关于自然数方幂和的几个研究方向

和 的 内 涵 不 断 被 诠 释 。历 史 上 很 多
科 学 家 研 究 过 它 ： 高 斯 、 费 马 、牛
顿 、伯 努 利 ，以 及 许 多 如 我 这 般 的
无名小生。
利 用 初 等 数 学 知 识 ，我 们 能 比
较容易的算出低阶自然数方幂和
的表达式：
S (0) n
=
n
S (1) n
=
n(n + 1) 2
2
阶
，1
阶
，最
终
求
出
S (m) n
的
表
达
式
。
很 遗 憾 ， 到 目 前 为 止 没 有 做 到 ，可
能牛顿真的很聪明。
行 列 式 （ 系 数 三 角 形 ）：
申 明 ：网 上 有 一 种“ 系 数 三 角
形 ”的 方 法 ，据 说 是 一 个 初 中 生 找
出 来 的 。 文 献 要 钱 ， 我 没 看 到 。我
⎡
−
C1 m+1
⎢ ⎢
C2 m+1
− Cm1
0 ⎤ ⎡xm+1 ⎤ ⎡− 1⎤
⎥ ⎥
⎢ ⎢
xm
⎥ ⎥
⎢ ⎢
0
⎥ ⎥
⎢ ⎢
−
C3 m+1
⎢ ⋅⋅⋅
Cm2 ⋅⋅⋅
−
C1 m−1
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
⎥ ⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎢
xm−1 ⋅⋅⋅
⎥ ⎥ ⎥
=
⎢0⎥ ⎢⎢⋅ ⋅ ⋅⎥⎥
( ) ( ) ( ) ⎢⎣
−1
C k+1 k+1 m+1
此式可通过数学归纳式，如取求自然数立方和时，
取 m=2， 则 有 :
3
2
n ∏(i + k )
∏ (n + k )
∑ k=0
i=1 3!
= k=0 4!
○2
∑ ∑ ∑ ○ n
n
i3 + 3
i2 +
n
i = n(n +1)(n + 2)(n + 3)
3
i=0
i=0
+
6n3
− 3n
+ 1)
倪亮：
2005 年 我 读 高 二 ， 当 时 正 在 学
二 项 式 定 理 ，数 辅 上 一 种 利 用 二 项
式定理求自然数平方和的方法引
起了我的兴趣：
注
：
Cnn
+
Cn n+1
+
⋅
⋅
⋅
+
C
n n+
r
+ ⋅⋅⋅ + Cnn+m
C = n+1 n+m+1
在 兴 趣 的 驱 使 下 ，我 又 试 着 求
思 ， 注 意 区 别 ！）
为 了 方 便 计 算 幂 和 数 ，我 特 地
编制了下面这张表：
注 ：这 是 继 05 年 的 第 二 张 表 ，
表 中 数 据 全 部 由 计 算 机 算 得 。有 兴
趣可以自己编个小程序试一下。
有 了 前 面 的 工 作 做 铺 垫 ，下 面
计算自然数方幂和自然不在话下。
m
∑ ( ) 观 察 得 k m =
， 系 数 H A −1 i i
m−i
m−i k +m+1−i
i=0
为
H
m n
，
称
“
幂
和
数
”。 经
研
究（
参
照
费
马
解
析
自
然
数
方
幂
和
方
法
）， 得
出
H
m n
的 几 何 意 义 ：将 自 然 数 1 、2 、3 … …
n 每 次 可 重 复 地 选 出 m 个 来 ，将 每
m +1− i
大 功 告 成 ，这 就 是 我 给 出 的 自
然 数 方 幂 和 和 公 式 ，利 用 它 我 们 能
快速的写出任意阶方幂和表达式，
当 然 也 是 理 论 上 的 。为 了 快 速 准 确
求出幂和数
H
m n
，
我
编
了
一
个
简
单
的 C 程 序 ， 见 附 表 。 说 句 实 话 ，经
本 人 这 几 年 的 研 究 ，发 现 要 把 自 然
m
∑ S (m ) n
=
ki
1
i=0
m
∑ ( ) k m =
H A − 1 i i
m−i
m −i k + m +1−i
1
i=0
m +1
nm
∏ (n + k )
∑ ( ) ∏ i + k = k =0
i =1 k =0
m+2
1
联立上面三式得：
∑( ) m
S (m) n
=
i=0
H A −1 i
i m+1−i m−i m+n−i
方幂和公式当然不可能是一个简
单 的 关 于 m， n 的 有 限 表 达 式 。在
此劝告那些完美主义者，转换观
念，你要的是你得不到的。
费马：
1638 年 ， 费 马 注 意 到 公 式 ：
m+1
m
n ∏(i + k )
∏ (n + k )
∑i=1
k =0
(m +1)!
=
k =0
(m + 2)!
○1
n4
+
0n3
−
1 12
n2
−
0n
S (6) n
=
1 7
n7
+
1 2
n6
+
6 12
n5
+
0n4
−
1 6
n3
−
0n2
+
1 42
n
S (7) n
=
1 8
n8
+
1 2
n7
+
7 12
n6
+
0n5
−
7 24
n4
−
0n3
+
1 12
n2
+
0n
首 先 从 整 体 出 发 ，我 们 可 以 大 胆 的 猜 测 ：对 于 任 意 正 整 数 k 和 n ， 自然数方幂和总可以表示成 n的 一 个 k + 1 次 多 项 式 。写 成 数 学 表 达 式如下：
S
(1) n
=
n(n + 2
1)
,
S
( n
2)
=
n(n + 1)(2n + 1) 6
的
多
一
点
，
他
们
知
道
。 长 S (3) n
=
[ n(n + 1) ]2 2
期 以 来 ，人 们 对 自 然 数 方 幂 和 的 了
解也仅限于此。
几 个 世 纪 过 去 了 ，随 着 人 类 科
技 、文 化 的 不 断 发 展 ，自 然 数 方 幂
了一下自然数的立方和：
接 着 又 试 了 四 次 方 ，五 次 方 ，才 发 现 这 个 方 法 的 妙 处 所 在 ，只 要 我 们
把 前 期 工 作 做 好 ，能 确 定 k m 分 解 为
连 乘 形 式 Anm 前 面 的 系 数 ，就 能 迅 速 写出任意阶自然数方幂和表达式。 于是做了以下研究：
关于自然数方幂和的几个研究方向
早 在 欧 几 里 得 时 代 ，先 祖 们 就
提出自然数方幂和这个概念。即：
1m + 2m + 3m + ⋅ ⋅ ⋅ + nm 的 通 项 公 式 ， 记 ：
S (m) n
= 1m
+
2m
+
3m
+⋅⋅⋅+
nm 。
很早古希腊人就知道
，印 度 人 知 道 S (0) n
=
n,
本 人 认 为 他 的 方 法 目 的 性 不 强 ，且
较 为 复 杂 ，在 此 就 不 多 说 了 ，下 面
仅给出他的几个重要公式：
∑ S (m) n
= 1m
+ 2m
+⋯+ nm
=
1 m+
1
⎧ m+1 ⎨ ⎩ r=0
C B r m+1 m+1−r
(n
+
1)
r
−
Bm+1
⎫ ⎬
⎭
∑ =
1 m+
1
m+1 r =1
S (2) n
=
n(n
+ 1)( 2n 6
+ 1)
S (3) n
=
[ n(n + 1) ]2 2
S (4) n
=
n(n
+ 1)( 2n
+ 1)(3n 2 30
+
3n
− 1)
S (5) n
=
[n(n
+ 1)]2 (2n 2 12
+
2n
− 1)
S (6) n
=
n(n
+ 1)( 2n
+ 1)(3n 4 42
C a k−i k−i m+1−i m+1−i
=
0
k
≥
2
i =1
利 用 这 个 递 推 关 系 ，理 论 上 我
们 是 可 以 写 出 任 意 系 数 ak 。 当 然 我 们 也 可 以 编 个 小 程 序 ，快 速 的 算 出
ak 的 值 。
伯努利：
伯 努 利 也 研 究 过 这 个 问 题 ，但
解 决 这 个 系 数 问 题 。当 然 你 得 学 点
高等数学的东西才能看懂。
学 习 数 学 归 纳 法 时 ，我 们 经 常
遇 到 证 明 恒 等 式 成 立 的 命 题 。其 中
就有低阶自然数方幂和的表达式
的 证 明 。表 达 式 多 了 ，对 于 那 些 有
数学头脑的人，总能看出点规律
来 。下 面 这 些 表 达 式 ，全 部 由 本 人
数 ，偶 数 列 全 是 零 ，当 然 还 有 奇 数
列 正 负 号 交 替 出 现 的 规 律 。但 再 要
继 续 找 出 器 数 列 纵 向 的 规 律 ，我 想
一 个 初 中 生 是 吃 不 消 的 。所 以 所 谓
“ 系 数 三 角 形 ”对 于 专 业 人 士 只 是
个 玩 笑 而 已 。下 面 我 们 用 行 列 式 来
观察发现，牛顿利用二项式定理， 给出了自然数方幂和的一个递推 公 式 ，利 用 它 能 很 快 的 写 出 低 阶 方 幂和表达式。但随着阶数的增高， 计 算 也 越 来 越 复 杂 ，此 式 的 可 行 性 受到局限。我曾思考过这个问题，
能否把这个递归数列利用它的递
推 关 系 无 限 简 化 成（ m - 1 ）阶 ，… … ，
注：n 个数中可重复的选出 m
个
数
，有
Cm n+m−1
种
不
同
的
方
法
，此
即
重 复 组 合 公 式 。（ 在 此 强 调 ， 此 符
号 为 本 人 自 定 义 ，上 一 篇 文 章 中 曾
用
表 S
m n
示
系
数
，但
经
本
人
慎
重
考
虑
，
最终决定用
H
m n
来
表
示
系
数
，
请
尊
重
作者。
部
分
书刊
中
，
有用
H
m n
表
示重复组合数，本人绝无侵权意
计算得出（鼓励一下）：
S (0) n
=
n
S (1) n
=
1 2
n2
+
1 2
n
S (2) n
=
1 3
n3
+
1 2
n2
+
2 12
n
S (3) n
=
1 4
n4
+
1 2
n3
+
3 12
n2
+
0n
S (4) n
=
1 5
n5
+
1 2
n4
+
4 12
n3
+
0n2
−
1 30
n
S (5) n
=
1 6
n6
+
1 2
n5
+
5 12
种情况中选出的数分别做乘法运
算 ，再
将所得的积求和
，即 得
H
m n
的
值。例如：
H
2 3
= 1×1+
2×2
+ 3×3 +1× 2
+1×3 +
2×3
=
25
H
3 2
=
1×1×1+1×1×
2
+1×
2×
2
+
2×
2×
2
= 15
m
∑ 不
难
证
明
：
Hm n+1
=
(n
+ 1)i
H m−i n
，
此
i=0
即幂和数的递推公式。
B0
= 1,
B1
1 =−
2
,
B2
=
1 6
,
B3
= 0, B4
=− 1 , 30
B5
= 0,
B6
=
1, 42
B7
= 0,
B8
=− 1 , 30
B9
= 0,
B 10
=
5 66
,
B 11
= 0, B12
= − 691 , 2730
B 13
= 0,
B 14
=
7 6
, ⋯.
尹 · 亚 · 杰 扑 曼 【 苏 】：
lim lim ( ) am+1 =
n→∞
S
(m
n
)
n m+1
=
n→∞
nm nm+1 − n − 1 m+1
nm
1
lim ∑( ) =
n→∞
m+1
−
−1
r
C n r m+1−r m+1
=
C1 m+1
r =1
C
1 m
+1a
m
+1
=
1
○1
同理可得：
C
2 m
+1a
m
+1
−
C