流体力学第六章6--2讲

cg
等于相速c。于是包迹内所
围的合成波列的某一群波，相对于包迹线没有相对运动，或者
包迹线中总是为那一群波所占据着。因此，包迹线的移速可称 作那一群波的移速，简称群速。当波列相速c与波长L有关时， 即 L
dc 0, c g c ，即合成后的波跟包迹间有相对速度，合 dL
成波列可在包迹中穿行，包迹中的波群个体是不断更换的。所
1 ，下层为 2 ，且 1 2
。对于下层流体运动而言，采用线性理
论，简化运动方程和连续性方程，得:
u 1 p t 2 x h u H t x
图6.7 界面重力波中的 液高与压力间的关系
(6-54)
上式中第一方程右端的流体压力梯度项，也可用界面受扰后的 坡度表示，第二方程中H为下层流体深度。
应波动位能定义为： 0
Lx Lx 1 1 hghdx gh2 dx 0 2 2
(6-69)
已求得重力表面波的水面扰动高度和波动流速分别为：
hx, t Asin k x ct
1 2 K gA Lx 4 1 gA2 L x 4
流体力学教案
(第六章
流体波动 )
第6-3 重力表面波和界面波
上节讨论的重力表面波采用了无旋势流的条件，本节略去该 条件的限制，直接从水面重力波闭合方程(6-11)式出发进行推导。
u h g t x h u H t x
(6-11)
对该方程第一式求x 偏微商并与H相乘，再将第二式求t偏 微商，然而两式相减得到：
所以式(6-52)就是水面重力波的传播速度公式。在该式中，已反
映出成波的物理原因就是重力g。其中正负号表示波动以相速c可
向两个方向传播。式(6-52)与上节的浅水表面重力波速相一致。 用类似方法，由(6-11)式消去
h ，再求解 u ，从而可得：
B g / H A ，于是
(6-53)
ux, t B sin k x ct ，并考虑到(6-52)，可得
c k k k k k
或
ck
2c L
将上式代入包迹移速式(6-74)，得：
d d 2c / L dc cg cL dk d 2 / L dL
(6-76)
由上式可见，当波列相速c与波长L无关时，即 ，则合成波列的波包迹移速
L
dc 0 dL
1 p 1 1 1 1 lim pB pA lim pB pA 2 x 2 x 0 x 2 x 0 x
h h pB p B x 2 g p x 2 g x x
g ux, t A sin k x ct H
将上式代入式(6-68)和(6-69)积分得： 或
1 K gA 2 Lx 2
(6-70)
注意：波能与波动振幅平方成正比，这同样也适应于其它波动。
对于波在传播过程中，其波幅保持不变的，可称作等幅波列。其
实，等幅波列只是确定波数的纯谐波波列的现象。当两列水平波
假如在流体界面重力波中，以静力学方程来考虑压力，则压
力与深度有关，所以当上层流体未受扰的情况下，其水平压力梯 度应为零.
pA p B p p0 1gz1
(6-55)
按照流体静压力关系 p / z g ，可推出不可压流体中的 水平压力梯度是不随高度变化，即: p p 0 z g 0 或 z x x x 根据图6.7所示，在下层流体中可有
x, t A sin(k k ) x t h1 x, t A sin(k k ) x t h2
(6-71)
x, t h2 x, t A* sinkx t 相加得： hx, t h1
相叠加时，叠加 数k+k和k-k很靠近(即k/k1)的波 h1 和 h2 h2 就不是等幅波列了。这是因为两波列叠 以后的合成波列 h1
加时有些波长处的振幅是相抵消的，有些波长处的振幅是相累加 的。从波能的角度而言，上述合成波列的波能在各波长间是不相 等，或者说波动能量是向某些波群区域集中分布。该结论也可用 两个波动数学函数来推导：以重力表面波为例，取两列波数和频 率均相差很微小但波幅相等的波列，即
ux, t
g A sin k x ct H
这就是水面重力波的流速场。自然界的水面波，实际上应该
是空气和水之间的界面波，只是讨论问题时，常不计及空气而已。
以下将介绍类似于油、水之类上轻下 重流体间的界面波。设有如图6.7所 示上轻下重流体间的界面，当受扰后
的高度为 hx, t 。上层流体密度为
2 h 1 2 h gH 1 2 2 t 2 x
1 c gH 1 2
(6-60) (6-61)
上式为流体界面受扰后的界面波方程。 当 1 2
其相速度为 时，式(6-60)和(6-61)退化为水表面重力波的问题。
2 h 2 h gH t 2 x 2
(6-50) (6-51) (6-52)
设其解的形式为： hx, t Asin k x ct
2 2 2 以此代入式(6-50)，则有 k c h gHk h 或 c gH
当该式关系 c gH
满足时，该形式解就是方程(6-50)的解。
对于在自然界中的流体之间界面同时还存在着流速不同的剪 切作用，该问题方面界面波的推导方法省略，有关这方面的内容 自学。
第6-4 群速
跟其它物体一样，在流体波动运动过程中也伴随着动能、位
能等等的相互转化。波动能量的一个显著特征是波能与振幅的平 方成正比，即大振幅的波相应波能就大。所以，引入一个群速 cg 来说明波能以
cg
速度在各个波中的传输。下面以重力表面波
为例来定义流体波动能量的计算。
u
取一个水深为H，波长为 Lx 的单位宽流体块，其波动速度为 ，由于波动时自由面离开平衡位置很微小，其垂向流速
w
对动能贡献很小，因此它所含有的波动动能定义为：
K
Lx
0
1 2 u Hdx 2
(6-68)
另外，相对于平静水面， dx 长度和单位宽度的波形水面和平 静水面间的流体体积为 h 1 dx ，其重心为 h / 2 ，因而相
以，一般来说群速是不等于相速的等其它性质。
h2 图6.10中合成波列 h1 的外廓线就是此种波形，这也
是式(6-73)的图形，称作合成 波列波幅的包迹线。由式(6-73) 图6.10 两列波的叠加合成 知，波幅包迹线是在移动的， d (6-74) ,上列包迹线移速又称作群速。 c 其移速为： g
k dk
为什么称包迹线移速为群速呢？ 首先分析波列相速与波长或波数间的关系。由于叠加前后 (6-75) 波列的相速为：
1 p
,且

z
h x x
1 h
(6-58)代入式(6-54)，可得具有上轻下重流体界面的下层流体 u 1 h (6-59) g 1 的运动方程:
t
2 x
h u H t x
类同重力表面波的推导方法，可得:
(6-56)
(6-57)
由于
(6-58) 1 所以，式(6-57)可改写为： x g x 上式为受扰后的界面坡度所表示的流体压力水平梯度。把式
2 2
h h pA pA x 1 g p x 1 g x x
* AFra Baidu bibliotek 2 Acoskx t 其中
(6-72) (6-73)
当k/k1和1时，叠加后的合成波列式(6-72)与未叠加 前的两列波列式(6-71)相比较，三者的波数和频率均接近相等，即
k k k k k