人教版初一数学下册鸡兔同笼问题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
《鸡兔同笼问题》
鸡兔同笼是中国古代著名趣题之一。大约在1500年前,《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的:“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?”这四句话的意思是:有若干只鸡和兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头;从下面数,有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔。兔:94÷2-35 =12
鸡:35-12=23
折叠编辑本段常用思路
折叠中国古代
孙子的解法“上置三十五头,下置九十四足。半其足得四十七。以少减多,再命之,上三除下四,上五除下七。下有一除上三,下有二除上五,即得”。[1]
翻译成算术方法就是:
兔数(94÷2)-35=12(只)
鸡数35-12=23 (只)
这一思路新颖而奇特,其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。这种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时,先不对问题采取直接的分析,而是将题中的条件或问题进行变形,使之转化,直到最终把它归成某个已经解决的问题。教学常用假设法
1、鸡兔同笼共80个头,208只脚,鸡和兔各有几只[2]?
分析:
假设这80头全是鸡,那么,脚应是2×80=160(只),比实际少208-160=48(只)脚,这是因为1只兔有4只脚,把它看成是2只脚的鸡了,每只兔少算了2只脚,共少算了48只脚,48里面有几个2,就是几只兔。
解:(208-2×80)÷(4-2)
=48÷2
=24(只)------兔
80-24=56(只)
答:鸡有56只,兔有24只。
也可以假设80只全是兔,解答如下:
解:(4×80-208)÷(4-2)
=112÷2
=56(只)------鸡
80-56=24(只)
2、小明参加一次数学竞赛,试题共有10道,每做对一题得10分,错一题扣5分,小明共得了70分,他做对了几道题?
分析:
假设他做对了10道题,那么应得10×10=100(分),而实际只得70分,少30分,这是因为每做错一题,不但得不到10分,反而倒扣5分,这样做错一题就会少10+5=15(分),看30分里面有几个15分,就错了几题
解:(10×10-70)÷(10+5)
=30÷15
=2(道)------错题
10-2=8(道)
答:他做对了8道题。
3、有面值5元和10元的钞票共100张,总值为800元。5元和10元的钞票各是多少张?
分析:
假设100张钞票全是5元的,那么总值就是5×100=500(元),与实际相差800-500=300元差的300元,是因为将10元1张的算作了5元的2张,每张少计算10-5=5(元),差的300元里面有多少个5元,就是多少张10元的钞票。解:(800-5×10)÷(10-5)
=300÷5
=60(张)------10元面值
100-60=40(张)
答:有10元的钞票60张,5元的钞票40张。
方程解法
鸡兔同笼,头15只,脚40只,问鸡和兔子各多少只?
设鸡为x只,兔为y只。
x+y=15
2x+4y=40
y=15-x
2x+4*(15-x)=40
2x+60-4x=40
60-2x=40
2x=20
x=10
y=5
解得x=10,y=5。
趣解
鸡兔同笼,头15只,脚40只,问鸡和兔子各多少只?
假设鸡和兔训练有素吹一声哨,它们抬起一只脚,(40-15=25)再吹一声哨,它们又抬起一只脚,(25-15=10)这时鸡都一屁股坐地上了,兔子还两只脚立着所以,兔子有10/2=5只,鸡有15-5=10只。
折叠编辑本段公式说明
折叠公式1
(兔的脚数×总只数-总脚数)÷(兔的脚数-鸡的脚数)=鸡的只数
总只数-鸡的只数=兔的只数
折叠公式2
(总脚数-鸡的脚数×总只数)÷(兔的脚数-鸡的脚数)=兔的只数
总只数-兔的只数=鸡的只数
折叠公式3
总脚数÷2—总头数=兔的只数
总只数—兔的只数=鸡的只数
折叠公式4
兔总只数=(鸡兔总脚数-2×鸡兔总只数)÷2鸡的只数=鸡兔
总只数-兔总只数
折叠公式5
(头数x4-实际脚数)÷2=鸡
折叠公式6
4×+2(总数-x)=总脚数(x=兔,总数-x=鸡数,用于方程)
折叠编辑本段抬腿法
折叠方法一
假如让鸡抬起一只脚,兔子抬起2只脚,还有94÷2=47(只)脚。笼子里的兔就比鸡的脚数多1,这时,脚与头的总数之差47-35=12,就是兔子的只数。(这种方法最早出自《九章算术》)
折叠方法二
假如鸡与兔子都抬起两只脚,还剩下94-35×2=24只脚,这时鸡是屁股坐在地上,地上只有兔子的脚,而且每只兔子有两只脚在地上,所以有24÷2=12只兔子,就有35-12=23只鸡。
折叠编辑本段答案详解
中国古代《孙子算经》共三卷,成书大约在公元5世纪。这本书浅显易懂,有许多有趣的算术题,比如“鸡兔同笼”问题:
今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?
题目中给出雉兔共有35只,如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来,看作是一只脚,两只后脚也用绳子捆起来,看作是一只脚,那么,兔子就成了2只脚,即把兔子都先当作两只脚的鸡。鸡兔总的脚数是35×2=70(只),比题中所说的94只要少94-70=24(只)。
现在,我们松开一只兔子脚上的绳子,总的脚数就会增加2只,即70+2=72(只),再松开一只兔子脚上的绳子,总的脚数又增加2,2,2,2……,一直继续下去,直至增加24,因此兔子数:24÷2=12(只),从而鸡有35-12=23(只)。
我们来总结一下这道题的解题思路:如果先假设它们全是鸡,于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚,把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较,看看差多少,每差2只脚就说明有1只兔,将所差的脚数除以2,就可以算出共有多少只兔。概括起来,解鸡兔同笼题的基本关系式是:兔数=(实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数)÷(每只兔子脚数-每只鸡脚数)。类似地,也可以假设全是兔子。
我们也可以采用列方程的办法:设兔子的数量为x,鸡的数量为y
那么:x+y=35那么4x+2y=94 这个算方程解出后得出:兔子有12只,鸡有23只。