河北省衡水中学2020届高三上学期期中考试 数学(理)
河北省衡水市冀州中学2020届高三数学上学期期中试题 理(含解析)
河北省衡水市冀州中学2020届高三数学上学期期中试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合2{|1}A x x =<，集合2{|log 0}B x x =<，则A B =I （ ）A. (0,1)B. (1,0)-C. (1,1)-D.(,1)-∞【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式得集合A 与B ，再根据交集定义得结果.【详解】根据题意：集合{|11}A x x =-<<，集合{|01}B x x =<<，(0,1)A B ∴=I 故选：A ．【点睛】本题考查一元二次不等式与对数不等式解法以及交集的定义，考查基本分析求解能力，属基础题.2.复数5)z i i i =+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为（ ） A. 2i - B. 2i + C. 4i - D. 4i +【答案】A 【解析】试题分析：5)2z i i i i =--=-,所以复数z 的共轭复数为2i +,故选B. 考点：复数的运算与相关概念.3.已知平面向量,a b r r 满足||3a =r ，b =v a b +r r 与a r 垂直，则a r 与b r的夹角为（ ）A.6πB.3π C.23π D.56π 【答案】D 【解析】a b+Q v v 与ar 垂直，()0,9,9a b a a a b a b a ∴+⋅=∴⋅=-⋅=⋅=-v v v v v v vv v ，cos,a ba ba bvvvvvv⋅∴===，a∴r与bv的夹角为56π，故选D.4.下列命题中，说法正确的个数是（）（1）若p∨q为真命题，则p，q均为真命题（2）命题“∃x0∈R，02x≤0”的否定是“∀x∈R，2x>0”（3）“5a≥”是“∀x∈[1，2]，x2﹣0a≤恒成立”的充分条件（4）在△ABC中，“a b>”是“sin A＞sin B”的必要不充分条件（5）命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】(1)根据真值表判断,(2)(3)(4)根据充分必要条件的用法以及特称全称量词的用法进行判断(5)根据否命题的形式判断即可.【详解】对(1),p∨q为真命题只需p,q中一真即可满足,故(1)不正确.(2)正确.对(3),“∀x∈[1,2],x2﹣0a≤恒成立”,则2x a≤恒成立,即4a≥,又5a≥为4a≥的充分条件,故(3)正确.对(4),三角形正弦定理sin sina bA B= ,故sin sina b A B>⇔>,即“a b>”是“sin A＞sin B”的充要条件,故(4)错误.对(5),命题“若x2＝1,则x＝1”的否命题为：“若21x≠,则x≠1”,故 (5)错误.故选：B【点睛】本题主要考查命题真假的判断,充分必要条件的关系以及否命题,属于基础题型.5.设函数()()321f x x a x ax=+-+．若()f x为奇函数，则曲线()y f x=在点()00，处的切线方程为( )A. 2y x=- B. y x=- C. 2y x= D. y x=【答案】D【解析】【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a =，进而得到()f x 的解析式，再对()f x 求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =， 所以3()f x x x =+，2()31x f 'x =+， 所以'(0)1,(0)0f f ==，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)y f f x -=， 化简可得y x =，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线()y f x =在某个点00(,())x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得'()f x ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.6.已知函数()sin f x x x =，先将()f x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平移()0θθ>个单位长度，得到的图象关于y 轴对称，则θ的最小值为（ ）A.6πB.3π C.512π D.712π 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式整理出()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；由三角函数图象的平移得2sin 223y x πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由图象关于y 轴对称，知函数为偶函数，则232k ππθπ-+=+，k Z ∈，进一步得到θ的最小值．【详解】由题意得：()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭将()f x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的12得：2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所有点向右平移()0θθ>个单位长度得：2sin 223y x πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭2sin 223y x πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭Q 关于y 轴对称 ∴函数2sin 223y x πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数232k ππθπ∴-+=+，k Z ∈ 122k ππθ∴=--，k Z ∈0θ>Q ∴当1k =-时，θ的最小值为：512π 本题正确选项：C【点睛】本题考查了三角函数图象的平移及三角函数图象的性质，关键是根据函数关于y 轴对称可得函数为偶函数，属中档题. 7.已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减, 则ω的取值范围是（ ） A. 13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. (]0,2 【答案】C 【解析】试题分析：当，单调递减，故所以，，所以.考点：三角函数的单调性.8.已知双曲线C ：22221x y a b－＝（a ＞b ＞0）两条渐近线与圆O ：x 2＋y 2＝5交于M ，N ，P ，Q 四点，若四边形MNPQ 的面积为8，则双曲线C 的渐近线方程为 A. y ＝±14x B. y ＝±12x C. y 2x D. y ＝x 【答案】B 【解析】 【分析】求出交点坐标，利用四边形MNPQ 为矩形面积为8，且根据双曲线的对称性，2c c⋅=，结合222c a b =+可得12b a =，从而可得结果. 【详解】依题意，不妨设点(),M x y 在第一象限，联立225,,x y by x a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中222c a b =+）， 可知四边形MNPQ 为矩形且面积为8，且根据双曲线的对称性，2c c⋅=， 即225c ab =，又因为222c a b =+， 所以可得()2222252520b ba bab a a+=⇒⨯-⨯+=，解得12b a =（2ba=舍去）， 故所求渐近线方程为12y x =±，故选B. 【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的渐近线，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求双曲线的渐近线方程，关键是得到关于,a b 的齐次方程. 9.若函数()1sin 2sin 3f x x x a x =-+在R 上单调递增，则a 的取值范围是( ) A. []1,1-B. 11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】试题分析：()21cos 2cos 03f x x a x =-+'…对x R ∈恒成立， 故()2212cos 1cos 03x a x --+…，即245cos cos 033a x x -+…恒成立， 即245033t at -++…对[]1,1t ∈-恒成立，构造()24533f t t at =-++，开口向下的二次函数()f t 的最小值的可能值为端点值，故只需保证()()1103{1103f a f a -=-=+……，解得1133a -剟．故选C ．【考点】三角变换及导数的应用【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性. 【此处有视频，请去附件查看】10.已知,,A B C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且2AF CF =，则该双曲线的离心率是（ ）A.5317 17 D.94【答案】B【解析】 【分析】根据题意，连接','AF CF ，构造矩形'FAF B ；根据双曲线定义表示出各个边长，由直角三角形勾股定理求得a c 、 的关系，进而求出离心率。
2020届河北衡水中学高三理科数学试卷及答案
2020届河北衡水中学高三年级期中考试理科数学试卷本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知集合S={1，2}，T={x|x2＜4x﹣3}，则S∩T=（）A．{1} B．{2} C．1 D．22．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，则|z1+z2|等于（）A．2 B． C．1 D．33．设正数x，y满足x+y=1，若不等式对任意的x，y成立，则正实数a的取值范围是（）A．a≥4 B．a＞1 C．a≥1 D．a＞44．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（）A． B．C．D．5．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜206．如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（）A．（0，] B．（，2]C．（，2] D．（2，4]7．数列{a n}中，对任意n∈N*，a1+a2+…+a n=2n﹣1，则a12+a22+…+a n2等于（）A．（2n﹣1）2 B． C．4n﹣1 D．8．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B． C． D．9．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0），且函数f（x）的部分图象如图所示，则有（）A．f（﹣）＜f（）＜f（）B．f（﹣）＜f（）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（﹣）D．f（）＜f（﹣）＜f（）10．若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．611．若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣1）B．（﹣，﹣1] C．（﹣，﹣2）D．（﹣，﹣2]12．已知f′（x）为函数f（x）的导函数，且f（x）=x2﹣f（0）x+f′（1）e x﹣1，若g（x）=f（x）﹣x2+x，则方程g（﹣x）﹣x=0有且仅有一个根时，a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪{1} B．（﹣∞，1] C．（0，1] D．[1，+∞）第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值．14．设数列{a n}的n项和为S n，且a1=a2=1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则{a n}的通项公式a n= ．15．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如下图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是．X ﹣2 0 4f（x） 1 ﹣1 116. 已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）△ABC中，已知，记角A，B，C 的对边依次为a，b，c．（1）求∠C的大小；（2）若c=2，且△ABC是锐角三角形，求a2+b2的取值范围．18. （本小题满分12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．19. （本小题满分12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．20. （本小题满分12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．21. （本小题满分12分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆C的方程是x2+y2﹣4x=0，圆心为C，在以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1：ρ=﹣4sinθ与圆C相交于A，B两点．（1）求直线AB的极坐标方程；（2）若过点C（2，0）的直线C2：（t是参数）交直线AB于点D，交y轴于点E，求|CD|：|CE|的值．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）．（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．理科数学参考答案一．选择题1-5 B C C DA 6-10 A D B D C 11-12 D A．二．填空题13．﹣8 14.．16.．三．解答题17．解：（1）依题意：，即，又0＜A+B＜π，∴，∴，................4分（2）由三角形是锐角三角形可得，即由正弦定理得∴，，，======，∵，∴，∴，即...............12分18. ．解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，知a1=2满足该式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n．（2分）（Ⅱ）∵（n≥1）①∴②（4分）②﹣①得：，b n+1=2（3n+1+1），故b n=2（3n+1）（n∈N*）．（6分）（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，∴T n=c1+c2+c3+…+c n=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分）令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①则3H n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得：﹣2H n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…（10分）∴数列{c n}的前n项和…（12分）19.解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径，即，解得：a=﹣1或a=3，当截距为零时，设y=kx，同理可得或，则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．-- -------6分（2）∵切线PM与半径CM垂直，∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．∴2x1﹣4y1+3=0．∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离，∴由，可得故所求点P的坐标为．--12分20.证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…........................................（4分）解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）21.解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；.........2分（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．故[f（x）]min==．若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．......................7分（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而（x∈[1，e]）令（x ∈[1，e]），又，当x ∈[1，e]时，x ﹣1≥0，lnx ≤1，x+2﹣2lnx ＞0，从而g'（x ）≥0（仅当x=1时取等号），所以g （x ）在[1，e]上为增函数，故g （x ）的最小值为g （1）=﹣1，所以a 的取值范围是[﹣1，+∞）．.......12分22.解：（1）在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，极坐标与直角坐标有如下关系 x=ρcosθ，y=ρsinθ，曲线C 1：ρ=﹣sinθ，∴ρ2=﹣4ρsinθ，∴x 2+y 2=﹣4y ， ∴曲线C 1：x 2+y 2+y=0，∴直线AB 的普通方程为：（x 2+y 2﹣4x ）﹣（x 2+y 2+4y ）=0， ∴y=﹣x ，∴ρsinθ=﹣ρcosθ，∴tanθ=﹣， ∴直线AB 极坐标方程为：)(61R ∈-=ρθ．.............5分 （2）根据（1）知，直线AB 的直角坐标方程为y=﹣x ， 根据题意可以令D （x 1，y 1），则，又点D 在直线AB 上，所以t 1=﹣（2+t 1），解得 t 1=﹣，根据参数方程的定义，得|CD|=|t 1|=，同理，令交点E （x 2，y 2），则有，又点E 在直线x=0上，令2+t 2=0，∴t 2=﹣，∴|CE|=|t 2|=，∴|CD|：|CE|=1：2．............................10分23.解：（1）∵f （x ）=m ﹣|x ﹣3|，∴不等式f （x ）＞2，即m ﹣|x ﹣3|＞2，∴5﹣m ＜x ＜m+1，而不等式f （x ）＞2的解集为（2，4），∴5﹣m=2且m+1=4，解得：m=3；........5分（2）关于x 的不等式|x ﹣a|≥f （x ）恒成立⇔关于x 的不等式|x ﹣a|≥3﹣|x ﹣3|恒成立 ⇔|x ﹣a|+|x ﹣3|≥3恒成立⇔|a ﹣3|≥3恒成立，由a ﹣3≥3或a ﹣3≤﹣3，解得：a ≥6或a ≤0．..............10分。
河北省衡水中学高三(上)期中数学试卷(理科)
7.【答案】D
【解析】解： ∵ 푓(푥) = |12−4푠푖푛푥푐표푠푥| = |12−2푠푖푛2푥| ∴ 푓(푥)的最小正周期为푇 = 휋； 又 ∵ 푓(푥−푎) = −푓(푥 + 푎)恒成立， ∴ 푓(푥) = −푓(푥 + 2푎)⇒−푓(푥) = 푓(푥 + 2푎)， 而−푓(푥) = 푓(푥−2푎)， ∴ 푓(푥 + 2푎) = 푓(푥−2푎)⇒푓(푥) = 푓(푥 + 4푎)，
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18. 已知等差数列{푎푛}前 n 项和푆푛，等比数列{푏푛}前 n 项和为푇푛，푎1 = 1，푏1 = 1，푎 +
2
푏2 = 4．
(1)若푎3 + 푏3 = 7，求数列{푏푛}的通项公式；
(2)若푇3 = 13，求푆5．
19.
已知圆
D：(푥−2)2
+(푦−1)2
=
1 ，点
显然 PM 最小时，四边形面积最小，此时 PC 最小． ∵ 푃是直线푦 = 2 2푥−4上的动点，
∴
푃퐶最小值
=
|0−1−4| 8+1
=
53，
∴ 푃푀最小值 = ( 53)2−12 = 43，
∴
四边形
PMCN
面积的最小值为：2
×
1 2
×
4 3
×
1
=
43．
故选：A．
6.【答案】C
【解析】解：由函数푓(푥) = 퐴푠푖푛(휔푥 + 휑)(퐴 > 0,휔 > 0,0 < 휑 < 휋2)的部分图象，
在定点 P，使得以弦 AB 为直径的圆恒过 P 点？若存在，求出 P 点的坐标和 △ 푃퐴퐵
河北省衡水中学2020届高三数学上学期七调考试试卷 理(含解析)
2020学年度高三年级上七调考试数学（理科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设为虚数单位,复数满足，则共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件求出复数，然后再求出共轭复数，从而可得其虚部．【详解】∵，∴，∴，∴复数的虚部为．故选C．【点睛】本题考查复数的乘除法的运算及共轭复数的概念，其中正确求出复数是解题的关键，对于复数的运算，解题时一定要按照相关的运算法则求解，特别是在乘除运算中一定不要忘了．2.已知集合，若，则为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,选A.3.已知，，，则a，b，c满足A. a<b<cB. b<a<cC. c<a<bD. c<b<a【答案】B【解析】【分析】根据对数的运算性质，化简得，，进而得，又由，即可得到答案.【详解】由题意，可得，，又由为单调递增函数，且，所以，所以，又由，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，其中解答中合理应用对数函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.如图，在中，点在线段上，且，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：从A点开始沿着三角形的边转到D，则把要求的向量表示成两个向量的和，把写成的实数倍，从而得到，从而确定出，最后求得结果.详解：，所以，从而求得，故选B.点睛：该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，求得结果.5.已知定义在上的奇函数满足，若，，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：因为是奇函数且满足，所以函数的周期为，，又，所以，可得的取值范围．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的对称性；3、函数的周期性；4、分式不等式．6.已知点是双曲线的右焦点,点是该双曲线的左顶点,过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点,若是钝角,则该双曲线的离心率的取值范围是 ( ) A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意，得为双曲线的通径，其长度为，因为,所以；则,即，即，即，解得.考点：双曲线的几何性质.7.如图，要测量底部不能到达的某铁塔的高度，在塔的同一侧选择，两观测点，且在，两点测得塔顶的仰角分别为，.在水平面上测得，，两地相距，则铁塔的高度是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合几何关系和余弦定理得到关于塔高的方程，解方程即可求得塔高.详解：设,则,,在中,由余弦定理知,解得米,(舍去).故铁塔的高度为600米.本题选择D选项.点睛：本题主要考查了余弦定理的应用.考查了学生空间观察能力和运用三角函数解决实际问题的能力.8.如果执行下面的程序框图，那么输出的( )A. 2550B. －2550C. 2548D. －2552【答案】C【解析】试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=-2+0+2+…+98+100，并输出S值．解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=-2+0+2+…+98+100，∵S=-2+0+2+…+98+100=2548,故选C考点：流程图点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．9.如图，半径为的圆内有四个半径相等的小圆，其圆心分别为，这四个小圆都与圆内切，且相邻两小圆外切，则在圆内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，易知四点在以为圆心，为半径的圆上，连接.设这四个小圆的半径为，则，.因为圆O内的这四个小圆都与圆内切，且相邻两小圆外切，所以，所以，即，解得，故所求事件的概率为.故选D.10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）正（主）视图侧（左）视图俯视图A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】该几何体为正方体ABCD﹣A′B′C′D′切去几何体AEF﹣A′B′D′得到的．【详解】由三视图可知该几何体为棱长为2正方体ABCD﹣A′B′C′D′切去几何体AEF﹣A′B′D′得到的．其中E，F分别是AB，AD的中点，如图，∴S2×22×2+2×2（2）20．故选：A．【点睛】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，作出直观图是关键．11.若函数的图象向左平移个单位后得到的图象对应的函数是奇函数，则直线的斜率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式将f（x）化为 sin（x+∅），（tanφ），将此图象平移后得到的图象对应的函数解析式为g（x） sin（x∅），再由g（x）是奇函数可得kπ，k∈z，再根据tan∅＝tan（kπ），求得的值，即可求得直线ax﹣by+c＝0的斜率的值．【详解】∵函数f（x）＝a sin x+b cos x sin（x+∅），（tanφ），把函数f（x）的图象向左平移个单位后得到的图象对应的函数是g（x） sin（x∅），再由g（x）是奇函数可得kπ，k∈z．∴tan∅＝tan（kπ），即．故直线ax﹣by+c＝0的斜率为，故选：D．【点睛】题主要考查辅助角公式，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，函数的奇偶性，直线的斜率，属于中档题．12.设椭圆：的左，右顶点为，.是椭圆上不同于，的一点，设直线，的斜率分别为，，则当取得最小值时，椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设出的坐标,得到(用,表示,求出，令，则．利用导数求得使取最小值的，可得，则椭圆离心率可求．【详解】解：，，设，，则，则，，，，令，则．，当时，函数取得最小值（2）．．，故选：．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知的展开式中，含项的系数为，则实数的值为__________．【答案】【解析】【分析】根据展开式的通项公式，写出的展开式中含x2项的系数，列方程求出a的值．【详解】展开式的通项公式为T r+1•（﹣2x）r，∴（2+ax）（1﹣2x）5的展开式中，含x2项的系数为，解得a＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题．14.某所学校计划招聘男教师名，女教师名，和须满足约束条件，则该校招聘的教师人数最多是__________名.【答案】【解析】【分析】由题意由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件，又不等式组画出可行域，又要求该校招聘的教师人数最多令z＝x+y，则题意求解在可行域内使得z取得最大．【详解】由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件，画出可行域为：对于需要求该校招聘的教师人数最多，令z＝x+y⇔y＝﹣x+z则题意转化为，在可行域内任意去x，y且为整数使得目标函数代表的斜率为定值﹣1，截距最大时的直线为过⇒（5，5）时使得目标函数取得最大值为：z＝10．故答案为：10．【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.15.已知则 ________.【答案】【解析】【分析】对已知条件，两边平方再相加即可得到答案．【详解】∵，∴（cosα+cosβ）2=，（sinα+sinβ）2=．两式相加，得2+2cos（α﹣β）=1．∴cos（α﹣β）=．故答案为：【点睛】本题主要考查两角和与差的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.正方体的棱长为，点，，分别是、、的中点，以为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高为__________．【答案】【解析】【分析】分别取过C点的三条面对角线的中点，则此三点为棱柱的另一个底面的三个顶点，利用中位线定理证明．于是三棱柱的高为正方体体对角线的一半．【详解】连结A1C，AC，B1C，D1C，分别取AC，B1C，D1C的中点E，F，G，连结EF，EG，FG．由中位线定理可得PE A1C，QF A1C，RG A1C．又A1C⊥平面PQR，∴三棱柱PQR﹣EFG是正三棱柱．∴三棱柱的高h＝PE A1C．故答案为：．【点睛】本题考查了正棱柱的结构特征，作出三棱柱的底面是计算棱柱高的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列中，，前项和.（1）求数列的通向公式；（2）若从数列中依次取出第，，，，，项，按原来的顺序排列成一个新的数列，试求新数列的前项和.【答案】(1)(2)，【解析】(1)由题意得，解得，所以．(2)，则==18.某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为，当时，产品为一级品；当时，产品为二级品，当时，产品为三级品，现用两种新配方（分别称为配方和配方）做实验，各生产了件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果：（以下均视频率为概率）配方的频数分配表：指标值分组频数配方的频数分配表：指标值分组频数（1）若从配方产品中有放回地随机抽取件，记“抽出的配方产品中至少件二级品”为事件，求事件发生的概率；（2）若两种新产品的利润率与质量指标满足如下关系：，其中，从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？【答案】（1）；（2）从长期来看，投资A配方产品的平均利润率较大。
河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期期中数学试卷2 (含答案解析)
河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期期中数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2−5x +6≥0}，B ={x|−1≤x <3}，则A ∩B =( )A. [−1,2]B. [−1,3]C. [2,3]D. [−1,+∞)2. 设i 为虚数单位，若(y +1)+(x +y)i =4+7i ，其中x ，y 是实数，则|x +yi |=A. 3B. 4C. 5D. 63. 如图，已知AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，用OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A. 13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −43OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +43OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. −13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +43OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. −13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −43OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 4. 设a =log 32，b =ln2，c =5−12，则( )A. a <b <cB. b <c <aC. c <a <bD. c <b <a5. 设命题p ：5≥3，命题q ：{1}⊆{0,1，2}，则下列命题中为真命题的是( )A. p ∧qB. ￢p ∧qC. p ∧￢qD. ￢p ∨￢q6. 已知等差数列{a n }中，且a 4+a 12=10，则前15项和S 15=( )A. 15B. 20C. 21D. 757. 一个四面体的三视图及尺寸如图所示，则在该四面体的四个面中，最大的面积值为( )A. 15B. 16C. 12√2D. 188. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右顶点为A ，右焦点为F ，若以A 为圆心，过点F 的圆与直线3x −4y =0相切，则双曲线的离心率为( )A. 74B. 75C. 85D. 29. 若过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.10. 已知函数f(x)=2sin(π4−2x)，则函数f(x)的单调递减区间为( )A. [3π8+2kπ,7π8+2kπ](k ∈Z)B. [−π8+2kπ,3π8+2kπ](k ∈Z)C. [3π8+kπ,7π8+kπ](k ∈Z)D. [−π8+kπ,3π8+kπ](k ∈Z)11. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，点A ∈l ，点B ∈C ，若FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|FB|=( ) A. 4 B. 8C. 43D. 8312. 已知正四棱锥S −ABCD 中，SA =2√3，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为( )A. 1B. √3C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设a ，b ，c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a//b ，b//c ，则a//c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a//c ；③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交； ④若a//b ，b ⊥c ，则a ⊥c ． 上述命题中正确的是________.(填序号)14. 执行如图所示的程序框图，若输入的A ，S 分别为0，1，则输出的S =________．15.已知实数x，y满足{2x−y≤0,x−y+1≥0,y≥0,则x+2y的最大值为__________．16.函数f(x)=√x2−6x+13+√x2−10x+29的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列{a n}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)求1S1+1S2+1S3+⋯+1S10的值．18.在△ABC中，∠B=π4，AB=4√2，点D在BC上，且CD=3，cos∠ADC=√55．(I)求sin∠BAD；(Ⅱ)求BD，AC的长．19.如图所示，在四棱锥S−ABCD中，SA⊥平面ABCD.底面ABCD是梯形，AB//CD.DA⊥AB，BC⊥SC，SA=AD=3，AB=6，点E在棱SD上，且V S−ACE=2V E−ACD．(1)求证：BC⊥平面SAC；(2)求二面角S−AE−C的余弦值．20.已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为√3，且椭圆C上的点到两个焦点的距离2之和为4.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设A为椭圆C的左顶点，过点A的直线l与椭圆交于点M，与y轴交于点N，过原点与l平行的直线与椭圆交于点P.证明：|AM|⋅|AN|=2|OP|2．+1)．21.已知f(x)=e x−1+ln(xa(1)若函数f(x)在(−1,0)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若a∈(0,1]且x>0，证明：f(x)>2x．22.已知平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为{x=1+√5cosα(α为参数)，直线l1：x=0，直y=2+√5sinα线l2：x−y=0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴(取相同的长度单位)建立极坐标系．(1)求曲线C和直线l1，l2的极坐标方程；(2)若直线l1与曲C交于O，A两点，直线l2与曲线C交于O，B两点，求线段AB的长．23.设函数f(x)=|2x−3|．(1)求不等式f(x)>5−|x+2|的解集；(2)若g(x)=f(x+m)+f(x−m)的最小值为4，求实数m的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题． 求出集合A ，利用交集运算即可求解．解：A ={x|x 2−5x +6≥0}={x|x ≥3或x ≤2}， B ={x|−1≤x <3}， 所以A ∩B =[−1,2]． 故选A ．2.答案：C解析：本题考查复数相等的充要条件及复数的模的概念，属于基础题，由题意，利用复数的相等列出方程解出x ，y 即可．解：∵(y +1)+(x +y)i =4+7i ，其中x ，y 是实数， ∴{y +1=4x +y =7，解得{y =3x =4， ∴|x +yi|=|4+3i|=√42+32=5． 故选C ．3.答案：C解析：OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +43(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +43OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，选C 4.答案：C解析：本题考查指数函数、对数函数和幂函数的性质，属中档题． 解：∵b =ln2>0，，，又，c=5−12=√5<12，∴c<a<b．故选C．5.答案：A解析：解：5≥3成立，故命题p是真命题，{1}⊆{0,1，2}，正确，故q是真命题，则p∧q为真命题，其余为假命题，故选：A．根据条件判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假关系的判断，根据条件判断p，q的真假是解决本题的关键．6.答案：D解析：本题考查了等差数列的通项公式及其性质、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．等差数列{a n}的性质可得：a1+a15=a4+a12=10，再利用求和公式即可得出．解：由等差数列{a n}的性质可得：a1+a15=a4+a12=10，∴前15项和S15=15(a1+a15)2=15×102=75．故选：D．7.答案：D解析：本题考查由三视图求几何体的表面积，属中档题．解决本题的关键是得到该几何体的形状．解：作一个长宽高分别为6,6,4的长方体，易知该四面体为ABCD，进一步可求得S△BCD=12×6×6=18,S△BAD=12×6×5=15，。
河北省衡水中学2020届高三上学期第二次调研考试(理数)
河北省衡水中学2020届高三上学期第二次调研考试数 学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共4页，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知53cos -=x ，且ππ<<x 2，则x x sin tan +的值是 ( ) A ．1532- B ．158- C ．158 D ．15322．已知2log ,3.0log ,2.0323===c b a ，则 ( )A ．c b a >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．b a c >>3．已知奇函数)(x f 满足)4()(+=x f x f ，当)1,0(∈x 时，xx f 2)(=，则=)12(log 2f ( )A ．34-B ．3223 C ．43 D ．83-4．已知圆4:22=+y x O 与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆0顺时针运动3π弧长达到点N ，以z 轴的正半轴为始边，ON 为终边的角记为α，则=αsin ( )A ．33 B ．21 C ．22 D ．23 5．函数),0()0,(,sin 2)(ππ -∈+=-x xe e xf xx 的图象大致为 ( )6．如图是函数⎪⎭⎫⎝⎛<<>+=20,0)sin(πϕωϕωx y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-65,6ππ上的图象，将该图象向右平移)0(>m m 个单位长度后，所得图象关于直线4π=x 对称，则m 的最小值为( )A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π7．已知函数)(||)(xx e e x x f --=，对于实数”“0,,>+b a b a 是”“0)()(>+b f a f 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．已知⎪⎭⎫⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0,2,0πβπα，且αααββ2sin cos 22cos 1cos sin ++=，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛++42tan πβα( ) A ．－1 B ．1 C ．322 D ．322- 9．已知函数)(cos sin )(x g x x x f ，-=是)(x f 的导函数，则下列结论中错误的个数是( ) ①函数)(x f 的值域与)(x g 的值域相同；②若0x 是函数)(x f 的极值点，则0x 是函数)(x g 的零点；③把函数)(x f 的图象向右平移2π个单位长度，就可以得到函数)(x g 的图象；④函数)(x f 和)(x g 在区间⎪⎭⎫⎝⎛-4,4ππ上都是增函数． A ．0 B ．1 C ．2 D ．310．对于函数x y c o s =，若存在实数n x x x ,,,21 满足π4021≤<<<≤n x x x ，且-)(|1x f ,2,8|)()(||)()(||)(1322≥=-++-+-n x f x f x f x f x f n n *N n ∈，则n 的最小值为 ( )A ．3B ．4C ．5D ．611．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∞∈--=),,2[),2(21),2,(|,1|1)(x x f x x x f 则函数1)()(-=x xf x F 的零点个数为( )A ．7B ．6C ．5D ．4 12．已知2||,0πϕω≤>，在函数)sin()(ϕω+=x x f 与函数)cos()(ϕω+=x x g 图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π，当⎪⎭⎫⎝⎛-∈4,6ππx 时，函数)(x f 的图象恒在x 轴的上方，则ϕ的取值范围是 ( ) A ．⎪⎭⎫⎝⎛3,6ππ B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2,3ππ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知曲线x x y -=3在点),(00y x 处的切线平行于直线022=--y x ，则0x = . 14．已知定义域为R 的函数)(x f 满足)()(x f x f >'，则不等式)12()(1-<-x f x f ex 的解集为 .15．如图阴影部分是由曲线22x y =和322=+y x 及x 轴围成的部分封闭图形，则阴影部分的面积为 ．16．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长a ，b ，c 成等比数列，21cos )cos(=--B C A ，延长BC 至D ，若BD = 2，则△ACD 面积的最大值为 ． 三、解答题（共70分。
河北省衡水市衡水中学2020届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
2019-2020学年度高三年级上学期期中考试数学试卷(理科)一、选择题1.已知曲线()cos 3f x x x x =+在点()()0,0f 处的切线与直线410ax y ++=垂直，则实数a 的值为（ ） A. -4 B. -1C. 1D. 4【答案】C 【解析】 【分析】先求出()f x 在点()()0,0f 处的切线斜率，然后利用两直线垂直的条件可求出a 的值. 【详解】由题意，()cos sin 3f x x x x '=-+，()0cos034f '=+=，则曲线()f x 在点()()0,0f 处的切线斜率为4，由于切线与直线410ax y ++=垂直，则414a -⨯=-，解得1a =.故选C.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了两直线垂直的性质，考查了计算能力，属于基础题.2.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2578220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列且77b a =，则212b b 等于（ ）A.49B.32C.94D.23【答案】C 【解析】由题意可得：()()2225787777722222320a a a a d a a d a a -+=--++=-=，7730,2a a ≠∴=Q ，则：222127794b b b a ===. 本题选择C 选项.3.对于函数()f x ，若存在区间[,]A m n =使得{|(),}y y f x x A A =∈=则称函数()f x 为“同域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“同城区间”.给出下列四个函数：①()cos2f x x π=；②2()1f x x =-；③2()|1|f x x =-；④2()log (1)f x x =-.存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②C. ②③D. ①②④【答案】A 【解析】 ①()cos2f x x π= ，x∈[0，1]时，f （x ）∈[0，1]，所以①存在同域区间；②()21f x x =-，x∈[-1，0]时，f （x ）∈[-1，0]，所以②存在同域区间；③()21f x x =-，x∈[0，1]时，f （x ）∈[0，1]，所以③存在同域区间；④()()2log 1f x x =-，判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y=x 是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．故答案为①②③．点睛：本题主要考查了对同域函数及同域区间的理解，涉及到二次函数、余弦函数的值域的求解，函数图像的相交等，属于难题.本题在判断邻域时，需要知道通过判断函数f （x ）和函数y=x 图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法．4.设θ为两个非零向量,a b r r的夹角，已知对任意实数t ，b ta +r r 的最小值为1，下列说法正确的是（ ）A. 若θ确定，则a r唯一确定 B. 若θ确定，则b r唯一确定 C. 若a r确定，则θ唯一确定D. 若b r确定，则θ唯一确定【答案】B 【解析】 【分析】对式子b ta +r r 平方转化成关于t 的二次函数，再利用最小值为1，得到()221cos 1b θ-=r ，进而判断θ与b r之间的关系．【详解】222222222cos b ta b ta b t a a t a b t b θ+=+⋅+=+⋅⋅+r r r r r r r r r r .因为min1b ta+=r r ，所以()2222222244cos 1cos 14a b a b b aθθ⋅-⋅=-=r r r r r r .所以22sin 1b θ=r ，所以sin 1b θ=r ，即1sin b θ=r .所以θ确定，b r 唯一确定.故选B.【点睛】本题考查向量模的最值、数量积运算、向量夹角等知识，考查与二次函数进行交会，求解时不能被复杂的表达式搞晕，而是要抓住问题的本质，始终把22||,||a b r r 看成实数．5.已知点(),P x y 是直线224y x =-上一动点，PM 与PN 是圆()22:11C x y +-=的两条切线，,M N 为切点，则四边形PMCN 的最小面积为( ) A.43B.23C.53D.56【答案】A 【解析】 【分析】利用当CP 与直线224y x =-垂直时，PC 取最小值，并利用点到直线的距离公式计算出PC 的最小值，然后利用勾股定理计算出PM 、PN 的最小值，最后利用三角形的面积公式可求出四边形PMCN 面积的最小值． 【详解】如下图所示：由切线的性质可知，CM PM ⊥，CN PN ⊥，且PCM PCN ∆≅∆，2221PM PN PC CMPC ==-=-当PC 取最小值时，PM 、PN 也取得最小值，显然当CP 与直线24y x =-垂直时，PC 取最小值，且该最小值为点()0,1C 到直线224y x=-的距离，即()()min221453221PC--==+-，此时，22min min min541133PM PN PC⎛⎫==-=-=⎪⎝⎭，∴四边形PMCN面积的最小值为min11442212233PM CM⨯⋅=⨯⨯⨯=，故选A.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查切线长的计算以及四边形的面积，本题在求解切线长的最小值时，要抓住以下两点：（1）计算切线长应利用勾股定理，即以点到圆心的距离为斜边，切线长与半径为两直角边；（2）切线长取最小值时，点到圆心的距离也取到最小值．6.已知函数()sin()(0,0,0)2f x A wx Aπϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则3()4fπ=（）A.22- B.12- C. 1- D. 22【答案】C【解析】【分析】根据图像最低点求得A，根据函数图像上两个特殊点求得,ωϕ的值，由此求得函数()f x解析式，进而求得3π4f⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】根据图像可知，函数图像最低点为7π,212⎛⎫-⎪⎝⎭，故2A=，所以()2sin()f x xωϕ=+，将点(7π3,,212⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()f x 解析式得2sin 37π2sin 212ϕωϕ⎧=⎪⎨⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得2π3ωϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，故()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以3π3ππ2sin 21443f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C.【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，并求三角函数值，属于中档题.7.已知函数1()4sin cos 2f x x x =-，若()()f x a f x a -=-+恒成立，则实数a 的最小正值为（ ） A. 2π B. πC.2π D.4π 【答案】D 【解析】 【分析】先化简f (x ),分析出f (x )本身的最小正周期T ，再根据()()f x a f x a -=-+分析出用a 表示f (x )的最小正周期，最后根据两者相等，求得a 的最小正值． 【详解】由1()4sin cos 2f x x x =-，则1()2sin 22f x x =-，所以f (x )的最小正周期T=π 因为()()f x a f x a -=-+，则',()(2)x x a f x f x a =+=-+‘，令则，，这f (x )的最小正周期T=4a ,所以4a =π，所以实数a 的最小正值是4π，故答案选D 【点睛】本题主要考察带绝对值三角函数的的周期，同时要会通过函数满足的关系式，分析函数周期8.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，12n n a S +=，则数列1{}na 的前20项和为（ ） A.1931223-⨯ B.1971443-⨯ C.1831223-⨯ D.1871443-⨯【答案】D 【解析】12n n a S +=，∴12n n a S -= 相减得()132n n a a n +=≥ 由11a =得出2212,3a a a =≠()21,123,2n n n a n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩ ，1n a =21,111,223n n n -=⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩011812201111111......1......2333a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 191911113131111222313⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+=+⋅-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦= 1871443-⨯ 故选D点睛：已知数列的n a 与n S 的等量关系，往往是再写一项，作差处理得出递推关系，一定要注意n 的范围，有的时候要检验n=1的时候，本题就是检验n=1,不符合，通项是分段的.9.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（ ） A.31+ B.31C.22D.51- 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可知12||||2PF PF a +=，又1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =且12PF PF ⊥，即可列出方程求椭圆的离心率.【详解】由1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =，且 12PF PF ⊥，又12||||2PF PF a +=，可知1||2PF a c =-，在12Rt PF F ∆中，222(2)4a c c c -+=，即2222a ac c -= 所以2220,(0,1)e e e +-=∈，解得212312e -==， 故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，圆的切线的性质，属于中档题. 10.已知函数()sin 3f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A. 3π-B. 0C.3π D.23π 【答案】D 【解析】 【分析】运用辅助角公式，化简函数()f x 的解析式，由对称轴的方程，求得a 的值，得出函数()f x 的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数2()sin 33sin()(f x a x x a x θθ==++为辅助角)， 由于函数的对称轴的方程为56x π=，且53()622a f π=+， 即23322a a +=+1a =，所以()2sin()3f x x π=-， 又由12()()4f x f x ⋅=-，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设11152,6x k k Z ππ=+∈，2222,6x k k Z ππ=-∈， 所以1212222,3x x k k k Z πππ+=++∈， 当120k k ==时，12x x +的最小值23π，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.11.若函数321()(3)3x f x e x kx kx =--+只有一个极值点，则k 的取值范围为()A. (,)e -∞B. (0,]eC. (,2)-∞D. (0,2]【答案】B 【解析】 【分析】利用函数求导函数 f ′（x ）＝e x （x ﹣2）﹣kx 2+2kx ＝（x ﹣2）（e x ﹣kx ），只有一个极值点时f ′（x ）＝0只有一个实数解，有e x ﹣kx ≥0，设新函数设u （x ）＝e x ，v （x ）＝kx ，等价转化数形结合法即可得出结论，【详解】解：函数f （x ）＝e x （x ﹣3）﹣13kx 3+kx 2只有一个极值点， f ′（x ）＝e x （x ﹣2）﹣kx 2+2kx ＝（x ﹣2）（e x ﹣kx ）， 若函数f （x ）＝e x （x ﹣3）﹣13kx 3+kx 2只有一个极值点，f ′（x ）＝0只有一个实数解， 则：e x ﹣kx ≥0， 从而得到：e x ≥kx ， 当k ＝0 时，成立．当k ≠0时，设u （x ）＝e x ，v （x ）＝kx如图：当两函数相切时，k ＝e ，此时得到k 的最大值，但k ＜0时不成立． 故k 的取值范围为：（0，e ] 综上：k 的取值范围为：[0，e ]故选B ．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值点、考查了不等式问题的等价转化方法，数形结合法，考查了推理能力，属于中档题．12.双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交曲线左支于A ，B 两点，△F 2AB 是以A 为直角顶点的直角三角形，且∠AF 2B ＝30°．若该双曲线的离心率为e ，则e 2＝（ ） A. 1143+B. 1353+C. 163-D.19103-【答案】D 【解析】 【分析】设22BF m =，根据2F AB ∆是以A 为直角顶点的直角三角形，且230AF B ∠=o，以及双曲线的性质可得212(33),2(23)AF a AF a ==，再根据勾股定理求得,a c 的关系式，即可求解.【详解】由题意，设22BF m =，如图所示，因为2F AB ∆是以A 为直角顶点的直角三角形，且230AF B ∠=o， 由212AF AF a -=，所以132AF m a =-， 由212BF BF a -=，所以122BF m a =-，所以11AF BF AB +=3222m a m a m -+-=， 所以2(31)m a =，所以232(31)2(33)AF a a ==，12(33)22(23)AF a a a =-=， 在直角12F AF ∆中，222124AF AF c +=，即222224(33)4(23)4a a c +=，整理得22(19103)a c -=，所以22219103c e a==-故选D.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．.二、填空题13.已知向量,,1,2a b a b ==v v v v，且210a b +=r r a b ⋅=r r ___________．【答案】12【解析】 【分析】把210a b +=r r1,2a b ==r r 代入，化简即可得结果. 【详解】因为1,2a b ==r r，所以222448410a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅=vv v vv v v v12a b ∴⋅=v v ，故答案为12.【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=r r r r ，二是1212a b x x y y ⋅=+r r，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a bθ=r r g r r g （此时a b r r g 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a r 在b r上的投影是a b b⋅r r r ；（3）,a b r r 向量垂直则0a b ⋅=r r ;(4)求向量ma nb +r r 的模（平方后需求a b ⋅r r ）.14.已知抛物线E ：212y x ＝的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线m 与E 交于A ，B 两点，过A 作AM l ⊥，垂足为M ，AM 的中点为N ，若AM FN ⊥，则AB ＝___________. 【答案】16 【解析】 【分析】由题意画出图形，得到直线AB 的斜率，进一步求得直线AB 的方程，与抛物线方程联立求解即可得答案．【详解】AF AM =Q ，N 为AM 的中点，且FN AM ⊥，30AFN ∴∠=︒，则直线AB 的倾斜角为60︒，斜率为3．由抛物线212y x =，得(3,0)F ，则直线AB 的方程为3(3)y x =-．联立23(3)12y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得21090x x -+=．则10A B x x +=， ||16A B AB x x p ∴=++=．故答案为：16．【点睛】本题考查抛物线的简单性质、直线与抛物线位置关系及抛物线过焦点弦公式的应用，属于中档题．15.已知函数21()()2x f x x x e -=-，若当1x >时，()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为________ 【答案】(1,)-+∞ 【解析】【分析】先求导数，判断函数21()()2x f x x x e -=-的单调性，可得1x >时大致图象，利用数形结合求解.【详解】()10f x mx m -++Q „()(1)1f x m x ∴--„(1)1y m x =--Q 过定点(1,1)-Q 当1x >时，()10f x mx m -++≤有解∴当1x >时,存在()y f x =在(1)1y m x =--的下方，()21()2x f x x e -'=-Q令()0f x '=，解得2x =， 当12x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，()f x ∴在(1,2)上递减，在(2,)+∞上递增， Q 当2x >时，()0f x >，又(1)1,(2)1,(2)0f f f =-<-=，作函数()y f x =，(1)1y m x =--的大致图象：由图象可知：1m >-时满足条件， 故答案为：(1,)-+∞【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、最值、图象，直线过定点，数形结合，属于难题.16.数列{}n a 为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出11a =，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是41a =，51a =，62a =，73a =，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则2019a =______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据数列构造方法可知：21n a n -=，即()21121n nk k a a k -+=≤<-；根据变化规律可得20192a a =，从而得到结果.【详解】由数列{}n a 的构造方法可知11a =，32a =，73a =，154a =，可得：21n a n -= 即：()21121n nk k a a k -+=≤<-201999648523010340921a a a a a a a a ∴========本题正确结果：1【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项，关键是能够根据构造特点得到数列各项之间的关系，考查学生的归纳总结能力.三、解答题17.如图为一块边长为2km 的等边三角形地块ABC ，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 出发引出两条成60o 角的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设BDE α∠=．（1）当60α=o 时，求绿化面积；（2）试求地块的绿化面积()S α的取值范围．【答案】（123；（2）333,82⎛ ⎝⎦. 【解析】 【分析】（1）根据角度可确定四边形AEDF 为平行四边形，则BDE ∆和CDF ∆均为边长为1km 的等边三角形；利用ABC BDE CDF S S S ∆∆∆--即可求得结果；（2）利用正弦定理，用α表示出BE 和CF ，利用两角和差公式、二倍角公式和辅助角公式可将BE CF +化简为()312sin 2301α+-+o，利用3090α<<o o 可求得BE CF +的范围；从而将所求面积表示为())33S BE CF α=+，进而得到所求范围. 【详解】（1）当60α=o 时，//DE AC ，//DF AB∴四边形AEDF 为平行四边形，则BDE ∆和CDF ∆均为边长为1km 的等边三角形又)2122sin 6032ABC S km ∆=⨯⨯⨯=o ，)21311sin 602BDE CDF S S km ∆∆==⨯⨯⨯=o ∴)23332km =（2）由题意知：3090α<<o o在BDE ∆中，120BED α∠=-o，由正弦定理得：()sin sin 120BE αα=-o在CDF ∆中，120CDF α∠=︒-，CFD α∠= 由正弦定理得：()sin 120sin CF αα-=o()()()()22sin 120sin sin 120sin sin sin 120sin 120sin BE CF αααααααα-+-∴+=+=--o o o o2222231533sin sin sin cos cos 24243131sin cos sin sin cos sin ααααααααααααα⎫++⎪+⎝⎭==⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭()23341112sin 2301313sin 2cos 21sin cos sin αααααα==+=+-+-++o3090α<<ooQ 30230150α∴<-<o o o ()1sin 23012α∴<-≤o ()352122sin 2301α∴≤+<-+o，即52,2BE CF ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭()())133sin 6032ABC BDE CDF S S S S BE CF BE CF α∆∆∆∴=--=+=+o 52,2BE CF ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭Q )33333BE CF +∈⎝⎦即绿化面积()S α的取值范围为：3382⎛⎝⎦ 【点睛】本题考查解三角形知识的实际应用问题，涉及到正弦定理和三角形面积公式的应用、三角恒等变换中的两角和差公式、二倍角公式和辅助角公式的应用；求解范围类问题的关键是能够构造出关于某一变量的函数，从而利用函数求值域的方法求得结果.18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且11a =，11b =，224a b +=.（1）若337a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若313T =，求5S .【答案】（1）12n n b -=；（2）5或75.【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为()0q q ≠，由已知条件求出q ，再写出通项公式；（2）由1313T =，求出q 的值，再求出d 的值，求出5S .【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为()0q q ≠有()14d q ++=，即3d q +=.（1）∵()2127d q ++=，结合3d q +=得2q =，∴12n n b -=.（2）∵23113T q q =++=，解得4q =-或3，当4q =-时，7d =，此时55457752S ⨯=+⨯=； 当3q =时，0d =，此时5155S a ==.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a d n a S 一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.19.已知圆22:(2)(1)1D x y -+-=，点A 在抛物线2:4C y x =上，O 为坐标原点，直线OA 与圆D 有公共点.（1）求点A 横坐标的取值范围；（2）如图，当直线OA 过圆心D 时，过点A 作抛物线的切线交y 轴于点B ，过点B 引直线l 交抛物线C 于,P Q 两点，过点P 作x 轴的垂线分别与直线,OA OQ 交于,M N ，求证：M 为PN 中点.【答案】（1）)9,4A x ⎡∈+∞⎢⎣（2）见证明【解析】 【分析】（1）设:OA l y kx =，联立抛物线，再利用圆D 与直线相交建立不等式，从而确定点A 横坐标的取值范围；（2）可先找到函数关系式，利用导数确定切线的斜率，设221212:4,,,,44y y l y mx P y Q y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用韦达定理即可证明M 为PN 中点.【详解】解：（1）由题意直线OA 斜率存在且不为零，设:OA l y kx =2244A y kx x y xk =⎧⇒=⎨=⎩ ()2,1D 到:0OA l kx y -=22141031k k k -≤⇒≤≤+， 所以)9,4A x ⎡∈+∞⎢⎣（2）当直线OA 过圆心()2,1D 时，()214,16,16,82A k x A k=== ()2402y x y y x y x'=>⇒=⇒=，所以1614AB x k y -='=， ()18164AB l y x -=-：即144y x =+， 所以()04B ，，设221212:4,,,,44y y l y mx P y Q y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由214:,:2OA OQ l y x l y x y ==得22112,8M N y y y y y ==22441604y mx my y y x=+⎧⇒-+=⎨=⎩，所以1212416,y y y y m m +== ()222211121112124+=2164P N M y y y y y y m y y y y y y y m+=+===，即M 为PN 中点．【点睛】本题主要考查了直线与圆，抛物线的位置关系，切线问题等，综合性强，直线与圆的相关计算常考点到直线的距离公式，必须熟记.20.已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合*{|,}n S x x b n ==∈N .（1）若10a =，23d π=，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰有两个元素；（3）若集合S 恰有三个元素，n T n b b +=，T 是不超过5的正整数，求T 的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式及集合S . 【答案】（1）33,22⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭；（2）23π或π；（3）3T =或4，3T =时，23n a n π=，33S ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭；4T =时，2n a n π=，{}0,1,1S =-【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式写出n a ，进而求出n b ，再根据周期性求解；（2）由集合S 的元素个数，分析数列{}n b 的周期，进而可求得答案；（3）分别令1T =，2，3，4，5进行验证，判断T 的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式及集合S 【详解】（1）Q 等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．∴当120,3a d π==， 所以集合3{S =03}． （2）Q 12a π=，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=， 综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合1{S b =，2b ，3}b ，符合题意．与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式为23n a n π=，此时33,,022S ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭. ②当4T=时，4n n b b +=，sin(4)sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1k ∴=，2 当1k =时满足条件，此时{0S =，1，1}-． 与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式为2n a n π=，此时{}0,1,1S =-【点睛】本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，是一道综合题．21.已知函数()(1)ln f x x x =-,3()ln eg x x x =--. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）令()()()(0)h x mf x g x m =+>两个零点1212,()x x x x <，证明：121ex e x +>+. 【答案】（Ⅰ）()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增.（Ⅱ）见证明 【解析】 【分析】（Ⅰ）求得函数的导数1()ln 1f x x x=+-'，且()01f '=，进而利用导数的符号，即可求得函数单调区间；（Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点，利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，结合图象，即可得出证明．【详解】（Ⅰ）由题意，函数()(1)ln f x x x =-，则1()ln 1f x x x=+-'，且()01f '=， 当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当1x ≥时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增；所以函数()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增. （Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点可知 由11()(1ln )1h x m x x x-'=++-且0m >可知， 当01x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减； 当1x ≥时，()0h x '≥，函数()h x 单调增；即()h x 的最小值为3(1)10h e=-<， 因此当1x e=时，1113(1)2()(1)(1)(1)0m e e h m e e e e e -+-=--+---=>， 可知()h x 在1(,1)e上存在一个零点；当x e =时，3()(1)10h e m e e e=-+-->， 可知()h x 在(1,)e 上也存在一个零点，因此211x x e e -<-，即121x e x e+>+. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>的离心率为22，且过定点2M . （1)求椭圆C 的方程；（2)已知直线1:()3l y kx k R =-∈与椭圆C 交于,A B 两点，试问在y 轴上是否存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点P ？若存在，求出点P 的坐标和PAB ∆的面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 2224155y x += (2)见解析 【解析】【分析】（1）本问考查了椭圆的离心率公式，以及椭圆的方程、性质，通过条件构建关于基本量,,a b c 的方程组，求解即可．（2）本题考查了直线与椭圆的位置关系，利用条件以弦AB 为直径的圆恒过点P ，将几何关系代数化，利用韦达定理建立方程，判断方程是否有解．【详解】解：（1)由已知22222222522511142c e a a b c a b a b⎧==⎪⎧=⎪⎪⎪⎪+=⇒⎨⎨⎪⎪=⎪⎪+=⎩⎪⎩，椭圆C 的方程为2224155y x +=.（2)由221324155y kx y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得229(24)12430k x kx +--=.① 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 方程①的两根， 1212221243,9(24)9(24)k x x x x k k ∴+==-++ 设(0,)P p ，则1122(,),(,)PA x y p PB x y p =-=-u u u r u u u r ，22121212121212112()()()()333p PA PB x x y y p y y p x x kx kx pk x x p ⋅=+-++=+---+++u u u r u u u r 2222(1845)3624399(24)p k p p k -++-=+ 假设在y 轴上存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点P ，则PA PB ⊥u u u r u u u r ，即0PA PB ⋅=u u u r u u u r ，即222(1845)3624390p k p p -++-=对任意k ∈R 恒成立，22184503624390p p p ⎧-=∴⎨+-=⎩此方程组无解，∴不存在定点满足条件． 【点睛】本题的关键是将条件“以弦AB 为直径的圆恒过点P ”，几何关系代数化，和联立方程组得到的韦达定理联系起来，建立关于参数p 的方程．。
【20套试卷合集】河北省衡水市衡水中学2019-2020学年数学高三上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高三上数学期中模拟试卷含答案一选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1设集合A=122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,B={}21x x ≤，则A ∪B= （ ）A ．{}12x x ≤< B ．112x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭C ．{}2x x <D ．{}12x x -≤<2复数31ii--等于 （ ） A ．i 21+ B.12i - C.2i - D.2i +3下列命题错误的是 ( ) A ．命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ” B ．若q p ∧为假命题，则q p 、均为假命题;C ．命题p ：存在R x ∈0,使得01020<++x x ，则p ⌝：任意R x ∈,都有012≥++x x D ．“2>x ”是“0232>+-x x ”的充分不必要条件4已知一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为( )A. 24＋6πB. 24＋4πC. 28＋6πD. 28＋4π5已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线n m 、，有下列 四个命题 ①若α⊥m n m ,//，则α⊥n ②若βαβα//,,则⊥⊥m m③若βαβα⊥⊂⊥则,,//,n n m m ④若n m n m //,,,//则=βαα其中正确命题的个数是 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且cosA>sinB ，则△ABC 的形状是 ( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形7已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝b a +λ，AC →＝b a μ+，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为 ( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝18已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 4＋a 5＋a 6＝π4，则cosS 9的值为( )A.12B.22 C ．－12 D ．－229 若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解, 则a 的取值范围是 ( )A. (－235, ＋∞)B. [－235, 1] C. (1, ＋∞)D. (－∞, －235]10设定义在R 的函数)(x f 同时满足以下条件：①0)()(=-+x f x f ；②)2()(+=x f x f ； ③当10<≤x 时，12)(-=x x f 。
2019-2020学年河北省衡水中学高三(上)期中数学试卷(理科)
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）已知集合 S={ 1，2} ， T={ x| x2＜4x﹣ 3} ，则 S∩T=（ ）
A．{ 1} B．{ 2} C．1 D．2
2．（ 5 分）已知复数 z1，z2 满足 | z1| =| z2| =1，| z1﹣z2| = ，则| z1+z2| 等于（ ） A．2 B． C．1 D．3
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 解答时请写清题号 .[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ] 22．（ 10 分）在直角坐标系中，圆 C 的方程是 x2+y2﹣4x=0，圆心为 C，在以坐标 原点为极点， 以 x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中， 曲线 C1：ρ＝﹣4 sin θ 与圆 C 相交于 A， B 两点． （ 1）求直线 AB 的极坐标方程；
2019-2020 学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷 （理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）（2019?云南二模）已知集合 S={ 1，2} ，T={ x| x2＜4x﹣ 3} ，则 S∩T=（ ） A．{ 1} B．{ 2} C．1 D．2 【分析】 求出 T 中不等式的解集确定出 T，找出 S 与 T 的交集即可． 【解答】 解：由 T 中不等式变形得： x2﹣ 4x+3＜0，即（ x﹣1）（ x﹣3）＜ 0， 解得： 1＜x＜3，即 T=（1，3）， ∵ S={ 1，2} ， ∴ S∩ T={ 2} ， 故选： B．
∴
﹣ 2z1z2+
河北省衡水2019-2020学年高三上学期期中考试理科数学试卷(有答案)(已审阅)
2019-2020学年度第一学期期中考试高三理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 抛物线24y x =的焦点坐标是A. (0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(0,116) 2. 已知圆221236F x y ++=（:），定点220F （，），A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是A. 22143x y +=B.22195x y +=C.22134x y +=D.22159x y +=3.将函数y=3sin （2x+3π）的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点（12π-，0）中心对称 A. 向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位 C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位 4.函数21e x y x =-（）的图象是5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.83π B. 3π C.103π D.6π6.已知A B P 、、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上不同的三点，且A B 、连线经过坐标原点，若直线PA PB 、的斜率乘积3PA PB k k =，则该双曲线的离心率为A. B.C. 2D.37.已知抛物线24x y =上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为A.34 B.32C.1D.2 8. 如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为A. 8B.4 9.在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，2CA =，点P 为三角形ABC 所在平面上一动点，且满足BP =1，则()BP CA CB +的取值范围是A. [-B. [0,C. [-2,2]D.[-10.已知12,F F 是椭圆2211612x y +=的左、右焦点，点M （2，3），则∠12F MF 的角平分线的斜率为A. 1B.C. 211.如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP=MC ，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为下图中的12.已知球O 与棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -的所有棱都相切，点M 是球O 上一点，点N 是△1ACB 的外接圆上的一点，则线段MN 的取值范围是A. B. 2]C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
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衡水中学2019－2020学年度上学期高三年级期中考试
数学试卷（理科）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）
注意事项：答卷I 前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有－项符合题意。
请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1.已知曲线f （x ）＝xcosx ＋3x 在点（0，f （0））处的切线与直线ax ＋4y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为
A.－4
B.－1
C.1
D.4
2.已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 5－2a 72＋2a 8＝0，数列{b n }是等比数列且b 7＝a 7，则b 2b 12等于 A.49 B.32 C.94 D.23
3.对于函数f （x ），若存在区间A ＝[m ，n]使得{y|y ＝f （x ），x ∈A}＝A 则称函数f （x ）为“同域函数”，区间A 为函数f （x ）的一个“同城区间”。
给出下列四个函数：
①f （x ）＝cos 2
πx ；②f （x ）＝x 2－1；③f （x ）＝|x 2－1|；④f （x ）＝log 2（x －1）。
存在“同域区间”的“同域函数”的序号是
A.①②
B.①②⑧
C.②③
D.①②④
4.设θ为两个非零向量a r ，b r 的夹角，已知对任意实数t ，|b r +t a r |的最小值为1。
则
A.若θ确定，则|b r |唯一确定
B.若|b r |确定，则θ唯一确定
C.若θ确定，则|a r |唯一确定
D.若|a r |确定，则θ唯一确定
5.已知点P （x ，y ）是直线y ＝x －4上一动点，PM 与PN 是圆C ：x 2＋（y －1）2＝1的两条切线，M ，N 为切点，则四边形PMCN 的最小面积为 A.43 B.23 C.53 D.56
6.已知函数f （x ）＝Asin （ωx ＋φ）（A>0，ω>0，0<φ<
2π）的部分图像如图所示，则3()4f π=
A.－1
B.12
- C.22- D.22 7.已知函数f （x ）＝|
12－4sinxcosx|，若f （x －a ）＝－f （x ＋a ）恒成立，则实数a 的最小正值为
A.2π
B.π
C.2π
D.4
π 8.设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝1，a n+1＝2S n ，则数列1{
}n a 与的前20项和为 A.1931223-⨯ B.1971443-⨯ C.1831223-⨯ D.18
71443-⨯ 9.椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别是F 1、F 2，以F 2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线PF 1恰好与圆F 2相切于点P ，则椭圆的离心率为 A.312 31 C.22
D.512 10.已知函数f （x ）＝asinx 3的图像的一条对称轴为直线56
x π=
，且f （x 1）·f （x 2）＝－4，则|x 1＋x 2|的最小值为 A.3π-
B.0
C.3
π D.23π 11.若函数f （x ）＝e x （x －3）－13kx 3＋kx 2只有－个极值点，则k 的取值范围为 A.（－∞，e ） B.（0，e] C.（－∞，2） D.（0，2] 12.双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交曲线左支于A ，B 两点，△F 2AB 是以A 为直角顶点的直角三角形，且∠AF 2B ＝30°。
若该双曲线的离心率为e ，则e 2＝
A.1143+
B.1353+
C.1663-
D.19103-
第II 卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每题5分，共20分。
把答案填在答题纸的横线上）
13.己知向量a r ，b r ，|a r |＝1，|b r |＝2，且|2a r ＋b r |＝10，则a r ·b r ＝ 。
14.己知抛物线E ：y 2＝12x 的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线m 与E 交于A ，B 两点，过A 作AM ⊥l ，垂足为M ，AM 的中点为N ，若AM ⊥FN ，则|AB|＝ 。
15.已知函数f （x ）＝（x 2－2x ）e x －
1，若当x>1时，f （x ）－mx ＋l ＋m ≤0有解，则m 的取值范围为 。
16.数列{a n }为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出a 1＝1，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是a 2＝1，a 3＝2，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是a 4＝1，a 5＝1，a 6＝2，a 7＝3，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则a 2019＝ 。
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.如图为－块边长为2km 的等边三角形地块ABC ，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 出发引出两条成60°角的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE ＝α。
（1）当a ＝60°时，求绿化面积；
（2）试求地块的绿化面积S （α）的取值范围。
18.（本小题满分12分）
己知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，且a 1＝1，b 1＝1，a 2＋b 2＝4。
（1）若a 3＋b 3＝7，求{b n }的通项公式；
（2）若T 3＝13，求S 5。
19.（本小题满分12分）
己知圆D ：（x －2）2＋（y －1）2＝1，点A 在抛物线C ：y 2＝4x 上，O 为坐标原点，直线OA 与圆D 有公共点。
（1）求点A 横坐标的取值范围；
（2）如图，当直线OA 过圆心D 时，过点A 作抛物线的切线交y 轴于点B ，过点B 引直线l 交抛物线C 于P ，Q 两点，过点P 作x 轴的垂线分别与直线OA ，OQ 交于M ，N ，求证：M 为PN 中点。
20.（本小题满分12分）
已知等差数列{a n }的公差d ∈（0，π]，数列{b n }满足b n ＝sin （a n ），集合S ＝{x|x ＝b n ，n ∈N *}。
（1）若a 1＝0，d ＝
23π，求集合S ； （2）若a 1＝2
π，求d 使得集合S 恰有两个元素； （3）若集合S 恰有三个元素，b n ＋T ＝b n ，T 是不超过5的正整数，求T 的所有可能值，并写出与之相应的－个等差数列{a n }的通项公式及集合S 。
21.（本小题满分12分）
己知函数f （x ）＝（x －1）lnx ，g （x ）＝x －lnx －
3e 。
（I ）求函数f （x ）的单调区间；
（II ）令h （x ）＝mf （x ）＋g （x ）（m>0）两个零点x 1，x 2（x 1<x 2），证明：121x e x e +>+。
22.（本小题满分12分） 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为22，且过定点M （1，22）。
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知直线l ：y ＝kx －13（k ∈R ）与椭圆C 交于A ，B 两点，试问在y 轴上是否存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点P?若存在，求出点P 的坐标和△PAB 的面积的最大值；若
不存在，请说明理由。