关于自然数方幂和的几个研究方向
前n个自然数的方幂和公式
前n个自然数的方幂和公式对于前n个自然数的方幂和，其公式可以表述为：sum(i^n, i=1,n)。
这个公式是如何推导出来的呢？首先，我们需要理解方幂的概念。
方幂是指一个数被自己相乘n次后的结果。
例如，2的3次方幂是222=8，3的2次方幂是3*3=9。
考虑第一个自然数1，它的1次方幂是1，和为1。
考虑第二个自然数2，它的1次方幂是2，和为1+2=3。
考虑第三个自然数3，它的1次方幂是3，和为1+2+3=6。
可以看出，对于每一个自然数i，它的1次方幂的和为1+2+3+.+i。
根据等差数列求和公式，这个和是i*(i+1)/2。
所以，前n个自然数的方幂和就是1*(1+1)/2+2*(2+1)/2+.+n*(n+1)/2。
这个公式可以进一步简化。
考虑一个数列i*(i+1)/2，它实际上是一个等差数列的和。
根据等差数列求和公式，这个数列的和是(1^2+2^2+.+n^2)/2。
现在我们得到了前n个自然数的方幂和公式：sum(i^n, i=1,n)。
对于给定的n，我们可以使用这个公式来计算前n个自然数的方幂和。
这个公式的应用是广泛的。
它可以用于计算前n个自然数的各种方幂和。
例如，我们可以使用这个公式来计算前n个自然数的2次方幂和、3次方幂和等等。
此外，这个公式还可以用于数学竞赛、数学研究和应用领域。
最后，我们需要注意的是，这个公式仅适用于前n个自然数的方幂和计算。
对于其他数列的方幂和计算，可能需要使用不同的公式和方法。
因此，在使用这个公式时，需要注意适用范围和条件。
总之，前n个自然数的方幂和公式是一个简单但有用的数学工具。
通过掌握这个公式，我们可以轻松地计算出前n个自然数的各种方幂和，从而更好地理解和应用数学概念和方法。
自然数的n次方和
自然数的n次方和自然数的n次方和是指计算一个自然数的n次方之和，也叫幂次和。
它是一种数学概念，用于表示一系列以n 为指数的自然数的总和。
在数学中，自然数的n次方和可以用来表示一系列自然数的和，其中每个自然数都有相同的指数n。
例如，计算5的3次方和就是计算5^3 + 5^3 + 5^3 + 5^3 + 5^3的和，即5³ × 5 = 125。
幂次和也可以用于计算一系列多项式的和，例如计算x^3 + x^3 + x^3 + x^3 + x^3的和，也就是x³ × 5 = 5x³。
幂次和可以使用多种方法进行计算，其中包括使用公式、使用数论方法、使用数值计算方法等。
首先，使用公式计算自然数的n次方和。
对于正的整数n，其n次方和的计算公式如下：Sn=a^(n+1)-1/a-1其中，a为自然数，n为指数。
当a为1时，Sn=n。
例如，计算2的4次方和，根据上面的公式，可得：S4=2^(4+1)-1/2-1=15即2的4次方和为15。
其次，使用数论方法计算自然数的n次方和。
假设要计算m^n + m^(n+1) + m^(n+2) + ... + m^N的和，可以将其表示为m^n(1 + m + m^2 + ... + m^(N-n))，这样可以将其看成是一个等比数列，其等比数列的和可以使用等比数列的求和公式来计算：Sn=m^n(1-m^(N-n+1))/(1-m)例如，计算3的4次方和，根据上面的公式，可得：S4=3^4(1-3^2)/(1-3)=63即3的4次方和为63。
最后，使用数值计算方法计算自然数的n次方和。
在数值计算中，可以使用循环结构或递归结构，将数值按照指定的次数进行迭代，计算出所有数值的和。
例如，计算2的4次方和，可以使用循环结构：int s = 0; for(int i = 0; i < 4; ++i){ s += pow(2, i); } printf("s = %d\n", s);运行结果：s = 15说明2的4次方和为15。
自然数幂方和二项系数表示的系数公式
ｏ ｏ ０ ～
２ 定 理 的证 明
引理 １ 设 ｉ 是正整数 ， 整数 ｓ 满足 ０≤ｓ ｉ ≤ ， 则行列式
。
０ 。
＝
Ｃ
０ ０
０ ０
其 中元素 ｃ 为二项系数． 证 明 按 （２ 式 约定 ， 列式 １） 行
Ａ（ ，） ＝ ｉＯ
便应用（） 可约定：： ＝１ ｏ ＝ ” ＝ｎ ＝ｏ ｋ ）这样（ ） １ 式， 口 叭 ， ａ ＇ （ ≥１． １ 式对 ｉ ，， ｋ ＝１２…，都成立．
１ 主要 结果 和性 质
定理 １ 设 ｎ ｋ 任意 两个 自然 数 ， １一ｎ这 ｎ个 自然数 的 ｋ 和为 ，是 则 方
∑ｓ＝ ｌｃ 。 口 ｃ …＋ ｃ ｋ ａ ： ＋ ： ＋ 口 ： ”＋ ”＋ ”：
其 中
ｎ ＝
（） ２
∑ （ １， ； ＝ ∑ （ １ 一ｓ （ ＝ ， …， 一 － ｓ ｉ 一 ） 一 ｉ １ ， ｓ ｃ ｃ － 一 Ｉ ｓ ２ ）ｎ Fra bibliotek（） ３
定理 ２ 设 ｎｋ是任 意两个 自然 数 ， ， 则
” ： ＋… ＋ ｃ 中， 口 ｃ＋ 。 ” 系数 ”满足
口
＝ （ ＋ ）ｉ ， Ⅱ “ 口 ｎ ， ＝２ …，， ’＝１口 ” ，： ”＝（ ＋１ｎ” ｋ ）：
（） １
但并没有得出由后 、直接计算 口 的代数表达式． 本文利用行列式和二项系数的性质， 得到了 自然数幂方 和由二项系数表示的系数公式和由排列数表示 的系数公式 ， 从而得到了系数直接 由 ｋ 表出的公式． ， 为方
Ｖ０ ． ２ Ｎｏ ３ １２ ． Ｓｅ ．２０ ８ ｐｔ ０
文章 编号 ：０ ９４ ９ （０ ８ ０ － ２ － １０ －４ ０ ２ ０ ）３０ ４０ ０ ６
各类求自然数幂和方法
各类求⾃然数幂和⽅法⾼斯消元我们知道：n ∑i=1i=n(n+1)2以及：n∑i=1i2=n(n+1)(2n+1)6以及：n∑i=1i3=(n∑i=1i)2=(n(n+1)2)2那我们可以猜想，⾃然数的k次幂和对应的公式是⼀个次数为k+1的没有常数项的多项式（实际上也是的）。
证明吗，暂时不会。
However，我们可以拿这个猜想做题。
设这个k+1次的多项式f(x)=∑k+1i=1a i x i利⽤待定系数法，我们只需要知道k+2对(x,f(x))，列出⽅程组就能解出所有的a i，从⽽就能代⼊更⼤的x求出f(x)。
由于解⽅程组需要⽤到⾼斯消元算法，时间复杂度是O(k3)，在k≤100的范围内还是能⽆压⼒解决的。
总结时间复杂度：O(k3)空间复杂度：O(k2)由于⾼斯消元时要在模意义下做除法，对于模数不是质数的情况⽆法适应，⽽且时间复杂度难以接受，不是⼀种较常⽤的⽅法。
第⼆类斯特林数分析定义S(n,m)表⽰n个有差别的球放⼊m个⽆差别的盒⼦中的⽅案数，要求盒⼦不能为空。
容易得到下⾯的递推式：S(n,m)=S(n−1,m−1)+mS(n−1,m)考虑新加⼊的球，要么放在新的盒⼦⾥，要么放在之前的盒⼦⾥。
因为球是有差别的，所以放在任意⼀个盒⼦⾥的⽅案都是不⼀样的，因此S(n−1,m)要乘上⼀个m。
要⽤它解决⾃然数幂和问题，还是要⽤到第⼆类斯特林数的⼀个性质：a k=k∑i=0S(k,i)i!C i a这个性质还是很好解释的，我们可以把a k当做k个有差别的球，放⼊a个有差别的盒⼦的⽅案数，盒⼦可以为空。
那么我们就枚举i个盒⼦被放满了，S(k,i)只保证了球有差别，乘以i!相当于给盒⼦编号，令盒⼦也有差别，最后乘上⼀个C i a表⽰在a个盒⼦中选i个的⽅案数。
那么就可以开始化⾃然数幂求和的式⼦：∑n a=1a k=∑n a=1∑k i=0S(k,i)i!C i a两个sigma没有关联，我们可以交换枚举顺序：=∑k i=0S(k,i)i!∑n a=1C i a由于a<i时C i a=0，⼜可以化成：=∑k i=0S(k,i)i!∑n a=i C i a继续化简需要⽤到⼀个性质：∑n a=i C i a=C i+1n+1证明考虑运⽤组合数递推公式即：C j i=C j i−1+C j−1i−1C i+1n+1=C i n+C i+1n=C i n+C i n−1+C i+1n−1=C i n+C i n−1+C i n−2+C i+1n−2继续化下去就会得到：=∑n a=i C i a性质就得证了，上⾯的式⼦就化简为：=∑k i=0S(k,i)i!C i+1n+1组合数有点⿇烦，我们展开为阶乘形式：=∑k i=0S(k,i)i!(n+1)! (i+1)!(n−i)!拆开(i+1)!=i!∗(i+1)：=∑k i=0S(k,i)(n+1)! (i+1)(n−i)!发现(n+1)!(n−i)!其实是i+1个连续整数相乘，其中必有⼀个是i+1的倍数，因此式⼦⼀定取整数，就不⽤考虑模数的问题了。
待定系数法求自然数幂和
待定系数法求自然数幂和等待定系数法是一种对自然数幂和进行求和的有效算法，它能够比一般的求和算法节省大量的计算时间。
该算法最初由汉斯·霍尔表达 (Hans Holtsman)在1934年发明，以解决自然数幂和求和问题。
自然数幂和指的是给定的自然数之和的n次幂的和，可以表示为：$1^n+2^n+3^n+4^n+5^n+\cdots+(n-1)^n+n^n$等待定系数法允许计算机利用迭代来求得所需的幂和。
确定自然数幂和的步骤如下：1. 从给定的自然数中选取第一个数$a_1$，其二次幂为$a_1^2$，如果给定的自然数是$1,2,3,4,5,\cdots,n$，则$a_1$为1.2. 从$A_1$之后的自然数中选取$A_2$，$A_2$的二次幂为$A_2^2$，以此类推，一直选取到n个数，这些数的二次幂是$a_1^2,a_2^2,a_3^2,\cdots,a_n^2$，其中$A_i$的范围同样也是$1,2,3,4,5,\cdots,n$。
3. 计算$a_1,a_2,\cdots,a_n$的积$a_1a_2\cdots a_n$，将它们映射到新的值$b_1,b_2,\cdots,b_n$，即$b_i=a_1a_2\cdots a_i$，其中$b_1=a_1$，$b_2=a_1a_2$，$b_3=a_1a_2a_3$，以此类推。
4. 根据可用的公式，求出$b_1^2+b_2^2+b_3^2+\cdots+b_n^2$，即为最终的自然数幂和。
等待定系数法的优点在于它可以有效地将计算机程序的迭代减少到$O(n^2)$。
通常，使用传统的方法求解自然数幂和的时间复杂度为$O(n^3)$，而等待定系数法可以降低该复杂度，从而大幅度地加快求和的过程。
等待定系数法的应用可以在各种科学和数学领域来体现，比如离散数学中的集合求和，图论中的节点度计算，图形学中的三角函数计算和图论编码中的数据编码。
此外，它还广泛用于数据挖掘、量化交易和机器学习领域。
自然数幂函数与指数函数
自然数幂函数与指数函数自然数幂函数和指数函数是数学中重要的函数类型，它们在数学和科学领域有广泛的应用。
本文将介绍自然数幂函数和指数函数的定义、性质以及它们之间的关系。
一、自然数幂函数的定义和性质自然数幂函数是以自然数为底数的幂函数。
它的一般形式为f(x)=x^n，其中n是一个自然数。
当n为正整数时，自然数幂函数可以表示为多项式的形式，例如f(x)=x^2就是一个二次函数。
自然数幂函数的性质有以下几点：1. 自然数幂函数的定义域是全体实数，即所有实数都可以作为自然数幂函数的自变量。
2. 当n为偶数时，自然数幂函数的值域是非负实数集合（包括0）；当n为奇数时，自然数幂函数的值域是全体实数。
3. 当x趋近于正无穷大时，自然数幂函数的值也趋近于正无穷大。
同样地，当x趋近于负无穷大时，自然数幂函数的值趋近于正无穷大（当n为偶数时）或负无穷大（当n为奇数时）。
4. 自然数幂函数的图像随着n的变化而改变，n的增大使得图像变得更平缓，n的减小则使得图像更陡峭。
二、指数函数的定义和性质指数函数是以常数e（自然对数的底数）为底数的幂函数。
它的一般形式为f(x)=a^x，其中a是一个大于0且不等于1的实数。
指数函数的性质有以下几点：1. 指数函数的定义域是全体实数，即所有实数都可以作为指数函数的自变量。
2. 当x趋近于负无穷大时，指数函数的值趋近于0；当x趋近于正无穷大时，指数函数的值趋近于正无穷大。
3. 指数函数的图像随着a的变化而改变，a的增大使得图像变得更陡峭，a的减小则使得图像更平缓。
4. 特殊情况下，当a=1时，指数函数变为恒等函数f(x)=1，即函数的值始终为1。
三、自然数幂函数与指数函数的关系自然数幂函数可以看作是指数函数的特殊情况，即当底数为自然数时，指数函数变为自然数幂函数。
例如，当a为自然数时，指数函数f(x)=a^x可以写成自然数幂函数f(x)=e^(xlna)。
这说明自然数幂函数和指数函数之间存在等价关系，可以通过转化的方式相互转换。
自然数幂求和矩阵法
自然数幂求和矩阵法
自然数幂求和矩阵法是一种用于计算连续自然数的幂次方之和的方法。
其基本思想是利用矩阵表示求和公式，将求和问题转化为求系数矩阵的逆矩阵问题。
通过这种方法，可以简洁地计算出前$n$个自然数的$m$次幂之和。
以计算前$6$个自然数的$6$次幂之和为例，具体步骤如下：
1. 构造一个$6\times6$的系数矩阵$A$，其中第一行至第六行的元素分别为$1$、$1$、$1$、$1$、$1$、$1$。
2. 构造一个$6\times1$的矩阵$B$，其中第一行的元素为$1$，其余元素为$0$。
3. 计算矩阵$A$和矩阵$B$的乘积，得到一个$6\times1$的矩阵$C$。
4. 计算矩阵$C$的逆矩阵$C^{-1}$。
5. 将矩阵$C^{-1}$乘以一个$6\times1$的矩阵$D$，其中第一行的元素为$1$，其余元素为$0$，得到一个$6\times1$的矩阵$E$。
6. 矩阵$E$的第一行元素即为前$6$个自然数的$6$次幂之和。
自然数幂求和矩阵法的关键是构造系数矩阵$A$和矩阵$B$，并计算它们的乘积和逆矩阵。
通过这种方法，可以简洁地计算出前$n$个自然数的$m$次幂之和。
自然数幂次方和公式
自然数幂次方和的另一组公式摘要：一般的自然数幂次方和公式是用n 的p+1次方的多项式表示，考虑到任一多项式均可用kn C 表示，本文给出了自然数幂次方和用kn C 表示的方法，并且给出了相应的系数完整表达式。
这比多项式表达方便得多，因为多项式表达的系数至今仍是递推公式表达。
由笔者的文章（注【1】）知，自然数幂次方和可以用关于n 的多项式表达，而每一个多项式均可用kn C 表示的，因此可猜想自然数幂次方和也可以用kn C 表达出来。
假设自然数幂次方和可以写成以下形式∑∑=++===pk k n k nk p n C A k S 1111。
（1）那么同理可应有：∑∑=++--=-==pk k n k n k p n C A k S 111)1(111那么：∑∑=+=++--=-=pk k n k pk k n k n n p C A C A S S n 111111 []∑∑==+++=-=pk k n k pk k nk n k p C A C C A n 11111∑==pk kn k p C A n 1因为对于充分大的自然数n 均使得上述式子成立，所以上式对应的应该是一个关于n 的p次多项式，其中：)1).....(1(k n n n C k n -+-=这仅仅是一个多项式的写法，与排列组合无关, n 可为任意的数。
分别令n=1,2,3， 。
p-1时就有：01111+=+==∑∑∑∑=+===tk kt k p t k ktk tk k tk p k k tk pC A C A C A C A t∑==tk k t k p C A t 1)1...3,2,1(-=p t 。
（2)∑-=-=11t k kt k pt C A t A)1...3,2,1(-=p t 。
（3）这是一个递推的数列，其中A 1=1 ， 很显然，通过它可以求出所有的系数t A ，仿照笔者的文章（注【1】）可证明，由（3）式求出的系数t A ，使得公式（1）成立，即自然数幂次方和的公式由（1）（3）给出了。
自然数的n次方的和公式
自然数的n次方的和公式首先，我们来介绍一下这个公式的用途。
自然数的n次方的和公式可以用来计算自然数从1到任意正整数n的连续自然数的幂的和。
它可以用于求解一系列问题，例如计算特定范围内的平方和、立方和等。
此外，它还有许多实际应用，比如在统计学中用于计算方差、标准差等指标。
接下来，我们来推导这个公式的过程。
设自然数n的连续自然数的n次方的和为S，我们可以按照如下步骤推导出这个公式：Step 1: 我们先计算S的前n-1项和，即S1 = 1^2 + 2^2 + 3^2+ ... + (n-1)^2Step 2: 我们观察前n-1项和的规律，发现它们中都包含一个公共项n^2，所以可以将这些项整理成一个公因式，得到S1 = n^2 * (1 + 2 +3 + ... + (n-1))Step 3: 通过观察我们可以发现，1 + 2 + 3 + ... + (n-1)可以表示为等差数列的和，即Sn-1 = (n-1) * ((n-1) + 1) / 2Step 4: 将Sn-1代入到S1中得到S1 = n^2 * (Sn-1)Step 5: 我们将S1的结果与n项和S相加，得到S = S1 + n^2 =n^2 * (Sn-1) + n^2 = n^2 * (Sn-1 + 1)完成以上步骤，我们得到了自然数的n次方的和公式：S=n^2*(Sn-1+1)这个公式可以方便地计算自然数从1到n的连续自然数的n次方的和。
接下来，我们来看一些应用案例。
假设我们要计算自然数从1到10的平方和，我们可以根据上述公式计算：S=10^2*((10-1)*((10-1)+1)/2+1)=10^2*((9*10)/2+1)=10^2*((9*5)+1)=10^2*(45+1)=10^2*46= 4600所以自然数从1到10的平方和为4600。
同样地，我们可以计算自然数从1到10的立方和、四次方和等。
总之，自然数的n次方的和公式是一个重要的数学公式，在数学中有广泛的应用。
指数与幂的运算与应用
指数与幂的运算与应用指数与幂是数学中非常重要的概念，其运算规则和应用广泛存在于数学、物理、经济学等领域。
本文将从定义、运算规则和应用三个方面来介绍指数与幂的相关知识。
一、指数与幂的定义指数是用来表示乘方运算的方式，幂则是指数运算的结果。
在数学中，指数是一个正整数，表示底数连乘的次数。
例如，表示底数a连乘n次，可以写成aⁿ，其中a为底数，n为指数，aⁿ表示a的n次方。
二、指数与幂的运算规则1. 相同底数相乘：当底数相同时，指数相加。
例如，aⁿ × aᵐ= aⁿ⁺ᵐ。
2. 相同底数相除：当底数相同时，指数相减。
例如，aⁿ ÷ aᵐ= aⁿ⁻ᵐ。
3. 倍数相乘：底数的倍数相乘，指数不变。
例如，(ak)ⁿ = aⁿᵏ。
4. 幂的乘方：幂的乘方，指数相乘。
例如，(aⁿ)ᵐ= aⁿᵐ。
5. 幂的除法：幂的除法，指数相除。
例如，(aⁿ)÷ᵐ= aⁿ⁄ᵐ。
6. 乘方的乘方：指数相乘。
例如，(aⁿ)ⁿ = aⁿⁿ = aⁿⁿ（n为自然数）。
三、指数与幂的应用1. 科学计数法：科学计数法是一种常见的应用之一，它用于表示非常大或非常小的数。
科学计数法将一个数表示为一个介于1和10之间的数字与10的幂的乘积。
例如，1.23 × 10⁵表示为12300。
2. 几何问题：指数与幂在几何问题中也有应用。
例如，正方体的体积公式为V = a³，其中a为正方体的边长。
这个公式中的指数就是幂运算的应用。
3. 市场增长：在经济学中，指数和幂广泛应用于描述市场的增长。
例如，年复合增长率（Compound Annual Growth Rate，CAGR）用指数和幂来计算公司或市场的增长速度。
4. 银行利息：在金融领域，指数和幂用于计算复利利息。
复利是指将利息加到本金上，再计算下一周期的利息。
复利计算中的指数和幂运算是必不可少的。
5. 科学研究：指数和幂在科学研究中也经常使用，特别是在物理学和化学中。
自然数幂求和公式
自然数幂求和公式在数学中，自然数幂求和是一个经典且重要的问题，涉及到数列的求和与推导。
自然数幂求和公式是一种能够帮助我们快速求解自然数幂之和的便捷方法，具有广泛的应用价值。
1. 自然数幂求和的概念首先，我们来看一下什么是自然数幂。
自然数幂是指形如1k+2k+3k+...+n k的数列，其中n为自然数，k为正整数。
自然数幂求和即是对这样的数列进行求和操作，得到一个关于n的函数表达式。
2. 自然数幂求和的求解方法2.1. 一次求和公式对于形如1k+2k+3k+...+n k的数列，我们可以利用一次求和公式进行求解。
这个公式的形式为：$$1^k + 2^k + 3^k + ... + n^k = \\frac{1}{k+1} n^{k+1} + \\frac{1}{2} n^k +\\frac{1}{2} \\sum\\limits_{i=1}^{k-1}\\binom{k+1}{i} B_i n^{k+1-i}$$ 其中，$\\binom{k+1}{i}$ 为组合数，B i为伯努利数。
这个公式可以帮助我们快速求解给定幂次k的自然数幂之和。
2.2. 特殊幂次求和公式在实际问题中，经常遇到一些特殊的幂次求和问题，比如1+22+32+...+n2或1+23+33+...+n3等。
对于这样的特殊情况，我们可以利用适当的方法和技巧进行简化，得到相应的求和公式。
3. 自然数幂求和的应用自然数幂求和公式在数学、物理、工程等多个领域都有着广泛的应用。
在数学中，它可以用于求解数列的和、推导数学公式等；在物理中，可以用于计算能量、力学问题等；在工程中，可以用于设计算法、优化问题等。
因此，掌握自然数幂求和公式对于深入理解和应用数学知识是十分重要的。
4. 总结自然数幂求和公式是数学中一个重要的问题，通过合理的求解方法和技巧，我们可以快速求解各种幂次的自然数幂之和。
同时，自然数幂求和公式也有着广泛的应用领域，对于数学、物理、工程等领域都有着重要的意义。
关于自然数方幂和的一些性质
关于自然数方幂和的一些性质李超;丁金林;王念良【摘要】用初等方法研究了自然数方幂和S(m,n)=n∑k=1km的性质.根据Bernoulli多项式的性质给出了一个关于自然数方幂和已知的递推关系式的简洁证明,同时证明了当(φ)(p°)/2 | m时,P| S(m,n).【期刊名称】《甘肃科学学报》【年(卷),期】2013(025)002【总页数】2页(P1-2)【关键词】自然数方幂和;Bernoulli多项式;递推关系式;同余式【作者】李超;丁金林;王念良【作者单位】商洛学院数学与计算科学系,陕西商洛726000;镇安县永乐中学,陕西镇安711500;商洛学院数学与计算科学系,陕西商洛726000【正文语种】中文【中图分类】O156.4＝S（m，n）（n，m 是正整数）称作自然数＝的m次方幂和．如何把S（m，n）表示成n的多项式Fm（n），是许多数学爱好者、专家历来十分关注的问题．公元前3世纪，希腊数学家阿基米德就给出了关系式［1］从古代的阿基米德到现代的陈景润等，对自然数的方幂和问题都有深入的研究，获得了很好的结果［1－7］．著名的Bernoulli多项式Bn（x）是由下列函数定义的：Bn＝Bn（0）称作Bernoulli数．17世纪Bernoulli给出了任意幂和公式［8］关于自然数方幂和、Smarandache函数等数论问题，是数学研究者关注的热点［1－10］．我们用Bernoulli多项式和母函数方法，证明了自然数方幂和S（m，n）的一个递推表达式，并研究了S（m，n）的同余性质，得到了下列结论．定理1 设，则有［7］其中：S＊（m－1，n）是将S（m－1，n）表达式中的nj替换为所得到的表达式．定理2 设p是奇素数，α是任一给定的正整数则有1 定理的证明证明定理1 为了方便，令S（m，0）＝0，S（0，n）＝0．由式（2）可得对任意的自然数n和m＞0都成立．注意到和式（1）及Bernoulli多项式的性质我们有这就证明了式（3）．证明定理2 设是legendre符号，根据Euler准则，有注意到当是偶数时，因而有当是奇数时，因而有2 注记文献［7］给出了定理1的证明，但比较繁琐，我们应用Bernoulli多项式的性质，使得式（3）这一已知关系的证明简洁清晰，体现了数学的简洁美．关于这个递推关系式，我们举例，由则【相关文献】［1］汪晓勤．自然数幂和公式之历史发展［J］．中学数学教学参考，1997，26（5）：46－49．［2］陈景润．组合数学［M］．长沙：湖南教育出版社，1985．［3］金治明．用￡变换求解自然数方幂之和［J］．数学的实践与认识，1984，14（2）：73－76．［4］石啸生．级数的计算与分解［J］．数学的实践与认识，1987，17（3）：92－95．［5］陈景润．初等数论［M］．北京：科学出版社，1988．［6］刘治国．关于自然数的方幂和［J］．烟台师范学院学报：自然科学版，1993，9（2）：15－20．［7］ Shavelev V．A Short Proof of a Known Relation for Consecutive Power Sums ［J］．Math．CA，2007，23：711－714．［8］朱伟义．幂和序列的生成函数与幂和新的计算公式［J］．商洛学院学报，2009，23（6）：3－6．［9］李超，杨存内，刘端森．Smarandache函数的均值分布性质［J］．甘肃科学学报，2010，22（3）：24－28．［10］杨存典，李超，刘端森．Smarandache函数的几个性质［J］．甘肃科学学报，2010，22（1）：24－26．。
关于自然数与等幂和的一些性质
关于自然数与等幂和的一些性质
耿立顺
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】1996(000)011
【摘要】通过计算,我们有该式表明12,23,31的和、平方和与13,32,21的和、平方和对应相等。
有趣的是式子右边的三个数恰好是左边三个数的逆转,而且左边的三个数与自然数123有一定的关系。
这并不是偶然的。
下面我们来讨论自然数与等幂和的一些性质。
【总页数】4页(P14-17)
【作者】耿立顺
【作者单位】山东沂水县教师进修学校 276400
【正文语种】中文
【中图分类】G634.605
【相关文献】
1.连续自然数等幂和公式的改进 [J], 王兴标;祝成虎
2.自然数等幂和的一种解法与推广 [J], 杨杰
3.自然数等幂和sum （k~m） from k=1 to n计算的新方法 [J], 刘雁鸣
4.关于自然数方幂和的一些性质 [J], 李超;丁金林;王念良
5.关于自然数列前n项等幂和求和公式的研究 [J], 卜建英
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幂级数分解 自然数-概述说明以及解释
幂级数分解自然数-概述说明以及解释1.引言1.1 概述幂级数分解是一种重要的数学方法，广泛应用于数论、概率论、微分方程等领域。
它是将一个函数表示为无穷多项式相加的形式，可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
在本文中，我们将探讨幂级数分解的基本概念和相关理论。
首先，我们会介绍幂级数的定义和表示方式，以及其在数学中的重要性。
然后，我们将详细讨论幂级数的收敛性及收敛域的确定方法，这对于我们准确地表示给定函数的幂级数展开式至关重要。
此外，我们还将涉及幂级数的加法、减法、乘法和除法运算，以及求导和积分的运算规则。
这些运算规则不仅可以帮助我们在实际计算中更加便捷地处理幂级数，还可以进一步深化我们对函数性质的理解。
在接下来的部分，我们将重点研究自然数幂级数的分解。
自然数幂级数是指幂函数的幂级数展开形式，其具有特殊的数学性质和应用。
我们将详细介绍自然数幂级数的分解方法和展开式的求解过程，以及其在解决实际问题中的应用。
最后，本文将总结幂级数分解的基本原理和应用，展望其在更广泛领域的深入研究和应用前景。
通过对幂级数分解的深入学习和理解，我们可以更好地应用数学工具解决实际问题，并为数学理论的发展做出贡献。
通过本文的阅读，读者将能够全面了解幂级数分解的基本概念、理论和应用，为进一步研究和探索相关领域打下坚实基础。
1.2 文章结构本文将按照以下顺序来展开讨论关于幂级数分解自然数的内容：1) 引言：我们将以一个概述开始，概述幂级数及其在数学中的应用。
我们将讨论幂级数的定义、收敛性以及幂级数展开的可能形式。
通过引言，读者将对幂级数的基本概念有一个清晰的了解。
2) 正文：正文部分将包含两个主要要点。
第一个要点将介绍幂级数分解自然数的理论基础和方法。
我们将探讨如何使用幂级数来表示自然数，以及如何进行幂级数的分解。
通过详细的推导和解释，读者将能够理解幂级数分解自然数的过程和原理。
第二个要点将展示幂级数分解自然数的实际应用案例。
我们将讨论具体的数值问题，并通过实例来说明如何使用幂级数分解自然数来解决实际问题。
自然数幂次方和公式
自然数幂次方和公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1自然数幂次方和的另一组公式摘要：一般的自然数幂次方和公式是用n 的p+1次方的多项式表示，考虑到任一多项式均可用k n C 表示，本文给出了自然数幂次方和用kn C 表示的方法，并且给出了相应的系数完整表达式。
这比多项式表达方便得多，因为多项式表达的系数至今仍是递推公式表达。
由笔者的文章（注【1】）知，自然数幂次方和可以用关于n 的多项式表达，而每一个多项式均可用kn C 表示的，因此可猜想自然数幂次方和也可以用knC 表达出来。
假设自然数幂次方和可以写成以下形式∑∑=++===pk k n k nk p n C A k S 1111。
（1）那么同理可应有：∑∑=++--=-==pk k n k n k p n C A k S 111)1(111那么：∑∑=+=++--=-=pk k n k p k k n k n n p C A C A S S n 111111 []∑∑==+++=-=pk k nk pk k nk n k pCA CCA n 11111∑==pk kn k p C A n 1因为对于充分大的自然数n 均使得上述式子成立，所以上式对应的应该是一个关于n 的p 次多项式，其中：)1).....(1(k n n n C k n -+-=这仅仅是一个多项式的写法，与排列组合无关, n 可为任意的数。
分别令n=1,2,3， 。
p-1时就有： 01111+=+==∑∑∑∑=+===tk kt k pt k ktk tk k tk pk k tk pC A C A C A C A t∑==tk kt k pC A t 1)1...3,2,1(-=p t 。
（2) ∑-=-=11t k k t k pt C A t A )1...3,2,1(-=p t。
（3）这是一个递推的数列，其中A 1=1 ， 很显然，通过它可以求出所有的系数t A ，仿照笔者的文章（注【1】）可证明，由（3）式求出的系数t A ，使得公式（1）成立，即自然数幂次方和的公式由（1）（3）给出了。
连续自然数n次方求和
连续自然数n次方求和连续自然数的n次方求和是数学中一个非常经典的问题。
这个问题不仅可以锻炼我们的计算能力，还可以帮助我们更好地理解数学中的一些基本概念，如序列、级数以及极限等。
在这篇文章中，我们将详细介绍连续自然数的n次方求和，并探讨其重要性以及应用。
首先，让我们来看看连续自然数的n次方求和具体是什么。
简单来说，就是计算从1到n的整数的n次方的总和。
例如，当n=3时，我们需要求出1³+2³+3³的值，即36。
当n=4时，我们需要求出1⁴+2⁴+3⁴+4⁴的值，即354。
这个问题似乎很简单，但是当n变得越来越大时，我们就需要使用计算机或者更加复杂的数学方法来计算。
连续自然数的n次方求和在数学中有一个专门的术语，称为“幂和数列”。
幂和数列的通项公式为an=n⁽n+1⁾/2，这个公式是通过对幂和数列的前n项进行求和得到的。
也就是说，幂和数列的第n项等于1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+...+nⁿ。
这个公式不仅可以用来计算幂和数列的项数，还可以用来证明一些重要的数学定理。
接下来，让我们来看看连续自然数的n次方求和对于数学研究的重要性。
首先，这个问题是计算数学中的经典问题之一，可以锻炼我们的计算能力和数学思维。
其次，连续自然数的n次方求和也有着广泛的应用。
例如，在统计学和物理学中，这个问题可以用来计算方差和能量等。
在工程学和计算机科学中，这个问题也被广泛应用于数字信号处理和嵌入式系统开发中。
最后，让我们来看看一些与连续自然数的n次方求和相关的数学问题。
例如，我们可以考虑在1到n之间随机选择两个整数，然后求它们的n次方的平均数。
这个问题被称为“平均幂和问题”，并且可以通过使用幂和数列的通项公式来解决。
另外，我们还可以考虑在1到n之间选择一个整数k，然后求它的幂和数列和的值。
这个问题被称为“选定幂和问题”，并且可以使用一些组合数学的知识来解决。
总之，连续自然数的n次方求和是一个经典的数学问题，它有着重要的应用和理论意义。
化自然数的方幂和为多项式的方法
化自然数的方幂和为多项式的方法
自然数方幂和是指将自然数n的各次方和起来，即：Sn = 1 + 2^2 + 3^3 + 4^4 + … + n^n自然数方幂和可以用多项式来表示，一般有以下三种表示方法：（1）使用指数函数表示：Sn = ∑[n^(n+1)/2]（2）使用母函数表示：Sn = ∑[(n+1)*x^n]（3）使用拉格朗日求和公式表示：Sn = ∑[(n+1)(n+2)/2]在数学中，自然数方幂和是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解数学的规律，从而解决复杂的问题。
由于自然数方幂和可以用多项式来表示，因此可以利用多项式的性质来解决自然数方幂和的问题。
例如，可以利用拉格朗日求和公式，将自然数方幂和表示为一个多项式，即Sn = ∑[(n+1)(n+2)/2]，这样可以利用多项式的性质，求出自然数方幂和的值。
另外，可以利用母函数的性质，将自然数方幂和表示为Sn = ∑[(n+1)*x^n]，然后利用母函数的性质，求出自然数方幂和的值。
此外，可以利用指数函数的性质，将自然数方幂和表示为Sn = ∑[n^(n+1)/2]，然后利用指数函数的性质，求出自然数方幂和的值。
总之，自然数方幂和可以用多项式来表示，可以利用多项式的性质来解决自然数方幂和的问题。
这样就可以更好地理解数学的规律，从而解决复杂的问题。
幂的基本概念
幂的基本概念幂的基本概念是数学中重要的概念之一，它在代数运算、数学推理和实际问题中都发挥着重要的作用。
幂是指一个数自乘若干次的结果，由底数和指数两个要素组成。
在本文中，我们将探讨幂的概念及其性质，并展示它在数学中的应用。
一、幂的定义在数学中，幂的定义如下：设a为任意实数，n为自然数，则a的n 次幂，记作aⁿ，定义为连乘a，其中有n个因子。
当n=0时，规定aⁿ=1。
具体而言，当n大于0时，aⁿ=a×a×...×a（共n个a因子）；当n小于0时，aⁿ=1/a⁻ⁿ。
此外，当a≠0时，规定0⁰=1。
二、幂的性质幂具有一些重要的性质，下面我们来逐一介绍。
1. 幂的乘法性质对于任意实数a和自然数m、n，有以下性质成立：aⁿ×aᵐ= aⁿ⁺ᵐ，即幂相乘，底数不变，指数相加。
(aⁿ)ᵐ= aⁿᵐ，即幂的幂，底数不变，指数相乘。
这两个性质可以帮助我们简化复杂的幂运算，使得计算更加便捷。
2. 幂的除法性质对于任意非零实数a和自然数m、n，有以下性质成立：aⁿ/aᵐ= aⁿ⁻ᵐ，即幂相除，底数不变，指数相减。
(a/b)ⁿ = (aⁿ)/(bⁿ)，即幂的商，底数分别相除，指数不变。
这些性质在进行幂的除法运算时十分有用。
3. 幂的零指数性质对于任意非零实数a，有以下性质成立：a⁰ = 1，任何非零数的0次幂都等于1。
这个性质是幂运算中的一个特殊情况，它使得我们能够简化一些计算。
三、幂的应用幂是数学中广泛应用的概念之一，在各个领域都有其具体的应用。
下面列举几个常见的应用领域。
1. 幂在代数运算中的应用幂在代数运算中常常用于简化计算。
通过运用幂的乘法性质、除法性质和零指数性质，我们可以将复杂的运算转化为更简单的形式，从而节省时间、减少错误。
2. 幂在几何学中的应用幂在几何学中有诸多应用，特别是在计算几何图形的面积和体积时经常会用到。
例如，在计算正方形的面积时，可以使用边长的二次幂；在计算球体的体积时，可以使用半径的三次幂。
浅谈自然数幂和公式
浅谈自然数幂和公式一、自然数幂和是什么：所谓自然数幂和 ,系指)(211N p rn nr pp p p ∈=+⋅⋅⋅++∑= (1)在中学数学里 ,我们遇到 p= 1, 2, 3三种情形。
(1)的求和公式从低次幂到高次幂 ,从特殊到一般的历史所留给我们的不同时代、不同国家的数学家所展示的聪明才智 ,对于我们今天的数学教学仍有着现实意义。
二、自然数幂和是怎么来的：公元前 6世纪 ,古希腊毕达哥拉斯 ( pythag or as)发现 ,从 1开始 ,任意多个连续自然数之和构成三角形数 。
如图 1,毕氏以一点代表 1,二点代表 2,等等 。
如图 2,在三角形数旁补一倒立的三角形数 ,由此易得n n n n n 21212)1(212+=+=+⋅⋅⋅++ (2)毕氏还以图 3所示的正方形数的构造得出公式2)12(31n n =-+⋅⋅⋅++ (3)公元前 3世纪 ,阿基米德 ( Archimedes,前 287～ 212)在《论劈锥曲面体和球体》一书中利用几何方法证明了如下引理:])()2([3)2())(1(2222na a a na a a a na n +⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++++ 当 a= 1时 ,利用 (2)可得nn n n n n n 612131)12)(1(612123222++=++=+⋅⋅⋅++ (4)公元 100年左右 ,毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘( Nico machus)著《算术引论》一书 ,书中的一条命题说 ,在奇数 1, 3, 5, 7,… 中 ,第一个是立方数 ,后面两个之和是立方数 ,再后面三个之和是立方数 ,等等 ,此即113=(1个奇数) ,5323+=(2个奇数) ,119733++=(3个奇数) ,1917151343+++=(4个奇数） ,… … … … … …)1()3()(2223-++⋅⋅⋅++-++-=n n n n z n n n (n 个奇数) . 由此易知 ,当 p= 3时 , (1)是n +⋅⋅⋅++21 个连续奇数 )1(,,3,12-+⋅⋅⋅n n之和 ,从而由 (2)、(3)即得2342333412141)]1(21[21n n n n n n ++=+=+⋅⋅⋅++ (5)《算术引论》未载此公式 ,但我们有理由相信 ,尼可麦丘 ,甚至比他更早一些的希腊数学家是知道此公式的 ,因为连当时的罗马土地丈量员也知道它 ;而且早期毕氏学派的学者们惯常用图 3所示的在 1旁相继添加直角 (添一个直角即是增加一个奇数 )的方法来求连续奇数之和 ,他们知道 ,若加到 1旁的直角个数为 r ,则和 (包括 1)为 2)1(+r .因此有了尼可麦丘的发现 ,只要找出33332n +⋅⋅⋅++中共有几个直角即可得三次幂和 .公元 5、 6世纪 ,印度数学家阿耶波多 ( Ary abha ta ,476～ ? )的数学著作中载有公式 (4)和 (5) ,后来的婆罗摩笈多 ( Br ahmag upta, 7世纪 )、摩诃毗罗 ( M ah av ira, 9世纪 )和婆什迦罗 ( Bh a ska ra, 12世纪 )的数学著作中都出现公式 (2)、 (4)和 (5) .11世纪 ,阿拉伯数学家阿尔卡克希 ( Al-ka rkhi )的数学著作中出现公式 (4)和 (5) ,其中前者的形式是)613)(1(3212222++=+⋅⋅⋅+++n n n n 阿尔卡克希用富有希腊特色的几何代数法对公式(5)作出证明 . 如图 4所示, 设边),1(2121+=+⋅⋅⋅++=n n n AB 2,1,-='''''-='''='n B B n B B n B B 等等 .在⋅⋅⋅''',,B A B A 上作正方形,,,⋅⋅⋅'''C A C A 得 n - 1个 矩 尺 形,,,,⋅⋅⋅''''''''''''D C B D C B D C B 因矩尺形 DC B '的面积)(D C BC B B D C D D BC B B S D C B ''+'=''⋅'+⋅'='而n B B n n D C n n BC ='-=''+=,2)1(,2)1(故3]2)1(2)1([n n n n n n S D C B =-++='同理，33)2(,)1(-=-='''''''''''n S n S D C B D C B 等等。
解析“0”为什么是一个自然数
解析“0”为什么是一个自然数
田俊华
【期刊名称】《陕西教育》
【年(卷),期】2003(000)005
【摘要】在过去的中小学数学教学中,数字“0”一直不属于自然数,但是现在已明确把“0”归于自然数。
为什么有这样的变化?作为数学教师必须清楚。
许多数学工作者都认为这仅仅是一个“规定”,用数学的行话讲即“定义”,这就是说以前定义“1,2,3,…,n…”为目然数集,而现在则定义“0,1,2,3,…,n…”为自然数集。
显然这样的解释是不够的,下面谈谈笔者的理解。
【总页数】2页(P31-32)
【作者】田俊华
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】G623.5
【相关文献】
1.自然数方幂和的一个计算通式 [J], 金晓灿;
2.自然数幂方和的一个巧妙猜想 [J], 邓永翠;陈美英;李晓培
3.自然数幂和的解析式研究 [J], 童文虎
4.关于自然数幂和的一个新公式 [J], 邓勇
5.求前n个自然数k次幂和的一个解析公式 [J], 王海坤
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和 的 内 涵 不 断 被 诠 释 。历 史 上 很 多
科 学 家 研 究 过 它 ： 高 斯 、 费 马 、牛
顿 、伯 努 利 ，以 及 许 多 如 我 这 般 的
无名小生。
利 用 初 等 数 学 知 识 ，我 们 能 比
较容易的算出低阶自然数方幂和
的表达式：
S (0) n
=
n
S (1) n
=
n(n + 1) 2
2
阶
，1
阶
，最
终
求
出
S (m) n
的
表
达
式
。
很 遗 憾 ， 到 目 前 为 止 没 有 做 到 ，可
能牛顿真的很聪明。
行 列 式 （ 系 数 三 角 形 ）：
申 明 ：网 上 有 一 种“ 系 数 三 角
形 ”的 方 法 ，据 说 是 一 个 初 中 生 找
出 来 的 。 文 献 要 钱 ， 我 没 看 到 。我
⎡
−
C1 m+1
⎢ ⎢
C2 m+1
− Cm1
0 ⎤ ⎡xm+1 ⎤ ⎡− 1⎤
⎥ ⎥
⎢ ⎢
xm
⎥ ⎥
⎢ ⎢
0
⎥ ⎥
⎢ ⎢
−
C3 m+1
⎢ ⋅⋅⋅
Cm2 ⋅⋅⋅
−
C1 m−1
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
⎥ ⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎢
xm−1 ⋅⋅⋅
⎥ ⎥ ⎥
=
⎢0⎥ ⎢⎢⋅ ⋅ ⋅⎥⎥
( ) ( ) ( ) ⎢⎣
−1
C k+1 k+1 m+1
此式可通过数学归纳式，如取求自然数立方和时，
取 m=2， 则 有 :
3
2
n ∏(i + k )
∏ (n + k )
∑ k=0
i=1 3!
= k=0 4!
○2
∑ ∑ ∑ ○ n
n
i3 + 3
i2 +
n
i = n(n +1)(n + 2)(n + 3)
3
i=0
i=0
+
6n3
− 3n
+ 1)
倪亮：
2005 年 我 读 高 二 ， 当 时 正 在 学
二 项 式 定 理 ，数 辅 上 一 种 利 用 二 项
式定理求自然数平方和的方法引
起了我的兴趣：
注
：
Cnn
+
Cn n+1
+
⋅
⋅
⋅
+
C
n n+
r
+ ⋅⋅⋅ + Cnn+m
C = n+1 n+m+1
在 兴 趣 的 驱 使 下 ，我 又 试 着 求
思 ， 注 意 区 别 ！）
为 了 方 便 计 算 幂 和 数 ，我 特 地
编制了下面这张表：
注 ：这 是 继 05 年 的 第 二 张 表 ，
表 中 数 据 全 部 由 计 算 机 算 得 。有 兴
趣可以自己编个小程序试一下。
有 了 前 面 的 工 作 做 铺 垫 ，下 面
计算自然数方幂和自然不在话下。
m
∑ ( ) 观 察 得 k m =
， 系 数 H A −1 i i
m−i
m−i k +m+1−i
i=0
为
H
m n
，
称
“
幂
和
数
”。 经
研
究（
参
照
费
马
解
析
自
然
数
方
幂
和
方
法
）， 得
出
H
m n
的 几 何 意 义 ：将 自 然 数 1 、2 、3 … …
n 每 次 可 重 复 地 选 出 m 个 来 ，将 每
m +1− i
大 功 告 成 ，这 就 是 我 给 出 的 自
然 数 方 幂 和 和 公 式 ，利 用 它 我 们 能
快速的写出任意阶方幂和表达式，
当 然 也 是 理 论 上 的 。为 了 快 速 准 确
求出幂和数
H
m n
，
我
编
了
一
个
简
单
的 C 程 序 ， 见 附 表 。 说 句 实 话 ，经
本 人 这 几 年 的 研 究 ，发 现 要 把 自 然
m
∑ S (m ) n
=
ki
1
i=0
m
∑ ( ) k m =
H A − 1 i i
m−i
m −i k + m +1−i
1
i=0
m +1
nm
∏ (n + k )
∑ ( ) ∏ i + k = k =0
i =1 k =0
m+2
1
联立上面三式得：
∑( ) m
S (m) n
=
i=0
H A −1 i
i m+1−i m−i m+n−i
方幂和公式当然不可能是一个简
单 的 关 于 m， n 的 有 限 表 达 式 。在
此劝告那些完美主义者，转换观
念，你要的是你得不到的。
费马：
1638 年 ， 费 马 注 意 到 公 式 ：
m+1
m
n ∏(i + k )
∏ (n + k )
∑i=1
k =0
(m +1)!
=
k =0
(m + 2)!
○1
n4
+
0n3
−
1 12
n2
−
0n
S (6) n
=
1 7
n7
+
1 2
n6
+
6 12
n5
+
0n4
−
1 6
n3
−
0n2
+
1 42
n
S (7) n
=
1 8
n8
+
1 2
n7
+
7 12
n6
+
0n5
−
7 24
n4
−
0n3
+
1 12
n2
+
0n
首 先 从 整 体 出 发 ，我 们 可 以 大 胆 的 猜 测 ：对 于 任 意 正 整 数 k 和 n ， 自然数方幂和总可以表示成 n的 一 个 k + 1 次 多 项 式 。写 成 数 学 表 达 式如下：
S
(1) n
=
n(n + 2
1)
,
S
( n
2)
=
n(n + 1)(2n + 1) 6
的
多
一
点
，
他
们
知
道
。 长 S (3) n
=
[ n(n + 1) ]2 2
期 以 来 ，人 们 对 自 然 数 方 幂 和 的 了
解也仅限于此。
几 个 世 纪 过 去 了 ，随 着 人 类 科
技 、文 化 的 不 断 发 展 ，自 然 数 方 幂
了一下自然数的立方和：
接 着 又 试 了 四 次 方 ，五 次 方 ，才 发 现 这 个 方 法 的 妙 处 所 在 ，只 要 我 们
把 前 期 工 作 做 好 ，能 确 定 k m 分 解 为
连 乘 形 式 Anm 前 面 的 系 数 ，就 能 迅 速 写出任意阶自然数方幂和表达式。 于是做了以下研究：
关于自然数方幂和的几个研究方向
早 在 欧 几 里 得 时 代 ，先 祖 们 就
提出自然数方幂和这个概念。即：
1m + 2m + 3m + ⋅ ⋅ ⋅ + nm 的 通 项 公 式 ， 记 ：
S (m) n
= 1m
+
2m
+
3m
+⋅⋅⋅+
nm 。
很早古希腊人就知道
，印 度 人 知 道 S (0) n
=
n,
本 人 认 为 他 的 方 法 目 的 性 不 强 ，且
较 为 复 杂 ，在 此 就 不 多 说 了 ，下 面
仅给出他的几个重要公式：
∑ S (m) n
= 1m
+ 2m
+⋯+ nm
=
1 m+
1
⎧ m+1 ⎨ ⎩ r=0
C B r m+1 m+1−r
(n
+
1)
r
−
Bm+1
⎫ ⎬
⎭
∑ =
1 m+
1
m+1 r =1
S (2) n
=
n(n
+ 1)( 2n 6
+ 1)
S (3) n
=
[ n(n + 1) ]2 2
S (4) n
=
n(n
+ 1)( 2n
+ 1)(3n 2 30
+
3n
− 1)
S (5) n
=
[n(n
+ 1)]2 (2n 2 12
+
2n
− 1)
S (6) n
=
n(n
+ 1)( 2n
+ 1)(3n 4 42
C a k−i k−i m+1−i m+1−i