的分量相等 ，并说明其物理意 义．
解 因为飞轮作匀加速转动 ，所以
θ＝
１ ２
βｔ２
，
ω
＝
βｔ
因而 ，飞轮的角加速度为
β
＝
２θ ｔ２
＝
２
× ２π × ３６００ （２ × ６０）２
＝
π ｒａｄ／ｓ２
第 ２５ ｓ 末的角速度为
ω ＝ ２５π ＝ ７８畅５４ ｒａｄ／ｓ ５畅６ 如图 ５畅６ 所示 ，发电机的皮带轮 Ａ 被汽轮机的皮带轮 Ｂ 带动 ，Ａ 轮和 Ｂ 轮的半径分别为 ｒ１ ＝ ３０ ｃｍ ，ｒ２ ＝ ７５ ｃｍ ．已知汽轮机在启动后以匀角加速度 ０畅８π
（４）摩擦轮传动系统 ，如图 ５畅２ （４ ）所示 ．已知
m 主动轮 Ⅰ 每分钟转 ｎ 圈 ，它与从动轮 Ⅱ 的接触点
o Ａ 沿箭头所示方向按规律 ｄ ＝ ａ － ｂｔ 而变化 ．轮
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Ⅰ 半径 ｒ ，轮 Ⅱ 半径 Ｒ （长度单位 ｃｍ ） ，则以 ｄ 的
c 图 ５畅２（４）
函数表示的轮
即 ｖ Ａ 和ｖ Ｂ 在 Ａ Ｂ 连线上的分量相等 ．
w 因为 Ａ 、Ｂ 是刚体上的两点 ，间距不变 ，因而在 Ａ Ｂ 连线上 ，Ａ 、Ｂ 两点的相对
w 速度应为零 ．
w５畅８ 试求地球赤道上一点在地球自转中的向心加速度与地球绕太阳运动时
的向心加速度大小之比 ．假定地球绕太阳运动的轨道是圆形的 ．地球半径为 ６３７０
它在 １０ ｍｉｎ 末时的角速度为２５畅１３ ｒａｄ· ｓ － １ ；第二个 １０ ｍｉｎ 内它转过的圈数为
３６００ 圈 ．
（３）一个质点从静止开始以匀角加速度 β 沿
半径为 Ｒ 的圆周运动 ，如果在某时刻 ，此质点的加
速度 ａ 与切向加速度 ａτ 成 ４５°角 ，则此时刻质点
已转过的角度为０畅５ ｒａｄ ．
d Ａ 和 Ｂ 两点的速度ｖＡ 和ｖＢ 在 Ａ Ｂ 连线上的投影分别可表示为 hｖＡｑ ＝ ｖＡ · ｑ ＝ ｖＡ ｃｏｓ α
ｖＢｑ ＝ ｖＢ · ｑ ＝ ｖＢｃｏｓ β
k
因为
ｖＡ
＝
ｒＡ ω
，ｖＢ ＝
ｒＢ ω
，ｃｏｓ α ＝
ｄ ｒＡ
，ｃｏｓ β ＝
ｄ ｒＢ
，所以
. ｖＡｑ ＝ ｄω ＝ ｖＢｑ
ｒ ＝ ０畅３ ｉ ＋ ０畅４ ｊ ＋ ０畅９ ｋ ｍ
m 试求 Ｐ 点的速度和加速度 ． 解 依题意 ，该刚体的角速度矢量为 o ω ＝ ２πｋ
c 由定轴转动刚体上一点的速度和加速度公式 ，有 ｖ ＝ ω × ｒ ＝ ２π ｋ × （０畅３ ｉ ＋ ０畅４ ｊ ＋ ０畅９ ｋ） . ＝ － ０畅８π ｉ ＋ ０畅６π ｊ （ｍ／ｓ） ａ ＝ β× ｒ＋ ω × ｖ