2.2.1对数与对数运算(第一课时——对数及对数的性质)
高中数学课件：2.2.1对数与对数运算
专题三 坚持科教 兴国 推进自主创
新
热点一 科教兴国 时事❶ 第三届深圳国际智能装备产业博览会
第三届深圳国际智能装备产业博览会暨第六届深圳国 际电子装备产业博览会于2017年7月27日至29日在深圳会 展中心举办。本届博览会以“智能改变未来，产业促进发 展”为主题，定位于创新型、专业性和国际化，展会将突
1．我国科技取得成就的原因有哪些？ ①我国经济实力不断增强，为科技创新提供了坚实的 物质基础。 ②我国实施科教兴国战略和人才强国战略，为科技创 新提供了强有力的政策支持。 ③我国大力弘扬创新精神，尊重劳动、尊重知识、尊 重人才、尊重创造。
④社会主义制度具有集中力量办大事的优越性。 ⑤广大科研工作者发扬了艰苦奋斗、开拓创新、团结 协作的精神等。
2．我国为什么要实施创新驱动发展战略，坚持走中国特 色自主创新道路？ ①我国正处在社会主义初级阶段，教育科学技术水平比 较落后，科技水平和民族创新能力不足。 ②创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的 不竭动力。 ③我国是一个发展中国家，要想真正地缩小与发达国家 之间的差距，关键靠创新。
④只有把科技进步的基点放在增强自主创新能力和持续创 新能力上，才能实现我国科学技术的跨越式发展，真正掌 握发展的主动权。 ⑤没有创新，就要受制于人，没有创新，就不可能赶超发 达国家。 ⑥科学技术是第一生产力，科技创新能力已越来越成为综 合国力竞争的决定性因素。 ⑦增强自主创新能力，有利于全面建成小康社会、实现中 华民族的伟大复兴。
出智能自动化设备、机器人、3D打印、可穿戴产业的展览 主题，瞄准打造全球智能装备领域第一展会平台的目标， 展示深圳智能装备产业的发展成就。
教学：高中数学 2.2.1 对数与对数运算教案 新人教A版必修1
2.2.1 对数与对数运算第一课时 对数的概念 三维目标定向 〖知识与技能〗理解对数的概念，掌握对数恒等式及常用对数的概念，领会对数与指数的关系。
〖过程与方法〗 从指数函数入手，引出对数的概念及指数式与对数式的关系，得到对数的三条性质及对数恒等式。
〖情感、态度与价值观〗增强数学的理性思维能力及用普遍联系、变化发展的眼光看待问题的能力，体会对数的价值，形成正确的价值观。
教学重难点：指、对数式的互化。
教学过程设计 一、问题情境设疑引例1：已知2524,232==，如果226x =，则x = ？ 引例2、改革开放以来，我国经济保持了持续调整的增长，假设2006年我国国内生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国内生产总值比2006年翻两番？分析：设经过x 年国内生产总值比2006年翻两番，则有a a x4%)81(=+，即1.08 x = 4。
这是已知底数和幂的值，求指数的问题，即指数式ba N =中，求b 的问题。
能否且一个式子表示出来？可以，下面我们来学习一种新的函数，他可以把x 表示出来。
二、核心内容整合1、对数：如果)10(≠>=a a N a x且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作Nx a log =。
其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当 a > 0且1a ≠时，Nx N a a x log =⇔=（符号功能）——熟练转化如：1318log 131801.101.1=⇔=x x ，4 2 = 16 ⇔ 2 = log 4 162、常用对数：以10为底10log N写成lg N ；自然对数：以e 为底log e N写成ln N （e = 2.71828…）3、对数的性质：（1）在对数式中N = a x > 0（负数和零没有对数）；（2）log a 1 = 0 , log a a = 1（1的对数等于0，底数的对数等于1）；（3）如果把b a N =中b 的写成log a N ，则有N a N a =log （对数恒等式）。
2.2.1 对数与对数运算
一般地，函数y=ax (a>0,且a≠1）叫做指数函数， 其中x是自变量，函数的定义域是R。
y
y ax
(a>1)
ya
x
y (0,1) O
y=1 x
(0<a<1)
(0,1) O
y=1 x
定义域：R 值域：（0，+∞）
问题导入
1.截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后能将人 口年平均增长率控制在1%，那么我国人口数y与经过的年 数x之间的关系如下：
＝logaN
对数的性质（x＝logaN ）
须大于零；
问题2： 你能写出下列对数的值吗？
新知探究
(1)在指数式中 a > 0，故零和负数没有对数，即式子logaN中N必
log2 1
lg 1 log 2 2 lg10
1 1
0 0
log3 1
log3 3
ax＝N x＝logaN
底数 底数
常用对数与自然对数
常用对数：通常把以10为底的对数叫常用对数，
新知探究
并把 log10 N ,
简记作
lg N .
例如： 10 5 简记作lg5； log10 3.5 简记作lg3.5. log 自然对数：以无理数e=2.71828……为底的对数叫自然对数， 为了简便，N的自然对数 log e N 简记作 lnN。 例如：loge 3 简记作ln3 ; loge 10 简记作ln10
人教版高中数学必修一
2.2.1 对数与对数运算
第一课时 对数
学习目标
对数如何定义？
什么是常用对数？什么是自然对数？
对数有哪些性质？
教学课件第1课时对数的定义与性质
[例 4] 对数式 loga－2(5－a)＝b 中，实数 a 的取值范围是
()
A．(－∞，5)
B．(2,5)
C．(2，＋∞)
D．(2,3)∪(3,5)
[错解] A
由题意，得 5－a>0，∴a<5.
[错因分析] 该解法忽视了对数的底数和真数都有范围
限制，只考虑了真数而忽视了底数．
[正解]
5－a>0， D 由题意，得a－2>0，
请同学们结合本节课的学习，说出你有什么收获？ 1．对数的定义
一般地,如果a(a>0,且a≠1)的 x 次幂等于N, 即ax=N, 那么数x叫做以a为底N的对数, 记作
logaN=x (式中的a叫做对数的底数,N叫做真数). 2．掌握指数式与对数式的互化
loga N x ax N (a>0,且a≠1)
3．掌握对数的性质.
③∵log1
2
8＝－3，∴(12)－3＝8.
④∵log3217＝－3，∴3－3＝217.
[点评] 互化时，首先指数式与对数式的底数相同，其次 将对数式的对数换为指数式的指数(或将指数式的指数换为对 数式的对数)．
探究二 对数与指数的关系
ab N 叫做指数式, loga N b 叫做对数式.
当 a 0, a 1, N 0 时，
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
第二章
2．2 对 数 函 数
第二章
2.2.1 对数与对数运算
第二章
第 1 课时 对数的定义与性质
1.理解对数的概念；（重点） 2.能够说明对数与指数的关系； 3.掌握对数式与指数式的相互转化．（难点） 4.掌握对数的性质.(重点）
温故知新 1．在指数 ab＝N 中，a 称为 底数，b 称为 指数 ，N 称为 幂值，在引入了分数指数幂与无理数指数幂之后，b 的取值范 围由初中时的限定为整数扩充到了实数 ． 2．若 a>0 且 a≠1，则 a0＝ 1 ；a1＝ a ；对于任意 x∈R， ax>0.
2.2.1对数与对数运算学案
§2.2.1对数与对数运算学案（第一课时）【学习目标】 班级： 姓名：理解对数的概念，了解对数与指数的关系；能够进行指数式与对数式的互化.【学习指导】重难点：对数的定义；指数式与对数式的互化.【学习过程】一.自主学习（一）自主探究（预习教材P62-P63，并找出疑惑之处）探究一.对数定义：一般地，如果ax =N （a>0,且a ≠1）,那么数x 叫做以a 为底N 的 ，记作b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做 ．例如：1642= ⇔ 216log 4=； 100102=⇔2100log 10=；⇔ ； 01.0102=-⇔201.0log 10-=． 思考：1.对数的定义中，为什么规定“10≠>a a 且”？ 2.负数有对数吗？2.探究对数基本性质1.是不是所有的实数都有对数？ 中的N 可以取哪些值？2.根据对数的定义以及对数与指数的关系， , .3.底数的取值范围),1()1,0(+∞U ；真数的取值范围),0(+∞．探究二.对数与指数的间的关系当a>0,a ≠1时，请同学们填写下表中空白处的名称：探究三.两个重要对数（1）常用对数：以10为底的对数N 10log ，简记为 ,如：（2）自然对数：以e 为底的对数N e log ，简记为 ,如：=1log a =a a log 212log 4=2421=b N a =log二.合作探究1.将下列指数式化成对数式,对数式化成指数式: （1）54=625 （2） (3) (4)（5）lg0.01=-2 （6）ln10=2.303 （7）lg100=x (8)2.求下列各式中x 的值： (1) (2) log x 8=6 (3) lg100=x (4) -ln e 2=x三.交流展示1.将下列指数式化成对数式,对数式化成指数式: （1） （2）3log 92= （3） （4）2.求下列各式的值：(1)log 525 (2)lg1000 (3)log 1515 (4)lg o.oo1(5)log 0.41 (6)log 981 (7)log 3243 (8)log 7343 四.达标检测A 组1.2log 510+log 50.5=2.解下列方程：（1）（2）log x 4=2 (3)lg 2x-lgx 2-3=03.若log 3(log 2x)=1，则 = .B 组1.log 3[log 4(log 381)]= .2.若log a 2=m,log a 3=n,则a 2m+n = .3.已知log[log3(log 4x)]=0，且log 4(log 2y)=1,求 的值.五.课后总结知识： 方法： 2327log =x 131273-=0)(log log 25=x 73.531=⎪⎭⎫ ⎝⎛m 416log 21-=64126-=5log 1253=32log 64-=x 21-x43y x ⋅32log 64-=x。
对数与对数运算第一课时(公开课精品课件).
(1) lg36
1.5562
81 (2)lg 32
0.4034
例6
解法一：
7 计算 ：lg14 2 lg lg 7 lg18 3
解法二：
7 lg 14 2 lg lg 7 lg 18 3 7 lg(2 7) 2 lg 3 lg 7 lg(2 32 )
1.计算下列各式的值.
1 32 4 1 —— (1). lg lg 8 lg 245 2 2 49 3 2 2 2 (2).lg 5 lg 8 lg 5. lg 20 lg 2 3 3 lg 2 lg 3 lg 10 1 —— (3). 2 lg1.8
1.对数的概念、表示.
• 3、数学思想小结 • 从特殊到一般——归纳法；
普通高中课程标准实验教科书数学必修一 2.2.1 对数
• 4、重点难点小结；
重点 ：（1）对数的概念； （2）对数式与指数式的相 互转化。 难点 ：对数概念的理解。
普通高中课程标准实验教科书数学必修一 2.2.1 对数
（一）必做 1、复习本节课的内容（明天提问） ； 2、课本 P74 习题 2.2 A 组 第 1、 2 题 （写在作业本上明天上交） ； 3、 《创新方案》 53 页变式之作 3， 《创新方案》 54 页课堂强化。
7 lg 14 2 lg lg 7 lg 18 3 7 2 lg14 lg( ) lg 7 lg18 3 14 7 lg 7 2 ( ) 18 3 lg1 0
lg 2 lg 7 2(lg 7 lg 3) lg 7 (lg 2 2 lg 3)
loga 1 0 “1”的对数等于零，即
等价
a 1
0
第2章2.2.1对数与对数运算第1课时
课 堂 . 互 动 探 究
子实质相同而形式不同，互为逆运算． 3．并非任何指数式都可以直接化为对数式，如(－ 3)2＝ 9 就不能直接写成 log(－ 3)9，只有符合 a>0， a≠ 1 且 N>0 时， 才有 ax＝ N⇔ x＝ logaN.
菜 单
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课 堂 . 互 动 探 究
(3)∵ex＝2，∴x＝ln2.
【答案】 (1)log23 (2)lg5 (3)ln2
菜
单
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对数的性质
课 前 . 自 主 导 学
阅读教材 P62 最后一自然段至 P63 的有关内容， 完成下列 问题． 1．对数与指数间的关系
课 后 . 巩 固 验 收
菜
单
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课 前 . 自 主 导 学
2．常用对数与自然对数
10为底 的对数叫做常用对数，记为 lgN. 通常我们将以________
在科学技术中常使用以无理数 e＝2.718 28„为底的对数， 以 e 为底的对数称为自然对数，并记为______. lnN
课 后 . 巩 固 验 收
菜 单
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课 前 . 自 主 导 学
课 后 . 巩 固 验 收
课 堂 . 互 动 探 究
3．是否任何一个指数式都可以直接化为对数式？
菜
单
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【探究提示】
课 前 . 自 主 导 学
1．设经过 x 年，我国的 GDP 可在 2012 年的基础上翻 一番，由题意可知(1＋ 7.8%)x＝ 2，∴ x＝ log1.0782≈ 9. 2．在关系式 ax＝ N 中，已知 a 和 x 求 N 的运算称为求 幂运算；而如果已知 a 和 N，求 x，就是对数运算．两个式
对数与对数运算(第一课时)
2.2.1 对数与对数运算（第一课时）授课人：郭淑仪授课班级：高一时间：9月日一、教材分析二、教学目标1.知识与技能（1）理解对数的概念，了解对数与指数的关系；（2）能够进行指数式与对数式的互化；（3）理解和掌握对数的性质；2.过程与方法（1）通过实例认识对数模型，体会引入对数的必要性；（2）通过观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化；（3）通过分组探究进行活动，掌握对数的重要性质；3.情感态度与价值观通过本节的学习体验数学的严谨性，培养细心观察、认真分析分析、严谨认真的良好思维习惯和不断探求新知识的精神；三、教学重点、难点教学重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化教学难点：对数概念的理解，对属性质的推导四、教具多媒体、黑板五、教法分析讲练结合、引导探究式教学方法六、教学过程一、对数的概念一般地，如果函数 (a >0且a 1),那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
注意：（1）底数的限制：a >0且a 1； (2)对数的书写格式；二、对数与指数的互化问题一：对数的定义中，为什么规定“a >0且a 1”； 中的真数N 能取什么样的数呢？问题二：求解情景引入中的问题。
三、两个特殊的对数（1）常用对数：以10为底的对数N 10log ，简记为N lg ；（2）自然对数：以e 为底的对数N e log ，简记为N ln（无理数e=2.718 28…）师：在这两个式子，都是已知底数和幂，本节课要解决的问题。
这一问题也就是：若a a师：通过以上直观图示可以看出，指数式与对数式虽然表示的是两种不同的运算，但都表示数量关系，件下，这两种运算可以相互转化，它们互为逆运算。
问题解答： 此，a 又因为 大于零，即七、课堂小结1、对数的概念2、对数与指数的互换3、求值4、对数的基本性质八、作业布置书本64页课后练习1、2、3、4 九、板书设计十、课后反思备用练习1.把下列各题的指数式写成对数式:(1)42＝16;（2）30=1;（3）4x＝2;（4）2x＝0.5;(5)54=625;(6)3-2=91;(7)(41)-2=16.2.把下列各题的对数式写成指数式:(1)ｘ＝log 527;(2)ｘ＝log 87;(3)ｘ＝log 43;(4)ｘ＝log 731;(5)log 216=4;(6)log 3127=-3;(7)logx3=6;(8)log x 64=-6;(9)log 2128=7;(10)log 327=a.3.求下列各式中x 的值: (1)log 8x=32;(2)log x 27=43;(3)log 2（log 5x ）=1;(4)log 3（lgx ）=0.4.计算(1)求log 84的值;(2)已知log a 2=m,log a 3=n,求a 2m +n的值.。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.1对数与对数运算第一课时对数课件新人教A版必修13
log3 x, x 0, (2)若函数 f(x)= 3x , 1 x 0, 求 f(f(f(-2-
3x 2 , x 1,
2 ))).
(2)解:因为-2- 2 <-1,所以 f(-2- 2 )=- 32 2 2 =- 1 . 9
(4)因为 logx64=-2, 所以 x-2=64,所以 x= 1 .
8
题型二 对数的简单性质 [例2] 求下列各式中的x. (1)log3(x2-1)=0;
解:(1)因为 log3(x2-1)=0,
所以
x 2
x
2
1 1
0, 1,
所以 x=± 2 .
(2)log(x+3)(x2+3x)=1.
又- 1 ∈(-1,0],所以 f(f(-2-
2
))=f(-
1
)=
3
1 9
.
9
9
因为
3
1 9
>0,所以
f(
3
1 9
)=log3
3
1 9
=-
1
.即原式=-
1
.
9
9
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(1)指数式与对数式互化时的技能及应注意的问题 ①技能:若是指数式化为对数式,只要将幂作为真数,指数当成对数 值,而底数不变即可;若是对数式化为指数式,则正好相反. ②注意问题:利用对数式与指数式间的互化公式互化时,要注意字母 的位置改变;对数式的书写要规范:底数a要写在符号“log”的右下 角,真数正常表示. (2)对数性质的运用技能 logaa=1及loga1=0是对数计算的两个常用量,可以实现数1,0与对数 logaa及loga1的互化.
高中数学新人教A版必修1课件：第二章基本初等函数2.2.1对数与对数运算(第1课时)对数
〔跟踪练习1〕
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)42＝16；
(2)102＝100；
1
(3)42
＝2；
(4)log1 32＝－5. 2
(3)原式＝(alogab) logbc＝blogbc＝c.
• 『规律方法』 运用对数恒等式时注意事项 • (1)对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式： • ①它们是同底的；②指数中含有对数情势；③其值为对数的真数． • (2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．
〔跟踪练习3〕 求31＋log36－24＋log23＋103lg3＋(19)log34的值． [解析] 原式＝3·3 log36－24·2 log23＋(10lg3)3＋(3 log34)－2 ＝3×6－16×3＋33＋4－2 ＝18－48＋27＋116＝－4176.
• 3．对数与指数的关系
• 当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝____ln_N_______.
• 4．对数的基本性质 • (1)___零___和_负_数______没有对数．
• (2)loga1＝_0____(a＞0，且a≠1)． • (3)logaa＝_1____(a＞0，且a≠1)． • 5．对数恒等式
B．log1 9＝－2 3
C．log1 (－2)＝9 3
D．log9(－2)＝13
[解析] 将(13)－2＝9写成对数式为log13 9＝－2，故选B．
• 4．若log2(log3x)＝0，则x＝_3____. • [解析] 由题意得log3x＝1，∴x＝3.
高中数学-对数
学
必修①Fra bibliotek·人
教
A
(1)常用对数：通常我们将以_1_0__为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为 __lg_N___.
(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底数的对数，
以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为__l_n_N___. 3．对数与指数的关系
当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝___l_o_g_a_N___.
必 修
故选 D．
①
·
人
教
A
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
4．求下列各式的值： ①log33＝_1___； ③lg10＝__1__；
②log0.51＝1__0__； ④ln e＝__2__.
[解析] ①∵31＝3，∴log33＝1；
②∵0.50＝1，∴log0.51＝0；
③lg10＝log1010＝1；
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
因忽视对数式的底数和真数的取值范围致误
对数式 log(a－2)(5－a)＝b 中，实数 a 的取值范围是 ( )
A．(－∞，5) B．(2,5)
C．(2，＋∞)
D．(2,3)∪(3,5)
[错解] A
由题意，得 5－a>0，∴a<5.
[解析]
(1)∵x＝log1
2
16，∴(12)x＝16，
即 2－x＝24.∴－x＝4，即 x＝－4.
(2)∵log8x＝－13，∴x＝8－13
＝1
3
＝12.
8
(3)∵log2(log4x)＝0，∴log4x＝1，∴x＝4.
2.2.1对数与对数运算(一)
2.2.1对数与对数运算（一）教学目标（一） 教学知识点1． 对数的概念；2．对数式与指数式的互化． （二） 能力训练要求1．理解对数的概念；２．能够进行对数式与指数式的互化；３．培养学生数学应用意识． （三）德育渗透目标1．认识事物之间的普遍联系与相互转化；２．用联系的观点看问题； ３．了解对数在生产、生活实际中的应用．教学重点对数的定义．教学难点对数概念的理解．教学过程一、复习引入：假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？()x %81+=2⇒x =?也是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？ 二、新授内容：定义：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N ,就是N a b=，那么数 b 叫做以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．b N N a a b =⇔=log例如：1642= ⇔ 216log 4=； 100102=⇔2100log 10=；2421= ⇔212log 4=； 01.0102=-⇔201.0log 10-=． 探究：1。
是不是所有的实数都有对数？b N a =log 中的N 可以取哪些值？⑴ 负数与零没有对数（∵在指数式中 N ＞ 0 ）2．根据对数的定义以及对数与指数的关系，=1log a ？ =a a log ？ ⑵ 01log =a ，1log =a a ；∵对任意 0>a 且 1≠a , 都有 10=a ∴01log =a 同样易知： 1log =a a⑶对数恒等式如果把 N a b= 中的 b 写成 N a log , 则有 N aNa =log ．⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数．为了简便,N 的常用对数N 10log 简记作lgN ． 例如：5log 10简记作lg5； 5.3log 10简记作lg3.5.⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 简记作lnN ． 例如：3log e 简记作ln3； 10log e 简记作ln10．（6）底数的取值范围),1()1,0(+∞ ；真数的取值范围),0(+∞． 三、讲解范例：例1．将下列指数式写成对数式：（1）62554= （2）64126=- （3）273=a(4)73.531=m ）（ 解：（1）5log 625=4； （2）2log 641=-6； （3）3log 27=a ； （4）m =73.5log 31． 例2． 将下列对数式写成指数式：（1）416log 21-=； （2）7128log 2=； （3）201.0lg -=； （4）303.210ln =．解：（1）16)21(4=- （2）72=128； （3）210-=0.01； （4）303.2e =10．例3．求下列各式中的x 的值： （1）32log 64-=x ； （2）68log =x （3）x =100lg （4）x e =-2ln 例4．计算： ⑴27log 9，⑵81log 43，⑶()()32log 32-+，⑷625log 345．解法一：⑴设 =x 27log 9 则 ,279=x3233=x, ∴23=x ⑵设 =x 81log 43 则()8134=x, 4433=x , ∴16=x⑶令 =x ()()32log 32-+=()()13232log -++, ∴()()13232-+=+x, ∴1-=x⑷令 =x 625log 345, ∴()625534=x, 43455=x , ∴3=x解法二：⑴239log 3log 27log 239399===； ⑵16)3(log 81log 1643344== ⑶()()32log 32-+=()()132log 132-=+-+;⑷3)5(log 625log 334553434==四、练习：(书P64`)1.把下列指数式写成对数式(1) 32＝８； （２）52＝32 ； （３）12-＝21； （４）312731=-．解：(1)2log ８＝３ (2) 2log 32＝５ (3) 2log 21＝－１ (4) 27log 31＝－312.把下列对数式写成指数式(1) 3log ９＝２ ⑵5log １２５＝３ ⑶2log 41＝－２ ⑷3log 811＝－４ 解：(1)23＝９ (2)35＝１２５ (3)22-＝41 (4) 43-＝811 3.求下列各式的值(1) 5log 25 ⑵2log 161⑶lg 100 ⑷lg 0.01 ⑸lg 10000 ⑹lg 0.0001 解：(1) 5log 25＝5log 25＝２ (2) 2log 161＝－４ (3) lg 100＝２ (4) lg 0.01＝－２ (5) lg 10000＝４ (6) lg 0.0001＝－４ 4.求下列各式的值(1) 15log 15 ⑵4.0log 1 ⑶9log 81 ⑷5..2log 6.25 ⑸7log 343 ⑹3log 243 解：(1) 15log 15＝１ (2) 4.0log 1＝０ (3) 9log 81＝２ (4) 5..2log 6.25＝２ (5) 7log 343＝３ (6) 3log 243＝５ 五、课堂小结⑴对数的定义； ⑵指数式与对数式互换； ⑶求对数式的值．2.2.1对数与对数运算（二）教学目标（三） 教学知识点对数的运算性质． （四） 能力训练要求1．进一步熟悉对数定义与幂的运算性质； 2. 理解对数运算性质的推倒过程； 3．熟悉对数运算性质的内容； 4．熟练运用对数的运算性质进行化简求值； 5．明确对数运算性质与幂的运算性质的区别． （三）德育渗透目标1．认识事物之间的普遍联系与相互转化； 2．用联系的观点看问题．教学重点证明对数的运算性质．教学难点对数运算性质的证明方法与对数定义的联系．教学过程一、复习引入：1．对数的定义 b N a =l o g 其中 ),1()1,0(+∞∈ a 与 ,0(+∞∈N 2．指数式与对数式的互化)10( log ≠>=⇔=a a b N N a a b 且3.重要公式：⑴负数与零没有对数； ⑵01log =a ，log =a a⑶对数恒等式N aNa =log4．指数运算法则 )()(),()(),(R n b a ab R n m aa R n m a a a n n n mnnm n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+二、新授内容：1．积、商、幂的对数运算法则：如果 a ＞ 0，a ≠ 1，M ＞ 0， N ＞ 0 有：)()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log NM log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+=证明：①设a log M =p , a log N =q ． 由对数的定义可以得：M =pa ，N =qa ． ∴MN = pa qa =qp a+ ∴a log MN =p +q ， 即证得a log MN =a log M + a log N ．②设a log M =p ，a log N =q ． 由对数的定义可以得M =pa ，N =qa ．∴q p q pa aa N M -== ∴p N M a -=log 即证得N M N M a a a log log log -=． ③设a log M =P 由对数定义可以得M =pa ,∴nM ＝npa ∴a log nM =np ， 即证得a log nM =n a log M ．说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式． ①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”……②有时逆向运用公式：如110log 2log 5log 101010==+． ③真数的取值范围必须是),0(+∞：)5(log )3(log )5)(3(log 222-+-=-- 是不成立的． )10(log 2)10(log 10210-=-是不成立的． ④对公式容易错误记忆，要特别注意：N M MN a a a log log )(log ⋅≠，N M N M a a a log log )(log ±≠±．2．讲授范例：例1． 用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式：32log )2(;(1)log zyx zxya a ． 解：（1）zxyalog =a log （xy ）-a log z=a log x+a log y- a log z （2）32log zyx a=a log （2x3log )z y a -= a log 2x +a log 3log z y a -=2a log x+z y a a log 31log 21-．例2． 计算（1）25log 5， （2）1log 4.0， （3）)24(log 572⨯， （4）5100lg 解：（1）5log 25= 5log 25=2 （2）4.0log 1=0．（3）2log （74×25）= 2log 74+ 2log 52= 2log 722⨯+ 2log 52 = 2×7+5=19．（4）lg 5100=52lg1052log10512==． 例3．计算：(1);50lg 2lg )5(lg 2⋅+ (2) ;25log 20lg 100+(3) .18lg 7lg 37lg214lg -+- 说明：此例题可讲练结合.解：(1) 50lg 2lg )5(lg 2⋅+＝)15(lg 2lg )5(lg 2+⋅+＝2lg 5lg 2lg )5(lg 2+⋅+＝2lg )2lg 5(lg 5lg ++＝2lg 5lg +＝1；(2) 25log 20lg 100+＝5lg 20lg +＝100lg ＝2； (3)解法一：lg14-2lg37+lg7-lg18=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(23×2) =lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0．解法二：lg14-2lg37+lg7-lg18=lg14-lg 2)37(+lg7-lg18=lg 01lg 18)37(7142==⨯⨯评述：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质. 例4．已知3010.02lg =，4771.03lg =， 求45lg例5．课本P66面例5.20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为 M ＝lg A －lg A 0.其中，A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)； (2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1).3．课堂练习：教材第68页练习题1、2、3题． 4．课堂小结对数的运算法则，公式的逆向使用．=n a a log n2.2.1对数与对数运算（三）教学目标（五） 教学知识点1． 了解对数的换底公式及其推导；2．能应用对数换底公式进行化简、求值、证明； 3．运用对数的知识解决实际问题。
数学：2.2.1《对数与对数运算》课件(新人教a版必修1)
（1）开方运算、对数运算都是指数运算的逆运算。
2.对数的基本性质:
①零和负数没有对数.
( 在 log a N b中, a 0, a 1, N 0）
②loga1=0
③logaa=1
3.对数恒等式：
a
loga N
N
b
证 明： 设 a N
b loga N
a
loga N
N
练习3.求下列各式的值：
(1) l og2 4; ( 2) l og3 27; ( 3) l og5 125; ( 4) l g1000 ; ( 5) l g 0.001.
2 3 3 3 3
练习4.计算下列各式的值:
(1).2
log 2 4 log 3 27 lg10 5
( 2).3 (4).5
对数及其运算(1,2课时)
1.对数的定义.
学 2.对数的基本性质. 习 3.对数恒等式. 内 4.常用对数、自然对数的概念. 容
5.对数的基本运算
思考问题一：
假设2000年我国国民经济生产总 值为a亿元,如果平均每年增长率为8.2%, 求5年后国民经济生产总值是2000年的 多少倍？
答：y=a(1+8.2%)5 =1.0825a 是2000年的1.0825倍
( 3).10
log 5 1125
例2 求下列各式中x的值:
2 1log 64 x ; 2log x 8 6; 3lg100 x; 4 ln e 2 x. 3
练习5.填空
1.设 loga 2 m, loga 3 n, 则a
2 m 3n
108
1 log3 2
时候壹起出手/灭杀咯它/至于赏金到时候再说/不落圣法真要到手咯/大不咯大家壹
对数运算一课件
2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算
第一课时
对数
学习目标
1.理解对数的有关概念，并能将对数式与指数式互化. 2.理解对数运算性质。能用换底公式将一般对数化为 自然对数或常用对数。 学法指导： 预习教材P62~P69内容，结合预习提示画出用黑笔 标出本节重点内容，用红笔标出疑难。
问题情境
对数与指数的关系 指数
当a＞0，且a≠1时
真数
a N loga N x
x
幂 底数
思考：
底数
对数
1. 是不是所有的实数都有对数？即 logaN＝x中的N可以取哪些值？ 2. 根据对数的定义以及对数与指数的关系， loga1＝? logaa＝? 3. 对数恒等式？
a
loga N
N
当ax＝N时，x＝logaN，则alogaN＝N(a＞0，且a≠1)． 对数的基本性质 零 和______ (1)____ 负数 没有对数． 0 a＞0，且a≠1)． (2)loga1＝____( (3)logaa＝____( 1 a＞0，且a≠1)．
－3
1 1 －1 答案： (1)∵log55＝－1，∴5 ＝5. 1 －4 (2)∵log1 16＝－4，∴(2) ＝16. 2 (3)∵log
6 125 ＝ 6 ，∴ ( 5) ＝125. 5
(4)∵26＝64，∴log264＝6. (5)∵10－3＝0.001，∴lg0.001＝－3. 1 －3 (6)∵(2) ＝8，∴log1 8＝－3. 2
答案：
(1)由 log3(log2x)＝0 得 log2x＝1，∴x＝2； (2)log3(log7x)＝1，log7x＝3，∴x＝73＝343； (3)lg(lnx)＝1，lnx＝10，∴x＝e ； (4)lg(lnx)＝0，lnx＝1，∴x＝e.
2.2.1 对数与对数运算(7011854)
2.2.1 对数与对数运算1．对数的概念(1)定义：一般地，如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．释疑点在对数log a N中规定a＞0，且a≠1，N＞0的原因(1)若a＜0，则N为某些数值时，x不存在，如式子(－3)x＝4没有实数解，所以log(－3)4不存在，因此规定a不能小于0；(2)若a＝0，且N≠0时，log a N不存在；N＝0时，log a0有无数个值，不能确定，因此规定a≠0，N≠0；(3)若a＝1，且N≠1时，x不存在；而a＝1，N＝1时，x可以为任何实数，不能确定，因此规定a≠1；(4)由a x＝N，a＞0知N恒大于0．当a＞0，且a≠1时．如图所示：比如：43＝64⇔3＝log464；log525＝2⇔52＝25；以前无法解的方程2x＝3，学习了对数后就可以解得x＝log23．谈重点对指数与对数的互化关系的理解(1)由指数式a b＝N可以写成log a N＝b(a＞0，且a≠1)，这是指数式与对数式互化的依据．从对数定义可知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式．其关系如下表：(2)根据指数与对数的互化关系，可以得到恒等式a．指数与对数的互化是解决指数式和对数式有关问题的有效手段．【例1－1】下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是()A．100＝1与lg 1＝0B．131273-=与271log3＝13-C．log39＝2与129＝3D．log55＝1与51＝5解析：指数式与对数式的互化中，其底数都不变，指数式中的函数值与对数式中的真数相对应，对于C，log39＝2→32＝9或129＝3→log93＝12．故选C．答案：C【例1－2】解析：(1)103＝1 000(2)log210＝x⇔2x＝10．(3)e3＝x⇔ln x＝3．答案：(1)lg 1 000＝3；(2)2x＝10；(3)ln x＝3．【例1－3】求下列各式中x的值：(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1；(3)log x27＝34；(4)x＝log84．解：(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1．∴x＝51＝5．(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3．∴x＝103＝1 000．(3)∵log x27＝34，∴34x＝27．∴x＝()3427＝34＝81．(4)∵x＝log84，∴8x＝4．∴23x＝22．∴3x＝2，即x＝23．2．对数的运算性质(1)对数的运算性质如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①log a(M·N)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)．谈重点对对数的运算性质的理解(1)对应每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立，如log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．(2)巧记对数的运算性质：①两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的积；②两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差；③正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数．(2)谈重点利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题．如“log a(MN)＝log a M＋log a N”的推导：设log a M＝m，log a N＝n，则a m ＝M，a n＝N，于是MN＝a m·a n＝a m＋n，因此log a(MN)＝log a M＋log a N＝m＋n．【例2－1】若a＞0，且a≠1，x＞y＞0，n∈N*，则下列各式：①log a x·log a y＝log a(x＋y)；②log a x－log a y＝log a(x－y)；③log a(xy)＝log a x·log a y；④logloglogaaax xy y=；⑤(log a x)n＝log a x n；⑥1 log loga axx=-；⑦loglogaaxn=其中式子成立的个数为()A．2 B．3 C．4 D．5解析：答案：A辨误区应用对数的运算性质常见的错误常见的错误有：log a(M±N)＝log a M±log a N；log a(M·N)＝log a M·log a N；logloglogaaaMMN N=；log a M n＝(log a M)n．【例2－2】计算：(1)2log122＋log123；(2)lg 500－lg 5；(3)已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求解：(1)原式＝log22＋log123＝log124＋log123＝log1212＝1．(2)原式＝＝lg 100＝lg 102＝2lg 10＝2．(3)∵＝1211lg 45lg 45lg(59)22==⨯＝12(lg 5＋lg 9)＝2110lg lg322⎛⎫+⎪⎝⎭＝12(1－lg 2＋2lg 3)，又∵lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，∴12(1－0.301 0＋2×0.477 1)＝0.826 6．析规律对数的运算性质的作用(1)利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算；(2)由于lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，所以lg 5＝1－lg 2，这是在对数运算中经常用到的结论．3．换底公式(1)公式log a b＝loglogccba(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1，b＞0)．(2)公式推导：设log log c c bx a=，则log c b ＝x log c a ＝log c a x ，∴b ＝a x ．∴x ＝log a b ．∴log log c c ba＝log a b ．(3)公式的作用换底公式的作用在于把以a 为底的对数，换成了以c 为底的对数，特别有：lg log lg a N N a=，ln log ln a NN a =，利用它及常用对数表、自然对数表便可求任一个对数的值．(4)换底公式的三个推论：①log log m na a nN N m=(a ，N ＞0，且a ≠1，m ≠0，m ，n ∈R )；②log a b ＝1log b a(a ，b ＞0，且a ，b ≠1)；③log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a ，b ，c ＞0，且a ，b ，c ≠1，d ＞0)．证明：①log am N n＝log log log log n a a a m a N n N nN a m m==．②log a b ＝log 1log log b b b b a a=． ③log a b ·log b c ·log c d ＝lg lg lg lg lg lg lg lg b c d da b c a⋅⋅=＝log a d ． 【例3－1】82log 9log 3的值是( )A ．23B ．32C ．1D ．2解析：(思路一)将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，即82lg 9log 92lg 3lg 22lg8lg 3log 33lg 2lg 33lg 2==⋅=． (思路二)将分母利用换底公式转化为以2为底的对数，即2822222log 9log 9log 82log 32log 3log 33log 33===． 答案：A【例3－2】若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 等于( ) A ．12B ．9C ．18D ．27 解析：∵log 34·log 48·log 8m ＝log 416， ∴lg 4lg8lg lg 3lg 4lg8m⋅⋅＝log 442＝2，化简得 lg m ＝2lg 3＝lg 9．∴m ＝9． 答案：B4．对数定义中隐含条件的应用根据对数的定义，对数符号log a N 中实数a 和N 满足的条件是底数a 是不等于1的正实数，真数N是正实数，即>0, >0,1, Naa⎧⎪⎨⎪≠⎩因此讨论对数问题时，首先要注意对数的底数和真数满足的隐含条件．对数概念比较难理解，对数符号初学时不太好掌握，学习时要抓住对数与指数相互联系，深刻理解对数与指数之间的关系，将有助于掌握对数的概念．【例4－1】已知对数log(1－a)(a＋2)有意义，则实数a的取值范围是__________．解析：根据对数的定义，得2>0, 1>0, 11, aaa+⎧⎪-⎨⎪-≠⎩解得－2＜a＜0或0＜a＜1．答案：(－2,0) (0,1)【例4－2】若log(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝__________．解析：由题意知1－x＝(1＋x)2，解得x＝0，或x＝－3．验证知，当x＝0时，log(1－x)(1＋x)2无意义，故x＝0不合题意，应舍去．所以x＝－3．答案：x＝－35．对数的化简、求值问题应用对数的定义、有关性质及运算法则等可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算过程，加快计算速度．(1)同底数的对数式的化简、求值一是“拆”，将积、商的对数拆成对数的和、差．如39log5＋log35＝log39－log35＋log35＝log39＝2．二是“收”，将同底数的对数和、差合成积、商的对数．如，39log5＋log35＝39log55⎛⎫⨯⎪⎝⎭＝log39＝2．三是“拆”与“收”相结合．(2)不同底数的对数式的化简、求值常用方法是利用换底公式，转化为同底数的对数式，进而进行化简，化简后再将底数统一进行计算．也可以在方向还不清楚的情况下，统一将不同的底换为常用对数等，再进行化简、求值．对数式的化简、求值，要灵活运用对数的性质、运算性质、换底公式和一些常见的结论，如log a1＝0，log a a＝1，a log a N＝N，lg 2＋lg 5＝1，log a b·log b a＝1等．【例5－1】化简求值：(1)4lg 2＋3lg 5－1lg5；；(3)2log32－332log9＋log38－5log35；(4)log2(1)＋log2(1．分析：依据对数的运算性质进行化简，注意运算性质的正用、逆用以及变形应用．解：(1)原式＝4325lg15⨯＝lg 104＝4．(2)原式＝2124257521357751log 2(2log 3)log 2log 73212log 3log 2log 3log 223-⋅⋅=⎛⎫-⋅⋅ ⎪⎝⎭＝－3log 32×log 23＝－3．(3)原式＝2log 32－(log 332－log 39)＋3log 32－3 ＝5log 32－(5log 32－2log 33)－3＝－1．(4)原式＝log 2[(1)(1－3)]＝log 2[(12－3]＝log 2(3＋3)＝233log 222=．【例5－2】计算：(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)－分析：按照对数的运算法则，无法进行计算，因此可先用换底公式将其化为同底对数，再对代数式进行化简计算．观察底数的特点，化成以2或以3为底的对数．解：原式＝5422332111log 3log 3log 2log 2log 2232⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝2323535535log 3log 2log 3log 2624624⨯+=⨯⨯⨯+ ＝555442+=． 6．条件求值问题对于带有附加条件的与对数式有关的求值问题，如果附加条件比较复杂，则需先对其进行变形、化简，并充分利用其最简结果解决问题．例如：设x ＝log 23，求332222x x x x ----的值时，我们可由x ＝log 23，求出2x＝3,2－x ＝13，然后将它们代入332222x xx x----，可得33331322913122933x x x x --⎛⎫- ⎪-⎝⎭==--．【例6】已知3a ＝4b ＝36，求21a b+的值．解：(方法一)由3a ＝4b ＝36，得a ＝log 336，b ＝log 436． 故342121log 36log 36a b +=+＝2log 363＋log 364＝log 369＋log 364 ＝log 3636＝1．(方法二)由3a ＝4b ＝36，得log 63a ＝log 64b ＝log 636， 即a log 63＝b log 64＝2． 于是2a ＝log 63，1b ＝log 62，21a b+＝log 63＋log 62＝log 66＝1． 析规律 与对数式有关的求值问题的解决方法 (1)注意指数式与对数式的互化，有些需要将对数式化为指数式，而有些需要将指数式化为对数式；(2)注意换底公式与对数的运算性质的应用，解题时应全方位、多角度地思考，注意已知条件和所求式子的前后照应．7．利用已知对数表示其他对数(1)换底公式的作用是将不同底的对数式转化成同底的对数式，将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(2)用对数log a x 和log b y 等表示其他对数时，首先仔细观察a ，b 和所要表示的对数底数的关系，利用换底公式把所要表示的对数底数换为a ，b ．解决此类题目时，通常用到对数的运算性质和换底公式．对数的运算性质总结：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；log aMN ＝log a M －log a N ； log a M n＝n log a M (n ∈R )．换底公式：log a b ＝log log c c ba (a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．(3)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式． 【例7－1】已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36＝( )A ．a b a + B ．a bb + C ．a a b + D ．b a b+解析：由换底公式得 log 36＝lg 6lg(23)lg 2lg 3lg 3lg 3lg 3a bb⨯++===． 答案：B【例7－2】已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645(用a ，b 表示)．分析：利用指数式和对数式的互化公式，将18b ＝5化成log 185＝b ，再利用换底公式，将log 3645化成以18为底的对数，最后进行对数运算即可．解：(方法一)∵log 189＝a,18b ＝5， ∴log 185＝b ．于是log 3645＝18181818181818181818log 45log (95)log 9log 5log 9log 518log 36log (182)1log 21log 9⨯++===⨯++ ＝181818log 9log 52log 92a b a++=--． (方法二)∵log 189＝a ，且18b ＝5， ∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18． ∴log 3645＝2lg 45lg(95)lg 9lg 5lg18lg1818lg 362lg18lg 92lg18lg182lg 9a b a ba a ⨯+++====---．8．与对数有关的方程的求解问题 关于对数的方程有三类：第一类是形如关于x 的方程log a f (x )＝b ，通常将其化为指数式f (x )＝a b ，这样解关于x 的方程f (x )＝a b 即可，最后要注意验根．例如：解方程64152log 163x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，将其化为指数式为23156416x --=，又223233164(4)416---===，则1511616x -=，所以x ＝1，经检验x ＝1是原方程的根．第二类是形如关于x 的方程log f (x )n ＝b ，通常将其化为指数式f b (x )＝n ，这样解关于x 的方程f b (x )＝n 即可，最后要注意验根．例如，解方程log (1－x )4＝2，将其化为指数式为(1－x )2＝4，解得x ＝3或x ＝－1，经检验x ＝3是增根，原方程的根是x ＝－1．第三类是形如关于x 的方程f (log a x )＝0，通常利用换元法，设log a x ＝t ，转化为解方程f (t )＝0得t ＝p 的值，再解方程log a x ＝p ，化为指数式则x ＝a p ，最后要注意验根．【例8－1】已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求xy的值． 解：由已知，可得lg(xy )＝lg(x －2y )2，从而有xy ＝(x －2y )2，整理得x 2－5xy ＋4y 2＝0，即(x －y )(x －4y )＝0．从而可得x ＝y 或x ＝4y ．但由x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，可得x ＞2y ＞0，于是x ＝y 应舍去．故x ＝4y ，即4xy=．因此4xy==＝4． 辨误区 解对数方程易出现的错误 在处理与对数有关的问题时，必须注意“真数大于零”这一条件，否则会出现错误．例如，本题若不注意“真数大于零”，则会出现两个结果：4和0．【例8－2】解方程lg 2x －lg x 2－3＝0． 解：原方程可化为lg 2x －2lg x －3＝0．设lg x ＝t ，则有t 2－2t －3＝0，解得t ＝－1或t ＝3，于是lg x ＝－1或3，解得110x =或1 000． 经检验110x =，1 000均符合题意， 因此原方程的根是110x =，或x ＝1 000．辨误区 lg 2x 与lg x 2的区别 本题中，易混淆lg 2x 和lg x 2的区别，lg 2x 表示lg x 的平方，即lg 2x ＝(lg x )2，而lg x 2＝2lg x ．9．对数运算的实际应用对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛，其运用问题大致可分为两类：一类是已知对数应用模型(公式)，在此基础上进行一些实际求值．计算时要注意利用“指、对互化”把对数式化成指数式．另一类是先建立指数函数应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边进行取对数运算．【例9】抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg 2≈0.301 0)解：设至少抽n 次可使容器内空气少于原来的0.1%，则a (1－60%)n ＜0.1%a (设原先容器中的空气体积为a )，即0.4n ＜0.001， 两边取常用对数得n ·lg 0.4＜lg 0.001，所以n ＞lg 0.0013lg 0.42lg 21=-≈7.5． 故至少需要抽8次．点技巧 求数值较大的指数的方法 利用对数计算是常用的方法，一般的方法是对等式(或不等式)两边取常用对数或自然对数，再用计算器或计算机进行对数的计算．。
2.2.1对数与对数运算(第一课时)
2
lo g 1 5 .7 3 m 1 34 ( ) 16 2 2 10 0.01
e
2 .3 0 3
10
典例分析
例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. 常用对数：以10为底的对数
lg 0.01
自然对数：以e为底的对数
其中无理数e=2.71828 ··· （5） lo g 1 0 0 .0 1 2
求a的取值范围
3、求等式 lg 1- 3x) = 1 （ 中的x的值
其中 a 叫做对数的底数，N叫做真数.
a N
x
x lo g a N
对数式
指数式
新课讲解
二、对数的性质 若 a 0, 且 a 1
a N
x
x lo g a N
2 lo g 4 1 6
1 2 x lo g 2 1 0 4 8 5 7 6 lo g 4 2
4 16
2
课本64页练习3,4
目标再现
1、理解对数的概念，了解对数与指数的关系；
2、理解和掌握对数的性质；
3、掌握对数式与指数式的关系 .
作业：课本74页A组1,2
课堂检测
1、已知 ln(lg x) = 0, 那么x等于（ ）
1 C、 10
(5- a D、e
2、已知对数式 b = log ( a-
典例分析
例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. （1）54=645 （2）2
6
lo g 5 6 4 5 4
m
1 64
lo g 2
1 64
6
（3） ( ) 5 .7 3
3 （4） lo g 1 1 6 4
对数函数学案
2.2对数函数2.2.1对数与对数运算第一课时对数Q 情景引入ing jing yin ru“对数”(logarithm)一词是纳皮尔首先创造的，意思是“比数”．他最早用“人造的数”来表示对数．俄国著名诗人莱蒙托夫是一位数学爱好者，传说有一次他在解答一道数学题时，冥思苦想没法解决，睡觉时做了一个梦，梦中一位老人提示他解答的方法，醒后他真的把此题解出来了，莱蒙托夫把梦中老人的像画了出来，大家一看竟是数学家纳皮尔，这个传说告诉我们：纳皮尔在人们心目中的地位是多么地高！那么，“对数”到底是什么呢？学完本节内容就明白了！X 新知导学in zhi dao xue1．对数的概念若a x＝N(a＞0，且a≠1)，则数x叫做以a为底N的对数，a叫做对数的__底数__，N 叫做__真数__，记作x＝__log a N__.[知识点拨]对数式log a N可看作一种记号，表示关于x的方程a x＝N(a＞0，且a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a＞0，且a≠1)，幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式log a N又可看作幂运算的逆运算．2．常用对数和自然对数(1)常用对数：通常我们将以__10__为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为__lg N__.(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把log e N记为__ln N__.3．对数与指数的关系当a＞0，且a≠1时，a x＝N⇔x＝__log a N__.4．对数的基本性质(1)__零__和__负数__没有对数．(2)log a1＝__0__(a＞0，且a≠1)．(3)log a a＝__1__(a＞0，且a≠1)．Y 预习自测u xi zi ce1．将a b ＝N 化为对数式是( B ) A ．log b a ＝N B ．log a N ＝b C ．log N b ＝aD ．log N a ＝b[解析] 根据对数定义知a b ＝N ⇔b ＝log a N ，故选B. 2．若log 8x ＝－23，则x 的值为( A )A.14 B ．4 C ．2D ．12[解析] ∵log 8x ＝－23，∴x ＝8－23 ＝2－2＝14，故选A.3．对数式log a 8＝3改写成指数式为( D ) A ．a 8＝3 B ．3a ＝8 C ．83＝aD ．a 3＝8[解析] 根据指数式与对数式的互化可知，把log a 8＝3化为指数式为a 3＝8，故选D. 4．若log 2x －12＝1，则x ＝__5__.[解析] ∵log 2x －12＝1，∴x －12＝2，∴x ＝5.H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨指数式与对数式的互化典例1 完成以下指数式、对数式的互化.(1)log 515＝－1；(2)log 12 16＝－4；(3)log 5125＝6；(4)26＝64；(5)10－3＝0.001；(6)(12)－3＝8.[思路分析] 先判断出是指数式还是对数式，再利用指对数的关系转化求解． [解析] (1)∵log 515＝－1，∴5－1＝15.(2)∵log 12 16＝－4，∴(12)－4＝16.(3)∵log 5125＝6，∴(5)6＝125. (4)∵26＝64，∴log 264＝6.(5)∵10－3＝0.001，∴lg0.001＝－3. (6)∵(12)－3＝8，∴log 128＝－3.『规律方法』 对数式log a N ＝b 是由指数式a b ＝N 变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N 就是指数式中的幂的值，而对数值b 是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接写成log (－3)9＝2，只有a ＞0且a ≠1，N ＞0时，才有a x ＝N ⇔x ＝log a N .〔跟踪练习1〕将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)42＝16； (2)102＝100；(3)412＝2；(4)log 1232＝－5. [解析] (1)log 416＝2. (2)lg100＝2. (3)log 42＝12.(4)(12)－5＝32. 命题方向2 ⇨对数定义与性质的应用典例2 求下列各式中的x ：(1)log 3(log 2x )＝0； (2)log 3(log 7x )＝1； (3)lg(ln x )＝1; (4)lg(ln x )＝0.[思路分析] 利用指数式与对数式的互化进行解答． [解析] (1)由log 3(log 2x )＝0得log 2x ＝1，∴x ＝2； (2)log 3(log 7x )＝1，log 7x ＝31＝3， ∴x ＝73＝343； (3)lg(ln x )＝1，ln x ＝10， ∴x ＝e 10；(4)lg(ln x )＝0，ln x ＝1， ∴x ＝e.『规律方法』 对数性质在计算中的应用 (1)对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0.(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．〔跟踪练习2〕 求下列各式中x 的值：(1)x ＝log 12 16； (2)log 8x ＝－13；(3)log 2(log 4x )＝0； (4)log (2－1)13＋22＝x .[解析] (1)∵x ＝log 12 16，∴(12)x ＝16，即2－x ＝24.∴－x ＝4，即x ＝－4.(2)∵log 8x ＝－13，∴x ＝8－13 ＝1 38＝12.(3)∵log 2(log 4x )＝0，∴log 4x ＝1，∴x ＝4. (4)∵log (2－1)13＋22＝x ，∴(2－1)x ＝13＋22＝1(2＋1)2＝12＋1＝2－1，∴x ＝1.命题方向3 ⇨对数恒等式的应用典例3 计算：(1)71－log 75；(2)412 (log 29－log 25)；(3)a log a b ·log b c (a 、b 均为不等于1的正数，c ＞0)． [解析] (1)原式＝77log 75＝75.(2)原式＝2(log 29－log 25)＝2log 292log 25＝95. (3)原式＝(a log a b )log b c ＝b log b c ＝c .『规律方法』 运用对数恒等式时注意事项 (1)对于对数恒等式a log a N ＝N 要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．〔跟踪练习3〕求31＋log 36－24＋log 23＋103lg3＋(19)log 34的值．[解析] 原式＝3·3log 36－24·2log 23＋(10lg3)3＋(3log 34)－2 ＝3×6－16×3＋33＋4－2 ＝18－48＋27＋116＝－4716.Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi因忽视对数式的底数和真数的取值范围致误典例4 对数式log (a －2)(5－a )＝b 中，实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，5)B ．(2,5)C ．(2，＋∞)D ．(2,3)∪(3,5)[错解] A由题意，得5－a >0，∴a <5.[错因分析] 该解法忽视了对数的底数和真数都有范围限制，只考虑了真数而忽视了底数．[正解] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0，a －2>0，a －2≠1，∴2<a <3或3<a <5.故选D.[警示] 对数的真数与底数都有范围限制，不可顾此失彼． X 学科核心素养ue ke he xin su yang再谈等价转化指数式与对数式可以相互转化，利用这种转化关系可以求解指对方程与不等式及指数对数运算．将等式两端取同底的对数，是指数对数转化的另一种表现形式．典例5 若log 12 x ＝m ，log 14y ＝m ＋2，求x 2y 的值.[思路分析] 14＝(12)2，两个对数式可以通过指数对数互化化为指数式，于是可以运用幂的运算法则求x 2y.[解析] ∵log 12x ＝m ，∴(12)m ＝x ，x 2＝(12)2m .∵log 14 y ＝m ＋2，∴(14)m ＋2＝y ，y ＝(12)2m ＋4.∴x 2y ＝(12)2m (12)2m ＋4＝(12)2m －(2m ＋4)＝(12)－4＝16.K 课堂达标验收e tang da biao yan shou1．下列说法： ①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成为对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] ①正确；②当底数小于0的指数式不可以化成对数式；③④叫法正确，故选C.2．若b ＝a 3(a >0且a ≠1)，则有( B ) A ．log a 3＝b B ．log a b ＝3 C ．log b 3＝aD ．log b a ＝3[解析] ∵b ＝a 3，∴log a b ＝3，故选B.3．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( B ) A ．100＝1与lg1＝0 B ．27－13＝13与log 2713＝－3 C ．log 39＝2与32＝9 D ．log 55＝1与51＝5 [解析] 对B 选项27－13＝13化为对数式为log 2713＝－13. 4．若对数log (x －1)(4x －5)有意义，则x 的取值范围是__(54，2)∪(2，＋∞)__.[解析] 要使对数log (x －1)(4x －5)有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧4x －5>0x －1>0x －1≠1，∴x >54且x ≠2.5．将下列指数式与对数式互化： (1)log 216＝4； (2)log 1327＝－3；(3)log 3x ＝6；(4)43＝64； (5)3－2＝19；(6)(14)－2＝16. [解析] (1)∵log 216＝4，∴24＝16. (2)∵log 13 27＝－3，∴(13)－3＝27.(3)∵log3x ＝6，∴(3)6＝x .(4)∵43＝64，∴log 464＝3. (5)∵3－2＝19，∴log 319＝－2.(6)∵(14)－2＝16，∴log 1416＝－2.A 级 基础巩固一、选择题1．(2015·盘锦高一检测)下列指数式与对数式互化不正确的一组是( B ) A ．e 0＝1与ln1＝0 B ．log 39＝2与912＝3C ．8－13＝12与log 812＝－13D ．log 77＝1与71＝7[解析] log 39＝2化为指数式为32＝9，故选B. 2．把对数式x ＝lg2化成指数式为( A ) A ．10x ＝2 B ．x 10＝2 C ．x 2＝10D ．2x ＝10[解析] 由指数、对数的互化可得x ＝lg2⇔10x ＝2，故选A. 3．log x 3y ＝4，则x 、y 之间的关系正确的是( A ) A ．x 4＝3y B ．y ＝64x C ．y ＝3x 4D ．x ＝3y 2[解析] 将对数式log x 3y ＝4化为指数式为x 4＝3y ，故选A. 4．(12)－1＋log 0.54的值为( C )A ．6B ．72C ．8D ．37[解析] (12)－1＋log 0.54＝(12)·(12)log 0.54＝(12)－1·(12)log 12 4＝2×4＝8.5．方程2log 3x ＝14的解是( A )A ．x ＝19B ．x ＝33C ．x ＝3D ．x ＝9[解析] ∵2log 3x ＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.6．已知f (e x )＝x ，则f (3)＝( B ) A ．log 3e B ．ln3 C ．e 3D ．3e[解析] 令e x ＝3，∴x ＝ln3，∴f (3)＝ln3，故选B. 二、填空题7．若log π[log 3(ln x )]＝0，则x ＝__e 3__. [解析] 由题意，得log 3(ln x )＝1， ∴ln x ＝3，∴x ＝e 3. 8．log2－1(2＋1)＋ln1－lg1100＝__1__. [解析] 设log 2－1(2＋1)＝x ，则(2－1)x ＝2＋1＝12－1＝(2－1)－1，∴x ＝－1；设lg 1100＝y ，则10y ＝1100＝10－2，∴y ＝－2；又ln1＝0，∴原式＝－1＋0－(－2)＝1. 三、解答题9．求下列各式的值：(1)log 464； (2)log 31； (3)log 927； (4)2log 2π. [解析] (1)设log 464＝x ，则4x ＝64， ∵64＝43，∴x ＝3，∴log 464＝3. (2)设log 31＝x ，则3x ＝1， ∵1＝30，∴x ＝0，∴log 31＝0. (3)设log 927＝x ，则9x ＝27即32x ＝33， ∴2x ＝3即x ＝32，∴log 927＝32.(4)设2log 2π＝x ，则log 2π＝log 2x ＝u ， ∴π＝2u ，x ＝2u ，∴x ＝π，即2log 2π＝π.B 级 素养提升一、选择题1．在b ＝log (3a －1)(3－2a )中，实数a 的取值范围是( B ) A ．a ＞32或a ＜13B.13＜a ＜23或23＜a ＜32 C.13＜a ＜32D.23＜a ＜32[解析] 要使式子b ＝log (3a －1)(3－2a )有意义，则 ⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＞0，3a －1≠1，3－2a ＞0即13＜a ＜23或23＜a ＜32，故选B. 2．log 5[log 3(log 2x )]＝0，则x －12等于( C )A.66 B ．39C.24D ．23[解析] ∵log 5[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，∴x ＝23＝8， ∴x－12＝8－12＝18＝122＝24，故选C. 3．若log a 3＝2log 230，则a 的值为( B ) A ．2 B ．3 C ．8D ．9[解析] ∵log a 3＝2log 230＝20＝1，∴a ＝3，故选B. 4．已知lg a ＝2.31，lg b ＝1.31，则ba 等于( B )A.1100 B ．110C ．10D ．100[解析] ∵lg a ＝2.31，lg b ＝1.31， ∴a ＝102.31，b ＝101.31， ∴b a ＝101.31102.31＝10－1＝110. 二、填空题5．若log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝__12__. [解析] ∵log a 2＝m ，∴a m ＝2，∴a 2m ＝4， 又∵log a 3＝n ，∴a n ＝3，∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝4×3＝12.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x ＞1，若f (x )＝2，则x ＝__log 32__.[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，3x ＝2⇒x ＝log 32，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1－x ＝2⇒x ＝－2无解． 三、解答题7．求下列各式中的x ： (1)log x 27＝32；(2)log 2x ＝－23；(3)log x (3＋22)＝－2； (4)log 5(log 2x )＝0； (5)x ＝log 2719；(6)x ＝log 1216.[解析] (1)由log x 27＝32，得x 32 ＝27， ∴x ＝2723＝9.(2)由log 2x ＝－23，得x ＝2－23 ＝322.(3)由log x (3＋22)＝－2，得3＋22＝x －2， ∴x ＝(3＋22)－12＝2－1.(4)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1， ∴x ＝21＝2.(5)由log 2719＝x ，得27x ＝19，33x ＝3－2，∴3x ＝－2，∴x ＝－23.(6)由log 12 16＝x ，得(12)x ＝16，即2－x ＝24，∴x ＝－4.C 级 能力拔高1．求下列各式中x 的值： (1)x ＝log 224；(2)x ＝log 93； (3)log x 8＝－3；(4)log 12x ＝4.[解析] (1)由已知得(22)x＝4， ∴2－x 2＝22，－x2＝2，x ＝－4.(2)由已知得9x ＝3，即32x ＝312.∴2x ＝12，x ＝14.(3)由已知得x －3＝8， 即(1x )3＝23，1x ＝2，x ＝12. (4)由已知得x ＝(12)4＝116.2．设x ＝log 23，求23x －2－3x2x －2－x的值.[解析] 由x ＝log 23，得2－x ＝13，2x ＝3，∴23x －2－3x 2x －2－x ＝(2x )3－(2－x )32x －2－x＝(2x )2＋1＋(2－x )2＝32＋1＋(13)2＝919. 第二课时 对数的运算性质Q 情景引入ing jing yin ru已知对数log 864，log 264，log 28，log 464，log 48.对数log 864的值与对数log 264和log 28的值有什么关系？ 对数log 864的值与对数log 464和log 48的值有什么关系？ 由上面的问题你能得出什么结论？ X 新知导学in zhi dao xue1．对数的运算性质[知识点拨]a a M )(log a N )，log a (M ＋N )≠log a M ＋log a N ，log a M N ≠log a M log a N.2．换底公式log a b ＝__log c blog c a __(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．[知识拓展] (1)可用换底公式证明以下结论：①log a b ＝1log b a ；②log a b ·log b c ·log c a ＝1；③log an b n ＝log a b ；④log an b m ＝m n log a b ；⑤log 1a b＝－log a b .(2)对换底公式的理解：换底公式真神奇，换成新底可任意， 原底加底变分母，真数加底变分子． Y 预习自测u xi zi ce1．若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数是( A ) ①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )； ③log a xy ＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y . A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] 由对数运算法则知，均不正确．故选A. 2．lg20＋lg50的值为( C ) A ．70 B ．1 000 C ．3D ．52[解析] lg20＋lg50＝lg1 000＝3.故选C. 3．log 62＋log 63等于( A ) A ．1 B ．2 C ．5D ．6 [解析] log 62＋log 63＝log 62×3＝log 66＝1. 4．log 23·log 34＝__2__.[解析] log 23·log 34＝lg3lg2·lg4lg3＝lg3lg2·2lg2lg3＝2.5．计算下列各式的值： (1)2lg5＋lg4＋e ln2＋log222；(2)(log 23＋log 89)(log 34＋log 98＋log 32)．[解析] (1)原式＝2lg5＋2lg2＋2＋3＝2(lg5＋lg2)＋5＝7. (2)原式＝(log 23＋log 29log 28)(log 322＋log 38log 39＋log 32)＝(log 23＋23log 23)(2log 32＋32log 32＋log 32)＝(53log 23)(92log 32)＝152.H 互动探究解疑 u dong tan jiu jie yi典例1 用log a x ，log a y ，log a z 表示：(1)log a(xy 2)；(2)loga (x y )；(3)log a3x yz 2. [解析] (1)log a (xy 2)＝log a x ＋log a y 2＝log a x ＋2log a y . (2)log a (x y )＝log a x ＋log a y ＝log a x ＋12log a y .(3)log a3x yz 2＝13log a x yz 2＝13(log a x －log a (yz 2))＝13(log a x －log a y －2log a z )． 『规律方法』 对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质．二要注意取值范围对符号的限制．〔跟踪练习1〕用log a x 、log a y 、log a z 表示下列各式： (1)log a (x 3y 5)； (2)log axyz. [解析] (1)log a (x 3y 5)＝log a x 3＋log a y 5 ＝3log a x ＋5log a y . (2)log axyz＝log a x －log a (yz ) ＝log a x 12－(log a y ＋log a z )＝12log a x －log a y －log a z . 命题方向2 ⇨运用对数的运算性质化简求值典例2 计算下列各式的值：(1)lg 27＋lg8－3lg 10lg1.2；(2)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8；(3)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1. [思路分析] 利用对数的运算性质计算．[解析] (1)原式＝lg (33)12 ＋lg23－3lg1012lg 3×2210＝32(lg3＋2lg2－1)lg3＋2lg2－1＝32.(2)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55 ＝2log 55＝2.(3)原式＝lg 2(2lg 2＋lg5)＋(lg 2－1)2 ＝lg 2(lg2＋lg5)＋1－lg 2 ＝lg 2＋1－lg 2 ＝1.『规律方法』 灵活运用对数运算法则进行对数运算，要注意法则的正用和逆用．在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案进行对数运算．〔跟踪练习2〕 求下列各式的值： (1)log 318－log 36； (2)log 1123＋2log 1122；(3)lg 28＋43＋log 28－43； (4)lg3＋2lg2－1lg1.2.[解析] (1)原式＝log 3186＝log 33＝1.(2)原式＝log 1123＋log 1124＝log 11212＝－1.(3)原式＝log 2[8＋438－43]＝log 282－(43)2＝log 264－48)＝log 24＝2. (4)原式＝lg3＋lg4－1lg1.2＝lg1.2lg1.2＝1.命题方向3 ⇨换底公式的应用典例3 (1)计算log 2125·log 318·log 519；(2)若log 34·log 48·log 8m ＝log 42，求m 的值.[思路分析] (1)对数的底数不同，如何将其化为同底的对数？(2)等式左边前一个对数的真数是后面对数的底数，利用换底公式很容易进行约分求解m 的值．[解析] (1)原式＝lg 125lg2·lg 18lg3·lg 19lg5＝(－2lg5)·(－3lg2)·(－2lg3)lg2·lg3·lg5＝－12.(2)由题意，得lg4lg3·lg8lg4·lg m lg8＝lg m lg3＝12，∴lg m ＝12lg3，即lg m ＝lg312 ， ∴m ＝ 3.『规律方法』 关于换底公式的用途和本质：(1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，然后查表求值，以此来解决对数求值的问题．(2)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．(3)在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如log a b ＝1log b a ；log a a n ＝n ，log am b n ＝nmlog a b ；lg2＋lg5＝1等，将会达到事半功倍的效果．〔跟踪练习3〕 计算下列各式的值： (1)log 89·log 2732； (2)log 927； (3)log 21125·log 3132·log 513. [解析] (1)log 89·log 2732＝lg9lg8·lg32lg27＝lg32lg23·lg25lg33＝2lg33lg2·5lg23lg3＝109.(2)log 927＝log 327log 39＝log 333log 332＝3log 332log 33＝32.(3)log 21125·log 3132·log 513＝log 25－3·log 32－5·log 53－1＝－3log 25·(－5log 32)·(－log 53)＝－15·lg5lg2·lg2lg3·lg3lg5＝－15.Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi因忽视对数的真数大于零而致误典例4 解方程lg(x ＋1)＋lg x ＝lg6.[错解] ∵lg(x ＋1)＋lg x ＝lg[x (x ＋1)]＝lg(x 2＋x )， ∴lg(x 2＋x )＝lg6，∴x 2＋x ＝6，解得x ＝2或x ＝－3.[错因分析] 错解中，去掉对数符号后方程x 2＋x ＝6与原方程不等价，产生了增根，其原因是在x 2＋x ＝6中x ∈R ，而在原方程中，应有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x >0.求解之后再验根即可．[正解] ∵lg(x ＋1)＋lg x ＝lg[x (x ＋1)]＝lg6，∴x (x ＋1)＝6，解得x ＝2或x ＝－3，经检验x ＝－3不符合题意，∴x ＝2. X 学科核心素养ue ke he xin su yang转化与化归思想的应用与综合分析解决问题的能力典例5 (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值；(2)已知log 23＝a,3b ＝7，求log 1256.[思路分析] (1)欲求2x ＋1y 的值，已知3x ＝36,4y ＝36，由此两式怎样得到x ，y ，容易想到对数的定义——故可用等式两端取同底的对数(指对互化)来解决；(2)已知条件中有指数式，也有对数式，而待计算式为对数式，因此可将指数式3b ＝7化为对数式解决．观察所给数字特征、条件式中为2、3、7，又12＝3×22,56＝7×23，故还可以利用换底公式的推论log an b m ＝mnlog a b ，将条件中的对数式log 23＝a 化为指数式解答．[解析] (1)由已知分别求出x 和y ， ∵3x ＝36,4y ＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得：x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364，∴1x ＝log 363，1y ＝log 364，∴2x ＋1y ＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝log 3636＝1. (2)解法一：因为log 23＝a ，所以2a ＝3.又3b ＝7，故7＝(2a )b ＝2ab ，故56＝23＋ab，又12＝3×4＝2a ×4＝2a ＋2，从而log 1256＝log 2a ＋223＋ab＝3＋aba ＋2. 解法二：因为log 23＝a ，所以log 32＝1a .又3b ＝7，所以log 37＝b .从而log 1256＝log 356log 312＝log 37＋log 38log 33＋log 34＝log 37＋3log 321＋2log 32＝b ＋3·1a 1＋2·1a ＝ab ＋3a ＋2.『规律方法』 1.应用换底公式应注意的事项 (1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用．2．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化．3．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数． 思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值． K 课堂达标验收e tang da biao yan shou1．若lg2＝a ，lg3＝b ，则lg12lg15等于( D )A.2a ＋b 1＋a ＋b B ．2a ＋2b 1＋a ＋bC.2a ＋b 2－a ＋b D ．2a ＋b1－a ＋b[解析]lg12lg15＝lg3＋2lg2lg3＋(1－lg2)＝2a ＋b 1－a ＋b. 2．计算log 89·log 932的结果为( B ) A ．4 B ．53C.14D ．35[解析] log 89·log 932＝lg9lg8·lg32lg9＝5lg23lg2＝53，故选B.3．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示是( A ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2－1[解析] log 38－2log 36＝log 323－2(log 32＋log 33) ＝3log 32－2(log 32＋1) ＝3a －2(a ＋1)＝a －2.故选A. 4.12log 612－log 62＝__12__. [解析] 原式＝12log 612－12log 62＝12log 6122＝12log 66＝12. 5．计算：(1)lg14－2lg 73＋lg7－lg18；(2)2lg2＋lg32＋lg0.36＋2lg2； (3)lg 25＋lg2·lg50.[解析] (1)解法一：原式＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2 ＝0.解法二：原式＝lg14－lg(73)2＋lg7－lg18＝lg 14×7(73)2×18＝lg1＝0.(2)原式＝2lg2＋lg32＋lg36－2＋2lg2＝2lg2＋lg34lg2＋2lg3＝12.(3)原式＝lg 25＋(1－lg5)(1＋lg5)＝lg 25＋1－lg 25＝1.A 级 基础巩固一、选择题1．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( B ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c2．如果lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ，则x 等于( C ) A ．a ＋2b －3c B ．a ＋b 2－c 3 C.ab 2c3 D ．2ab 3c[解析] lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ＝lg ab 2c 3，∴x ＝ab 2c3，故选C.3．已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为( A )A ．3B ．8C ．4D ．log 48 [解析] x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 49＋log 4(83)2＝log 4(9×649)＝log 464＝3，故选A.4．若log 34·log 8m ＝log 416，则m 等于( D ) A ．3 B ．9 C ．18D ．27[解析] 原式可化为：log 8m ＝2log 34，∴13log 2m ＝2log 43，∴m 13＝3，m ＝27，故选D.5．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x －12等于( C )A.13 B ．123C.122D ．133[解析] log 7[log 3(log 2x )]＝0，则log 3(log 2x )＝1，log 2x ＝3，x ＝8，因此x －12＝122.故选C.6．已知2a ＝5b ＝M ，且2a ＋1b ＝2，则M 的值是( B )A ．20B ．25C ．±25D ．400[解析] ∵2a ＝5b ＝M ，∴a ＝log 2M ＝lg Mlg2，b ＝log 5M ＝lg Mlg5，∴1a ＝lg2lg M， 1b ＝lg5lg M ，∴2a ＋1b ＝2lg2lg M ＋lg5lg M ＝lg4＋lg5lg M ＝lg20lg M ＝2， ∴2lg M ＝lg20，∴lg M 2＝lg20， ∴M 2＝20， ∵M >0，∴M ＝2 5. 二、填空题7．2log 525＋3log 264－8ln1＝__22__.[解析] 原式＝2×2＋3log 226－8·ln1＝4＋3×6－0＝22. 8．化简log 2(2＋3)＋log 2(2－3)＝__0__. [解析] log 2(2＋3)＋log 2(2－3) ＝log 2(2＋3)·(2－3)＝log 21＝0. 三、解答题9．计算：(1)(log 3312 )2＋log 0.2514＋9log 55－log 31；(2)lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.[解析](1)(log 3312 )2＋log 0.2514＋9log 55－log 31＝(12)2＋1＋9×12－0＝14＋1＋92＝234.(2)原式＝lg25＋lg823＋lg102·lg(10×2)＋(lg2)2＝lg25＋lg4＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝lg(25×4)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.B 级 素养提升一、选择题1．若x log 34＝1，则4x ＋4－x 的值为( B ) A.83 B ．103C ．2D ．1[解析] 由x log 34＝1得x ＝log 43，所以4x ＋4－x ＝3＋13＝103，故选B.2．lg8＋3lg5的值为( D ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3[解析] lg8＋3lg5＝3lg2＋3lg5＝3(lg2＋lg5)＝3lg10＝3，故选D. 3．已知lg a ＝1.63，lg b ＝1.15，lg c ＝4.11，则a 2bc 的值为( D )A ．－2B ．2C ．100D ．1100[解析] ∵lg a 2bc ＝2lg a －lg b －lg c＝2×1.63－1.15－4.11＝－2. ∴a 2bc ＝10－2， ∴a 2bc ＝1100.故选D. 4.log 2716log 34＝( D ) A ．2 B ．32C ．1D ．23[解析] 由公式log a n b m ＝mn log a b ，得原式＝log 3342log 34＝23log 34log 34＝23.二、填空题5．lg 52＋2lg2－(12)－1＝__－1__.[解析] lg 52＋2lg2－(12)－1＝lg 52＋lg4－2＝－1.6．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log (abc )x ＝__1__. [解析] ∵log a x ＝1log x a ＝2，∴log x a ＝12.同理log x c ＝16，log x b ＝13. ∴log abc x ＝1log x (abc )＝1log x a ＋log x b ＋log x c ＝1.三、解答题7．已知log a 2＝m ，log a 3＝n . (1)求a 2m－n的值；(2)求log a 18.[解析] (1)因为log a 2＝m ，log a 3＝m ， 所以a m ＝2，a n ＝3.所以a 2m －n ＝a 2m ÷a n ＝22÷3＝43.(2)log a 18＝log a (2×32)＝log a 2＋log a 32＝log a 2＋2log a 3＝m ＋2n .C 级 能力拔高1．若a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值. [解析] 原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0，设t ＝lg x ， 则原方程化为2t 2－4t ＋1＝0. 所以t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝12.由已知a ，b 是原方程的两个实根，则t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，所以lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12.所以lg(ab )·(log a b ＋log b a ) ＝(lg a ＋lg b )(lg b lg a ＋lg alg b )＝(lg a ＋lg b )[(lg b )2＋(lg a )2]lg a lg b＝(lg a ＋lg b )·(lg b ＋lg a )2－2lg a lg blg a lg b＝2×22－2×1212＝12.2．已知3x ＝4y ＝6z .(1)若z ＝1，求(x －1)(2y －1)的值； (2)若x ，y ，z 为正数，求证：2x ＋1y ＝2z.[解析] (1)由3x ＝4y ＝6得x ＝log 36，y ＝log 46， 所以(x －1)(2y －1)＝(log 36－1)(2log 46－1) ＝log 32·log 49＝lg2lg3·2lg32lg2＝1.(2)证明：设3x ＝4y ＝6z ＝m (m >1)， 则x ＝log 3m ，y ＝log 4m ，z ＝log 6m . 所以1x ＝log m 3，1y ＝log m 4，1z＝log m 6.又因为2log m 3＋log m 4＝log m 36＝2log m 6，所以2x ＋1y ＝2z.2.2.2 对数函数及其性质 第一课时 对数函数及其性质Q 情景引入ing jing yin ru我们所处的地球正当壮年，地壳运动还非常频繁，每年用地震仪可以测出的地震大约有500万次，平均每隔几秒钟就有一次，其中3级以上的大约只有5万次，仅占1%,7级以上的大震每年平均约有18次，8级以上的地震每年平均仅1次，那么地震的震级是怎么定义的呢？这里面就要用到对数函数．X 新知导学in zhi dao xue1．对数函数的定义一般地，我们把函数y ＝__log a x __(a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中__x __是自变量，函数的定义域是__(0，＋∞)__.[知识点拨] (1)由于指数函数y ＝a x 中的底数a 满足a ＞0，且a ≠1，则对数函数y ＝log a x 中的底数a 也必须满足a ＞0，且a ≠1.(2)对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x .2．对数函数的图象和性质一般地，对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象和性质如下表所示：定义域：__(0，＋∞)__对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．Y预习自测u xi zi ce1．下列函数是对数函数的是(D)A．y＝2＋log3xB．y＝log a(2a)(a＞0，且a≠1)C．y＝log a x2(a＞0，且a≠1)D．y＝ln x[解析]判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝log a x”的形式，A，B，C全错，D正确．2．函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为(C)A．(－∞，－1)B．[－1，＋∞)C．(－1，＋∞)D．(1，＋∞)[解析]要使函数有意义，应满足x＋1>0，∴x>－1，故选C.3．函数y＝log a x的图象如图所示，则实数a的可能取值为(A)A．5B．15C.1e D．12[解析]∵函数y＝log a x的图象一直上升，∴函数y＝log a x为单调增函数，∴a＞1，故选A.4．对数函数的图象过点P(9,2)，则此对数函数的解析式为__y＝log3x__. [解析]设对数函数为y＝log a x，∴2＝log a9，∴a＝3，∴解析式为y＝log3x.H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1⇨对数函数概念典例1 下列函数表达式中，是对数函数的有(B)①y＝log x2；②y＝log a x(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝log x(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)．A．1个B．2个C．3个D．4个[思路分析](1)对数概念对底数、真数、系数的要求是什么？[解析]根据对数函数的定义进行判断．由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a>0且a≠1，∴②不是对数函数；由于⑤、⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，∴⑤、⑦也不是对数函数；由于⑥中log4x系数为2，∴⑥不是对数函数；只有③、④符合对数函数的定义．『规律方法』对于对数概念要注意以下两点：(1)在函数的定义中，a>0且a≠1.(2)在解析式y＝log a x中，log a x的系数必须为1，真数必须为x，底数a必须是大于0且不等于1的常数．〔跟踪练习1〕指出下列函数中，哪些是对数函数？①y＝5x；②y＝－log3x；③y＝log0.5x；④y＝log32x；⑤y＝log2(x＋1)．[解析]①是指数函数；②中log3x的系数为－1，∴②不是对数函数；③中的真数为x，∴③不是对数函数；⑤中的真数是(x＋1)，∴⑤不是对数函数；∴只有④是对数函数．命题方向2⇨对数函数的定义域典例2 求下列函数的定义域：(1)f (x )＝log (2x －1)(2－x )；(2)f (x )＝2－ln (3－x )；(3)f (x )＝3log 0.5(x －1).[思路分析] 依据使函数有意义的条件列出不等式组→解不等式组→写出函数的定义域．[解析] (1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，且2x －1≠1，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >12，且x ≠1，x <2，∴12<x <2，且x ≠1，故函数的定义域为{x |12<x <2，且x ≠1}． (2)要使函数有意义，需使2－ln(3－x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≤e 2，3－x >0，解得3－e 2≤x <3，故函数的定义域为{x |3－e 2≤x <3}． (3)要使函数有意义，需使log 0.5(x －1)>0， 即log 12(x －1)>0，∴0<x －1<1，即1<x <2.故函数的定义域为{x |1<x <2}．『规律方法』 定义域是研究函数的基础，若已知函数解析式求定义域，常规为：①分母不能为零，②0的零次幂与负指数次幂无意义，③偶次方根的被开方式(数)非负，④求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意底数；三是按底数的取值应用单调性．〔跟踪练习2〕 (1)函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( C )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)(2)函数y ＝f (x )的定义域为(－1,1)，则函数y ＝f (lg x )的定义域为__(110，10)__.[解析] (1)使函数有意义应满足log 2x －1>0， 即log 2x >1，∴x >2，故选C. (2)由y ＝f (x )定义域为(－1,1)知 －1＜lg x ＜1 解得110＜x ＜1，故y ＝f (lg x )定义域为(110，10)．Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi忽略对数函数的定义域致错典例3 已知函数y ＝f (x )，x ，y 满足关系式lg(lg y )＝lg(3x )＋lg(3－x )，求函数y＝f (x )的解析式、定义域及值域.[错解] 因为lg(lg y )＝lg(3x )＋lg(3－x )＝lg[3x (3－x )]，① 所以lg y ＝3x (3－x )，即y ＝103x (3－x )．所以定义域为R ，值域为(0，＋∞)．以上解题过程中都有哪些错误？出错的原因是什么？你如何改正？如何防范？ [错因分析] 错解中没有注意到对数函数的定义域，即表达式①成立的前提为⎩⎪⎨⎪⎧3x >0，3－x >0. [正解] ∵lg(lg y )＝lg(3x )＋lg(3－x )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x >0，3－x >0，lg y >0，即⎩⎪⎨⎪⎧0<x <3，y >1. 又lg(lg y )＝lg(3x )＋lg(3－x )＝lg[3x (3－x )]，∴lg y ＝3x (3－x )，所以y ＝103x (3－x )．∵0<x <3，∴3x (3－x )＝－3(x －32)2＋274∈(0，274]，∴y ＝103x (3－x )∈(1,10274]，满足x >1.∴函数y ＝f (x )的解析式为y ＝103x (3－x )，定义域为(0,3)，值域为(1,10274]．X 学科核心素养ue ke he xin su yang观察下列对数函数图象，分析底数a 的变化对函数图象的影响，你发现了什么规律？(1)不管a >1还是0<a <1，底大图低；(2)在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a 逐渐变小，即a 的值越小，图象越靠近y 轴．典例4 已知图中曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是函数y ＝log a 1x ，y ＝log a 2x ，y ＝log a 3x ，y ＝log a 4x 的图象，则a 1，a 2，a 3，a 4的大小关系是( B )A ．a 4<a 3<a 2<a 1B ．a 3<a 4<a 1<a 2C ．a 2<a 1<a 3<a 4D ．a 3<a 4<a 2<a 1[思路分析] 由图象来判断参数的大小情况，需要抓住图象的本质特征和关键点．根据图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，利用log a a ＝1，结合图象判断．[解析] 在图中作一条直线y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，y ＝log a 3x ，得log a 3x ＝1，所以x ＝a 3. 所以直线y ＝1与曲线C 3：y ＝log a 3x 的交点坐标为(a 3,1)．同理可得直线y ＝1与曲线C 4，C 1，C 2的交点坐标分别为(a 4,1)，(a 1,1)，(a 2,1)． 由图象可知a 3<a 4<a 1<a 2，故选B.『规律方法』 1.熟记函数图象的分布规律，就能在解答有关对数图象的选择、填空题时，灵活运用图象，数形结合解决．2．对数值log a x 的符号(x >0，a >0且a ≠1)规律：“同正异负”．(1)当0<x <1,0<a <1或x >1，a >1时，log a x >0，即当真数x 和底数a 同大于(或小于)1时，对数log a x >0，即对数值为正数，简称为“同正”；(2)当0<x <1，a >1或x >1,0<a <1时，log a x <0，即当真数x 和底数a 中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x 和底数a 的取值范围“相异”时，对数log a x <0，即对数值为负数，简称为“异负”．因此对数的符号简称为“同正异负”．3．指数型、对数型函数的图象与性质的讨论，常常要转化为相应指数函数，对数函数的图象与性质的问题．K 课堂达标验收e tang da biao yan shou1．已知对数函数的图象过点M (16,4)，则此对数函数的解析式为( D ) A ．y ＝log 4x B ．y ＝log 14xC ．y ＝log 12xD ．y ＝log 2x[解析] 由于对数函数的图象过点M (16,4)，所以4＝log a 16，得a ＝2，所以对数函数的解析式为y ＝log 2x ，故选D.2．y ＝2x 与y ＝log 2x 的图象关于( B ) A ．x 轴对称 B ．直线y ＝x 对称 C ．原点对称D ．y 轴对称[解析] 函数y ＝2x 与函数y ＝log 2x 是互为反函数，故它们的图象关于直线y ＝x 对称． 3．如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是( D )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b[解析] 由图可知a ＞1，而0＜b ＜1,0＜c ＜1，取y ＝1，则可知c ＞b .∴a ＞c ＞b ，故选D.4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，10x ，x ≤0，则f [f (－2)]＝__－2__.[解析] f (－2)＝10－2，f [f (－2)]＝lg10－2＝－2. 5．已知对数函数f (x )＝(m 2－m －1)log (m ＋1)x ，求f (27). [解析] ∵f (x )是对数函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，m ＋1＞0，m ＋1≠1，解得m ＝2.∴f (x )＝log 3x ，∴f (27)＝log 327＝3.A 级 基础巩固一、选择题 1．已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N 等于( C )A ．{x |x ＞－1}B ．{x |x ＜1}C ．{x |－1＜x ＜1}D ．∅[解析] 由题意各M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |x ＞－1}，则M ∩N ＝{x |－1＜x ＜1}，故选C. 2．函数y ＝log 2x 在[1,2]上的值域是( D ) A ．RB ．[0，＋∞)C．(－∞，1]D．[0,1][解析]∵1≤x≤2，∴log21≤log2x≤log22，即0≤y≤1，故选D.3．函数f(x)＝log2(3x＋3－x)是(B)A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数[解析]∵3x＋3－x＞0恒成立，∴f(x)的定义域为R.又∵f(－x)＝log2(3－x＋3x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故选B.4．下列各组函数中，定义域相同的一组是(C)A．y＝a x与y＝log a x(a＞0，且a≠1)B．y＝2ln x与y＝ln x2C．y＝lg x与y＝lg xD．y＝x2与y＝lg x2[解析]A项中，函数y＝a x的定义域为R，y＝log a x(a＞0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)；B项中，y＝2ln x的定义域是(0，＋∞)，y＝ln x2的定义域是{x|x∈R，x≠0}；C项中，两个函数的定义域均为(0，＋∞)；D项中y＝x2的定义域为R，y＝lg x2的定义域是{x|x∈R，x≠0}，故选C.5．函数y＝log a(x－3)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(C)A．(3,0)B．(3,2)C．(4,2)D．(4,0)[解析]令x－3＝1，即x＝4，此时y＝log a1＋2＝2，故函数y＝log a(x－3)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(4,2)．6．已知a>0，且a≠1，函数y＝a x与y＝log a(－x)的图象只能是图中的(B)[解析]可以从图象所在的位置及单调性来判别．也可以利用函数的性质识别图象，特别注意底数a对图象的影响．注意到y＝log a(－x)的图象关于y轴的对称图象为y＝log a x，又y＝log a x与y＝a x互为反函数(图象关于直线y＝x对称)，则可直接确定选B.二、填空题7．已知f (x )＝log 9x ，则f (3)＝__12__.[解析]f (3)＝log 93＝log 9912＝12. 8．函数y ＝log 12x －1的定义域为__(0，12]__.[解析] 要使函数有意义，须log 12x －1≥0， ∴log 12 x ≥1，∴0<x ≤12.∴定义域为⎝⎛⎦⎤0，12. 三、解答题9．求下列函数定义域： (1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3；(2)f (x )＝log x ＋1(16－4x )．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，x －3≠0，得x ＞2且x ≠3，∴定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧16－4x ＞0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＜16，x ＞－1，x ≠0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜4. ∴定义域为(－1,0)∪(0,4)．10．已知f (x )＝lg 1＋x 1－x .x ∈(－1,1)若f (a )＝12，求f (－a ).[解析] 解法一：∵f (－x )＝lg 1＋x1－x＝lg(1－x 1＋x )－1＝－f (x )，∴f (－a )＝－f (a )＝－12.解法二：f (a )＝lg 1＋a1－a ，f (－a )＝lg 1－a1＋a＝lg(1＋a 1－a )－1＝－lg 1＋a 1－a＝－12.B 级 素养提升一、选择题1．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )等于( A )A ．log 12xB ．log 2xC ．12xD ．x 2[解析] 由题意知f (x )＝log a x ，又f (a )＝a ，∴log a a ＝a ，∴a ＝12，∴f (x )＝log 12 x ，故选A.2．已知函数f (x )＝log a (x ＋2)，若图象过点(6,3)，则f (2)的值为( B ) A ．－2 B ．2 C.12D ．－12[解析] 由条件知，f (6)＝3，即log a 8＝3，∴a ＝2，∴f (x )＝log 2(x ＋2)， ∴f (2)＝log 2(2＋2)＝2.故选B.3．(2017·全国卷Ⅱ文，8)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( D ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)[解析] 由x 2－2x －8>0，得x <－2或x >4.令g (x )＝x 2－2x －8，函数g (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)．4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ≤1，log a x ，x ＞1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( C )A ．(0,1)B ．(0，13)C ．[17，13)D ．[17，1)[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，0＜a ＜1，(3a －1)＋4a ≥0，∴17≤a ＜13.二、填空题5．函数f (x )＝3x 21－x＋lg(3x ＋1)的定义域是__{x |－13＜x ＜1}__.[解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，解得－13＜x ＜1，故函数的定义域为{x |－13＜x ＜1}．6．函数y ＝log a 2x ＋1x －1的图象恒过定点P ，则P 点坐标为__(－2,0)__.[解析] 对一切a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x ＝－2时，log a2(－2)＋1(－2)－1＝0，∴P 点坐标为(－2,0)．三、解答题7．求下列函数的反函数.(1)y ＝10x ；(2)y ＝(45)x ；(3)y ＝log 13x ；(4)y ＝log 7x .[解析] (1)指数函数y ＝10x ，它的底数是10，它的反函数是对数函数y ＝lg x (x >0)． (2)指数函数y ＝(45)x ，它的底数是45，它的反函数是对数函数y ＝log 45 x (x >0)．(3)对函数y ＝log 13 x ，它底数是13，它的反函数是指数函数y ＝(13)x .(4)对函数y ＝log 7x ，它的底数是7，它的反函数是指数函数y ＝7x .C 级 能力拔高1．若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的表达式，并画出大致图象.[解析] ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝lg(1－x )．又∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－lg(1－x )，∴f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x ＋1)，x ＞0，0，x ＝0，－lg (1－x )，x ＜0.∴f (x )的大致图象如图所示： 2．已知函数f (x )＝lg(x －1). (1)求函数f (x )的定义域和值域； (2)证明f (x )在定义域上是增函数．。
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（5）对数恒等式： a a n log
n
巩固练习
1、指数式b 2 a(b 0, 且b 1)相应的对数式是（D） A log 2 a b B 2 b a log C log a b=2 D log b a 2
2
2、 对数式 log
1 { 中x的取值范围是______ x | x 1} 2Leabharlann 作业：P74 习题A组 1、2
3、求下列各式的值：
log3 3; lg10; log0.5 0.5; ln e.
思考：你发现了什么？
讲授新课 4.对数的性质 探究活动
a
log a N
N.
log0.4 89
3、求下列各式的值：
2
log2 3
; 7
log7 0.6
; 0.4
.
思考：你发现了什么？
讲授新课 4.对数的性质 探究活动
x a x N (a 0, 且a 1) log a N
2、指数式和对数式的互换；
归纳小结
3、运用指数运算求值 4、对数的性质 (a 0, 且a 1)
（1）负数和零没有对数
（2）log a 1 0 （3）loga a 1
即：1的对数是0
即：底数的对数是1
布置作业
loga a b.
b
5
8
4、求下列各式的值：
log3 3 ; log0.9 0.9 ; ln e .
思考：你发现了什么？
课堂练习：P64，练习3、4
4
讲授新课 4.对数的性质 (a 0, 且a 1)
结论： （1）负数和零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ） ． log 1 0 即：1的对数是0 （2） a log （3） a a 1 即：底数的对数是1 （4）对数恒等式： loga N N a
讲授新课
练习1：将下列指数式写成对数式：
①
5 25
2
以5为底25的对数是2， 记作
log 5 25 2
log 2 -6
②
2
-6
1 64
1 以2为底 的对数是-6， 64 1
记作
③
2 7
x
64
以2为底7的对数是x，
记作
log2 7 x
讲授新课
思考：对数与指数有什么区别与联系? x (a 0, 且a 1) a
(2) 2 128
7
(3) 10 0.01
(4) e
2.303
-2
10
(练习：课本P64 2)
例题分析
3、运用指数运算求值 例3 求下列各式中的x的值
2 (1) log 64 x ( 2) log x 8 6 3 2 (3) lg 100 x (4) - ln e x
讲授新课 4.对数的性质 探究活动 1、试求下列各式的值：
log10 3.5 简记为 lg 3.5.
以无理数e = 2.71828…为底的对数 log e N 。
简记作 lnN 。如 log
9 简记为 ln 9. e
例题分析
例1．将下列指数式写成对数式：
(1) 5 625
4
(2) e
-6
1
b
(3) 10 27
a
解：(1)log5 625 4 1 1 (2) log e ln -6 b b (3)log10 27 lg 27 a
(2 x -1)
1- x
巩固练习 3.求下列各式的值
（1） （2）
log5 5
1
1 log 1 16 16
1
（3） （4）
lg1000 3
ln 1 0
归纳小结
思考：各位同学在这节课上有什么收 获？
1、对数的定义
一般地, ax=N(a>0,a≠1),那么数x叫做以a为底 N的对数, 记作logaN=x。(式中的a叫做对数的底 数,N叫做真数.)
(1) 2 32.
x
x 5
x 1 x ( 2)( ) 16. (3) 2 7. 4
x2
x
讲授新课
1.对数的定义：
一般地，如果ax=N ( a > 0 , 且a ≠ 1 ) 那么数x叫做以a为底N的对数， : x = loga N 记作 其中a叫做对数的底数, N叫做真数.
注意：限制条件是a > 0 , 且a ≠ 1
2.2.1 对数与对数的运算
(第一课时)
知识引入
1、如果我国GDP平均每年增长8%，则经过多少年我国 的GDP是现在的两倍？
解：设经过x年国民生产总值是现在的两倍,令 现在的国民生产总值为a.
依题意得：
a(1 8%) 2a
x
即：(1 8%)x 2 如何计算式子中的 x
知识引入 2、求下列各式中x的值
3
1 )m 5.73 (4) ( 3
(4) log 1 5.73 m (练习：课本P64 1)
例题分析 例2．将下列对数式写成指数式：
(1)log 1 16 -4 2 (3)lg 0.01 -2
(2)log 2 128 7
(4)ln10 2.303
-4
1 解： (1) 16 2
log3 0, loga 0; lg(-5), log a (-1);
结论：零和负数没有对数
讲授新课 4.对数的性质 探究活动
loga 1 0.
2、求下列各式的值：
log3 1; lg1; log 0.5 1; ln1.
思考：你发现了什么？
讲授新课 4.对数的性质 探究活动
loga a 1.
a N log N x
名称
式子
a
底数 底数
x
指数
N
指数式 a N
x
幂
真数
对数式log a N x
对数
讲授新课 2. 指数和对数的相互转化
指数 幂 真数
对数
a N log a N b
b
底数
讲授新课 3.两个重要的对数： (1)常用对数：以10为底的对数 log10 N 。 简记作 lgN 。如 (2)自然对数：