极限思想在小学数学教材中的渗透

极限思想在小学数学教材中的渗透

教育科学学院小学教育专业100401056 赵倩

指导教师苏明强副教授

【摘要】数学教学既要教授知识技能，也要重视学生对数学思想的感悟。极限思想作为小学数学常见的数学思想之一，蕴含在小学数学的诸多知识领域中。本文将立足于小学这一教育阶段，以北师大版小学数学教材为例，针对“极限思想”在教材中的渗透进行初步探索，挖掘教材中所蕴含的极限思想，为教师进行教材分析，设计教学方案提供参考。

【关键词】极限思想；小学数学；教材；北师大版

在《义务教育数学课程标准（2011年版）》课程目标中的“总目标”明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”[1]其中新增的“基本思想”则对应三维目标中的“过程与方法”，注重在学生学习数学知识的过程中体会数学思想。从这一变化上可以看出，课程标准重视在数学教学中渗透数学的基本思想，重视数学思想对学生思维发展的作用。

极限思想是一种重要的数学思想，在小学数学教材中十分常见。所谓极限思想是用联系变动的观点，把所考察的对象看作是某个对象在无限变化过程中变化结果的思想。它体现了“从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并且使之确定起来”的一种运动辩证思想。[2]极限思想蕴含在小学数学诸多知识领域中。基于此，本文将立足于小学这一特定的教育阶段，针对“极限思想”在小学数学教材中的渗透进行初步探索，挖掘不同教学内容中所蕴含的极限思想，为教师的教学设计提供参考。

一、极限思想在数与代数中的渗透

（一）数的认识中的蕴含的极限思想

表1-1：北师大版小学数学“数的认识”教学内容中蕴含极限思想统计表

册别教学内容页

码

教材片段蕴含的极限思想

三年级（下册）

[3]●小数的认

识 2

●小数的个数有无

数个

●比较小数

的大小

4

●小数有无限多个

与其等值的小数

●分数的初

步认识54

●有无数个分数

四年级（上册）

[4]●认识更大

的数

4

●数可以越来越大，

没有尽头

●正负数

89

●正数、负数的个数

有无数个

四年级（下册）

[5]●小数的意

义

5

●数位顺序表中，整

数部分和小数部

分的数位以小数

点为分界线向左

右两端无限增加

●认识循环

小数

69

●小数部分的位数

有无数个

五年级（上册）

[6]●自然数、

整数、倍

数

2

●有无限多个自然

数、整数，一个数

的倍数有无数个

五年级（上册）●2、5、3

的倍数的

特征

4

●2、5、3的倍数是

无限的

● 奇数和偶

数

5

● 有无数个奇、偶数

● 真分数、

假分数、带分数

38

● 有无限多个假分

数、带分数、真分数

● 公倍数

51

● 两个、两个以上的

数的公倍数的个数有无数个

● 分数与小

数相互转化

71

● 分数有无数个与

其等值的分数；因此一个小数可以转化成无数个分数；一个分数也可以转化成无数个小数 五年级（下册）[7]

● 百分数的

认识

64

● 百分数有无限多

个

《数学》三年级下册P2。教材以学生最为熟知的买文具的生活情境进行导入，以呈现商品价格来引出小数。“像3.50,1.06,16.85……这样的数，都是小数。”通过用省略号来表示余下的小数，由此可以知道，小数的个数有无数个。小数可以越来越大，也可以越来越小，小数是数不完的。在教学中可以从“数量”上突出“无限多”，渗透极限的数学思想。

《数学》三年级下册P4。小数有无限多个与其等值的小数。例如：与0.5相同的小数有无限多个。因此，在比较两个小数的大小时，可以转化成与原小数等值的小数进行比较。

《数学》三年级下册P54。分数的个数是无限多的。教材以分苹果，分割圆片为例，引出分数的表示方法。把一张纸等分为四份，其中一份用

41表示，其中的两份用4

2

表示……随着份数的逐渐增加，则可用于表示的分数也增加。如果将物体一直分下去，那么这是一个

“无限”的过程。在这个无限“分”的过程中产生的分数越来越多，直至无限多个。因此，分数的个数是无限多的。分数可以无穷大，也可以无穷小。这里蕴含着极限的数学思想，教学时可以适时让学生体会分数的个数有无数个。

《数学》四年级上册P4。数可以越来越大，没有尽头。教材以数位表的形式展示数的

无限多。数级从个级开始，往左逐次增大，没有尽头；数位从个位开始，往左依次增大，没有尽头；计数单位从个位开始，同样往左依次增大，没有尽头。无论是数级、数位还是计数单位，它们都是依次增大，没有尽头，数可以无限大、是无限多的。

《数学》四年级上册P89。正数与负数有无数个，是数不完的。教材使用了学生所熟知的温度计引出正数和负数。温度计上的刻度可抽象成数轴的一部分。正数、负数与0都在这条数轴上。正数与负数是一组相对发展的数，它们以“0”这个特殊的数字为分界点，沿着数轴正向与反向变化。正数沿数轴正方向无限增大，负数沿数轴反方向是无限减小。因此，正数与负数有无数个，是数不完的。不存在最大的正数和最小的负数，在教学中，可以适时让学生体会正数、负数的个数有无数个，让学生感悟极限的数学思想。

《数学》四年级下册P5。教材以数位顺序表的形式呈现出小数的特点。在数位顺序表中可以看出，整数部分与小数部分以小数点为分界点，数位分别向小数点左右两端无限增加。整数部分从个位开始，往左数位逐次增加；小数部分则从十分位开始，往右数位逐次增加。通过数位的变化来体现数值的变化。

《数学》四年级下册P69。教材围绕“蜘蛛与蜗牛平均每分钟谁爬得快？”这个问题列出73÷3=24.3333…与9.4÷11=0.85454…这两个算式，并追问学生“你们为什么不往下除了？发现了什么？”引出循环小数。通过除法计算，让学生感知循环小数循环节中的数字反复出现，是写不完的，是无限多的，体会循环小数小数部分的位数有无数个。

《数学》五年级上册P2。自然数、整数有无限多个；一个数的倍数有无限多个。教材以“像0、1、2、3……这样的数是自然数”以及“像-3、-2、-1、0、1、2、3……这样的数是整数”利用描述式定义法来界定自然数、整数的概念。通过省略号来说明自然数、整数的个数有无数个，是数不完的。关于倍数，教材以7为例，14是7的倍数；77是7的倍数，以此追问学生：“你还能找到7的其他倍数吗？”让学生从数量上感知一个数的倍数的个数，体会极限思想。

《数学》五年级上册P4。教材以表格的形式呈现出1—100这100个数字，让学生通过表格寻找2、3、5倍数的特征。借助表格可以让学生直观地感知，发现数的特征：2的倍数的特点是个位上的数字有0、2、4、6、8；5的倍数的特点是个位上通常是0或者5；3的倍数同样具有它独特的特点。通过推理发现这些规律并不只局限于100以内的数字，对于更大的数依然成立。数有无数个，因此有无数个数满足2、3、5的倍数特征。

《数学》五年级上册P5。能被2整除的数即为偶数。反之，不能被2整除的数即为奇数。由于数有无数个，因此2的倍数有无数个。进而推出偶数的个数有无数个。反之，奇数也有无数个，也是数不完的。

《数学》五年级上册P38。无论是真分数、假分数还是带分数，它们都无数个。教材仍然是以“像

21、41、32、43……这样的分数叫做真分数”以及“像23、33、45、4

9

……这样的分数叫做假分数”同样是运用了描述式定义法来界定这两种分数的概念。同样是利用省

略号来说明了假分数与真分数的个数是无限多的，是数不完的。由于数的个数有无数个，数可以越来越大。因此在真分数中，用于表示分母的数可以无限多也可以无限大，那么用于表示分子的数也会变得无限多。在保证是真分数的条件下，使得真分数的个数有无数个。同理