有限区间上含参数的二次函数的最值问题

有限区间上含参数的二次函数的最值问题

执教：吴雄华 时间：2006-9 班级：高三（1） 班 教学目标：

知识与技能： 1．掌握定义在变化区间上的一元二次函数最值的求解方法； 2．掌握系数含参数的一元二次函数在定区间上最值的求解方法； 过程与方法： 3．加深学生运用分类讨论和数形结合数学思想方法的体验；

情感、态度与价值观：4．通过学生自己的探索解决问题，增强其学习数学的兴趣和信心； 5．培养学生严密的分析和解决问题的能力。 教学重点：含参数的一元二次函数的最值问题的求解。 教学难点：分类讨论与数形结合数学思想方法的运用。 教学内容

教师活动

学生活动

一．复习一元二次函数最值的求

法。

1． 没有限定区间的情况。 2． 有限定区间的情况。

提问一：我们已学习了哪些一元二次函数求最值问题？请同学指出类型和求解方法。

回答一：两种情况，分别为没有限定区间的情况和有限定区间的情况。

前者用配方法即可，后者先配方，再借助图像来观察函数在给定区间上的单调性，从而得出函数的最值。

二．研究定义在变化区间上的一

元二次函数最值问题的求解。

例1已知函数()222++=x x x f ， （1）若R x ∈，求函数的最值； （2）若[]1,3x ∈，求函数的最值； （3）若]3,2[-∈x ，求函数的最值；

（4）若[]R a a a x ∈+∈,2,，求函数的最小值；

（5）[]R a a a x ∈+∈,2,，求函数的最大值。

⎪⎩

⎪

⎨⎧-<++-<≤--≥++=.3,106;13,1;

1,2222min

a a a a a a a y

⎪⎩⎪⎨⎧-<++-≥++=.

2,22;2,1062

2max a a a a a a y

给出例1。 借助（1）（2）（3）复习，请同学口头回答解法。

提问二：（4）题与（1）（2）（3）题有什么联系和区别？

提示后请同学们完成（4）题。 允许讨论。

其中请两位同学在黑板上分别完成（4）（5）题。

教师巡视，若多数同学感到困难，则再提示要不要通过图像来解答。

学生完成后讲评。

提问三：请同学指出分类讨论的依据，并对问题类型归纳。

读题后思考（1）（2）（3）题，口头回答解法。

回答二：都是一元二次函数求最值的问题，但（4）题中函数的定义域（区间）是变化的。 区间变化，函数的最值相应变化。故要进行分类讨论。

先独立思考，有困难再讨论，最后完成解答。

回答三： 最小值：对此区间是否有函数的对称轴穿过进行讨论；

最大值对此区间的两个端点离对称轴的远近讨论。

教学内容

教师活动

学生活动

三．研究系数中含有参数的二次

函数在定区间上最值问题的求解。

例2 已知R k ∈，求函数

322++-=kx x y

在区间[]2,1-上的最大值。

⎪⎩

⎪

⎨⎧≥-<<-+-≤+-=.2,14;21,3;1,222max k k k k k k y

例3 已知R k ∈，求二次函数

,122++=kx kx y []2,3-∈x 的

最值。

由题意，可知0≠k

当0

k y -=1max 。

当0>k ，

k y -=1min ，

18max +=k y ；

给出例2和例3。

提示同学们注意这两道题和例1的联系与区别。

请同学们探索解答。

请两位同学在黑板上分别完成例2和例3解答。

教师巡视指导。

学生完成后，教师利用课件讲评。

提问四：

请同学指出分类讨论的划分依据；请同学思考分类讨论的层次；

请同学对问题类型作出归纳。 请同学体会函数图像在解题过程中的作用。

思考题目的特点和上题的区别

独自探索与小组讨论相结合完成例题解答。

回答四：

参数取值导致函数类型不同。 对称轴与区间位置关系的不同 导致函数的单调性及最值情况 的不同。

系数中含有参数。 数形结合

四．总结。

本堂课主要研究了两类一元二次函数求最值问题。 数学思想方法： 提问五：请同学们总结，我们本堂课研究了哪些问题的求解？用到了哪些数学思想方法？

回答五：一是在变化区间上的一元二次函数最值问题，二是系数中含有参数的一元二次函数最值问题。有分类讨论和数形结合的方法

五．教后记。 思考题：

1． 求函数()01sin 2sin 2

2

≠+-=a x a x a y 的最小值。

2． 求函数

()[]()0,,4

1

3322>-∈++

--=b b b x b x x x f 的最值。 3． 已知

13

1

≤≤a ，若函数()122+-=x ax x f 在[]3,1上的最大值为()a M ，最小值为()a m ，又已知函数()()()a m a M a g -=，（1）求()a g 的表达式；（2）指出()a g 的

g的最大值和最小值。单调区间，并求出()a